Trova il volume costruito sui vettori. Prodotto vettoriale di vettori. Prodotto misto di vettori. Proprietà miste del prodotto

Per i vettori , e , dati dalle coordinate , , il prodotto misto è calcolato con la formula: .

Si utilizza prodotto misto: 1) calcolare i volumi di un tetraedro e di un parallelepipedo costruiti su vettori , e , come su spigoli, secondo la formula: ; 2) come condizione per la complanarità dei vettori , e : e sono complanari.

Argomento 5. Linee sull'aereo.

Vettore di linea normale , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero perpendicolare alla retta data. Direzione vettore dritto , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero parallelo alla retta data.

Dritto in superficie nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale retta, dove è il vettore normale della retta;

2) - l'equazione di una retta passante per un punto perpendicolare ad un dato vettore;

3) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore ( equazione canonica );

4) - equazione di una retta passante per due punti dati, ;

5) - equazioni di linea con pendenza , dove è il punto attraverso il quale passa la linea; () - l'angolo che la linea forma con l'asse; - la lunghezza del segmento (con il segno ) tagliato da una retta sull'asse (segno “ ” se il segmento è tagliato sulla parte positiva dell'asse e “ ” se sulla parte negativa).

6) - equazione di linea retta nei tagli, dove e sono le lunghezze dei segmenti (con il segno ) interrotti da una retta sugli assi delle coordinate e (il segno “ ” se il segmento è tagliato sulla parte positiva dell'asse e “ ” se su quella negativa ).

Distanza da punto a linea , data dall'equazione generale sul piano, è trovata dalla formula:

Angolo , ( )tra linee rette e , dato da equazioni generali o equazioni con pendenza, è trovato da una delle seguenti formule:

Io per .

Io per

Coordinate del punto di intersezione delle rette e si trovano come soluzione di un sistema di equazioni lineari: o .

Argomento 10. Imposta. Insiemi numerici. Funzioni.

Sotto molti comprendere un certo insieme di oggetti di qualsiasi natura, distinguibili gli uni dagli altri e concepibili come un tutto unico. Gli oggetti che compongono un set lo chiamano elementi . Un insieme può essere infinito (costituito da un numero infinito di elementi), finito (costituito da un numero finito di elementi), vuoto (non contiene un singolo elemento). Gli insiemi sono indicati da e i loro elementi da . L'insieme vuoto è indicato da .

Imposta chiamata sottoinsieme set se tutti gli elementi dell'insieme appartengono all'insieme e scrivi .

Imposta e chiama pari , se sono costituiti dagli stessi elementi e scrivi . Due set e saranno uguali se e solo se e .

Imposta chiamata universale (nell'ambito di questa teoria matematica) , se i suoi elementi sono tutti oggetti considerati in questa teoria.

Molti possono essere impostati: 1) enumerazione di tutti i suoi elementi, ad esempio: (solo per insiemi finiti); 2) stabilendo una regola per determinare se un elemento di un insieme universale appartiene a un dato insieme : .

Associazione

traversata insiemi ed è chiamato insieme

differenza insiemi ed è chiamato insieme

Supplemento insiemi (fino a un insieme universale) è chiamato insieme.

I due set e sono chiamati equivalente e scrivi ~ se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di questi insiemi. L'insieme viene chiamato numerabile , se è equivalente all'insieme dei numeri naturali : ~ . L'insieme vuoto è, per definizione, numerabile.

Valido (vero) numero è chiamata frazione decimale infinita, presa con il segno "+" o "". I numeri reali sono identificati con punti sulla linea dei numeri.

modulo (valore assoluto) di un numero reale è un numero non negativo:

L'insieme viene chiamato numerico se i suoi elementi sono numeri reali. Numerico ad intervalli sono chiamati insiemi

numeri: , , , , , , , , .

Viene chiamato l'insieme di tutti i punti sulla retta numerica che soddisfano la condizione , dove è un numero arbitrariamente piccolo -quartiere (o solo un vicinato) di un punto ed è indicato da . L'insieme di tutti i punti della condizione , dove è un numero arbitrariamente grande, è chiamato - quartiere (o solo un quartiere) di infinito ed è indicato con .

Viene chiamata una quantità che mantiene lo stesso valore numerico costante. Viene chiamata una grandezza che assume valori numerici differenti variabile. Funzione si chiama la regola, secondo la quale ad ogni numero viene assegnato un numero ben definito, e si scrivono. L'insieme viene chiamato dominio di definizione funzioni, - molti ( o regione ) i valori funzioni, - discussione , - valore della funzione . Il modo più comune per specificare una funzione è il metodo analitico, in cui la funzione è data da una formula. dominio naturale la funzione è l'insieme di valori dell'argomento per cui questa formula ha senso. Grafico delle funzioni , in un sistema di coordinate rettangolare , è l' insieme di tutti i punti del piano con coordinate , .

La funzione viene chiamata anche sull'insieme , simmetrico rispetto al punto , se per tutti è soddisfatta la seguente condizione: e strano se la condizione è soddisfatta. In caso contrario, una funzione generica o né pari né dispari .

La funzione viene chiamata periodico sul set se esiste un numero ( periodo di funzione ) in modo tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Il numero più piccolo è chiamato periodo principale.

La funzione viene chiamata monotonicamente crescente (calante ) sul set se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore (minore) della funzione.

La funzione viene chiamata limitato sull'insieme, se esiste un numero tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Altrimenti, la funzione è illimitato .

Inversione funzionare , , è una funzione definita su un insieme e assegnata a ciascuno in modo tale che . Per trovare la funzione inversa alla funzione , devi risolvere l'equazione relativamente. Se la funzione , è strettamente monotono su , quindi ha sempre un inverso e se la funzione aumenta (diminuisce), aumenta anche la funzione inversa (diminuisce).

Viene chiamata una funzione rappresentata come, dove sono presenti alcune funzioni tali che il dominio della definizione della funzione contenga l'intero insieme di valori della funzione funzione complessa argomento indipendente. La variabile è chiamata argomento intermedio. Una funzione complessa è anche chiamata composizione di funzioni e , ed è scritta: .

Elementare di base le funzioni sono: potenza funzione , dimostrazione funzione ( , ), logaritmico funzione ( , ), trigonometrico funzioni , , , , trigonometrico inverso funzioni , , , . Elementare è chiamata una funzione ottenuta da funzioni elementari di base da un numero finito di loro operazioni aritmetiche e composizioni.

Il grafico della funzione è una parabola con vertice in , i cui rami sono diretti verso l'alto se o verso il basso se .

In alcuni casi, quando si costruisce un grafo di una funzione, è consigliabile dividere il suo dominio di definizione in più intervalli non intersecanti e costruire in sequenza un grafo su ciascuno di essi.

Viene chiamato qualsiasi insieme ordinato di numeri reali aritmetica punto-dimensionale (coordinata) spazio e denotato o , mentre i numeri sono chiamati suoi coordinate .

Siano e alcuni insiemi di punti e . Se ad ogni punto viene assegnato, secondo una qualche regola, un numero reale ben definito , allora dicono che sull'insieme è data una funzione numerica di variabili e scrivono o brevemente e , mentre viene chiamato dominio di definizione , - insieme di valori , - argomenti (variabili indipendenti).

Viene spesso indicata una funzione di due variabili, una funzione di tre variabili -. Il dominio di definizione di una funzione è un certo insieme di punti nel piano, le funzioni sono un certo insieme di punti nello spazio.

Argomento 7. Successioni e serie numeriche. Limite di sequenza. Limite di una funzione e continuità.

Se, secondo una certa regola, ogni numero naturale è associato a un numero reale ben definito, allora lo dicono sequenza numerica . Denota brevemente. Il numero è chiamato membro comune della sequenza . Una sequenza è anche chiamata funzione di un argomento naturale. Una sequenza contiene sempre un numero infinito di elementi, alcuni dei quali possono essere uguali.

Il numero è chiamato limite di sequenza , e scrivi se per qualsiasi numero esiste un numero tale che la disuguaglianza sia soddisfatta per tutti .

Viene chiamata una sequenza che ha un limite finito convergente , altrimenti - divergente .

: 1) calante , Se ; 2) crescente , Se ; 3) non decrescente , Se ; 4) non crescente , Se . Vengono chiamate tutte le sequenze di cui sopra monotono .

La sequenza viene chiamata limitato , se esiste un numero tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Altrimenti, la sequenza è illimitato .

Ogni sequenza limitata monotona ha un limite ( Teorema di Weierstrass).

La sequenza viene chiamata infinitesimale , Se . La sequenza viene chiamata infinitamente grande (convergente all'infinito) se .

numero è chiamato limite della sequenza, dove

La costante è chiamata numero non pari. Il logaritmo di base di un numero è chiamato logaritmo naturale di un numero ed è indicato con .

Viene chiamata un'espressione della forma , dove è una sequenza di numeri serie numerica e sono contrassegnati. Si chiama la somma dei primi termini della serie esima somma parziale riga.

La riga è chiamata convergente se esiste un limite finito e divergente se il limite non esiste. Il numero è chiamato la somma di una serie convergente , mentre scrivi.

