Правило сложения - если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.
^ Правило умножения - если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами.
Перестановка. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке. Так, все различные перестановки множества из трех элементов - это
Число всех перестановок из элементов обозначается . Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле
Размещение. Число размещений множества из элементов по элементов равно
^ Размещение с повторением. Если есть множество из n типов элементов, и нужно на каждом из m мест расположить элемент какого-либо типа (типы элементов могут совпадать на разных местах), то количество вариантов этого будет n m .
^ Cочетание. Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
Пространство элементарных событий. Случайное событие. Достоверное событие. Невозможное событие.
Случайное событие – любое подмножество пространства элементарных событий.
^ Достоверное событие – обязательно произойдет в результате эксперимента.
Невозможное событие – не произойдет в результате эксперимента.
Действия над событиями: сумма, произведение и разность событий. Противоположное событие. Совместные и несовместные события. Полная группа событий.
^ Несовместные события – если они не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Говорят, что несколько несовместных событий образуют полную группу событий , если в результате эксперимента появится одно из них.
Если первое событие состоит из всех элементарных исходов, кроме тех, которые входят во второе событие, то такие события называются противоположными.
Сумма двух событий А и В – событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В. ^ Произведение двух событий А и В – событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих одновременно А и В. Разность А и В – событие, состоящее из элементов А, не принадлежащих событию В.
Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные свойства вероятности события.
, g – часть фигуры G.^ Основные свойства вероятности: 1) 0≤Р(А)≤1, 2) Вероятность достоверного события равна 1, 3) Вероятность невозможного события равна 0.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий и следствия из нее.
Условная вероятность. Независимые события. Умножение вероятностей зависимых и независимых событий.
^ Умножение вероятностей: Для зависимых. Теорема. Р(А∙В) = Р(А)∙Р А (В). Замечание. Р(А∙В) = Р(А)∙Р А (В) = Р(В)∙Р В (А). Следствие. Р(А 1 ∙…∙А к) = Р(А 1)∙Р А1 (А 2)∙…∙Р А1-Ак-1 (А к). Для независимых. Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).
^ Т еорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Н 1, Н 2 …Н n – образуют полную группу – гипотезы.
Событие А может наступить только при условии появления Н 1, Н 2 …Н n ,
Тогда Р(А)=Р(Н 1)* Р н1 (А)+Р(Н 2)*Р н2 (А)+…Р(Н n)*Р н n (А)
^ Формула Байеса
Пусть Н 1, Н 2 …Н n – гипотезы, событие А может наступить при одной из гипотез
Р(А)= Р(Н 1)* Р н1 (А)+Р(Н 2)*Р н2 (А)+…Р(Н n)*Р н n (А)
Допустим, что событие А наступило.
Как изменилась вероятность Н 1 в связи с тем, что А наступило? Т.е. Р А (Н 1)
Р(А* Н 1)=Р(А)* Р А (Н 1)= Р(Н 1)* Р н1 (А) => Р А (Н 1)= (Р(Н 1)* Р н1 (А))/ Р(А)
Аналогично определяются Н 2 , Н 3 …Н n
Общий вид:
Р А (Н i)= (Р(Н i)* Р н i (А))/ Р(А) , где i=1,2,3…n.
Формулы позволяют переоценить вероятности гипотез в результате того, как становится известным результат испытаний, в итоге которого появилось событие А.
«До» испытания – априорные вероятности - Р(Н 1), Р(Н 2)…Р(Н n)
«После» испытания – апостериорные вероятности - Р А (Н 1), Р А (Н 2)… Р А (Н n)
Апостериорные вероятности, также как и априорные, в сумме дают 1.
9.Формулы Бернулли и Пуассона.
Формула Бернулли
Пусть проводятся n испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или нет. Если вероятность события А в каждом из этих испытаний постоянна, то эти испытания независимы относительно А.
Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых А может наступить с вероятностью p. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.
Теорема: вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, равна: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Число m 0 – наступление события А называется наивероятнейшим, если соответствующая ему вероятность P n (m 0) не меньше других P n (m)
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Для нахождения m 0 используют:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Формула Пуассона
Рассмотрим испытание Бернулли:
n- число испытаний, p – вероятность успеха
Пусть p мало (p→0), а n велико (n→∞)
среднее число появлений успеха в n испытаниях
λ=n*p → p= λдставим в формулу Бернулли:
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Пуассона)
Если p≤0,1 и λ=n*p≤10, то формула дает хорошие результаты.
