Finden Sie das Volumen, das auf Vektoren aufgebaut ist. Vektorprodukt von Vektoren. Mischprodukt von Vektoren. Gemischte Produkteigenschaften

Für die Vektoren , und , gegeben durch die Koordinaten , , wird das Mischprodukt nach folgender Formel berechnet: .

Mischprodukt wird verwendet: 1) um die Volumina eines Tetraeders und eines Parallelepipeds zu berechnen, die auf den Vektoren , und , wie auf Kanten, nach der Formel aufgebaut sind: ; 2) als Bedingung für die Komplanarität der Vektoren , und : und sind koplanar.

Thema 5. Linien im Flugzeug.

Normaler Linienvektor , wird jeder Vektor ungleich Null aufgerufen, der senkrecht zur gegebenen Linie steht. Richtungsvektor gerade , wird jeder Nicht-Null-Vektor parallel zur gegebenen Linie aufgerufen.

Gerade auf der Oberfläche im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung gerade Linie, wobei der Normalenvektor der geraden Linie ist;

2) - die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht;

3) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft ( kanonische gleichung );

4) - Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht , ;

5) - Liniengleichungen mit Gefälle , wo ist der Punkt, durch den die Gerade verläuft; () - der Winkel, den die Linie mit der Achse bildet; - die Länge des Segments (mit dem Zeichen ), das durch eine gerade Linie auf der Achse abgeschnitten wird (Zeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist).

6) - Gerade Gleichung in Schnitten, wobei und die Längen der Segmente (mit dem Vorzeichen ) sind, die durch eine gerade Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden, und (das Vorzeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist ).

Abstand von Punkt zu Linie , gegeben durch die allgemeine Gleichung in der Ebene, wird durch die Formel gefunden:

Ecke , ( )zwischen geraden Linien und , gegeben durch allgemeine Gleichungen oder Gleichungen mit Steigung, wird durch eine der folgenden Formeln gefunden:

Ich für .

Ich für

Koordinaten des Schnittpunkts von Linien und werden als Lösung eines linearen Gleichungssystems gefunden: oder .

Thema 10. Sätze. Numerische Mengen. Funktionen.

Unter viele eine bestimmte Menge von Objekten jeglicher Art verstehen, die voneinander unterscheidbar und als ein Ganzes denkbar sind. Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, nennen sie Elemente . Eine Menge kann unendlich sein (besteht aus unendlich vielen Elementen), endlich (besteht aus endlich vielen Elementen), leer (enthält kein einziges Element). Mengen werden mit bezeichnet und ihre Elemente mit . Die leere Menge wird mit bezeichnet.

Anruf einstellen Teilmenge set wenn alle Elemente der Menge zur Menge gehören und schreibe .

Setzt und callt gleich , wenn sie aus denselben Elementen bestehen und schreiben . Zwei Sätze und sind genau dann gleich, wenn und .

Anruf einstellen Universal- (im Rahmen dieser mathematischen Theorie) , wenn seine Elemente alle in dieser Theorie betrachteten Objekte sind.

Viele können eingestellt werden: 1) Aufzählung aller seiner Elemente, zum Beispiel: (nur für endliche Mengen); 2) durch Festlegen einer Regel zur Bestimmung, ob ein Element einer universellen Menge zu einer gegebenen Menge gehört: .

Verband

Kreuzung Mengen und heißt Menge

Unterschied Mengen und heißt Menge

Ergänzung Mengen (bis auf eine universelle Menge) werden als Menge bezeichnet.

Die beiden Sätze und werden aufgerufen gleichwertig und schreiben Sie ~, wenn eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Elementen dieser Mengen hergestellt werden kann. Der Satz wird aufgerufen zählbar , wenn es der Menge der natürlichen Zahlen entspricht : ~ . Die leere Menge ist per Definition abzählbar.

Gültig (real) Nummer wird als unendlicher Dezimalbruch bezeichnet, der mit dem Zeichen "+" oder "" genommen wird. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl identifiziert.

