จะมีปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเองซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้
หากในปัญหาแสดงทั้งความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์ "บนจานเงิน" แสดงว่าสภาพของปัญหาและวิธีแก้ไขจะเป็นดังนี้:
ตัวอย่างที่ 1มีการระบุเวกเตอร์ ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หากความยาวและมุมระหว่างเวกเตอร์แสดงด้วยค่าต่อไปนี้:
คำจำกัดความอื่นก็ใช้ได้เช่นกัน ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ 1 โดยสมบูรณ์
คำจำกัดความ 2- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพของเวกเตอร์อื่นบนแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตัวแรกเหล่านี้ สูตรตามคำจำกัดความ 2:
เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้หลังจากประเด็นทางทฤษฎีที่สำคัญถัดไป
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ในแง่ของพิกัด
สามารถรับจำนวนเดียวกันได้หากเวกเตอร์ที่ถูกคูณได้รับพิกัด
คำจำกัดความ 3 ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ คือตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกัน
บนพื้นผิว
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและบนระนาบถูกกำหนดโดยสองตัวนั้น พิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
ดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกัน:
.
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าตัวเลขของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์
สารละลาย. เราค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยการเพิ่มผลคูณคู่ของพิกัด:
ตอนนี้เราต้องเปรียบเทียบผลคูณสเกลาร์ที่ได้กับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนขนานกับเวกเตอร์ (ตามสูตร)
จงหาความยาวของเวกเตอร์เป็น รากที่สองจากผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
.
เราสร้างสมการและแก้มัน:
คำตอบ. ค่าตัวเลขที่ต้องการคือลบ 8
ในที่ว่าง
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนทั้งสามตัว
,
ดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกันด้วย มีเพียงสามพิกัดเท่านั้น:
.
งานในการค้นหาผลคูณสเกลาร์โดยใช้วิธีที่พิจารณาคือหลังจากวิเคราะห์คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์แล้ว เพราะในโจทย์ คุณจะต้องพิจารณาว่าเวกเตอร์คูณนั้นสร้างมุมเท่าใด
คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติพีชคณิต
1. (ทรัพย์สินทดแทน: การกลับตำแหน่งของเวกเตอร์ที่คูณแล้วจะไม่เปลี่ยนค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์)
2. 
(สมบัติการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยเชิงตัวเลข: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คูณด้วยตัวประกอบที่แน่นอน และเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน)
3. 
(สมบัติการกระจายสัมพันธ์กับผลรวมของเวกเตอร์: ผลคูณสเกลาร์ของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวคูณกับเวกเตอร์ที่สาม เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ตัวแรกคูณเวกเตอร์ที่สาม และเวกเตอร์ตัวที่สองคูณเวกเตอร์ที่สาม)
4. (สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ที่มากกว่าศูนย์) ถ้า เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ถ้า เป็นเวกเตอร์ศูนย์
คุณสมบัติทางเรขาคณิต
ในคำจำกัดความของการดำเนินการภายใต้การศึกษา เราได้สัมผัสแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว ถึงเวลาชี้แจงแนวคิดนี้แล้ว
ในรูปด้านบน คุณจะเห็นเวกเตอร์สองตัวที่ลดขนาดลง การเริ่มต้นทั่วไป- และสิ่งแรกที่คุณต้องใส่ใจคือ มีมุมสองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - φ 1 และ φ 2 - มุมใดต่อไปนี้ปรากฏในคำจำกัดความและคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ผลรวมของมุมที่พิจารณาคือ 2 π ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงเท่ากัน คำจำกัดความของผลคูณดอทจะรวมเฉพาะโคไซน์ของมุมเท่านั้น ไม่ใช่ค่าของนิพจน์ แต่คุณสมบัติพิจารณาเพียงมุมเดียวเท่านั้น และนี่คือมุมหนึ่งในสองมุมที่ไม่เกิน π นั่นคือ 180 องศา ในรูปมุมนี้ระบุเป็น φ 1 .
1. เรียกเวกเตอร์สองตัว ตั้งฉาก และ มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง (90 องศาหรือ π /2 ) ถ้า ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คือศูนย์ :
.
ความตั้งฉากในพีชคณิตเวกเตอร์คือความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว
2. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวประกอบกัน มุมที่คมชัด (จาก 0 ถึง 90 องศาหรือซึ่งเท่ากัน - น้อยกว่า π ดอทโปรดัคเป็นบวก .
3. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวประกอบกัน มุมป้าน (จาก 90 ถึง 180 องศาหรือสิ่งที่เหมือนกัน - มากกว่านั้น π /2) หากและเฉพาะในกรณีที่พวกเขา ดอทโปรดัคเป็นลบ .
ตัวอย่างที่ 3พิกัดถูกกำหนดโดยเวกเตอร์:
.
คำนวณผลคูณสเกลาร์ของคู่เวกเตอร์ที่กำหนดทุกคู่ คู่เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวเป็นมุมใด (เฉียบพลัน, ขวา, ป้าน)?
สารละลาย. เราจะคำนวณโดยการเพิ่มผลคูณของพิกัดที่เกี่ยวข้อง
เราได้จำนวนลบ เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมป้าน
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
เราได้ศูนย์, เวกเตอร์จึงมีมุมฉาก
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
.
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 4เมื่อพิจารณาความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน:
.
พิจารณาว่าค่าของเวกเตอร์เป็นจำนวนเท่าใดและตั้งฉาก (ตั้งฉาก)
สารละลาย. ลองคูณเวกเตอร์โดยใช้กฎสำหรับการคูณพหุนาม:
ตอนนี้เรามาคำนวณแต่ละเทอมกัน:
.
