Operasi aljabar pada peristiwa menentukan aturan untuk tindakan dengan peristiwa dan memungkinkan seseorang untuk menyatakan satu peristiwa dalam hal yang lain. Operasi pada kejadian hanya berlaku untuk kejadian yang merepresentasikan himpunan bagian dari ruang yang sama dari kejadian elementer.
Tindakan acara dapat divisualisasikan menggunakan diagram Venn. Dalam diagram, peristiwa sesuai dengan area berbeda di bidang, yang secara kondisional menunjukkan himpunan bagian dari peristiwa dasar yang menyusun peristiwa. Jadi, dalam diagram Gambar 1.1, ruang peristiwa elementer berhubungan dengan titik dalam bujur sangkar, peristiwa A _ titik dalam lingkaran, peristiwa B _ titik dalam segitiga. Fakta bahwa kejadian A dan B adalah himpunan bagian dari ruang kejadian elementer (A, B) ditunjukkan dalam diagram pada Gambar 1.1a,b.
Jumlah (penyatuan) kejadian A dan B adalah kejadian C=A+B (atau C=AB), yang terdiri dari fakta bahwa setidaknya salah satu kejadian A atau B akan terjadi. peristiwa yang dimiliki oleh setidaknya satu dari peristiwa A atau B, atau kedua peristiwa. Pada diagram (Gbr. 1.2.), kejadian C bersesuaian dengan luasan yang diarsir C, yang merepresentasikan gabungan dari luasan A dan B. Demikian pula, jumlah dari beberapa kejadian A 1, A 2, ..., A n adalah peristiwa C, yang terdiri dari fakta bahwa setidaknya satu peristiwa akan terjadi Dan i , i=:
Jumlah kejadian menyatukan semua kejadian elementer yang membentuk А i , i=. Jika kejadian E 1 , E 2 ,…, E n membentuk grup yang lengkap, maka jumlahnya sama dengan kejadian yang dapat diandalkan:
Jumlah kejadian dasar sama dengan kejadian yang dapat diandalkan
Perkalian (persimpangan) peristiwa A dan B adalah peristiwa C=AB (atau C=AB), yang terdiri dari pemunculan gabungan peristiwa A dan B. Peristiwa C terdiri dari peristiwa elementer yang dimiliki oleh A dan B. Gambar 1.3.a kejadian C direpresentasikan dengan perpotongan bidang A dan B. Jika A dan B adalah kejadian yang tidak cocok, maka perkaliannya adalah kejadian yang mustahil, yaitu AB = (Gambar 1.3.b).
Hasil kali kejadian A 1 , A 2 , ..., A n adalah kejadian C, terdiri dari eksekusi serentak semua kejadian A i , i=:
Produk dari peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan А 1 , А 2 ,…, А n - peristiwa yang tidak mungkin: А i А j =, untuk sembarang ij. Produk peristiwa yang membentuk grup lengkap adalah peristiwa mustahil: Е i Е j =, ij, hasil kali peristiwa elementer juga merupakan peristiwa mustahil: ij =, ij.
Perbedaan antara kejadian A dan B adalah kejadian C=A_B (C=AB), yang terdiri dari fakta bahwa kejadian A terjadi dan kejadian B tidak terjadi.Kejadian C terdiri dari kejadian elementer yang termasuk dalam A dan tidak termasuk ke B. Diagram perbedaan peristiwa yang ditunjukkan pada gambar. 1.4. Diagram menunjukkan bahwa C=A_B=
Kebalikan dari kejadian A (atau pelengkapnya) adalah kejadian yang terdiri dari kenyataan bahwa kejadian A tidak terjadi. Peristiwa kebalikan melengkapi peristiwa A menjadi kelompok lengkap dan terdiri dari peristiwa-peristiwa elementer yang termasuk dalam ruang dan tidak termasuk dalam peristiwa A (Gbr. 1.5). Jadi, perbedaan antara peristiwa tertentu dan peristiwa A: =_A.
