MIESZANY PRODUKT TRZECH WEKTORÓW I JEGO WŁAŚCIWOŚCI
mieszany produkt trzy wektory nazywamy liczbą równą . Oznaczone 
. Tutaj pierwsze dwa wektory są mnożone wektorowo, a następnie wektor wynikowy jest mnożony skalarnie przez trzeci wektor. Oczywiście taki produkt to pewna liczba.
Rozważ właściwości zmieszanego produktu.
- zmysł geometryczny mieszany produkt. Mieszany iloczyn 3 wektorów, aż do znaku, jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach, tak jak na krawędziach, tj. .
Tak więc i
.
Dowód. Odłóżmy wektory ze wspólnego pochodzenia i zbudujmy na nich równoległościan. Oznaczmy i zauważmy, że . Z definicji iloczynu skalarnego
Zakładając to i oznaczając przez h wysokość równoległościanu znajdujemy .
Tak więc, w
Jeśli , to i . W konsekwencji, .
Łącząc oba te przypadki, otrzymujemy lub .
Z dowodu tej własności w szczególności wynika, że jeśli trójka wektorów jest prawidłowa, to iloczyn mieszany , a jeśli jest lewy, to .
- Dla dowolnych wektorów , , równość
Dowód tej własności wynika z własności 1. Rzeczywiście, łatwo wykazać, że i . Co więcej, znaki „+” i „-” są brane jednocześnie, ponieważ kąty między wektorami i i i są ostre lub rozwarte.
- Gdy dowolne dwa czynniki są zamienione, mieszany produkt zmienia znak.
Rzeczywiście, jeśli weźmiemy pod uwagę produkt mieszany , to na przykład lub
- Produkt mieszany wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zero lub wektory są współpłaszczyznowe.
Dowód.
Tak więc warunkiem koniecznym i wystarczającym dla komplanarności 3 wektorów jest równość do zera ich mieszanego iloczynu. Ponadto wynika z tego, że bazę w przestrzeni tworzą trzy wektory, jeżeli .
Jeśli wektory są podane w postaci współrzędnych, można wykazać, że ich mieszany iloczyn znajduje się za pomocą wzoru:
.Zatem mieszany iloczyn jest równy wyznacznikowi trzeciego rzędu, którego pierwsza linia zawiera współrzędne pierwszego wektora, druga linia zawiera współrzędne drugiego wektora, a trzecia linia zawiera współrzędne trzeciego wektora.
Przykłady.
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Równanie F(x, y, z)= 0 definiuje w przestrzeni Oxyz jakąś powierzchnię, tj. położenie punktów, których współrzędne x, y, z spełniają to równanie. To równanie nazywa się równaniem powierzchni, a x, y, z– aktualne współrzędne.
Jednak często powierzchnia nie jest definiowana przez równanie, ale jako zbiór punktów w przestrzeni, które mają taką lub inną właściwość. W takim przypadku wymagane jest znalezienie równania powierzchni na podstawie jej właściwości geometrycznych.
SAMOLOT.
NORMALNY WEKTOR PŁASKI.
RÓWNANIE SAMOLOTU PRZECHODZĄCEGO PRZEZ DANY PUNKT
Rozważ dowolną płaszczyznę σ w przestrzeni. Jego położenie jest określane przez ustawienie wektora prostopadłego do tej płaszczyzny i pewnego stałego punktu M0(x0, r 0, z0) leżące w płaszczyźnie σ.
Nazywa się wektor prostopadły do płaszczyzny σ normalna wektor tego samolotu. Niech wektor ma współrzędne .
Wyprowadzamy równanie płaszczyzny σ przechodzącej przez dany punkt M0 i posiadanie wektora normalnego . Aby to zrobić, weź dowolny punkt na płaszczyźnie σ M(x, y, z) i rozważmy wektor .
Dla każdego punktu MÎ wektor σ Dlatego ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ta równość jest warunkiem, że punkt Mσ. Obowiązuje dla wszystkich punktów tej płaszczyzny i zostaje naruszona, gdy tylko punkt M będzie poza płaszczyzną σ.
