Temukan volume yang dibangun di atas vektor. Produk vektor dari vektor. Produk campuran dari vektor. Properti produk campuran

Untuk vektor , dan , diberikan oleh koordinat , , produk campuran dihitung dengan rumus: .

Produk campuran digunakan: 1) untuk menghitung volume tetrahedron dan parallelepiped dibangun di atas vektor , dan , seperti pada tepi, menurut rumus: ; 2) sebagai syarat untuk kesepadanan vektor , dan : dan adalah koplanar.

Topik 5. Garis di pesawat.

Vektor garis normal , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap garis tertentu disebut. Arah vektor lurus , setiap vektor bukan nol yang sejajar dengan garis tertentu disebut.

Lurus di permukaan dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum garis lurus, di mana adalah vektor normal garis lurus;

2) - persamaan garis lurus yang melalui titik tegak lurus terhadap vektor tertentu ;

3) - persamaan garis lurus yang melalui titik yang sejajar dengan vektor tertentu ( persamaan kanonik );

4) - persamaan garis lurus melalui dua titik yang diberikan , ;

5) - persamaan garis dengan kemiringan , di mana adalah titik yang dilalui garis; () - sudut yang dibuat garis dengan sumbu; - panjang ruas (dengan tanda ) terpotong oleh garis lurus pada sumbu (tanda “ ” jika ruas terpotong pada bagian positif sumbu dan “ ” jika pada bagian negatif).

6) - persamaan garis lurus dalam pemotongan, di mana dan adalah panjang segmen (dengan tanda ) yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat dan (tanda “ ” jika segmen terpotong pada sumbu positif dan “ ” jika pada sumbu negatif ).

Jarak dari titik ke garis , diberikan oleh persamaan umum di pesawat, ditemukan dengan rumus:

Sudut , ( )antara garis lurus dan , diberikan oleh persamaan umum atau persamaan dengan kemiringan, ditemukan oleh salah satu rumus berikut:

Aku untuk .

Aku untuk

Koordinat titik potong garis dan ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linear: atau .

Topik 10. Set. Set numerik. Fungsi.

Dibawah banyak memahami seperangkat objek tertentu dari alam apa pun, dapat dibedakan satu sama lain dan dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan. Benda-benda yang membentuk himpunan disebut elemen . Suatu himpunan dapat menjadi tak hingga (terdiri dari sejumlah elemen yang tak terbatas), hingga (terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas), kosong (tidak mengandung satu elemen). Himpunan dilambangkan dengan , dan elemen-elemennya dengan . Himpunan kosong dilambangkan dengan .

Setel panggilan himpunan bagian set jika semua elemen dari set milik set dan write .

Set dan disebut setara , jika mereka terdiri dari elemen yang sama dan tulis . Dua himpunan dan akan sama jika dan hanya jika dan .

Setel panggilan universal (dalam kerangka teori matematika ini) , jika elemen-elemennya adalah semua objek yang dipertimbangkan dalam teori ini.

Banyak yang dapat diatur: 1) pencacahan semua elemennya, misalnya: (hanya untuk himpunan berhingga); 2) dengan menetapkan aturan untuk menentukan apakah suatu elemen dari himpunan universal milik himpunan yang diberikan : .

Asosiasi

persimpangan himpunan dan disebut himpunan

perbedaan himpunan dan disebut himpunan

Suplemen himpunan (hingga himpunan universal) disebut himpunan.

Dua himpunan dan disebut setara dan tulislah ~ jika korespondensi satu-satu dapat dibuat antara elemen-elemen himpunan ini. Himpunan tersebut disebut dapat dihitung , jika setara dengan himpunan bilangan asli : ~ . Himpunan kosong, menurut definisi, dapat dihitung.

Sah (nyata) nomor disebut pecahan desimal tak hingga, diambil dengan tanda "+" atau "". Bilangan real diidentifikasi dengan titik-titik pada garis bilangan.

modul (nilai absolut) dari bilangan real adalah bilangan non-negatif:

Himpunan tersebut disebut numerik jika unsur-unsurnya bilangan real. numerik pada interval disebut himpunan

bilangan : , , , , , , , , .

