Arengud
Sündmus. elementaarne sündmus.
Elementaarsete sündmuste ruum.
Usaldusväärne üritus. Võimatu sündmus.
identsed sündmused.
Sündmuste summa, korrutis, vahe.
vastupidised sündmused. kokkusobimatud sündmused.
Samaväärsed sündmused.
Under sündmus tõenäosusteoorias mõistetakse mis tahes fakti, mis võib või ei pruugi ilmneda kogemuse tulemusenajuhuslik tulemus. Sellise katse lihtsaim tulemus (näiteks "peade" või "sabade" ilmumine mündi viskamisel, märklaua tabamine laskmisel, ässa ilmumine kaardipakist eemaldamisel, juhuslikult numbri kukkumine täringu visamiseljne) nimetatakseelementaarne sündmus .
Kogu elementaar sündmused E helistas elemendi ruum taaraüritused . Jah, kl täringut visates, koosneb see ruum kuuestelementaarsündmused ja kaardipakist eemaldamisel - alates 52. Sündmus võib koosneda ühest või mitmest elementaarsündmusest, näiteks kahe ässa ilmumisest järjestikku kaardi kaardipakist eemaldamisel või kaardi kaotamisest kolm korda täringut visates sama palju. Siis saab määratleda sündmus elementaarsündmuste ruumi suvalise alamhulgana.
teatud sündmus nimetatakse kogu elementaarsündmuste ruumi. Seega on teatud sündmus sündmus, mis peab tingimata toimuma antud kogemuse tulemusena. Kui täringut visatakse, on selliseks sündmuseks selle kukkumine ühele näkku.
Võimatu sündmus () nimetatakse elementaarsündmuste ruumi tühjaks alamhulgaks. See tähendab, et selle kogemuse tulemusena ei saa toimuda võimatut sündmust. Seega on täringu viskamisel võimatu sündmus selle servale kukkumine.
Arengud JA ja AT helistasidentsed (JA= AT) kui sündmus JAtoimub siis ja ainult siis, kui sündmus toimubAT .
Nad ütlevad, et sündmus JA käivitab sündmuse AT ( JA AT), kui tingimusest"sündmus A juhtus" peaks "Sündmus B juhtus".
Sündmus Koos helistas sündmuste summa JA ja AT (Koos = JA AT) kui sündmus Koos ilmneb siis ja ainult siis, kui kumbki JA, või AT.
Sündmus Koos helistas sündmuste produkt JA ja AT (Koos = JA AT) kui sündmus Koos juhtub siis ja ainult siis, kui see juhtub jaJA, ja AT.
Sündmus Koos helistas sündmuste erinevus JA ja AT (Koos = JA – AT) kui sündmus Koos juhtub siis ja Ainult siis, kui see juhtub sündmus JA ja sündmust ei toimu AT.
Sündmus JA"helistas vastupidine sündmusJAkui sündmust ei juhtunud JA. Seega on möödalaskmine ja tabamus laskmisel vastandlikud sündmused.
Arengud JA ja AT helistasSobimatu (JA AT = ) , kui nende samaaegne esinemine on võimatu. Näiteks kukutamine ja "sabad", ja"kotkas" mündi viskamisel.
Kui katse käigus võib toimuda mitu sündmust ja igaüks neist ei ole objektiivsete tingimuste kohaselt võimalikum kui teine, siis nimetatakse selliseid sündmusi nn.võrdselt võimalik . Näited võrdselt tõenäolistest sündmustest: kahe, ässa ja tungraua ilmumine kaardipakist eemaldamisel, mistahes numbri 1 kuni 6 kaotamine täringu viskamisel jne.