Properti operasi pada peristiwa.
Properti perpindahan: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Sifat asosiatif: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Properti distribusi: A(B+C)=AB+AC.
Dari definisi operasi pada peristiwa ikuti sifat-sifatnya
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A·=A; A =
Dari definisi peristiwa kebalikannya, berikut ini
A+=; A=; =A; =; =; ;
Dari diagram pada Gambar 1.4, sifat-sifat perbedaan peristiwa bersama terlihat jelas:
Jika A dan B kejadian bersama, maka
Sifat-sifat acara bersama juga jelas.
Peristiwa yang berlawanan memiliki sifat yang kadang-kadang disebut aturan de Morgan atau prinsip dualitas: operasi penyatuan dan persimpangan dibalik ketika beralih ke peristiwa yang berlawanan.
Pembuktian prinsip dualitas dapat diperoleh secara grafis menggunakan diagram Venn atau secara analitik dengan menerapkan sifat 1-6
Perlu dicatat bahwa tindakan yang mirip dengan tindakan "reduksi suku serupa" dan eksponensial dalam aljabar angka tidak diperbolehkan selama operasi dengan peristiwa.
Misalnya, untuk operasi dengan kejadian, tindakan yang benar adalah:
Penerapan tindakan yang salah dengan analogi dengan tindakan aljabar: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A mengarah ke hasil yang salah (periksa dengan diagram Venn!).
Contoh 1.11. Buktikan Identitas
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
b) AC_B=AC_BC
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Contoh 1.12. Hadiah diundi antara dua finalis program pertunjukan. Pengundian dilakukan secara bergiliran hingga percobaan pertama yang berhasil, jumlah percobaan untuk setiap peserta dibatasi hingga tiga. Finalis pertama mulai lebih dulu. Acara berikut dipertimbangkan: A=(hadiah dimenangkan oleh finalis pertama); B = (hadiah dimenangkan oleh finalis kedua). 1) Tambahkan acara ini ke grup yang lengkap dan buat acara yang andal untuk itu. 2) Menyusun kelompok lengkap peristiwa dasar. 3) Ekspresikan peristiwa kelompok lengkap pertama dalam istilah dasar. 4) Buat grup acara lengkap lainnya dan rekam acara yang dapat diandalkan melaluinya.
1) Pertandingan A dan B adalah pertandingan non-gabungan, hingga grup penuh mereka dilengkapi dengan acara non-gabungan C=(tidak ada yang memenangkan hadiah). Acara tertentu = (baik finalis pertama, atau finalis kedua, atau tidak ada yang memenangkan hadiah) sama dengan: = A + B + C.
2) Mari perkenalkan peristiwa yang menggambarkan hasil dari setiap percobaan untuk setiap pemain dan tidak bergantung pada kondisi kompetisi: А i =(finalis pertama berhasil menyelesaikan percobaan ke-i), В i =(finalis kedua berhasil menyelesaikan percobaan ke-i) usaha ke-i), . Acara-acara ini tidak memperhitungkan kondisi kompetisi, oleh karena itu tidak mendasar dalam kaitannya dengan fakta memenangkan hadiah. Tetapi melalui acara ini, dengan menggunakan operasi pada acara, Anda dapat menyusun grup lengkap acara dasar yang mempertimbangkan kondisi untuk menang pada upaya pertama yang berhasil: 1 = (finalis pertama memenangkan hadiah pada upaya pertama), 2 = (finalis kedua memenangkan hadiah pada percobaan pertama), 3 =(finalis pertama memenangkan hadiah pada percobaan kedua), 4 =(finalis kedua memenangkan hadiah pada percobaan kedua), 5 =(finalis pertama memenangkan hadiah pada percobaan ketiga), 6 =(finalis kedua memenangkan hadiah pada percobaan ketiga), 7 =( kedua finalis gagal memenangkan hadiah dalam tiga percobaan). Sesuai ketentuan lomba
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Grup lengkap acara dasar: =( 1 ,…, 7 )
3) Kejadian A dan B dinyatakan melalui kejadian elementer dengan menggunakan operasi penjumlahan, C berimpit dengan kejadian elementer:
4) Kelompok acara lengkap juga merupakan acara
Acara yang relevan adalah:
=(finalis pertama akan memenangkan hadiah atau tidak)=;
=(Finalis kedua akan memenangkan hadiah atau tidak)=;
=(hadiah atau tidak menang, atau menang)=.
Jenis kejadian acak
Acara disebut tidak kompatibel jika terjadinya salah satunya tidak termasuk terjadinya peristiwa lain dalam persidangan yang sama.
Contoh 1.10. Bagian diambil secara acak dari kotak bagian. Munculnya bagian standar tidak termasuk tampilan bagian non-standar. Acara (bagian standar muncul) dan (bagian non-standar muncul)- tidak kompatibel .
Contoh 1.11. Sebuah koin dilemparkan. Penampilan "lambang" tidak termasuk penampilan nomor. Acara (lambang muncul) dan (nomor muncul) - tidak kompatibel .
Beberapa acara terbentuk kelompok penuh, jika setidaknya salah satu dari mereka muncul sebagai hasil pengujian. Dengan kata lain, terjadinya setidaknya satu dari peristiwa kelompok penuh adalah dapat diandalkan peristiwa. Secara khusus, jika peristiwa yang membentuk grup lengkap tidak kompatibel berpasangan, maka satu dan hanya satu dari peristiwa ini yang akan muncul sebagai hasil pengujian. Kasus khusus ini sangat menarik bagi kami, karena akan digunakan di bawah ini.
Contoh 1.12. Membeli dua tiket lotre uang dan pakaian. Satu dan hanya satu dari peristiwa berikut yang akan terjadi: (kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua), (kemenangan tidak jatuh pada tiket pertama dan jatuh pada tiket kedua), (kemenangan jatuh di kedua tiket), (kemenangan tidak menang di kedua tiket). jatuh). Peristiwa ini terbentuk kelompok penuh peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel.
Contoh 1.13. Penembak menembak ke sasaran. Salah satu dari dua peristiwa berikut pasti terjadi: hit atau miss. Dua peristiwa yang tidak kompatibel ini terbentuk kelompok penuh .
Acara disebut sama mungkin jika ada alasan untuk mempercayainya tidak satupun dari mereka tidak lebih mungkin dari yang lain.
3. Operasi pada peristiwa: penjumlahan (gabungan), produk (persimpangan), dan selisih peristiwa; diagram vienne.
Operasi pada acara
Peristiwa dilambangkan dengan huruf kapital di awal alfabet Latin A, B, C, D, ..., dengan indeks jika perlu. Fakta bahwa hasil elemental X terkandung dalam kejadian A, dinotasikan .
Untuk pemahaman, akan lebih mudah menggunakan interpretasi geometris dengan bantuan diagram Wina: mari kita gambarkan ruang peristiwa elementer Ω sebagai bujur sangkar, yang setiap titiknya sesuai dengan peristiwa elementer. Kejadian acak A dan B, terdiri dari sekumpulan kejadian elementer x saya Dan di j, masing-masing, digambarkan secara geometris sebagai beberapa figur yang terletak di alun-alun Ω (Gbr. 1-a, 1-b).
Biarkan percobaan terdiri dari fakta bahwa di dalam kotak yang ditunjukkan pada Gambar 1-a, sebuah titik dipilih secara acak. Mari kita tunjukkan dengan A peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa (titik yang dipilih terletak di dalam lingkaran kiri) (Gbr. 1-a), melalui B - peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa (titik yang dipilih terletak di dalam lingkaran kanan) (Gbr. 1-b ).
Suatu peristiwa yang andal disukai oleh sembarang , oleh karena itu peristiwa yang andal akan dilambangkan dengan simbol yang sama Ω.
Dua kejadiannya identik satu sama lain (A=B) jika dan hanya jika kejadian ini terdiri dari kejadian elementer (titik) yang sama.
Jumlah (atau gabungan) dari dua peristiwa A dan B disebut peristiwa A + B (atau ), yang terjadi jika dan hanya jika terjadi A atau B. Jumlah peristiwa A dan B sesuai dengan penyatuan himpunan A dan B (Gbr. 1-e).
Contoh 1.15. Peristiwa hilangnya bilangan genap adalah jumlah kejadian: 2 rontok, 4 rontok, 6 rontok. Yaitu, (x \u003d bahkan }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
Produk (atau persimpangan) dari dua peristiwa A dan B disebut peristiwa AB (atau ), yang terjadi jika dan hanya jika keduanya terjadi A dan B. Produk dari peristiwa A dan B sesuai dengan perpotongan himpunan A dan B (Gbr. 1-e).
Contoh 1.16. Acara yang terdiri dari gulungan 5 adalah persimpangan dari acara: angka ganjil yang diputar dan lebih dari 3 gulungan, yaitu, A(x=5)=B(x-ganjil)∙C(x>3).
Mari kita perhatikan hubungan yang jelas:
Acara ini disebut di depan ke A jika terjadi jika dan hanya jika A tidak terjadi. Secara geometris, ini adalah himpunan titik-titik persegi yang tidak termasuk dalam himpunan bagian A (Gbr. 1-c). Suatu peristiwa didefinisikan dengan cara yang sama (Gbr. 1-d).
Contoh 1.14.. Peristiwa yang terdiri dari hilangnya angka genap dan ganjil adalah peristiwa yang berlawanan.
Mari kita perhatikan hubungan yang jelas:
Kedua peristiwa itu disebut tidak kompatibel jika penampilan simultan mereka dalam percobaan tidak mungkin. Oleh karena itu, jika A dan B tidak kompatibel, maka perkaliannya merupakan kejadian yang mustahil:
Peristiwa elementer yang diperkenalkan sebelumnya jelas tidak kompatibel berpasangan, yaitu,
Contoh 1.17. Peristiwa yang terdiri dari hilangnya angka genap dan ganjil adalah peristiwa yang tidak kompatibel.
Peristiwa Tertentu dan Mustahil
kredibel Suatu peristiwa disebut peristiwa yang pasti akan terjadi jika seperangkat kondisi tertentu terpenuhi.
Mustahil Suatu peristiwa disebut peristiwa yang pasti tidak akan terjadi jika seperangkat kondisi tertentu terpenuhi.
Suatu kejadian yang bertepatan dengan himpunan kosong disebut mustahil peristiwa, dan peristiwa yang bertepatan dengan seluruh himpunan disebut dapat diandalkan peristiwa.
Acara disebut sama mungkin jika tidak ada alasan untuk percaya bahwa satu peristiwa lebih mungkin daripada yang lain.
Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari pola kejadian acak. Salah satu masalah utama dalam teori probabilitas adalah masalah menentukan ukuran kuantitatif dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
ALJABAR ACARA
Operasi pada peristiwa (jumlah, perbedaan, produk)
Setiap percobaan dikaitkan dengan sejumlah peristiwa yang menarik bagi kami, yang secara umum dapat muncul secara bersamaan. Misalnya, saat melempar dadu (yaitu, dadu dengan poin 1, 2, 3, 4, 5, 6 di wajahnya), kejadiannya adalah deuce, dan kejadiannya adalah poin genap. Jelas, peristiwa ini tidak saling eksklusif.
Biarkan semua hasil tes yang mungkin dilakukan dalam sejumlah kasus khusus yang mungkin, saling eksklusif satu sama lain. Kemudian:
- setiap hasil tes diwakili oleh satu dan hanya satu peristiwa dasar;
- · peristiwa apa pun yang terkait dengan tes ini adalah sekumpulan peristiwa dasar yang jumlahnya terbatas atau tidak terbatas;
- · Suatu peristiwa terjadi jika dan hanya jika salah satu peristiwa elementer yang termasuk dalam himpunan ini diwujudkan.
Dengan kata lain, ruang kejadian dasar yang sewenang-wenang tetapi tetap diberikan, yang dapat direpresentasikan sebagai area tertentu di bidang. Dalam hal ini, kejadian dasar adalah titik-titik dari bidang yang terletak di dalamnya. Karena suatu peristiwa diidentifikasi dengan suatu himpunan, semua operasi yang dapat dilakukan pada himpunan dapat dilakukan pada peristiwa. Artinya, dengan analogi dengan teori himpunan, seseorang membangun aljabar peristiwa. Secara khusus, operasi berikut dan hubungan antara peristiwa didefinisikan:
 (relasi penyertaan himpunan: himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan) - peristiwa A memerlukan peristiwa B. Dengan kata lain, peristiwa B terjadi setiap kali peristiwa A terjadi. (atur relasi ekivalensi) - suatu peristiwa identik atau setara dengan suatu peristiwa. Hal ini dimungkinkan jika dan hanya jika dan secara bersamaan, yaitu. masing-masing terjadi setiap kali yang lain terjadi.  () - jumlah peristiwa. Ini adalah peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa setidaknya satu dari dua peristiwa atau (tidak termasuk logika "atau") telah terjadi. Dalam kasus umum, jumlah dari beberapa peristiwa dipahami sebagai suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari peristiwa ini. |
 () - produk acara. Ini adalah peristiwa yang terdiri dari implementasi bersama peristiwa dan (logis "dan"). Dalam kasus umum, produk dari beberapa peristiwa dipahami sebagai suatu peristiwa yang terdiri dari implementasi simultan dari semua peristiwa tersebut. Dengan demikian, peristiwa dan tidak kompatibel jika produknya merupakan peristiwa yang mustahil, yaitu. . |
|
(himpunan elemen milik tetapi bukan milik) - perbedaan peristiwa. Ini adalah acara yang terdiri dari pilihan yang termasuk dalam tetapi tidak termasuk dalam. Itu terletak pada kenyataan bahwa suatu peristiwa terjadi, tetapi suatu peristiwa tidak terjadi. |
 Kebalikan (tambahan) untuk suatu peristiwa (dilambangkan) adalah peristiwa yang terdiri dari semua hasil yang tidak termasuk di dalamnya.  Dua peristiwa dikatakan berlawanan jika terjadinya salah satu dari mereka setara dengan tidak terjadinya yang lain. Suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian terjadi jika dan hanya jika kejadian tersebut tidak terjadi. Dengan kata lain, terjadinya suatu peristiwa berarti bahwa peristiwa itu belum terjadi. |
|
Perbedaan simetris dari dua peristiwa dan (dilambangkan) disebut peristiwa yang terdiri dari hasil yang termasuk dalam atau, tetapi tidak termasuk dalam dan pada saat yang sama. Arti dari peristiwa adalah satu dan hanya satu peristiwa atau terjadi. Perbedaan simetris dilambangkan: atau. |
Jumlah semua probabilitas kejadian dalam ruang sampel adalah 1. Misalnya, jika percobaannya adalah pelemparan koin dengan Kejadian A = "kepala" dan Kejadian B = "ekor", maka A dan B mewakili seluruh ruang sampel. Cara, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Contoh.Dalam contoh yang diusulkan sebelumnya untuk menghitung probabilitas mengeluarkan pulpen merah dari saku jubah mandi (ini adalah kejadian A), di mana terdapat dua pulpen biru dan satu pulpen merah, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, kemungkinan kejadian sebaliknya - mengeluarkan pena biru - akan terjadi
Sebelum beralih ke teorema utama, kami memperkenalkan dua konsep yang lebih kompleks - penjumlahan dan hasil kali peristiwa. Konsep-konsep ini berbeda dengan konsep penjumlahan dan perkalian biasa dalam aritmatika. Penjumlahan dan perkalian dalam teori probabilitas adalah operasi simbolik yang tunduk pada aturan tertentu dan memfasilitasi konstruksi logis dari kesimpulan ilmiah.
jumlah dari beberapa peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu di antaranya. Artinya, jumlah dari dua kejadian A dan B disebut kejadian C, yang terdiri dari kemunculan kejadian A, atau kejadian B, atau kejadian A dan B secara bersamaan.
Misalnya, jika penumpang sedang menunggu di halte trem untuk salah satu dari dua rute, maka peristiwa yang dia butuhkan adalah munculnya trem dari rute pertama (acara A), atau trem dari rute kedua (acara B) , atau penampilan bersama trem dari rute pertama dan kedua (acara DENGAN). Dalam bahasa teori probabilitas, ini berarti bahwa peristiwa D yang diperlukan penumpang terdiri dari kemunculan peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa C, yang secara simbolis ditulis sebagai:
D=A+B+C
Produk dari dua peristiwaA Dan DI DALAM adalah peristiwa yang terdiri dari kejadian bersama A Dan DI DALAM. Produk dari beberapa acara kejadian bersama dari semua peristiwa ini disebut.
Pada contoh penumpang di atas, event DENGAN(penampilan bersama trem dari dua rute) adalah produk dari dua peristiwa A Dan DI DALAM, yang secara simbolis ditulis sebagai berikut:
Asumsikan bahwa dua dokter secara terpisah memeriksa seorang pasien untuk mengidentifikasi penyakit tertentu. Selama inspeksi, peristiwa berikut dapat terjadi:
Deteksi penyakit oleh dokter pertama ( A);
Kegagalan mendeteksi penyakit oleh dokter pertama ();
Deteksi penyakit oleh dokter kedua ( DI DALAM);
Penyakit tidak terdeteksi oleh dokter kedua ().
Pertimbangkan kejadian penyakit terdeteksi tepat satu kali selama pemeriksaan. Acara ini dapat dilaksanakan dengan dua cara:
Penyakit ini terdeteksi oleh dokter pertama ( A) dan tidak akan menemukan yang kedua ();
Penyakit tidak akan terdeteksi oleh dokter pertama () dan akan terdeteksi oleh dokter kedua ( B).
Mari kita tunjukkan peristiwa yang sedang dipertimbangkan dan tuliskan secara simbolis:
Pertimbangkan kejadian penyakit yang ditemukan dalam proses pemeriksaan dua kali (baik oleh dokter pertama maupun kedua). Mari kita nyatakan acara ini dengan dan tulis: .
Peristiwa, yang terdiri dari fakta bahwa baik dokter pertama maupun kedua tidak mendeteksi penyakit tersebut, akan dilambangkan dengan dan kami akan menulis: .
Aturan penambahan- jika elemen A dapat dipilih dengan n cara, dan elemen B dapat dipilih dengan m cara, maka A atau B dapat dipilih dengan n + m cara.
^ aturan perkalian - jika elemen A dapat dipilih dengan n cara, dan untuk sembarang pilihan A, elemen B dapat dipilih dengan m cara, maka pasangan (A, B) dapat dipilih dengan n m cara.
Permutasi. Permutasi suatu himpunan unsur adalah susunan unsur-unsur dalam urutan tertentu. Jadi, semua permutasi yang berbeda dari satu set tiga elemen adalah
Jumlah semua permutasi elemen dilambangkan dengan . Oleh karena itu, jumlah semua permutasi yang berbeda dihitung dengan rumus
Akomodasi. Jumlah penempatan satu set elemen dengan elemen sama dengan
^ Penempatan dengan pengulangan. Jika ada sekumpulan n tipe elemen, dan Anda perlu menempatkan elemen dari beberapa tipe di setiap m tempat (tipe elemen dapat cocok di tempat yang berbeda), maka jumlah opsi untuk ini adalah n m .
^ Kombinasi. Definisi. Kombinasi dari berbagai unsur menurutelemen disebut kombinasi yang terdiri dari data elemen oleh elemen dan berbeda setidaknya satu elemen (dengan kata lain,-elemen himpunan bagian dari himpunan yang diberikan dari elemen). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=LEBAR BAWAH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
Ruang peristiwa dasar. Acara acak. Acara yang dapat diandalkan. Peristiwa yang mustahil.
kejadian acak - setiap subhimpunan dari ruang peristiwa elementer.
^ Acara yang kredibel - pasti akan terjadi sebagai hasil percobaan.
Peristiwa yang tidak mungkin - tidak akan terjadi akibat percobaan.
Tindakan pada peristiwa: jumlah, produk, dan perbedaan peristiwa. peristiwa berlawanan. Acara bersama dan non-bersama. Kumpulan acara lengkap.
^ Acara yang tidak kompatibel - jika mereka tidak dapat terjadi secara bersamaan sebagai hasil percobaan. Dikatakan bahwa beberapa peristiwa terpisah terbentuk rangkaian acara lengkap, jika salah satunya muncul sebagai hasil percobaan.
Jika kejadian pertama terdiri dari semua hasil elementer, kecuali yang termasuk dalam kejadian kedua, maka kejadian tersebut disebut di depan.
Jumlah dua kejadian A dan B adalah suatu peristiwa yang terdiri dari peristiwa-peristiwa elementer yang termasuk dalam setidaknya satu peristiwa A atau B. ^ Hasil kali dua kejadian A dan B suatu peristiwa yang terdiri dari peristiwa-peristiwa elementer yang dimiliki secara bersamaan oleh A dan B. Perbedaan antara A dan B adalah kejadian yang terdiri dari unsur-unsur A yang tidak termasuk dalam kejadian B.
Definisi probabilitas klasik, statistik, dan geometris. Properti dasar probabilitas peristiwa.
, g – bagian dari gambar G. ^ Sifat dasar probabilitas: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Peluang kejadian tertentu adalah 1, 3) Peluang kejadian yang mustahil adalah 0.
Teorema penambahan probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel dan konsekuensi darinya.
Probabilitas Bersyarat. acara mandiri. Mengalikan probabilitas kejadian bergantung dan bebas.
^ Perkalian Probabilitas: Untuk pecandu. Dalil. P (A ∙ B) \u003d P (A) ∙ P A (B). Komentar. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Konsekuensi. P (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P (A 1) ∙ P A1 (A 2) ∙ ... ∙ P A1-Ak-1 (A k). Untuk independen. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Tteorema untuk menambahkan probabilitas kejadian bersama. Dalil . Probabilitas terjadinya setidaknya satu dari dua peristiwa bersama sama dengan jumlah probabilitas dari peristiwa-peristiwa ini tanpa probabilitas terjadinya bersama mereka
Rumus Probabilitas Total. formula Bayes.
H 1, H 2 ... H n - membentuk grup lengkap - hipotesis.
Kejadian A hanya dapat terjadi jika H 1, H 2 ... H n muncul,
Kemudian P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
^ Rumus Bayes
Misalkan H 1, H 2 ... H n adalah hipotesis, peristiwa A dapat terjadi di bawah salah satu hipotesis
P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
Asumsikan bahwa peristiwa A telah terjadi.
Bagaimana probabilitas H 1 berubah karena fakta bahwa A telah terjadi? Itu. RA (H 1)
R (A * H 1) \u003d R (A) * RA (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => RA (H 1) \u003d (P (H 1) * R n1 ( A))/ P(A)
H 2 , H 3 ... H n didefinisikan dengan cara yang sama
Bentuk umum:
Р А (Н i)= (Р (Н i)* Р n i (А))/ Р (А) , di mana i=1,2,3…n.
Rumus memungkinkan Anda untuk melebih-lebihkan probabilitas hipotesis sebagai hasil dari bagaimana hasil tes diketahui, sebagai akibatnya peristiwa A muncul.
"Sebelum" tes - probabilitas apriori - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)
"Setelah" tes - probabilitas a posteriori - RA (H 1), RA (H 2) ... RA (H n)
Probabilitas posterior, seperti probabilitas sebelumnya, berjumlah 1.
9. Rumus Bernoulli dan Poisson.
rumus Bernoulli
Misalkan ada n percobaan, di mana masing-masing peristiwa A mungkin terjadi atau tidak. Jika probabilitas kejadian A dalam setiap percobaan ini adalah konstan, maka percobaan ini bebas terhadap A.
Pertimbangkan n percobaan independen, di mana A dapat terjadi dengan probabilitas p. Urutan tes seperti itu disebut skema Bernoulli.
Teorema: probabilitas bahwa dalam n percobaan peristiwa A akan terjadi tepat m kali sama dengan: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Angka m 0 - terjadinya suatu peristiwa A disebut paling mungkin jika probabilitas yang sesuai P n (m 0) tidak kurang dari P n (m) lainnya
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Untuk menemukan m 0 gunakan:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ rumus Poisson
Pertimbangkan tes Bernoulli:
n adalah jumlah percobaan, p adalah probabilitas keberhasilan
Misalkan p kecil (p→0) dan n besar (n→∞)
rata-rata jumlah kejadian sukses dalam n percobaan
λ=n*p → p= λkita masukkan ke dalam rumus Bernoulli:
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Jika p≤0.1 dan λ=n*p≤10, maka rumus tersebut memberikan hasil yang baik.
10. Teorema lokal dan integral Moivre-Laplace.
Misalkan n adalah jumlah percobaan, p adalah probabilitas keberhasilan, n besar dan cenderung tak terhingga. (n->∞)
^ teorema lokal
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , di mana f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Jika npq≥ 20 - memberikan hasil yang baik, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ integral teorema
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
di mana ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt adalah fungsi Laplace
x 1 \u003d (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2
Properti dari fungsi Laplace
ȹ(x) – fungsi ganjil: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – meningkat secara monoton
nilai ȹ(x) (-0.5;0.5), dan batas x →∞ ȹ(x)=0.5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), di mana z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Nilai acak. Jenis variabel acak. Metode untuk menetapkan variabel acak.
SW adalah fungsi yang didefinisikan pada sekumpulan kejadian elementer.
X,Y,Z adalah NE, dan nilainya adalah x,y,z
Acak mereka menyebut nilai yang, sebagai hasil pengujian, akan mengambil satu dan hanya satu nilai yang mungkin, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada penyebab acak yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya.
SW diskrit, jika himpunan nilainya terbatas atau dihitung (dapat diberi nomor). Dibutuhkan nilai-nilai yang mungkin terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu. Jumlah nilai yang mungkin dari CV diskrit bisa terbatas atau tidak terbatas.
SW kontinu, jika dibutuhkan semua nilai yang mungkin dari beberapa interval (di seluruh sumbu). Nilainya mungkin sedikit berbeda.
^ Hukum distribusi SW diskrit m.b. diberikan:
1.meja
| X | x 1 | x 2 | … | xn |
| P(X) | hal 1 | hal 2 | … | p n |
(rentang distribusi)
X \u003d x 1) tidak kompatibel
p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p i
2.grafis
Poligon distribusi probabilitas
3. analitis
P=P(X)
12. Fungsi distribusi variabel acak. Sifat dasar dari fungsi distribusi.
Fungsi distribusi CV X adalah fungsi F(X) yang menentukan probabilitas bahwa CV X akan mengambil nilai lebih kecil dari x, yaitu
x x = fungsi distribusi kumulatif
SW kontinu memiliki fungsi terdiferensialkan sepotong demi sepotong yang kontinu.