Himpunan semua titik pada garis bilangan yang memenuhi syarat , di mana adalah bilangan kecil yang sembarang, disebut -lingkungan (atau hanya lingkungan) dari suatu titik dan dilambangkan dengan . Himpunan semua titik dengan kondisi , di mana merupakan bilangan besar yang berubah-ubah, disebut - lingkungan (atau hanya lingkungan) tak terhingga dan dilambangkan dengan .

Besaran yang memiliki nilai numerik yang sama disebut permanen. Besaran yang memiliki nilai numerik yang berbeda disebut variabel. Fungsi aturannya disebut, yang menurutnya setiap nomor diberikan satu nomor yang terdefinisi dengan baik, dan mereka menulis. Himpunan tersebut disebut domain definisi fungsi, - banyak ( atau wilayah ) nilai-nilai fungsi, - argumen , - nilai fungsi . Cara paling umum untuk menentukan suatu fungsi adalah metode analitik, di mana fungsi diberikan oleh rumus. domain alami fungsi adalah himpunan nilai argumen yang membuat rumus ini masuk akal. Grafik Fungsi , dalam sistem koordinat persegi panjang , adalah himpunan semua titik bidang dengan koordinat , .

Fungsi tersebut disebut bahkan pada himpunan , simetris terhadap titik , jika kondisi berikut dipenuhi untuk semua: dan aneh jika kondisi terpenuhi. Jika tidak, fungsi generik atau tidak genap maupun ganjil .

Fungsi tersebut disebut berkala di set jika ada nomor ( periode fungsi ) sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Bilangan terkecil disebut periode utama.

Fungsi tersebut disebut meningkat secara monoton (memudar ) pada himpunan jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi tersebut disebut terbatas pada himpunan , jika terdapat bilangan sedemikian rupa sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua : . Jika tidak, fungsinya adalah tak terbatas .

Membalik berfungsi , , adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan dan diberikan kepada masing-masing sedemikian sehingga . Untuk menemukan fungsi kebalikan dari fungsi , kamu harus menyelesaikan persamaan relatif. Jika fungsi , sangat monoton pada , maka selalu memiliki invers, dan jika fungsi meningkat (menurun), maka fungsi invers juga meningkat (menurun).

Fungsi yang direpresentasikan sebagai , Dimana , adalah beberapa fungsi sedemikian rupa sehingga domain definisi fungsi berisi seluruh himpunan nilai fungsi , disebut fungsi kompleks argumen independen. Variabel ini disebut argumen perantara. Fungsi kompleks juga disebut komposisi fungsi dan , dan ditulis: .

Dasar dasar fungsi adalah: kekuasaan fungsi , demonstrasi fungsi ( , ), logaritma fungsi ( , ), trigonometri fungsi , , , , trigonometri terbalik fungsi , , , . Dasar disebut fungsi yang diperoleh dari fungsi dasar dasar dengan jumlah terbatas dari operasi aritmatika dan komposisinya.

Grafik fungsinya adalah parabola dengan simpul di , yang cabang-cabangnya diarahkan ke atas jika atau ke bawah jika .

Dalam beberapa kasus, ketika membuat grafik suatu fungsi, disarankan untuk membagi domain definisinya menjadi beberapa interval yang tidak berpotongan dan secara berurutan membuat grafik pada masing-masing interval tersebut.

Himpunan bilangan real terurut disebut aritmatika dimensi titik (koordinat) ruang angkasa dan dilambangkan atau , sedangkan angka disebut its koordinat .

Membiarkan dan menjadi beberapa set poin dan . Jika setiap titik diberikan, menurut beberapa aturan, satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik , maka mereka mengatakan bahwa fungsi numerik dari variabel diberikan pada himpunan dan tulis atau secara singkat dan , sementara disebut domain definisi , - kumpulan nilai , - argumen (variabel bebas) fungsi.

Sebuah fungsi dari dua variabel sering dilambangkan, fungsi dari tiga variabel -. Domain definisi suatu fungsi adalah himpunan titik-titik tertentu pada bidang, fungsi adalah himpunan titik-titik tertentu dalam ruang.

Topik 7. Barisan dan deret numerik. Batas urutan. Batas suatu fungsi dan kontinuitas.

