Vektorite segakorrutis. Vektorite vektorkorrutis. Vektorite segakorrutis Kasti kõrguse vektorid

Vektorite ja koordinaatidega antud segakorrutis arvutatakse valemiga: .

Segatud toodet kasutatakse: 1) vektoritele ehitatud tetraeedri ja rööptahuka ruumalade arvutamiseks ja, nagu ka servadel, valemi järgi: ; 2) vektorite komplanaarsuse tingimusena ja : ning on samatasapinnalised.

5. teema. Sirged jooned ja tasapinnad.

Tavaline joonvektor , kutsutakse välja mis tahes nullist erinev vektor, mis on antud sirgega risti. Suunavektor sirge , kutsutakse välja mis tahes nullist erinev vektor, mis on paralleelne antud sirgega.

Otse pinnal

1) - üldvõrrand sirgjoon, kus on sirge normaalvektor;

2) - antud vektoriga risti läbivat punkti läbiva sirge võrrand ;

3) kanooniline võrrand );

5) - sirge võrrandid kaldega , kus on punkt, mida joon läbib; () - nurk, mille joon moodustab teljega; - teljel sirgjoonega lõigatud lõigu pikkus (märgiga ) (märk " ", kui segment on ära lõigatud telje positiivselt osalt ja " ", kui telje pool on ära lõigatud).

6) - sirgjoone võrrand lõigetes, kus ja on lõikude pikkused (märgiga ) lõigatud sirgjoonega koordinaattelgedel ja (märk " ", kui segment on ära lõigatud telje positiivselt osalt ja " ", kui see on telje negatiivne ).

Kaugus punktist jooneni , mis on antud tasapinna üldvõrrandiga, leitakse valemiga:

Nurk , ( )sirgjoonte vahel ja , mis on antud üldvõrrandite või kaldega võrranditega, leitakse ühe järgmistest valemitest:

Kui või .

Kui või

Sirgete lõikepunkti koordinaadid ja leitakse lineaarvõrrandisüsteemi lahendusena: või .

Tasapinna normaalvektor , kutsutakse mis tahes nullist erinevat vektorit, mis on antud tasapinnaga risti.

Lennuk koordinaatsüsteemis saab anda ühe järgmistest tüüpidest võrrandiga:

1) - üldvõrrand tasapind, kus on tasapinna normaalvektor;

2) - antud vektoriga risti läbivat punkti läbiva tasandi võrrand ;

3) - kolme punkti läbiva tasandi võrrand ja ;

4) - tasapinnaline võrrand lõigetes, kus , ja on koordinaattelgedel tasapinna poolt ära lõigatud lõikude pikkused (märgiga ) ja (märk " ", kui segment on ära lõigatud telje positiivselt osalt ja " ", kui see on telje negatiivne ).

Kaugus punktist tasapinnani , mis on antud üldvõrrandiga , leitakse valemiga:

Nurk ,( )lennukite vahel ja , mis on antud üldvõrranditega, leitakse valemiga:

Otse kosmoses koordinaatsüsteemis saab anda ühe järgmistest tüüpidest võrrandiga:

1) - üldvõrrand sirgjoon, kui kahe tasandi lõikejooned, kus ja on tasandite normaalvektorid ja;

2) - antud vektoriga paralleelset punkti läbiva sirge võrrand ( kanooniline võrrand );

3) - kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrand ;

4) - antud vektoriga paralleelset punkti läbiva sirge võrrand, ( parameetriline võrrand );

Nurk , ( ) sirgjoonte vahel ja kosmoses , mis on antud kanooniliste võrranditega, leitakse järgmise valemiga:

Sirge lõikepunkti koordinaadid , mis on antud parameetrilise võrrandiga ja lennuk , mis on antud üldvõrrandiga, leitakse lahendusena lineaarvõrrandisüsteemile: .

Nurk , ( ) rea vahele , mis on antud kanoonilise võrrandiga ja lennuk , mis on antud üldvõrrandiga, leitakse valemiga: .

6. teema. Teise järgu kõverad.

Teist järku algebraline kõver koordinaatsüsteemis nimetatakse seda kõveraks, üldvõrrand mis näeb välja selline:

kus numbrid - ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Teist järku kõverate klassifikatsioon on järgmine: 1) kui , siis üldvõrrand defineerib kõvera elliptiline tüüp (ring (for ), ellips (for ), tühi hulk, punkt); 2) kui , siis - kõver hüperboolne tüüp (hüperbool, ristuvate sirgete paar); 3) kui , siis - kõver paraboolne tüüp(parabool, tühi hulk, sirge, paralleeljoonte paar). Nimetatakse ring, ellips, hüperbool ja parabool teist järku mittemandunud kõverad.

Üldvõrrandi , kus , mis määratleb mitte-mandunud kõvera (ring, ellips, hüperbool, parabool), saab alati (kasutades täisruutude valiku meetodit) taandada ühele järgmistest tüüpidest võrrandiks:

1a) - ringi võrrand, mille keskpunkt on punkt ja raadius (joon. 5).

1b)- ellipsi võrrand, mille keskpunkt on punkt ja koordinaattelgedega paralleelsed sümmeetriateljed. Numbrid ja - kutsutakse ellipsi poolteljed ellipsi põhiristkülik; ellipsi tipud .

Ellipsi loomiseks koordinaatsüsteemis: 1) märkige ellipsi keskpunkt; 2) joonestame punktiirjoonega läbi keskpunkti ellipsi sümmeetriatelje; 3) ehitame ellipsi põhiristküliku punktiirjoonega, mille keskpunkt ja küljed on paralleelsed sümmeetriatelgedega; 4) joonistame pideva joonega ellipsi, kirjutades selle põhiristkülikusse nii, et ellips puudutab selle külgi ainult ellipsi tippudes (joonis 6).