10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Пусть n- число испытаний, p – вероятность успеха, n велико и стремится к бесконечности. (n->∞)
^ Локальная теорема
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , где f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Если npq≥ 20 – дает хорошие результаты, х=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Теорема интегральная
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
где ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – функция Лапласа
х 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2 , х 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Свойства функции Лапласа
ȹ(x) – нечетная функция: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – монотонно возрастает
значения ȹ(x) (-0.5;0.5), причем lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), где z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p)/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Случайная величина. Виды случайных величин. Способы задания случайной величины.
СВ – функция, заданная на множестве элементарных событий.
X,Y,Z – СВ, а ее значение x,y,z
Случайной называют величину, которая в результате испытаний примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
СВ дискретна , если множество ее значений конечно или сочтено (их можно пронумеровать). Она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной СВ может быть конечным или бесконечным.
СВ непрерывна , если она принимает все возможные значения из некоторого промежутка (на всей оси). Ее значения могут очень мало отличаться.
^ Закон распределения дискретной СВ м.б. задан:
1.таблицей
| Х | х 1 | х 2 | … | х n |
| Р(Х) | р 1 | р 2 | … | p n |
(ряд распределения)
Х=х 1 } несовместны
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.графический
Многоугольник распределения вероятности
3.аналитический
Р=Р(Х)
12. Функция распределения случайной величины. Основные свойства функции распределения.
Функция распределения СВ Х – функция F(Х), определяющая вероятность того, что СВ Х примет значение меньшее х., т.е.
x x = интегральная функция распределения
У непрерывной СВ функция непрерывная, кусочно дифференцируемая.
Цель: ознакомить учащихся с правилами сложения и умножения вероятностей, понятием противоположных событий на кругах Эйлера.
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному.
Приведём примеры случайных событий: бросаются игральные кости, бросается монета, проводится стрельба по мишени и т.д.
Все приведённые примеры можно рассматривать под одним и тем же углом зрения: случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными.
Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной степени элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.
Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления, его упрощённую схему «модель» и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определённым образом.
Однако существует ряд задач, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы.
Случайные события можно различным способом сочетать друг с другом. При этом образуются новые случайные события.
Для наглядного изображения событий используют диаграммы Эйлера . На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают множество всех элементарных событий (рис.1). Все другие события изображают внутри прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой линией. Обычно такие события изображают окружности или овалы внутри прямоугольника.
Рассмотрим наиболее важные свойства событий с помощью диаграмм Эйлера.
Объединением событий A и B называют событие C, состоящее из элементарных событий принадлежащих событию А или В (иногда объединения называют суммой).
Результат объединения можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис. 2).
Пересечением событий А и В называют событие С, которое благоприятствует и событию А, и событию В (иногда пересечения называют произведением).
Результат пересечения можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис. 3).
Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и то же опыта. Такие события называют несовместными , а их пересечение – пустое событие .
Разностью событий А и В называют событие С, состоящее из элементарных событий А, которые не являются элементарными событиями В.
Результат разности можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис.4)
Пусть прямоугольник изображает все элементарные события. Событие А изобразим в виде круга внутри прямоугольника. Оставшаяся часть прямоугольника изображает противоположное событию A, событие (рис.5)
Событием, противоположным событию А называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.
Событие, противоположное событию А, принято обозначать .
Примеры противоположных событий.
Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события:
А0- ни одного попадания;
А1- ровно одно попадание;
А2- ровно 2 попадания;
А3- ровно 3 попадания;
А4- ровно 4 попадания;
А5- ровно 5 попаданий.
Найти события: не более двух попаданий и не менее трёх попаданий.
Решение: А=А0+А1+А2 – не более двух попаданий;
В=А3+А4+А5 – не менее трёх попаданий.
Пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события:
В1 - промах при первом выстреле,
В2 - промах при втором выстреле,
ВЗ - промах при третьем выстреле,
то событие 
состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.
При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и объединение, и пересечение событий.
Например, пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:
Попадание при первом выстреле,
- промах при первом выстреле,
- попадание при втором выстреле,
- промах при втором выстреле,
- попадание при третьем выстреле,
- промах при третьем выстреле.
Рассмотрим более сложное событие В, состоящее в том, что в результате данных трёх выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:
Событие С, состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:
На рис.6.1 и 6.2 показано объединение и пересечение трёх событий.
рис.6
Для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные. Позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными правилами теории вероятностей. Этих правил два: правило сложения вероятностей и правило умножения вероятностей.
Правило сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) =Р(А)+ Р(В).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А) + Р()= 1.
На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. В этих случаях вычисляют Р (А) и находят
Р (А) = 1-Р().