Jeśli przez wektor promienia oznaczymy punkty M, jest wektorem promienia punktu M0, to równanie można zapisać jako
To równanie nazywa się wektor równanie płaszczyzny. Napiszmy to w postaci współrzędnych. Od tego czasu
Tak więc otrzymaliśmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt. Tak więc, aby skomponować równanie płaszczyzny, musisz znać współrzędne wektora normalnego i współrzędne jakiegoś punktu leżącego na płaszczyźnie.
Zauważ, że równanie płaszczyzny jest równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do aktualnych współrzędnych x, y oraz z.
Przykłady.
OGÓLNE RÓWNANIE SAMOLOTU
Można wykazać, że dowolne równanie pierwszego stopnia ze względu na współrzędne kartezjańskie x, y, z jest równaniem pewnej płaszczyzny. To równanie jest zapisane jako:
Topór+B+Cz+D=0
i zadzwoniłem ogólne równanie samolot i współrzędne A, B, C oto współrzędne wektora normalnego samolotu.
Rozważmy poszczególne przypadki równania ogólnego. Dowiedzmy się, jak płaszczyzna znajduje się w układzie współrzędnych, jeśli zniknie jeden lub więcej współczynników równania.
A to długość odcinka odciętego przez płaszczyznę na osi Wół. Podobnie można pokazać, że b oraz c są długościami odcinków odciętych przez rozważaną płaszczyznę na osiach Oy oraz Oz.
Do konstruowania płaszczyzn wygodnie jest używać równania płaszczyzny w segmentach.
W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn krzyżowy wektorów oraz mieszany iloczyn wektorów (bezpośredni link dla tych, którzy tego potrzebują). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, oprócz iloczyn skalarny wektorów, potrzeba coraz więcej. Takie jest uzależnienie od wektorów. Można odnieść wrażenie, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To nie jest prawda. W tej sekcji matematyki wyższej jest na ogół mało drewna opałowego, z wyjątkiem być może wystarczającej dla Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i prosty - niewiele trudniejszy niż ten sam iloczyn skalarny, nawet będzie mniej typowych zadań. Najważniejszą rzeczą w geometrii analitycznej, jak wielu widzi lub już widziało, jest NIE BŁĘDNE OBLICZENIA. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)
Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, to nie ma znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócić lub ponownie zdobyć podstawową wiedzę o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą selektywnie zapoznać się z informacjami, starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często znajdują się w pracy praktycznej
Co cię uszczęśliwi? Kiedy byłem mały, potrafiłem żonglować dwiema, a nawet trzema piłeczkami. Wyszło dobrze. Teraz w ogóle nie ma potrzeby żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory kosmiczne, a płaskie wektory z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Czemu? Tak narodziły się te działania - wektor i mieszany produkt wektorów są zdefiniowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. Już łatwiej!
W tej operacji, podobnie jak w iloczynie skalarnym, dwa wektory. Niech to będą niezniszczalne litery.
Sama akcja oznaczone w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do wyznaczania iloczynu krzyżowego wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.
I natychmiast pytanie: jeśli w iloczyn skalarny wektorów zaangażowane są dwa wektory, a tutaj również mnożone są dwa wektory, więc jaka jest różnica? Wyraźna różnica przede wszystkim w WYNIKU:
Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:
Wynikiem iloczynu krzyżowego wektorów jest WEKTOR: to znaczy mnożymy wektory i otrzymujemy wektor ponownie. Klub zamknięty. Właściwie stąd nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia mogą się również różnić, będę używał litery .
Definicja produktu krzyżowego
Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.
Definicja: produkt krzyżowy niewspółliniowe wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się WEKTOR, długość co jest liczbowo równa powierzchni równoległoboku, zbudowany na tych wektorach; wektor prostopadły do wektorów, i jest tak ukierunkowany, aby podstawa miała właściwą orientację: 
Analizujemy definicję po kościach, jest wiele ciekawych rzeczy!
Możemy więc podkreślić następujące ważne punkty:
1) Wektory źródłowe, z definicji wskazane czerwonymi strzałkami nie współliniowe. Właściwe będzie rozważenie przypadku wektorów współliniowych nieco później.
2) Zrobione wektory w ścisłej kolejności: – „a” mnoży się przez „być”, a nie „być” na „a”. Wynik mnożenia wektorów to WEKTOR , który jest oznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor karmazynowy). To znaczy równość 
.