Jika, menurut aturan tertentu, setiap bilangan asli dikaitkan dengan satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik, maka mereka mengatakan bahwa urutan numerik . Secara singkat menunjukkan. Nomor tersebut disebut anggota umum dari urutan . Barisan juga disebut fungsi dari argumen natural. Barisan selalu berisi jumlah elemen yang tak terbatas, beberapa di antaranya mungkin sama.

Nomor tersebut disebut batas urutan , dan tulis jika untuk sembarang bilangan ada bilangan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan dipenuhi untuk semua .

Barisan yang memiliki limit berhingga disebut konvergen , jika tidak - berbeda .

: 1) memudar , jika ; 2) meningkat , jika ; 3) tidak berkurang , jika ; 4) tidak meningkat , jika . Semua barisan di atas disebut membosankan .

Urutannya disebut terbatas , jika ada bilangan sedemikian rupa sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Jika tidak, urutannya adalah tak terbatas .

Setiap barisan berbatas monoton memiliki limit ( teorema Weierstrass).

Urutannya disebut kecil sekali , jika . Urutannya disebut besar tak terhingga (konvergen hingga tak terhingga) jika .

nomor disebut limit barisan, dimana

Konstanta tersebut disebut bilangan nonpeer. Logaritma dasar suatu bilangan disebut logaritma natural suatu bilangan dan dilambangkan .

Ekspresi bentuk , di mana adalah urutan angka, disebut seri numerik dan ditandai. Jumlah suku pertama deret tersebut disebut jumlah parsial baris.

Baris disebut konvergen jika ada limit berhingga dan berbeda jika batas tidak ada. Nomor tersebut disebut jumlah deret konvergen , sambil menulis.

Jika deret tersebut konvergen, maka (kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret ) . Kebalikannya tidak benar.

Jika , maka deret divergen ( kriteria yang cukup untuk divergensi deret ).

Seri harmonik umum disebut deret yang konvergen di dan divergen di .

Deret geometris sebut deret yang konvergen di , sedangkan jumlahnya sama dengan dan divergen di . menemukan angka atau simbol. (semi-lingkungan kiri, semi-lingkungan kanan) dan

Untuk vektor , dan , diberikan oleh koordinat mereka , , produk campuran dihitung dengan rumus: .

Topik 5. Garis lurus dan bidang.

Vektor garis normal , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap garis tertentu disebut. Arah vektor lurus , setiap vektor bukan nol yang sejajar dengan garis tertentu disebut.

Lurus di permukaan

1) - persamaan umum garis lurus, di mana adalah vektor normal garis lurus;

2) - persamaan garis lurus yang melalui titik tegak lurus terhadap vektor tertentu ;

3) persamaan kanonik );

Jarak dari titik ke garis , diberikan oleh persamaan umum di pesawat, ditemukan dengan rumus:

Sudut , ( )antara garis lurus dan , diberikan oleh persamaan umum atau persamaan dengan kemiringan, ditemukan oleh salah satu rumus berikut:

Aku untuk .

Aku untuk

Koordinat titik potong garis dan ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linear: atau .

Vektor normal pesawat , setiap vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut.

Pesawat terbang dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum pesawat, di mana adalah vektor normal pesawat;

2) - persamaan bidang yang melalui titik tegak lurus terhadap vektor yang diberikan ;

3) - persamaan bidang yang melalui tiga titik , dan ;

4) - persamaan bidang dalam pemotongan, Dimana , dan adalah panjang segmen (dengan tanda ) yang dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat , dan (tanda “ ” jika segmen terpotong pada sumbu positif dan “ ” jika pada sumbu negatif ).

Jarak dari titik ke bidang , diberikan oleh persamaan umum , ditemukan oleh rumus:

Sudut ,( )antar pesawat dan , diberikan oleh persamaan umum, ditemukan dengan rumus:

Lurus di ruang hampa dalam sistem koordinat dapat diberikan oleh persamaan dari salah satu jenis berikut:

1) - persamaan umum garis lurus, sebagai garis perpotongan dua bidang, di mana dan adalah vektor normal bidang dan;

2) - persamaan garis lurus yang melalui titik yang sejajar dengan vektor tertentu ( persamaan kanonik );

3) - persamaan garis lurus melalui dua titik yang diberikan , ;

4) - persamaan garis lurus yang melalui suatu titik yang sejajar dengan vektor tertentu, ( persamaan parametrik );

Sudut , ( ) antara garis lurus dan di ruang hampa , diberikan oleh persamaan kanonik, ditemukan dengan rumus:

Koordinat titik potong garis , diberikan oleh persamaan parametrik dan pesawat , diberikan oleh persamaan umum, ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan linier: .

