У передмові до свого першого видання "У царстві кмітливості" (1908 рік) Є. І. Ігнатьєв пише: "... розумову самодіяльність, кмітливість і "сміливість" не можна ні "вдовбати", ні "вкласти" ні в чию голову. Результати надійні лише тоді, коли введення в область математичних знань відбувається у легкій і приємній формі, на предметах та прикладах повсякденної та повсякденної обстановки, підібраних з належним дотепністю та цікавістю”.
У передмові до видання 1911 "Роль пам'яті в математиці" Є.І. Ігнатьєв пише "... у математиці слід пам'ятати не формули, а процес мислення".
Для отримання квадратного кореня існують таблиці квадратів для двозначних чисел, можна розкласти число на прості множникиі витягти квадратний коріньіз твору. Таблиці квадратів буває недостатньо, вилучення кореня розкладанням на множники - трудомістка задача, яка теж не завжди призводить до бажаного результату. Спробуйте витягти квадратний корінь із числа 209764? Розкладання на прості множники дає твір 2*2*52441. Методом спроб і помилок, підбором - це, звичайно, можна зробити, якщо бути впевненим у тому, що це ціле число. Спосіб, який я хочу запропонувати, дозволяє отримати квадратний корінь у будь-якому випадку.
Колись в інституті (Пермський державний педагогічний інститут) нас познайомили із цим способом, про який зараз хочу розповісти. Ніколи не замислювалася, чи має цей спосіб доказ, тому зараз довелося деякі докази виводити самій.
Основою цього способу є склад числа =.
=&, тобто. & 2 = 596334.
1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5`96`33`64)
2. Виймаємо квадратний корінь із першої зліва групи ( - число 2). Так ми отримуємо першу цифру числа.
3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 = 4).
4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1).
5. Зносимо наступні дві цифри (отримали число 196).
6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею (2*2=4).
7. Тепер необхідно знайти другу цифру числа &: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого на число одиниць необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа &.
8. Знаходимо різницю (196-176=20).
9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).
10. Подвоює число 24, отримуємо 48.
11.48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми маємо одержати число менше 2033 (484*4=1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа &.
Доказ наведено мною для випадків:
1. Вилучення квадратного кореня з тризначного числа;
2. Вилучення квадратного кореня із чотиризначного числа.
Наближені методи вилучення квадратного кореня (без використання калькулятора).
1.Древні вавілоняни користувалися наступним способом знаходження наближеного значення квадратного кореня їх числа х. Число х вони представляли у вигляді суми а 2 +b, де а 2 найближчий до х точний квадрат натурального числа а (а 2 ?х), і користувалися формулою 
. (1)
Витягнемо за допомогою формули (1) корінь квадратний, наприклад з числа 28:
Результат вилучення кореня з 28 з допомогою МК 5,2915026.
Як бачимо спосіб вавилонян дає гарне наближення до точного значення кореня.
2. Ісаак Ньютон розробив метод вилучення квадратного кореня, який сягав ще Герона Олександрійського (близько 100 р. н.е.). Метод цей (відомий як метод Ньютона) ось у чому.
Нехай а 1- перше наближення числа (як а 1 можна брати значення квадратного кореня з натурального числа - точного квадрата, що не перевищує х).
Наступне, більш точне наближення а 2числа
знайдеться за формулою 
.
Інструкція
Підберіть підкореному числу такий множник, винесення якого з під коренядійсно вираз - інакше операція втратить. Наприклад, якщо під знаком кореняз показником, рівним трьом (кубічний корінь), стоїть число 128, то з під знака можна винести, наприклад, число 5. При цьому підкорене число 128 доведеться розділити на 5 у кубі: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Якщо наявність дробового числа під знаком кореняне суперечить умовам завдання, то можна у такому вигляді. Якщо ж потрібен більш простий варіант, то спочатку розбийте підкорене вираження на цілі множники, кубічний корінь одного з яких буде цілим. числом. Наприклад: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Використовуйте для підбору множників підкореного числа , якщо обчислювати в розумі ступеня числа неможливо. Особливо це актуально до кореням із показником ступеня більше двох. Якщо є доступ в інтернет, то можна проводити обчислення вбудованими пошуковими системами Google і Nigma обчислювачами. Наприклад, якщо треба знайти найбільший цілий множник, який можна винести з під знака кубічного коренядля числа 250, то перейшовши на сайт Google, введіть запит «6^3», щоб перевірити, чи не можна винести з під знака кореняшістку. Пошуковик покаже результат, що дорівнює 216. На жаль, 250 не можна розділити без залишку на це число. Тоді введіть запит 5^3. Результатом буде 125, а це дозволяє розбити 250 на множники 125 і 2, а значить винести з під знака кореня число 5, залишивши там число 2.
Джерела:
- як винести з-під кореня
- Квадратний корінь із твору
Винести з-під кореняодин із співмножників необхідно у ситуаціях, коли потрібно спростити математичний вираз. Трапляються випадки, коли виконати потрібні обчислення за допомогою калькулятора неможливо. Наприклад, якщо замість чисел використовуються літерні позначеннязмінних.
Інструкція
Розкладіть підкорене вираз на прості співмножники. Подивіться, який із співмножників повторюється стільки ж разів, зазначено у показниках кореня, або більше. Наприклад, вам потрібно витягти корінь з числа а четвертого ступеня. У цьому випадку число можна подати як а * а * а * а = а * (а * а * а) = а * а3. Показнику кореняу цьому випадку буде відповідати зі множника3. Його і треба винести за знак.
Вийміть корінь підкорених окремо там, де це можливо. Вилучення кореняявляє собою дію алгебри, зворотне зведенню в ступінь. Вилучення коренядовільного ступеня з числа знайти таке число, яке при зведенні його в цей довільний ступінь дасть в результаті це число. Якщо витяг коренязробити не можна, залиште підкорене вираз під знаком коренятак, як воно є. В результаті проведення перерахованих дій ви зробите винесення з-під знаку кореня.
Відео на тему
Зверніть увагу
Будьте уважні під час запису підкореного виразу у вигляді співмножників – помилка на цьому етапі призведе до неправильних результатів.
При вилученні коренів зручно користуватися спеціальними таблицями або таблицями логарифмічного коріння – цим ви значно скоротите час на перебування правильного рішення.
Джерела:
- знак вилучення кореня в 2019
Спрощення алгебраїчних виразів потрібно у багатьох розділах математики, зокрема під час вирішення рівнянь вищих ступенів, диференціюванні та інтегруванні. У цьому використовується кілька методів, включаючи розкладання множники. Щоб застосувати цей спосіб, потрібно знайти та винести загальний множникза дужки.
Інструкція
Винесення загального множника за дужки- Один з найпоширеніших способів розкладання. Цей прийом застосовується спрощення структури довгих алгебраїчних виразів, тобто. багаточленів. Загальним може бути число, одночлен або двочлен, а для пошуку застосовується розподільна властивість множення.
Число. Подивіться уважно на коефіцієнти при кожному многочлена, чи можна розділити їх на те саме число. Наприклад, у виразі 12 z³ + 16 z² – 4 очевидним є множник 4. Після перетворення вийде 4 (3 z + 4 z 2 - 1). Іншими , це число є найменшим загальним цілим дільником всіх коефіцієнтів.
Одночлен. Визначте, чи одна й та сама змінна в кожен із доданків багаточлена. Припустимо, що це так, тепер подивіться на коефіцієнти, як у попередньому випадку. Приклад: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Кожен елемент цього многочлена містить змінну z. Крім того, всі коефіцієнти - числа, кратні 3. Отже, загальним множником буде одночлен 3 z:3 z (3 z - 2 z + 5 z - 1).
Двучлен. дужкизагальний множникз двох , змінної та числа, що є загального багаточлена. Тому, якщо множник-Двулен неочевидний, то потрібно знайти хоча б один корінь. Виділіть вільний член многочлена, це коефіцієнт без змінної. Тепер застосуйте метод підстановки у загальний вираз всіх цілих дільників вільного члена.
Розгляньте : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Перевірте, чи не є якийсь із цілих дільників числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Шляхом простої підстановки знайдіть z1 = 1 і z2 = 2, отже, за дужкиможна винести двочлени (z - 1) та (z - 2). Для того, щоб знайти вираз, що залишився, скористайтеся послідовним розподілом в стовпчик.
Стовпчиком наджнів, а коли потрібно більше п'ятнадцяти знаків, то комп'ютери та телефони з калькуляторами найчастіше відпочивають. Залишилося перевірити, чи займе опис методики 4-5 тис. знаків.
Берм будь-яке число, від коми відлічуємо пари цифр праворуч і ліворуч
Наприклад, 1234567890,098765432100
Пара цифр - це двозначне число. Корінь із двозначного - однозначне. Підбираємо однозначне, квадрат якого менший за першу пару цифр. У нашому випадку це 3.
Як при розподілі стовпчиком, під першою парою виписуємо цей квадрат і з першої пари віднімаємо. Результат зносимо під наголос. 12 - 9 = 3. Додаємо до цієї різниці другу пару цифр (буде 334). Зліва від числа берм подвоєне значення тієї частини результату, яку вже знайшли доповнюємо цифрою (у нас 2*6=6), такою, щоб при множенні на не отримане число не перевищувало число з другою парою цифр. Виходить, що знайдена цифра - п'ятірка. Знову знаходимо різницю (9), зносимо наступну пару цифр отримуючи 956, знову виписуємо подвоєну частину результату (70), знову доповнюємо потрібною цифрою і так далі до упору. Або до потрібної точності обчислень.
По-перше для того, щоб обчислити квадратний корінь треба добре знати таблицю множення. Найкращі прості приклади- це 25 (5 на 5 = 25) тощо. Якщо ж брати числа складніше, можна використовувати цю таблицю, де з горизонталі одиниці, а, по вертикалі десятки.
Є гарний спосібяк знайти корінь серед без допомоги калькуляторів. Для цього вам знадобиться лінійка та циркуль. Суть у тому, що ви знаходите на лінійці значення, яке ви маєте під коренем. Наприклад, ставте позначку біля 9. Ваше завдання - поділити це число на рівну кількістьвідрізків, тобто дві лінії по 4,5 див, але в рівний відрізок. Неважко здогадатися, що в результаті вийде 3 відрізки по 3 сантиметри.
Спосіб нелегкий і для великих чиселне підійде, але вважається без калькулятора.
без допомоги калькулятора способу вилучення кореня квадратного вчили в радянські часиу школі у 8-му класі.
Для цього треба розбити багатозначне число праворуч наліво на межі по 2 цифри :
Перша цифра кореня це цілий корінь з лівої грані, даному випадку, 5.
Віднімаємо 5 у квадраті з 31, 31-25=6 і до шістки приписуємо наступну грань, маємо 678.
Наступна цифра х підбирається до подвоєної п'ятірки так, щоб
10х*х було максимально більшим, але меншим ніж 678.
х = 6, оскільки 106 * 6 = 636,
тепер обчислюємо 678 – 636 = 42 і додаємо наступну грань 92, маємо 4292.
Знову шукаємо максимальний х, такий, що 112х*х lt; 4292.
Відповідь: корінь дорівнює 563
Так можна продовжувати скільки потрібно.
У деяких випадках можна спробувати розкласти підкорене число на два чи кілька квадратних множників.
Також корисно запам'ятати таблицю (або хоча б якусь її частину) – квадрати натуральних чиселвід 10 до 99.
Пропоную винайдений мною варіант вилучення квадратного кореня в стовпчик. Він відрізняється від загальновідомого, за винятком підбору чисел. Але як з'ясував пізніше, цей метод вже існував за багато років до мого народження. Описав його у своїй книзі Загальна арифметика або книга про арифметичний синтез та аналіз великого Ісаака Ньютона. Так що тут викладаю своє бачення та обґрунтування алгоритму методу за Ньютоном. Запам'ятати алгоритм не варто. Можна просто при необхідності користуватися схемою на малюнку як наочний посібник.
За допомогою таблиць можна не обчислити, а знайти, коріння квадратне толь із чисел які є в таблицях. Найпростіше обчислювати коріння як квадратні, а й інших ступенів, методом послідовних наближень. Наприклад обчислимо корінь квадратний з 10739, замінюємо три останні цифри нулями і вилучимо корінь з 10000 отримаємо 100 з недоліком, тому беремо число 102 зводимо його в квадрат, отримуємо 10404, що теж менше заданого, беремо 103 * 103 = 106 103,5 * 103,5 = 10712,25, беремо ще більше 103,6 * 103,6 = 10732, беремо 103,7 * 103,7 = 10753,69, що вже з надлишком. Можна прийняти корінь із 10739 приблизно рівні 103,6. Більш точно 10739 = 103,629 .... . Аналогічно обчислюємо кубічний корінь спочатку з 10000 отримуємо приблизно 25*25*25=15625, що з надлишком, беремо 22*22*22=10,648, беремо трохи більше 22,06*22,06*22,06=10735, що дуже близько до заданого.
Обчислення (або вилучення) квадратного кореня можна проводити кількома способами, але вони не сказати що дуже прості. Простіше, звичайно, вдатися до допомоги калькулятора. Але якщо такої можливості немає (або ви хочете зрозуміти суть квадратного кореня), можу порадити піти наступним шляхом, його алгоритм такий:
Якщо на такі тривалі обчислення у вас немає сил, бажання чи терпіння, можна вдатися до допомоги грубого підбору, його плюс у тому, що він неймовірно швидкий і за належної кмітливості точний. Приклад:
Коли я навчався у школі (на початку 60-х років), нас вчили отримувати квадратний корінь із будь-якого числа. Методика проста, зовні схожа на поділ стовпчиком, але викладати її тут, це потрібно півгодини часу і 4-5 тисяч символів тексту. Але навіщо це вам? У вас є телефон або інший гаджет, у ньому є калькулятор. Калькулятор є у будь-якому комп'ютері. Особисто я волію робити такого роду обчислення в Excel.
Найчастіше у школі потрібно знаходити квадратне коріння різних чисел. Але якщо ми звикли користуватися постійно для цього калькулятором, то на іспитах такої можливості не буде, тому потрібно вчитися шукати корінь без допомоги калькулятора. А зробити це в принципі можливо.
Алгоритм такий:
Спочатку на останню цифру вашого числа:
Наприклад,
Тепер потрібно визначити приблизно значення для кореня із самої лівої групи
Якщо число має більше двох груп, то знаходити корінь треба так:
А ось наступна циферка має бути саме найбільшою, підібрати її треба так:
Тепер треба утворити нове число А за допомогою додавання до залишку, отриманого вище, наступну групу.
У наших прикладах:
Вилучення кореня – зворотна операція зведення ступеня. Тобто Витягуючи корінь із числа Х, отримаємо число, яке у квадраті дасть те саме число Х.
Вилучення кореня досить-таки нескладна операція. Таблиця квадратів зможе полегшити роботу із вилучення. Тому що, напам'ять, пам'ятати всі квадрати і коріння неможливо, а числа можуть зустрітися великі.
Вилучення кореня з числа
Вилучення квадратного кореня з числа - просто. Тим більше, що це можна робити не відразу, а поступово. Наприклад, візьмемо вираз √256. Спочатку, людині, яка не знає, складно дати відповідь відразу. Тоді будемо робити кроки. Спочатку розділимо просто число 4, з якого винесемо за корінь виділений квадрат.
Зобразимо: √(64 4), тоді це буде рівносильно 264. Як відомо, по таблиці множення 64=8 8. Відповідь буде 2 * 8 = 16.
Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко та правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа у квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади та корисні завдання.
Вилучення комплексного кореня
Корінь квадратний не може обчислюватися з негативних чисел, бо будь-яке число у квадраті – позитивне число!
Комплексне число – число i, що у квадраті дорівнює -1. Тобто i2=-1.
У математиці існує число, яке виходить при витягуванні кореня у складі -1.
Тобто можливість обчислити корінь із негативного числа, але це вже стосується вищої математики, не шкільної.
Розглянемо приклад такого вилучення кореня: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Калькулятор кореня онлайн
За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати вилучення числа з квадратного кореня:
Перетворення виразів, що містять операцію вилучення кореня
Суть перетворення підкорених виразів у розкладанні підкореного числа більш прості, у тому числі можна витягти корінь. Такі як 4, 9, 25 тощо.
Наведемо приклад, √625. Поділимо підкорене вираз на число 5. Отримаємо √(125 5), повторимо операцію √(25 25), але ми знаємо, що 25 це 52. Отже відповіддю буде 5*5=25.
Але бувають числа, у яких корінь у такий спосіб не обчислити і потрібно знати відповідь чи мати таблицю квадратів під рукою.
√289=√(17*17)=17
Підсумок
Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.
З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, складання, множення, поділу, вирахування відсотків, а й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та іграх, що розвивають! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.
Що таке квадратний корінь?
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення в квадрат... Значить, є і вилучення квадратного кореня!От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:
Сам значок називається гарним словом "радикал".
Як отримати корінь?Це краще розглянути на прикладах.
Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:
А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам же нуль і дає! Значить:
Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді вважаємо приклади:
Відповіді (безладно): 6; 1; 4; 9; 5.
Вирішили? Справді, куди простіше?!
Але... Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?
Сумувати починає людина... Не вірить він у простоту і легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь...
Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.
Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!
Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку у квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося виконати зворотну операцію - звести 7 у квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити...
У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.
Цей складний творчий процес- підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати найпопулярніших чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, так...
Для вільної та успішної роботи з корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий – вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.
І жодних калькуляторів! Лише для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно...
Отже, що таке квадратний коріньі як отримувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо ІЗ ЧОГО можна їх витягувати.
Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!
З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.
Спробуємо обчислити такий корінь:
Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.
Що, не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось-ось... Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.
Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:
Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу! Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:
Квадратне коріння з негативних чисел витягти не можна!
Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна обчислити
На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби та в квадрат зводити... Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!
Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:
Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох – це число, яке при зведенні у квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне... Ось воно:
Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи... Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробутак і залишають:
Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось невитягнене, типу:
то так і залишаємо. Це буде відповідь.
Потрібно чітко розуміти, що під значками
Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно, Ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад
цілком собі повноцінна відповідь.
І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:
Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.
Пунктик третій. Найхитріший.
Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах... Розберемося з цим пунктиком як слід!
Для початку знову витягнемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!
Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді...
Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4... А тим часом, відповідь
правильна, а відповідь
груба помилка. Ось так.
Так у чому ж справа?
Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить... Це теж корінь квадратний із чотирьох.
Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратне коріння лише невід'ємні числа!Тобто нуль і всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при отриманні квадратного арифметичного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.
Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть краще - не возитися з негативними результатами... Це ще не плутанина.
Плутанина починається при розв'язанні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.
Рівняння просте, пишемо відповідь (як навчали):
Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:
Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємний! А тут одна з відповідей - негативний! Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння... Розв'яжемо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:
Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід кореня. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати Усеікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.
Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:
Бо це - арифметичний квадратний корінь.
Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:
то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):
Тому що це – рішення рівняння.
Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви зрозуміли. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, якими є їхні властивості. І які там пунктики та підводні кор... вибачте, каміння!)
Все це – у наступних уроках.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.