3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ wektora niebieskiego (a zatem wektora karmazynowego) jest liczbowo równa POLE równoległoboku zbudowanego na wektorach . Na rysunku ten równoległobok jest zacieniony na czarno.
Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu poprzecznego nie jest równa powierzchni równoległoboku.
Przypominamy jedną z formuł geometrycznych: powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczanie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:
Podkreślam, że we wzorze mówimy o DŁUGOŚCI wektora, a nie o samym wektorze. Jakie jest praktyczne znaczenie? A znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się w koncepcji produktu wektorowego:
Otrzymujemy drugą ważną formułę. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego obszar trójkąta zbudowanego na wektorach (cieniowanie na czerwono) można znaleźć za pomocą wzoru:
4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów , czyli 
. Oczywiście przeciwnie skierowany wektor (karmazynowa strzałka) jest również prostopadły do oryginalnych wektorów .
5) Wektor jest tak skierowany, że podstawa To ma prawo orientacja. W lekcji o przejście na nowe podstawy Omówiłem szczegółowo orientacja płaszczyzny, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzeni. Wyjaśnię na palcach prawa ręka. Połącz się psychicznie palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem . Palec serdeczny i mały palec wciśnij w dłoń. W rezultacie kciuk- produkt wektorowy zostanie wyszukany. To jest podstawa zorientowana na prawo (jest na rysunku). Teraz zamień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach kciuk się odwróci, a produkt wektorowy będzie już patrzeć w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Być może masz pytanie: jaka podstawa ma orientację lewicową? „Przypisz” te same palce lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i orientację lewej przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie znajdował się w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, te podstawy „skręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity obiekt z lustra”, to na ogół nie będzie możliwe połącz go z „oryginałem”. Przy okazji przyłóż trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)
... jak dobrze, o czym teraz wiesz prawo i lewo zorientowane baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są straszne =)
Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych
Definicja została dopracowana szczegółowo, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, można je umieścić na jednej linii prostej, a nasz równoległobok również „składa się” w jedną linię prostą. Obszar takich, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok wynosi zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zero, co oznacza, że powierzchnia wynosi zero
Tak więc, jeśli , to 
oraz 
. Należy pamiętać, że sam iloczyn krzyżowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i napisane, że jest on również równy zero.
Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora i samego siebie:
Za pomocą iloczynu krzyżowego można sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, a także przeanalizujemy m.in. ten problem.
Aby rozwiązać praktyczne przykłady, może być konieczne tabela trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.
Cóż, rozpalmy ogień:
Przykład 1
a) Znajdź długość iloczynu wektorowego wektorów, jeśli 
b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli 
Rozwiązanie: Nie, to nie jest literówka, celowo utworzyłem takie same dane początkowe w elementach warunku. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!
a) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie długość wektor (produkt wektorowy). Zgodnie z odpowiednią formułą:
Odpowiadać:
Ponieważ zapytano o długość, to w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.
b) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach . Powierzchnia tego równoległoboku jest liczbowo równa długości produktu poprzecznego:
Odpowiadać:
Należy pamiętać, że w odpowiedzi na temat produktu wektorowego w ogóle nie ma mowy, o co zostaliśmy zapytani obszar figury, odpowiednio, wymiarem są jednostki kwadratowe.
Zawsze patrzymy na to, CO musi znaleźć warunek i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiadać. Może się to wydawać dosłownością, ale wśród nauczycieli jest wystarczająco dużo literalistów, a zadanie z dużymi szansami zostanie zwrócone do powtórki. Chociaż nie jest to szczególnie napięta szczypta - jeśli odpowiedź jest nieprawidłowa, to odnosi się wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Ten moment należy zawsze kontrolować, rozwiązując każdy problem z matematyki wyższej, a także z innych przedmiotów.
Gdzie się podziała wielka litera „en”? W zasadzie można by to dodatkowo przykleić do rozwiązania, ale żeby skrócić rekord, nie zrobiłem tego. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest oznaczeniem tego samego.
Popularny przykład rozwiązania „zrób to sam”:
Przykład 2
Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli 
Wzór na znalezienie obszaru trójkąta przez produkt wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo częste, trójkąty można generalnie torturować.
Do rozwiązania innych problemów potrzebujemy:
Własności iloczynu krzyżowego wektorów
Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.
Dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:
1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest rozróżniana we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Niech tak zostanie.
2) 
- nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami nazywana jest antykomutacja. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.
3) - kombinacja lub asocjacyjny przepisy dotyczące produktów wektorowych. Stałe są łatwo usuwane poza granice iloczynu wektorowego. Naprawdę, co oni tam robią?
4) - dystrybucja lub dystrybucja przepisy dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem nawiasów.
Jako demonstrację rozważ krótki przykład:
Przykład 3
Znajdź, jeśli 
Rozwiązanie: Warunkowo ponownie wymagane jest znalezienie długości produktu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę: 
(1) Zgodnie z prawami asocjacyjnymi usuwamy stałe poza granice iloczynu wektorowego.
(2) Wyjmujemy stałą z modułu, podczas gdy moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.
(3) To, co następuje, jest jasne.
Odpowiadać: 
Czas wrzucić drewno do ognia:
Przykład 4
Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli 
Rozwiązanie: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru 
. Problem polega na tym, że wektory „ce” i „te” są reprezentowane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i przypomina nieco przykłady nr 3 i 4 z lekcji. Iloczyn skalarny wektorów. Dla jasności podzielmy to na trzy kroki:
1) W pierwszym kroku wyrażamy produkt wektorowy przez produkt wektorowy, w rzeczywistości wyrazić wektor w postaci wektora. Nie ma jeszcze słowa o długości!
(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .
(2) Używając praw rozdzielczych, otwórz nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.
(3) Używając praw asocjacyjnych, usuwamy wszystkie stałe poza iloczynami wektorowymi. Przy niewielkim doświadczeniu czynności 2 i 3 można wykonywać jednocześnie.
(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na przyjemną właściwość . W drugim terminie posługujemy się właściwością antykomutacyjną produktu wektorowego:
(5) Przedstawiamy podobne terminy.
W rezultacie wektor okazał się być wyrażony przez wektor, co było wymagane do osiągnięcia: 
2) W drugim kroku znajdujemy długość produktu wektorowego, którego potrzebujemy. Ta akcja jest podobna do przykładu 3: 
3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta: 
Kroki 2-3 rozwiązania można ułożyć w jednej linii.
Odpowiadać:
Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład niezależnego rozwiązania:
Przykład 5
Znajdź, jeśli
Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś studiując poprzednie przykłady ;-)
Iloczyn poprzeczny wektorów we współrzędnych
, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:
Formuła jest naprawdę prosta: piszemy wektory współrzędnych w górnym wierszu wyznacznika, „pakujemy” współrzędne wektorów w drugim i trzecim wierszu i umieszczamy w ścisłej kolejności- najpierw współrzędne wektora "ve", potem współrzędne wektora "double-ve". Jeśli wektory trzeba pomnożyć w innej kolejności, należy również zamienić linie: 
Przykład 10
Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
a)
b) 
Rozwiązanie: Test opiera się na jednym ze stwierdzeń w tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn poprzeczny wynosi zero (wektor zerowy): 
.
a) Znajdź produkt wektorowy: 
Więc wektory nie są współliniowe.
b) Znajdź produkt wektorowy: 
Odpowiadać: a) nie współliniowe, b)
Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje o produkcie wektorowym wektorów.
Ta sekcja nie będzie bardzo duża, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany produkt wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie opierać się na definicji, znaczeniu geometrycznym i kilku działających formułach.
Mieszany iloczyn wektorów jest iloczynem trzech wektorów:
W ten sposób ustawiają się w kolejce jak pociąg i czekają, nie mogą czekać, aż zostaną obliczone.
Najpierw znowu definicja i obraz:
Definicja: Mieszany produkt niewspółpłaszczyznowy wektory , podjęte w tej kolejności, jest nazywany objętość równoległościanu, zbudowany na tych wektorach, wyposażony w znak „+”, jeśli podstawa jest prawa i znak „-”, jeśli podstawa jest lewa.
Zróbmy rysunek. Linie dla nas niewidoczne są rysowane linią przerywaną: 
Zanurzmy się w definicji:
2) Zrobione wektory w określonej kolejności, czyli permutacja wektorów w produkcie, jak można się domyślić, nie przebiega bez konsekwencji.
3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny, kiedyś wyznaczałem mieszany produkt, a wynik obliczeń literą „pe”.
Zgodnie z definicją mieszany produkt to objętość równoległościanu, zbudowany na wektorach (figura jest narysowana czerwonymi wektorami i czarnymi liniami). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.
Notatka : Rysunek jest schematyczny.
4) Nie przejmujmy się ponownie koncepcją orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. Mówiąc prościej, produkt mieszany może być ujemny: .
Wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach wynika bezpośrednio z definicji.
Kąt między wektorami
Aby wprowadzić pojęcie iloczynu krzyżowego dwóch wektorów, musimy najpierw zająć się takim pojęciem jak kąt między tymi wektorami.
Otrzymamy dwa wektory $\overline(α)$ i $\overline(β)$. Weźmy jakiś punkt $O$ w przestrzeni i odłóżmy od niego wektory $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, a następnie kąt $AOB $ będzie nazywane kątem między tymi wektorami (rys. 1).
Notacja: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Pojęcie iloczynu krzyżowego wektorów i wzór na znajdowanie
Definicja 1
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem prostopadłym do obu podanych wektorów, a jego długość będzie równa iloczynowi długości tych wektorów z sinusem kąta między tymi wektorami, a ten wektor z dwoma początkowymi ma to samo orientacja jako kartezjański układ współrzędnych.
Notacja: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematycznie wygląda to tak:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ są ten sam zorientowany (ryc. 2)
Oczywiście iloczyn zewnętrzny wektorów będzie równy wektorowi zerowemu w dwóch przypadkach:
- Jeśli długość jednego lub obu wektorów wynosi zero.
- Jeśli kąt między tymi wektorami jest równy $180^\circ$ lub $0^\circ$ (ponieważ w tym przypadku sinus jest równy zero).
Aby wyraźnie zobaczyć, jak znajduje się iloczyn krzyżowy wektorów, rozważ poniższe przykłady rozwiązań.
Przykład 1
Znajdź długość wektora $\overline(δ)$, która będzie wypadkową iloczynu wektorów o współrzędnych $\overline(α)=(0,4,0)$ i $\overline(β) =(3,0,0 )$.
Rozwiązanie.
Przedstawmy te wektory w kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych (ryc. 3):
Rysunek 3. Wektory w kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych. Author24 - internetowa wymiana prac studenckich
Widzimy, że te wektory leżą odpowiednio na osiach $Ox$ i $Oy$. Dlatego kąt między nimi będzie równy $90^\circ$. Znajdźmy długości tych wektorów:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Następnie, z definicji 1, otrzymujemy moduł $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Odpowiedź: 12 $.
Obliczanie iloczynu poprzecznego przez współrzędne wektorów
Definicja 1 od razu implikuje sposób znalezienia iloczynu krzyżowego dla dwóch wektorów. Ponieważ wektor oprócz wartości ma również kierunek, nie można go znaleźć tylko za pomocą wartości skalarnej. Ale poza tym istnieje inny sposób na znalezienie podanych nam wektorów za pomocą współrzędnych.
Dajmy wektory $\overline(α)$ i $\overline(β)$, które będą miały odpowiednio współrzędne $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$. Wtedy wektor iloczynu poprzecznego (czyli jego współrzędne) można znaleźć według następującego wzoru:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
W przeciwnym razie rozszerzając wyznacznik otrzymujemy następujące współrzędne
$\nadline(α)х\nadlinijka(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Przykład 2
Znajdź wektor iloczynu poprzecznego wektorów współliniowych $\overline(α)$ i $\overline(β)$ o współrzędnych $(0,3,3)$ i $(-1,2,6)$.
Rozwiązanie.
Użyjmy powyższego wzoru. Dostać
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$
Odpowiedź: $(12,-3,3)$.
Własności iloczynu krzyżowego wektorów
Dla dowolnych mieszanych trzech wektorów $\overline(α)$, $\overline(β)$ i $\overline(γ)$, a także $r∈R$, obowiązują następujące własności:
Przykład 3
Znajdź obszar równoległoboku, którego wierzchołki mają współrzędne $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ i $(3,8,0) $.
Rozwiązanie.
Najpierw narysuj ten równoległobok w przestrzeni współrzędnych (ryc. 5):
Rysunek 5. Równoległobok w przestrzeni współrzędnych. Author24 - internetowa wymiana prac studenckich
Widzimy, że obie strony tego równoległoboku są skonstruowane przy użyciu współliniowych wektorów o współrzędnych $\overline(α)=(3,0,0)$ i $\overline(β)=(0,8,0)$. Korzystając z czwartej właściwości, otrzymujemy:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Znajdź wektor $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
w konsekwencji
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Definicja. Iloczyn wektorowy wektora a (mnożnika) przez wektor (mnożnik), który nie jest do niego współliniowy, jest trzecim wektorem c (iloczynem), który jest skonstruowany w następujący sposób:
1) jego moduł jest liczbowo równy powierzchni równoległoboku na ryc. 155), zbudowany na wektorach, tj. jest równy kierunkowi prostopadłemu do płaszczyzny wspomnianego równoległoboku;
3) w tym przypadku wybierany jest kierunek wektora c (spośród dwóch możliwych) tak, aby wektory c tworzyły układ prawoskrętny (§ 110).
Oznaczenie: lub
Uzupełnienie definicji. Jeśli wektory są współliniowe, to biorąc pod uwagę figurę jako (warunkowo) równoległobok, naturalne jest przypisanie pola zerowego. Dlatego iloczyn wektorowy wektorów kolinearnych jest uważany za równy wektorowi zerowemu.
Ponieważ wektorowi zerowemu można przypisać dowolny kierunek, konwencja ta nie jest sprzeczna z punktami 2 i 3 definicji.
Uwaga 1. W pojęciu „iloczyn wektorowy” pierwsze słowo wskazuje, że wynikiem działania jest wektor (w przeciwieństwie do iloczynu skalarnego; por. § 104, uwaga 1).
Przykład 1. Znajdź iloczyn wektorowy, w którym główne wektory prawego układu współrzędnych (ryc. 156).
1. Ponieważ długości głównych wektorów są równe jednostce skali, powierzchnia równoległoboku (kwadratu) jest liczbowo równa jeden. Stąd moduł iloczynu wektorowego jest równy jeden.
2. Ponieważ oś jest prostopadła do płaszczyzny, pożądany iloczyn wektorowy jest wektorem współliniowym do wektora k; a ponieważ oba z nich mają moduł 1, wymaganym iloczynem krzyżowym jest k lub -k.
3. Z tych dwóch możliwych wektorów należy wybrać pierwszy, ponieważ wektory k tworzą układ prawy (a wektory układ lewy).
Przykład 2. Znajdź produkt krzyżowy
Rozwiązanie. Jak w przykładzie 1, dochodzimy do wniosku, że wektorem jest k lub -k. Ale teraz musimy wybrać -k, ponieważ wektory tworzą prawy układ (a wektory tworzą lewy). Więc,
Przykład 3 Wektory mają długość odpowiednio 80 i 50 cm i tworzą kąt 30°. Biorąc metr jako jednostkę długości, znajdź długość iloczynu wektorowego a
Rozwiązanie. Powierzchnia równoległoboku zbudowanego na wektorach jest równa Długość pożądanego iloczynu wektorowego jest równa
Przykład 4. Znajdź długość iloczynu poprzecznego tych samych wektorów, przyjmując centymetr jako jednostkę długości.
Rozwiązanie. Ponieważ powierzchnia równoległoboku zbudowanego na wektorach jest równa długości iloczynu wektorowego wynosi 2000 cm, tj.
Porównanie przykładów 3 i 4 pokazuje, że długość wektora zależy nie tylko od długości współczynników, ale także od wyboru jednostki długości.
Fizyczne znaczenie iloczynu wektorowego. Spośród wielu wielkości fizycznych reprezentowanych przez iloczyn wektorowy rozważymy tylko moment siły.
Niech punktem przyłożenia siły będzie A. Moment siły względem punktu O nazywany jest iloczynem wektorowym. Ponieważ moduł tego iloczynu wektorowego jest liczbowo równy powierzchni równoległoboku (ryc. 157), moduł momentu jest równy iloczynowi podstawy przez wysokość, tj. siły pomnożonej przez odległość od punktu O do prostej, wzdłuż której działa siła.