Рассмотрим несколько примеров на применение правила сложения.
Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
А - выиграть не менее 20 руб.,
А1 - выиграть 20 руб.,
А2 - выиграть 100 руб.,
А3 - выиграть 500 руб.
Очевидно, А= А1 +А2+А3.
По правилу сложения вероятностей:
Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.
Пример 2. Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
Алгебраические операции над событиями определяют правила действий с событиями и позволяют выражать одни события через другие. Операции над событиями применимы только для событий, представляющих подмножества одного и того же пространства элементарных событий.
Действия с событиями можно наглядно изобразить с помощью диаграмм Венна. В диаграммах событиям соответствуют различные области на плоскости, условно обозначающие подмножества элементарных событий, из которых состоят события. Так, на диаграммах рис.1.1 пространству элементарных событий соответствуют внутренние точки квадрата, событию А _ внутренние точки круга, событию В _ внутренние точки треугольника. То, что события А и В являются подмножествами пространства элементарных событий (А, В), изображено на диаграммах рис.1.1а,б.
Суммой (объединением) событий А и В называется событие С=А+В (или С=АВ), состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В. Событие С состоит из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В, или обеим событиям. На диаграмме (рис 1.2.) событию С соответствует заштрихованная область С, представляющая объединение областей А и В. Аналогично суммой нескольких событий А 1 , А 2 ,…, А n называется событие С, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А i , i=:
Сумма событий объединяет все элементарные события, из которых состоят А i , i=. Если события Е 1 , Е 2 ,…, Е n образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию:
Сумма элементарных событий равна достоверному событию
Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С=АВ (или С=АВ), состоящее в совместном появлении событий А и В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат и А, и В. На рис 1.3.а событие С представлено пересечением областей А и В. Если А и В - несовместные события, то их произведение - невозможное событие, т. е. АВ= (рис. 1.3.б).
Произведение событий А 1 , А 2 ,…, А n - это событие С, состоящее в одновременном выполнении всех событий А i , i=:
Произведения попарно несовместных событий А 1 , А 2 ,…, А n - невозможные события: А i А j =, для любого ij. Произведения событий, составляющих полную группу - невозможные события: Е i Е j =, ij, произведения элементарных событий - также невозможные события: ij =, ij.
Разностью событий А и В называется событие С=А_В (С=АВ), которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат А и не принадлежат В. Диаграмма разности событий приведена на рис. 1.4. Из диаграммы видно, что С=А_В=
Противоположным событием для события А (или его дополнением) называется событие, которое состоит в том, что событие А не произошло. Противоположное событие дополняет событие А до полной группы и состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат пространству и не принадлежат событию А (рис. 1.5). Таким образом, - это разность достоверного события и события А: =_А.
Свойства операций над событиями.
Переместительные свойства: А+В=В+А, А·В=В·А.
Сочетательные свойства: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).
Распределительное свойство: А(В+С)=АВ+АС.
Из определений операций над событиями следуют свойства
А+А=А; А+=; А+=А; А·А=А; А·=А; А·=
Из определения противоположного события следует, что
А+=; А=; =А; =; =; ;
Из диаграммы рис.1.4 очевидны свойства разности совместных событий:
Если А и В - несовместные события, то
Очевидны также свойства совместных событий
Для противоположных событий верны свойства, которые иногда называют правилом де Моргана или принципом двойственности: операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям
Доказательство принципа двойственности можно получить графически с помощью диаграмм Венна или аналитически, применив свойства 1-6
Следует обратить внимание на то, что действия, аналогичные действиям "приведение подобных членов" и возведения в степень в алгебре чисел, недопустимы при операциях с событиями.
Например, при операциях с событиями правильными являются действия:
Ошибочное применение действий по аналогии с алгебраическими: (А+В)В=А+ВВ=А проводит к неверному результату (проверьте с помощью диаграмм Венна!).
Пример 1.11. Доказать тождества
а) (А+С)(В+С)=АВ+С;
б) АС_В=АС_ВС
а) (А+С)(В+С) = АВ+СВ+АС+СС = АВ+С(А+В)+С= =АВ+С(А+В)+С = АВ+С(А+В+) = АВ+С = АВ+С;
б) АС_В = АС = СА = С(А_В) = СА_СВ = АС_ВС
Пример 1.12. Приз разыгрывается между двумя финалистами шоу-программы. Розыгрыш производится по очереди до первой удачной попытки, число попыток для каждого участника ограничено тремя. Первый финалист начинает первым. Рассматриваются события: А={приз выиграл первый финалист}; В={приз выиграл второй финалист}. 1) Дополнить эти события до полной группы и составить для нее достоверное событие. 2) Составить полную группу элементарных событий. 3) Выразить события первой полной группы через элементарные. 4) Составить другие полные группы событий и записать через них достоверные события.