Sudut , ( ) antara garis , diberikan oleh persamaan kanonik dan pesawat , diberikan oleh persamaan umum ditemukan dengan rumus: .

Topik 6. Kurva orde kedua.

Kurva aljabar orde kedua dalam sistem koordinat disebut kurva, persamaan umum yang terlihat seperti:

di mana angka - tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Berikut adalah klasifikasi kurva orde kedua: 1) jika , maka persamaan umum mendefinisikan kurva tipe elips (lingkaran (untuk ), elips (untuk ), himpunan kosong, titik); 2) jika , maka - kurva tipe hiperbolik (hiperbola, sepasang garis berpotongan); 3) jika , maka - kurva tipe parabola(parabola, himpunan kosong, garis, pasangan garis sejajar). Lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola disebut kurva non-degenerasi orde kedua.

Persamaan umum , di mana , yang mendefinisikan kurva non-degenerasi (lingkaran, elips, hiperbola, parabola), selalu dapat (menggunakan metode pemilihan kotak penuh) direduksi menjadi persamaan dari salah satu jenis berikut:

1a) - persamaan lingkaran berpusat pada suatu titik dan jari-jari (Gbr. 5).

1b)- persamaan elips berpusat pada satu titik dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat. Angka dan - disebut semi-sumbu elips persegi panjang utama elips; titik sudut elips .

Untuk membangun elips dalam sistem koordinat: 1) tandai bagian tengah elips; 2) kita menggambar melalui pusat dengan garis putus-putus sumbu simetri elips; 3) kami membangun persegi panjang utama elips dengan garis putus-putus dengan pusat dan sisi sejajar dengan sumbu simetri; 4) kami menggambar elips dengan garis padat, menuliskannya di persegi panjang utama sehingga elips menyentuh sisinya hanya di simpul elips (Gbr. 6).

Demikian pula, sebuah lingkaran dibangun, persegi panjang utama yang memiliki sisi (Gbr. 5).

Gbr.5 Gbr.6

2) - persamaan hiperbola (disebut mengkonjugasikan) berpusat pada suatu titik dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat. Angka dan - disebut setengah sumbu hiperbola ; persegi panjang dengan sisi sejajar dengan sumbu simetri dan berpusat pada satu titik - persegi panjang utama hiperbola; titik potong persegi panjang utama dengan sumbu simetri - simpul hiperbola; garis lurusmelewati simpul berlawanan dari persegi panjang utama - asimtot hiperbola .

Untuk membangun hiperbola dalam sistem koordinat: 1) tandai pusat hiperbola; 2) kita menggambar melalui pusat dengan garis putus-putus sumbu simetri hiperbola; 3) kami membangun persegi panjang utama hiperbola dengan garis putus-putus dengan pusat dan sisi dan sejajar dengan sumbu simetri; 4) kami menggambar garis lurus melalui simpul yang berlawanan dari persegi panjang utama dengan garis putus-putus, yang merupakan asimtot dari hiperbola, yang dekat dengan cabang-cabang hiperbola, pada jarak tak terbatas dari titik asal koordinat, tanpa melintasinya; 5) kami menggambarkan cabang hiperbola (Gbr. 7) atau hiperbola (Gbr. 8) dengan garis padat.

Gbr.7 Gbr.8

3a)- persamaan parabola dengan titik di suatu titik dan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 9).

3b)- persamaan parabola dengan titik di suatu titik dan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 10).

Untuk membangun parabola dalam sistem koordinat: 1) tandai bagian atas parabola; 2) kita menggambar melalui titik dengan garis putus-putus sumbu simetri parabola; 3) kami menggambarkan parabola dengan garis padat, mengarahkan cabangnya, dengan mempertimbangkan tanda parameter parabola: di - dalam arah positif sumbu koordinat sejajar dengan sumbu simetri parabola (Gbr. 9a dan 10a); di - di sisi negatif dari sumbu koordinat (Gbr. 9b dan 10b) .