Modul (Absolutwert) einer reellen Zahl ist eine nicht negative Zahl:

Der Satz wird aufgerufen numerisch wenn seine Elemente reelle Zahlen sind. Numerisch in Intervallen heißen Mengen

Zahlen: , , , , , , , , .

Die Menge aller Punkte auf dem Zahlenstrahl, die die Bedingung erfüllen, wobei eine beliebig kleine Zahl ist, heißt -Nachbarschaft (oder nur eine Umgebung) eines Punktes und wird mit bezeichnet. Die Menge aller Punkte durch die Bedingung , wobei eine beliebig große Zahl ist, heißt - Nachbarschaft (oder nur eine Nachbarschaft) von unendlich und wird mit bezeichnet.

Eine Größe, die den gleichen Zahlenwert behält, wird aufgerufen Konstante. Es wird eine Größe genannt, die unterschiedliche Zahlenwerte annimmt Variable. Funktion heißt die regel, nach der jeder nummer eine genau definierte nummer zugeordnet wird, und sie schreiben. Der Satz wird aufgerufen Definitionsbereich Funktionen, - viele ( oder Region ) Werte Funktionen, - Streit , - Funktionswert . Die gebräuchlichste Art, eine Funktion anzugeben, ist die analytische Methode, bei der die Funktion durch eine Formel angegeben wird. natürliche Domäne Funktion ist die Wertemenge des Arguments, für die diese Formel sinnvoll ist. Funktionsgraph , in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, ist die Menge aller Punkte der Ebene mit den Koordinaten , .

Die Funktion wird aufgerufen eben auf der Menge , symmetrisch in Bezug auf den Punkt , wenn die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: und seltsam wenn die Bedingung erfüllt ist. Ansonsten eine generische Funktion bzw weder gerade noch ungerade .

Die Funktion wird aufgerufen Zeitschrift auf dem Set, wenn es eine Nummer gibt ( Funktionszeitraum ), sodass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: . Die kleinste Zahl wird Hauptperiode genannt.

Die Funktion wird aufgerufen monoton steigend (abnehmend ) auf der Menge, wenn der größere Wert des Arguments dem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Die Funktion wird aufgerufen begrenzt auf der Menge , wenn es eine solche Zahl gibt , dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist : . Ansonsten ist die Funktion unbegrenzt .

Umkehren Funktionieren , , ist eine Funktion, die auf einem Satz definiert ist und jedem so zuweist, dass . Um die Funktion zu finden, die invers zur Funktion ist , du musst die gleichung lösen verhältnismäßig . Wenn die Funktion , streng monoton ist, dann hat sie immer eine Umkehrfunktion, und wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), dann nimmt auch die Umkehrfunktion zu (ab).

Eine Funktion, die als dargestellt wird, wobei einige Funktionen so sind, dass der Definitionsbereich der Funktion den gesamten Wertesatz der Funktion enthält, wird aufgerufen komplexe Funktion unabhängige Argumentation. Die Variable wird als Zwischenargument bezeichnet. Eine komplexe Funktion wird auch als Komposition aus Funktionen und bezeichnet und geschrieben: .

Grundlegend Funktionen sind: Energie Funktion, Demonstration Funktion ( , ), logarithmisch Funktion ( , ), trigonometrisch Funktionen , , , , inverse trigonometrisch Funktionen , , , . Elementar heißt eine Funktion, die aus elementaren Grundfunktionen durch eine endliche Anzahl ihrer arithmetischen Operationen und Zusammensetzungen erhalten wird.

Der Graph der Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt bei , deren Zweige bei nach oben oder bei nach unten gerichtet sind.

In einigen Fällen ist es beim Erstellen eines Funktionsgraphen ratsam, seinen Definitionsbereich in mehrere sich nicht schneidende Intervalle zu unterteilen und nacheinander einen Graphen auf jedem von ihnen zu erstellen.