W mechanice udowodniono, że dla równowagi ciała sztywnego konieczne jest, aby nie tylko suma wektorów reprezentujących siły przyłożone do ciała, ale także suma momentów sił była równa zeru. W przypadku, gdy wszystkie siły są równoległe do tej samej płaszczyzny, dodawanie wektorów reprezentujących momenty można zastąpić dodawaniem i odejmowaniem ich modułów. Ale dla dowolnych kierunków sił taka zamiana jest niemożliwa. Zgodnie z tym iloczyn krzyżowy jest dokładnie zdefiniowany jako wektor, a nie jako liczba.
Właściwości produktu kropkowego
Iloczyn skalarny wektorów, definicja, własności
Operacje liniowe na wektorach.
Wektory, podstawowe pojęcia, definicje, operacje liniowe na nich
Wektor na płaszczyźnie to uporządkowana para jego punktów, przy czym pierwszy punkt nazywamy początkiem, a drugi końcem wektora
Dwa wektory nazywane są równymi, jeśli są równe i współkierunkowe.
Wektory, które leżą na tej samej linii, nazywane są współkierunkowymi, jeśli są współkierunkowe z niektórymi z tego samego wektora, który nie leży na tej linii.
Wektory, które leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych, nazywane są współliniowymi, a współliniowe, ale nie współkierunkowe, nazywane są przeciwnie skierowanymi.
Wektory leżące na prostych prostopadłych nazywamy ortogonalnymi.
Definicja 5.4. suma a+b wektory a oraz b nazywa się wektorem pochodzącym od początku wektora a do końca wektora b , jeśli początek wektora b pokrywa się z końcem wektora a .
Definicja 5.5. różnica a - b wektory a oraz b taki wektor nazywa się Z , który wraz z wektorem b daje wektor a .
Definicja 5.6. pracak a wektor a za liczbę k zwany wektorem b , wektor współliniowy a , który ma moduł równy | k||a | i kierunek, który jest taki sam jak kierunek a w k>0 i przeciwnie a w k<0.
Własności mnożenia wektora przez liczbę:
Właściwość 1. k(a+b ) = k a+ k b.
Właściwość 2. (k+m)a = k a+ m a.
Właściwość 3. k(m a) = (km)a .
Konsekwencja. Jeśli niezerowe wektory a oraz b są współliniowe, to jest liczba k, Co b= k a.
Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów a oraz b nazywana liczbą (skalarą) równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta φ między nimi. Iloczyn skalarny można wyrazić na różne sposoby, na przykład jako ab, a · b, (a , b), (a · b). Tak więc iloczyn skalarny to:
a · b = |a| · | b| bo
Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów jest równy zero, to iloczyn skalarny jest równy zero.
Właściwość permutacji: a · b = b · a(iloczyn skalarny nie zmienia się z permutacji czynników);
własność dystrybucyjna: a · ( b · c) = (a · b) · c(wynik nie zależy od kolejności mnożenia);
Własność kombinacji (w odniesieniu do współczynnika skalarnego): (λ a) · b = λ ( a · b).
Własność ortogonalności (prostopadłości): jeśli wektor a oraz b niezerowe, to ich iloczyn skalarny wynosi zero tylko wtedy, gdy te wektory są ortogonalne (prostopadłe do siebie) a ┴ b;
Właściwość kwadratowa: a · a = a 2 = |a| 2 (iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest równy kwadratowi jego modułu);
Jeśli współrzędne wektorów a=(x 1 , y 1 , z 1 ) i b=(x 2 , y 2 , z 2 ), to iloczyn skalarny wynosi a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Wektor trzymający wektory. Definicja: Iloczyn wektorowy dwóch wektorów i jest rozumiany jako wektor, dla którego:
Moduł jest równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na tych wektorach, tj. , gdzie jest kątem między wektorami i
Ten wektor jest prostopadły do pomnożonych wektorów, tj.
Jeśli wektory nie są współliniowe, tworzą prawą trójkę wektorów.
Właściwości krzyżowe produktów:
1. Przy zmianie kolejności czynników iloczyn wektorowy zmienia swój znak na przeciwny, zachowując moduł, tj.
2 .Wektor kwadrat jest równy wektorowi zerowemu, tj.
3 Ze znaku iloczynu wektorowego można wyprowadzić czynnik skalarny, tj.
4 .Dla dowolnych trzech wektorów równość
5 .Warunek konieczny i wystarczający dla kolinearności dwóch wektorów i :