มาสร้างสมการกัน (ผลคูณเท่ากับศูนย์) เพิ่มพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการ:
คำตอบ: เราได้คุณค่าแล้ว λ = 1.8 โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉาก
ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 
ตั้งฉาก (ตั้งฉาก) กับเวกเตอร์
สารละลาย. ในการตรวจสอบความเป็นมุมตั้งฉาก เราจะคูณเวกเตอร์และเป็นพหุนาม โดยแทนที่นิพจน์ที่ให้ไว้ในคำสั่งปัญหาแทน:
.
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอม (เทอม) ของพหุนามตัวแรกด้วยแต่ละเทอมของวินาทีและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้:
.
ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนจะลดลง ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะได้รับ:
สรุป: จากการคูณเราได้ศูนย์ ดังนั้นการตั้งฉาก (ตั้งฉาก) ของเวกเตอร์จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
แก้ไขปัญหาด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ไข
ตัวอย่างที่ 6ความยาวของเวกเตอร์และค่าที่กำหนด และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ π /4 . กำหนดว่ามีค่าเท่าใด μ เวกเตอร์และตั้งฉากกัน
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
การแสดงเมทริกซ์ของผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ n มิติ
บางครั้ง การแสดงเวกเตอร์คูณสองตัวในรูปของเมทริกซ์จะเป็นประโยชน์สำหรับความชัดเจน จากนั้นเวกเตอร์ตัวแรกจะแสดงเป็นเมทริกซ์แถว และเวกเตอร์ตัวที่สองเป็นเมทริกซ์คอลัมน์:
แล้วผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเป็น ผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ :
ผลลัพธ์ก็เหมือนกับที่ได้จากวิธีที่เราได้พิจารณาไปแล้ว เรามีตัวเลขตัวเดียว และผลคูณของเมทริกซ์แถวคูณเมทริกซ์คอลัมน์ก็เป็นตัวเลขตัวเดียวเช่นกัน
สะดวกในการแสดงผลคูณของเวกเตอร์ n มิติเชิงนามธรรมในรูปแบบเมทริกซ์ ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์สี่มิติสองตัวจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีสี่องค์ประกอบโดยเมทริกซ์คอลัมน์และมีองค์ประกอบสี่ตัวด้วย ผลคูณของเวกเตอร์ห้ามิติสองตัวจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีห้าองค์ประกอบโดย เมทริกซ์คอลัมน์ที่มีห้าองค์ประกอบเป็นต้น
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของคู่เวกเตอร์
,
โดยใช้การแทนเมทริกซ์
สารละลาย. เวกเตอร์คู่แรก เราแสดงเวกเตอร์แรกเป็นเมทริกซ์แถว และเวกเตอร์ที่สองเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวและเมทริกซ์คอลัมน์:
เราเป็นตัวแทนของคู่ที่สองในทำนองเดียวกันและพบว่า:
อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์จะเหมือนกับคู่เดียวกันจากตัวอย่างที่ 2
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว
การหาสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นสวยงามและกระชับมาก
เพื่อแสดงผลคูณดอทของเวกเตอร์
(1)
ในรูปแบบพิกัด ก่อนอื่นเราจะหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หน่วย ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองตามคำจำกัดความ:
สิ่งที่เขียนในสูตรข้างต้นหมายความว่า: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเท่ากับกำลังสองของความยาว- โคไซน์ของศูนย์ เท่ากับหนึ่งดังนั้นกำลังสองของแต่ละหน่วยจะเท่ากับหนึ่ง:
เนื่องจากเวกเตอร์
ตั้งฉากกันเป็นคู่ ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับศูนย์:
ทีนี้มาทำการคูณพหุนามเวกเตอร์:
เข้ามาแทน. ด้านขวาความเท่าเทียมกันของค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หน่วย:
เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว:
ตัวอย่างที่ 8ให้สามคะแนน ก(1;1;1), บี(2;2;1), ค(2;1;2).
หามุม.
สารละลาย. การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์:
,
.
เมื่อใช้สูตรมุมโคไซน์เราจะได้:
เพราะฉะนั้น, .
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 9ให้เวกเตอร์สองตัวมา
ค้นหาผลรวม ผลต่าง ความยาว ผลคูณดอท และมุมระหว่างสิ่งเหล่านั้น
2.ความแตกต่าง
ผลคูณไขว้และผลคูณดอทช่วยให้คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ง่าย ให้เวกเตอร์สองตัว $\overline(a)$ และ $\overline(b)$ ถูกกำหนด มุมเชิงระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะเท่ากับ $\varphi$ มาคำนวณค่า $x = (\overline(a),\overline(b))$ และ $y = [\overline(a),\overline(b)]$ จากนั้น $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ โดยที่ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ และ $\varphi$ คือ มุมที่ต้องการ นั่นคือจุด $(x, y)$ มีมุมเชิงขั้วเท่ากับ $\varphi$ ดังนั้น $\varphi$ จึงสามารถพบได้เป็น atan2(y, x)
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
เนื่องจากผลคูณกากบาทมีผลคูณของความยาวเวกเตอร์สองตัวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลคูณกากบาทจึงสามารถใช้ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC:
$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| -
เป็นจุดของเส้น
ให้จุด $P$ และเส้นตรง $AB$ (กำหนดโดยสองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดอยู่ในเส้น $AB$ หรือไม่
จุดจะอยู่ในเส้นตรง $AB$ ถ้าหากเวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็นเส้นตรง นั่นคือถ้า $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $
เป็นจุดของรังสี
ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ ถูกกำหนดไว้ (กำหนดโดยสองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของรังสี $AB$ หรือไม่
โดยมีเงื่อนไขว่าจุด $P$ อยู่ในเส้นตรง $AB$ จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขเพิ่มเติม - เวกเตอร์ $AP$ และ $AB$ เป็นแบบโคไดนามิก นั่นคือ พวกมันอยู่ในแนวเดียวกันและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมันคือ ไม่เป็นลบ นั่นคือ $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$
เป็นจุดของเซ็กเมนต์
ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ ได้รับ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดอยู่ในกลุ่ม $AB$ หรือไม่
ในกรณีนี้ จุดจะต้องเป็นของทั้ง ray $AB$ และ ray $BA$ ดังนั้นจึงต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:
$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,
$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,
$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
ให้จุด $P$ และเส้นตรง $AB$ (กำหนดโดยสองจุด $A$ และ $B$) จำเป็นต้องค้นหาระยะห่างจากจุดของเส้น $AB$
พิจารณาสามเหลี่ยม ABP ในด้านหนึ่ง พื้นที่ของมันจะเท่ากับ $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$
ในทางกลับกัน พื้นที่ของมันจะเท่ากับ $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ โดยที่ $h$ คือความสูงที่ตกจากจุด $P$ นั่นคือ ระยะห่างจาก $P$ ถึง $ AB$ โดยที่ $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.
ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังลำแสง
ให้จุด $P$ และรังสี $AB$ ถูกกำหนดไว้ (กำหนดโดยสองจุด - จุดเริ่มต้นของรังสี $A$ และจุดบนรังสี $B$) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกรังสีหนึ่ง ซึ่งก็คือความยาวของส่วนที่สั้นที่สุดจากจุด $P$ ไปยังจุดใดๆ บนรังสี
ระยะนี้เท่ากับความยาว $AP$ หรือระยะห่างจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ กรณีใดที่เกิดขึ้นสามารถกำหนดได้ง่ายโดยตำแหน่งสัมพัทธ์ของรังสีและจุด ถ้ามุม PAB เป็นแบบเฉียบพลัน นั่นคือ $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$ แล้วคำตอบคือระยะห่างจากจุด $P$ ถึงเส้นตรง $AB$ มิฉะนั้น คำตอบคือความยาวของส่วน $AB$
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกส่วน
ให้จุด $P$ และส่วน $AB$ ได้รับ จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจาก $P$ ถึงเซ็กเมนต์ $AB$
ถ้าฐานของเส้นตั้งฉากหล่นจาก $P$ ลงบนเส้น $AB$ ตรงกับส่วน $AB$ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ตามเงื่อนไข
$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,
$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,
คำตอบคือระยะห่างจากจุด $P$ ถึงเส้น $AB$ มิฉะนั้นระยะทางจะเท่ากับ $\min(AP, BP)$
คำจำกัดความ 1
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลขเท่ากับผลคูณของไดน์ของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
สัญลักษณ์สำหรับผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → มีรูปแบบ a → , b → มาแปลงเป็นสูตร:
ก → , b → = a → · b → · cos → , b → ^ a → และ b → แสดงถึงความยาวของเวกเตอร์ a → , b → ^ - การกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด หากเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นั่นคือ มีค่าเป็น 0 ผลลัพธ์จะเท่ากับศูนย์ a → , b → = 0
เมื่อคูณเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง เราจะได้กำลังสองของความยาว:
ก → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2
คำจำกัดความ 2
การคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเองเรียกว่ากำลังสองสเกลาร์
คำนวณโดยสูตร:
ก → , b → = a → · b → · cos → , b → ^
สัญกรณ์ a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → แสดงว่า n p b → a → เป็นเส้นโครงเชิงตัวเลขของ a → เข้าสู่ ข → , n p a → a → - การฉายภาพของ b → สู่ a → ตามลำดับ
ให้เรากำหนดคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สำหรับเวกเตอร์สองตัว:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว a → โดย b → เรียกว่าผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ a → โดยเส้นโครง b → ตามทิศทางของ a → หรือผลคูณของความยาว b → โดยเส้นโครง a → ตามลำดับ
สินค้าดอทในพิกัด
ผลคูณสเกลาร์สามารถคำนวณได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ในระนาบที่กำหนดหรือในอวกาศ
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในปริภูมิสามมิติ เรียกว่าผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b →
เมื่อคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) บนระนาบในระบบคาร์ทีเซียน ให้ใช้:
ก → , b → = a x b x + a y โดย y ,
สำหรับพื้นที่สามมิติจะใช้นิพจน์ได้:
ก → , b → = a x · b x + a y · by + a z · bz
อันที่จริง นี่คือคำจำกัดความที่สามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
มาพิสูจน์กัน
หลักฐานที่ 1
เพื่อพิสูจน์ เราใช้ a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · by สำหรับเวกเตอร์ a → = (a x , a y) , b → = (b x , โดย) บนระบบคาร์ทีเซียน
ควรแยกเวกเตอร์ออกไป
O A → = a → = a x , a y และ O B → = b → = b x , b y .
จากนั้นความยาวของเวกเตอร์ A B → จะเท่ากับ A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , by - ay) .
พิจารณาสามเหลี่ยม O A B .
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ถูกต้องตามทฤษฎีบทโคไซน์
ตามเงื่อนไขจะชัดเจนว่า O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ ซึ่งหมายความว่าเราเขียนสูตรในการหามุมระหว่างเวกเตอร์ต่างกัน
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .
จากนั้นจากคำจำกัดความแรกจะเป็นไปตามนั้น b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) ซึ่งหมายความว่า (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + ข → 2 - ข → - ก → 2) .