Jede geordnete Menge reeller Zahlen wird aufgerufen Punktdimensionale Arithmetik (Koordinate) Platz und bezeichnet oder , während die Zahlen seine genannt werden Koordinaten .

Seien und einige Mengen von Punkten und . Wenn jedem Punkt nach irgendeiner Regel eine wohldefinierte reelle Zahl zugeordnet wird, dann sagen sie, dass eine numerische Funktion von Variablen auf der Menge gegeben ist, und schreiben oder kurz und , während sie aufgerufen werden Definitionsbereich , - Satz von Werten , - Argumente (unabhängige Variablen) Funktionen.

Eine Funktion von zwei Variablen wird oft bezeichnet, eine Funktion von drei Variablen -. Der Definitionsbereich einer Funktion ist eine bestimmte Menge von Punkten in der Ebene, Funktionen sind eine bestimmte Menge von Punkten im Raum.

Thema 7. Numerische Folgen und Reihen. Sequenzlimit. Grenze einer Funktion und Stetigkeit.

Wenn nach einer bestimmten Regel jeder natürlichen Zahl eine wohldefinierte reelle Zahl zugeordnet ist, dann sagt man das Zahlenfolge . Kurz bezeichnen. Die Nummer wird angerufen gemeinsames Glied der Folge . Eine Folge wird auch als Funktion eines natürlichen Arguments bezeichnet. Eine Folge enthält immer unendlich viele Elemente, von denen einige gleich sein können.

Die Nummer wird angerufen Sequenzlimit , und schreiben Sie , ob es für jede Zahl eine Zahl gibt , bei der die Ungleichung für alle erfüllt ist .

Eine Folge, die einen endlichen Grenzwert hat, wird aufgerufen konvergierend , sonst - abweichend .

: 1) abnehmend , wenn ; 2) zunehmend , wenn ; 3) nicht abnehmend , wenn ; 4) nicht steigend , wenn . Alle oben genannten Sequenzen werden aufgerufen eintönig .

Die Sequenz wird aufgerufen begrenzt , wenn es eine solche Zahl gibt, dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist: . Ansonsten ist die Reihenfolge unbegrenzt .

Jede monoton beschränkte Folge hat einen Grenzwert ( Satz von Weierstraß).

Die Sequenz wird aufgerufen unendlich klein , wenn . Die Sequenz wird aufgerufen unendlich groß (gegen unendlich konvergierend) wenn .

Nummer heißt der Grenzwert der Folge, wobei

Die Konstante wird als Non-Peer-Nummer bezeichnet. Der Basislogarithmus einer Zahl heißt natürlicher Logarithmus einer Zahl und wird mit bezeichnet.

Ein Ausdruck der Form , wobei eine Zahlenfolge ist, wird aufgerufen Zahlenreihe und gekennzeichnet sind. Die Summe der ersten Terme der Reihe wird aufgerufen te Teilsumme die Zeile.

Die Zeile wird aufgerufen konvergierend wenn es eine endliche Grenze gibt und abweichend wenn die Grenze nicht existiert. Die Nummer wird angerufen die Summe einer konvergenten Reihe , beim Schreiben.

Wenn die Reihe konvergiert, dann (ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ) . Die Umkehrung ist nicht wahr.

Wenn , dann divergiert die Reihe ( ein hinreichendes Kriterium für die Divergenz der Reihe ).

Verallgemeinerte harmonische Reihe heißt eine Reihe, die bei konvergiert und bei divergiert.

Geometrische Reihe Nennen Sie eine Reihe, die bei konvergiert, während ihre Summe gleich ist und bei divergiert. Finden Sie eine Zahl oder ein Symbol. (linke Halbnachbarschaft, rechte Halbnachbarschaft) und

Für die Vektoren , und , gegeben durch ihre Koordinaten , , wird das gemischte Produkt durch die Formel berechnet: .

Thema 5. Gerade Linien und Ebenen.

Gerade auf der Oberfläche

1) - allgemeine Gleichung gerade Linie, wobei der Normalenvektor der geraden Linie ist;

2) - die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht;

3) kanonische gleichung );

Abstand von Punkt zu Linie , gegeben durch die allgemeine Gleichung in der Ebene, wird durch die Formel gefunden:

Ecke , ( )zwischen geraden Linien und , gegeben durch allgemeine Gleichungen oder Gleichungen mit Steigung, wird durch eine der folgenden Formeln gefunden:

Ich für .

Ich für

Koordinaten des Schnittpunkts von Linien und werden als Lösung eines linearen Gleichungssystems gefunden: oder .

Der Normalenvektor der Ebene , wird jeder Vektor ungleich Null aufgerufen, der senkrecht zur gegebenen Ebene steht.

Ebene im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung Ebene, wo ist der Normalenvektor der Ebene;

2) - die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt verläuft, der senkrecht zum gegebenen Vektor steht;

3) - Gleichung der Ebene, die durch drei Punkte geht, und ;

4) - Ebenengleichung in Schnitten, wobei , und die Längen der Segmente (mit dem Vorzeichen ) sind, die von der Ebene auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden, und (Vorzeichen „ “, wenn das Segment auf dem positiven Teil der Achse abgeschnitten ist, und „ “, wenn es auf dem negativen Teil ist ).

Abstand von Punkt zu Ebene , gegeben durch die allgemeine Gleichung , wird durch die Formel gefunden:

Ecke ,( )zwischen Flugzeugen und , gegeben durch allgemeine Gleichungen, wird durch die Formel gefunden:

Gerade im Weltraum im Koordinatensystem kann durch eine Gleichung eines der folgenden Typen gegeben sein:

1) - allgemeine Gleichung eine gerade Linie als Schnittlinien zweier Ebenen, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen und sind;

2) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft ( kanonische gleichung );

3) - Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht , ;

4) - Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft, ( parametrische Gleichung );

Ecke , ( ) zwischen geraden Linien und im Weltraum , gegeben durch kanonische Gleichungen, wird durch die Formel gefunden:

Die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie , gegeben durch die Parametergleichung und Flugzeug , gegeben durch die allgemeine Gleichung, werden als Lösung des linearen Gleichungssystems gefunden: .

Ecke , ( ) zwischen der Zeile , gegeben durch die kanonische Gleichung und Flugzeug , gegeben durch die allgemeine Gleichung, wird durch die Formel gefunden: .

Thema 6. Kurven zweiter Ordnung.

Algebraische Kurve zweiter Ordnung im Koordinatensystem heißt Kurve, allgemeine Gleichung das sieht aus wie:

wobei Zahlen - gleichzeitig nicht gleich Null sind. Es gibt die folgende Klassifizierung von Kurven zweiter Ordnung: 1) Wenn , dann definiert die allgemeine Gleichung die Kurve Elliptischer Typ (Kreis (für ), Ellipse (für ), leere Menge, Punkt); 2) wenn , dann - Kurve hyperbolischer Typ (Hyperbel, ein Paar sich schneidender Linien); 3) wenn , dann - Kurve parabolischer Typ(Parabel, leere Menge, Linie, Paar paralleler Linien). Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel werden genannt nicht entartete Kurven zweiter Ordnung.

Die allgemeine Gleichung , wobei , die eine nicht entartete Kurve (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) definiert, kann immer (unter Verwendung der Auswahlmethode der vollständigen Quadrate) auf eine Gleichung eines der folgenden Typen reduziert werden:

1a) - Kreisgleichung um einen Punkt und Radius zentriert (Abb. 5).

1b)- die Gleichung einer Ellipse, die in einem Punkt zentriert ist, und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen. Die Nummern und - werden aufgerufen Halbachsen einer Ellipse das Hauptrechteck der Ellipse; die Eckpunkte der Ellipse .