1) События А и В несовместные, до полной группы они дополняются несовместным событием С={приз не выиграл никто}. Достоверное событие ={приз выиграет или первый финалист, или второй, или никто не выиграет} равно: =А+В+С.
2) Введем события, которые описывают исход каждой попытки для каждого игрока и не зависят от условий конкурса: А i ={первый финалист успешно провел i-тую попытку}, В i ={второй финалист успешно провел i-тую попытку}, . Эти события не учитывают условий конкурса, поэтому не являются элементарными относительно факта выигрыша приза. Но через эти события с помощью операций над событиями можно составить полную группу элементарных событий, которые учитывают условия выигрыша с первой удачной попытки: 1 ={первый финалист выиграл приз с первой попытки}, 2 ={второй финалист выиграл приз с первой попытки}, 3 ={первый финалист выиграл приз со второй попытки}, 4 ={второй финалист выиграл приз со второй попытки}, 5 ={первый финалист выиграл приз с третьей попытки}, 6 ={второй финалист выиграл приз с третьей попытки}, 7 ={оба финалиста не выиграли приз за три попытки}. По условиям конкурса
1 =А 1 , 2 =, 3 =, 4 =,
5 =, 6 = , 7 = .
Полная группа элементарных событий: ={ 1 ,…, 7 }
3) События А и В через элементарные выражаются с помощью операций суммирования, С совпадает с элементарным событием:
4) Полные группы событий также составляют события
Соответствующие им достоверные события:
={первый финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;
={второй финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;
={приз или не выиграют, или выиграют}=.
Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. Например, если экспериментом является подбрасывание монеты при Событии А = «орел» и Событии В = «решка», то А и В представляют собой все выборочное пространство. Значит, Р(А) +Р(В) = 0.5 + 0.5 = 1 .
Пример. В ранее предложенном примере вычисления вероятности извлечения из кармана халата красной ручки (это событие А), в котором лежат две синих и одна красная ручка, Р(А) = 1/3 ≈ 0.33, вероятность противоположного события – извлечения синей ручки – составит
Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия - сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей - символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.
Суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. То есть, суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.
Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какой-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:
D = A + B + C
Произведением двух событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В . Произведением нескольких событий называется совместное появление всех этих событий.
В приведенном примере с пассажиром событие С (совместное появление трамваев двух маршрутов) представляет собой произведение двух событий А и В , что символически записывается следующим образом:
Допустим, что два врача порознь осматривают пациента с целью выявления конкретного заболевания. В процессе осмотров возможно появление следующих событий:
Обнаружение заболеваний первым врачом (А );
Необнаружение заболевания первым врачом ();
Обнаружение заболевания вторым врачом (В );
Необнаружение заболевания вторым врачом ().
Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров ровно один раз. Это событие может реализоваться двумя способами:
Заболевание обнаружит первый врач (А ) и не обнаружит второй ();
Заболеваний не обнаружит первый врач () и обнаружит второй (B ).
Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически:
Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров дважды (и первым, и вторым врачом). Обозначим это событие через и запишем: .
Событие, заключающееся в том, что ни первый, ни второй врач заболевания не обнаружит, обозначим через и запишем: .
Основные теоремы теории вероятности
Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.
Запишем теорему сложения символически:
Р(А + В) = Р(А)+Р(В) ,
где Р - вероятность соответствующего события (событие указывается в скобках).
Пример . У больного наблюдается желудочное кровотечение. Этот симптом регистрируется при язвенной эрозии сосуда (событие А), разрыве варикозно-расширенных вен пищевода (событие В), раке желудка (событие С), полипе желудка (событие D), геморрагическом диатезе (событие F), механической желтухе (событие Е) и конечном гастрите (событие G ).
Врач, основываясь на анализе статистических данных, присваивает каждому событию значение вероятности:
Всего врач имел 80 больных с желудочным кровотечением (n = 80), из них у 12 была язвенная эрозия сосуда (), у 6 - разрыв варикозно-расширенных вен пищевода (), у 36 - рак желудка () и т. д.
Для назначения обследования врач хочет определить вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка (событие I):
Вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка, достаточно высока, и врач может определить тактику обследования, исходя из предположения о заболевании желудка, обоснованном на количественном уровне с помощью теории вероятностей.
Если рассматриваются совместные события, вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного их наступления.