เมื่อใช้สูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์เราจะได้:
ก → , b → = 1 2 · ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (by - a y) 2) = = a x b x + a y b y
ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z
– ตามลำดับสำหรับเวกเตอร์ของปริภูมิสามมิติ
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัดบอกว่ากำลังสองของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดในอวกาศและบนระนาบตามลำดับ a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) และ (a → , a →) = a x 2 + a y 2
ผลิตภัณฑ์ดอทและคุณสมบัติของมัน
มีคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอทที่ใช้กับ a → , b → และ c → :
- การสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) ;
- การกระจายตัว (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , ค →) ;
- สมบัติเชิงรวม (แลม · a → , b →) = แลม · (a → , b →), (a → , แล · b →) = แลม · (a → , b →), λ - ตัวเลขใด ๆ;
- สเกลาร์สแควร์มีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ (a → , a →) ≥ 0 โดยที่ (a → , a →) = 0 ในกรณีที่ a → ศูนย์
คุณสมบัตินี้สามารถอธิบายได้ด้วยคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์บนระนาบและคุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง
พิสูจน์สมบัติการสับเปลี่ยน (a → , b →) = (b → , a →) . จากคำจำกัดความที่เรามี (a → , b →) = a y · by + a y · by และ (b → , a →) = b x · a x + b y · ay
โดยสมบัติของการสับเปลี่ยน ความเท่าเทียมกัน a x · b x = b x · a x และ a y · b y = b y · a y เป็นจริง ซึ่งหมายความว่า a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · ay
เป็นไปตามนั้น (a → , b →) = (b → , a →) Q.E.D.
การกระจายใช้ได้กับตัวเลขใดๆ:
(ก (1) → + ก (2) → + . . . + ก (n) → , b →) = (ก (1) → , ข →) + (ก (2) → , ข →) + . - - + (ก (น) → , ข →)
และ (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . - - + (ก → , ข → (น)) ,
ดังนั้นเราจึงมี
(ก (1) → + ก (2) → + . . . + ก (n) → , ข (1) → + ข (2) → + . . . + ข (ม) →) = = (ก ( 1) → , ข (1) →) + (ก (1) → , ข (2) →) + . - - + (ก (1) → , ข (ม) →) + + (ก (2) → , ข (1) →) + (ก (2) → , ข (2) →) + . - - + (ก (2) → , ข (ม) →) + . - - + + (ก (n) → , ข (1) →) + (ก (n) → , ข (2) →) + . - - + (ก (น) → , ข (ม) →)
ผลิตภัณฑ์ดอทพร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา
ปัญหาประเภทนี้แก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติและสูตรที่เกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์:
- (ก → , ข →) = ก → · ข → · cos (ก → , ข → ^) ;
- (ก → , ข →) = ก → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- (ก → , b →) = a x · b x + a y · by หรือ (a → , b →) = a x · bx + a y · by + a z · b z ;
- (ก → , ก →) = ก → 2 .
ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างที่ 2
ความยาวของ a → คือ 3 ความยาวของ b → คือ 7 จงหาผลคูณดอทถ้ามุมมี 60 องศา
สารละลาย
ตามเงื่อนไข เรามีข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นเราจึงคำนวณโดยใช้สูตร:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2
คำตอบ: (ก → , ข →) = 21 2 .
ตัวอย่างที่ 3
ให้เวกเตอร์ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . ผลิตภัณฑ์สเกลาร์คืออะไร?
สารละลาย
ใน ในตัวอย่างนี้พิจารณาสูตรการคำนวณพิกัดเนื่องจากระบุไว้ในคำสั่งปัญหา:
(a → , b →) = a x · b x + a y · by + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9
คำตอบ: (ก → , ข →) = - 9
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของ A B → และ A C → ให้จุด A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) บนระนาบพิกัด
สารละลาย
ขั้นแรกให้คำนวณพิกัดของเวกเตอร์เนื่องจากตามเงื่อนไขจะได้รับพิกัดของจุด:
AB → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) AC → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)
เมื่อแทนสูตรโดยใช้พิกัดเราจะได้:
(AB →, AC →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28
คำตอบ: (AB → , AC →) = 28 .
ตัวอย่างที่ 5
เมื่อกำหนดเวกเตอร์ a → = 7 · m → + 3 · n → และ b → = 5 · m → + 8 · n → ค้นหาผลคูณของมัน m → เท่ากับ 3 และ n → เท่ากับ 2 หน่วย ซึ่งตั้งฉากกัน
สารละลาย
(ก → , ข →) = (7 ม. → + 3 n → , 5 ม. → + 8 n →) . เมื่อใช้คุณสมบัติการกระจายเราจะได้:
(7 ม. → + 3 n →, 5 ม. → + 8 n →) = = (7 ม. →, 5 ม. →) + (7 ม. →, 8 n →) + (3 n → , 5 ม. →) + ( 3 n → , 8 n →)
เรานำค่าสัมประสิทธิ์ออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์และรับ:
(7 ม. → , 5 ม. →) + (7 ม. → , 8 n →) + (3 n → , 5 ม. →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , ม. →) + 7 · 8 · (ม → , n →) + 3 · 5 · (n → , ม →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (ม → , ม →) + 56 · (ม → , n →) + 15 · (n → , ม. →) + 24 · (n → , n →)
โดยคุณสมบัติของการสลับที่เราเปลี่ยน:
35 · (ม → , ม. →) + 56 · (ม → , n →) + 15 · (n → , ม. →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (ม. → , ม. →) + 56 · (ม → , n →) + 15 · (ม → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (ม → , ม. →) + 71 · (ม → , n → ) + 24 · (n → , n →)
เป็นผลให้เราได้รับ:
(ก → , ข →) = 35 · (ม → , ม. →) + 71 · (ม → , n →) + 24 · (n → , n →)
ตอนนี้เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ที่มีมุมที่ระบุตามเงื่อนไข:
(ก → , ข →) = 35 · (ม → , ม. →) + 71 · (ม → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · ม. → 2 + 71 · ม. → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
คำตอบ: (ก → , ข →) = 411
หากมีการฉายภาพเป็นตัวเลข
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของ a → และ b → เวกเตอร์ a → มีพิกัด a → = (9, 3, - 3), เส้นโครง b → พร้อมพิกัด (- 3, - 1, 1)
สารละลาย
ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และเส้นโครง b → มีทิศทางตรงกันข้าม เนื่องจาก a → = - 1 3 · n p a → b → → ซึ่งหมายความว่าเส้นโครง b → สอดคล้องกับความยาว n p a → b → → และด้วย “ -" เข้าสู่ระบบ:
n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,
เมื่อแทนสูตรเราจะได้นิพจน์:
(ก → , ข →) = ก → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .
คำตอบ: (ก → , ข →) = - 33 .
ปัญหาเกี่ยวกับผลคูณสเกลาร์ที่ทราบ ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาความยาวของเวกเตอร์หรือการฉายภาพเชิงตัวเลข
ตัวอย่างที่ 7
ค่าใดที่ควรใช้สำหรับผลคูณสเกลาร์ที่กำหนด a → = (1, 0, แลมบ์ดา + 1) และ b → = (แลมบ์ดา, 1, แลมบ์ดา) จะเท่ากับ -1
สารละลาย
จากสูตรเป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของผลคูณของพิกัด:
(ก → , ข →) = 1 แลม + 0 1 + (แลม + 1) แล = แลม 2 + 2 แลมบ์
เมื่อพิจารณาว่าเรามี (a → , b →) = - 1
ในการค้นหา แล เราคำนวณสมการ:
แลมบ์ 2 + 2 · แลม = - 1 ดังนั้น แลมบ์ = - 1
คำตอบ: แล = - 1
ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
กลศาสตร์พิจารณาการประยุกต์ใช้ดอทโปรดัค
เมื่อ A ทำงานด้วยแรงคงที่ F → ตัววัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จากจุด M ถึง N คุณจะพบผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ F → และ M N → ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ซึ่งหมายความว่างานจะเท่ากัน ผลคูณของแรงและเวกเตอร์การกระจัด:
ก = (F → , M ยังไม่มีข้อความ →) .
ตัวอย่างที่ 8
การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ 3 เมตรภายใต้การกระทำของแรงเท่ากับ 5 Ntons นั้นมีทิศทางที่มุม 45 องศาสัมพันธ์กับแกน ค้นหา ก.
สารละลาย
เนื่องจากงานเป็นผลคูณของเวกเตอร์แรงและการกระจัด หมายความว่าตามเงื่อนไข F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° เราจึงได้ A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .
คำตอบ: ก = 15 2 2 .
ตัวอย่างที่ 9
จุดวัสดุที่เคลื่อนที่จาก M (2, - 1, - 3) ไปยัง N (5, 3 แล - 2, 4) ภายใต้แรง F → = (3, 1, 2) ทำงานได้เท่ากับ 13 J คำนวณ ความยาวของการเคลื่อนไหว
สารละลาย
สำหรับพิกัดเวกเตอร์ที่กำหนด M N → เรามี M N → = (5 - 2, 3 แล - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 แลมบ์ดา - 1, 7)
การใช้สูตรในการหางานด้วยเวกเตอร์ F → = (3, 1, 2) และ M N → = (3, 3 แลม - 1, 7) เราได้รับ A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 แลมบ์ - 1) + 2 7 = 22 + 3 แลมบ์
ตามเงื่อนไขกำหนดว่า A = 13 J ซึ่งหมายถึง 22 + 3 แล = 13 นี่หมายถึง แลมบ์ดา = - 3 ซึ่งหมายถึง M N → = (3, 3 แลมบ์ดา - 1, 7) = (3, - 10, 7)
หากต้องการค้นหาความยาวของการเคลื่อนที่ M N → ให้ใช้สูตรและแทนที่ค่า:
ม ยังไม่มีข้อความ → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158
คำตอบ: 158.
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
บรรยาย: พิกัดเวกเตอร์ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์
พิกัดเวกเตอร์
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทางซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของตัวเอง หากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดแสดงด้วยจุดใดจุดหนึ่ง แสดงว่าจุดเหล่านั้นมีพิกัดของตัวเองบนเครื่องบินหรือในอวกาศ
หากแต่ละจุดมีพิกัดของตัวเอง เราก็จะได้พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดได้
สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การกำหนดดังต่อไปนี้และพิกัด: A(A x ; Ay) และ B(B x ; By)
เพื่อให้ได้พิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด จำเป็นต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์:
ในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
มีสองวิธีในการกำหนดแนวคิดของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
- วิธีเรขาคณิต ผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของค่าของโมดูลเหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
- ความหมายพีชคณิต จากมุมมองของพีชคณิต ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือปริมาณที่แน่นอนซึ่งได้มาจากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน
หากให้เวกเตอร์ไว้ในอวกาศ คุณควรใช้สูตรที่คล้ายกัน:
คุณสมบัติ:
- หากคุณคูณเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวด้วยสเกลาร์ ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะไม่เป็นลบ:
- หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่เหมือนกันสองตัวกลายเป็นศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้จะถือว่าเป็นศูนย์:
- หากเวกเตอร์บางตัวคูณด้วยตัวมันเอง ผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับกำลังสองของโมดูลัส:
- ผลคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติในการสื่อสาร กล่าวคือ ถ้าเวกเตอร์ถูกจัดเรียงใหม่ ผลคูณสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลง:
- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน:
- สำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ กฎการสับเปลี่ยนจะใช้ได้ในกรณีที่คูณเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวเลข:
- ด้วยผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณได้:
มุมระหว่างเวกเตอร์
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเราดูแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเครื่องมือค้นหา ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่านบทความเบื้องต้นข้างต้น เนื่องจากเพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหา คุณต้องคุ้นเคยกับคำศัพท์และสัญลักษณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และ สามารถแก้ไขปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องของหัวข้อเชิงตรรกะ และในหัวข้อนั้น ผมจะวิเคราะห์งานทั่วไปโดยละเอียดที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นกิจกรรมที่สำคัญมาก- พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง เพราะสิ่งเหล่านี้มาพร้อมกับโบนัสที่เป็นประโยชน์ - การฝึกฝนจะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่คุณพูดถึงและแก้ไขปัญหาทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ดีขึ้น
การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข.... คงจะไร้เดียงสาถ้าคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอะไรอย่างอื่นขึ้นมา นอกเหนือจากการดำเนินการที่กล่าวถึงแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์อีกจำนวนหนึ่ง ได้แก่: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเราจากโรงเรียน ส่วนอีกสองผลคูณตามธรรมเนียมเป็นของวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นเรียบง่าย อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาต่าง ๆ นั้นตรงไปตรงมาและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลในปริมาณที่เหมาะสม ดังนั้นจึงไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ไขทุกอย่างในคราวเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นจำลอง เชื่อฉันเถอะ ผู้เขียนไม่อยากรู้สึกเหมือน Chikatilo จากวิชาคณิตศาสตร์เลย แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์ =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้สื่อการสอนแบบเลือกสรรได้ ในแง่หนึ่ง“รับ” ความรู้ที่หายไป เพื่อคุณ ฉันจะเป็นเคานต์แดร็กคูล่าผู้ไม่เป็นอันตราย =)
ในที่สุดเรามาเปิดประตูและดูด้วยความกระตือรือร้นว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาพบกัน...