So erstellen Sie eine Ellipse im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Mitte der Ellipse; 2) wir ziehen durch die Mitte mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Ellipse; 3) wir bauen das Hauptrechteck einer Ellipse mit einer gepunkteten Linie mit einer Mitte und Seiten parallel zu den Symmetrieachsen; 4) Wir zeichnen eine Ellipse mit einer durchgezogenen Linie und schreiben sie in das Hauptrechteck ein, sodass die Ellipse ihre Seiten nur an den Scheitelpunkten der Ellipse berührt (Abb. 6).

Auf ähnliche Weise wird ein Kreis konstruiert, dessen Hauptrechteck Seiten hat (Abb. 5).

Abb.5 Abb.6

2) - Gleichungen von Hyperbeln (genannt konjugieren) in einem Punkt zentriert und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen. Die Nummern und - werden aufgerufen Halbachsen von Hyperbeln ; ein Rechteck mit Seiten parallel zu den Symmetrieachsen und in einem Punkt zentriert - das Hauptrechteck von Hyperbeln; Schnittpunkte des Hauptrechtecks mit den Symmetrieachsen - Scheitelpunkte von Hyperbeln; gerade Liniendurch gegenüberliegende Eckpunkte des Hauptrechtecks verlaufen - Asymptoten von Hyperbeln .

So erstellen Sie eine Hyperbel im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Mitte der Hyperbel; 2) wir ziehen durch die Mitte mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Hyperbel; 3) wir bauen das Hauptrechteck einer Hyperbel mit einer gepunkteten Linie mit einer Mitte und Seiten und parallel zu den Symmetrieachsen; 4) wir ziehen gerade Linien durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Hauptrechtecks mit einer gepunkteten Linie, die Asymptoten der Hyperbel sind, denen sich die Zweige der Hyperbel in unendlicher Entfernung vom Koordinatenursprung unendlich nahe nähern, ohne sie zu kreuzen; 5) Wir stellen die Zweige einer Hyperbel (Abb. 7) oder Hyperbel (Abb. 8) mit einer durchgezogenen Linie dar.

Abb.7 Abb.8

3a)- die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt und einer Symmetrieachse parallel zur Koordinatenachse (Abb. 9).

3b)- die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt und einer Symmetrieachse parallel zur Koordinatenachse (Abb. 10).

So erstellen Sie eine Parabel im Koordinatensystem: 1) markieren Sie die Spitze der Parabel; 2) wir zeichnen durch den Scheitelpunkt mit einer gepunkteten Linie die Symmetrieachse der Parabel; 3) Wir stellen eine Parabel mit einer durchgezogenen Linie dar, die ihren Zweig unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Parabelparameters richtet: at - in positiver Richtung der Koordinatenachse parallel zur Symmetrieachse der Parabel (Abb. 9a und 10a); at - auf der negativen Seite der Koordinatenachse (Fig. 9b und 10b).

Reis. 9a Abb. 9b

Reis. 10a Abb. 10b

Thema 7. Sätze. Numerische Mengen. Funktion.

Anruf einstellen Teilmenge set wenn alle Elemente der Menge zur Menge gehören und schreibe . Setzt und callt gleich , wenn sie aus denselben Elementen bestehen und schreiben . Zwei Sätze und sind genau dann gleich, wenn und .

Anruf einstellen Universal- (im Rahmen dieser mathematischen Theorie) , wenn seine Elemente alle in dieser Theorie betrachteten Objekte sind.

Verband

Kreuzung Mengen und heißt Menge

Unterschied Mengen und heißt Menge

Ergänzung Mengen (bis auf eine universelle Menge) werden als Menge bezeichnet.

Das Konzept der Kardinalität einer Menge entsteht, wenn Mengen nach der Anzahl der enthaltenen Elemente verglichen werden. Die Kardinalität der Menge wird mit bezeichnet. Die Kardinalität einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.

Äquivalente Mengen haben die gleiche Kardinalität. Der Satz wird aufgerufen unzählbar wenn seine Kardinalität größer ist als die Kardinalität der Menge .

