หาปริมาตรที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ ผลคูณผสมของเวกเตอร์ คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม

สำหรับเวกเตอร์ และ กำหนดโดยพิกัด ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยสูตร:

ใช้ผลิตภัณฑ์ผสม: 1) เพื่อคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ ตามสูตร: ; 2) เป็นเงื่อนไขสำหรับ complanarity ของ vectors และ : และ coplanar

หัวข้อที่ 5 เส้นบนเครื่องบิน

เวกเตอร์เส้นปกติ , เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก เวกเตอร์ทิศทางตรง เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ขนานกับเส้นที่กำหนดจะถูกเรียก

ตรง บนพื้นผิว ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง ซึ่งคือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

3) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการบัญญัติ );

4) - สมการเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ;

5) - สมการเส้น มีความลาดชัน , คือจุดที่เส้นผ่าน; () - มุมที่เส้นทำกับแกน - ความยาวของส่วน (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดเป็นเส้นตรงบนแกน (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นส่วนลบ)

6) - สมการเส้นตรง ในการตัด โดยที่ และ คือความยาวของส่วน (มีเครื่องหมาย ) ตัดเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดและ (เครื่องหมาย “ ” หากส่วนนั้นถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นส่วนลบ ).

ระยะทางจากจุดถึงเส้น กำหนดโดยสมการทั่วไปบนระนาบ พบได้จากสูตร:

มุม , ( )ระหว่างเส้นตรง และ จากสมการทั่วไปหรือสมการที่มีความชัน หาได้จากสูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

เพื่อ .

เพื่อ

พิกัดจุดตัดของเส้น และพบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: หรือ .

หัวข้อที่ 10. ชุด ชุดตัวเลข. ฟังก์ชั่น.

ภายใต้ มากมาย เข้าใจชุดของวัตถุที่มีลักษณะใด ๆ แยกออกจากกันและสามารถคิดได้ทั้งหมด วัตถุที่ประกอบเป็นเซตเรียกว่า องค์ประกอบ . ชุดสามารถเป็นอนันต์ (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์), จำกัด (ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวน จำกัด), ว่าง (ไม่มีองค์ประกอบเดียว) ชุดแสดงโดย และองค์ประกอบโดย ชุดว่างจะแสดงด้วย

ตั้งสาย เซตย่อย set ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของ set เป็นของ set และเขียน

ตั้งและเรียก เท่ากัน หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันและเขียน สองชุดและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ และ เท่านั้น

ตั้งสาย สากล (ภายในกรอบของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์นี้) , ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นวัตถุทั้งหมดที่พิจารณาในทฤษฎีนี้

สามารถตั้งค่าได้หลายอย่าง: 1) การแจงนับองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น (สำหรับชุดจำกัด); 2) โดยกำหนดกฎเกณฑ์สำหรับกำหนดว่าองค์ประกอบของชุดสากลเป็นของชุดที่กำหนดหรือไม่: .

สมาคม

ข้าม เซตและเรียกว่าเซต

ความแตกต่าง เซตและเรียกว่าเซต

เสริม ชุด (ถึงชุดสากล) เรียกว่าชุด

ทั้งสองชุดและเรียกว่า เทียบเท่า และเขียน ~ ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของชุดเหล่านี้ได้ ชุดเรียกว่า นับได้ ถ้ามันเทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ : ~ เซตว่างตามนิยามแล้วนับได้

ถูกต้อง (จริง) ตัวเลข เรียกว่า เศษส่วนทศนิยมอนันต์ ที่มีเครื่องหมาย "+" หรือ "" จำนวนจริงจะถูกระบุด้วยจุดบนเส้นจำนวน

โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ:

ชุดเรียกว่า ตัวเลข ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นจำนวนจริง ตัวเลข เป็นระยะ เรียกว่าเซต

หมายเลข: , , , , , , , , .

เซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนที่ตรงตามเงื่อนไข โดยที่ เป็นจำนวนน้อยตามอำเภอใจ เรียกว่า -ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่บริเวณใกล้เคียง) ของจุดและแสดงด้วย . เซตของจุดทั้งหมดตามเงื่อนไข ซึ่งเป็นจำนวนมากโดยพลการ เรียกว่า - ละแวกบ้าน (หรือเพียงแค่ย่านใกล้เคียง) ของอินฟินิตี้และแสดงโดย .

ปริมาณที่มีค่าตัวเลขเท่ากันเรียกว่า ถาวร. ปริมาณที่ใช้ค่าตัวเลขต่างกันเรียกว่า ตัวแปร. การทำงาน กฎถูกเรียกตามที่แต่ละหมายเลขได้รับหนึ่งหมายเลขที่กำหนดไว้อย่างดีและเขียน ชุดเรียกว่า โดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่น, - มากมาย (หรือภูมิภาค ) ค่า ฟังก์ชั่น, - การโต้แย้ง , - ค่าฟังก์ชัน . วิธีที่ใช้บ่อยที่สุดในการระบุฟังก์ชันคือวิธีการวิเคราะห์ ซึ่งฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร โดเมนธรรมชาติ ฟังก์ชั่นคือชุดของค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สูตรนี้สมเหตุสมผล กราฟฟังก์ชัน ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม คือเซตของจุดทุกจุดของระนาบที่มีพิกัด .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า สม่ำเสมอ บนชุด สมมาตรตามจุด ถ้าทุกคนตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: และ แปลก ถ้าตรงตามเงื่อนไข มิฉะนั้น ฟังก์ชันทั่วไปหรือ ไม่เท่ากันหรือคี่ .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า วารสาร ในชุดหากมีตัวเลข ( ระยะเวลาการทำงาน ) เพื่อให้เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นที่พอใจสำหรับทุกคน: . จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าช่วงเวลาหลัก

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ (ข้างแรม ) ในชุดหากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากกว่า (เล็กกว่า) ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ถูก จำกัด ในชุดหากมีตัวเลขดังกล่าวครบตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ : . มิฉะนั้น ฟังก์ชันคือ ไม่ จำกัด .

ย้อนกลับ ในการทำงาน , เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดและกำหนดให้กับแต่ละชุดว่า การหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน , คุณต้องแก้สมการ ค่อนข้าง. ถ้าฟังก์ชัน , เป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดใน จากนั้นจะมีอินเวอร์สเสมอและหากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันผกผันก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชันที่แสดงเป็น , โดยที่ เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่โดเมนของนิยามฟังก์ชันประกอบด้วยชุดค่าทั้งหมดของฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน อาร์กิวเมนต์อิสระ ตัวแปรนี้เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนเรียกอีกอย่างว่าองค์ประกอบของฟังก์ชัน และ และเขียนว่า:

ระดับประถมศึกษาขั้นพื้นฐาน ฟังก์ชั่นคือ: พลัง การทำงาน , สาธิต การทำงาน ( , ), ลอการิทึม การทำงาน ( , ), ตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่น , , , , ตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชั่น , , , . ประถม เรียกว่าฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานด้วยจำนวนจำกัดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และองค์ประกอบ

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ ซึ่งกิ่งก้านจะชี้ขึ้นถ้าหรือลงถ้า

ในบางกรณี เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน ขอแนะนำให้แบ่งขอบเขตของคำจำกัดความออกเป็นช่วงที่ไม่ตัดกันหลายๆ ช่วง และสร้างกราฟบนแต่ละรายการตามลำดับ

ชุดจำนวนจริงใด ๆ ที่เรียงลำดับเรียกว่า เลขคณิตจุดมิติ (พิกัด) ช่องว่าง และแสดงหรือในขณะที่ตัวเลขเรียกว่า พิกัด .

อนุญาต และ เป็นชุดของจุดและ . หากแต่ละจุดถูกกำหนด ตามกฎบางอย่าง จำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งตัว พวกเขาจะบอกว่าฟังก์ชันตัวเลขของตัวแปรถูกกำหนดในชุดและเขียนหรือสั้น ๆ และในขณะที่เรียก โดเมนของคำจำกัดความ , - ชุดของค่า , - ข้อโต้แย้ง (ตัวแปรอิสระ) ฟังก์ชัน

ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมักจะแสดงแทน ฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว - โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของจุดบางจุดในระนาบ ฟังก์ชันคือชุดของจุดในอวกาศ

หัวข้อที่ 7 ลำดับตัวเลขและอนุกรม จำกัดลำดับ ขีดจำกัดของฟังก์ชันและความต่อเนื่อง

หากตามกฎเกณฑ์หนึ่ง จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนเชื่อมโยงกับจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจำนวน พวกเขาจะกล่าวว่า ลำดับตัวเลข . สั้นๆ แสดงว่า. เบอร์นี้เรียกว่า สมาชิกสามัญของซีเควนซ์ . ลำดับเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ ลำดับประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนอนันต์เสมอ ซึ่งบางส่วนอาจเท่ากัน

เบอร์นี้เรียกว่า จำกัดลำดับ และเขียนว่าถ้าจำนวนใดมีตัวเลขที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจสำหรับทุกคน

ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า บรรจบกัน , มิฉะนั้น - แตกต่าง .

: 1) ข้างแรม , ถ้า ; 2) เพิ่มขึ้น , ถ้า ; 3) ไม่ลดลง , ถ้า ; 4) ไม่เพิ่มขึ้น , ถ้า . ลำดับข้างต้นทั้งหมดเรียกว่า น่าเบื่อ .

ลำดับนี้เรียกว่า ถูก จำกัด หากมีตัวเลขดังกล่าวครบตามเงื่อนไขต่อไปนี้ : . มิฉะนั้น ลำดับคือ ไม่ จำกัด .

ลำดับขอบเขตเสียงเดียวทุกลำดับมีขีดจำกัด ( ทฤษฎีบทไวเออร์สตราส).

ลำดับนี้เรียกว่า น้อยนิด , ถ้า . ลำดับนี้เรียกว่า ใหญ่มาก (มาบรรจบกันเป็นอนันต์) ถ้า .

ตัวเลข เรียกว่าลิมิตของลำดับ โดยที่

ค่าคงที่เรียกว่าหมายเลข nonpeer ลอการิทึมฐานของตัวเลขเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขและแสดงแทน

นิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ลำดับของตัวเลขเรียกว่า ชุดตัวเลข และมีการทำเครื่องหมาย ผลรวมของเทอมแรกของอนุกรมนี้เรียกว่า th ผลรวมบางส่วน แถว.

แถวนั้นเรียกว่า บรรจบกัน หากมีขีดจำกัดและ แตกต่าง หากไม่มีขีดจำกัด เบอร์นี้เรียกว่า ผลรวมของอนุกรมบรรจบกัน , ขณะเขียน

ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แสดงว่า (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม ) . การสนทนาไม่เป็นความจริง

ถ้า แสดงว่าอนุกรมนั้นแตกต่าง ( เกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของอนุกรม ).

อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปเรียกว่าอนุกรมที่บรรจบกันที่ และแตกต่างที่

ชุดเรขาคณิต เรียกอนุกรมที่บรรจบกันที่ ขณะที่ผลรวมเท่ากับและแตกต่างที่ หาตัวเลขหรือสัญลักษณ์ (กึ่งเพื่อนบ้านซ้าย, กึ่งเพื่อนบ้านขวา) และ

สำหรับเวกเตอร์ และ กำหนดโดยพิกัด , ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยสูตร:

หัวข้อที่ 5 เส้นตรงและระนาบ

ตรง บนพื้นผิว

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง ซึ่งคือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

3) สมการบัญญัติ );

ระยะทางจากจุดถึงเส้น กำหนดโดยสมการทั่วไปบนระนาบ พบได้จากสูตร:

เพื่อ .

เพื่อ

พิกัดจุดตัดของเส้น และพบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: หรือ .

เวกเตอร์ปกติของระนาบ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะถูกเรียก

เครื่องบิน ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป ระนาบ โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบอยู่ที่ไหน

2) - สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด ;

3) - สมการระนาบที่ผ่านสามจุด และ ;

4) - สมการระนาบ ในการตัด โดยที่ , และ คือความยาวของเซ็กเมนต์ (พร้อมเครื่องหมาย ) ตัดโดยระนาบบนแกนพิกัด , และ (เครื่องหมาย “ ” หากเซกเมนต์ถูกตัดในส่วนบวกของแกน และ “ ” หากเป็นค่าลบ ).

ระยะทางจากจุดไปยังเครื่องบิน กำหนดโดยสมการทั่วไป พบโดยสูตร:

มุม ,( )ระหว่างเครื่องบิน และ จากสมการทั่วไป หาได้จากสูตร:

ตรง ในที่ว่าง ในระบบพิกัดสามารถกำหนดได้โดยสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1) - สมการทั่วไป เส้นตรง เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ โดยที่ และ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ และ;

2) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการบัญญัติ );

3) - สมการเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ;

4) - สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ( สมการพาราเมตริก );

มุม , ( ) ระหว่างเส้นตรง และ ในที่ว่าง กำหนดโดยสมการบัญญัติ พบโดยสูตร:

พิกัดจุดตัดของเส้น , กำหนดโดยสมการพาราเมทริก และเครื่องบิน กำหนดโดยสมการทั่วไป พบเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น: .

มุม , ( ) ระหว่างเส้น กำหนดโดยสมการบัญญัติ และเครื่องบิน , กำหนดโดยสมการทั่วไปจะพบโดยสูตร: .

หัวข้อที่ 6 เส้นโค้งของลำดับที่สอง

เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับที่สองในระบบพิกัดเรียกว่าเส้นโค้ง สมการทั่วไป ซึ่งดูเหมือนว่า:

โดยที่ตัวเลข - ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน มีการจำแนกประเภทของเส้นโค้งอันดับสองดังต่อไปนี้: 1) ถ้า แล้วสมการทั่วไปกำหนดเส้นโค้ง แบบวงรี (วงกลม (สำหรับ ), วงรี (สำหรับ ), เซตว่าง, จุด); 2) ถ้า แล้ว - โค้ง แบบไฮเปอร์โบลิก (ไฮเปอร์โบลา, เส้นตัดกันคู่หนึ่ง); 3) ถ้า แล้ว - โค้ง ประเภทพาราโบลา(พาราโบลา, เซตว่าง, เส้น, เส้นคู่ขนาน). วงกลม วงรี ไฮเพอร์โบลา และพาราโบลา เรียกว่า เส้นโค้งที่ไม่เสื่อมของลำดับที่สอง

สมการทั่วไป โดยที่ ซึ่งกำหนดเส้นโค้งที่ไม่เสื่อมลง (วงกลม วงรี ไฮเพอร์โบลา พาราโบลา) สามารถถูกลดขนาดลงได้เสมอ (โดยใช้วิธีการเลือกกำลังสองเต็ม) เป็นสมการประเภทใดประเภทหนึ่งต่อไปนี้:

1a) -สมการวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดและรัศมี (รูปที่ 5)

1b)- สมการวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด ตัวเลขและ - เรียกว่า ครึ่งแกนของวงรี สี่เหลี่ยมหลักของวงรี จุดยอดของวงรี .

ในการสร้างวงรีในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางของวงรี 2) เราวาดผ่านจุดศูนย์กลางด้วยเส้นประตามแกนสมมาตรของวงรี 3) เราสร้างสี่เหลี่ยมหลักของวงรีด้วยเส้นประที่มีจุดศูนย์กลางและด้านขนานกับแกนสมมาตร 4) เราวาดวงรีด้วยเส้นทึบโดยจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักเพื่อให้วงรีแตะด้านข้างที่จุดยอดของวงรีเท่านั้น (รูปที่ 6)

ในทำนองเดียวกันวงกลมถูกสร้างขึ้นซึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักที่มีด้าน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 รูปที่ 6

2) - สมการไฮเพอร์โบลา (เรียกว่า ผัน) มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด ตัวเลขและ - เรียกว่า กึ่งแกนของไฮเปอร์โบลา ; สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับแกนสมมาตรและอยู่กึ่งกลางที่จุด - สี่เหลี่ยมหลักของไฮเปอร์โบลา จุดตัดของสี่เหลี่ยมหลักที่มีแกนสมมาตร - จุดยอดของไฮเปอร์โบลา เส้นตรงผ่านจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมหลัก - เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา .

ในการสร้างไฮเปอร์โบลาในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2) เราวาดผ่านจุดศูนย์กลางด้วยเส้นประในแกนสมมาตรของไฮเพอร์โบลา 3) เราสร้างสี่เหลี่ยมหลักของไฮเพอร์โบลาด้วยเส้นประที่มีจุดศูนย์กลางและด้านข้างและขนานกับแกนสมมาตร 4) เราวาดเส้นตรงผ่านจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลักด้วยเส้นประซึ่งเป็นเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาซึ่งกิ่งก้านของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนดในระยะทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดจากจุดกำเนิดของพิกัดโดยไม่ต้องข้าม 5) เราพรรณนาถึงกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 7) หรือไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 8) ด้วยเส้นทึบ

รูปที่ 7 รูปที่ 8

3a)- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 9)

3b)- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่งและแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 10)

ในการสร้างพาราโบลาในระบบพิกัด: 1) ทำเครื่องหมายด้านบนของพาราโบลา 2) เราวาดผ่านจุดยอดด้วยเส้นประแกนสมมาตรของพาราโบลา 3) เราวาดภาพพาราโบลาด้วยเส้นทึบซึ่งชี้ไปที่กิ่งก้านของมันโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของพารามิเตอร์พาราโบลา: ใน - ในทิศทางบวกของแกนพิกัดขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลา (รูปที่ 9a และ 10a); ใน - ด้านลบของแกนพิกัด (รูปที่ 9b และ 10b) .

ข้าว. รูปที่ 9a 9b

ข้าว. รูปที่ 10a 10b

หัวข้อที่ 7 ชุด ชุดตัวเลข. การทำงาน.

ตั้งสาย เซตย่อย set ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของ set เป็นของ set และเขียน ตั้งและเรียก เท่ากัน หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันและเขียน สองชุดและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ และ เท่านั้น

สมาคม

ข้าม เซตและเรียกว่าเซต

ความแตกต่าง เซตและเรียกว่าเซต

เสริม ชุด (ถึงชุดสากล) เรียกว่าชุด

แนวคิดเรื่องคาร์ดินาลิตี้ของเซตเกิดขึ้นเมื่อเซตถูกเปรียบเทียบด้วยจำนวนขององค์ประกอบที่พวกมันมีอยู่ คาร์ดินาลลิตี้ของเซตแสดงโดย คาร์ดินาลิตี้ของเซตจำกัดคือจำนวนขององค์ประกอบ

เซตเทียบเท่ามีคาร์ดินาลลิตี้เหมือนกัน ชุดเรียกว่า นับไม่ได้ ถ้าคาร์ดินัลลิตี้ของมันมากกว่าคาร์ดินาลลิตี้ของเซต

ถูกต้อง (จริง) ตัวเลข เรียกว่า เศษส่วนทศนิยมอนันต์ ที่มีเครื่องหมาย "+" หรือ "" จำนวนจริงจะถูกระบุด้วยจุดบนเส้นจำนวน โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ:

ชุดเรียกว่า ตัวเลข ถ้าองค์ประกอบของมันเป็นจำนวนจริง ตัวเลข เป็นระยะ ชุดตัวเลขเรียกว่า: , , , , , , , , .

ย้อนกลับ ในการทำงาน , , ฟังก์ชั่นดังกล่าวเรียกว่า ซึ่งถูกกำหนดไว้ในชุดและแต่ละ

ตรงกันว่า. การหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน , คุณต้องแก้สมการ ค่อนข้าง. ถ้าฟังก์ชัน , เป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดใน จากนั้นจะมีอินเวอร์สเสมอและหากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันผกผันก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลง)

หากให้กราฟของฟังก์ชัน การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะลดลงเป็นชุดของการเปลี่ยนแปลง (กะ การบีบอัด หรือการยืด การแสดง) ของกราฟ:

1) 2) การแปลงจะแสดงกราฟแบบสมมาตรเกี่ยวกับแกน 3) การแปลงจะเปลี่ยนกราฟไปตามแกนตามหน่วย ( - ไปทางขวา - ไปทางซ้าย); 4) การแปลงจะเลื่อนแผนภูมิไปตามแกนตามหน่วย ( - ขึ้น - ลง); 5) กราฟการเปลี่ยนแปลงตามแนวแกนยืดออกตามเวลา ถ้า หรือบีบอัดในเวลา ถ้า ; 6) การแปลงกราฟตามแนวแกนจะบีบอัดด้วยปัจจัยหนึ่งถ้าหรือยืดด้วยปัจจัยถ้า

ลำดับของการแปลงเมื่อวางแผนกราฟฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้:

บันทึก. เมื่อทำการแปลง โปรดจำไว้ว่าจำนวนการเลื่อนตามแกนถูกกำหนดโดยค่าคงที่ที่เพิ่มลงในอาร์กิวเมนต์โดยตรง ไม่ใช่อาร์กิวเมนต์

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ ซึ่งกิ่งก้านจะชี้ขึ้นถ้าหรือลงถ้า กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนเป็นไฮเปอร์โบลาที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด ซึ่งเส้นกำกับผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับแกนพิกัด ,สนองสภาพ. เรียกว่า.

พิจารณาผลคูณของเวกเตอร์ , และ ซึ่งประกอบด้วย
. ในที่นี้เวกเตอร์สองตัวแรกถูกคูณด้วยเวกเตอร์ และผลลัพธ์ของเวกเตอร์นั้นคูณด้วยสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์ที่สาม ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเรียกว่าเวกเตอร์สเกลาร์หรือผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ผลิตภัณฑ์ผสมเป็นตัวเลขบางส่วน

ให้เราหาความหมายทางเรขาคณิตของนิพจน์
.

ทฤษฎีบท . ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว เท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เหล่านี้ ถ่ายด้วยเครื่องหมายบวกถ้าเวกเตอร์เหล่านี้ประกอบเป็นสามเท่าทางขวา และด้วยเครื่องหมายลบหากพวกมันสร้างสามทางซ้าย

การพิสูจน์..เราสร้างเส้นขนานที่มีขอบเป็นเวกเตอร์ , , และเวกเตอร์
.

เรามี:
,
, ที่ไหน - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ ,
สำหรับเวกเตอร์สามตัวที่ถูกต้องและ
ทางซ้าย โดยที่
คือความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราได้รับ:
, เช่น.
, ที่ไหน - ปริมาตรของเส้นขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ , และ .

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม

1. สินค้าผสมไม่เปลี่ยนเมื่อ วัฏจักรการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยเช่น .

อันที่จริง ในกรณีนี้ ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือทิศทางของขอบไม่เปลี่ยนแปลง

2. ผลิตภัณฑ์ผสมไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสัญญาณของการคูณเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์กลับกัน กล่าวคือ
.

จริงๆ,
และ
. เราใช้เครื่องหมายเดียวกันทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เนื่องจากเวกเตอร์สามตัว , , และ , , - หนึ่งปฐมนิเทศ

เพราะเหตุนี้,
. ทำให้เราสามารถเขียนผลคูณของเวกเตอร์
เช่น
ไม่มีเครื่องหมายเวกเตอร์ การคูณสเกลาร์

3. ผลคูณผสมเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อเวกเตอร์สองปัจจัยใด ๆ เปลี่ยนตำแหน่งเช่น
,
,
.

อันที่จริง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเทียบเท่ากับการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัยในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์

4. ผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ , และ เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันเป็นระนาบเดียวกัน

2.12. การคำนวณผลคูณในรูปแบบพิกัดแบบออร์โธปกติ

ให้เวกเตอร์
,
,
. มาค้นหาผลคูณของพวกมันกันโดยใช้นิพจน์ในพิกัดสำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และสเกลาร์:

. (10)

สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนให้สั้นลงได้:

เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (10) คือการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวที่สาม

ดังนั้น ผลคูณผสมของเวกเตอร์จึงเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่คูณ

2.13 การใช้งานบางอย่างของผลิตภัณฑ์ผสม

การกำหนดทิศทางสัมพัทธ์ของเวกเตอร์ในอวกาศ

การกำหนดทิศทางสัมพัทธ์ของเวกเตอร์ , และ ขึ้นอยู่กับการพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้า
, แล้ว , , - ขวาสาม ถ้า
, แล้ว , , - เหลือสาม

เงื่อนไข Complanarity สำหรับเวกเตอร์

เวกเตอร์ , และ เป็นระนาบระนาบก็ต่อเมื่อผลิตภัณฑ์ผสมเป็นศูนย์ (
,
,
):

เวกเตอร์ , , ระนาบ

การหาปริมาตรของพีระมิดคู่ขนานและพีระมิดสามเหลี่ยม

มันง่ายที่จะแสดงว่าปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ , และ คำนวณเป็น
และปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์เดียวกันเท่ากับ
.

ตัวอย่าง 1พิสูจน์ว่าเวกเตอร์
,
,
ระนาบ

วิธีการแก้.ลองหาผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตร:

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์
ระนาบ

ตัวอย่าง 2กำหนดจุดยอดของจัตุรมุข: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). จงหาความยาวของความสูงที่ตกลงมาจากจุดยอด .

วิธีการแก้.ให้เราหาปริมาตรของจัตุรมุขก่อน
. ตามสูตรที่เราได้รับ:

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์เป็นจำนวนลบ ในกรณีนี้ คุณต้องใช้เครื่องหมายลบก่อนสูตร เพราะเหตุนี้,
.

ค่าที่ต้องการ ชม.กำหนดจากสูตร
, ที่ไหน ส - พื้นที่ฐาน. มากำหนดพื้นที่กันเถอะ ส:

ที่ไหน

เพราะว่า

เปลี่ยนเป็นสูตร
ค่า
และ
, เราได้รับ ชม.= 3.

ตัวอย่างที่ 3ทำเวกเตอร์รูปแบบ
พื้นฐานในอวกาศ? ย่อยสลายเวกเตอร์
บนพื้นฐานของเวกเตอร์

วิธีการแก้.หากเวกเตอร์เป็นพื้นฐานในอวกาศ พวกมันจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน นั่นคือ เป็นแบบไม่มีระนาบ ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์
:
,

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่ใช่ระนาบเดียวกันและเป็นพื้นฐานในอวกาศ ถ้าเวกเตอร์เป็นฐานในอวกาศ แล้วเวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐาน คือ
,ที่ไหน
พิกัดเวกเตอร์ ในเวกเตอร์พื้นฐาน
. หาพิกัดเหล่านี้โดยรวบรวมและแก้ระบบสมการ