Символически это записывается следующей формулой:
Если представить себе, что событие А заключается в попадании при стрельбе в мишень, заштрихованную горизонтальными полосами, а событие В - в попадании в мишень, заштрихованную вертикальными полосами, то в случае несовместных событий по теореме сложения вероятность суммы равна сумме вероятностей отдельных событий. Если же эти события совместны, то есть некоторая вероятность, соответствующая совместному наступлению событий А и В . Если не ввести поправку на вычитаемое Р(АВ) , т.е. на вероятность совместного наступления событий, то эта вероятность будет учтена дважды, так как площадь, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями, является составной частью обеих мишеней и будет учитываться как в первом, так и во втором слагаемом.
На рис. 1 дана геометрическая интерпретация, наглядно иллюстрирующая данное обстоятельство. В верхней части рисунка помещены непересекающиеся мишени, являющиеся аналогом несовместных событий, в нижней части - пересекающиеся мишени, являющиеся аналогом совместных событий (одним выстрелом можно попасть сразу и в мишень А, и в мишень В).
Прежде чем перейти к теореме умножения, необходимо рассмотреть понятия независимых и зависимых событий и условной и безусловной вероятностей.
Независимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого не зависит от появления или непоявления события В.
Зависимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого зависит от появления или непоявления события В.
Пример . В урне находятся 3 шара, 2 белых и 1 черный. При выборе шара наугад вероятность выбрать белый шар (событие А) равна: Р(А) = 2/3, а черный (событие В)Р(В) = 1/3. Мы имеем дело со схемой случаев, и вероятности событий рассчитываются строго по формуле. При повторении опыта вероятности появления событий А и В остаются неизменными, если после каждого выбора шар возвращается в урну. В этом случае события А и В являются независимыми. Если же выбранный в первом опыте шар в урну не возвращается, то вероятность события (А) во втором опыте зависит от появления или непоявления события (В) в первом опыте. Так, если в первом опыте появилось событие В (выбран черный шар), то второй опыт проводится при наличии в урне 2 белых шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Р(А) = 2/2= 1.
Если же в первом опыте не появилось событие В(выбран белый шар), то второй опыт проводится при наличии в урне одного белого и одного черного шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Р(А)=1/2. Очевидно, в этом случае события А и В тесно связаны и вероятности их появления являются зависимыми.
Условной вероятностью события А называется вероятность его появления при условии, что появилось событие В. Условная вероятность символически обозначается Р(А/В).
Если вероятность появления события А не зависит от появления события В , то условная вероятность события А равна безусловной вероятности:
Если вероятность появления события А зависит от появления события В, то условная вероятность никогда не может быть равна безусловной вероятности:
Выявление зависимости различных событий между собой имеет большое значение в решении практических задач. Так, например, ошибочное предположение о независимости появления некоторых симптомов при диагностике пороков сердца по вероятностной методике, разработанной в Институте сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева, обусловило около 50% ошибочных диагнозов.
Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. Например, если экспериментом является подбрасывание монеты при Событии А = «орел» и Событии В = «решка», то А и В представляют собой все выборочное пространство. Значит, Р(А) +Р(В) = 0.5 + 0.5 = 1 .
Пример. В ранее предложенном примере вычисления вероятности извлечения из кармана халата красной ручки (это событие А), в котором лежат две синих и одна красная ручка, Р(А) = 1/3 ≈ 0.33, вероятность противоположного события – извлечения синей ручки – составит
Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия - сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей - символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.
Суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. То есть, суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.
Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какой-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:
D = A + B + C
Произведением двух событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В . Произведением нескольких событий называется совместное появление всех этих событий.
В приведенном примере с пассажиром событие С (совместное появление трамваев двух маршрутов) представляет собой произведение двух событий А и В , что символически записывается следующим образом:
Допустим, что два врача порознь осматривают пациента с целью выявления конкретного заболевания. В процессе осмотров возможно появление следующих событий:
Обнаружение заболеваний первым врачом (А );
Необнаружение заболевания первым врачом ();
Обнаружение заболевания вторым врачом (В );
Необнаружение заболевания вторым врачом ().
Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров ровно один раз. Это событие может реализоваться двумя способами:
Заболевание обнаружит первый врач (А ) и не обнаружит второй ();
Заболеваний не обнаружит первый врач () и обнаружит второй (B ).
Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически:
Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров дважды (и первым, и вторым врачом). Обозначим это событие через и запишем: .
Событие, заключающееся в том, что ни первый, ни второй врач заболевания не обнаружит, обозначим через и запишем: .