Gültig (real) Nummer wird als unendlicher Dezimalbruch bezeichnet, der mit dem Zeichen "+" oder "" genommen wird. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl identifiziert. Modul (Absolutwert) einer reellen Zahl ist eine nicht negative Zahl:

Der Satz wird aufgerufen numerisch wenn seine Elemente reelle Zahlen sind in Intervallen Mengen von Zahlen heißen: , , , , , , , , .

Die Funktion wird aufgerufen monoton steigend (abnehmend ) auf der Menge, wenn der größere Wert des Arguments dem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Die Funktion wird aufgerufen begrenzt auf der Menge , wenn es eine solche Zahl gibt , dass die folgende Bedingung für alle erfüllt ist : . Ansonsten ist die Funktion unbegrenzt .

Umkehren Funktionieren , , eine solche Funktion heißt , die auf der Menge und auf jeder definiert ist

Übereinstimmungen so, dass . Um die Funktion zu finden, die invers zur Funktion ist , du musst die gleichung lösen verhältnismäßig . Wenn die Funktion , streng monoton ist, dann hat sie immer eine Umkehrfunktion, und wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), dann nimmt auch die Umkehrfunktion zu (ab).

Wenn der Graph der Funktion gegeben ist, dann reduziert sich die Konstruktion des Graphen der Funktion auf eine Reihe von Transformationen (Verschieben, Komprimieren oder Dehnen, Anzeigen) des Graphen:

1) 2) die Transformation zeigt den Graphen symmetrisch um die Achse an; 3) die Transformation verschiebt den Graphen entlang der Achse um Einheiten ( - nach rechts, - nach links); 4) die Transformation verschiebt das Diagramm entlang der Achse um Einheiten ( - nach oben, - nach unten); 5) Transformationsgraph entlang der Achse dehnt sich in Zeiten aus, wenn oder komprimiert sich in Zeiten, wenn ; 6) das Transformieren des Graphen entlang der Achse komprimiert um einen Faktor if oder dehnt sich um einen Faktor if aus.

Die Abfolge der Transformationen beim Zeichnen eines Funktionsgraphen kann symbolisch dargestellt werden als:

Notiz. Denken Sie beim Durchführen einer Transformation daran, dass der Betrag der Verschiebung entlang der Achse durch die Konstante bestimmt wird, die direkt zum Argument und nicht zum Argument hinzugefügt wird.

Der Graph der Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt bei , deren Zweige bei nach oben oder bei nach unten gerichtet sind. Der Graph einer linear-gebrochenen Funktion ist eine Hyperbel, die im Punkt zentriert ist, deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen durch das Zentrum gehen. , erfüllt die Bedingung. genannt.

Betrachten Sie das Produkt von Vektoren , und , wie folgt zusammengesetzt:
. Hier werden die ersten beiden Vektoren vektoriell multipliziert und ihr Ergebnis skalar mit dem dritten Vektor multipliziert. Ein solches Produkt wird Vektor-Skalar- oder gemischtes Produkt aus drei Vektoren genannt. Das gemischte Produkt ist eine Zahl.

Lassen Sie uns die geometrische Bedeutung des Ausdrucks herausfinden
.

Satz . Das gemischte Produkt von drei Vektoren ist gleich dem Volumen des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds, mit einem Pluszeichen genommen, wenn diese Vektoren ein rechtes Tripel bilden, und mit einem Minuszeichen, wenn sie ein linkes Tripel bilden.

Nachweisen.. Wir konstruieren ein Parallelepiped, dessen Kanten die Vektoren sind , , und Vektor
.

Wir haben:
,
, wo - Bereich des auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms und ,
für das rechte Tripel von Vektoren und
für links, wo
ist die Höhe des Parallelepipeds. Wir bekommen:
, d.h.
, wo - das Volumen des von den Vektoren gebildeten Parallelepipeds , und .

Gemischte Produkteigenschaften

1. Das gemischte Produkt ändert sich nicht wann zyklisch Permutation seiner Faktoren, d.h. .

Tatsächlich ändern sich in diesem Fall weder das Volumen des Parallelepipeds noch die Ausrichtung seiner Kanten.

2. Das Mischprodukt ändert sich nicht, wenn die Vorzeichen von Vektor- und Skalarmultiplikation vertauscht werden, d.h.
.

Wirklich,
und
. Wir nehmen das gleiche Zeichen auf der rechten Seite dieser Gleichheiten, da die Tripel von Vektoren , , und , , - eine Ausrichtung.

Folglich,
. Damit können wir das gemischte Produkt von Vektoren schreiben
als
ohne Vorzeichen des Vektors, Skalarmultiplikation.

3. Das gemischte Produkt ändert das Vorzeichen, wenn zwei beliebige Faktorvektoren die Plätze wechseln, d.h.
,
,
.

Tatsächlich ist eine solche Permutation äquivalent zu einer Permutation der Faktoren im Vektorprodukt, die das Vorzeichen des Produkts ändert.

4. Mischprodukt von Vektoren ungleich Null , und ist genau dann Null, wenn sie koplanar sind.

2.12. Berechnung des Mischprodukts in Koordinatenform auf orthonormaler Basis

Lassen Sie die Vektoren
,
,
. Lassen Sie uns ihr gemischtes Produkt finden, indem wir Ausdrücke in Koordinaten für Vektor- und Skalarprodukte verwenden:

. (10)

Die resultierende Formel kann kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite der Gleichheit (10) die Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der dritten Reihe ist.

Das gemischte Produkt von Vektoren ist also gleich der Determinante dritter Ordnung, die sich aus den Koordinaten der multiplizierten Vektoren zusammensetzt.

2.13 Einige Anwendungen des Mischprodukts

Bestimmung der relativen Orientierung von Vektoren im Raum

Bestimmung der relativen Orientierung von Vektoren , und basierend auf den folgenden Überlegungen. Wenn ein
, dann , , - rechts drei wenn
, dann , , - Links drei.

Komplanaritätsbedingung für Vektoren

Vektoren , und sind genau dann koplanar, wenn ihr Mischprodukt Null ist (
,
,
):

Vektoren , , koplanar.

Bestimmung der Volumina eines Quaders und einer dreieckigen Pyramide

Es ist leicht zu zeigen, dass das Volumen eines Parallelepipeds auf Vektoren aufgebaut ist , und wird berechnet als
, und das Volumen der dreieckigen Pyramide, die auf denselben Vektoren aufgebaut ist, ist gleich
.

Beispiel 1 Beweisen Sie, dass die Vektoren
,
,
koplanar.

Lösung. Finden wir das gemischte Produkt dieser Vektoren mit der Formel:

Das bedeutet, dass die Vektoren
koplanar.

Beispiel 2 Gegeben die Eckpunkte eines Tetraeders: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Finden Sie die Länge seiner Höhe, die vom Scheitelpunkt abfällt .

Lösung. Lassen Sie uns zuerst das Volumen des Tetraeders finden
. Nach der Formel erhalten wir:

Da die Determinante eine negative Zahl ist, müssen Sie in diesem Fall ein Minuszeichen vor die Formel setzen. Folglich,
.

Der gewünschte Wert h aus der Formel bestimmen
, wo S - Grundfläche. Lassen Sie uns den Bereich bestimmen S:

Weil die

Einsetzen in die Formel
Werte
und
, wir bekommen h= 3.

Beispiel 3 Bilden sich Vektoren
Basis im Weltraum? Vektor zerlegen
auf der Basis von Vektoren .

Lösung. Bilden die Vektoren eine Basis im Raum, dann liegen sie nicht in der gleichen Ebene, d.h. sind nicht koplanar. Finden Sie das gemischte Produkt von Vektoren
:
,

Daher sind die Vektoren nicht koplanar und bilden eine Basis im Raum. Wenn Vektoren eine Basis im Raum bilden, dann jeder Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden, nämlich
,wo
Vektorkoordinaten auf Vektorbasis
. Lassen Sie uns diese Koordinaten finden, indem wir das Gleichungssystem zusammenstellen und lösen