Samamoodi konstrueeritakse ring, mille põhiristkülikul on küljed (joon. 5).

Joon.5 Joon.6

2) - hüperboolide võrrandid (nn konjugaat) tsentreeritud punktis ja sümmeetriateljed, mis on paralleelsed koordinaattelgedega. Numbrid ja - kutsutakse hüperboolide poolteljed ; ristkülik, mille küljed on paralleelsed sümmeetriatelgedega ja mille keskpunkt on punkt - hüperboolide põhiristkülik; peamise ristküliku ja sümmeetriatelgede lõikepunktid - hüperboolide tipud; sirgjooned, mis läbivad põhiristküliku vastandlikke tippe - hüperboolide asümptoodid .

Hüperbooli koostamiseks koordinaatsüsteemis: 1) märkige hüperbooli keskpunkt; 2) joonestame punktiirjoonega läbi keskpunkti hüperbooli sümmeetriatelje; 3) ehitame hüperbooli põhiristküliku, mille punktiirjoon on keskpunkti ja külgedega ning paralleelne sümmeetriatelgedega; 4) läbi punktiirjoonega põhiristküliku vastandtippude tõmbame sirgjooned, mis on hüperbooli asümptoodid, millele hüperbooli harud lähenevad määramatult lähedale, lõpmatule kaugusele koordinaatide alguspunktist, ilma neid ristumata; 5) kujutame hüperbooli (joonis 7) või hüperbooli (joonis 8) harusid pideva joonega.

Joon.7 Joon.8

3a)- parabooli võrrand, mille tipp on punktis ja sümmeetriatelg, mis on paralleelne koordinaatteljega (joon. 9).

3b)- parabooli võrrand, mille tipp on punktis ja sümmeetriatelg, mis on paralleelne koordinaatteljega (joon. 10).

Parabooli koostamiseks koordinaatsüsteemis: 1) märkige parabooli tipp; 2) joonestame punktiirjoonega läbi tipu parabooli sümmeetriatelje; 3) kujutame parabooli pideva joonega, suunates selle haru, võttes arvesse parabooli parameetri märki: at - koordinaattelje positiivses suunas paralleelselt parabooli sümmeetriateljega (joon. 9a ja 10a); at - koordinaattelje negatiivses pooles (joonis 9b ja 10b) .

Riis. 9a Joon. 9b

Riis. 10a Joon. 10b

7. teema. Komplektid. Numbrilised komplektid. Funktsioon.

Under palju mõista teatud kindlat mis tahes laadi objektide kogumit, mis on üksteisest eristatavad ja mõeldavad ühtse tervikuna. Objektid, mis moodustavad komplekti, kutsuvad seda elemendid . Hulk võib olla lõpmatu (koosneb lõpmatust arvust elementidest), lõplik (koosneb lõplikust arvust elementidest), tühi (ei sisalda ühtki elementi). Hulgi tähistatakse tähisega ja nende elemente tähistatakse . Tühja komplekti tähistatakse .

Määra kõne alamhulk seadke, kui kõik hulga elemendid kuuluvad hulka ja kirjutage . Määrab ja kutsus võrdne , kui need koosnevad samadest elementidest ja kirjutavad . Kaks komplekti ja on võrdsed siis ja ainult siis, kui ja .

Määra kõne universaalne (selle matemaatilise teooria raames) , kui selle elemendid on kõik selles teoorias käsitletavad objektid.

Paljusid saab seadistada: 1) kõigi selle elementide loetlemine, näiteks: (ainult lõplike hulkade puhul); 2) kehtestades reegli universaalse hulga elemendi kuuluvuse määramiseks antud hulka: .

Ühing

ristumine seab ja seda nimetatakse hulgaks

erinevus seab ja seda nimetatakse hulgaks

Täiendus komplekte (kuni universaalse hulgani) nimetatakse hulgaks.

Kaks komplekti ja nimetatakse samaväärne ja kirjutage ~, kui nende hulkade elementide vahel on võimalik luua üks-ühele vastavus. Komplekt on nn loendatav , kui see on samaväärne naturaalarvude hulgaga: ~. Tühi hulk on definitsiooni järgi loendatav.

Hulga kardinaalsuse mõiste tekib siis, kui hulki võrreldakse neis sisalduvate elementide arvu järgi. Komplekti kardinaalsust tähistatakse . Lõpliku hulga kardinaalsus on selle elementide arv.

Samaväärsetel komplektidel on sama kardinaalsus. Komplekt on nn loendamatu kui selle kardinaalsus on suurem hulga kardinaalsusest .

Kehtiv (päris) number nimetatakse lõpmatuks kümnendmurruks, mis võetakse märgiga "+" või "". Reaalarvud identifitseeritakse arvureal olevate punktidega. moodul Reaalarvu (absoluutväärtus) on mittenegatiivne arv:

Komplekt on nn numbriline kui selle elemendid on reaalarvud.. Numbriline vahedega arvude komplekte nimetatakse: , , , , , , , , .

Kõikide arvurea punktide hulka, mis vastavad tingimusele , kus on suvaliselt väike arv, nimetatakse -naabruskond (või lihtsalt naabruskond) punktist ja seda tähistatakse . Kõigi punktide hulka tingimusega , kus on meelevaldselt suur arv, nimetatakse - naabruskond (või lihtsalt naabruskond) lõpmatusest ja seda tähistatakse .

Nimetatakse suurust, mis säilitab sama arvväärtuse konstantne. Nimetatakse suurust, mis võtab erinevaid arvväärtusi muutuv. Funktsioon kutsutakse välja reegel, mille järgi igale numbrile määratakse üks täpselt määratletud number ja nad kirjutavad. Komplekt on nn määratluspiirkond funktsioonid, - palju ( või piirkond ) väärtused funktsioonid, - argument , - funktsiooni väärtus . Levinuim viis funktsiooni määramiseks on analüütiline meetod, mille puhul funktsioon antakse valemiga. loomulik domeen funktsioon on argumendi väärtuste kogum, mille jaoks see valem on mõttekas. Funktsioonigraafik , ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on tasandi kõigi punktide kogum koordinaatidega , .

Funktsiooni kutsutakse isegi hulgal , punkti suhtes sümmeetriline, kui kõigi jaoks on täidetud järgmine tingimus: ja kummaline kui tingimus on täidetud. Vastasel juhul üldfunktsioon või ei paaris ega paaritu .

Funktsiooni kutsutakse perioodiline komplektis, kui number on olemas ( funktsiooni periood ) nii, et kõigi jaoks on täidetud järgmine tingimus: . Väikseimat arvu nimetatakse põhiperioodiks.

Funktsiooni kutsutakse monotoonselt suurenev (kahanev ) hulgal, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale (väiksemale) väärtusele.

Funktsiooni kutsutakse piiratud hulgal , kui on olemas selline arv , et kõigi jaoks on täidetud järgmine tingimus : . Muidu funktsioon on piiramatu .

Tagurpidi funktsioneerima , , sellist funktsiooni nimetatakse , mis on defineeritud hulgal ja igaühe jaoks

Sobivad sellised, et . Funktsiooni pöördväärtuse leidmiseks , peate võrrandi lahendama suhteliselt . Kui funktsioon , on rangelt monotoonne peal , siis on tal alati pöördfunktsioon ja kui funktsioon suureneb (väheneb), siis ka pöördfunktsioon suureneb (väheneb).

Funktsiooni, mis on esitatud kujul , kus , on mõned funktsioonid, mille puhul funktsiooni definitsiooni domeen sisaldab funktsiooni kogu väärtuste komplekti , nimetatakse keeruline funktsioon sõltumatu argument. Muutujat nimetatakse vahepealseks argumendiks. Kompleksfunktsiooni nimetatakse ka funktsioonide ja kompositsiooniks ning kirjutatakse: .

Põhiline elementaar funktsioonid on: võimsus funktsioon, demonstratsioon funktsioon ( , ), logaritmiline funktsioon ( , ), trigonomeetriline funktsioonid , , , , pöördtrigonomeetriline funktsioonid , , , . Elementaarne nimetatakse funktsiooniks, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest nende aritmeetiliste tehtete ja kompositsioonide lõpliku arvuga.

Kui funktsiooni graafik on antud, taandatakse funktsiooni graafiku konstruktsioon graafiku teisenduste seeriaks (nihutamine, tihendamine või venitamine, kuvamine):

1) 2) teisendus kuvab graafiku sümmeetriliselt telje suhtes; 3) teisendus nihutab graafikut piki telge ühikute kaupa ( - paremale, - vasakule); 4) teisendus nihutab diagrammi piki telge ühikute kaupa ( - üles, - alla); 5) teisendusgraafik piki telge venib kordades, kui või tiheneb kordades, kui ; 6) graafiku teisendamine piki telge tiheneb teguri võrra või venib teguri võrra, kui .

Funktsioonigraafiku joonistamise teisenduste jada saab sümboolselt esitada järgmiselt:

Märge. Teisenduse tegemisel pidage meeles, et nihke piki telge määrab konstant, mis lisatakse otse argumendile, mitte argumendile.

Funktsiooni graafik on parabool, mille tipp on , mille harud on suunatud üles, kui , või alla, kui . Lineaar-murdfunktsiooni graafik on punktis tsentreeritud hüperbool, mille asümptoodid läbivad keskpunkti paralleelselt koordinaatide telgedega. , mis vastab tingimusele. helistas.

Vaatleme vektorite korrutist, ja , mis on koostatud järgmiselt:
. Siin korrutatakse kaks esimest vektorit vektoriaalselt ja nende tulemus skalaarkorrutatakse kolmanda vektoriga. Sellist korrutist nimetatakse vektor-skalaar- ehk kolme vektori segakorrutiseks. Segatoode on mingi arv.

Uurime välja väljendi geomeetrilise tähenduse
.

Teoreem . Kolme vektori segakorrutis on võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga, mis on võetud plussmärgiga, kui need vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, ja miinusmärgiga, kui nad moodustavad vasakpoolse kolmiku.

Tõestus.. Konstrueerime rööptahuka, mille servadeks on vektorid , , ja vektor
.

Meil on:
,
, kus - vektoritele ehitatud rööpküliku pindala ja ,
vektorite parema kolmiku jaoks ja
vasakule, kuhu
on rööptahuka kõrgus. Saame:
, st.
, kus - vektorite poolt moodustatud rööptahuka ruumala , ja .

Segatud toote omadused

1. Segatud toode ei muutu millal tsükliline selle tegurite permutatsioon, st. .

Tõepoolest, sel juhul ei muutu rööptahuka maht ega selle servade orientatsioon.

2. Segakorrutis ei muutu, kui vektori ja skalaarkorrutise märgid on vastupidised, s.t.
.

Tõesti,
ja
. Me võtame sama märgi nende võrrandite paremal küljel, kuna vektorite kolmikud , , ja , , - üks orientatsioon.

Järelikult
. See võimaldab meil kirjutada vektorite segakorrutise
nagu
ilma vektori märkideta, skalaarkorrutis.

3. Segakorrutis muudab märki, kui suvalised kaks faktorivektorit vahetavad kohta, s.t.
,
,
.

Tõepoolest, selline permutatsioon on samaväärne vektori korrutise tegurite permutatsiooniga, mis muudab korrutise märki.

4. Nullidest erineva vektorite segaprodukt , ja on null siis ja ainult siis, kui need on tasapinnalised.

2.12. Segakorrutise arvutamine koordinaatide kujul ortonormaalsel alusel

Las vektorid
,
,
. Leiame nende segakorrutise, kasutades vektor- ja skalaarkorrutistele koordinaatides avaldisi:

. (10)

Saadud valemi saab kirjutada lühemalt:

kuna võrdsuse (10) parem pool on kolmandat järku determinandi laiendus kolmanda rea elementide osas.

Seega on vektorite segakorrutis võrdne kolmandat järku determinandiga, mis koosneb korrutatud vektorite koordinaatidest.

2.13 Mõned segatoote rakendused

Vektorite suhtelise orientatsiooni määramine ruumis

Vektorite suhtelise orientatsiooni määramine , ja järgmiste kaalutluste põhjal. Kui a
, siis , , - paremal kolm kui
, siis , , - jäi kolm.

Vektorite komplanaarsuse tingimus

Vektorid , ja on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende segakorrutis on null (
,
,
):

vektorid , , koplanaarne.

Rööptahuka ja kolmnurkpüramiidi ruumalade määramine

Lihtne on näidata, et rööptahuka ruumala on ehitatud vektoritele , ja arvutatakse kui
, ja samadele vektoritele ehitatud kolmnurkse püramiidi ruumala on võrdne
.

Näide 1 Tõesta, et vektorid
,
,
koplanaarne.

Lahendus. Leiame nende vektorite segakorrutise valemi abil:

See tähendab, et vektorid
koplanaarne.

Näide 2 Arvestades tetraeedri tipud: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Leia selle tipust langenud kõrguse pikkus .

Lahendus. Leiame esmalt tetraeedri ruumala
. Valemi järgi saame:

Kuna determinant on negatiivne arv, peate sel juhul võtma valemi ees miinusmärgi. Järelikult
.

Soovitud väärtus h määrata valemi järgi
, kus S - baaspindala. Määrame ala S:

kus

Kuna

Valemisse asendamine
väärtused
ja
, saame h= 3.

Näide 3 Kas vektorid moodustuvad
alus kosmoses? Lagundada vektorit
vektorite alusel .

Lahendus. Kui vektorid moodustavad ruumis aluse, siis nad ei asu samas tasapinnas, s.t. on mittetasapinnalised. Leidke vektorite segakorrutis
:
,

Seetõttu ei ole vektorid tasapinnalised ja moodustavad ruumis aluse. Kui vektorid moodustavad ruumis aluse, siis mis tahes vektor saab esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina, nimelt
, kus
vektori koordinaadid vektori alusel
. Leiame need koordinaadid võrrandisüsteemi koostades ja lahendades

Lahendades selle Gaussi meetodil, on meil

Siit
. Siis .

Sellel viisil,
.

Näide 4 Püramiidi tipud asuvad punktides:
,
,
,
. Arvutama:

a) näopiirkond
;

b) püramiidi ruumala
;

c) vektorprojektsioon
vektori suunas
;

d) nurk
;

e) kontrollige, kas vektorid
,
,
koplanaarne.

Lahendus

a) Ristkorrutise määratlusest on teada, et:

Vektorite leidmine
ja
, kasutades valemit

,
.

Projektsioonidega määratletud vektorite puhul leitakse vektori korrutis valemiga

, kus
.

Meie juhtumi jaoks

Leiame saadud vektori pikkuse valemi abil

,
.

ja siis
(ruutühikut).

b) Kolme vektori segakorrutis on absoluutväärtuselt võrdne vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga , , nagu ribidel.

Segatud toode arvutatakse järgmise valemiga:

Leiame vektorid
,
,
, langeb kokku püramiidi servadega, läheneb tippu :

Nende vektorite segakorrutis

Kuna püramiidi ruumala on võrdne vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala osaga
,
,
, siis
(kuupühikud).

c) Valemi kasutamine
, mis määratleb vektorite skalaarkorrutise , , võib kirjutada nii:

kus
või
;

või
.

Vektori projektsiooni leidmiseks
vektori suunas
leida vektorite koordinaadid
,
ja seejärel valemi rakendamine

saame

d) nurga leidmiseks
defineerida vektoreid
,
, millel on punktis ühine päritolu :

Seejärel skalaarkorrutise valemi järgi

e) Kolme vektori järjekorras

,
,

on koplanaarsed, on vajalik ja piisav, et nende segakorrutis oleks võrdne nulliga.

Meie puhul on meil
.

Seetõttu on vektorid koplanaarsed.

Koordinaatidega antud vektorite ja , segakorrutis arvutatakse valemiga: .

5. teema. Liinid lennukis.

Otse pinnal koordinaatsüsteemis saab anda ühe järgmistest tüüpidest võrrandiga:

1) - üldvõrrand sirgjoon, kus on sirge normaalvektor;

2) - antud vektoriga risti läbivat punkti läbiva sirge võrrand ;

3) - antud vektoriga paralleelset punkti läbiva sirge võrrand ( kanooniline võrrand );

4) - kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrand ;

Kaugus punktist jooneni , mis on antud tasapinna üldvõrrandiga, leitakse valemiga:

Nurk , ( )sirgjoonte vahel ja , mis on antud üldvõrrandite või kaldega võrranditega, leitakse ühe järgmistest valemitest:

Kui või .

Kui või

Sirgete lõikepunkti koordinaadid ja leitakse lineaarvõrrandisüsteemi lahendusena: või .

10. teema. Komplektid. Numbrilised komplektid. Funktsioonid.

Määra kõne alamhulk seadke, kui kõik hulga elemendid kuuluvad hulka ja kirjutage .

Määrab ja kutsus võrdne , kui need koosnevad samadest elementidest ja kirjutavad . Kaks komplekti ja on võrdsed siis ja ainult siis, kui ja .

Määra kõne universaalne (selle matemaatilise teooria raames) , kui selle elemendid on kõik selles teoorias käsitletavad objektid.

Paljusid saab seadistada: 1) kõigi selle elementide loetlemine, näiteks: (ainult lõplike hulkade puhul); 2) kehtestades reegli universaalse hulga elemendi kuuluvuse määramiseks antud hulka: .

Ühing

ristumine seab ja seda nimetatakse hulgaks

erinevus seab ja seda nimetatakse hulgaks

Täiendus komplekte (kuni universaalse hulgani) nimetatakse hulgaks.

Kehtiv (päris) number nimetatakse lõpmatuks kümnendmurruks, mis võetakse märgiga "+" või "". Reaalarvud identifitseeritakse arvureal olevate punktidega.

moodul Reaalarvu (absoluutväärtus) on mittenegatiivne arv:

Komplekt on nn numbriline kui selle elemendid on reaalarvud. Numbriline vahedega nimetatakse komplektideks

numbrid: , , , , , , , , .

Funktsiooni kutsutakse monotoonselt suurenev (kahanev ) hulgal, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale (väiksemale) väärtusele.

Funktsiooni kutsutakse piiratud hulgal , kui on olemas selline arv , et kõigi jaoks on täidetud järgmine tingimus : . Muidu funktsioon on piiramatu .

Tagurpidi funktsioneerima , , on funktsioon, mis on määratletud komplektis ja määrab igale sellisele, et . Funktsiooni pöördväärtuse leidmiseks , peate võrrandi lahendama suhteliselt . Kui funktsioon , on rangelt monotoonne peal , siis on tal alati pöördfunktsioon ja kui funktsioon suureneb (väheneb), siis ka pöördfunktsioon suureneb (väheneb).

Funktsiooni graafik on parabool, mille tipp on , mille harud on suunatud üles, kui , või alla, kui .

Mõnel juhul on funktsiooni graafiku koostamisel soovitatav jagada selle definitsioonipiirkond mitmeks mittelõikuvaks intervalliks ja ehitada neist igaühele järjestikku graafik.

Kutsutakse välja mis tahes järjestatud reaalarvude komplekt punkt-mõõtmeline aritmeetika (koordinaat) ruumi ja tähistatud või , Kuigi numbreid nimetatakse selle koordinaadid .

Laskma ja olema mõned punktid ja . Kui igale punktile omistatakse mingi reegli järgi üks täpselt määratletud reaalarv , siis öeldakse, et hulgale antakse muutujate arvfunktsioon ja kirjutatakse või lühidalt ja , samas kui kutsutakse määratluspiirkond , - väärtuste kogum , - argumendid (sõltumatute muutujate) funktsioonid.

Sageli tähistatakse kahe muutuja funktsiooni, kolme muutuja funktsiooni -. Funktsiooni määratluspiirkond on teatud punktide kogum tasapinnas, funktsioonid on teatud punktide kogum ruumis.

7. teema. Numbrilised jadad ja seeriad. Järjestuse piirang. Funktsiooni ja järjepidevuse piir.

Kui teatud reegli kohaselt on iga naturaalarv seotud ühe täpselt määratletud reaalarvuga, siis nad ütlevad seda numbriline jada . Lühidalt tähistada. Numbrile helistatakse jada ühine liige . Jada nimetatakse ka loomuliku argumendi funktsiooniks. Jada sisaldab alati lõpmatu arvu elemente, millest mõned võivad olla võrdsed.

Numbrile helistatakse järjestuse piirang , ja kirjutage, kas mõne arvu korral on selline arv, et ebavõrdsus on kõigi jaoks täidetud.

Nimetatakse jada, millel on lõplik piir koonduvad , muidu - lahknev .

: 1) kahanev , kui ; 2) suureneb , kui ; 3) mitte-kahanev , kui ; 4) mitte suurenev , kui . Kõik ülaltoodud jadad nimetatakse üksluine .

Jada nimetatakse piiratud , kui on selline arv, mille puhul on kõigi jaoks täidetud järgmine tingimus: . Muidu on järjestus piiramatu .

Igal monotoonselt piiratud jadal on piir ( Weierstrassi teoreem).

Jada nimetatakse lõpmatult väike , kui . Jada nimetatakse lõpmatult suur (koondudes lõpmatuseni) kui .

number nimetatakse jada piiriks, kus

Konstanti nimetatakse mittepeer-arvuks. Arvu baaslogaritmi nimetatakse arvu naturaallogaritmiks ja seda tähistatakse .

Kutsutakse avaldist kujul , kus on numbrijada numbriline seeria ja on märgitud. Nimetatakse seeria esimeste liikmete summa osaline summa rida.

Rida nimetatakse koonduvad kui on piiratud piir ja lahknev kui limiiti ei ole. Numbrile helistatakse koonduva rea summa , kirjutamise ajal.

Kui seeria läheneb, siis (ridade konvergentsi vajalik kriteerium ) . Vastupidine ei vasta tõele.

Kui , siis seeria lahkneb ( piisav kriteerium seeriate lahknemiseks ).

Üldistatud harmooniliste jada nimetatakse seeriaks, mis koondub ja lahkneb .

Geomeetriline seeria kõne seeria, mis läheneb juures , Kuigi selle summa on võrdne ja lahkneb juures . leidke number või sümbol. (vasak poolnaabrus, parempoolne naabrus) ja

Selles õppetükis vaatleme veel kahte vektoritega tehtavat toimingut: vektorite ristkorrutis ja vektorite segakorrutis (vahetu link neile, kes seda vajavad). Pole hullu, vahel juhtub, et täielikuks õnneks lisaks vektorite punktkorrutis, on vaja rohkem ja rohkem. Selline on vektorsõltuvus. Võib jääda mulje, et oleme sattumas analüütilise geomeetria džunglisse. See ei ole tõsi. Kõrgema matemaatika selles osas on küttepuid üldiselt vähe, välja arvatud ehk piisavalt Pinocchio jaoks. Tegelikult on materjal väga levinud ja lihtne – vaevalt raskem kui sama skalaarkorrutis, isegi tüüpilisi ülesandeid on vähem. Peamine asi analüütilises geomeetrias, nagu paljud näevad või on juba näinud, on MITTE VEDA ARVUTUSTES. Korrake nagu loitsu ja olete õnnelik =)

Kui vektorid sädelevad kusagil kaugel, nagu välk silmapiiril, siis pole vahet, alusta õppetunniga Mannekeenide vektorid taastada või omandada algteadmised vektorite kohta. Ettevalmistumad lugejad saavad infoga tutvuda valikuliselt, püüdsin kokku koguda võimalikult tervikliku näitekogu, mida praktilises töös sageli leidub

Mis teeb sind õnnelikuks? Kui olin väike, oskasin kahe ja isegi kolme palliga žongleerida. See tuli hästi välja. Nüüd pole üldse vaja žongleerida, kuna me kaalume ainult ruumivektorid, ja kahe koordinaadiga lamevektorid jäetakse välja. Miks? Nii need tegevused sündisid – vektor ja vektorite segakorrutis on defineeritud ja toimivad kolmemõõtmelises ruumis. Juba lihtsam!

Selles toimingus, samamoodi nagu skalaarkorrutis, kaks vektorit. Olgu need kadumatud tähed.

Tegevus ise tähistatud järgmisel viisil: . On ka teisi võimalusi, aga ma olen harjunud vektorite ristkorrutist niimoodi tähistama, nurksulgudes koos ristiga.

Ja kohe küsimus: kui sisse vektorite punktkorrutis kaasatud on kaks vektorit ja siin korrutatakse ka kaks vektorit, siis mis vahe on? Selge erinevus, esiteks TULEMUSES:

Vektorite skalaarkorrutise tulemus on ARV:

Vektorite ristkorrutise tulemus on VEKTOR: , ehk siis korrutame vektorid ja saame uuesti vektori. Suletud klubi. Tegelikult sellest ka operatsiooni nimi. Erinevas õppekirjanduses võivad tähistused samuti erineda, kasutan tähte .

Ristkorrutise määratlus

Kõigepealt tuleb pildiga definitsioon, seejärel kommentaarid.

Definitsioon: risttoode mittekollineaarne vektorid, võetud selles järjekorras, nimetatakse VECTORiks, pikkus mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga, ehitatud nendele vektoritele; vektor vektoritega ortogonaalne, ja on suunatud nii, et alus oleks õiges suunas:

Analüüsime definitsiooni luude kaupa, seal on palju huvitavat!

Seega võime esile tõsta järgmisi olulisi punkte:

1) Lähtevektorid, definitsiooni järgi tähistatud punaste nooltega mitte kollineaarne. Kollineaarsete vektorite juhtumit on asjakohane käsitleda veidi hiljem.

2) Võetud vektorid ranges järjekorras: – "a" korrutatakse arvuga "olla", mitte "olema" asemel "a". Vektori korrutamise tulemus on VECTOR , mis on tähistatud sinisega. Kui vektoreid korrutada vastupidises järjekorras, siis saame vektori, mis on võrdne pikkusega ja vastassuunas (karmiinpunane). See tähendab võrdsust .

3) Nüüd tutvume vektorkorrutise geomeetrilise tähendusega. See on väga oluline punkt! Sinise vektori (ja seega ka karmiinpunase vektori ) PIKKUS on arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku PIIRKONNAga. Joonisel on see rööpkülik mustaks varjutatud.

Märge : joonis on skemaatiline ja loomulikult ei võrdu ristkorrutise nimipikkus rööpküliku pindalaga.

Tuletame meelde üht geomeetrilistest valemitest: rööpküliku pindala on võrdne külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Seetõttu kehtib eelneva põhjal vektorkorrutise PIKKUSE arvutamise valem:

Rõhutan, et valemis räägime vektori PIKKUSEST, mitte vektorist endast. Mis on praktiline tähendus? Ja tähendus on selline, et analüütilise geomeetria probleemide korral leitakse rööpküliku pindala sageli vektorkorrutise kontseptsiooni kaudu:

Saame teise olulise valemi. Rööpküliku diagonaal (punane punktiirjoon) jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks. Seetõttu saab vektoritele ehitatud kolmnurga pindala (punane varjutus) leida valemiga:

4) Sama oluline fakt on see, et vektor on vektoritega ortogonaalne, see tähendab . Muidugi on ka vastupidise suunaga vektor (karmiinpunane nool) ortogonaalne algsete vektoritega .

5) Vektor on suunatud nii alus Sellel on õige orientatsiooni. Õppetunnis umbes üleminek uuele alusele Olen sellest üksikasjalikult rääkinud tasapinnaline orientatsioon, ja nüüd selgitame välja, mis on ruumi orientatsioon. Ma selgitan teile sõrmedel parem käsi. Vaimselt kombineerida nimetissõrm vektoriga ja keskmine sõrm vektoriga. Sõrmuse sõrm ja väike sõrm suruge peopessa. Tulemusena pöial- vektorkorrutis otsib üles. See on paremale suunatud alus (see on joonisel). Nüüd vaheta vektorid ( nimetis- ja keskmised sõrmed) mõnes kohas pöördub selle tulemusena pöial ümber ja vektorkorrutis vaatab juba alla. See on ka paremale suunatud alus. Võib-olla on teil küsimus: mis alusel on vasakpoolne orientatsioon? "Määrake" samad sõrmed vasak käsi vektorid ja saate vasakpoolse baasi ja vasakpoolse ruumi orientatsiooni (sel juhul asub pöial alumise vektori suunas). Piltlikult öeldes “väänavad” või orienteerivad need alused ruumi eri suundades. Ja seda kontseptsiooni ei tohiks pidada millekski kaugeks või abstraktseks - näiteks muudab kõige tavalisem peegel ruumi orientatsiooni ja kui "tõmbate peegeldunud objekti peeglist välja", siis üldiselt pole see võimalik ühendage see "originaaliga". Muide, tooge kolm sõrme peegli juurde ja analüüsige peegeldust ;-)

... kui hea on see, et sa sellest nüüd tead paremale ja vasakule orienteeritud alused, sest osade õppejõudude väited orientatsiooni muutumise kohta on kohutavad =)

Kollineaarsete vektorite vektorkorrutis

Definitsioon on üksikasjalikult välja töötatud, jääb üle välja selgitada, mis juhtub, kui vektorid on kollineaarsed. Kui vektorid on kollineaarsed, siis saab need asetada ühele sirgele ja ka meie rööpkülik “voldib” üheks sirgeks. Selliste ala, nagu matemaatikud ütlevad, degenereerunud rööpkülik on null. Sama tuleneb valemist - nulli ehk 180 kraadi siinus võrdub nulliga, mis tähendab, et pindala on null

Seega, kui , siis ja . Pange tähele, et ristkorrutis ise on võrdne nullvektoriga, kuid praktikas jäetakse see sageli tähelepanuta ja kirjutatakse, et see on samuti võrdne nulliga.

Erijuhtum on vektori ja enda vektorkorrutis:

Ristkorrutist kasutades saab kontrollida kolmemõõtmeliste vektorite kollineaarsust ning analüüsime muuhulgas ka seda probleemi.

Praktiliste näidete lahendamiseks võib see osutuda vajalikuks trigonomeetriline tabel siit siinuste väärtuste leidmiseks.

Noh, teeme tuld:

Näide 1

a) Leia vektorite vektorkorrutise pikkus, kui

b) Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala, kui

Lahendus: Ei, see pole kirjaviga, muutsin tingimuse üksuste lähteandmed tahtlikult samaks. Sest lahenduste kujundus on erinev!

a) Vastavalt tingimusele on vaja leida pikkus vektor (vektori korrutis). Vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Kuna küsiti pikkuse kohta, siis vastuses märgime mõõtme - ühikud.

b) Vastavalt tingimusele on vaja leida ruut vektoritele ehitatud rööpkülik . Selle rööpküliku pindala on arvuliselt võrdne ristkorrutise pikkusega:

Vastus:

Pange tähele, et vektorkorrutise vastuses pole üldse juttu, meilt küsiti selle kohta figuuri piirkond, mõõde on vastavalt ruutühikud.

Vaatame alati, MIDA tingimus peab leidma, ja selle põhjal sõnastame selge vastama. See võib tunduda sõnasõnalisusena, kuid õpetajate hulgas on piisavalt literaliste ja suure tõenäosusega ülesanne tagastatakse ülevaatamiseks. Kuigi tegemist ei ole eriti pingutatud näpunäidetega – kui vastus on vale, siis jääb mulje, et inimene ei saa lihtsatest asjadest aru ja/või pole ülesande olemusest aru saanud. Seda hetke tuleks alati kontrolli all hoida, lahendades mis tahes ülesandeid kõrgemas matemaatikas ja ka teistes ainetes.

Kuhu kadus suur "en" täht? Põhimõtteliselt võiks selle täiendavalt lahenduse külge kinni jääda, aga rekordi lühendamiseks ma seda ei teinud. Loodan, et kõik saavad sellest aru ja tähistavad sama asja.

Populaarne näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Leidke vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Vektorkorrutise kaudu kolmnurga pindala leidmise valem on toodud definitsiooni kommentaarides. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Praktikas on ülesanne tõesti väga levinud, kolmnurki saab üldiselt piinata.

Muude probleemide lahendamiseks vajame:

Vektorite ristkorrutise omadused

Oleme juba vaaginud mõnda vektorprodukti omadust, kuid lisan need sellesse loendisse.

Suvaliste vektorite ja suvalise arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) Teistes teabeallikates seda elementi omadustes tavaliselt ei eristata, kuid see on praktilises mõttes väga oluline. Nii et las olla.

2) - vara on ka ülalpool juttu, vahel nimetatakse antikommutatiivsus. Teisisõnu, vektorite järjekord on oluline.

3) - kombinatsioon või assotsiatiivne vektorkorrutise seadused. Konstandid on kergesti eemaldatavad vektorkorrutise piiridest. Tõesti, mida nad seal teevad?

4) - levitamine või levitamine vektorkorrutise seadused. Ka sulgude avamisega pole probleeme.

Näitena kaaluge lühikest näidet:

Näide 3

Leia, kui

Lahendus: Tingimuse järgi on jällegi vaja leida vektorkorrutise pikkus. Maalime oma miniatuuri:

(1) Vastavalt assotsiatiivsetele seadustele võtame konstandid välja vektorkorrutise piiridest.

(2) Me võtame moodulist välja konstandi, samal ajal kui moodul “sööb” miinusmärgi. Pikkus ei saa olla negatiivne.

(3) Järgnev on selge.

Vastus:

On aeg puid tulle visata:

Näide 4

Arvutage vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Lahendus: leidke valemi abil kolmnurga pindala . Probleem seisneb selles, et vektorid "ce" ja "te" on ise esitatud vektorite summadena. Siinne algoritm on standardne ja meenutab mõneti tunni näiteid nr 3 ja 4. Vektorite punktkorrutis. Selguse huvides jagame selle kolmeks etapiks:

1) Esimeses etapis väljendame vektorprodukti vektorkorrutise kaudu, tegelikult väljendada vektorit vektori kaudu. Pikkuse kohta pole veel sõnagi!

(1) Asendame vektorite avaldised.

(2) Kasutades distributsiooniseadusi, avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi.

(3) Kasutades assotsiatiivseid seadusi, võtame välja kõik konstandid väljaspool vektorkorrutisi. Vähese kogemuse korral saab toiminguid 2 ja 3 teha samaaegselt.

(4) Esimene ja viimane liige on meeldiva omaduse tõttu võrdsed nulliga (nullvektor). Teises terminis kasutame vektori korrutise antikommutatiivsuse omadust:

(5) Esitame sarnased terminid.

Selle tulemusel selgus, et vektor oli väljendatud vektori kaudu, mis oli see, mida oli vaja saavutada:

2) Teises etapis leiame meile vajaliku vektorkorrutise pikkuse. See toiming sarnaneb näitega 3:

3) Leidke vajaliku kolmnurga pindala:

Lahenduse etapid 2-3 võiks olla paigutatud ühele reale.

Vastus:

Vaadeldav probleem on testides üsna tavaline, siin on näide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 5

Leia, kui

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus. Vaatame, kui tähelepanelik sa eelmisi näiteid uurides olid ;-)

Vektorite ristkorrutis koordinaatides

, antud ortonormaalses baasis , väljendatakse valemiga:

Valem on tõesti lihtne: determinandi ülemisele reale kirjutame koordinaatvektorid, teisele ja kolmandale reale “pakime” vektorite koordinaadid ja paneme ranges järjekorras- esiteks vektori "ve" koordinaadid, seejärel vektori "double-ve" koordinaadid. Kui vektoreid on vaja korrutada teises järjekorras, tuleb ka read vahetada:

Näide 10

Kontrollige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:
a)
b)

Lahendus: Test põhineb ühel selle õppetunni väitel: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nende ristkorrutis null (nullvektor): .

a) Leidke vektorkorrutis:

Seega ei ole vektorid kollineaarsed.

b) Leidke vektorkorrutis:

Vastus a) mitte kollineaarne, b)

Siin on võib-olla kogu põhiteave vektorite vektorkorrutise kohta.

See jaotis ei ole väga suur, kuna vektorite segakorrutise kasutamisel on vähe probleeme. Tegelikult toetub kõik määratlusele, geomeetrilisele tähendusele ja paarile töövalemile.

Vektorite segakorrutis on kolme vektori korrutis:

Nii rivistusid nad nagu rong ja ootavad, nad ei jõua ära oodata, kuni välja arvutatakse.

Kõigepealt jälle määratlus ja pilt:

Definitsioon: Segatoode mitte-tasapinnaline vektorid, võetud selles järjekorras, kutsutakse rööptahuka maht, mis on ehitatud nendele vektoritele, varustatud märgiga "+", kui alus on õige, ja märgiga "-", kui alus on vasakpoolne.

Teeme joonistamise. Meile nähtamatud jooned on joonistatud punktiirjoonega:

Sukeldume määratlusse:

2) Võetud vektorid kindlas järjekorras, see tähendab, et vektorite permutatsioon korrutises, nagu võite arvata, ei jää tagajärgedeta.

3) Enne geomeetrilise tähenduse kommenteerimist märgin ära ilmse fakti: vektorite segakorrutis on ARV: . Õppekirjanduses võib kujundus olla mõnevõrra erinev, varem tähistasin segatoodet läbi ja arvutuste tulemust tähega "pe".

Definitsiooni järgi segaprodukt on rööptahuka ruumala, ehitatud vektoritele (joonis on joonistatud punaste vektorite ja mustade joontega). See tähendab, et arv on võrdne antud rööptahuka helitugevusega.

Märge : Joonis on skemaatiline.

4) Ärme hakka jälle vaeva nägema aluse ja ruumi orientatsiooni mõistega. Lõpuosa tähendus on see, et helitugevusele saab lisada miinusmärgi. Lihtsamalt öeldes võib segatoode olla negatiivne: .

Definitsioonist tuleneb otseselt vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala arvutamise valem.