Volume paralelepiped dibangun di atas tiga vektor. Produk vektor dari vektor. Hasil kali campuran vektor. Produk vektor dari vektor kolinear

Pertimbangkan produk dari vektor , Dan , disusun sebagai berikut:
. Di sini dua vektor pertama dikalikan secara vektor, dan hasilnya dikalikan secara skalar dengan vektor ketiga. Produk semacam itu disebut vektor-skalar, atau produk campuran, dari tiga vektor. Produk campuran adalah beberapa nomor.

Mari kita cari tahu arti geometris dari ekspresi tersebut
.

Dalil . Hasil kali campuran tiga vektor sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, diambil dengan tanda plus jika vektor-vektor ini membentuk triple kanan, dan dengan tanda minus jika membentuk triple kiri.

Bukti.. Kami membuat paralelepiped yang ujung-ujungnya adalah vektor , , dan vektor
.

Kita punya:
,
, Di mana - luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor Dan ,
untuk triple kanan vektor dan
untuk kiri, di mana
adalah ketinggian paralelepiped. Kita mendapatkan:
, yaitu
, Di mana - volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor , Dan .

Properti produk campuran

1. Produk campuran tidak berubah waktu berhubung dgn putaran permutasi faktornya, yaitu .

Memang, dalam hal ini, baik volume paralelepiped maupun orientasi tepinya tidak berubah.

2. Hasil kali campuran tidak berubah ketika tanda perkalian vektor dan skalar dibalik, yaitu
.

Benar-benar,
Dan
. Kami mengambil tanda yang sama di sisi kanan persamaan ini, karena vektor tiga kali lipat , , Dan , , - satu orientasi.

Karena itu,
. Ini memungkinkan kita untuk menulis produk campuran vektor
sebagai
tanpa tanda vektor, perkalian skalar.

3. Perkalian campuran berubah tandanya jika ada dua vektor faktor yang berpindah tempat, yaitu
,
,
.

Memang, permutasi seperti itu ekuivalen dengan permutasi faktor-faktor dalam hasil kali vektor, yang mengubah tanda hasil kali.

4. Hasil Campuran Vektor Bukan Nol , Dan nol jika dan hanya jika koplanar.

2.12. Menghitung produk campuran dalam bentuk koordinat secara ortonormal

Biarkan vektor
,
,
. Mari cari perkalian campurannya menggunakan ekspresi dalam koordinat untuk perkalian vektor dan skalar:

. (10)

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih pendek:

karena ruas kanan persamaan (10) adalah perluasan determinan orde ketiga dari unsur-unsur baris ketiga.

Jadi, produk campuran vektor sama dengan determinan urutan ketiga, yang terdiri dari koordinat vektor yang dikalikan.

2.13 Beberapa aplikasi produk campuran

Menentukan orientasi relatif vektor dalam ruang

Menentukan orientasi relatif vektor , Dan berdasarkan pertimbangan berikut ini. Jika
, Itu , , - kanan tiga Jika
, Itu , , - meninggalkan tiga.

Kondisi persamaan untuk vektor

Vektor , Dan koplanar jika dan hanya jika hasil kali campurannya nol (
,
,
):

vektor , , coplanar.

Menentukan volume piramida paralelepiped dan segitiga

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa volume paralelepiped dibangun di atas vektor , Dan dihitung sebagai
, dan volume piramida segitiga yang dibangun di atas vektor yang sama sama dengan
.

Contoh 1 Buktikan bahwa vektor
,
,
coplanar.

Larutan. Mari cari hasil kali campuran dari vektor-vektor ini menggunakan rumus:

Ini berarti bahwa vektor
coplanar.

Contoh 2 Mengingat simpul dari tetrahedron: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Temukan panjang tingginya yang dijatuhkan dari titik puncak .

Larutan. Mari kita cari volume tetrahedron terlebih dahulu
. Menurut rumus yang kita dapatkan:

Karena determinannya adalah bilangan negatif, dalam hal ini, Anda perlu mengambil tanda minus sebelum rumusnya. Karena itu,
.

Nilai yang diinginkan H tentukan dari rumus
, Di mana S - daerah dasar. Mari kita tentukan luasnya S:

Di mana

Karena

Substitusi ke dalam rumus
nilai-nilai
Dan
, kita mendapatkan H= 3.

Contoh 3 Apakah vektor terbentuk
dasar dalam ruang? Dekomposisi Vektor
berdasarkan vektor.

Larutan. Jika vektor membentuk basis dalam ruang, maka vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama, mis. adalah non-coplanar. Temukan produk campuran vektor
:
,

Oleh karena itu, vektor tidak koplanar dan membentuk basis di ruang angkasa. Jika vektor membentuk basis dalam ruang, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis, yaitu
,Di mana
koordinat vektor dalam basis vektor
. Mari temukan koordinat ini dengan menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan

Memecahkannya dengan metode Gauss, kita punya

Dari sini
. Kemudian .

Dengan demikian,
.

Contoh 4 Puncak piramida berada pada titik-titik:
,
,
,
. Menghitung:

a) bidang muka
;

b) volume piramida
;

c) proyeksi vektor
ke arah vektor
;

d) sudut
;

e) periksa vektornya
,
,
coplanar.

Larutan

a) Dari pengertian perkalian silang diketahui bahwa:

Menemukan vektor
Dan
, menggunakan rumus

,
.

Untuk vektor yang ditentukan oleh proyeksinya, produk vektor ditemukan dengan rumus

, Di mana
.

Untuk kasus kami

Kami menemukan panjang vektor yang dihasilkan menggunakan rumus

,
.

kemudian
(unit persegi).

b) Produk campuran dari tiga vektor sama nilainya dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor , , seperti pada tulang rusuk.

Produk campuran dihitung dengan rumus:

Mari kita cari vektornya
,
,
, bertepatan dengan tepi piramida, menyatu ke atas :

Produk campuran dari vektor-vektor ini

Karena volume piramida sama dengan bagian volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor
,
,
, Itu
(satuan kubik).

c) Menggunakan rumus
, yang mendefinisikan produk skalar vektor , , dapat ditulis seperti ini:

Di mana
atau
;

atau
.

Untuk mengetahui proyeksi vektor
ke arah vektor
tentukan koordinat vektornya
,
, lalu menerapkan rumus

kita mendapatkan

d) Untuk mencari sudut
menentukan vektor
,
, memiliki asal yang sama pada titik tersebut :

Kemudian, menurut rumus perkalian skalar

e) Agar tiga vektor

,
,

coplanar, perlu dan cukup bahwa produk campurannya sama dengan nol.

Dalam kasus kami, kami punya
.

Oleh karena itu, vektornya koplanar.

Untuk vektor , dan , diberikan oleh koordinatnya , , produk campuran dihitung dengan rumus: .

Produk campuran digunakan: 1) untuk menghitung volume tetrahedron dan paralelepiped yang dibangun di atas vektor , dan , seperti pada tepinya, menurut rumus: ; 2) sebagai syarat kesamaan vektor , dan : dan adalah coplanar.

Topik 5. Garis dan bidang lurus.

Vektor garis normal , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap garis tertentu disebut. Vektor arah lurus , setiap vektor bukan nol yang sejajar dengan garis tertentu disebut.

Lurus di permukaan

1) - persamaan umum garis lurus, dimana adalah vektor normal dari garis lurus;

2) - persamaan garis lurus yang melewati titik tegak lurus terhadap vektor tertentu ;

3) persamaan kanonik );

5) - persamaan garis dengan kemiringan , di mana titik yang dilalui garis; () - sudut yang dibuat garis dengan sumbu; - panjang ruas (bertanda ) dipotong dengan garis lurus pada sumbu (tanda “ ” jika ruas dipotong pada bagian sumbu positif dan “ ” jika pada bagian negatif).

6) - persamaan garis lurus dalam luka, dimana dan adalah panjang segmen (dengan tanda ) dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat dan (tanda “ ” jika segmen dipotong pada bagian sumbu positif dan “ ” jika pada sumbu negatif ).

Jarak dari titik ke garis , diberikan oleh persamaan umum pada bidang, ditemukan dengan rumus:

Sudut , ( )antara garis lurus dan , diberikan oleh persamaan umum atau persamaan dengan kemiringan, ditemukan dengan salah satu rumus berikut:

Saya untuk .

Saya untuk

Koordinat titik potong garis dan ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linear: atau .

Vektor normal pesawat , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan disebut.

Pesawat dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum bidang, di mana vektor normal bidang;

2) - persamaan bidang yang melewati titik tegak lurus terhadap vektor yang diberikan ;

3) - persamaan bidang yang melewati tiga titik , dan ;

4) - persamaan bidang dalam luka, dimana , dan adalah panjang ruas-ruas (dengan tanda ) dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat , dan (tanda “ ” jika ruas dipotong pada bagian sumbu positif dan “ ” jika pada sumbu negatif ).

Jarak dari titik ke bidang , diberikan oleh persamaan umum , ditemukan dengan rumus:

Sudut ,( )antar pesawat dan , diberikan oleh persamaan umum, ditemukan dengan rumus:

Lurus di ruang hampa dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum garis lurus, sebagai garis perpotongan dua bidang, di mana dan adalah vektor normal bidang dan;

2) - persamaan garis lurus melalui titik yang sejajar dengan vektor tertentu ( persamaan kanonik );

3) - persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu , ;

4) - persamaan garis lurus yang melalui titik yang sejajar dengan vektor tertentu, ( persamaan parametrik );

Sudut , ( ) antara garis lurus Dan di ruang hampa , diberikan oleh persamaan kanonik, ditemukan dengan rumus:

Koordinat titik potong garis , diberikan oleh persamaan parametrik dan pesawat , diberikan oleh persamaan umum, ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linear: .

Sudut , ( ) antara garis , diberikan oleh persamaan kanonik dan pesawat , diberikan oleh persamaan umum ditemukan dengan rumus: .

Topik 6. Kurva orde kedua.

Kurva aljabar orde kedua dalam sistem koordinat disebut kurva, persamaan umum yang terlihat seperti:

di mana angka - tidak sama dengan nol pada saat bersamaan. Ada klasifikasi kurva orde kedua berikut: 1) jika , maka persamaan umum mendefinisikan kurva tipe elips (lingkaran (untuk ), elips (untuk ), himpunan kosong, titik); 2) jika , maka - kurva tipe hiperbola (hiperbola, sepasang garis berpotongan); 3) jika , maka - kurva tipe parabola(parabola, himpunan kosong, garis, pasangan garis sejajar). Lingkaran, elips, hiperbola dan parabola disebut kurva non-degenerasi orde kedua.

Persamaan umum , di mana , yang mendefinisikan kurva non-degenerasi (lingkaran, elips, hiperbola, parabola), selalu dapat (menggunakan metode pemilihan kuadrat penuh) direduksi menjadi persamaan dari salah satu jenis berikut:

1a) - persamaan lingkaran yang berpusat pada suatu titik dan jari-jari (Gbr. 5).

1b)- persamaan elips yang berpusat pada suatu titik dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat. Angka dan - dipanggil semi-sumbu elips persegi panjang utama elips; simpul elips .

Untuk membuat elips dalam sistem koordinat: 1) tandai bagian tengah elips; 2) kita menggambar melalui pusat dengan garis putus-putus sumbu simetri elips; 3) kita membangun persegi panjang utama elips dengan garis putus-putus dengan pusat dan sisi sejajar dengan sumbu simetri; 4) kita menggambar elips dengan garis padat, menuliskannya di persegi panjang utama sehingga elips menyentuh sisinya hanya di simpul elips (Gbr. 6).

Demikian pula, sebuah lingkaran dibangun, persegi panjang utamanya memiliki sisi (Gbr. 5).

Gbr.5 Gbr.6

2) - persamaan hiperbola (disebut mengkonjugasikan) berpusat pada suatu titik dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat. Angka dan - dipanggil semiaxes dari hiperbola ; persegi panjang dengan sisi sejajar dengan sumbu simetri dan berpusat pada titik - persegi panjang utama hiperbola; titik persimpangan persegi panjang utama dengan sumbu simetri - simpul hiperbola; garis lurusmelewati simpul berlawanan dari persegi panjang utama - asimtot hiperbola .

Untuk membangun hiperbola dalam sistem koordinat: 1) tandai bagian tengah hiperbola; 2) kami menggambar melalui pusat dengan garis putus-putus sumbu simetri hiperbola; 3) kami membangun persegi panjang utama hiperbola dengan garis putus-putus dengan pusat dan sisi dan sejajar dengan sumbu simetri; 4) kita menggambar garis lurus melalui simpul yang berlawanan dari persegi panjang utama dengan garis putus-putus, yang merupakan asimtot hiperbola, yang mendekati cabang hiperbola dengan jarak tak terbatas, pada jarak tak terbatas dari asal koordinat, tanpa melintasinya; 5) kami menggambarkan cabang hiperbola (Gbr. 7) atau hiperbola (Gbr. 8) dengan garis padat.

Gbr.7 Gbr.8

3a)- persamaan parabola dengan titik puncak pada suatu titik dan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 9).

3b)- persamaan parabola dengan titik puncak pada suatu titik dan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 10).

Untuk membangun parabola dalam sistem koordinat: 1) tandai bagian atas parabola; 2) kami menggambar melalui titik dengan garis putus-putus sumbu simetri parabola; 3) kami menggambarkan parabola dengan garis padat, mengarahkan cabangnya, dengan mempertimbangkan tanda parameter parabola: di - ke arah positif sumbu koordinat sejajar dengan sumbu simetri parabola (Gbr. 9a dan 10a); di - di sisi negatif sumbu koordinat (Gbr. 9b dan 10b) .

Beras. 9a Gambar. 9b

Beras. 10a Gambar. 10b

Topik 7. Set. Set numerik. Fungsi.

Di bawah banyak memahami sekumpulan objek tertentu dalam bentuk apa pun, dapat dibedakan satu sama lain dan dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan. Objek yang membentuk satu set menyebutnya elemen . Himpunan bisa tidak terbatas (terdiri dari jumlah elemen yang tidak terbatas), terbatas (terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas), kosong (tidak mengandung satu elemen pun). Himpunan dilambangkan dengan , dan elemennya dengan . Himpunan kosong dilambangkan dengan .

Atur panggilan bagian set jika semua elemen dari set milik set dan tulis . Set dan dipanggil setara , jika terdiri dari elemen yang sama dan tulis . Dua himpunan dan akan sama jika dan hanya jika dan .

Atur panggilan universal (dalam kerangka teori matematika ini) , jika unsur-unsurnya adalah semua objek yang dipertimbangkan dalam teori ini.

Banyak yang dapat diatur: 1) pencacahan semua elemennya, misalnya: (hanya untuk himpunan terbatas); 2) dengan menetapkan aturan untuk menentukan apakah suatu elemen dari himpunan universal milik himpunan yang diberikan : .

Asosiasi

persimpangan himpunan dan disebut himpunan

perbedaan himpunan dan disebut himpunan

Suplemen set (hingga set universal) disebut set.

Dua himpunan dan disebut setara dan tulis ~ jika korespondensi satu-ke-satu dapat dibuat antara elemen-elemen dari himpunan ini. Himpunan disebut terhitung , jika ekivalen dengan himpunan bilangan asli : ~ . Himpunan kosong, menurut definisi, dapat dihitung.

Konsep kardinalitas himpunan muncul ketika himpunan dibandingkan dengan jumlah elemen yang dikandungnya. Kardinalitas himpunan dilambangkan dengan . Kardinalitas himpunan berhingga adalah jumlah elemennya.

Himpunan yang setara memiliki kardinalitas yang sama. Himpunan disebut tak terhitung jika kardinalitasnya lebih besar dari kardinalitas himpunan .

Sah (nyata) nomor disebut pecahan desimal tak terhingga, diambil dengan tanda "+" atau "". Bilangan real diidentifikasi dengan titik-titik pada garis bilangan. modul (nilai absolut) dari bilangan real adalah bilangan non-negatif:

Himpunan disebut numerik jika unsur-unsurnya adalah bilangan real Numerik pada interval himpunan bilangan disebut : , , , , , , , , .

Himpunan semua titik pada garis bilangan yang memenuhi kondisi , di mana adalah sembarang bilangan kecil, disebut -lingkungan (atau hanya sebuah lingkungan) dari suatu titik dan dilambangkan dengan . Himpunan semua titik dengan kondisi , di mana bilangan besar yang berubah-ubah, disebut - lingkungan (atau hanya lingkungan) tak terhingga dan dilambangkan dengan .

Kuantitas yang mempertahankan nilai numerik yang sama disebut konstan. Kuantitas yang mengambil nilai numerik berbeda disebut variabel. Fungsi aturannya disebut, yang menurutnya setiap nomor diberi satu nomor yang ditentukan dengan baik, dan mereka menulis. Himpunan disebut domain definisi fungsi, - banyak ( atau wilayah ) nilai-nilai fungsi, - argumen , - nilai fungsi . Cara paling umum untuk menentukan suatu fungsi adalah metode analitik, di mana fungsi diberikan oleh rumus. domain alami fungsi adalah himpunan nilai argumen yang rumus ini masuk akal. Grafik Fungsi , dalam sistem koordinat persegi panjang , adalah himpunan semua titik bidang dengan koordinat , .

Fungsinya disebut bahkan pada himpunan , simetris terhadap titik , jika kondisi berikut dipenuhi untuk semua: dan aneh jika kondisi terpenuhi. Jika tidak, fungsi generik atau tidak genap dan tidak ganjil .

Fungsinya disebut berkala di set jika ada nomor ( periode fungsi ) sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Angka terkecil disebut periode utama.

Fungsinya disebut meningkat secara monoton (memudar ) pada himpunan jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsinya disebut terbatas di set , jika ada sejumlah sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua : . Jika tidak, fungsinya adalah tak terbatas .

Balik berfungsi , , fungsi seperti itu disebut , yang didefinisikan pada himpunan dan masing-masing

Cocok sehingga . Untuk mencari fungsi yang invers dari fungsi tersebut , Anda perlu untuk memecahkan persamaan relatif. Jika fungsi , sangat monoton pada , maka selalu memiliki invers, dan jika fungsinya bertambah (berkurang), maka fungsi inversnya juga bertambah (berkurang).

Suatu fungsi yang direpresentasikan sebagai , di mana , adalah beberapa fungsi sedemikian rupa sehingga domain definisi fungsi berisi seluruh himpunan nilai fungsi , disebut fungsi kompleks argumen independen. Variabel ini disebut argumen perantara. Fungsi kompleks disebut juga komposisi fungsi dan , dan ditulis: .

SD dasar fungsi adalah: kekuatan fungsi , demonstrasi fungsi ( , ), logaritma fungsi ( , ), trigonometri fungsi , , , , trigonometri terbalik fungsi , , , . Dasar disebut fungsi yang diperoleh dari fungsi elementer dasar dengan jumlah terbatas dari operasi aritmatika dan komposisinya.

Jika grafik fungsi diberikan, maka konstruksi grafik fungsi direduksi menjadi serangkaian transformasi (pergeseran, kompresi atau peregangan, tampilan) grafik:

1) 2) transformasi menampilkan grafik secara simetris terhadap sumbu ; 3) transformasi menggeser grafik sepanjang sumbu dengan satuan ( - ke kanan, - ke kiri); 4) transformasi menggeser bagan sepanjang sumbu dengan satuan ( - atas, - bawah); 5) grafik transformasi sepanjang sumbu membentang dalam waktu, jika atau dikompresi dalam waktu, jika ; 6) mengubah grafik sepanjang sumbu dikompresi oleh faktor jika atau diregangkan oleh faktor jika .

Urutan transformasi saat memplot grafik fungsi dapat direpresentasikan secara simbolis sebagai:

Catatan. Saat melakukan transformasi, perlu diingat bahwa jumlah pergeseran sepanjang sumbu ditentukan oleh konstanta yang ditambahkan langsung ke argumen, dan bukan ke argumen.

Grafik fungsinya adalah parabola dengan simpul di , yang cabang-cabangnya mengarah ke atas jika atau ke bawah jika . Grafik fungsi pecahan linier adalah hiperbola yang berpusat di titik , yang asimtotnya melewati pusat, sejajar dengan sumbu koordinat. , memenuhi kondisi. ditelepon.

Untuk vektor , dan , diberikan oleh koordinat , , produk campuran dihitung dengan rumus: .

Topik 5. Garis di pesawat.

Vektor garis normal , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap garis tertentu disebut. Vektor arah lurus , setiap vektor bukan nol yang sejajar dengan garis tertentu disebut.

Lurus di permukaan dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum garis lurus, dimana adalah vektor normal dari garis lurus;

2) - persamaan garis lurus yang melewati titik tegak lurus terhadap vektor tertentu ;

3) - persamaan garis lurus melalui titik yang sejajar dengan vektor tertentu ( persamaan kanonik );

4) - persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu , ;

Jarak dari titik ke garis , diberikan oleh persamaan umum pada bidang, ditemukan dengan rumus:

Sudut , ( )antara garis lurus dan , diberikan oleh persamaan umum atau persamaan dengan kemiringan, ditemukan dengan salah satu rumus berikut:

Saya untuk .

Saya untuk

Koordinat titik potong garis dan ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linear: atau .

Topik 10. Set. Set numerik. Fungsi.

Atur panggilan bagian set jika semua elemen dari set milik set dan tulis .

Set dan dipanggil setara , jika terdiri dari elemen yang sama dan tulis . Dua himpunan dan akan sama jika dan hanya jika dan .

Atur panggilan universal (dalam kerangka teori matematika ini) , jika unsur-unsurnya adalah semua objek yang dipertimbangkan dalam teori ini.

Asosiasi

persimpangan himpunan dan disebut himpunan

perbedaan himpunan dan disebut himpunan

Suplemen set (hingga set universal) disebut set.

Sah (nyata) nomor disebut pecahan desimal tak terhingga, diambil dengan tanda "+" atau "". Bilangan real diidentifikasi dengan titik-titik pada garis bilangan.

modul (nilai absolut) dari bilangan real adalah bilangan non-negatif:

Himpunan disebut numerik jika unsur-unsurnya adalah bilangan real. Numerik pada interval disebut himpunan

angka: , , , , , , , , .

Fungsinya disebut berkala di set jika ada nomor ( periode fungsi ) sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Angka terkecil disebut periode utama.

Fungsinya disebut meningkat secara monoton (memudar ) pada himpunan jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsinya disebut terbatas di set , jika ada sejumlah sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua : . Jika tidak, fungsinya adalah tak terbatas .

Balik berfungsi , , adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan dan ditetapkan ke masing-masing sehingga . Untuk mencari fungsi yang invers dari fungsi tersebut , Anda perlu untuk memecahkan persamaan relatif. Jika fungsi , sangat monoton pada , maka selalu memiliki invers, dan jika fungsinya bertambah (berkurang), maka fungsi inversnya juga bertambah (berkurang).

Grafik fungsinya adalah parabola dengan simpul di , yang cabang-cabangnya mengarah ke atas jika atau ke bawah jika .

Dalam beberapa kasus, saat membuat grafik suatu fungsi, disarankan untuk membagi domain definisinya menjadi beberapa interval yang tidak berpotongan dan secara berurutan membuat grafik pada masing-masing interval tersebut.

Setiap himpunan bilangan real terurut disebut aritmatika dimensi titik (koordinat) ruang angkasa dan dinotasikan atau , sedangkan angka disebut its koordinat .

Membiarkan dan menjadi beberapa set poin dan . Jika setiap titik ditetapkan, menurut beberapa aturan, satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik , maka mereka mengatakan bahwa fungsi numerik dari variabel diberikan pada himpunan dan tulis atau singkat dan , sambil dipanggil domain definisi , - seperangkat nilai , - argumen (variabel independen) fungsi.

Fungsi dari dua variabel sering dilambangkan, fungsi dari tiga variabel -. Ranah definisi suatu fungsi adalah himpunan titik tertentu pada bidang, fungsi adalah himpunan titik tertentu dalam ruang.

Topik 7. Barisan dan deret angka. Batas urutan. Batas fungsi dan kontinuitas.

Jika, menurut aturan tertentu, setiap bilangan asli dikaitkan dengan satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik, maka mereka mengatakannya urutan numerik . Secara singkat menunjukkan . Nomornya disebut anggota umum dari urutan . Urutan juga disebut fungsi dari argumen natural. Urutan selalu berisi elemen dalam jumlah tak terbatas, beberapa di antaranya mungkin sama.

Nomornya disebut batas urutan , dan tulis jika untuk sembarang bilangan ada bilangan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaannya terpenuhi untuk semua .

Barisan yang memiliki limit hingga disebut konvergen , jika tidak - berbeda .

: 1) memudar , Jika ; 2) meningkat , Jika ; 3) tidak menurun , Jika ; 4) tidak meningkat , Jika . Semua urutan di atas disebut membosankan .

Urutannya disebut terbatas , jika ada bilangan sedemikian sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Jika tidak, urutannya adalah tak terbatas .

Setiap deret berbatas monoton memiliki limit ( teorema Weierstrass).

Urutannya disebut kecil sekali , Jika . Urutannya disebut sangat besar (konvergen ke tak terhingga) jika .

nomor disebut limit barisan, dimana

Konstanta disebut nomor nonpeer. Logaritma dasar suatu bilangan disebut logaritma natural suatu bilangan dan dinotasikan .

Ekspresi bentuk , di mana urutan angka, disebut seri numerik dan ditandai. Jumlah suku pertama deret tersebut disebut jumlah parsial th baris.

Baris disebut konvergen jika ada batas yang terbatas dan berbeda jika batas tidak ada. Nomornya disebut jumlah deret konvergen , saat menulis.

Jika deret konvergen, maka (kriteria yang diperlukan untuk konvergensi seri ) . Kebalikannya tidak benar.

Jika , maka deret divergen ( kriteria yang cukup untuk divergensi seri ).

Seri harmonik umum disebut deret yang konvergen di dan divergen di .

Seri geometris sebut seri yang konvergen di , sedangkan jumlahnya sama dengan dan divergen di . menemukan angka atau simbol. (setengah lingkungan kiri, semi lingkungan kanan) dan