Beras. 9a Gambar. 9b

Beras. 10a Gambar. 10b

Topik 7. Set. Set numerik. Fungsi.

Setel panggilan himpunan bagian set jika semua elemen dari set milik set dan write . Set dan disebut setara , jika mereka terdiri dari elemen yang sama dan tulis . Dua himpunan dan akan sama jika dan hanya jika dan .

Setel panggilan universal (dalam kerangka teori matematika ini) , jika elemen-elemennya adalah semua objek yang dipertimbangkan dalam teori ini.

Asosiasi

persimpangan himpunan dan disebut himpunan

perbedaan himpunan dan disebut himpunan

Suplemen himpunan (hingga himpunan universal) disebut himpunan.

Konsep kardinalitas suatu himpunan muncul ketika himpunan dibandingkan dengan jumlah elemen yang dikandungnya. Kardinalitas himpunan dilambangkan dengan . Kardinalitas suatu himpunan berhingga adalah jumlah elemen-elemennya.

Himpunan ekuivalen memiliki kardinalitas yang sama. Himpunan tersebut disebut tak terhitung jika kardinalitasnya lebih besar dari kardinalitas himpunan .

Sah (nyata) nomor disebut pecahan desimal tak hingga, diambil dengan tanda "+" atau "". Bilangan real diidentifikasi dengan titik-titik pada garis bilangan. modul (nilai absolut) dari bilangan real adalah bilangan non-negatif:

Himpunan tersebut disebut numerik jika elemen-elemennya adalah bilangan real. Numerik pada interval himpunan bilangan disebut : , , , , , , , , .

Fungsi tersebut disebut berkala di set jika ada nomor ( periode fungsi ) sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua: . Bilangan terkecil disebut periode utama.

Fungsi tersebut disebut meningkat secara monoton (memudar ) pada himpunan jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi tersebut disebut terbatas pada himpunan , jika terdapat bilangan sedemikian rupa sehingga kondisi berikut dipenuhi untuk semua : . Jika tidak, fungsinya adalah tak terbatas .

Membalik berfungsi , , fungsi seperti itu disebut , yang didefinisikan pada himpunan dan untuk masing-masing

Cocok sedemikian rupa sehingga . Untuk menemukan fungsi kebalikan dari fungsi , kamu harus menyelesaikan persamaan relatif. Jika fungsi , sangat monoton pada , maka selalu memiliki invers, dan jika fungsi meningkat (menurun), maka fungsi invers juga meningkat (menurun).

Jika grafik fungsi diberikan, maka konstruksi grafik fungsi direduksi menjadi serangkaian transformasi (pergeseran, kompresi atau peregangan, tampilan) grafik:

1) 2) transformasi menampilkan grafik secara simetris terhadap sumbu ; 3) transformasi menggeser grafik sepanjang sumbu dengan satuan ( - ke kanan, - ke kiri); 4) transformasi menggeser grafik sepanjang sumbu dengan satuan ( - atas, - bawah); 5) grafik transformasi sepanjang sumbu membentang dalam waktu, jika atau memampatkan dalam waktu, jika ; 6) mengubah grafik sepanjang sumbu dikompresi oleh faktor jika atau membentang oleh faktor jika .

Urutan transformasi ketika memplot grafik fungsi dapat direpresentasikan secara simbolis sebagai:

Catatan. Saat melakukan transformasi, perlu diingat bahwa jumlah pergeseran sepanjang sumbu ditentukan oleh konstanta yang ditambahkan langsung ke argumen, dan bukan ke argumen.

Grafik fungsinya adalah parabola dengan simpul di , yang cabang-cabangnya diarahkan ke atas jika atau ke bawah jika . Grafik fungsi linear-fraksional adalah hiperbola yang berpusat di titik , yang asimtotnya melalui pusat, sejajar dengan sumbu koordinat. , memenuhi syarat. ditelepon.

Perhatikan hasil kali vektor , dan , tersusun sebagai berikut:
. Di sini dua vektor pertama dikalikan secara vektor, dan hasilnya dikalikan secara skalar dengan vektor ketiga. Produk semacam itu disebut vektor-skalar, atau produk campuran dari tiga vektor. Produk campuran adalah beberapa nomor.

Mari kita cari tahu arti geometris dari ekspresi
.

