พัฒนาการ
เหตุการณ์. เหตุการณ์ธาตุ
พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น
เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
เหตุการณ์ที่เหมือนกัน
ผลรวม ผลิตภัณฑ์ ความแตกต่างของเหตุการณ์
เหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกัน
ภายใต้ เหตุการณ์ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเข้าใจถึงข้อเท็จจริงใด ๆ ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์กับผลสุ่ม ผลลัพธ์ที่ง่ายที่สุดของการทดลองดังกล่าว (ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของ "หัว" หรือ "ก้อย" เมื่อโยนเหรียญ, โจมตีเป้าหมายเมื่อยิง, การปรากฏตัวของเอซเมื่อถอดไพ่ออกจากสำรับ, สุ่มทิ้งตัวเลขเมื่อขว้างลูกเต๋าเป็นต้น) เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น .
ชุดประถมศึกษาทั้งหมดเหตุการณ์ อีเรียกว่า พื้นที่องค์ประกอบ เหตุการณ์เมื่อทดน้ำหนัก . ใช่ที่ โยนลูกเต๋า พื้นที่นี้ประกอบด้วยหกเหตุการณ์เบื้องต้นและเมื่อไพ่ถูกถอดออกจากสำรับ - จาก 52 เหตุการณ์อาจประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น การปรากฏของเอซสองตัวติดต่อกันเมื่อถอดไพ่ออกจากสำรับ หรือการสูญเสีย ตัวเลขเดียวกันเมื่อโยนลูกเต๋าสามครั้ง จากนั้นสามารถกำหนดได้ เหตุการณ์ เป็นเซตย่อยตามอำเภอใจของพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น
เหตุการณ์บางอย่าง เรียกพื้นที่ทั้งหมดของเหตุการณ์เบื้องต้น ดังนั้น เหตุการณ์บางอย่างจึงเป็นเหตุการณ์ที่ต้องเกิดขึ้นจากประสบการณ์ที่กำหนด เมื่อลูกเต๋าถูกโยน เหตุการณ์ดังกล่าวจะตกอยู่ที่หน้าใดหน้าหนึ่ง
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ () เรียกว่าเซตย่อยว่างของสเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น นั่นคือเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากประสบการณ์นี้ ดังนั้น เมื่อโยนลูกเต๋า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ก็คือการตกบนขอบ
พัฒนาการ แต่และ ที่เรียกว่าเหมือนกัน (แต่= ที่) ถ้าเหตุการณ์ แต่เกิดขึ้นเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้นเท่านั้นที่ .
เขาว่ากันว่าเหตุการณ์ แต่ ทำให้เกิดเหตุการณ์ ที่ ( แต่ ที่) ถ้ามาจากเงื่อนไข"เหตุการณ์ A เกิดขึ้น" ควร “เหตุการณ์ B เกิดขึ้น”.
เหตุการณ์ จากเรียกว่า ผลรวมของเหตุการณ์ แต่และ ที่ (จาก = แต่ ที่) ถ้าเหตุการณ์ จากเกิดขึ้นก็ต่อเมื่ออย่างใดอย่างหนึ่ง แต่, หรือ ที่.
เหตุการณ์ จากเรียกว่า สินค้างานอีเว้นท์ แต่และ ที่ (จาก = แต่ ที่) ถ้าเหตุการณ์ จากเกิดขึ้นเมื่อไหร่และก็ต่อเมื่อเกิดขึ้นและแต่, และ ที่.
เหตุการณ์ จากเรียกว่า ความแตกต่างของเหตุการณ์ แต่และ ที่ (จาก = แต่ – ที่) ถ้าเหตุการณ์ จากเกิดขึ้นแล้วและเมื่อนั้นเท่านั้น เมื่อมันเกิดขึ้นเหตุการณ์ แต่และไม่เกิดเหตุการณ์ ที่.
เหตุการณ์ แต่"เรียกว่า ตรงข้าม เหตุการณ์แต่ถ้าเหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น แต่. ดังนั้น พลาดและตีเมื่อยิงเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม
พัฒนาการ แต่และ ที่เรียกว่าเข้ากันไม่ได้ (แต่ ที่ = ) , ถ้าเกิดพร้อมกันไม่ได้ ตัวอย่างเช่น วางและ "ก้อย" และ"อินทรี" เมื่อโยนเหรียญ
หากในระหว่างการทดสอบเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้หลายเหตุการณ์และแต่ละเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้มากไปกว่าเหตุการณ์อื่นตามเงื่อนไขวัตถุประสงค์แล้วเหตุการณ์ดังกล่าวจะถูกเรียกเป็นไปได้เท่าเทียมกัน . ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่มีโอกาสเท่าเทียมกัน: การปรากฏตัวของผีสาง เอซ และแจ็คเมื่อไพ่ถูกนำออกจากสำรับ การสูญเสียตัวเลขใด ๆ จาก 1 ถึง 6 เมื่อโยนลูกเต๋า ฯลฯ
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างคือ 1 ตัวอย่างเช่น หากการทดลองคือการโยนเหรียญด้วยเหตุการณ์ A = "หัว" และเหตุการณ์ B = "ก้อย" ดังนั้น A และ B จะแสดงพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด วิธี, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.
ตัวอย่าง. ในตัวอย่างที่เสนอก่อนหน้านี้ในการคำนวณความน่าจะเป็นในการดึงปากกาสีแดงออกจากกระเป๋าเสื้อคลุมอาบน้ำ (นี่คือเหตุการณ์ A) ซึ่งมีปากกาสีน้ำเงินสองด้ามและปากกาสีแดงหนึ่งด้าม P(A) = 1/3 ≈ 0.33 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม - ดึงปากกาสีน้ำเงิน - จะเป็น
ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทหลัก เราขอแนะนำแนวคิดที่ซับซ้อนอีกสองแนวคิด นั่นคือ ผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์ แนวคิดเหล่านี้แตกต่างจากแนวคิดทั่วไปของผลรวมและผลิตภัณฑ์ในเลขคณิต การบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นการดำเนินการเชิงสัญลักษณ์ภายใต้กฎเกณฑ์บางประการและอำนวยความสะดวกในการสร้างข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์อย่างมีตรรกะ
ผลรวมของหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ นั่นคือผลรวมของสองเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยการปรากฏตัวของเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B ร่วมกัน
ตัวอย่างเช่น หากผู้โดยสารกำลังรอที่ป้ายรถรางสำหรับสองเส้นทาง เหตุการณ์ที่เขาต้องการคือรูปลักษณ์ของรถรางในเส้นทางแรก (เหตุการณ์ A) หรือรถรางของเส้นทางที่สอง (เหตุการณ์ B) หรือการปรากฏตัวร่วมกันของรถรางในเส้นทางที่หนึ่งและสอง (เหตุการณ์ FROM) ในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าเหตุการณ์ D ที่จำเป็นสำหรับผู้โดยสารประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ C ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า:
D=A+B+C
ผลงานของสองเหตุการณ์แต่และ ที่เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน แต่และ ที่. สินค้าจากงานต่างๆการเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่า
ในตัวอย่างผู้โดยสารด้านบน เหตุการณ์ จาก(ลักษณะร่วมของรถรางสองเส้นทาง) เป็นผลจากสองเหตุการณ์ แต่และ ที่ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์ดังนี้
สมมติว่าแพทย์สองคนแยกกันตรวจผู้ป่วยเพื่อระบุโรคที่เฉพาะเจาะจง ในระหว่างการตรวจสอบ เหตุการณ์ต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น:
การตรวจหาโรคโดยแพทย์คนแรก ( แต่);
ความล้มเหลวในการตรวจหาโรคโดยแพทย์คนแรก ();
การตรวจหาโรคโดยแพทย์คนที่สอง ( ที่);
การไม่ตรวจพบโรคโดยแพทย์คนที่สอง ()
พิจารณาเหตุการณ์ที่ตรวจพบโรคเพียงครั้งเดียวในระหว่างการตรวจ เหตุการณ์นี้สามารถดำเนินการได้สองวิธี:
ตรวจพบโรคโดยแพทย์คนแรก ( แต่) และจะไม่พบอันที่สอง ();
แพทย์คนแรกจะไม่ตรวจพบโรค () และจะถูกตรวจพบโดยแพทย์คนที่สอง ( บี).
ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์ที่กำลังพิจารณาและเขียนเป็นสัญลักษณ์:
พิจารณาเหตุการณ์ที่ตรวจพบโรคในระหว่างการตรวจสองครั้ง (ทั้งโดยแพทย์คนแรกและคนที่สอง) ให้แสดงถึงเหตุการณ์นี้โดยและเขียนว่า: .
เหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งแพทย์คนแรกและคนที่สองไม่พบโรคจะถูกระบุโดยและเราจะเขียนว่า: .
ทฤษฎีพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้
มาเขียนทฤษฎีบทการบวกกันเป็นสัญลักษณ์:
P(A + B) = P(A) + P(B),
ที่ไหน R- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง (เหตุการณ์ระบุไว้ในวงเล็บ)
ตัวอย่าง . ผู้ป่วยมีเลือดออกในช่องท้อง อาการนี้บันทึกไว้ในการพังทลายของหลอดเลือด (เหตุการณ์ A), การแตกของหลอดอาหารเส้นเลือด (เหตุการณ์ B), มะเร็งกระเพาะอาหาร (เหตุการณ์ C), ติ่งในกระเพาะอาหาร (เหตุการณ์ D), โรคเลือดออก (เหตุการณ์ F), โรคดีซ่านอุดกั้น (เหตุการณ์ E) และ สิ้นสุดโรคกระเพาะ (เหตุการณ์จี).
แพทย์ตามการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ กำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับแต่ละเหตุการณ์:
รวมแพทย์มีผู้ป่วยเลือดออกในกระเพาะอาหาร 80 ราย (น= 80) ซึ่ง 12 อันมีการพังทลายของเส้นเลือด (), ที่6 - การแตกของเส้นเลือดขอดของหลอดอาหาร (), 36 เป็นมะเร็งกระเพาะอาหาร () เป็นต้น
เพื่อกำหนดการตรวจ แพทย์ต้องการกำหนดแนวโน้มที่เลือดออกในกระเพาะอาหารเกี่ยวข้องกับโรคกระเพาะ (เหตุการณ์ I):
โอกาสที่เลือดออกในกระเพาะอาหารจะสัมพันธ์กับโรคกระเพาะค่อนข้างสูง และแพทย์สามารถกำหนดกลวิธีของการตรวจตามสมมติฐานของโรคกระเพาะ โดยให้เหตุผลในระดับปริมาณโดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น
หากพิจารณาเหตุการณ์ร่วม ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกัน
ตามสัญลักษณ์นี้เขียนดังนี้:
ถ้าเราจินตนาการว่าเหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยการตีเป้าหมายที่แรเงาด้วยแถบแนวนอนขณะยิงและเหตุการณ์ ที่- ในการชนเป้าหมายที่แรเงาด้วยแถบแนวตั้ง ในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ตามทฤษฎีบทเพิ่มเติม ความน่าจะเป็นของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ หากเหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ร่วมกัน ก็มีความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน แต่และ ที่. หากคุณไม่แนะนำการแก้ไขสำหรับการหักลดหย่อน พี(เอบี), เช่น. เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกัน ความน่าจะเป็นนี้จะถูกนำมาพิจารณาสองครั้ง เนื่องจากพื้นที่ที่แรเงาด้วยเส้นแนวนอนและแนวตั้งเป็นส่วนสำคัญของเป้าหมายทั้งสอง และจะนำมาพิจารณาทั้งในครั้งแรกและใน คำสั่งที่สอง
ในรูป 1 มีการตีความทางเรขาคณิตที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงสถานการณ์นี้ ในส่วนบนของภาพมีเป้าหมายที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งเป็นอะนาล็อกของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในส่วนล่าง - เป้าหมายที่ตัดกันซึ่งเป็นอะนาล็อกของเหตุการณ์ร่วม (นัดเดียวสามารถยิงได้ทั้งเป้าหมาย A และเป้าหมาย B พร้อมกัน ).
ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทการคูณ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและขึ้นต่อกัน และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไข
เป็นอิสระเหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ที่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นไม่ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ B
ติดยาเสพติดเหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ที่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ B
ตัวอย่าง . โกศประกอบด้วยลูกบอล 3 ลูก สีขาว 2 ลูก สีดำ 1 ลูก เมื่อสุ่มเลือกลูกบอล ความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีขาว (เหตุการณ์ A) คือ: P(A) = 2/3 และสีดำ (เหตุการณ์ B) P(B) = 1/3 เรากำลังจัดการกับโครงร่างของคดี และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถูกคำนวณอย่างเคร่งครัดตามสูตร เมื่อทำการทดลองซ้ำ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ B ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หากหลังจากแต่ละตัวเลือก ลูกบอลถูกส่งคืนไปยังโกศ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกัน หากลูกบอลที่เลือกในการทดสอบครั้งแรกไม่ถูกส่งกลับไปยังโกศ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (A) ในการทดลองที่สองขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ (B) ในการทดสอบครั้งแรก ดังนั้น ถ้าเหตุการณ์ B ปรากฏในการทดลองครั้งแรก (เลือกลูกบอลสีดำ) การทดลองที่สองจะดำเนินการหากมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกในโกศและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองที่สองคือ: P (A) = 2/2= 1
หากในการทดลองแรกเหตุการณ์ B ไม่ปรากฏขึ้น (เลือกลูกบอลสีขาว) การทดลองที่สองจะดำเนินการหากมีลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูกในโกศและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในครั้งที่สอง การทดลองคือ: P(A) = 1/2 แน่นอน ในกรณีนี้ เหตุการณ์ A และ B มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นขึ้นกับ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น โดยที่เหตุการณ์ B ได้ปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ป(A/B).
ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ที่แล้วความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ แต่เท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข:
หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ B ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะไม่สามารถเท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขได้:
การเปิดเผยการพึ่งพาเหตุการณ์ต่าง ๆ ระหว่างกันมีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ข้อสันนิษฐานที่ผิดพลาดเกี่ยวกับความเป็นอิสระของอาการบางอย่างในการวินิจฉัยข้อบกพร่องของหัวใจโดยใช้วิธีความน่าจะเป็นที่พัฒนาขึ้นที่สถาบันศัลยกรรมหัวใจและหลอดเลือด A.N. Bakuleva ทำให้เกิดการวินิจฉัยที่ผิดพลาดประมาณ 50%
คำจำกัดความ 1 ว่ากันว่าในเหตุการณ์หนึ่งมีเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น แต่ เกี่ยวข้องตามมาด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ที่ถ้าเกิดเหตุการณ์ขึ้น แต่งานมา ที่. สัญกรณ์ของคำจำกัดความนี้ แต่ Ì ที่. ในแง่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา หมายความว่าแต่ละเหตุการณ์ระดับประถมศึกษารวมอยู่ใน แต่รวมอยู่ใน .ด้วย ที่.
คำจำกัดความ 2. เหตุการณ์ แต่และ ที่เรียกว่าเท่ากับหรือเทียบเท่า (แสดง แต่= ที่), ถ้า แต่ Ì ที่และ ที่Ì A คือ แต่และ ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นที่เหมือนกัน
เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือถูกแทนด้วยเซตที่ปิดล้อม Ω และเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเซตย่อยว่างของ Æ ในนั้น ความไม่ลงรอยกันของเหตุการณ์ แต่และ ที่หมายความว่า เซตย่อยที่สอดคล้องกัน แต่และ ที่อย่าตัดกัน: แต่∩ที่ = Æ.
คำจำกัดความ 3 ผลรวมของสองเหตุการณ์ Aและ ที่(ระบุว่า จาก= แต่ + ที่) เรียกว่าเหตุการณ์ จาก, ซึ่งประกอบด้วย เริ่มมีอาการอย่างน้อยเหตุการณ์หนึ่ง แต่หรือ ที่(คำเชื่อม "หรือ" สำหรับจำนวนเงินเป็นคำหลัก) เช่น มาหรือ แต่, หรือ ที่, หรือ แต่และ ที่ด้วยกัน.
ตัวอย่าง. ให้มือปืนสองคนยิงเข้าที่เป้าหมายพร้อมกันและเหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยการที่มือปืนคนแรกตีเป้าหมายและเหตุการณ์ บี- ว่ามือปืนที่ 2 ตีเป้าหมาย เหตุการณ์ อา+ บีหมายความว่าเป้าหมายถูกโจมตี หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคน (ผู้ยิงที่ 1 หรือผู้ยิงที่ 2) หรือผู้ยิงทั้งสองราย) โจมตีเป้าหมาย
ผลรวมของเหตุการณ์จำนวนจำกัด แต่ 1 , แต่ 2 , …, แต่ n (แสดงว่า แต่= แต่ 1 + แต่ 2 + … + แต่ n) เหตุการณ์เรียกว่า แต่, ซึ่งประกอบด้วย เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งจากเหตุการณ์ แต่ผม ( ผม = 1, … , น) หรือเซตตามใจชอบ แต่ผม ( ผม = 1, 2, … , น).
ตัวอย่าง. ผลรวมของเหตุการณ์ A, B, Cเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งดังต่อไปนี้ แต่, ข, ค, แต่และ ที่, แต่และ จาก, ที่และ จาก, แต่และ ที่และ จาก, แต่หรือ ที่, แต่หรือ จาก, ที่หรือ จาก,แต่หรือ ที่หรือ จาก.
คำจำกัดความ 4 ผลงานของสองเหตุการณ์ แต่และ ที่เรียกว่าเหตุการณ์ จาก(ระบุว่า จาก = A ∙ B) อันเนื่องมาจากผลการทดสอบก็มีเหตุการณ์เกิดขึ้นด้วย แต่,และเหตุการณ์ ที่พร้อมกัน (คำเชื่อม "และ" สำหรับการผลิตเหตุการณ์คือคำสำคัญ)
ในทำนองเดียวกันกับผลคูณของเหตุการณ์จำนวนจำกัด แต่ 1 , แต่ 2 , …, แต่ n (แสดงว่า แต่ = แต่ 1 ∙แต่ 2 ∙…∙ แต่ n) เหตุการณ์เรียกว่า แต่ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าจากการทดสอบเหตุการณ์ที่ระบุทั้งหมดเกิดขึ้น
ตัวอย่าง. ถ้าเหตุการณ์ แต่, ที่, จากคือ การปรากฏตัวของ "เสื้อคลุมแขน" ในการทดลองครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม ตามลำดับ จากนั้นเหตุการณ์ แต่× ที่× จากมี "เสื้อคลุมแขน" ลดลงในการทดลองทั้งสาม
หมายเหตุ 1. สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ แต่และ ที่ความเท่าเทียมที่ยุติธรรม A ∙ B= Æ โดยที่ Æ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
หมายเหตุ 2. เหตุการณ์ แต่ 1 , แต่ 2, … , แต่ n สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หาก
คำจำกัดความ 5. เหตุการณ์ตรงกันข้ามมีการเรียกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองอย่างที่เป็นไปได้ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์ เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ แต่,ถูกระบุ เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ แต่, เป็นส่วนเสริมของงาน แต่ไปที่ชุด Ω
สำหรับเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม จะเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการพร้อมกัน เอ ∙= Æ และ A+= Ω.
คำจำกัดความ 6 ความแตกต่างเหตุการณ์ แต่และ ที่(ระบุว่า แต่– ที่) เรียกว่าเหตุการณ์ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ แต่จะมาและงาน ที่ -ไม่และเท่ากัน แต่– ที่= แต่× .
โปรดทราบว่าเหตุการณ์ A + B, A ∙ B, , A - Bสะดวกในการตีความแบบกราฟิกโดยใช้ไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์ (รูปที่ 1.1)
|
ข้าว. 1.1. การดำเนินการกับเหตุการณ์: การปฏิเสธ ผลรวม ผลิตภัณฑ์ และความแตกต่าง |
ให้เรากำหนดตัวอย่างดังนี้: ให้ประสบการณ์ จีประกอบด้วยการยิงแบบสุ่มทั่วภูมิภาค Ω จุดที่เป็นเหตุการณ์เบื้องต้น ω ปล่อยให้การชนกับภูมิภาค Ω เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน Ω และกระทบกับภูมิภาค แต่และ ที่- ตามเหตุการณ์ แต่และ ที่. แล้วเหตุการณ์ A+B(หรือ แต่È ที่- แสงสว่าง พื้นที่ในรูป) A ∙ B(หรือ แต่Ç ที่ -พื้นที่ตรงกลาง) เอ - บี(หรือ แต่\ที่ -โดเมนย่อยแบบเบา) จะตรงกับสี่ภาพในรูปที่ 1.1. ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ที่มีสองมือปืนยิงไปที่เป้าหมายผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ แต่และ ที่จะมีการจัดงาน C = AÇ ที่ซึ่งประกอบด้วยการตีเป้าหมายด้วยลูกศรทั้งสอง
หมายเหตุ 3 หากการดำเนินการในเหตุการณ์แสดงเป็นการดำเนินการในชุดและเหตุการณ์แสดงเป็นชุดย่อยของชุดบางชุด Ω ผลรวมของเหตุการณ์ A+Bจับคู่ยูเนี่ยน แต่È ที่เซตย่อยเหล่านี้ แต่เป็นผลจากเหตุการณ์ A ∙ B- จุดตัด แต่∩ที่ส่วนย่อยเหล่านี้
ดังนั้น การดำเนินการกับเหตุการณ์สามารถจับคู่กับการดำเนินการในชุดได้ จดหมายโต้ตอบนี้มีให้ในตาราง 1.1
ตาราง 1.1
|
สัญกรณ์ |
ภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น |
ภาษาของทฤษฎีเซต |
|
องค์ประกอบอวกาศ เหตุการณ์ |
ชุดเอนกประสงค์ |
|
|
เหตุการณ์เบื้องต้น |
องค์ประกอบจากเซตสากล |
|
|
เหตุการณ์สุ่ม |
เซตย่อยขององค์ประกอบ ω จาก Ω |
|
|
เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ |
ชุดของทั้งหมด ω |
|
|
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ |
ชุดเปล่า |
|
|
แต่Ì วี |
แต่เกี่ยวข้อง ที่ |
แต่- เซตย่อย ที่ |
|
A+B(แต่È ที่) |
ผลรวมของเหตุการณ์ แต่และ ที่ |
ยูเนี่ยนของเซต แต่และ ที่ |
|
แต่× หว่อ(แต่Ç ที่) |
การผลิตเหตุการณ์ แต่และ ที่ |
ทางแยกมากมาย แต่และ ที่ |
|
เอ - บี(แต่\ที่) |
ความแตกต่างของเหตุการณ์ |
กำหนดความแตกต่าง |
การดำเนินการกับเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(การกระจัด);
(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (จำหน่าย);
(A+B) + จาก = แต่ + (B + C), (A ∙ B) ∙ จาก= แต่ ∙ (ข ∙ C) (เชื่อมโยง);
A + A = A, A ∙ A = A;
แต่ + Ω = Ω, แต่∙ Ω = แต่;
การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตในเหตุการณ์กำหนดกฎสำหรับการดำเนินการกับเหตุการณ์และอนุญาตให้แสดงเหตุการณ์หนึ่งในแง่ของอีกเหตุการณ์หนึ่ง การดำเนินการกับเหตุการณ์ใช้ได้เฉพาะกับเหตุการณ์ที่แสดงถึงส่วนย่อยของพื้นที่เดียวกันของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา
การกระทำเหตุการณ์สามารถมองเห็นได้โดยใช้ไดอะแกรมเวนน์ ในไดอะแกรม เหตุการณ์สอดคล้องกับพื้นที่ต่างๆ บนระนาบ ซึ่งกำหนดเงื่อนไขย่อยของเหตุการณ์พื้นฐานที่ประกอบเป็นเหตุการณ์ ดังนั้น ในไดอะแกรมของรูปที่ 1.1 พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นสอดคล้องกับจุดภายในของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เหตุการณ์ A _ จุดภายในของวงกลม เหตุการณ์ B _ จุดภายในของรูปสามเหลี่ยม ความจริงที่ว่าเหตุการณ์ A และ B เป็นเซตย่อยของช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น (A, B) แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1.1a, b
ผลรวม (ยูเนียน) ของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C=A+B (หรือ C=AB) ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ เหตุการณ์ C ประกอบด้วยระดับประถมศึกษาทั้งหมด เหตุการณ์ที่เป็นของอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จากเหตุการณ์ A หรือ B หรือทั้งสองเหตุการณ์ ในแผนภาพ (รูปที่ 1.2.) เหตุการณ์ C สอดคล้องกับพื้นที่แรเงา C ซึ่งแสดงถึงการรวมกันของพื้นที่ A และ B ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของหลายเหตุการณ์ A 1, A 2, ..., A n คือ เหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น และ i , i=:
ผลรวมของเหตุการณ์รวมเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่ประกอบขึ้นเป็น А ผม , ผม= หากเหตุการณ์ E 1 , E 2 ,… , E n สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้:
ผลรวมของเหตุการณ์เบื้องต้นเท่ากับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้
ผลคูณ (จุดตัด) ของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C=AB (หรือ C=AB) ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A และ B ร่วมกัน เหตุการณ์ C ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นของทั้ง A และ B รูปที่ 1.3.a เหตุการณ์ C ถูกแทนด้วยจุดตัดของพื้นที่ A และ B หาก A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ผลิตภัณฑ์ของพวกมันจะเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เช่น AB = (รูปที่ 1.3.b)
ผลคูณของเหตุการณ์ A 1 , A 2 , ..., A n คือเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยการดำเนินการของเหตุการณ์ทั้งหมดพร้อมกัน A i , i=:
ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ А 1 , А 2 ,…, А n - เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้: А i А j = สำหรับ ij ใดๆ ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ที่ประกอบกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์นั้นเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้: Е i Е j =, ij, ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาก็เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เช่นกัน: ij =, ij
ความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C=A_B (C=AB) ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A เกิดขึ้นและเหตุการณ์ B ไม่เกิดขึ้น เหตุการณ์ C ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นของ A และไม่เป็น ถึง ข. แผนภาพแสดงความแตกต่างของเหตุการณ์ที่แสดงในรูปที่ 1.4. จากแผนภาพแสดงว่า C=A_B=
เหตุการณ์ตรงข้ามสำหรับเหตุการณ์ A (หรือส่วนเติมเต็ม) คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A ไม่เกิดขึ้น เหตุการณ์ตรงข้ามทำให้เหตุการณ์ A เสร็จสมบูรณ์ในกลุ่มที่สมบูรณ์และประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นเหล่านั้นที่อยู่ในอวกาศและไม่ได้เป็นของเหตุการณ์ A (รูปที่ 1.5) ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์บางอย่างกับเหตุการณ์ A: =_A
คุณสมบัติของการดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์
คุณสมบัติการกระจัด: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
คุณสมบัติเชื่อมโยง: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC)
คุณสมบัติการกระจาย: A(B+C)=AB+AC
จากคำจำกัดความของการดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์ตามคุณสมบัติ
A+A=A; A+=; A+=A; เอ·เอ=เอ; เอ·=เอ; เอ =
จากนิยามของเหตุการณ์ตรงข้าม ได้ดังนี้
A+=; เอ=; =A; =; =; ;
จากแผนภาพในรูปที่ 1.4 คุณสมบัติของความแตกต่างของเหตุการณ์ร่วมนั้นชัดเจน:
ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ร่วมกัน ดังนั้น
คุณสมบัติของเหตุการณ์ร่วมกันก็ชัดเจนเช่นกัน
เหตุการณ์ตรงข้ามมีคุณสมบัติที่บางครั้งเรียกว่ากฎของมอร์แกนหรือหลักการของความเป็นคู่: การดำเนินการของสหภาพและทางแยกจะกลับกันเมื่อผ่านไปยังเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม
การพิสูจน์หลักการความเป็นคู่สามารถรับได้แบบกราฟิกโดยใช้แผนภาพเวนน์หรือวิเคราะห์โดยใช้คุณสมบัติ 1-6
ควรสังเกตว่าการกระทำที่คล้ายกับการกระทำ "การลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน" และการยกกำลังในพีชคณิตของตัวเลขนั้นไม่ได้รับอนุญาตในระหว่างการดำเนินการกับเหตุการณ์
ตัวอย่างเช่น สำหรับการดำเนินการกับเหตุการณ์ การดำเนินการที่ถูกต้องคือ:
การประยุกต์ใช้การกระทำที่ผิดพลาดโดยการเปรียบเทียบกับพีชคณิต: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง (ตรวจสอบกับแผนภาพเวนน์!)
ตัวอย่าง 1.11 พิสูจน์ตัวตน
ก) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
ข) AC_B=AC_BC
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
ตัวอย่าง 1.12 รางวัลจะถูกจับขึ้นระหว่างผู้เข้ารอบสุดท้ายสองคนของรายการโชว์ การจับฉลากจะทำตามลำดับจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก จำนวนครั้งสำหรับผู้เข้าร่วมแต่ละคนถูกจำกัดไว้ที่สามครั้ง ผู้เข้ารอบแรกเริ่มก่อน พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้: A=(ได้รับรางวัลโดยผู้เข้ารอบแรก); B = (รางวัลถูกชนะโดยผู้เข้ารอบที่สอง) 1) เสริมเหตุการณ์เหล่านี้ให้เป็นกลุ่มที่สมบูรณ์และจัดทำเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ 2) จัดกลุ่มกิจกรรมเบื้องต้นที่สมบูรณ์ 3) แสดงเหตุการณ์ของกลุ่มที่สมบูรณ์กลุ่มแรกในแง่ของกลุ่มประถมศึกษา 4) จัดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์อื่น ๆ และบันทึกเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ผ่านพวกเขา
1) เหตุการณ์ A และ B ไม่ได้ร่วมกัน จนถึงกลุ่มเต็มจะเสริมด้วยเหตุการณ์ที่ไม่ร่วม C=(ไม่มีใครได้รับรางวัล) เหตุการณ์หนึ่ง = (ผู้เข้ารอบสุดท้ายคนแรก หรือคนที่สอง หรือไม่มีใครชนะรางวัล) เท่ากับ: = A + B + C
2) มาแนะนำเหตุการณ์ที่อธิบายผลลัพธ์ของความพยายามแต่ละครั้งสำหรับผู้เล่นแต่ละคนและไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขการแข่งขัน: А i =(ผู้เข้ารอบสุดท้ายทำสำเร็จครั้งที่ i-th) В i =(ผู้เข้ารอบสุดท้ายคนที่สองสำเร็จ ความพยายามครั้งที่ i), . เหตุการณ์เหล่านี้ไม่คำนึงถึงเงื่อนไขของการแข่งขัน ดังนั้นจึงไม่ใช่กิจกรรมพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการได้รับรางวัล แต่ผ่านกิจกรรมเหล่านี้ โดยใช้การดำเนินการกับกิจกรรม คุณสามารถจัดกลุ่มของกิจกรรมพื้นฐานที่สมบูรณ์ซึ่งคำนึงถึงเงื่อนไขสำหรับการชนะในความพยายามครั้งแรกที่ประสบความสำเร็จ: 1 = (ผู้เข้ารอบสุดท้ายคนแรกได้รับรางวัลในการพยายามครั้งแรก), 2 = (ผู้เข้ารอบที่สองได้รับรางวัลในการพยายามครั้งแรก), 3 =(ผู้เข้ารอบสุดท้ายได้รับรางวัลในการพยายามครั้งที่สอง), 4 =(ผู้เข้ารอบที่สองได้รับรางวัลในการพยายามครั้งที่สอง), 5 =(ผู้เข้ารอบสุดท้ายได้รับรางวัลในการพยายามครั้งที่สาม), 6 =(ผู้เข้ารอบที่สองได้รับรางวัลในการพยายามครั้งที่สาม), 7 =( ผู้เข้ารอบสุดท้ายทั้งสองล้มเหลวในการชนะรางวัลในสามครั้ง). ตามเงื่อนไขการแข่งขัน
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
กลุ่มกิจกรรมเบื้องต้นที่สมบูรณ์: =( 1 ,…, 7 )
3) เหตุการณ์ A และ B แสดงผ่านเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาโดยใช้การดำเนินการบวก C เกิดขึ้นพร้อมกับเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา:
4) กลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ยังถือเป็นกิจกรรม
เหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องคือ:
=(ผู้เข้ารอบแรกจะได้รับรางวัลหรือไม่)=;
=(ผู้เข้ารอบที่สองจะได้รับรางวัลหรือไม่)=;
=(รางวัลหรือไม่ชนะหรือชนะ)=.
เราจะถือว่าผลลัพธ์ของประสบการณ์จริง (การทดลอง) อาจเป็นผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกันอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่สามารถย่อยสลายได้และไม่เกิดร่วมกัน ในกรณีนี้ การทดลองจะจบลงด้วยหนึ่งเดียวเท่านั้น ผลลัพธ์เบื้องต้น.
ชุดของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เกิดขึ้นเป็นผล สุ่มทดลอง เราจะเรียก พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น W (เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาสอดคล้องกับผลลัพธ์เบื้องต้น)
เหตุการณ์สุ่ม(เหตุการณ์) เราจะเรียกส่วนย่อยของช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น W .
ตัวอย่าง 1มาพลิกเหรียญกันสักครั้ง เหรียญอาจมีตัวเลขขึ้น - เหตุการณ์เบื้องต้น wc (หรือ w 1) หรือเสื้อคลุมแขน - เหตุการณ์เบื้องต้น w Г (หรือ w 2) พื้นที่ที่สอดคล้องกันของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา W ประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานสองเหตุการณ์:
W \u003d (w c, w G) หรือ W \u003d (w 1, w 2)
ตัวอย่างที่ 2 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ) โดยที่ w ผม- ลาออก ผมคะแนน เหตุการณ์ อา- ลดลงจำนวนจุด อา= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), อาว.
ตัวอย่างที่ 3 จุดจะถูกสุ่ม (สุ่ม) วางบนกลุ่ม วัดระยะทางของจุดจากปลายด้านซ้ายของส่วน ในการทดลองนี้ ปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น W = คือเซตของจำนวนจริงในช่วงเวลาหนึ่งหน่วย
คำศัพท์ที่เป็นทางการ เหตุการณ์เบื้องต้น และพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นได้อธิบายไว้ดังนี้
ช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้นคือเซต W , W =(w ) โดยพลการ ธาตุ w ของเซต W นี้เรียกว่า เหตุการณ์เบื้องต้น .
แนวคิด เหตุการณ์เบื้องต้น เหตุการณ์ พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นแนวคิดดั้งเดิมของทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำอธิบายที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น เพื่ออธิบายแต่ละโมเดลจริง เลือกช่องว่าง W ที่สอดคล้องกัน
เหตุการณ์ W เรียกว่า แท้จริงเหตุการณ์.
เหตุการณ์บางอย่างไม่สามารถล้มเหลวที่จะเกิดขึ้นจากการทดลองได้ เกิดขึ้นเสมอ.
ตัวอย่างที่ 4 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง เหตุการณ์หนึ่งคือมีคะแนนหลุดไปจำนวนหนึ่ง ไม่น้อยกว่าหนึ่งและไม่เกินหก กล่าวคือ W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ) โดยที่ w ผม- ลาออก ผมคะแนน - เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้
ชุดว่างเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เกิดขึ้นจากการทดลองไม่ได้ ไม่เคยเกิดขึ้น.
เหตุการณ์สุ่มอาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นจากการทดลองก็ได้ เกิดขึ้นบ้างบางครั้ง.
ตัวอย่างที่ 5. โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง การพลิกหกแต้มเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
ตรงข้ามกับเหตุการณ์ อาเรียกว่า เหตุการณ์ ประกอบด้วยข้อเท็จจริงว่า เหตุการณ์ อาไม่ได้เกิดขึ้น แสดงว่า , .
ตัวอย่างที่ 6 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง เหตุการณ์ อาเหตุการณ์นั้นเป็นจำนวนแต้มคี่ ที่นี่ W = (w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ) โดยที่ w ผม- ลาออก ผมคะแนน, อา= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), = .
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เรียกว่าเหตุการณ์
อาและ บี, ซึ่ง เอ บี = .ตัวอย่างที่ 7 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง เหตุการณ์ อา- การสูญเสียแต้มคู่เหตุการณ์ บี- เสียแต้มน้อยกว่าสองแต้ม เหตุการณ์ อาบี ประกอบด้วยการได้แต้มเป็นจำนวนคู่น้อยกว่าสอง มันเป็นไปไม่ได้, อา= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), ข=(w 1 ), อาข = , เหล่านั้น. พัฒนาการ อาและ ข-เข้ากันไม่ได้
ผลรวมเหตุการณ์ อาและ บีเรียกว่า เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง อาหรือ ข.ระบุ A+ ข.
ตัวอย่างที่ 8 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w ผม- ลาออก ผมคะแนน เหตุการณ์ อา- ลดลงจำนวนจุด อา บี ข=(w 5 , w 6)
เหตุการณ์ A+ บี = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) คือจำนวนคะแนนที่ลดลงหรือจำนวนคะแนนมากกว่าสี่นั่นคือ ไม่ว่าจะเกิดเหตุการณ์ใดขึ้น อาหรือเหตุการณ์ ข.เห็นได้ชัดว่า A+ บีว.
งานเหตุการณ์ อาและ บีเรียกว่า เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของเหตุการณ์พร้อมๆ กัน อาและ ข.ระบุ AB.
ตัวอย่างที่ 9 โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น ว = ( w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w ผม- ลาออก ผมคะแนน เหตุการณ์ อา- ลดลงจำนวนจุด อา= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), เหตุการณ์ บี- การสูญเสียจำนวนคะแนนมากกว่าสี่ ข=(w 5 , w 6)
เหตุการณ์ อา บีประกอบด้วยจำนวนคะแนนที่เท่ากัน มากกว่าสี่ หลุดออกมา กล่าวคือ ทั้งสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเหตุการณ์ อาและเหตุการณ์ บี เอ บี = (w6) อา บีว.
ความแตกต่างเหตุการณ์ อาและ บีเรียกว่า เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของ อาแต่ไม่ได้เป็นของ ข.ระบุ A/B.
ตัวอย่างที่ 10. โยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง เหตุการณ์ อา- ลดลงจำนวนจุด อา= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), เหตุการณ์ บี- การสูญเสียจำนวนคะแนนมากกว่าสี่ ข=(w 5 , w 6) เหตุการณ์ เป็\ บี = (w 2 ,w 4 ) คือ มีแต้มหลุดเป็นจำนวนคู่ ไม่เกินสี่ นั่นคือ เหตุการณ์เกิดขึ้น อาและเหตุการณ์ก็ไม่เกิดขึ้น B, A\Bว.
เห็นได้ชัดว่า
A+A=A, AA=A, 
.
ง่ายต่อการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:
, (A+B)C=AC+BC.
คำจำกัดความของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์นำไปสู่ลำดับเหตุการณ์ที่ไม่สิ้นสุด:
, เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้น ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เป็นของอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์;
, เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้น ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เป็นของทั้งหมดพร้อมกัน
ให้ W เป็นช่องว่างตามอำเภอใจของเหตุการณ์เบื้องต้นและ - เช่น ชุดของเหตุการณ์สุ่มซึ่งสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: W , AB, A+B และ A\B ถ้า A และบี
ฟังก์ชันตัวเลข P ที่กำหนดในชุดของเหตุการณ์เรียกว่า ความน่าจะเป็นถ้า : (อา) 0 สำหรับใดๆ อาจาก ; (W) = 1;
ทรอยก้าเรียกว่า ช่องว่างความน่าจะเป็น.