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ งานทั่วไป
แนวคิดของผลคูณดอท
อันดับแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์- ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่ในกรณีนี้ จะมีรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย ลองพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ฟรีและ หากคุณพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดใดก็ได้คุณจะได้ภาพที่หลายคนจินตนาการไว้แล้ว: 
ฉันยอมรับว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดดูหนังสือเรียน สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ โดยหลักการแล้ว มันไม่มีประโยชน์สำหรับเรา นอกจากนี้ ที่นี่และในที่นี้ ฉันจะเพิกเฉยต่อเวกเตอร์ศูนย์ในตำแหน่งต่างๆ เนื่องจากมีความสำคัญเชิงปฏิบัติต่ำ ฉันจองไว้โดยเฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูงที่อาจตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความที่ตามมาบางส่วน
สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (0 ถึงเรเดียน) รวมอยู่ด้วย ในเชิงวิเคราะห์ ข้อเท็จจริงนี้เขียนเป็นอสมการสองเท่า:
หรือ 
(เป็นเรเดียน) ในวรรณคดี สัญลักษณ์มุมมักถูกข้ามและเขียนง่ายๆ
คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้: 
นี่เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด
เรามุ่งเน้นไปที่ข้อมูลที่สำคัญ:
การกำหนด:ผลคูณสเกลาร์แสดงโดยหรือเพียงแค่
ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: เวกเตอร์คูณด้วยเวกเตอร์ และผลลัพธ์คือตัวเลข อันที่จริง ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข แล้วผลคูณของเวกเตอร์ 
จะเป็นตัวเลขด้วย
ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสองสามตัวอย่าง:
ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย:เราใช้สูตร 
- ใน ในกรณีนี้:
คำตอบ:
ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ- ฉันแนะนำให้พิมพ์ออกมา - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องใช้หลายครั้ง
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณสเกลาร์นั้นไม่มีมิติ นั่นคือผลลัพธ์ในกรณีนี้เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้นเอง จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ ผลคูณสเกลาร์จะมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอนเสมอ นั่นคือ หลังจากผลลัพธ์แล้ว จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหรือหน่วยอื่น ตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับของการคำนวณการทำงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียนทุกเล่ม (สูตรนี้เป็นผลคูณสเกลาร์ทุกประการ) งานของแรงวัดเป็นจูลส์ ดังนั้นคำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น .
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาว่า 
และมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
มุมระหว่างเวกเตอร์กับมูลค่าผลิตภัณฑ์ดอท
ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 กลายเป็นลบ เรามาดูกันว่าสัญญาณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: 
- ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น
บันทึก: เพื่อให้เข้าใจข้อมูลด้านล่างได้ดีขึ้น ควรศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือจะดีกว่า กราฟฟังก์ชันและคุณสมบัติ- ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรในส่วนนั้น
ตามที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์อาจแตกต่างกันไปภายใน 
และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:
1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: 
(ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น 
, และ ผลคูณดอทจะเป็นค่าบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็จะเป็นบวกเช่นกัน เนื่องจาก สูตรลดความซับซ้อน:
2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ: 
(จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น 
และตามลำดับ ดอทโปรดัคเป็นลบ- กรณีพิเศษ: ถ้าเป็นเวกเตอร์ ทิศทางตรงกันข้ามจากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างพวกเขา ขยาย: (180 องศา) ผลคูณสเกลาร์ก็เป็นลบเช่นกัน เนื่องจาก
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:
1) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมแหลม อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นแบบมีทิศทางร่วม
2) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์อยู่ในทิศทางตรงกันข้าม
แต่กรณีที่สามเป็นที่สนใจเป็นพิเศษ:
3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) แล้ว ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์- การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว คำกล่าวสามารถกำหนดได้กระชับดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นั้นตั้งฉากเท่านั้น- สัญกรณ์คณิตศาสตร์แบบสั้น: 
- บันทึก
: ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลลัพธ์เชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "หากและหากเท่านั้น", "หากและหากเท่านั้น" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปในทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้เป็นไปตามสิ่งนี้ และในทางกลับกัน - จากสิ่งนี้ตามมาสิ่งนี้" อะไรคือความแตกต่างจากไอคอนการติดตามทางเดียว? ไอคอนระบุว่า ว่ามีเพียงว่า “จากนี้ไปนี้” และไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง ตัวอย่างเช่น แต่ไม่ใช่ว่าสัตว์ทุกตัวจะเป็นเสือดำ ดังนั้นในกรณีนี้ คุณจะไม่สามารถใช้ไอคอนนี้ได้ ในเวลาเดียวกันแทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ไขปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉาก: 
- รายการดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่าด้วยซ้ำ 
.
กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่งเนื่องจากช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์ตั้งฉากหรือไม่ เราจะแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน
คุณสมบัติของผลคูณดอท
กลับมาที่สถานการณ์เมื่อมีเวกเตอร์สองตัวกัน ร่วมกำกับ- ในกรณีนี้ มุมระหว่างพวกมันคือศูนย์ และสูตรผลคูณสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกันกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรง่ายๆ ข้างต้น:
เบอร์นั้นเรียกว่า สเกลาร์สแควร์เวกเตอร์ และแสดงเป็น .
ดังนั้น, สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:
จากความเท่าเทียมกันนี้เราสามารถได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
จนถึงตอนนี้ดูเหมือนจะไม่ชัดเจน แต่วัตถุประสงค์ของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหาที่เราต้องการด้วย คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:
1) – สับเปลี่ยนหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์
2) 
– การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เพียงคุณเปิดวงเล็บได้
3) 
– สมาคมหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถหาได้จากผลคูณสเกลาร์
บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ด้วย!) จะถูกรับรู้โดยนักเรียนว่าเป็น ขยะที่ไม่จำเป็นซึ่งคุณเพียงแค่ต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งสำคัญที่นี่ทุกคนรู้อยู่แล้วตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ว่าการจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง: . ฉันต้องเตือนคุณว่าในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้เกิดความสับสนกับแนวทางดังกล่าว ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนไม่เป็นความจริง เมทริกซ์พีชคณิต- มันก็ไม่เป็นความจริงเช่นกันสำหรับ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์- ดังนั้น อย่างน้อยที่สุด เจาะลึกคุณสมบัติใดๆ ที่คุณเจอในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะดีกว่า เพื่อทำความเข้าใจว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างและทำอะไรไม่ได้
ตัวอย่างที่ 3
.
สารละลาย:ก่อนอื่น เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันดีกว่า นี่มันอะไรกันเนี่ย? ผลรวมของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่มีการกำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง- ผักชีฝรั่งชนิดเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ และ
ดังนั้นตามเงื่อนไขจึงต้องหาผลคูณสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน 
แต่ปัญหาคือเราไม่ทราบความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น แต่เงื่อนไขให้พารามิเตอร์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไป:
(1) แทนนิพจน์สำหรับเวกเตอร์
(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎสำหรับการคูณพหุนาม สามารถพบได้ในบทความ จำนวนเชิงซ้อนหรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ- ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทำให้เราสามารถเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ์
(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราจะเขียนกำลังสองของเวกเตอร์ให้แน่น: 
- ในระยะที่สอง เราใช้ความสามารถในการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
(4) เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน: .
(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรกำลังสองแบบสเกลาร์ ซึ่งกล่าวไปเมื่อไม่นานมานี้ ในระยะสุดท้าย สิ่งเดียวกันนี้ได้ผล: . เราขยายเทอมที่สองตามสูตรมาตรฐาน 
.
(6) แทนเงื่อนไขเหล่านี้ 
และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง
คำตอบ:
ค่าลบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระบุถึงความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นเป็นมุมป้าน
ปัญหาเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และดูว่าทราบหรือไม่ 
.
ตอนนี้เป็นงานทั่วไปอีกอย่างหนึ่ง เฉพาะสำหรับสูตรใหม่สำหรับความยาวของเวกเตอร์ สัญลักษณ์ที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:
ตัวอย่างที่ 5
จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า 
.
สารละลายจะเป็นดังนี้:
(1) เราจัดหานิพจน์สำหรับเวกเตอร์
(2) เราใช้สูตรความยาว: และนิพจน์ทั้งหมดทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ “ve”
(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม สังเกตว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่ในลักษณะที่น่าสงสัย: – อันที่จริง มันคือกำลังสองของความแตกต่าง และอันที่จริง มันเป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่ได้: - สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้น ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่
(4) สิ่งที่ตามมาเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้
คำตอบ: 
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาวอย่าลืมระบุมิติ - "หน่วย"
ตัวอย่างที่ 6
จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า 
.
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากดอทโปรดัคต่อไป เรามาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง 
- เมื่อใช้กฎสัดส่วน เราจะรีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์ให้เป็นตัวส่วนของด้านซ้าย: 
มาเปลี่ยนชิ้นส่วนกัน: 
ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? หากทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมัน เราก็สามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ และผลที่ตามมาคือตัวมันเอง
ดอทโปรดัคเป็นตัวเลขใช่หรือไม่? ตัวเลข. ความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: 
จากนั้นจึงใช้ ฟังก์ชันผกผันการหามุมนั้นเป็นเรื่องง่าย: 
.
ตัวอย่างที่ 7
จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ และถ้ารู้ว่า .
สารละลาย:เราใช้สูตร:
บน ขั้นตอนสุดท้ายในการคำนวณใช้เทคนิคทางเทคนิค - ขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไม่ลงตัว ฉันจึงคูณทั้งเศษและส่วนด้วย
แล้วถ้า 
, ที่: 
ค่าผกผัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถพบได้โดย ตารางตรีโกณมิติ- แม้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ มักมีหมีเงอะงะเช่น และค่าของมุมจะต้องหาได้โดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข จริงๆแล้วเราจะเห็นภาพดังกล่าวมากกว่าหนึ่งครั้ง
คำตอบ:
อย่าลืมระบุขนาด - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว เพื่อที่จะ "แก้ไขคำถามทั้งหมด" ได้อย่างชัดเจน ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่เงื่อนไขนั้นแน่นอนว่าต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือเป็นองศาเท่านั้น)
ตอนนี้คุณสามารถรับมือกับสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างอิสระมากขึ้น งานที่ยากลำบาก:
ตัวอย่างที่ 7*
ให้ไว้คือความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ , .
งานไม่ได้ยากมากนักเพราะมีหลายขั้นตอน
ลองดูอัลกอริธึมการแก้ปัญหา:
1) ตามเงื่อนไข คุณต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ดังนั้นคุณจึงต้องใช้สูตร 
.
2) ค้นหาผลคูณสเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)
3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างที่ 5, 6)
4) การสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย: 
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ส่วนที่สองของบทเรียนเน้นไปที่ผลคูณสเกลาร์เดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในภาคแรกด้วยซ้ำ
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดในลักษณะออร์โธนอร์มอล
คำตอบ:
ไม่จำเป็นต้องพูดว่า การจัดการกับพิกัดเป็นเรื่องที่น่าพึงพอใจกว่ามาก
ตัวอย่างที่ 14
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้า
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสามออกไปนอกผลคูณสเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยมันใน วิธีสุดท้าย- คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
ในตอนท้ายของย่อหน้า ตัวอย่างที่เร้าใจในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
ตัวอย่างที่ 15
ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ 
, ถ้า
สารละลาย:วิธีการของหัวข้อที่แล้วแนะนำตัวเองอีกครั้ง แต่มีวิธีอื่น:
มาหาเวกเตอร์:
และความยาวตามสูตรมโนสาเร่ 
:
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องที่นี่เลย!
มันไม่มีประโยชน์เช่นกันเมื่อคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
หยุด. เราไม่ควรใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ชัดเจนของความยาวเวกเตอร์ไม่ใช่หรือ? คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางนั้นตรงกันข้าม แต่ก็ไม่สำคัญ เพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอนว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
– เครื่องหมายโมดูลัส “กิน” ค่าที่เป็นไปได้ลบของตัวเลข
ดังนั้น:
คำตอบ:
สูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด
ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนเพื่อแสดงสูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์:
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ ระบุไว้ในหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:
.
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร: 
ตัวอย่างที่ 16
เมื่อพิจารณาจากจุดยอดสามจุดของรูปสามเหลี่ยม ค้นหา (มุมจุดยอด)
สารละลาย:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง: 
มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว จำชื่อโรงเรียนเป็นมุมหนึ่งทันที: – ความสนใจเป็นพิเศษบน เฉลี่ยจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ คุณสามารถเขียนง่ายๆ ก็ได้
จากการวาดภาพ เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมระหว่างเวกเตอร์ หรืออีกนัยหนึ่ง: 
.
ขอแนะนำให้เรียนรู้ที่จะดำเนินการวิเคราะห์ทางจิตใจ
มาหาเวกเตอร์กันดีกว่า: 
ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์:
และความยาวของเวกเตอร์: 
โคไซน์ของมุม:
นี่เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำสำหรับหุ่นเชิดทุกประการ ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในบรรทัดเดียว": 
นี่คือตัวอย่างของค่าโคไซน์ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่ใช่ค่าสุดท้าย ดังนั้นจึงแทบไม่มีประโยชน์อะไรที่จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนได้
มาหามุมกัน:
หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์ก็ค่อนข้างเป็นไปได้ หากต้องการตรวจสอบ คุณสามารถวัดมุมได้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้ฝาครอบจอภาพเสียหาย =)
คำตอบ: 
ในคำตอบเราไม่ลืมสิ่งนั้น ถามเรื่องมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่ถูกต้อง: และค่าประมาณของมุม: 
พบว่าใช้เครื่องคิดเลข
ผู้ที่ชื่นชอบกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุมและตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติได้
ตัวอย่างที่ 17
รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดไว้ในอวกาศด้วยพิกัดของจุดยอด ค้นหามุมระหว่างด้านและ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ส่วนสุดท้ายสั้นๆ จะเน้นไปที่การฉายภาพ ซึ่งเกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์ด้วย:
การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์
พิจารณาเวกเตอร์และ: 
เรามาฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์กัน โดยเราละเว้นตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากเป็นเวกเตอร์ (สีเขียว เส้นประ- ลองนึกภาพว่ารังสีตกกระทบในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซกเมนต์ นั่นคือการฉายภาพเป็นตัวเลข
NUMBER นี้แสดงดังนี้: , “เวกเตอร์ขนาดใหญ่” หมายถึงเวกเตอร์ ที่โครงการ “เวกเตอร์ตัวห้อยเล็ก” หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งมีการฉายภาพไว้
รายการอ่านได้ดังนี้: “การฉายภาพเวกเตอร์ “a” ลงบนเวกเตอร์ “be”
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ “a” จะถูกฉายภาพไว้แล้ว ไปในทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"เพียง - ไปยังเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกเลื่อนออกไปในอาณาจักรที่สามสิบ - มันจะยังคงฉายภาพบนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" ได้อย่างง่ายดาย
ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว
ถ้าเป็นเวกเตอร์ ตั้งฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติเป็นศูนย์)
ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ(ในรูปให้จัดเรียงลูกศรเวกเตอร์ใหม่ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)
ให้เราพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง: 
แน่นอนว่าเมื่อเวกเตอร์เคลื่อนที่ เส้นโครงของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง