Події
Подія. Елементарна подія.
Простір елементарних подій.
Достовірна подія. Неможлива подія.
Тотожні події.
Сума, твір, різниця подій.
Протилежні події. Несумісні події.
Рівні події.
Під подією в теорії ймовірностей розуміють будь-який факт, який може статися або не відбутися в результаті досвідувипадковим результатом. Найпростіший результат такого досвіду (наприклад, поява "орла" або "решки" при киданні монети, попадання в ціль при стрільбі, поява туза при вийманні карти з колоди, випадкове випадання числа при киданні гральної кісткиі т.д.) називаєтьсяелементарною подією .
Безліч всіх елементарнихподій Еназивається простором елемен тарних подій . Так, при киданні гральної кістки цей простір складається з шестиелементарних подій, а при вийманні карти з колоди - з 52. Подія може складатися з одного або декількох елементарних подій, наприклад, поява двох тузів поспіль при вийманні карти з колоди, або випадання одного і того ж числа при триразовому киданні гральної кістки. Тоді можна визначити подія як довільне підмножина простору елементарних подій.
Достовірною подією називається весь простір елементарних подій. Таким чином, достовірна подія – це подія, яка обов'язково має відбутися внаслідок цього досвіду. При киданні гральної кістки такою подією є її падіння однією з граней.
Неможливою подією () називається порожнє підмножина простору елементарних подій. Тобто неможлива подія не може статися в результаті цього досвіду. Так, при киданні гральної кістки неможливим подією є її падіння ребро.
Події Аі Уназиваютьсятотожними (А= У), якщо подія Авідбувається тоді і лише тоді, коли відбувається подіяУ .
Кажуть, що подія А тягне за собою подію У ( А У), якщо з умови"відбулася подія А" слід "відбулася подія В".
Подія Зназивається сумою подій Аі У (З = А У), якщо подія Звідбувається тоді і лише тоді, коли відбувається або А, або У.
Подія Зназивається твором подій Аі У (З = А У), якщо подія Звідбувається тоді і лише тоді, коли відбувається іА, і У.
Подія Зназивається різницею подій Аі У (З = А – У), якщо подія Звідбувається тоді ітільки тоді, коли відбуваєтьсяподія А, і не відбувається подія У.
Подія А"називається протилежним подіїА, якщо не сталася подія А. Так, промах та потрапляння під час стрільби – протилежні події.
Події Аі Уназиваютьсянесумісними (А У = ) , якщо їхня одночасна поява неможлива. Наприклад, випадання і "решки", і"Орла" при киданні монети.
Якщо при проведенні досвіду можуть відбутися кілька подій і кожна з них за об'єктивними умовами не є більш можливою, ніж інша, то такі події називаютьсярівноможливими . Приклади рівноможливих подій: поява двійки, туза та валета при вийманні карти з колоди, випадання будь-якого з чисел від 1 до 6 при киданні гральної кістки тощо.
Сума всіх можливостей подій вибіркового простору дорівнює 1. Наприклад, якщо експериментом є підкидання монети при Події А = «орел» та Події В = «решка», то А і В є все вибіркове простір. Значить, Р(А) + Р(В) = 0.5 + 0.5 = 1.
приклад. У раніше запропонованому прикладі обчислення ймовірності вилучення з кишені халата червоної ручки (ця подія А), в якому лежать дві сині та одна червона ручка, Р(А) = 1/3 ≈ 0.33, ймовірність протилежної події – вилучення синьої ручки – складе
Перш ніж перейти до основних теорем, введемо ще два складніші поняття - сума і добуток подій. Ці поняття відмінні від звичних понять суми та твори в арифметиці. Додавання і множення теоретично ймовірностей - символічні операції, підпорядковані певним правилам і полегшують логічне побудова наукових висновків.
Сумоюкількох подій є подія, що полягає у появі хоча б одного з них. Тобто, сумою двох подій А і В називається подія С, що полягає в появі або події А, або події, або подій А і В разом.
Наприклад, якщо пасажир чекає на зупинці трамваїв будь-якого з двох маршрутів, то потрібна йому подія полягає у появі трамваю першого маршруту (подія А), або трамвая другого маршруту (подія В), або у спільній появі трамваїв першого та другого маршрутів (подія З). На мові теорії ймовірностей це означає, що потрібна пасажиру подія D полягає в появі або події А, або події, або події С, що символічно запишеться у вигляді:
D = A + B + C
Добутком двох подійАі Ує подія, що полягає у спільній появі подій Аі У. Добутком кількох подійназивається спільна поява всіх цих подій.
У наведеному прикладі з пасажиром подія З(Спільна поява трамваїв двох маршрутів) є твір двох подій Аі У, що символічно записується так:
Припустимо, що два лікарі нарізно оглядають пацієнта з метою виявлення конкретного захворювання. У процесі оглядів можлива поява наступних подій:
Виявлення захворювань першим лікарем ( А);
Невиявлення захворювання першим лікарем ();
Виявлення захворювання другим лікарем ( У);
Невиявлення захворювання другим лікарем ().
Розглянемо подію, що у тому, що захворювання буде виявлено у процесі оглядів рівно один раз. Ця подія може реалізуватися двома способами:
Захворювання виявить перший лікар ( А) і не виявить другий ();
Захворювань не виявить перший лікар () та виявить другий ( B).
Позначимо подію, що розглядається через і запишемо символічно:
Розглянемо подію, яка полягає в тому, що захворювання буде виявлено у процесі оглядів двічі (і першим, і другим лікарем). Позначимо цю подію і запишемо: .
Подія, яка полягає в тому, що ні перший, ні другий лікар захворювання не виявить, позначимо через і запишемо: .
Основні теореми теорії ймовірності
Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Запишемо теорему додавання символічно:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В),
де Р- ймовірність відповідної події (подія вказується у дужках).
приклад . У хворого спостерігається шлункова кровотеча. Цей симптом реєструється при виразковій ерозії судини (подія А), розриві варикозно-розширених вен стравоходу (подія В), раку шлунка (подія С), поліпі шлунка (подія D), геморагічному діатезі (подія F), механічній жовтяниці (подія Е) та кінцевому гастриті (подіяG).
Лікар, ґрунтуючись на аналізі статистичних даних, надає кожній події значення ймовірності:
Усього лікар мав 80 хворих із шлунковою кровотечею (n= 80), їх у 12 була виразкова ерозія судини (), у6 - розрив варикозно-розширених вен стравоходу (), у 36 - рак шлунка () і т.д.
Для призначення обстеження лікар хоче визначити ймовірність того, що шлункова кровотеча пов'язана із захворюванням шлунка (подія I):
Імовірність того, що шлункова кровотеча пов'язана із захворюванням шлунка, досить висока, і лікар може визначити тактику обстеження, виходячи з припущення про захворювання шлунка, обґрунтованого на кількісному рівні за допомогою теорії ймовірностей.
Якщо розглядаються спільні події, ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їхнього наступу.
Символічно це записується такою формулою:
Якщо уявити, що подія Аполягає в попаданні при стрільбі в ціль, заштриховану горизонтальними смугами, а подія У- у попаданні на мету, заштриховану вертикальними смугами, то разі несумісних обставин по теоремі складання можливість суми дорівнює сумі можливостей окремих событий. Якщо ж ці події спільні, то є певна ймовірність, що відповідає спільному настанню подій Аі У. Якщо не ввести поправку на віднімання Р(АВ), тобто. на ймовірність спільного наступу подій, то ця ймовірність буде врахована двічі, так як площа, заштрихована і горизонтальними, і вертикальними лініями, є складовою обох мішеней і враховуватиметься як у першому, так і в другому доданку.
На рис. 1 дана геометрична інтерпретація, що наочно ілюструє дану обставину. У верхній частині малюнка вміщені мішені, що не перетинаються, є аналогом несумісних подій, в нижній частині - мішені, що перетинаються, є аналогом спільних подій (одним пострілом можна потрапити одночасно і в ціль А, і в ціль В).
Перш ніж перейти до теореми множення, необхідно розглянути поняття незалежних та залежних подій та умовної та безумовної ймовірностей.
Незалежнимвід події називається така подія А, ймовірність появи якого не залежить від появи або непояви події В.
Залежнимвід події називається така подія А, ймовірність появи якої залежить від появи або непояви події В.
приклад . У урні знаходяться 3 кулі, 2 білих та 1 чорна. При виборі кулі навмання ймовірність вибрати білу кулю (подію А) дорівнює: Р(А) = 2/3, а чорну (подію В)Р(В) = 1/3. Ми маємо справу зі схемою випадків, і ймовірність подій розраховується строго за формулою. При повторенні досвіду ймовірності появи подій А і В залишаються незмінними, якщо після кожного вибору повертається куля в урну. В цьому випадку події А та В є незалежними. Якщо ж вибраний у першому досвіді куля в урну не повертається, то ймовірність події (А) у другому досвіді залежить від появи або непояви події (В) у першому досвіді. Так, якщо в першому досвіді з'явилася подія (вибраний чорний шар), то другий досвід проводиться за наявності в урні 2 білих куль і ймовірність появи події А в другому досвіді дорівнює: Р (А) = 2/2 = 1.
Якщо ж у першому досвіді не з'явилася подія (вибраний білий шар), то другий досвід проводиться за наявності в урні однієї білої і однієї чорної куль і ймовірність появи події А в другому досвіді дорівнює: Р (А) = 1/2. Очевидно, в цьому випадку події А і В тісно пов'язані, і ймовірності їх появи є залежними.
Умовною ймовірністюподії А називається ймовірність його появи за умови, що з'явилася подія В. Умовна ймовірність символічно позначається Р(А/В).
Якщо ймовірність появи події Ане залежить від появи події У, то умовна ймовірність події Адорівнює безумовній ймовірності:
Якщо ймовірність появи події А залежить від появи події В, то умовна ймовірність ніколи не може дорівнювати безумовній ймовірності:
Виявлення залежності різних подій між собою має велике значення у вирішенні практичних завдань. Так, наприклад, помилкове припущення про незалежність появи деяких симптомів при діагностиці вад серця за ймовірнісною методикою, розробленою в Інституті серцево-судинної хірургії ім. А. М. Бакульова, зумовило близько 50% помилкових діагнозів.
Визначення 1. Кажуть, що у певному досвіді подія А тягнеза собою поява події Уякщо при настанні події Анастає і подія У. Позначення цього визначення А Ì У. У термінах елементарних подій це означає, що кожна елементарна подія, що входить до А, входить також і У.
Визначення 2. Події Аі Уназиваються рівними або еквівалентними (позначається А= в), якщо А Ì Уі УÌ А, тобто. Аі Ускладаються з тих самих елементарних подій.
Достовірна подіяє об'ємним безліччю Ω, а неможлива подія - порожнім підмножиною Æ в ньому. Несумісність подій Аі Уозначає, що відповідні підмножини Аі Уне перетинаються: А∩У = Æ.
Визначення 3. Сумою двох подій Аі У(позначається З= А + У) називається подія З, що складається в наступ принаймніоднієї з подій Аабо У(союз «чи» суми є ключовим словом), тобто. настає або А, або У, або Аі Уразом.
приклад. Нехай два стрільця стріляють у мішень одночасно, і подія Аполягає в тому, що в ціль потрапляє перший стрілець, а подія B- У тому, що в ціль потрапляє 2-й стрілець. Подія A+ Bозначає, що мета вражена, або, інакше, що в ціль потрапив хоча б один зі стрільців (1-й стрілець або 2-й стрілець, або обидва стрільця).
Аналогічно, сумою кінцевого числа подій А 1 , А 2 , …, А n (позначається А= А 1 + А 2 + … + А n) називається подія А, що складається в настання хоча б одногоз подій А i ( i = 1, … , n), або довільної сукупності А i ( i = 1, 2, … , n).
приклад. Сумою подій А, В, Сє подія, що полягає у появі однієї з наступних подій: А, В, С, Аі У, Аі З, Уі З, Аі Уі З, Аабо У, Аабо З, Уабо З,Аабо Уабо З.
Визначення 4. Добутком двох подій Аі Уназивається подія З(позначається З = А ∙ В), що полягає в тому, що в результаті випробування відбулися і подія А,та подія Уодночасно. (Союз "і" для твору подій є ключовим словом).
Аналогічно добутком кінцевого числа подій А 1 , А 2 , …, А n (позначається А = А 1 ∙А 2 ∙…∙ А n) називається подія А, що полягає в тому, що в результаті випробування відбулися всі ці події.
приклад. Якщо події А, У, Зє поява «герба» у першому, у другому та третьому випробуванні відповідно, та подія А× У× Зє випадання "герба" у всіх трьох випробуваннях.
Примітка 1. Для несумісних подій Аі Усправедлива рівність А ∙ В= Æ, де Æ – неможлива подія.
Примітка 2. Події А 1 , А 2, … , А n утворюють повну групу попарно несумісних подій, якщо .
Визначення 5. Протилежними подіяминазиваються дві єдино можливі несумісні події, що утворюють повну групу. Подія, протилежна до події А,позначається. Подія протилежна до події А, є доповненням до події Адо множини Ω.
Для протилежних подій одночасно задовольняються дві умови А ∙= Æ і А+= Ω.
Визначення 6. Різницяподій Аі У(позначається А– У) називається подія, яка полягає в тому, що подія Анастане, а подія В –ні і воно дорівнює А– У= А× .
Зазначимо, що події А + В, А ∙ В, , А - Взручно трактувати у графічному вигляді за допомогою діаграм Ейлера – Венна (рис. 1.1).
|
Рис. 1.1. Операції над подіями: заперечення, сума, твір та різницю |
Сформулюємо приклад так: нехай досвід Gполягає у проведенні стрільби навмання по області Ω, точки якого є елементарними подіями ω. Нехай попадання в область Ω є достовірною подією Ω, а потрапляння в області Аі У– відповідно події Аі У. Тоді події А+В(або АÈ У- світла область на малюнку), А ∙ В(або АÇ В –область у центрі), А - В(або А\В –світлі підобласті) відповідатимуть чотирьом зображенням на рис. 1.1. В умовах попереднього прикладу зі стріляниною двох стрільців по мішені твором подій Аі Убуде подія З = АÇ У, що перебуває в попаданні в ціль обома стрілками.
Зауваження 3. Якщо операції над подіями подати як операції над множинами, а події представити як підмножини деякої множини Ω, то сумі подій А+Ввідповідає об'єднання АÈ Уцих підмножин, а твору подій А ∙ В- перетин А∩Уцих підмножин.
Таким чином, операції над подіями можна поставити у відповідність операцію над множинами. Ця відповідність наведена у табл. 1.1
Таблиця 1.1
|
Позначення |
Мова теорії ймовірностей |
Мова теорії множин |
|
Простір елемент. подій |
Універсальна безліч |
|
|
Елементарна подія |
Елемент із універсальної множини |
|
|
Випадкова подія |
Підмножина елементів ω із Ω |
|
|
Достовірна подія |
Безліч всіх ω |
|
|
Неможлива подія |
Порожня безліч |
|
|
АÌ В |
Атягне У |
А- підмножина У |
|
А+В(АÈ У) |
Сума подій Аі У |
Об'єднання множин Аі У |
|
А× В(АÇ У) |
Твір подій Аі У |
Перетин множин Аі У |
|
А - В(А\У) |
Різниця подій |
Різниця множин |
Дії над подіями мають такі властивості:
А + В = В + А, А ∙ В = В ∙ А(переміщувальне);
(А+В) ∙ З = А× З + В× С, А ∙ В + С =(А+С) × ( В+С) (розподільче);
(А+В) + З = А + (В+С), (А ∙ В) ∙ З= А ∙ (В ∙ С) (Сполучна);
А + А = А, А ∙ А = А;
А + Ω = Ω, А∙ Ω = А;
Алгебраїчні операції над подіями визначають правила дій з подіями та дозволяють висловлювати одні події через інші. Операції над подіями застосовні лише для подій, що становлять підмножини одного й того самого простору елементарних подій.
Події з подіями можна наочно зобразити за допомогою діаграм Венна. У діаграмах подіям відповідають різні області на площині, що умовно позначають підмножини елементарних подій, з яких складаються події. Так, на діаграмах рис.1.1 простору елементарних подій відповідають внутрішні точки квадрата, події А _ внутрішні точки кола, події В _ внутрішні точки трикутника. Те, що події А і є підмножинами простору елементарних подій (А, В), зображено на діаграмах рис.1.1а,б.
Сумою (об'єднанням) подій А і В називається подія С = А + В (або С = АВ), що полягає в тому, що станеться хоча б одна з подій А або В. з подій А чи В, чи обох подій. На діаграмі (рис 1.2.) події З відповідає заштрихована область З, що представляє об'єднання областей А і В. Аналогічно сумою кількох подій А 1, А 2, ..., А n називається подія С, що полягає в тому, що станеться хоча б одна з подій А i , i =:
Сума подій поєднує всі елементарні події, у тому числі складаються А i , i=. Якщо події Е 1 , Е 2 ,…, Е n утворюють повну групу, їх сума дорівнює достовірному події:
Сума елементарних подій дорівнює достовірній події
Добутком (перетином) подій А і В називається подія С = АВ (або С = АВ), що складається в спільній появі подій А і В. Подія С складається з тих елементарних подій, які належать і А, і В. На рис. подія З представлено перетином областей А і У. Якщо А і У - несумісні події, їх добуток - неможлива подія, т. е. АВ= (рис. 1.3.б).
Добуток подій А 1 , А 2 ,…, А n - це подія, що полягає в одночасному виконанні всіх подій А i , i =:
Твори попарно несумісних подій А 1 , А 2, ..., А n - Неможливі події: А i А j =, для будь-якого ij. Твори подій, що становлять повну групу – неможливі події: Е i Е j =, ij, твори елементарних подій – також неможливі події: ij =, ij.
Різницею подій А і В називається подія С = А_В (С = АВ), яка полягає в тому, що відбувається подія А і не відбувається подія В. Подія складається з тих елементарних подій, які належать А і не належать В. Діаграма різниці подій наведено на рис. 1.4. З діаграми видно, що С=А_В=
Протилежною подією для події А (або її доповненням) називається подія, яка полягає в тому, що подія А не сталася. Протилежна подія доповнює подію А до повної групи і складається з тих елементарних подій, що належать до простору і не належать події А (рис. 1.5). Таким чином, - це різниця достовірної події та події А: = А.
Властивості операцій над подіями.
Переміщувальні властивості: А + В = В + А, А В = В А.
Сполучені властивості: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).
Розподільча властивість: А(В+С)=АВ+АС.
З визначень операцій над подіями випливають властивості
А+А=А; А+=; А+=А; А·А=А; А·=А; А·=
З визначення протилежної події випливає, що
А+=; А =; = А; =; =; ;
З діаграми рис.1.4 очевидні властивості різниці спільних подій:
Якщо А і В – несумісні події, то
Очевидні також властивості спільних подій
Для протилежних подій вірні властивості, які іноді називають правилом де Моргана або принципом двоїстості: операції об'єднання та перетину міняються місцями при переході до протилежних подій
Доказ принципу двоїстості можна отримати графічно за допомогою діаграм Венна або аналітично, застосувавши властивості 1-6
Слід звернути увагу, що дії, аналогічні діям "приведення подібних членів" і зведення в ступінь в алгебрі чисел, неприпустимі при операціях з подіями.
Наприклад, при операціях з правильними подіями є дії:
Помилкове застосування дій за аналогією з алгебраїчними: (А+В)В=А+ВВ=А веде до невірного результату (перевірте за допомогою діаграм Венна!).
приклад 1.11. Довести тотожність
а) (А+З)(В+З)=АВ+З;
б) АС_В=АС_ВС
а) (А+С)(В+С) = АВ+СВ+АС+СС = АВ+С(А+В)+С= =АВ+С(А+В)+С = АВ+С(А+ В+) = АВ+З = АВ+С;
б) АС_В = АС = СА = С(А_В) = СА_СВ = АС_ВС
приклад 1.12. Приз грає між двома фіналістами шоу-програми. Розіграш проводиться по черзі до першої успішної спроби, кількість спроб для кожного учасника обмежена трьома. Перший фіналіст розпочинає першим. Розглядаються події: А = (приз виграв перший фіналіст); В=(приз виграв другий фіналіст). 1) Доповнити ці події до повної групи та скласти для неї достовірну подію. 2) Скласти повну групу елементарних подій. 3) Виразити події першої повної групи через елементарні. 4) Скласти інші повні групи подій та записати через них достовірні події.
1) Події А та В несумісні, до повної групи вони доповнюються несумісною подією С=(приз не виграв ніхто). Достовірна подія = (приз виграє або перший фіналіст, або другий, або ніхто не виграє) дорівнює: = А + В + С.
2) Введемо події, які описують результат кожної спроби для кожного гравця і не залежать від умов конкурсу: А i = (перший фіналіст успішно провів i-ту спробу), i = (другий фіналіст успішно провів i-ту спробу), . Ці події не враховують умов конкурсу, тож не є елементарними щодо факту виграшу призу. Але через ці події за допомогою операцій над подіями можна скласти повну групу елементарних подій, які враховують умови виграшу з першої успішної спроби: 1 = (перший фіналіст виграв приз з першої спроби), 2 = (другий фіналіст виграв приз з першої спроби), 3 =(перший фіналіст виграв приз із другої спроби), 4 =(другий фіналіст виграв приз із другої спроби), 5 =(перший фіналіст виграв приз із третьої спроби), 6 =(другий фіналіст виграв приз із третьої спроби), 7 =( обидва фіналісти не виграли приз за три спроби). За умовами конкурсу
1 = А 1, 2 =, 3 =, 4 =,
5 =, 6 = , 7 = .
Повна група елементарних подій: = (1, ..., 7)
3) Події А та В через елементарні виражаються за допомогою операцій підсумовування, З збігається з елементарною подією:
4) Повні групи подій також становлять події
Достовірні події, що їм відповідають:
= (перший фіналіст або виграє приз, або не виграє) =;
= (другий фіналіст або виграє приз, або не виграє) =;
= (приз або не виграють, або виграють) =.
Вважатимемо, що результатом реального досвіду (експерименту) може бути один або кілька взаємовиключних результатів; ці результати нерозкладні і взаємно виключають одне одного. У цьому випадку кажуть, що експеримент закінчується одним і лише одним елементарним результатом.
Безліч всіх елементарних подій, що мають місце в результаті випадковогоексперименту, називатимемо простором елементарних подій W (Елементарна подія відповідає елементарному результату).
Випадковими подіями(Подіями), називатимемо підмножини простору елементарних подій W .
приклад 1.Підкинемо монету один раз. Монета може впасти цифрою нагору - елементарна подія w ц (або w 1), або гербом - елементарна подія w Г (або w 2). Відповідний простір елементарних подій W складається із двох елементарних подій:
W = (w ц, w Г) або W = (w 1, w 2).
Приклад 2. Кидаємо один раз гральну кістку. У цьому досвіді простір елементарних подій W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), де w i- Випадання iокулярів. Подія A- Випадання парного числа очок, A= (w 2 w 4 w 6), A W.
Приклад 3. На відрізку навмання (випадково) поставлено крапку. Вимірюється відстань крапки від лівого кінця відрізка. У цьому вся досвіді простір елементарних подій W = - безліч дійсних чисел на одиничному відрізку.
У більш точних, формальних термінах елементарні події та простір елементарних подій описують так.
Простір елементарних подій називають довільне безліч W , W = (w ). Елементи w цієї множини W називають елементарними подіями .
Поняття елементарна подія, подія, простір елементарних подійє початковими поняттями теорії ймовірностей. Неможливо навести конкретніший опис простору елементарних подій. Для опису кожної реальної моделі вибирається відповідний простір W.
Подія W називається достовірнимподією.
Достовірна подія не може не відбутися в результаті експерименту, вона відбувається завжди.
Приклад 4. Кидаємо один раз гральну кістку. Достовірне подія у тому, що випало число очок, менше одиниці і більше шести, тобто. W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), де w i- Випадання iочок - достовірна подія.
Неможливою подією називається порожня безліч.
Неможлива подія не може статися в результаті експерименту, вона не відбувається ніколи.
Випадкова подія може статися або не статися в результаті експерименту, вона відбувається іноді.
Приклад 5. Кидаємо один раз гральну кістку. Випадання більше шести очок - неможлива подія.
Протилежною події Aназивається подія, яка полягає в тому, що подія Aне відбулося. Позначається , .
Приклад 6. Кидаємо один раз гральну кістку. Подія Aтоді подія – випадання непарного числа очок. Тут W = (w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ), де w i- Випадання iокулярів, A= (w 2, w 4, w 6), =.
Несумісними подіями називаються події
Aі B, для яких A B = .Приклад 7. Кидаємо один раз гральну кістку. Подія A- випадання парної кількості очок, подія B- випадання числа очок меншого двох. Подія A B полягає у випаданні парного числа очок меншого двох. Це неможливо, A= (w 2 w 4 w 6), B =(w 1), A B = , тобто. події Aі B -несумісні.
Сумоюподій Aі Bназивається подія, що складається з усіх елементарних подій, що належать одній з подій Aабо B.Позначається A + B.
Приклад 8. Кидаємо один раз гральну кістку. У цьому досвіді простір елементарних подій W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), де елементарна подія w i- Випадання iокулярів. Подія A- Випадання парного числа очок, A B B =(w 5, w 6).
Подія A + B = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) у тому, що випало чи парне число очок, чи число очок більше чотирьох, тобто. відбулося або подія A, або подія B.Очевидно, що A + B W.
Творомподій Aі Bназивається подія, що складається з усіх елементарних подій, що належать одночасно подіям Aі B.Позначається AB.
Приклад 9. Кидаємо один раз гральну кістку. У цьому досвіді простір елементарних подій W = ( w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ), де елементарна подія w i- Випадання iокулярів. Подія A- Випадання парного числа очок, A= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), подія B- випадання числа очок, більшого за чотири, B =(w 5, w 6).
Подія A Bу тому, що випало парне число очок, більше чотирьох, тобто. відбулися обидві події, і подія Aта подія B, A B = (w 6) A B W.
Різницяподій Aі Bназивається подія, що складається з усіх елементарних подій, що належать A, але не належать B.Позначається A\B.
Приклад 10. Кидаємо один раз гральну кістку. Подія A- Випадання парного числа очок, A= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), подія B- випадання числа очок, більшого за чотири, B =(w 5, w 6). Подія A\ B = (w 2 ,w 4 ) у тому, що випало парне число очок, яка перевищує чотирьох, тобто. сталася подія Aі не сталася подія B, A\B W.
Очевидно, що
A + A = A, AA = A, 
.
Неважко довести рівності:
, (A+B)C = AC + BC.
Визначення суми та твори подій переносяться на нескінченні послідовності подій:
, подія, що складається з елементарних подій, кожна з яких належить хоча б одному;
, подія, що складається з елементарних подій, кожна з яких належить одночасно всім.
Нехай W - довільний простір елементарних подій, а - така сукупність випадкових подій, на яку справедливо: W , AB, A+B і A\B, якщо A та B.
Числова функція P, визначена на сукупності подій, називається ймовірністю,якщо : (A) 0 для будь-якого Aз ; (W) = 1;
Трійку називають імовірнісним простором.