Se la serie converge, allora (un criterio necessario per la convergenza delle serie ) . Non è vero il contrario.

Se , allora la serie diverge ( un criterio sufficiente per la divergenza delle serie ).

Serie armonica generalizzataè chiamata serie che converge e diverge in .

Serie geometrica chiamiamo una serie che converge in , mentre la sua somma è uguale e diverge in . trova un numero o un simbolo. (semiquartiere sinistro, semiquartiere destro) e

Per i vettori , e , dati dalle loro coordinate , , il prodotto misto si calcola con la formula: .

Argomento 5. Rette e piani.

Dritto in superficie

1) - equazione generale retta, dove è il vettore normale della retta;

2) - l'equazione di una retta passante per un punto perpendicolare ad un dato vettore;

3) equazione canonica );

Distanza da punto a linea , data dall'equazione generale sul piano, è trovata dalla formula:

Angolo , ( )tra linee rette e , dato da equazioni generali o equazioni con pendenza, è trovato da una delle seguenti formule:

Io per .

Io per

Coordinate del punto di intersezione delle rette e si trovano come soluzione di un sistema di equazioni lineari: o .

Il vettore normale del piano , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero perpendicolare al piano dato.

Aereo nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale piano, dove è il vettore normale del piano;

2) - l'equazione del piano passante per il punto perpendicolare al vettore dato;

3) - equazione del piano passante per tre punti, e;

4) - equazione piana nei tagli, dove , e sono le lunghezze dei segmenti (con il segno ) tagliati dal piano sugli assi delle coordinate , e (segno “ ” se il segmento è tagliato sulla parte positiva dell'asse e “ ” se su quella negativa ).

Distanza dal punto al piano , dato dall'equazione generale , si trova dalla formula:

Angolo ,( )tra gli aerei e , dato da equazioni generali, si trova dalla formula:

Dritto nello spazio nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale una retta, come le linee di intersezione di due piani, dove e sono i vettori normali dei piani e;

2) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore ( equazione canonica );

3) - equazione di una retta passante per due punti dati, ;

4) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore, ( equazione parametrica );

Angolo , ( ) tra linee rette e nello spazio , dato dalle equazioni canoniche, si trova con la formula:

Le coordinate del punto di intersezione della retta , data dall'equazione parametrica e aereo , dati dall'equazione generale, si trovano come soluzione del sistema di equazioni lineari: .

Angolo , ( ) tra la linea , data dall'equazione canonica e aereo , data dall'equazione generale è trovata dalla formula: .

Argomento 6. Curve del secondo ordine.

Curva algebrica del secondo ordine nel sistema di coordinate si chiama curva, equazione generale che assomiglia a:

dove i numeri - non sono uguali a zero allo stesso tempo. Esiste la seguente classificazione delle curve del secondo ordine: 1) se , allora l'equazione generale definisce la curva tipo ellittico (cerchio (per ), ellisse (per ), insieme vuoto, punto); 2) se , allora - curva tipo iperbolico (iperbole, una coppia di linee intersecanti); 3) se , allora - curva tipo parabolico(parabola, insieme vuoto, retta, coppia di rette parallele). Si chiamano cerchio, ellisse, iperbole e parabola curve non degenerate del secondo ordine.

L'equazione generale , dove , che definisce una curva non degenerata (cerchio, ellisse, iperbole, parabola), può sempre (usando il metodo di selezione dei quadrati interi) essere ridotta a un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1a) - equazione del cerchio centrata in un punto e raggio (Fig. 5).

1b)- l'equazione di un'ellisse centrata in un punto e assi di simmetria paralleli agli assi coordinati. I numeri e - vengono chiamati semiassi di un'ellisse il rettangolo principale dell'ellisse; i vertici dell'ellisse .

Per costruire un'ellisse nel sistema di coordinate: 1) segnare il centro dell'ellisse; 2) tracciamo attraverso il centro con una linea tratteggiata l'asse di simmetria dell'ellisse; 3) costruiamo il rettangolo principale di un'ellisse con una linea tratteggiata con centro e lati paralleli agli assi di simmetria; 4) disegniamo un'ellisse con una linea continua, inscrivendola nel rettangolo principale in modo che l'ellisse tocchi i suoi lati solo ai vertici dell'ellisse (Fig. 6).

Allo stesso modo, viene costruito un cerchio, il cui rettangolo principale ha i lati (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - equazioni di iperboli (chiamate coniugare) centrato in un punto e assi di simmetria paralleli agli assi delle coordinate. I numeri e - vengono chiamati semiassi delle iperboli ; un rettangolo con i lati paralleli agli assi di simmetria e centrato in un punto - il rettangolo principale delle iperboli; punti di intersezione del rettangolo principale con gli assi di simmetria - vertici di iperboli; rettepassanti per vertici opposti del rettangolo principale - asintoti delle iperboli .