Näidisruumi kõigi sündmuste tõenäosuste summa on 1. Näiteks kui katse on mündiviskega sündmus A = "pead" ja sündmus B = "sabad", siis A ja B esindavad kogu näidisruumi. Tähendab, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Näide. Varem pakutud näites hommikumantli taskust punase pliiatsi väljatõmbamise tõenäosuse arvutamiseks (see on sündmus A), kus on kaks sinist ja üks punane pliiats, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, vastupidise sündmuse - sinise pliiatsi väljatõmbamise - tõenäosus
Enne põhiteoreemide juurde asumist tutvustame veel kaht keerukamat mõistet – sündmuste summa ja korrutis. Need mõisted erinevad aritmeetika tavapärastest summa ja korrutise mõistetest. Tõenäosusteoorias on liitmine ja korrutamine sümboolsed toimingud, mis alluvad teatud reeglitele ja hõlbustavad teaduslike järelduste loogilist konstrueerimist.
summa Mitme sündmuse toimumine on sündmus, mis seisneb nendest vähemalt ühe toimumises. See tähendab, et kahe sündmuse A ja B summat nimetatakse sündmuseks C, mis seisneb kas sündmuse A või sündmuse B või sündmuste A ja B koos ilmnemises.
Näiteks kui reisija ootab trammipeatuses mõlemal kahel marsruudil, siis on tema jaoks vajalik sündmus esimese liini trammi (sündmus A) või teise liini trammi (sündmus B) ilmumine. , või esimese ja teise liini trammide ühine ilmumine (üritus KOOS). Tõenäosusteooria keeles tähendab see seda, et reisijale vajalik sündmus D seisneb kas sündmuse A või B või C ilmnemises, mis on sümboolselt kirjas järgmiselt:
D=A+B+C
Kahe sündmuse tulemusJA ja AT on sündmus, mis seisneb sündmuste ühises toimumises JA ja AT. Mitme sündmuse tulemus nimetatakse kõigi nende sündmuste ühist toimumist.
Ülaltoodud reisija näites sündmus Koos(kahe liini trammide ühine ilmumine) on kahe sündmuse tulemus JA ja AT, mis on sümboolselt kirjutatud järgmiselt:
Oletame, et kaks arsti uurivad patsienti eraldi, et tuvastada konkreetne haigus. Kontrollimise ajal võivad ilmneda järgmised sündmused:
Haiguste avastamine esimese arsti poolt ( JA);
Haiguse tuvastamata jätmine esimese arsti poolt ();
Haiguse avastamine teise arsti poolt ( AT);
Haiguse mitteavastamine teise arsti poolt ().
Arvesta juhtumiga, kui haigus avastatakse uuringute käigus täpselt üks kord. Seda sündmust saab ellu viia kahel viisil:
Haiguse avastab esimene arst ( JA) ja ei leia teist ();
Haigusi ei avasta esimene arst () ja tuvastab teine ( B).
Tähistame vaadeldavat sündmust ja kirjutame sümboolselt:
Mõelge juhtumile, kui haigus avastatakse uuringute käigus kaks korda (nii esimese kui ka teise arsti poolt). Tähistame seda sündmust tähega ja kirjutame: .
Sündmus, mis seisneb selles, et haigust ei tuvasta ei esimene ega teine arst, tähistatakse ja kirjutame: .
Tõenäosusteooria põhiteoreemid
Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.
Kirjutame liitmisteoreemi sümboolselt:
P(A + B) = P(A) + P(B),
kus R- vastava sündmuse tõenäosus (sündmus on märgitud sulgudes).
Näide . Patsiendil on mao veritsus. See sümptom on registreeritud haavandilise veresoonte erosiooni (sündmus A), söögitoru veenilaiendite rebendi (sündmus B), maovähi (sündmus C), maopolüübi (sündmus D), hemorraagilise diateesi (sündmus F), obstruktiivse kollatõve (sündmus E) ja lõpp gastriidi (sündmusG).
Arst määrab statistiliste andmete analüüsi põhjal igale sündmusele tõenäosuse väärtuse:
Kokku oli arstil 80 maoverejooksuga patsienti (n= 80), millest 12-l oli haavandiline veresoonte erosioon (), juures6 - söögitoru veenilaiendite rebend (), 36-l oli maovähk () jne.
Uuringu määramiseks soovib arst kindlaks teha maoverejooksu seostamise tõenäosuse maohaigusega (I sündmus):
Tõenäosus, et maoverejooks on seotud maohaigusega, on üsna suur ja arst saab maohaiguse oletuse põhjal määrata uurimistaktika, mis on tõenäosusteooria abil kvantitatiivsel tasemel põhjendatud.
Kui arvestada ühiseid sündmusi, on kahe sündmuse summa tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta.
Sümboolselt on see kirjutatud järgmiselt:
Kui kujutame ette, et sündmus JA seisneb laskmise ajal horisontaalsete triipudega varjutatud märklaua tabamises ja sündmus AT- vertikaalsete triipudega varjutatud sihtmärgi tabamisel, siis kokkusobimatute sündmuste korral on liitmisteoreemi järgi summa tõenäosus võrdne üksikute sündmuste tõenäosuste summaga. Kui need sündmused on ühised, siis on teatud tõenäosus, mis vastab sündmuste ühisele esinemisele JA ja AT. Kui te omavastutuse korrektsiooni sisse ei vii P(AB), st. sündmuste ühise toimumise tõenäosuse kohta, siis võetakse seda tõenäosust kaks korda arvesse, kuna nii horisontaalsete kui vertikaalsete joontega varjutatud ala on mõlema sihtmärgi lahutamatu osa ja seda võetakse arvesse nii esimeses kui ka teine summa.
Joonisel fig. 1 antud geomeetriline tõlgendus, mis seda asjaolu selgelt illustreerib. Joonise ülemises osas on mittekattuvad sihtmärgid, mis on kokkusobimatute sündmuste analoog, alumises osas - ristuvad sihtmärgid, mis on ühisürituste analoog (ühe lasuga saab tabada korraga nii sihtmärki A kui ka sihtmärki B ).
Enne korrutusteoreemi juurde liikumist on vaja käsitleda sõltumatute ja sõltuvate sündmuste ning tingimuslike ja tingimusteta tõenäosuste mõisteid.
Sõltumatu sündmus B on sündmus A, mille toimumise tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest.
sõltuvuses Sündmus B on sündmus A, mille toimumise tõenäosus sõltub sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest.
Näide . Urnis on 3 palli, 2 valget ja 1 must. Juhusliku palli valimisel on valge palli (sündmus A) valimise tõenäosus: P(A) = 2/3 ja musta (sündmus B) P(B) = 1/3. Meil on tegemist juhtumite skeemiga ja sündmuste tõenäosused arvutatakse rangelt valemi järgi. Katse kordamisel jäävad sündmuste A ja B toimumise tõenäosused muutumatuks, kui iga valiku järel pall urni tagasi tuua. Sel juhul on sündmused A ja B sõltumatud. Kui esimeses katses valitud palli urni tagasi ei viida, siis sündmuse (A) tõenäosus teises katses sõltub sündmuse (B) toimumisest või mittetoimumisest esimeses katses. Seega, kui sündmus B ilmnes esimeses katses (valitakse must pall), siis tehakse teine katse, kui urnis on 2 valget palli ja sündmuse A toimumise tõenäosus teises katses on: P (A) = 2/2 = 1.
Kui esimeses katses sündmust B ei ilmnenud (valitakse valge pall), siis tehakse teine katse, kui urnis on üks valge ja üks must pall ning teises sündmuse A toimumise tõenäosus. katse on: P(A) = 1/2. Ilmselgelt on sel juhul sündmused A ja B omavahel tihedalt seotud ning nende toimumise tõenäosused sõltuvad.
Tingimuslik tõenäosus sündmus A on selle toimumise tõenäosus eeldusel, et on ilmnenud sündmus B. Tingimuslikku tõenäosust tähistatakse sümboolselt P(A/B).
Kui sündmuse toimumise tõenäosus JA ei sõltu sündmuse toimumisest AT, siis sündmuse tingimuslik tõenäosus JA on võrdne tingimusteta tõenäosusega:
Kui sündmuse A toimumise tõenäosus sõltub sündmuse B toimumisest, siis tingimuslik tõenäosus ei saa kunagi olla võrdne tingimusteta tõenäosusega:
Praktiliste probleemide lahendamisel on suur tähtsus erinevate sündmuste omavahelise sõltuvuse paljastamisel. Näiteks ekslik oletus teatud sümptomite ilmnemise sõltumatuse kohta südamedefektide diagnoosimisel, kasutades kardiovaskulaarkirurgia instituudis välja töötatud tõenäosuslikku meetodit. A. N. Bakuleva, põhjustas umbes 50% ekslikest diagnoosidest.
Definitsioon 1. Öeldakse, et mõnes kogemuses sündmus JA toob kaasa millele järgneb sündmuse toimumine AT kui sündmus aset leiab JAüritus tuleb AT. Selle määratluse märge JA Ì AT. Elementaarsündmuste osas tähendab see, et iga elementaarsündmus, mis hõlmab JA, sisaldub ka AT.
Definitsioon 2. Sündmused JA ja AT nimetatakse võrdseteks või samaväärseteks (tähistatud JA= AT), kui JA Ì AT ja ATÌ A, st. JA ja AT koosnevad samadest elementaarsetest sündmustest.
Usaldusväärne üritus on esindatud ümbritseva hulgaga Ω ja võimatu sündmus on Æ tühi alamhulk selles. Sündmuste ebaühtlus JA ja AT tähendab, et vastavad alamhulgad JA ja ATära ristu: JA∩AT = Æ.
3. määratlus. Kahe sündmuse summa A ja AT(tähistatud Koos= JA + AT) nimetatakse sündmuseks Koos, koosnevad alguses vähemaltüks sündmustest JA või AT(summa sidesõna "või" on märksõna), st. tuleb või JA, või AT, või JA ja AT koos.
Näide. Laske kaks laskurit korraga sihtmärki ja sündmus JA seisneb selles, et esimene laskur tabab märklauda ja sündmus B- et 2. laskur tabab märklauda. Sündmus A+ B tähendab, et märklaud on tabatud või teisisõnu, et vähemalt üks laskuritest (1. laskur või 2. laskur või mõlemad laskurid) tabab märklauda.
Samamoodi lõpliku arvu sündmuste summa JA 1 , JA 2 , …, JA n (tähistatud JA= JA 1 + JA 2 + … + JA n) sündmus kutsutakse JA, koosnevad vähemalt ühe esinemine sündmustest JA mina ( i = 1, … , n) või suvaline komplekt JA mina ( i = 1, 2, … , n).
Näide. Sündmuste summa A, B, C on sündmus, mis koosneb ühe järgmistest sündmustest: JA, B, C, JA ja AT, JA ja Koos, AT ja Koos, JA ja AT ja Koos, JA või AT, JA või Koos, AT või Koos,JA või AT või Koos.
4. definitsioon. Kahe sündmuse tulemus JA ja AT nimetatakse sündmuseks Koos(tähistatud Koos = A∙ B), mis seisneb selles, et testi tulemusena leidis aset ka sündmus JA, ja sündmus AT samaaegselt. (Võtmesõnaks on sidesõna "ja" sündmuste tekitamiseks.)
Sarnaselt piiratud arvu sündmuste korrutisega JA 1 , JA 2 , …, JA n (tähistatud JA = JA 1 ∙JA 2 ∙…∙ JA n) sündmus kutsutakse JA, mis seisneb selles, et testi tulemusena toimusid kõik määratud sündmused.
Näide. Kui sündmused JA, AT, Koos on "vapi" ilmumine vastavalt esimesel, teisel ja kolmandal katsel, seejärel sündmus JA× AT× Koos kõigis kolmes katses on "vapi" langus.
Märkus 1. Sobimatute sündmuste puhul JA ja ATõiglane võrdsus A∙ B= Æ, kus Æ on võimatu sündmus.
Märkus 2. Sündmused JA 1 , JA 2, … , JA n moodustavad paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma, kui .
Definitsioon 5. vastupidised sündmused nimetatakse kahte ainulaadselt võimalikku kokkusobimatut sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma. Sündmusele vastandlik sündmus JA, on näidatud. Sündmusele vastandlik sündmus JA, on ürituse täiendus JA hulgale Ω.
Vastandlike sündmuste puhul on korraga täidetud kaks tingimust A ∙= Æ ja A+= Ω.
Definitsioon 6. erinevus sündmused JA ja AT(tähistatud JA– AT) nimetatakse sündmuseks, mis seisneb selles, et sündmus JA tuleb, ja sündmus AT - ei ja see on võrdne JA– AT= JA× .
Pange tähele, et sündmused A + B, A ∙ B, , A-B seda on mugav graafiliselt tõlgendada kasutades Euleri-Venni diagramme (joonis 1.1).
|
Riis. 1.1. Tehted sündmustega: eitus, summa, korrutis ja erinevus |
Sõnastame näite järgmiselt: lase kogemusel G seisneb juhuslikus tulistamises üle piirkonna Ω, mille punktid on elementaarsündmused ω. Olgu piirkonna Ω tabamine kindel sündmus Ω ja piirkonna tabamine JA ja AT- vastavalt sündmustele JA ja AT. Siis sündmused A+B(või JAÈ AT- valgus ala joonisel), A∙ B(või JAÇ AT - ala kesklinnas) A-B(või JA\AT - heledad alamdomeenid) vastab neljale pildile joonisel fig. 1.1. Eelmise näite tingimustes, kus kaks laskurit lasevad märki, sündmuste produkt JA ja AT toimub üritus C = AÇ AT, mis seisneb mõlema noolega sihtmärgi tabamises.
Märkus 3. Kui tehteid sündmustega esitatakse operatsioonidena hulgaga ja sündmused mõne hulga Ω alamhulkadena, siis sündmuste summa A+B tikuliit JAÈ AT need alamhulgad, vaid sündmuste tulemus A∙ B- ristmik JA∩AT need alamhulgad.
Seega saab sündmustega tehtavad toimingud vastendada komplektide operatsioonidega. See vastavus on toodud tabelis. 1.1
Tabel 1.1
|
Märge |
Tõenäosusteooria keel |
Hulgateooria keel |
|
Ruumi element. sündmused |
Universaalne komplekt |
|
|
elementaarne sündmus |
Element universaalsest komplektist |
|
|
juhuslik sündmus |
Elementide alamhulk ω alates Ω |
|
|
Usaldusväärne üritus |
Kogu ω |
|
|
Võimatu sündmus |
Tühi komplekt |
|
|
JAÌ V |
JA toob kaasa AT |
JA- alamhulk AT |
|
A+B(JAÈ AT) |
Sündmuste summa JA ja AT |
Komplektide liit JA ja AT |
|
JA× V(JAÇ AT) |
Ürituste tootmine JA ja AT |
Paljude ristmik JA ja AT |
|
A-B(JA\AT) |
Sündmuste erinevus |
Määra erinevus |
Sündmustega seotud toimingutel on järgmised omadused.
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(nihe);
(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (levitav);
(A+B) + Koos = JA + (B + C), (A∙ B) ∙ Koos= JA ∙ (B∙C) (assotsiatiivne);
A + A = A, A ∙ A = A;
JA + Ω = Ω, JA∙ Ω = JA;
Sündmuste algebralised toimingud määratlevad sündmustega toimingute reeglid ja võimaldavad väljendada üht sündmust teise terminiga. Toimingud sündmustega on rakendatavad ainult sündmustele, mis esindavad sama elementaarsündmuste ruumi alamhulka.
Sündmuste toiminguid saab visualiseerida Venni diagrammide abil. Diagrammides vastavad sündmused tasapinna erinevatele aladele, mis tinglikult tähistavad elementaarsündmuste alamhulki, millest sündmusi koosneb. Niisiis, joonise 1.1 diagrammidel vastab elementaarsündmuste ruum ruudu sisepunktidele, sündmus A _ ringi sisepunktidele, sündmus B _ kolmnurga sisepunktidele. Asjaolu, et sündmused A ja B on elementaarsündmuste ruumi (A, B) alamhulgad, on näidatud joonistel 1.1a, b.
Sündmuste A ja B summa (liit) on sündmus C=A+B (või C=AB), mis seisneb selles, et toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Sündmus C koosneb kõigist elementaarsetest sündmused, mis kuuluvad vähemalt ühte sündmustest A või B või mõlemasse. Diagrammil (joonis 1.2.) vastab sündmus C varjutatud alale C, mis tähistab alade A ja B ühendust. Samamoodi on mitme sündmuse A 1, A 2, ..., A n summa sündmus C, mis seisneb selles, et vähemalt üks sündmustest leiab aset Ja i , i=:
Sündmuste summa ühendab kõik elementaarsündmused, mis moodustavad А i , i=. Kui sündmused E 1 , E 2 ,…, E n moodustavad tervikliku rühma, siis on nende summa võrdne usaldusväärse sündmusega:
Elementaarsündmuste summa võrdub usaldusväärse sündmusega
Sündmuste A ja B korrutis (ristumiskoht) on sündmus C=AB (või C=AB), mis seisneb sündmuste A ja B ühises esinemises. Sündmus C koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad nii A kui B hulka. Joonis 1.3.a sündmus C on kujutatud alade A ja B lõikepunktina. Kui A ja B on kokkusobimatud sündmused, siis on nende korrutis võimatu sündmus, st AB = (joonis 1.3.b).
Sündmuste A 1 , A 2 , ..., A n korrutis on sündmus C, mis seisneb kõigi sündmuste A i , i= samaaegses täitmises:
Paaripõhiselt kokkusobimatute sündmuste korrutised А 1 , А 2 ,…, А n - võimatud sündmused: А i А j =, mis tahes ij korral. Tervikliku rühma moodustavate sündmuste korrutised on võimatud sündmused: Е i Е j =, ij, elementaarsündmuste korrutised on samuti võimatud sündmused: ij =, ij.
Sündmuste A ja B erinevus on sündmus C=A_B (C=AB), mis seisneb selles, et sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. Sündmus C koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad A-sse ja ei kuulu. kuni B. Joonisel fig. näidatud sündmuste erinevuse skeem. 1.4. Diagramm näitab, et C=A_B=
Sündmuse A (või selle täiendi) vastandsündmus on sündmus, mis seisneb selles, et sündmust A ei toimunud. Vastandsündmus lõpetab sündmuse A täielikuks rühmaks ja koosneb nendest elementaarsündmustest, mis kuuluvad ruumi ja ei kuulu sündmusesse A (joonis 1.5). Seega on erinevus teatud sündmuse ja sündmuse A vahel: =_A.
Sündmuste operatsioonide omadused.
Nihkeomadused: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Assotsiatiivsed omadused: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Jaotusomadus: A(B+C)=AB+AC.
Sündmustega tehtavate toimingute määratlustest järgige omadusi
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A·=A; A =
Vastupidise sündmuse definitsioonist järeldub, et
A+=; A=; =A; =; =; ;
Joonisel 1.4 kujutatud diagrammil on ühissündmuste erinevuse omadused ilmsed:
Kui A ja B on vastastikused sündmused, siis
Ühisürituste omadused on samuti ilmsed.
Vastandlikel sündmustel on omadused, mida mõnikord nimetatakse de Morgani reegliks või duaalsuse printsiibiks: vastastikustele sündmustele üleminekul on ühenduse ja ristumisoperatsioonid vastupidised.
Duaalsuse printsiibi tõestuse saab graafiliselt, kasutades Venni diagramme või analüütiliselt, rakendades omadusi 1-6
Tuleb märkida, et toimingutega "sarnaste liikmete redutseerimine" ja astendamine arvude algebras sarnased toimingud ei ole sündmustega tehte puhul lubatud.
Näiteks sündmustega tehtavate toimingute puhul on õiged toimingud järgmised:
Toimingute ekslik rakendamine analoogselt algebralistega: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A viib vale tulemuseni (kontrollige Venni diagrammidega!).
Näide 1.11. Tõesta identiteete
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
b) AC_B=AC_BC
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Näide 1.12. Auhind läheb loosi saateprogrammi kahe finalisti vahel. Loosimine toimub kordamööda kuni esimese eduka katseni, iga osaleja katsete arv on piiratud kolmega. Esimene finalist alustab esimesena. Arvesse lähevad järgmised sündmused: A=(auhinna võitis esimene finalist); B = (auhinna võitis teine finalist). 1) Täiendage need sündmused tervele rühmale ja koostage sellele usaldusväärne üritus. 2) Koostage elementaarsete sündmuste täielik rühm. 3) Väljendage esimese tervikliku rühma sündmusi elementaarsete mõistetega. 4) Koostage teisi terviklikke sündmuste rühmi ja salvestage nende kaudu usaldusväärseid sündmusi.
1) Üritused A ja B on mitteühisüritused, kuni täisgrupini lisandub mitteühisüritus C=(keegi ei võitnud auhinda). Teatud sündmus = (kas esimene finalist või teine või keegi ei võida auhinda) võrdub: = A + B + C.
2) Tutvustame sündmusi, mis kirjeldavad iga mängija iga katse tulemust ja ei sõltu võistlustingimustest: А i =(esimene finalist sooritas edukalt i-nda katse), В i =(teine finalist lõpetas edukalt i-s katse), . Need üritused ei võta arvesse konkursi tingimusi, mistõttu ei ole need auhinna võitmise fakti suhtes elementaarsed. Kuid nende sündmuste kaudu saate sündmustega seotud toiminguid kasutades koostada täieliku rühma elementaarseid sündmusi, mis võtavad arvesse esimesel edukal katsel võitmise tingimusi: 1 = (esimene finalist võitis auhinna esimesel katsel), 2 = (teine finalist võitis auhinna esimesel katsel), 3 =(esimene finalist võitis auhinna teisel katsel), 4 =(teine finalist võitis auhinna teisel katsel), 5 =(esimene finalist võitis auhinna kolmandal katsel), 6 =(teine finalist võitis auhinna kolmandal katsel), 7 =( mõlemad finalistid ei suutnud kolmel katsel auhinda võita). Vastavalt konkursi tingimustele
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Täielik elementaarsündmuste rühm: =( 1 ,…, 7 )
3) Sündmusi A ja B väljendatakse elementaarsündmuste kaudu, kasutades liitmistehteid, C kattub elementaarsündmusega:
4) Ürituste hulka kuuluvad ka terved ürituste rühmad
Asjakohased sündmused on:
=(esimene finalist kas võidab auhinna või mitte)=;
=(Teine finalist kas võidab auhinna või mitte)=;
=(auhind või mitte võida või võida)=.
Eeldame, et tegeliku kogemuse (katse) tulemuseks võib olla üks või mitu üksteist välistavat tulemust; need tulemused on lahutamatud ja üksteist välistavad. Sel juhul öeldakse, et eksperiment lõpeb ühe ja ainsaga elementaarne tulemus.
Kõigi selle tulemusena aset leidvate elementaarsete sündmuste kogum juhuslik katsetada, helistame elementaarne sündmusruum W (elementaarsündmus vastab elementaarsele tulemusele).
juhuslikud sündmused(sündmused), nimetame elementaarsündmuste ruumi alamhulkadeks W .
Näide 1 Viskame korra münti. Münt võib kukkuda, kui number on ülespoole – elementaarsündmus w c (või w 1), või vapp – elementaarsündmus w Г (või w 2). Elementaarsündmuste vastav ruum W koosneb kahest elementaarsündmusest:
W \u003d (w c, w G) või W \u003d (w 1, w 2).
Näide 2. Viska üks kord täringut. Selles katses elementaarsündmuste ruum W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), kus w i- Välja kukkuma i punktid. Sündmus A- paarisarvu punktide kaotamine, A= (w 2, w 4, w 6), A W.
Näide 3. Punkt paigutatakse lõigule juhuslikult (juhuslikult). Mõõdetakse punkti kaugus lõigu vasakust otsast. Selles katses on elementaarsündmuste ruum W = reaalarvude hulk ühikintervallil.
Täpsemalt, vormiliselt kirjeldatakse elementaarsündmusi ja elementaarsündmuste ruumi järgmiselt.
Elementaarsündmuste ruum on suvaline hulk W , W =(w ). Nimetatakse selle hulga W elemente w elementaarsed sündmused .
Mõisted elementaarsündmus, sündmus, elementaarsündmuste ruum, on tõenäosusteooria algsed mõisted. Täpsemalt elementaarsete sündmuste ruumi kirjeldust anda on võimatu. Iga reaalse mudeli kirjeldamiseks valitakse vastav ruum W.
Sündmust W nimetatakse autentne sündmus.
Teatud sündmus ei saa eksperimendi tulemusel toimumata jääda, see alati juhtub.
Näide 4. Viska üks kord täringut. Kindel sündmus on see, et välja on kukkunud hulk punkte, mitte vähem kui üks ja mitte rohkem kui kuus, s.t. W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), kus w i- Välja kukkuma i punktid, - usaldusväärne sündmus.
Tühja hulka nimetatakse võimatuks sündmuseks.
Eksperimendi tulemusena ei saa toimuda võimatu sündmus, see ei juhtu kunagi.
Juhuslik sündmus võib, kuid ei pruugi toimuda eksperimendi tulemusena, see juhtub vahel.
Näide 5. Viska üks kord täringut. Üle kuue punkti veeremine on võimatu sündmus.
Sündmuse vastand A nimetatakse sündmuseks, mis seisneb selles, et sündmus A Ei juhtunud. Tähistatakse ,.
Näide 6. Viska üks kord täringut. Sündmus A siis sündmus on paaritu arv punkte. Siin W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kus w i- Välja kukkuma i punktid, A= (w 2 , w 4 , w 6 ), = .
Kokkusobimatuid sündmusi nimetatakse sündmusteks
A ja B, mille jaoks A B = .Näide 7. Viska üks kord täringut. Sündmus A- paarisarvu punktide kaotus, sündmus B- kaotada punktide arv alla kahe. Sündmus A B koosneb paarisarvu punktide saamisest alla kahe. See on võimatu, A= (w 2, w 4, w 6), B=(w 1), A B = , need. arenguid A ja B- Sobimatu.
summa sündmused A ja B nimetatakse sündmuseks, mis koosneb kõigist ühe sündmuse juurde kuuluvatest elementaarsündmustest A või b. Tähistatakse A+ b.
Näide 8. Viska üks kord täringut. Selles katses elementaarsündmuste ruum W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), kus elementaarsündmus w i- Välja kukkuma i punktid. Sündmus A- paarisarvu punktide kaotamine, A B B=(p 5, p 6).
Sündmus A+ B = (w 2,w 4, w 5, w 6) on see, et kas on paarisarv punkte välja kukkunud või on punktide arv suurem kui neli, s.t. kas sündmus on toimunud A või sündmus b. See on ilmne A+ B W.
tööd sündmused A ja B nimetatakse sündmuseks, mis koosneb kõigist sündmustega samaaegselt kuuluvatest elementaarsündmustest A ja b. Tähistatakse AB.
Näide 9. Viska üks kord täringut. Selles katses elementaarsete sündmuste ruum W = ( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), kus elementaarsündmus w i- Välja kukkuma i punktid. Sündmus A- paarisarvu punktide kaotamine, A= (w 2, w 4, w 6 ), sündmus B- rohkem kui neli punktide arvu kaotamine, B=(p 5, p 6).
Sündmus A B seisneb selles, et välja kukkus paarisarv punkte, rohkem kui neli, s.o. toimusid mõlemad sündmused ja sündmus A ja sündmus B, A B = (w6) A B W.
erinevus sündmused A ja B nimetatakse sündmuseks, mis koosneb kõigist kuuluvatest elementaarsündmustest A kuid mitte kuulumine b. Tähistatakse A/B.
Näide 10. Viska üks kord täringut. Sündmus A- paarisarvu punktide kaotamine, A= (w 2, w 4, w 6 ), sündmus B- rohkem kui neli punktide arvu kaotamine, B=(p 5, p 6). Sündmus A\ B = (w 2 ,w 4 ) on see, et välja on kukkunud paarisarv punkte, mis ei ületa nelja, s.t. juhtus sündmus A ja sündmust ei toimunud B, A\B W.
See on ilmne
A+A=A, AA=A, 
.
Võrdsust on lihtne tõestada:
, (A+B)C=AC+BC.
Sündmuste summa ja korrutise määratlused kanduvad üle lõpmatutesse sündmuste jadadesse:
, sündmus, mis koosneb elementaarsetest sündmustest, millest igaüks kuulub vähemalt ühte järgmistest;
, sündmus, mis koosneb elementaarsetest sündmustest, millest igaüks kuulub samaaegselt kõigile .
Olgu W elementaarsündmuste suvaline ruum ja - selline juhuslike sündmuste kogum, mille puhul on tõene: W , AB, A+B ja A\B, kui A ja B.
Kutsutakse sündmuste hulgal defineeritud arvfunktsiooni P tõenäosus, kui : (A) 0 mis tahes A alates ; (W) = 1;
Troika kutsutakse tõenäosusruum.