Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρίσκετε την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές χρησιμοποιώντας ολοκληρωμένους υπολογισμούς. Για πρώτη φορά συναντάμε τη διατύπωση ενός τέτοιου προβλήματος στο λύκειο, όταν μόλις ολοκληρώσαμε τη μελέτη ορισμένων ολοκληρωμάτων και ήρθε η ώρα να ξεκινήσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη.
Έτσι, τι απαιτείται για την επιτυχή επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα:
- Δυνατότητα δημιουργίας ικανών σχεδίων.
- Ικανότητα επίλυσης ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο Newton-Leibniz.
- Η ικανότητα να "δείτε" μια πιο κερδοφόρα επιλογή λύσης - δηλ. καταλαβαίνετε πώς θα είναι πιο βολικό να πραγματοποιήσετε την ενοποίηση σε μια ή την άλλη περίπτωση; Κατά μήκος του άξονα x (OX) ή του άξονα y (OY);
- Λοιπόν, πού θα ήμασταν χωρίς σωστούς υπολογισμούς;) Αυτό περιλαμβάνει την κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτού του άλλου τύπου ολοκληρωμάτων και τους σωστούς αριθμητικούς υπολογισμούς.
Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
1. Χτίζουμε ένα σχέδιο. Συνιστάται να το κάνετε αυτό σε ένα καρό χαρτί, σε μεγάλη κλίμακα. Υπογράφουμε το όνομα αυτής της συνάρτησης με ένα μολύβι πάνω από κάθε γράφημα. Η υπογραφή των γραφημάτων γίνεται αποκλειστικά για τη διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών. Έχοντας λάβει ένα γράφημα του επιθυμητού σχήματος, στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι αμέσως σαφές ποια όρια ολοκλήρωσης θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι, λύνουμε το πρόβλημα γραφικά. Ωστόσο, συμβαίνει ότι οι τιμές των ορίων είναι κλασματικές ή παράλογες. Επομένως, μπορείτε να κάνετε πρόσθετους υπολογισμούς, μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.
2. Εάν τα όρια ολοκλήρωσης δεν καθορίζονται ρητά, τότε βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων μεταξύ τους και βλέπουμε αν γραφική λύσημε αναλυτική.
3. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσετε το σχέδιο. Ανάλογα με το πώς είναι διατεταγμένα τα γραφήματα συναρτήσεων, υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις για την εύρεση του εμβαδού ενός σχήματος. Ας σκεφτούμε διαφορετικά παραδείγματαγια την εύρεση του εμβαδού ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.
3.1. Η πιο κλασική και απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι όταν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. Τι είναι ένα καμπύλο τραπεζοειδές; Αυτό είναι ένα επίπεδο σχήμα που περιορίζεται από τον άξονα x (y = 0), ευθεία x = a, x = bκαι οποιαδήποτε καμπύλη συνεχή στο διάστημα από έναπριν σι. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός είναι μη αρνητικός και βρίσκεται όχι κάτω από τον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, το οποίο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
Παράδειγμα 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Από ποιες γραμμές οριοθετείται το σχήμα; Έχουμε παραβολή y = x2 – 3x + 3, που βρίσκεται πάνω από τον άξονα OH, είναι μη αρνητικό, γιατί όλα τα σημεία αυτής της παραβολής έχουν θετικές αξίες. Στη συνέχεια, δίνονται ευθείες γραμμές x = 1Και x = 3, που τρέχουν παράλληλα με τον άξονα OU, είναι οι οριακές γραμμές του σχήματος αριστερά και δεξιά. Καλά y = 0, είναι επίσης ο άξονας x, που περιορίζει το σχήμα από κάτω. Το σχήμα που προκύπτει είναι σκιασμένο, όπως φαίνεται από το σχήμα στα αριστερά. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να ξεκινήσετε αμέσως την επίλυση του προβλήματος. Μπροστά μας είναι ένα απλό παράδειγμα καμπύλου τραπεζοειδούς, το οποίο στη συνέχεια λύνουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.
3.2. Στην προηγούμενη παράγραφο 3.1, εξετάσαμε την περίπτωση που ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι ίδιες, εκτός από το ότι η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα x. Ένα μείον προστίθεται στον τυπικό τύπο Newton-Leibniz. Θα εξετάσουμε πώς να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα παρακάτω.
Παράδειγμα 2 . Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαέχουμε παραβολή y = x2 + 6x + 2, που πηγάζει από τον άξονα OH, ευθεία x = -4, x = -1, y = 0. Εδώ y = 0περιορίζει το επιθυμητό σχήμα από πάνω. Απευθείας x = -4Και x = -1αυτά είναι τα όρια μέσα στα οποία θα υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα. Η αρχή της επίλυσης του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος συμπίπτει σχεδόν πλήρως με το παράδειγμα 1. Η μόνη διαφορά είναι ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι θετική και είναι επίσης συνεχής στο διάστημα [-4; -1] . Τι εννοείς όχι θετικό; Όπως φαίνεται από το σχήμα, το σχήμα που βρίσκεται μέσα στα δεδομένα x έχει αποκλειστικά «αρνητικές» συντεταγμένες, κάτι που πρέπει να δούμε και να θυμόμαστε όταν λύνουμε το πρόβλημα. Αναζητούμε την περιοχή του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, μόνο με το σύμβολο μείον στην αρχή.
Το άρθρο δεν έχει ολοκληρωθεί.
Πρόβλημα 1(σχετικά με τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυρτού τραπεζοειδούς).
Στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xOy, δίνεται ένα σχήμα (βλ. σχήμα) που οριοθετείται από τον άξονα x, ευθείες x = a, x = b (a από ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο. Απαιτείται να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδές.
Λύση.Η Γεωμετρία μας δίνει συνταγές για τον υπολογισμό των εμβαδών των πολυγώνων και ορισμένων τμημάτων ενός κύκλου (τομέας, τμήμα). Χρησιμοποιώντας γεωμετρικές εκτιμήσεις, μπορούμε να βρούμε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή της απαιτούμενης περιοχής, συλλογίζοντας ως εξής.
Ας χωρίσουμε το τμήμα [a; b] (βάση κυρτού τραπεζοειδούς) στο n ίσα μέρη; Αυτή η κατάτμηση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας σημεία x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Ας τραβήξουμε ευθείες γραμμές μέσα από αυτά τα σημεία παράλληλες στον άξονα y. Τότε το δεδομένο καμπυλόγραμμο τραπέζιο θα χωριστεί σε n μέρη, σε n στενές στήλες. Το εμβαδόν ολόκληρου του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των περιοχών των στηλών.
Ας εξετάσουμε την k-η στήλη ξεχωριστά, δηλ. ένα καμπύλο τραπεζοειδές του οποίου η βάση είναι ένα τμήμα. Ας το αντικαταστήσουμε με ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση και ύψος ίσο με f(x k) (βλ. σχήμα). Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), όπου \(\Delta x_k \) είναι το μήκος του τμήματος. Είναι φυσικό να θεωρηθεί το προϊόν που προκύπτει ως μια κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού της kth στήλης. 
Αν κάνουμε τώρα το ίδιο με όλες τις άλλες στήλες, θα καταλήξουμε στο εξής αποτέλεσμα: το εμβαδόν S ενός δεδομένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν S n ενός κλιμακωτού σχήματος που αποτελείται από n ορθογώνια (βλ. σχήμα):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Εδώ, για λόγους ομοιομορφίας σημειογραφίας, υποθέτουμε ότι a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - μήκος του τμήματος, \(\Delta x_1 \) - μήκος του τμήματος, κ.λπ.; σε αυτήν την περίπτωση, όπως συμφωνήσαμε παραπάνω, \(\Δέλτα x_0 = \κουκκίδες = \Δέλτα x_(n-1) \)
Έτσι, \(S \περίπου S_n \), και αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα είναι πιο ακριβής, όσο μεγαλύτερο είναι το n.
Εξ ορισμού, πιστεύεται ότι η απαιτούμενη περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ S = \lim_(n \έως \infty) S_n $$
Πρόβλημα 2(σχετικά με τη μετακίνηση ενός σημείου)
Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή. Η εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο εκφράζεται με τον τύπο v = v(t). Να βρείτε την κίνηση ενός σημείου σε μια χρονική περίοδο [a; σι].
Λύση.Αν η κίνηση ήταν ομοιόμορφη, τότε το πρόβλημα θα λυνόταν πολύ απλά: s = vt, δηλ. s = v(b-a). Για ανομοιόμορφη κίνηση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες ιδέες στις οποίες βασίστηκε η λύση στο προηγούμενο πρόβλημα.
1) Διαιρέστε το χρονικό διάστημα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) Θεωρήστε μια χρονική περίοδο και υποθέστε ότι κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου η ταχύτητα ήταν σταθερή, όπως και τη χρονική στιγμή t k. Υποθέτουμε λοιπόν ότι v = v(t k).
3) Ας βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή της κίνησης του σημείου σε μια χρονική περίοδο, θα υποδηλώσουμε αυτή την κατά προσέγγιση τιμή ως s k
\(s_k = v(t_k) \Δέλτα t_k \)
4) Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της μετατόπισης s:
\(s \περίπου S_n \) όπου
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Δέλτα t_(n-1) \)
5) Η απαιτούμενη μετατόπιση είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ s = \lim_(n \έως \infty) S_n $$
Ας συνοψίσουμε. Οι λύσεις σε διάφορα προβλήματα περιορίστηκαν στο ίδιο μαθηματικό μοντέλο. Πολλά προβλήματα από διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας οδηγούν στο ίδιο μοντέλο στη διαδικασία επίλυσης. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το μαθηματικό μοντέλο πρέπει να μελετηθεί ειδικά.
Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος
Ας δώσουμε μια μαθηματική περιγραφή του μοντέλου που χτίστηκε στα τρία εξεταζόμενα προβλήματα για τη συνάρτηση y = f(x), συνεχής (αλλά όχι απαραίτητα μη αρνητικός, όπως υποτέθηκε στα εξεταζόμενα προβλήματα) στο διάστημα [a; σι]:
1) χωρίστε το τμήμα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) σχηματίστε το άθροισμα $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) υπολογίστε $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκε ότι αυτό το όριο υπάρχει στην περίπτωση μιας συνεχούς (ή τμηματικά συνεχούς) συνάρτησης. Ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = f(x) πάνω από το τμήμα [a; σι]και συμβολίζεται ως εξής:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Οι αριθμοί a και b ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης (κάτω και άνω, αντίστοιχα).
Ας επιστρέψουμε στις εργασίες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ο ορισμός της περιοχής που δίνεται στο Πρόβλημα 1 μπορεί τώρα να ξαναγραφτεί ως εξής:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
εδώ S είναι η περιοχή του κυρτού τραπεζίου που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αυτό είναι γεωμετρική έννοια ορισμένου ολοκληρώματος.
Ο ορισμός της μετατόπισης s ενός σημείου που κινείται σε ευθεία γραμμή με ταχύτητα v = v(t) κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου από t = a έως t = b, που δίνεται στο Πρόβλημα 2, μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Τύπος Newton-Leibniz
Αρχικά, ας απαντήσουμε στο ερώτημα: ποια είναι η σχέση μεταξύ του οριστικού ολοκλήρωσης και του αντιπαράγωγου;
Η απάντηση βρίσκεται στο Πρόβλημα 2. Αφενός, η μετατόπιση s ενός σημείου που κινείται σε ευθεία γραμμή με ταχύτητα v = v(t) στη χρονική περίοδο από t = a έως t = b υπολογίζεται με ο τύπος
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Από την άλλη πλευρά, η συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου είναι μια αντιπαράγωγος για την ταχύτητα - ας τη συμβολίσουμε s(t). αυτό σημαίνει ότι η μετατόπιση s εκφράζεται με τον τύπο s = s(b) - s(a). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
όπου s(t) είναι το αντιπαράγωγο του v(t).
Το παρακάτω θεώρημα αποδείχθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.
Θεώρημα. Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a; b], τότε ο τύπος είναι έγκυρος
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
όπου F(x) είναι το αντιπαράγωγο της f(x).
Ο δεδομένος τύπος συνήθως ονομάζεται Τύπος Newton-Leibnizπρος τιμήν του Άγγλου φυσικού Ισαάκ Νεύτωνα (1643-1727) και Γερμανός φιλόσοφος Gottfried Leibniz (1646-1716), οι οποίοι το έλαβαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο και σχεδόν ταυτόχρονα.
Στην πράξη, αντί να γράφουν F(b) - F(a), χρησιμοποιούν τον συμβολισμό \(\left. F(x)\right|_a^b \) (μερικές φορές ονομάζεται διπλή αντικατάσταση) και, κατά συνέπεια, ξαναγράψτε τον τύπο Newton-Leibniz με αυτή τη μορφή:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \αριστερά. F(x)\right|_a^b \)
Κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, βρείτε πρώτα το αντιπαράγωγο και μετά πραγματοποιήστε διπλή αντικατάσταση.
Με βάση τον τύπο Newton-Leibniz, μπορούμε να λάβουμε δύο ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
Ιδιοκτησία 1.Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος
Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τις περιοχές όχι μόνο των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών, αλλά και των επίπεδων μορφών περισσότερο σύνθετου τύπου, για παράδειγμα αυτό που φαίνεται στο σχήμα. Το σχήμα P περιορίζεται από ευθείες x = a, x = b και γραφήματα συνεχών συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), και στο τμήμα [a; b] ισχύει η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \). Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν S ενός τέτοιου σχήματος, θα προχωρήσουμε ως εξής:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Άρα, το εμβαδόν S ενός σχήματος που οριοθετείται από ευθείες x = a, x = b και γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), συνεχές στο τμήμα και τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε x από το τμήμα [ένα; β] η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \) ικανοποιείται, υπολογισμένη με τον τύπο
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, τόσα άλλα επίκαιρο θέμαθα είναι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα του κύριου στοιχειώδεις λειτουργίες, και, τουλάχιστον, να είναι σε θέση να κατασκευάσει μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.
Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να εντοπιστεί όχι λιγότεροάξονας x:
Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Κάθε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.
Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.
Αυτό είναι,ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόναντίστοιχο καμπύλο τραπεζοειδές.
Παράδειγμα 1
Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Πρώτα και η πιο σημαντική στιγμήλύσεις - σχέδιο σχεδίασης. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.
Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να δημιουργείτε γραφήματα συναρτήσεων σημείο προς σημείο.
Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):
Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, Να γιατί:
Απάντηση:
Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στην εν λόγω φιγούρα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.
Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Αν εντοπίζεται καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .
Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.
Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερα να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο..
Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.
Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:
Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής συνάρτηση στο τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο μεκάποια συνεχή συνάρτηση, μετά την περιοχή του σχήματος, περιορισμένη από χρονοδιαγράμματαδεδομένες συναρτήσεις και ευθείες , , μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκέφτεστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από
Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση:
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .
Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "σφάλμα" που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο χρώμα!
Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα.
Πραγματικά:
1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.
2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.
Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές
Εφαρμογή του ολοκληρώματος στη λύση εφαρμοζόμενων προβλημάτων
Υπολογισμός επιφάνειας
Το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης f(x) είναι αριθμητικά ίσο μετο εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y = f(x), τον άξονα O x και τις ευθείες x = a και x = b. Σύμφωνα με αυτό, ο τύπος εμβαδού γράφεται ως εξής:
Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων.
Εργασία Νο. 1. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Λύση.Ας κατασκευάσουμε ένα σχήμα του οποίου το εμβαδόν θα πρέπει να υπολογίσουμε.
y = x 2 + 1 είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 1).
Εικόνα 1. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 + 1
Εργασία Νο. 2. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 – 1, y = 0 στην περιοχή από 0 έως 1.
 |
Λύση.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή διακλαδώσεων που κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται σε σχέση με τον άξονα O y προς τα κάτω κατά μία μονάδα (Εικόνα 2).
Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 – 1
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές
y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4.
Λύση.Η πρώτη από αυτές τις δύο ευθείες είναι μια παραβολή με τους κλάδους της στραμμένους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός και η δεύτερη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει και τους δύο άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – τετμημένη κορυφή; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 είναι η τεταγμένη του, N(1;9) είναι η κορυφή.
Τώρα ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:
Εξίσωση των δεξιών πλευρών μιας εξίσωσης της οποίας οι αριστερές πλευρές είναι ίσες.
Παίρνουμε 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ή x 2 – 12 = 0, εξ ου και 
.
Άρα, τα σημεία είναι τα σημεία τομής μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής (Εικόνα 1).
Σχήμα 3 Γραφήματα συναρτήσεων y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4
Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία y = 2x – 4. Διέρχεται από τα σημεία (0;-4), (2;0) στους άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσετε μια παραβολή, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα σημεία τομής της με τον άξονα 0x, δηλαδή τις ρίζες της εξίσωσης 8 + 2x – x 2 = 0 ή x 2 – 2x – 8 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, είναι εύκολο για να βρείτε τις ρίζες του: x 1 = 2, x 2 = 4.
Το σχήμα 3 δείχνει ένα σχήμα (παραβολικό τμήμα M 1 N M 2) που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο 
.
Σε σχέση με αυτή τη συνθήκη, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα: 
2 Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής
Ο όγκος του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης y = f(x) γύρω από τον άξονα O x υπολογίζεται με τον τύπο:
Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, ο τύπος μοιάζει με:
Εργασία Νο. 4. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυρτού τραπεζίου που οριοθετείται από ευθείες x = 0 x = 3 και καμπύλη y = γύρω από τον άξονα O x.
Λύση.Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα (Εικόνα 4).
Εικόνα 4. Γράφημα της συνάρτησης y =
Ο απαιτούμενος όγκος είναι 
Εργασία Νο. 5. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλωμένου τραπεζίου που οριοθετείται από την καμπύλη y = x 2 και ευθείες y = 0 και y = 4 γύρω από τον άξονα O y.
Λύση.Εχουμε:
Επιθεώρηση των ερωτήσεων
Αρχίζουμε να εξετάζουμε την ίδια τη διαδικασία υπολογισμού διπλό ολοκλήρωμακαι να εξοικειωθούν με τη γεωμετρική του σημασία.
Το διπλό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του επίπεδου σχήματος (η περιοχή ολοκλήρωσης). Αυτό απλούστερη μορφήδιπλό ολοκλήρωμα, όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .
Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πολύ με το πόσο απλά είναι όλα πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές. Για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι στο τμήμα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο: 
Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο να διασχίσουμε την περιοχή: 
Ετσι: 
Και αμέσως μια σημαντική τεχνική τεχνική: τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν χωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα και μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδοςΤο προτείνω ανεπιφύλακτα σε αρχάριους στο αντικείμενο.
1) Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y": 
Αόριστο ολοκλήρωμαεδώ είναι το απλούστερο και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συνηθισμένος τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα, αντικαταστήσαμε το ανώτερο όριο με το «y» (αντιπαράγωγη συνάρτηση) και μετά το κάτω όριο
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα: 
Μια πιο συμπαγής αναπαράσταση ολόκληρης της λύσης μοιάζει με αυτό:
Ο τύπος που προκύπτει 
είναι ακριβώς ο τύπος εργασίας για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το "συνηθισμένο" οριστικό ολοκλήρωμα! Παρακολουθήστε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε βήμα!
Αυτό είναι, πρόβλημα υπολογισμού εμβαδού με χρήση διπλού ολοκληρώματος όχι πολύ διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος!Στην πραγματικότητα, είναι το ίδιο πράγμα!
Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε αντιμετωπίσει επανειλημμένα αυτό το έργο.
Παράδειγμα 9
Λύση:Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο: 
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής: 
Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν λεπτομερέστατες εξηγήσεις.
Ετσι: 
Όπως έχω ήδη σημειώσει, είναι καλύτερο για τους αρχάριους να υπολογίζουν τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα ξεχωριστά και θα παραμείνω στην ίδια μέθοδο:
1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα: 
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα: 
Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.
Απάντηση:
Αυτό είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.
Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 10
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,
Δείγμα κατά προσέγγισηοριστικοποίηση της λύσης στο τέλος του μαθήματος.
Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής, παρεμπιπτόντως, οι περίεργοι αναγνώστες μπορούν να αλλάξουν τη σειρά διέλευσης και να υπολογίσουν τις περιοχές χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, θα λάβετε τις ίδιες τιμές περιοχής.
Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η δεύτερη μέθοδος διέλευσης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματική, και στο τέλος της πορείας του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:
Παράδειγμα 11
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Λύση:Ανυπομονούμε για δύο παραβολές με μια ιδιορρυθμία που βρίσκονται στα πλάγια. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε παρόμοια πράγματα συμβαίνουν αρκετά συχνά σε πολλαπλά ολοκληρώματα.
Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;
Ας φανταστούμε μια παραβολή με τη μορφή δύο συναρτήσεων:
– ο άνω κλάδος και – ο κάτω κλάδος.
Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή με τη μορφή άνω και κάτω 
κλαδια δεντρου.
Στη συνέχεια, η κατά σημείο σχεδίαση κανόνων γραφημάτων, με αποτέλεσμα ένα τόσο παράξενο σχήμα: 
Υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:
Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε την πρώτη μέθοδο διασχίζοντας την περιοχή; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: 
. Τα ολοκληρώματα, βέβαια, δεν είναι υπερ-σύνθετου επιπέδου, αλλά... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όσοι είναι κοντά στις ρίζες τους δεν χρειάζονται τεστ.
Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις: 
Αντίστροφες συναρτήσειςΣε αυτό το παράδειγμα, έχουν το πλεονέκτημα ότι καθορίζουν ολόκληρη την παραβολή ταυτόχρονα χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.
Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής: 
Ετσι: 
Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.
1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:
Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:
Η ολοκλήρωση πάνω από τη μεταβλητή "y" δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση εάν υπήρχε ένα γράμμα "zy", θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και ποιος διάβασε τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, δεν βιώνει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ενσωμάτωση σύμφωνα με τη μέθοδο «Υ».
Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνική σχολιάζεται αναλυτικά στο μάθημα. Αποτελεσματικές μέθοδοιυπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος.
Τι να προσθέσω…. Ολα!
Απάντηση:
Για να δοκιμάσετε την τεχνική ολοκλήρωσης, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.
Παράδειγμα 12
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διάβασης της περιοχής, η φιγούρα δεν θα χρειάζεται πλέον να χωρίζεται σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.
Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)
Σου εύχομαι επιτυχία!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2:Λύση:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Ετσι: 
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:
Ετσι: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 4:Λύση:
Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Απάντηση:
