§ 1 Отбор корней уравнения при реальных ситуациях
Рассмотрим такую реальную ситуацию:
Мастер и ученик вместе изготовили на заказ 400 деталей. Причём мастер работал 3 дня, а ученик 2 дня. Сколько деталей изготовил каждый?
Составим алгебраическую модель данной ситуации. Пусть мастер изготавливает за 1 деньхдеталей. А ученик у деталей. Тогда мастер за 3 дня изготовит 3х деталей, а ученик изготовит за 2 дня 2у деталей. Вместе они изготовят 3х + 2удеталей. Так как по условию всего изготовлено 400 деталей, то получим уравнение:
Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Здесь нам надо найти пару чисел х и у, при которых уравнение примет вид верного числового равенства. Заметим, что если х= 90, у = 65, то получим равенство:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Так как получено верное числовое равенство, то пара чисел 90 и 65 будет являться решением этого уравнения. Но найденное решение не единственно. Если х = 96 и у = 56, то получаем равенство:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Это тоже верное числовое равенство, а, значит, пара чисел 96 и 56 так же является решением этого уравнения. А вот пара чисел х= 73и у= 23 не будет являться решением этого уравнения. В самом деле, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 даст нам неверное числовое равенство 265 = 400.Необходимо отметить, что если рассматривать уравнение применительно к данной реальной ситуации, то будут существовать пары чисел, которые, являясь решением данного уравнения, не будут являться решением задачи. Например, пара чисел:
х = 200 и y = -100
является решением уравнения, но ученик не может сделать -100 деталей, а поэтому такая пара чисел ответом на вопрос задачи быть не может. Таким образом, в каждой конкретной реальной ситуации необходимо разумно подходить к отбору корней уравнения.
Подведём первые итоги:
Уравнение вида ах + bу + с = 0, где а, b, с - любые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными.
Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел соответствующих х и у, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
§ 2 График линейного уравнения
Сама запись пары (х;у) наталкивает нас на мысль о возможности изображения её в виде точки с координатами хи у на плоскости. А значит, мы можем получить геометрическую модель конкретной ситуации. Например, рассмотрим уравнение:
2х + у - 4 = 0
Подберём несколько пар чисел, которые будут являться решениями этого уравнения и построим точки с найденными координатами. Пусть это будут точки:
А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).
Заметим, что все точки лежат на одной прямой. Такую прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными. Она является графической (или геометрической) моделью данного уравнения.
Если пара чисел (х;у) является решением уравнения
ах + ву + с = 0, то точка М(х;у) принадлежит графику уравнения. Можно сказать и наоборот: если точка М(х;у) принадлежат графику уравнения ах + ву + с = 0, то пара чисел (х;у) является решением этого уравнения.
Из курса геометрии мы знаем:
Для построения прямой необходимо 2 точки, поэтому для построения графика линейного уравнения с двумя переменными достаточно знать всего 2 пары решений. Но угадывание корней процедура далеко не всегда удобная, не рациональная. Можно действовать и по другому правилу. Поскольку абсцисса точки (переменная х) это независимая переменная, то можно придать ей любое удобное значение. Подставив это число в уравнение, мы найдём значение переменной у.
Например, пусть дано уравнение:
Пусть х = 0, тогда получим 0 - у + 1 = 0 или у = 1. Значит, если х = 0, то у = 1. Пара чисел (0;1) - решение этого уравнения. Зададим для переменной х ещё одно значение х = 2. Тогда получим 2 - у + 1 = 0 или у = 3. Пара чисел (2;3) также является решением этого уравнения. По двум найденным точкам уже можно построить график уравнения х - у + 1 =0.
Можно поступить и так: сначала придать некоторое конкретное значение переменной у, а уж потом вычислить значение х.
§ 3 Система уравнений
Найдите два натуральных числа, сумма которых 11, а разность 1.
Для решения этой задачи сначала составим математическую модель (а именно алгебраическую). Пусть первое число х, а второе - у. Тогда сумма чисел х + у = 11 и разность чисел х - у = 1. Так как в обоих уравнениях речь идёт об одних и тех же числах, то данные условия должны выполниться одновременно. Обычно в таких случаях используют специальную запись. Уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.
Такую запись называют системой уравнений.
Теперь построим множества решений каждого уравнения, т.е. графики каждого из уравнений. Возьмём первое уравнение:
Если х =4, то у = 7. Если х = 9, то у = 2.
Через точки (4;7) и (9;2) проведём прямую.
Возьмём второе уравнение х - у = 1. Если х = 5, то у = 4. Если х = 7, то у = 6. Через точки (5;4) и (7;6) так же проведём прямую. Получили геометрическую модель задачи. Интересующая нас пара чисел (х;у) должна являться решением обоих уравнений. На рисунке мы видим единственную точку, которая лежит на обеих прямых, это - точка пересечения прямых.
Её координаты (6;5). Поэтому решением задачи будет: первое искомое число 6, второе 5.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
Равенство f(х; у) = 0 представляет уравнение с двумя переменными. Решением такого уравнения является пара значений переменных, которая обращает уравнение с двумя переменными в верное равенство.
Если перед нами уравнение с двумя переменными, то в его записи в силу традиции на первое место мы должны поставить х, на второе – у.
Рассмотрим уравнение х – 3у = 10. Пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями рассматриваемого уравнения, в то время как пара (1; 5) решением не является.
Чтобы найти другие пары решений данного уравнения, необходимо одну переменную выразить посредством другой – например, х через у. В результате мы получим уравнение
х = 10 + 3у. Вычислим значения х, выбрав произвольные значения у.
Если у = 7, то х = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Если у = -2, то х = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Т.о., пары (31; 7), (4; -2) также являются решениями заданного уравнения.
Если уравнения с двумя переменными имеют одинаковые корни, то такие уравнения называются равносильными.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях уравнений.
Рассмотрим график уравнения с двумя переменными.
Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Все его решения можно изобразить точками на координатной плоскости, получив некоторое множество точек плоскости. Это множество точек плоскости и называется графиком уравнения f(х; у) = 0.
Так, графиком уравнения у – х 2 = 0 является парабола у = х 2 ; графиком уравнения у – х = 0 является прямая; графиком уравнения у – 3 = 0 является прямая, параллельная оси х, и др.
Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, а a, b и c – числа, называется линейным; числа a, b называются коэффициентами при переменных, с – свободным членом.
Графиком линейного уравнения ax + by = c является:
Построим график уравнения 2х – 3у = -6.
1. Т.к. ни один из коэффициентов при переменных не равен нулю, то графиком данного уравнения будет прямая.
2. Чтобы построить прямую, нам необходимо знать минимум две ее точки. Подставим в уравнения значения х и получим значения у и наоборот:
если х = 0, то у = 2; (0 ∙ х – 3у = -6);
если у = 0, то х = -3; (2х – 3 ∙ 0 = -6).
Итак, мы получили две точки графика: (0; 2) и (-3; 0).
3.Проведем прямую через полученные точки и получим график уравнения
2х – 3у = -6.
Если линейное уравнение ax + by = c имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ y = c, то мы должны рассмотреть два случая:
1. с = 0. В таком случае уравнению удовлетворяет любая пара (х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;
2. с ≠ 0. В таком случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Инструкция
Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.
Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!
Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.
Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4
Видео по теме
Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Вам понадобится
- - линейное уравнение с двумя переменными;
- - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
Источники:
- как решить уравнение с одной переменной
Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.
Вам понадобится
- - система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
Источники:
- решений уравнений с тремя неизвестными
Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.
Инструкция
Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.
Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.
Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.
В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.
Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.
Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.
Видео по теме
Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.
Инструкция
Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.
Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.
Видео по теме
Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.
Инструкция
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Уже в начале 2 тысячелетия до н. э. Вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя переменными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является «Арифметика» Диофанта, содержащая различные типы уравнений. В ней Диофант (по его имени и название уравнений – диофантовы уравнения) предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-ой и 3-ой степеней, развившихся только в 19 веке.
Простейшие диофантовы уравнения ах + ву = 1(уравнение с двумя переменными, первой степени) х2 + у2 = z2 (уравнение с тремя переменными, второй степени)
Наиболее полно изучены алгебраические уравнения, их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.
К началу 19 века трудами П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные.
Это уравнение 2-ой степени с двумя неизвестными.
К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов уравнений с двумя переменными (диофантовых уравнений). Существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными способами. /p>
Теоретический материал.
В этой части работы будут описаны основные математические понятия, даны определения терминов, сформулирована теорема о разложении с использованием метода неопределенных коэффициентов, которые были изучены и рассмотрены при решении уравнений с двумя переменными.
Определение 1: Уравнение вида ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные называется уравнением второй степени с двумя переменными.
В школьном курсе математики изучается квадратное уравнение ах2+вх +с=0 , где а,в,с числа х переменная, с одной переменной. Существует много способов решения такого уравнения:
1. Нахождение корней, используя дискриминант;
2. Нахождение корней для четного коэффициента в (по Д1=);
3. Нахождение корней по теореме Виета;
4. Нахождение корней с помощью выделения полного квадрата двучлена.
Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Определение 2: Корень уравнения – это число, которое при подстановке в уравнение образует верное равенство.
Определение 3: Решение уравнения с двумя переменными называется пара чисел (х,у) при подстановки которых в уравнение, оно превращается в верное равенство.
Процесс разыскивания решений уравнения очень часто заключается обычно в замене уравнения равносильным уравнением, но более простым при решении. Такие уравнения называются равносильными.
Определение 4: Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого уравнения, и наоборот, причем оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.
Для решения уравнений с двумя переменными используют теорему о разложении уравнения на сумму полных квадратов (методом неопределенных коэффициентов).
Для уравнения второго порядка ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 (1) имеет место разложение а(х +ру +q)2 + r(y+s)2 +h (2)
Сформулируем условия, при которых имеет место разложение (2) для уравнения (1) двух переменных.
Теорема: Если коэффициенты а,в,с уравнения (1) удовлетворяют условиям а0 и 4ав – с20, то разложение (2) определяется единственным способом.
Другими словами уравнение (1) с двумя переменными можно с помощью метода неопределенных коэффициентов привести к виду (2), если выполнены условия теоремы.
Рассмотрим на примере, как реализуется метод неопределенных коэффициентов.
СПОСОБ №1. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов
2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
1. Проверим выполнение условия теоремы, а=2, в=1, с=2, значит, а=2,4ав – с2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Условия теоремы выполнены, можно разложить по формуле (2).
3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, исходя из условий теоремы обе части тождества равносильны. Упростим правую часть тождества.
4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2х2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных с их степенями.
х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h
6. Получим систему уравнений, решим ее и найдем значения коэффициентов.
7. Подставим коэффициенты в (2), тогда уравнение примет вид
2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению
2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), это уравнение равносильно системе двух линейных уравнений.
Ответ: (-1; 1).
Если обратить внимание на вид разложения (3), то можно заметить, что оно по форме идентично выделению полного квадрата из квадратного уравнения с одной переменной: ах2 + вх + с = а(х +)2 +.
Применим этот прием при решении уравнения с двумя переменными. Решим с помощью выделения полного квадрата уже решенное с использованием теоремы квадратное уравнение с двумя переменными.
СПОСОБ №2: Решить уравнение 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
Решение: 1. Представим 2х2 в виде суммы двух слагаемых х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.
2. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было свернуть по формуле полного квадрата.
(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1)= 0.
3. Выделим полные квадраты из выражений в скобках.
(х + у)2 + (х + 1)2 = 0.
4. Данное уравнение равносильно системе линейных уравнений.
Ответ: (-1;1).
Если сравнить результаты, то видно, что уравнение, решенное способом №1 с использованием теоремы и методом неопределенных коэффициентов и уравнение, решенное способом №2, с помощью выделения полного квадрата имеют одинаковые корни.
Вывод: Квадратное уравнение с двумя переменными можно разлагать на сумму квадратов двумя способами:
➢ Первый способ – это метод неопределенных коэффициентов, в основе которого лежит теорема и разложение (2).
➢ Второй способ – с помощью тождественных преобразований, позволяющих выделить последовательно полные квадраты.
Конечно же, при решении задач второй способ является предпочтительнее, т. к. не требует запоминания разложения (2) и условия.
Этот метод можно применять и для квадратных уравнений с тремя переменными. Выделение полного квадрата в таких уравнениях более трудоемко. Такого вида преобразованиями я буду заниматься в следующем году.
Интересно заметить, что функцию, имеющую вид: f(х,у)= ах2 + вху + су2 + dx + ey + f, называют квадратичной функцией двух переменных. Квадратичным функциям принадлежит важная роль в различных разделах математики:
В математическом программировании (квадратичное программирование)
В линейной алгебре и геометрии (квадратичные формы)
В теории дифференциальных уравнений (приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду).
При решении этих различных задач, приходится, по сути, применять процедуру выделения полного квадрата из квадратного уравнения (одной, двух и более переменных).
Линии, уравнения которых, описываются квадратным уравнением двух переменных, называются кривыми второго порядка.
Это окружность, эллипс, гипербола.
При построении графиков этих кривых так же используется метод последовательного выделения полного квадрата.
Рассмотрим, как работает метод последовательного выделения полного квадрата на конкретных примерах.
Практическая часть.
Решить уравнения, методом последовательного выделения полного квадрата.
1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;
(х +1)2 + (х + у)2 = 0;
Ответ:(-1;1).
2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;
(х + у)2 + (2у + 1)2 = 0;
Ответ:(0,5; - 0,5).
3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;
3х2 + 3у2 + у2 – 6ху – 2у +1 = 0;
3х2 +3у2 – 6ху + у2 –2у +1 = 0;
3(х2 - 2ху +у2) + у2 - 2у + 1 = 0;
3(х2 - 2ху + у2)+(у2 - 2у + 1)=0;
3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;
Ответ:(-1;1).
Решить уравнения:
1. 2х2 + 3у2 – 4ху + 6у +9 =0
(привести к виду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)
Ответ: (-3; -3)
2. – 3х2 – 2у2 – 6ху –2у + 1=0
(привести к виду: -3(х+у)2 + (у –1)2= 0)
Ответ: (-1; 1)
3. х2 + 3у2+2ху + 28у +98 =0
(привести к виду: (х+у)2 +2(у+7)2 =0)
Ответ: (7; -7)
Заключение.
В данной научной работе были изучены уравнения с двумя переменными второй степени, рассмотрены способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулирован и описан более краткий способ решения, основанный на выделении полного квадрата и замене уравнения на равносильную систему уравнений, в результате упрощена процедура нахождения корней уравнения с двумя переменными.
Важным моментом работы является то, что рассматриваемый прием применяется при решении различных математических задач связанных с квадратичной функцией, построением кривых второго порядка, нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений.
Таким образом, прием разложения уравнения второго порядка с двумя переменными на сумму квадратов имеет самые многочисленные применения в математике.
Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.
Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.
1. 10*x + 25*y = 150;
Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.
Решение линейного уравнения
Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором - значение переменной у.
Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.
Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.
Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.
Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными
1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.
2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.