Квадратне рівнянняце рівняння, яке виглядає як ax 2 + dx + c = 0. У ньому значення а,ві збудь-які числа, при цьому ане дорівнює нулю.
Усі квадратні рівняння поділяються на кілька видів, а саме:
Рівняння у яких лише один корінь.
-Рівняння з двома різним корінням.
-Рівняння в яких коріння немає зовсім.
Це і відрізняє лінійні рівняння, в яких корінь завжди єдиний, від квадратних. Для того щоб зрозуміти яку кількість коренів у виразі і потрібен Дискримінант квадратного рівняння.
Допустимо наше рівняння ax 2 + dx + c =0. Значить дискримінант квадратного рівняння -
D = b 2 - 4 ac
І це слід запам'ятати назавжди. За допомогою цього рівняння ми визначаємо кількість коренів у квадратному рівнянні. І робимо ми це так:
Коли D менше нуля, У рівнянні немає коріння.
- Коли D дорівнює нулю, є лише один корінь.
- Коли D більше за нуль, відповідно, в рівнянні два корені.
Запам'ятайте, що дискримінант показує скільки коренів у рівнянні, не змінюючи знаків.
Розглянемо для наочності:
Потрібно з'ясувати скільки коренів у цьому квадратному рівнянні.
1) х 2 - 8х + 12 = 0
2) 5х 2 + 3х + 7 = 0
3) х 2 -6х + 9 = 0
Вписуємо значення у перше рівняння, знаходимо дискримінант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Дискримінант зі знаком плюс, отже, в даній рівності два корені.
Робимо те саме з другим рівнянням
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Значення мінусове, отже, коріння в даній рівності немає.
Наступне рівняння розкладемо за аналогією.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
як наслідок маємо один корінь у рівнянні.
Важливо, що у кожному рівнянні ми виписували коефіцієнти. Звичайно, це не багато тривалий процес, але це допомогло нам не заплутатися і запобігла появі помилок. Якщо дуже часто вирішувати подібні рівняння, то обчислення зможете робити подумки і заздалегідь знати скільки рівняння коренів.
Розглянемо ще один приклад:
1) х 2 - 2х - 3 = 0
2) 15 - 2х - х 2 = 0
3) х 2 + 12х + 36 = 0
Розкладаємо перше
а = 1, b = -2, з = -3
D = (-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, що більше нуля, значить два корені, виведемо їх
х 1 = 2+? 16/2 * 1 = 3, х 2 = 2-? 16/2 * 1 = -1.
Розкладаємо друге
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, що більше нуля і так само має два корені. Виведемо їх:
х 1 = 2+? 64/2 * (-1) = -5, х 2 = 2-? 64/2 * (-1) = 3.
Розкладаємо третє
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 = 0, що дорівнює нулю і має один корінь
х = -12 +? 0/2 * 1 = -6.
Вирішувати дані рівняння не складно.
Якщо нам дано неповне квадратне рівняння. Таке як
1х 2 + 9х = 0
2х 2 - 16 = 0
Дані рівняння відрізняються від тих, що були вищими, оскільки воно не повне, в ньому немає третього значення. Але, незважаючи на це, воно простіше ніж повне квадратне рівняння і в ньому дискримінант шукати не потрібно.
Що робити, коли терміново потрібна дипломна роботачи реферат, а часу на його написання немає? Все це та багато іншого можна замовити на сайті Deeplom.by (http://deeplom.by/) та отримати найвищий бал.
Попрацюємо з квадратними рівняннями. Це дуже популярні рівняння! В самому загальному виглядіквадратне рівняння виглядає так:
Наприклад:
Тут а =1; b = 3; c = -4
Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2
Тут а =-3; b = 6; c = -18
Ну ви зрозуміли…
Як розв'язувати квадратні рівняння?Якщо перед вами квадратне рівняння саме у такому вигляді, далі все просто. Згадуємо чарівне слово дискримінант . Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий та безвідмовний у зверненні. Отже, формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:
Вираз під знаком кореня – і є той самий дискримінант. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су це формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, для першого рівняння а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:
Приклад практично вирішено:
От і все.
Які випадки можливі під час використання цієї формули? Усього три випадки.
1. Дискримінант позитивний. Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різні рішення.
2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас є одне рішення. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але це відіграє роль у нерівностях, там ми докладніше вивчимо питання.
3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний коріньне вилучається. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.
Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…
Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значень у формулу для обчислення коріння. Тут рятує докладний запис формули із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!
Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:
Тут a = -6; b = -5; c = -1
Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.
Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:
Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час зникне потреба так ретельно все розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо будете застосовувати практичні прийоми, Що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!
Отже, як розв'язувати квадратні рівняннячерез дискримінант ми згадали. Або навчилися, що теж непогано. Вмієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове словотут – уважно?
Однак часто квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:
Це неповні квадратні рівняння . Їх також можна вирішувати через дискримінант. Треба тільки правильно збагнути, чого тут дорівнюють a, b і с.
Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4;а c? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! От і все. Підставляємо у формулу нуль замість c,і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !
Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без будь-якого дискримінанта. Розглянемо перше неповне рівняння. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.
І що з цього? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні нуль дадуть!
Не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х = 0, або х = 4
Всі. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж через дискримінант.
Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:
Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:
Теж два корені . х = +3 та х = -3.
Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або з допомогою винесення икса за дужки, чи простим перенесенням числа вправо з наступним вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь із іксу витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нема чого…
А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.
Прийом перший. Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:
Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:
І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбавтеся мінуса. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:
А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.
Прийом другий.Перевіряйте коріння! За теоремою Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємо останнєрівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Достатньо їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком
. Якщо не вийшло – значить уже десь накосячили. Шукайте помилку. Якщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт bз протилежним
знаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт b, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно!
Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1.Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Дедалі менше помилок буде.
Прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Домножте рівняння на спільний знаменник, як описано у попередньому розділі. При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.
До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.
Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:
От і все! Вирішувати – одне задоволення!
Отже, підсумуємо тему.
1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.
2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.
3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.
4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити на теоремі Вієта. Робіть це!
Дробові рівняння. ОДЗ.
Продовжуємо освоювати рівняння. Ми вже в курсі, як працювати з лінійними рівняннями та квадратними. Залишився останній вигляд - дробові рівняння. Або їх ще називають набагато солідніше - дробові раціональні рівняння. Це одне і теж.
Дробові рівняння.
Як зрозуміло з назви, у цих рівняннях обов'язково присутні дроби. Але не просто дроби, а дроби, які мають невідоме у знаменнику. Хоч би в одному. Наприклад:
Нагадаю, якщо у знаменниках лише числа, це лінійні рівняння
Як вирішувати дробові рівняння? Насамперед – позбутися дробів! Після цього рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне чи квадратне. А далі ми знаємо, що робити... У деяких випадках воно може перетворитися на тотожність типу 5=5 або неправильне вираження типу 7=2. Але це рідко трапляється. Нижче я про це згадаю.
Але як позбутися дробів! Дуже просто. Застосовуючи ті самі тотожні перетворення.
Нам треба помножити все рівняння на те саме вираз. Так, щоб усі знаменники скорочувалися! Все одразу стане простіше. Пояснюю на прикладі. Нехай нам потрібно вирішити рівняння:
Як навчали у молодших класах? Переносимо все в один бік, ведемо до спільного знаменника і т.д. Забудьте, як страшний сон! Так потрібно робити, коли ви складаєте або віднімаєте дробові вирази. Або працюєте з нерівностями. А в рівняннях ми відразу множимо обидві частини на вираз, який дасть нам змогу скоротити всі знаменники (тобто, по суті, на спільний знаменник). І який же це вираз?
У лівій частині для скорочення знаменника потрібно множення на х+2. А у правій потрібно множення на 2. Значить, рівняння треба множити на 2(х+2). Примножуємо:
Це звичайне множення дробів, але докладно розпишу:
Зверніть увагу, я поки що не розкриваю дужку (х + 2)! Так, цілком, її й пишу:
У лівій частині скорочується повністю (х+2), А в правій 2. Що і потрібно! Після скорочення отримуємо лінійнерівняння:
А це рівняння вже вирішить кожен! х = 2.
Вирішимо ще один приклад, трохи складніше:
Якщо згадати, що 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можна записати:
І знову позбавляємося того, що нам не дуже подобається – дробів.
Бачимо, що для скорочення знаменника з іксом, треба помножити дріб на (х – 2). А одиниці нам не завада. Ну і множимо. Всюліву частину та всюправу частину:
Знову дужки (х – 2)я не розкриваю. Працюю зі дужкою в цілому, наче це одне число! Так треба робити завжди, бо інакше нічого не скоротиться.
З почуттям глибокого задоволенняскорочуємо (х – 2)і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, в лінійку!
А ось тепер уже розкриваємо дужки:
Наводимо подібні, переносимо все в ліву частину та отримуємо:
Класичне квадратне рівняння. Але мінус попереду – поганий. Його можна завжди позбутися, множенням або розподілом на -1. Але якщо придивитися до прикладу, можна помітити, що найкраще це рівняння поділити на -2! Одним махом і мінус зникне, і коефіцієнти симпатичніші стануть! Ділимо на -2. У лівій частині – почленно, а правій – просто нуль ділимо на -2, нуль і отримаємо:
Вирішуємо через дискримінант та перевіряємо за теоремою Вієта. Отримуємо х = 1 та х = 3. Два коріння.
Як бачимо, у першому випадку рівняння після перетворення стало лінійним, а тут – квадратним. Буває так, що після позбавлення від дробів всі ікси скорочуються. Залишається щось, типу 5=5. Це означає, що ікс може бути будь-яким. Яким би він не був, все одно скоротиться. І вийде чиста щоправда, 5=5. Але, після позбавлення від дробів, може вийти зовсім неправда, типу 2=7. А це означає, що рішень немає! За будь-якого ікса виходить неправда.
Усвідомили головний спосібрішення дробових рівнянь? Він простий та логічний. Ми змінюємо вихідний вираз так, щоб зникло все, що нам не подобається. Або заважає. У даному випадкуце – дроби. Так само ми будемо чинити і з кожними складними прикладамиз логарифмами, синусами та іншими жахами. Ми завждибудемо всього цього позбуватися.
Однак змінювати вихідний вираз у потрібний нам бік треба за правилами, так ... Освоєння яких і є підготовка до ЄДІ з математики. От і освоюємо.
Зараз ми з вами навчимося обходити одну з головних засідок на ЄДІ! Але для початку подивимося, чи потрапляєте ви в неї, чи ні?
Розберемо простий приклад:
Справа вже знайома, множимо обидві частини на (х – 2), отримуємо:
Нагадую, із дужками (х – 2)працюємо як з одним, цілісним виразом!
Тут я вже не писав одиначку в знаменниках, несолидно ... І дужки в знаменниках малювати не став, там крім х – 2нічого немає, можна й малювати. Скорочуємо:
Розкриваємо дужки, переносимо все вліво, наводимо такі:
Вирішуємо, перевіряємо, отримуємо два корені. х = 2і х = 3. Чудово.
Припустимо в завданні сказано записати корінь, або їх суму, якщо коріння більше одного. Що будемо писати?
Якщо вирішите, що відповідь 5 – ви потрапили в засідку. І завдання вам не зарахують. Даремно працювали… Правильна відповідь 3.
В чому справа?! А ви спробуйте перевірку зробити. Підставити значення невідомого в початковийприклад. І якщо при х = 3у нас все чудово зросте, отримаємо 9 = 9, то при х = 2вийде поділ на нуль! Що робити не можна категорично. Значить х = 2рішенням не є, і у відповіді не враховується. Це так званий сторонній чи зайвий корінь. Ми його просто відкидаємо. Остаточний корінь один. х = 3.
Як так?! – чую обурені вигуки. Нас вчили, що рівняння можна множити вираз! Це тотожне перетворення!
Так, тотожний. За маленької умови – вираз, на який множимо (ділимо) – відмінно від нуля. А х – 2при х = 2одно нулю! Отже, все чесно.
І що тепер робити?! Чи не множити на вираз? Щоразу перевірку робити? Знову незрозуміло!
Спокійно! Без паніки!
У цій тяжкій ситуації нас врятують три магічні літери. Я знаю, що ви подумали. Правильно! Це ОДЗ . Область допустимих значень.
Серед усього курсу шкільної програмиалгебри однією з найбільших тем є тема про квадратні рівняння. При цьому під квадратним рівнянням розуміється рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 де a ≠ 0 (читається: а помножити на ікс у квадраті плюс бе ікс плюс це дорівнює нулю, де а нерівно нулю). При цьому основне місце займають формули знаходження дискримінанта квадратного рівняння зазначеного виду, під яким розуміється вираз, що дозволяє визначити наявність або відсутність коренів квадратного рівняння, а також їх кількість (за наявності).
Формула (рівняння) дискримінанта квадратного рівняння
Загальноприйнята формула дискримінанта квадратного рівняння має такий вигляд: D = b 2 – 4ac. Обчислюючи дискримінант за зазначеною формулою, можна визначити наявність і кількість коренів у квадратного рівняння, а й вибрати спосіб знаходження цих коренів, яких існує кілька залежно від типу квадратного рівняння.
Що означає якщо дискримінант дорівнює нулю \ Формула коренів квадратного рівняння якщо дискримінант дорівнює нулю
Дискримінант, як випливає з формули, позначається латинською літерою D. У випадку, коли дискримінант дорівнює нулю, слід зробити висновок, що квадратне рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 де a ≠ 0 має тільки один корінь, який обчислюється за спрощеною формулою. Дана формула застосовується тільки за нульового дискримінанта і виглядає наступним чином: x = –b/2a, де х – корінь квадратного рівняння, b та а – відповідні змінні квадратного рівняння. Для знаходження кореня квадратного рівняння необхідно негативне значення змінної b розділити подвоєне значення змінної а. Отриманий вираз буде розв'язанням квадратного рівняння.
Розв'язання квадратного рівняння через дискримінант
Якщо при обчисленні дискримінанта за наведеною вище формулою виходить позитивне значення(D більше за нуль), то квадратне рівняння має два корені, які обчислюються за такими формулами: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Найчастіше, дискримінант окремо не обчислюється, а значення D, з якого витягується корінь, просто підставляється підкорене вираз у вигляді формули дискримінанта. Якщо змінна b має парне значення, то для обчислення коренів квадратного рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 де a ≠ 0 можна також використовувати наступні формули: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (-k + v (k2 - ac)) / a, де k = b/2.
У деяких випадках для практичного розв'язання квадратних рівнянь можна використовувати Теорему Вієта, яка свідчить, що для суми коренів квадратного рівняння виду x 2 + px + q = 0 буде справедливе значення x 1 + x 2 = –p, а добутку коренів зазначеного рівняння – вираз x 1 x x 2 = q.
Чи може дискримінант бути меншим за нуль
При обчисленні значення дискримінанта можна зіткнутися з ситуацією, яка не підпадає під жодний з описаних випадків – коли дискримінант має негативне значення (тобто менше нуля). У цьому випадку прийнято вважати, що квадратне рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a ≠ 0, дійсних коренів не має, отже, його рішення обмежуватиметься обчисленням дискримінанта, а наведені вище формули коренів квадратного рівняння в даному випадку застосовуватися не будуть. При цьому у відповіді до квадратного рівняння записується, що рівняння дійсних коренів не має.
Пояснювальне відео:
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI
§ 253. Вилучення коренів квадратних із негативних чисел.
Розв'язання квадратних рівнянь із негативними дискримінантами
Як ми знаємо,
i 2 = - 1.
Разом з тим
(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.
Таким чином, існують принаймні два значення кореня квадратного з - 1, а саме i і - i . Але, можливо, є ще якісь комплексні числа, Квадрати яких рівні - 1?
Щоб з'ясувати це питання, припустимо, що квадрат комплексного числа а + bi дорівнює - 1. Тоді
(а + bi ) 2 = - 1,
а 2 + 2абі - b 2 = - 1
Два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах. Тому
| { |
а
2 - b
2 = - 1 |
Згідно з другим рівнянням системи (1) хоча б одне з чисел а і b має дорівнювати нулю. Якщо b = 0, то з першого рівняння виходить а 2 = - 1. Число а дійсне, і тому а 2 > 0. Невід'ємне число а 2 не може дорівнювати негативному числу - 1. Тому рівність b = 0 у разі неможливо. Залишається визнати, що а = 0, але тоді з першого рівняння системи одержуємо: - b 2 = - 1, b = ±1.
Отже, комплексними числами, квадрати яких дорівнюють -1, є лише числа i і - i , умовно це записується у вигляді:
√-1 = ± i .
Аналогічними міркуваннями учні можуть переконатися у тому, що є рівно два числа, квадрати яких рівні негативному числу - а . Такими числами є √ a i і -√ a i . Умовно це записується так:
√- а = ± √ a i .
Під √ a тут мається на увазі арифметичний, тобто позитивний корінь. Наприклад, √4 = 2, √9 =.3; тому
√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i
Якщо раніше при розгляді квадратних рівнянь із негативними дискримінантами ми говорили, що такі рівняння не мають коріння, то тепер так уже не можна говорити. Квадратні рівняння з негативними дискримінантами мають комплексне коріння. Це коріння виходить за відомими нам формулами. Нехай, наприклад, дано рівняння x 2 + 2х + 5 = 0; тоді
х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .
Отже, дане рівняння має два корені: х 1 = - 1 +2i , х 2 = - 1 - 2i . Це коріння є взаємно сполученим. Цікаво відзначити, що їх сума дорівнює - 2, а твір 5, отже виконується теорема Виета.
Вправи
2022. (У с т н о.) Розв'язати рівняння:
а) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; у 3 x 2 = - 5.
2023. Знайти усі комплексні числа, квадрати яких рівні:
а) i ; б) 1/2 - √3/2 i ;
2024. Розв'язати квадратні рівняння:
а) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; в) x 2 - 14x + 74 = 0.
Розв'язати системи рівнянь (№ 2025, 2026):
| { |
x + y
= 6 |
| { |
2x -
3y
= 1 |
2027. Довести, що коріння квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та негативним дискримінантом є взаємно поєднаним.
2028. Довести, що теорема Вієта вірна для будь-яких квадратних рівнянь, а не лише для рівнянь із невід'ємним дискримінантом.
2029. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, корінням якого є:
a) х 1 = 5 - i , х 2 = 5 + i ; б) х 1 = 3i , х 2 = - 3i .
2030. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює (3 - i ) (2i - 4).
2031. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює 32 -
i
1- 3i
.