Per costruire un'iperbole nel sistema di coordinate: 1) segnare il centro dell'iperbole; 2) tracciamo attraverso il centro con una linea tratteggiata l'asse di simmetria dell'iperbole; 3) costruiamo il rettangolo principale di un'iperbole con una linea tratteggiata con centro e lati e parallela agli assi di simmetria; 4) tracciamo linee rette attraverso i vertici opposti del rettangolo principale con una linea tratteggiata, che sono asintoti dell'iperbole, a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente, a distanza infinita dall'origine delle coordinate, senza incrociarle; 5) rappresentiamo i rami di un'iperbole (Fig. 7) o di un'iperbole (Fig. 8) con una linea continua.

Fig.7 Fig.8

3a)- l'equazione di una parabola con un vertice in un punto e un asse di simmetria parallelo all'asse delle coordinate (Fig. 9).

3b)- l'equazione di una parabola con un vertice in un punto e un asse di simmetria parallelo all'asse delle coordinate (Fig. 10).

Per costruire una parabola nel sistema di coordinate: 1) segnare la parte superiore della parabola; 2) tracciamo attraverso il vertice con una linea tratteggiata l'asse di simmetria della parabola; 3) rappresentiamo una parabola con una linea continua, dirigendo il suo ramo, tenendo conto del segno del parametro della parabola: a - nella direzione positiva dell'asse delle coordinate parallelo all'asse di simmetria della parabola (Fig. 9a e 10a); at - nel lato negativo dell'asse delle coordinate (Fig. 9b e 10b) .

Riso. 9a Fig. 9b

Riso. 10a Fig. 10 ter

Argomento 7. Imposta. Insiemi numerici. Funzione.

Imposta chiamata sottoinsieme set se tutti gli elementi dell'insieme appartengono all'insieme e scrivi . Imposta e chiama pari , se sono costituiti dagli stessi elementi e scrivi . Due set e saranno uguali se e solo se e .

Imposta chiamata universale (nell'ambito di questa teoria matematica) , se i suoi elementi sono tutti oggetti considerati in questa teoria.

Associazione

traversata insiemi ed è chiamato insieme

differenza insiemi ed è chiamato insieme

Supplemento insiemi (fino a un insieme universale) è chiamato insieme.

Il concetto di cardinalità di un insieme nasce quando gli insiemi vengono confrontati per il numero di elementi che contengono. La cardinalità dell'insieme è indicata da . La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi.

Gli insiemi equivalenti hanno la stessa cardinalità. L'insieme viene chiamato non numerabile se la sua cardinalità è maggiore della cardinalità dell'insieme.

Valido (vero) numero è chiamata frazione decimale infinita, presa con il segno "+" o "". I numeri reali sono identificati con punti sulla linea dei numeri. modulo (valore assoluto) di un numero reale è un numero non negativo:

L'insieme viene chiamato numerico se i suoi elementi sono numeri reali Numerico ad intervalli gli insiemi di numeri sono chiamati: , , , , , , , , .

La funzione viene chiamata monotonicamente crescente (calante ) sul set se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore (minore) della funzione.

La funzione viene chiamata limitato sull'insieme, se esiste un numero tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Altrimenti, la funzione è illimitato .

Inversione funzionare , , viene chiamata tale funzione , che è definita sull'insieme e su ciascuno

Abbinamenti tali che . Per trovare la funzione inversa alla funzione , devi risolvere l'equazione relativamente. Se la funzione , è strettamente monotono su , quindi ha sempre un inverso e se la funzione aumenta (diminuisce), aumenta anche la funzione inversa (diminuisce).

Se viene fornito il grafico della funzione, la costruzione del grafico della funzione si riduce ad una serie di trasformazioni (spostamento, compressione o allungamento, visualizzazione) del grafico:

1) 2) la trasformazione visualizza il grafico simmetricamente rispetto all'asse; 3) la trasformazione sposta il grafico lungo l'asse di unità ( - a destra, - a sinistra); 4) la trasformazione sposta il grafico lungo l'asse di unità ( - su, - giù); 5) il grafico di trasformazione lungo l'asse si allunga in tempi, se o si comprime in tempi, se ; 6) trasformando il grafico lungo l'asse si comprime di un fattore if o si allunga di un fattore if .

La sequenza di trasformazioni durante il tracciamento di un grafico di funzione può essere rappresentata simbolicamente come:

Nota. Quando si esegue una trasformazione, tenere presente che la quantità di spostamento lungo l'asse è determinata dalla costante aggiunta direttamente all'argomento e non all'argomento.

Il grafico della funzione è una parabola con vertice in , i cui rami sono diretti verso l'alto se o verso il basso se . Il grafico di una funzione lineare-frazionaria è un'iperbole centrata nel punto , i cui asintoti passano per il centro, parallelamente agli assi delle coordinate. , soddisfacendo la condizione. chiamato.

Considera il prodotto dei vettori , e , così composto:
. Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e il loro risultato viene moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Tale prodotto è chiamato vettore scalare, o prodotto misto, di tre vettori. Il prodotto misto è un certo numero.

Scopriamo il significato geometrico dell'espressione
.

Teorema . Il prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, preso con segno più se questi vettori formano una tripla destra, e con segno meno se formano una tripla sinistra.

Prova.. Costruiamo un parallelepipedo i cui bordi sono i vettori , , e vettore
.

Abbiamo:
,
, dove - area del parallelogramma costruita su vettori e ,
per la tripla destra di vettori e
per la sinistra, dove
è l'altezza del parallelepipedo. Noi abbiamo:
, cioè.
, dove - il volume del parallelepipedo formato dai vettori , e .

Proprietà miste del prodotto

1. Il prodotto misto non cambia quando ciclico permutazione dei suoi fattori, cioè .

Infatti, in questo caso, né il volume del parallelepipedo né l'orientamento dei suoi bordi cambiano.

2. Il prodotto misto non cambia quando i segni della moltiplicazione vettoriale e scalare sono invertiti, cioè
.

Veramente,
e
. Prendiamo lo stesso segno sul lato destro di queste uguaglianze, poiché le triple dei vettori , , e , , - un orientamento.

Di conseguenza,
. Questo ci permette di scrivere il prodotto misto dei vettori
come
senza segni di vettore, moltiplicazione scalare.

3. Il segno di cambiamento del prodotto misto quando due vettori fattoriali qualsiasi cambiano di posto, ad es.
,
,
.

In effetti, tale permutazione equivale a una permutazione dei fattori nel prodotto vettoriale, che cambia il segno del prodotto.

4. Prodotto misto di vettori diversi da zero , e è zero se e solo se sono complanari.

2.12. Calcolo del prodotto misto in forma di coordinate su base ortonormale

Passiamo ai vettori
,
,
. Troviamo il loro prodotto misto usando espressioni in coordinate per prodotti vettoriali e scalari:

. (10)

La formula risultante può essere scritta più breve:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (10) è l'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della terza riga.

Quindi, il prodotto misto dei vettori è uguale al determinante del terzo ordine, composto dalle coordinate dei vettori moltiplicati.

2.13 Alcune applicazioni del prodotto misto

Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori nello spazio

Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori , e sulla base delle seguenti considerazioni. Se una
, poi , , - tre giuste Se
, poi , , - tre a sinistra.

Condizione di complanarità per i vettori

vettori , e sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è zero (
,
,
):

vettori , , Complanare.

Determinazione dei volumi di un parallelepipedo e di una piramide triangolare

È facile dimostrare che il volume di un parallelepipedo è costruito su vettori , e è calcolato come
, e il volume della piramide triangolare costruita sugli stessi vettori è uguale a
.

Esempio 1 Dimostra che i vettori
,
,
Complanare.

Soluzione. Troviamo il prodotto misto di questi vettori usando la formula:

Ciò significa che i vettori
Complanare.

Esempio 2 Dati i vertici di un tetraedro: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Trova la lunghezza della sua altezza caduta dal vertice .

Soluzione. Troviamo prima il volume del tetraedro
. Secondo la formula otteniamo:

Poiché il determinante è un numero negativo, in questo caso è necessario prendere un segno meno prima della formula. Di conseguenza,
.

Il valore desiderato h determinare dalla formula
, dove S - area di base. Determiniamo la zona S:

dove

Perché il

Sostituendo nella formula
i valori
e
, noi abbiamo h= 3.

Esempio 3 Si formano i vettori
base nello spazio? Decomponi il vettore
sulla base di vettori.

Soluzione. Se i vettori formano una base nello spazio, allora non giacciono sullo stesso piano, cioè sono non complanari. Trova il prodotto misto dei vettori
:
,

Pertanto, i vettori non sono complanari e formano una base nello spazio. Se i vettori formano una base nello spazio, allora qualsiasi vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori di base, vale a dire
,dove
coordinate vettoriali in base vettoriale
. Troviamo queste coordinate compilando e risolvendo il sistema di equazioni