Dalil . Produk campuran dari tiga vektor sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, diambil dengan tanda plus jika vektor-vektor ini membentuk triple kanan, dan dengan tanda minus jika membentuk triple kiri.

Bukti.. Kami membangun paralelepiped yang ujung-ujungnya adalah vektor , , dan vektor
.

Kita punya:
,
, di mana - area jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan ,
untuk segitiga siku-siku dari vektor dan
untuk kiri, di mana
adalah ketinggian parallelepiped. Kita mendapatkan:
, yaitu
, di mana - volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor , dan .

Properti produk campuran

1. Produk campuran tidak berubah ketika berhubung dgn putaran permutasi faktor-faktornya, mis. .

Memang, dalam hal ini, baik volume paralelepiped maupun orientasi tepinya tidak berubah.

2. Hasil kali campuran tidak berubah ketika tanda perkalian vektor dan skalar dibalik, mis.
.

Betulkah,
dan
. Kami mengambil tanda yang sama di sisi kanan persamaan ini, karena tiga kali lipat dari vektor , , dan , , - satu orientasi.

Akibatnya,
. Ini memungkinkan kita untuk menulis produk campuran dari vektor
sebagai
tanpa tanda vektor, perkalian skalar.

3. Hasil kali campuran berubah tanda ketika dua vektor faktor berubah tempat, mis.
,
,
.

Memang, permutasi seperti itu setara dengan permutasi faktor-faktor dalam produk vektor, yang mengubah tanda produk.

4. Produk Campuran dari Vektor Bukan Nol , dan adalah nol jika dan hanya jika koplanar.

2.12. Menghitung produk campuran dalam bentuk koordinat dalam basis ortonormal

Biarkan vektor
,
,
. Mari kita cari produk campurannya menggunakan ekspresi dalam koordinat untuk produk vektor dan skalar:

. (10)

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih pendek:

karena ruas kanan persamaan (10) adalah perluasan dari determinan orde ketiga dalam hal elemen-elemen baris ketiga.

Jadi, produk campuran vektor sama dengan determinan orde ketiga, terdiri dari koordinat vektor yang dikalikan.

2.13 Beberapa aplikasi produk campuran

Menentukan orientasi relatif vektor dalam ruang

Menentukan orientasi relatif dari vektor , dan berdasarkan pertimbangan berikut. Jika sebuah
, kemudian , , - kanan tiga jika
, kemudian , , - meninggalkan tiga.

Kondisi keselarasan untuk vektor

Vektor , dan adalah koplanar jika dan hanya jika produk campurannya adalah nol (
,
,
):

vektor , , sebidang.

Menentukan volume paralelepiped dan piramida segitiga

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa volume paralelepiped dibangun di atas vektor , dan dihitung sebagai
, dan volume piramida segitiga yang dibangun di atas vektor yang sama sama dengan
.

Contoh 1 Buktikan bahwa vektor
,
,
sebidang.

Larutan. Mari kita cari produk campuran dari vektor-vektor ini menggunakan rumus:

Ini berarti bahwa vektor
sebidang.

Contoh 2 Mengingat simpul dari tetrahedron: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Hitunglah panjang tingginya yang dijatuhkan dari titik puncak .

Larutan. Mari kita cari dulu volume tetrahedronnya
. Menurut rumus yang kita dapatkan:

Karena determinannya adalah bilangan negatif, dalam hal ini, Anda perlu mengambil tanda minus sebelum rumus. Akibatnya,
.

Nilai yang diinginkan h tentukan dari rumus
, di mana S - daerah dasar. Mari kita tentukan luasnya S:

di mana

Karena

Substitusi ke rumus
nilai-nilai
dan
, kita mendapatkan h= 3.

Contoh 3 Apakah bentuk vektor
dasar di luar angkasa? Dekomposisi Vektor
atas dasar vektor.

Larutan. Jika vektor-vektor tersebut membentuk basis dalam ruang, maka vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama, mis. adalah non-koplanar. Temukan produk campuran vektor
:
,

Oleh karena itu, vektor-vektor tersebut tidak koplanar dan membentuk basis dalam ruang. Jika vektor membentuk basis dalam ruang, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis, yaitu
,di mana
koordinat vektor dalam basis vektor
. Mari kita cari koordinat ini dengan menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan