속성 벡터의 외적. 온라인 벡터의 벡터 곱입니다. 외적의 정의

세 가지 벡터와 그 속성의 혼합 제품

혼합 제품 3개의 벡터를 와 같은 숫자라고 합니다. 표시 . 여기에서 처음 두 벡터에 벡터를 곱한 다음 결과 벡터에 세 번째 벡터를 스칼라 방식으로 곱합니다. 분명히 그러한 제품은 몇 가지입니다.

혼합 제품의 특성을 고려하십시오.

기하학적 감각혼합 제품. 부호까지 3개 벡터의 혼합 곱은 모서리에서와 같이 이러한 벡터에 구축된 평행육면체의 부피와 같습니다. .
따라서, 그리고 .

증거. 공통 원점에서 벡터를 연기하고 그 위에 평행 육면체를 만들어 봅시다. 라고 표시하고 주목합시다. 스칼라 곱의 정의에 의해

라고 가정하고 다음과 같이 표시합니다. 시간평행 육면체의 높이, 우리는 .

따라서

그렇다면, 그리고 . 결과적으로 .

이 두 경우를 결합하면 또는 가 됩니다.

특히 이 속성의 증명에서 벡터의 3중이 맞으면 혼합곱이고 왼쪽이면 입니다.
모든 벡터 , , 평등
이 속성에 대한 증명은 속성 1에서 나옵니다. 실제로, 그리고 . 또한 "+"와 "-"기호는 동시에 사용됩니다. 벡터와 및 및 사이의 각도는 모두 예각이거나 둔각입니다.
두 요소가 상호 교환되면 혼합 제품의 부호가 바뀝니다.
실제로 혼합 제품을 고려하면 예를 들어, 또는
요인 중 하나가 0이거나 벡터가 동일 평면에 있는 경우에만 혼합 곱입니다.
증거.

따라서 3 벡터의 평면성에 대한 필요 충분 조건은 혼합 곱이 0이 되는 것과 같습니다. 또한, 이로부터 3개의 벡터가 이면 공간에서 기저를 형성한다는 것을 알 수 있습니다.

벡터가 좌표 형식으로 주어지면 혼합 곱이 다음 공식에 의해 발견됨을 나타낼 수 있습니다.

.

따라서 혼합 곱은 첫 번째 줄에 첫 번째 벡터의 좌표가 포함되고 두 번째 줄에 두 번째 벡터의 좌표가 포함되며 세 번째 줄에 세 번째 벡터의 좌표가 포함되는 3차 행렬식이 있습니다.

예.

우주에서의 분석 기하학

방정식 F(x, y, z)= 0은 공간에서 정의 옥시즈어떤 표면, 즉 좌표가 있는 점의 자취 x, y, z이 방정식을 만족하십시오. 이 방정식을 표면 방정식이라고 하며, x, y, z– 현재 좌표.

그러나 종종 표면은 방정식으로 정의되지 않고 한 속성 또는 다른 속성을 갖는 공간의 점 집합으로 정의됩니다. 이 경우 기하학적 특성을 기반으로 표면의 방정식을 찾아야합니다.

비행기.

일반 평면 벡터입니다.

주어진 점을 지나는 평면의 방정식

공간에서 임의의 평면 σ를 고려하십시오. 위치는 이 평면에 수직인 벡터를 설정하여 결정되며 일부 고정점 M0(x0, 0 0, Z0) 평면 σ에 누워.

평면 σ에 수직인 벡터는 정상이 평면의 벡터입니다. 벡터가 좌표를 갖도록 하십시오.

주어진 점을 통과하는 평면 σ에 대한 방정식을 유도합니다. M0그리고 법선 벡터를 가집니다. 이렇게하려면 평면 σ에서 임의의 점을 취하십시오. M(x, y, z)벡터를 고려하십시오.

어떤 점을 위해 중α σ 벡터 따라서 그들의 스칼라 곱은 0과 같습니다. 이 평등은 포인트가 중ㅇ σ. 이 평면의 모든 점에 대해 유효하며 점을 위반하는 즉시 위반됩니다. 중평면 σ 밖에 있을 것입니다.

반경 벡터로 포인트를 표시하면 중는 점의 반지름 벡터입니다. M0, 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 방정식은 벡터평면 방정식. 좌표 형태로 작성해 봅시다. 그때부터

따라서 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 얻었습니다. 따라서 평면의 방정식을 작성하려면 법선 벡터의 좌표와 평면에 있는 어떤 점의 좌표를 알아야 합니다.

평면의 방정식은 현재 좌표에 대한 1차 방정식입니다. x, y그리고 지.

예.

평면의 일반 방정식

데카르트 좌표에 대한 1차 방정식이 다음과 같이 표시될 수 있습니다. x, y, z어떤 평면의 방정식이다. 이 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

Ax+By+Cz+D=0

그리고 불렀다 일반 방정식평면과 좌표 A, B, C다음은 평면의 법선 벡터의 좌표입니다.

일반 방정식의 특정 경우를 살펴보겠습니다. 방정식의 하나 이상의 계수가 사라진 경우 좌표계를 기준으로 평면이 어떻게 위치하는지 알아보겠습니다.

A는 축의 평면에 의해 잘린 세그먼트의 길이입니다. 황소. 마찬가지로 다음을 보여줄 수 있습니다. 비그리고 씨축에서 고려된 평면에 의해 잘린 세그먼트의 길이입니다. 오이그리고 온스.

평면을 구성하기 위해 선분에서 평면의 방정식을 사용하는 것이 편리합니다.

이 단원에서는 벡터를 사용하는 두 가지 연산을 더 살펴보겠습니다. 벡터의 외적그리고 벡터의 혼합 곱 (필요하신 분들을 위한 바로가기). 괜찮아, 가끔은 완전한 행복을 위해 벡터의 내적, 점점 더 필요합니다. 이것이 벡터 중독입니다. 우리가 분석 기하학의 정글에 들어서고 있다는 인상을 받을 수 있습니다. 이것은 사실이 아닙니다. 고등 수학의 이 섹션에서는 피노키오를 제외하고 일반적으로 장작이 거의 없습니다. 사실, 재료는 매우 일반적이고 간단합니다. 같은 것보다 거의 더 어렵습니다. 스칼라 곱, 심지어 더 적은 수의 일반적인 작업이 있을 것입니다. 많은 사람들이 보거나 이미 보았듯이 해석 기하학에서 가장 중요한 것은 계산을 실수하지 않는 것입니다. 주문처럼 반복하면 행복할 것입니다 =)

지평선의 번개처럼 멀리 어딘가에서 벡터가 반짝거린다면 상관없어 레슨부터 시작해 인형용 벡터벡터에 대한 기본 지식을 복원하거나 다시 획득합니다. 준비된 독자들이 선별적으로 정보를 접할 수 있도록 실무에서 흔히 볼 수 있는 가장 완벽한 예제 모음을 수집하려고 노력했습니다.

무엇이 당신을 행복하게 만들까요? 어렸을 때 나는 공을 두 개, 세 개까지 저글링할 수 있었습니다. 그것은 잘 작동했습니다. 이제 우리가 고려할 것이기 때문에 저글링 할 필요가 전혀 없습니다. 공간 벡터만, 그리고 두 개의 좌표가 있는 평면 벡터는 생략됩니다. 왜요? 이것이 이러한 동작이 탄생한 방식입니다. 벡터와 벡터의 혼합 곱이 정의되고 3차원 공간에서 작동합니다. 이미 더 쉽게!

이 연산에서 스칼라 곱과 같은 방법으로, 두 벡터. 불멸의 편지가 되게 하십시오.

액션 그 자체 표시된다음과 같은 방법으로: . 다른 옵션이 있지만 저는 이런 식으로 벡터의 외적을 대괄호 안에 십자형으로 지정하는 데 익숙합니다.

그리고 즉시 의문: 만약에 벡터의 내적두 벡터가 관련되어 있고 여기에서 두 벡터도 곱하면 차이점은 무엇입니까? 먼저 결과에서 분명한 차이점은 다음과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱의 결과는 NUMBER입니다.

벡터의 외적 결과는 VECTOR입니다.: 즉, 벡터를 곱하고 벡터를 다시 얻습니다. 폐쇄된 클럽. 실제로, 따라서 작업의 이름입니다. 다양한 교육 문헌에서 지정도 다를 수 있으므로 문자를 사용하겠습니다.

외적의 정의

먼저 사진과 함께 정의가 있을 것이고, 그 다음에는 코멘트가 있을 것입니다.

정의: 외적 비공선벡터, 이 순서로 찍은, 벡터라고 하며, 길이수치적으로 평행 사변형의 면적과 동일, 이러한 벡터를 기반으로 합니다. 벡터 벡터에 직교, 그리고 기초가 올바른 방향을 갖도록 지시됩니다.

우리는 뼈로 정의를 분석합니다. 흥미로운 것들이 많이 있습니다!

따라서 다음과 같은 중요한 사항을 강조할 수 있습니다.

1) 정의에 따라 빨간색 화살표로 표시된 소스 벡터 동일선상에 있지 않다. 나중에 공선 벡터의 경우를 고려하는 것이 적절할 것입니다.

2) 촬영된 벡터 엄격한 순서로: – "a"에 "be"를 곱합니다., "be"가 "a"가 아닙니다. 벡터 곱셈의 결과파란색으로 표시된 VECTOR입니다. 벡터를 역순으로 곱하면 길이가 같고 방향이 반대인 벡터(진홍색)를 얻습니다. 즉, 평등 .

3) 이제 벡터곱의 기하학적 의미를 알아봅시다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 파란색 벡터(따라서 진홍색 벡터)의 LENGTH는 벡터에 구축된 평행사변형의 AREA와 수치적으로 동일합니다. 그림에서 이 평행사변형은 검은색으로 음영 처리되어 있습니다.

메모 : 도면은 개략도이며, 물론 외적의 공칭 길이는 평행 사변형의 면적과 동일하지 않습니다.

기하학적 공식 중 하나를 기억합니다. 평행 사변형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인과 같습니다. 따라서 전술한 내용을 기반으로 벡터 곱의 LENGTH를 계산하는 공식이 유효합니다.

공식에서 우리는 벡터 자체가 아니라 벡터의 길이에 대해 이야기하고 있음을 강조합니다. 실용적인 의미는 무엇입니까? 그리고 그 의미는 해석 기하학의 문제에서 평행 사변형의 영역이 벡터 제품의 개념을 통해 종종 발견된다는 것입니다.

우리는 두 번째 중요한 공식을 얻습니다. 평행 사변형의 대각선(빨간색 점선)은 평행 사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 벡터(빨간색 음영)를 기반으로 하는 삼각형의 면적은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

4) 똑같이 중요한 사실은 벡터가 벡터와 직교한다는 것입니다. . 물론 반대 방향 벡터(진홍색 화살표)도 원본 벡터와 직교합니다.

5) 벡터는 다음과 같이 지시됩니다. 기초그것은 가지고있다 오른쪽정위. 에 대한 강의에서 새로운 기반으로의 전환에 대해 자세히 이야기했습니다 평면 방향, 그리고 이제 우리는 공간의 방향이 무엇인지 알아낼 것입니다. 손가락으로 설명해줄게 오른손. 정신적으로 결합 집게손가락벡터와 가운데 손가락벡터와 함께 . 약지와 새끼손가락손바닥에 누르십시오. 결과적으로 무지- 벡터 제품이 조회됩니다. 이것은 오른쪽 지향적인 기반입니다(그림 참조). 이제 벡터를 교환합니다( 검지와 중지) 어떤 곳에서는 결과적으로 엄지손가락이 돌아서 벡터 곱이 이미 아래를 내려다볼 것입니다. 이것은 또한 권리 지향적인 기초입니다. 아마도 당신은 질문이 있을 것입니다: 어떤 기초가 왼쪽 방향을 가지고 있습니까? 같은 손가락 "할당" 왼손벡터, 그리고 왼쪽 기저와 왼쪽 공간 방향을 얻습니다. (이 경우 엄지손가락은 아래쪽 벡터 방향에 위치합니다). 비유적으로 말해서, 이러한 베이스는 공간을 다른 방향으로 "비틀어" 놓거나 방향을 지정합니다. 그리고 이 개념은 터무니없거나 추상적인 것으로 간주되어서는 안 됩니다. 예를 들어, 가장 일반적인 거울은 공간의 방향을 변경하고 "거울에서 반사된 물체를 당기면" 일반적으로 불가능합니다. "원본"과 결합하십시오. 그건 그렇고, 세 손가락을 거울에 가져다 놓고 반사를 분석하십시오 ;-)

... 당신이 지금 알고 있는 것이 얼마나 좋은지 오른쪽과 왼쪽 지향오리엔테이션 변경에 대한 일부 강사의 진술이 끔찍하기 때문에 기반 =)

공선 벡터의 벡터 곱

정의는 자세히 이루어졌으며 벡터가 동일선상에 있을 때 어떤 일이 발생하는지 알아내는 것이 남아 있습니다. 벡터가 동일선상에 있으면 하나의 직선에 배치될 수 있으며 평행사변형도 하나의 직선으로 "접힘"됩니다. 수학자들이 말하는 것과 같은 영역은, 퇴화하다평행 사변형은 0입니다. 공식에서 동일하게 따릅니다. 0 또는 180도의 사인은 0과 같습니다. 이는 면적이 0임을 의미합니다.

따라서 이면 그리고 . 외적 자체는 0 벡터와 같지만 실제로는 종종 무시되고 0과 같다고 기록됩니다.

특별한 경우는 벡터와 자신의 벡터 곱입니다.

외적을 사용하여 3차원 벡터의 공선성을 확인할 수 있으며 이 문제도 분석할 것입니다.

실제 사례를 해결하려면 필요할 수 있습니다. 삼각 테이블그것에서 사인 값을 찾습니다.

자, 불을 피우자:

실시예 1

a) 다음과 같은 경우 벡터의 벡터 곱의 길이를 구합니다.

b) 다음과 같은 경우 벡터에 작성된 평행 사변형의 면적을 찾으십시오.

해결책: 아니오, 오타가 아닙니다. 의도적으로 조건 항목의 초기 데이터를 동일하게 만들었습니다. 솔루션의 디자인이 다르기 때문입니다!

a) 조건에 따라 찾아야 한다. 길이벡터(벡터 곱). 해당 공식에 따르면:

대답:

길이에 대해 질문을 받았으므로 대답에서 치수 - 단위를 나타냅니다.

b) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 정사각형벡터를 기반으로 하는 평행사변형 . 이 평행 사변형의 면적은 외적의 길이와 수치적으로 같습니다.

대답:

벡터 제품에 대한 답변에는 전혀 이야기가 없습니다. 그림 영역, 각각의 치수는 제곱 단위입니다.

우리는 항상 조건에 의해 발견되어야 하는 것이 무엇인지 살펴보고, 이를 기반으로 공식화합니다. 분명한대답. 문자주의처럼 보일 수 있지만 교사들 사이에 문자주의자들이 충분히 있고 좋은 기회가 있는 과제는 수정을 위해 반환됩니다. 이것은 특별히 긴장된 엉뚱한 선택은 아니지만 대답이 정확하지 않으면 그 사람이 간단한 것을 이해하지 못하거나 작업의 본질을 이해하지 못했다는 인상을 받습니다. 이 순간은 항상 통제 하에 있어야 하며, 고등 수학 및 다른 과목에서도 문제를 해결해야 합니다.

큰 글자 "en"은 어디로 갔습니까? 원칙적으로는 추가로 솔루션에 붙일 수도 있지만 기록을 단축하기 위해 하지 않았습니다. 모두가 이해해 주었으면 하는 바램과 같은 명칭입니다.

DIY 솔루션의 인기 있는 예:

실시예 2

벡터에 구축 된 삼각형의 면적을 찾으십시오.

벡터 곱을 통해 삼각형의 면적을 찾는 공식은 정의에 대한 주석에 나와 있습니다. 공과 끝에 솔루션과 답변이 있습니다.

실제로 작업은 매우 일반적이며 삼각형은 일반적으로 고문 될 수 있습니다.

다른 문제를 해결하려면 다음이 필요합니다.

벡터의 외적 속성

우리는 이미 벡터 곱의 일부 속성을 고려했지만 이 목록에 포함할 것입니다.

임의의 벡터와 임의의 숫자의 경우 다음 속성이 true입니다.

1) 다른 정보원에서는 이 항목이 일반적으로 속성상 구별되지 않으나 실용상 매우 중요하다. 그렇게 놔두세요.

2) - 속성은 위에서도 논의되었으며 때로는 다음과 같이 불립니다. 반가환성. 즉, 벡터의 순서가 중요합니다.

3) - 조합 또는 연관벡터 제품 법칙. 상수는 벡터 곱의 한계에서 쉽게 벗어날 수 있습니다. 정말, 그들은 거기에서 무엇을하고 있습니까?

4) - 배포 또는 분포벡터 제품 법칙. 브래킷을 여는 데에도 문제가 없습니다.

데모로 다음과 같은 짧은 예를 고려하십시오.

실시예 3

다음 경우 찾기

해결책:조건에 따라 벡터 곱의 길이를 다시 찾아야 합니다. 미니어처를 칠해 봅시다.

(1) 결합 법칙에 따라 벡터 곱의 한계를 넘어 상수를 꺼냅니다.

(2) 모듈에서 상수를 가져오는 동안 모듈은 빼기 기호를 "먹습니다". 길이는 음수일 수 없습니다.

(3) 다음 내용은 분명합니다.

대답:

나무를 불에 던질 시간입니다.

실시예 4

다음과 같은 경우 벡터를 기반으로 한 삼각형의 면적을 계산하십시오.

해결책: 공식을 이용하여 삼각형의 넓이 구하기 . 문제는 벡터 "ce"와 "te"가 벡터의 합으로 표현된다는 것입니다. 여기의 알고리즘은 표준이며 수업의 3번과 4번 예제를 연상시킵니다. 벡터의 내적. 명확성을 위해 세 단계로 나누겠습니다.

1) 첫 번째 단계에서 벡터곱을 통해 벡터곱을 표현하는데, 사실, 벡터를 벡터로 표현. 아직 길이에 대한 단어가 없습니다!

(1) 벡터의 표현을 대체합니다.

(2) 분배 법칙을 사용하여 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니다.

(3) 결합법칙을 사용하여 벡터곱 너머의 모든 상수를 꺼냅니다. 경험이 거의 없으면 작업 2와 3을 동시에 수행할 수 있습니다.

(4) 첫 번째 항과 마지막 항은 유쾌한 속성으로 인해 0(제로 벡터)과 같습니다. 두 번째 항에서는 벡터 곱의 반가환성 속성을 사용합니다.

(5) 유사한 용어를 제시합니다.

결과적으로 벡터는 벡터를 통해 표현되는 것으로 밝혀졌으며 이는 달성해야 하는 것이었습니다.

2) 두 번째 단계에서 필요한 벡터 곱의 길이를 찾습니다. 이 작업은 예 3과 유사합니다.

3) 필요한 삼각형의 면적을 찾으십시오.

솔루션의 2-3단계를 한 줄로 정리할 수 있습니다.

대답:

고려된 문제는 테스트에서 매우 일반적입니다. 다음은 독립적인 솔루션의 예입니다.

실시예 5

다음 경우 찾기

수업이 끝날 때 짧은 솔루션과 답변. 이전 예제를 공부할 때 얼마나 주의를 기울였는지 살펴봅시다 ;-)

좌표 벡터의 외적

, , 공식으로 표현된다:

공식은 정말 간단합니다. 행렬식의 맨 윗줄에 좌표 벡터를 쓰고 두 번째 줄과 세 번째 줄에 벡터 좌표를 "포장"하고 다음을 넣습니다. 엄격한 순서로- 첫째, 벡터 "ve"의 좌표, 그 다음 벡터 "double-ve"의 좌표. 벡터를 다른 순서로 곱해야 하는 경우 행도 바꿔야 합니다.

실시예 10

다음 공간 벡터가 동일선상에 있는지 확인하십시오.
ㅏ)
비)

해결책: 테스트는 이 단원의 진술 중 하나를 기반으로 합니다. 벡터가 동일선상에 있으면 외적은 0(영 벡터)입니다. .

a) 벡터 곱을 찾습니다.

따라서 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

b) 벡터 곱을 찾습니다.

대답: a) 동일선상에 있지 않음, b)

여기에 벡터의 벡터 곱에 대한 모든 기본 정보가 있습니다.

이 섹션은 벡터의 혼합 곱이 사용되는 문제가 거의 없기 때문에 그리 크지 않을 것입니다. 사실, 모든 것은 정의, 기하학적 의미 및 몇 가지 작업 공식에 달려 있습니다.

벡터의 혼합 곱은 세 벡터의 곱입니다.:

이렇게 기차처럼 줄을 서서 기다리며 계산될 때까지 기다릴 수 없다.

먼저 다시 정의와 그림:

정의: 혼합제품 동일 평면에 있지 않은벡터, 이 순서로 찍은, 라고 한다 평행육면체의 부피, 이러한 벡터를 기반으로 하며 기저가 오른쪽이면 "+" 기호가 있고 기저가 왼쪽이면 "-" 기호가 있습니다.

그림을 그려봅시다. 우리에게 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다.

정의를 살펴보겠습니다.

2) 촬영된 벡터 일정한 순서로, 즉, 추측할 수 있듯이 곱에서 벡터의 순열은 결과 없이 진행되지 않습니다.

3) 기하학적 의미에 대해 논평하기 전에 다음과 같은 명백한 사실에 주목하겠습니다. 벡터의 혼합 곱은 NUMBER입니다.: . 교육 문헌에서는 디자인이 다소 다를 수 있습니다. 나는 혼합 제품을 지정하는 데 사용하고 문자 "pe"로 계산 결과를 지정했습니다.

정의에 의해 혼합 곱은 평행 육면체의 부피입니다., 벡터를 기반으로 합니다(그림은 빨간색 벡터와 검은색 선으로 그려짐). 즉, 숫자는 주어진 평행 육면체의 부피와 같습니다.

메모 : 도면은 개략도입니다.

4) 다시는 기초와 공간의 방향성이라는 개념으로 귀찮게 하지 말자. 마지막 부분의 의미는 볼륨에 마이너스 기호를 추가할 수 있다는 것입니다. 간단히 말해서 혼합 곱은 음수일 수 있습니다. .

벡터에 구축된 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식은 정의에서 직접 따릅니다.

벡터 사이의 각도

두 벡터의 외적 개념을 소개하려면 먼저 이 벡터 사이의 각도와 같은 개념을 다루어야 합니다.

두 벡터 $\overline(α)$와 $\overline(β)$가 주어집니다. 공간에서 어떤 점 $O$를 취하여 $\overline(α)=\overline(OA)$ 및 $\overline(β)=\overline(OB)$ 벡터를 따로 놓고 각도 $AOB $는 이러한 벡터 사이의 각도라고 합니다(그림 1).

표기법: $∠(\overline(α),\overline(β))$

벡터의 외적 개념과 구하는 공식

정의 1

두 벡터의 벡터 곱은 주어진 두 벡터에 수직인 벡터이며, 길이는 이 벡터의 길이와 이 벡터 사이의 각도 사인을 곱한 것과 같으며 초기 두 벡터가 있는 이 벡터는 동일합니다. 방향을 데카르트 좌표계로 지정합니다.

표기법: $\overline(α)х\overline(β)$.

수학적으로 다음과 같습니다.

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ 및 $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$는 같은 방향(그림 2)

분명히 벡터의 외적은 두 가지 경우에 0 벡터와 같습니다.

하나 또는 두 벡터의 길이가 0인 경우.
이 벡터 사이의 각도가 $180^\circ$ 또는 $0^\circ$인 경우(이 경우 사인은 0이기 때문에).

벡터의 외적을 찾는 방법을 명확하게 보려면 다음 솔루션 예제를 고려하십시오.

실시예 1

$\overline(α)=(0,4,0)$ 및 $\overline(β) 좌표를 사용하여 벡터의 외적 결과인 벡터 $\overline(δ)$의 길이를 찾습니다. =(3,0,0)$.

해결책.

데카르트 좌표 공간에서 이러한 벡터를 묘사해 보겠습니다(그림 3).

그림 3. 데카르트 좌표 공간의 벡터. Author24 - 학생 논문의 온라인 교환

이러한 벡터가 각각 $Ox$ 및 $Oy$ 축에 있음을 알 수 있습니다. 따라서 그들 사이의 각도는 $90^\circ$와 같습니다. 이 벡터의 길이를 구해 봅시다.

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

그런 다음 정의 1에 의해 $|\overline(δ)|$ 모듈을 얻습니다.

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

답: $12$.

벡터 좌표에 의한 외적 계산

정의 1은 즉시 두 벡터에 대한 외적을 찾는 방법을 의미합니다. 벡터에는 값 외에 방향도 있기 때문에 스칼라 값만으로는 찾을 수 없습니다. 그러나 그 외에도 좌표를 사용하여 우리에게 주어진 벡터를 찾는 또 다른 방법이 있습니다.

$(α_1,α_2,α_3)$ 및 $(β_1,β_2,β_3)$ 좌표를 갖는 벡터 $\overline(α)$ 및 $\overline(β)$가 주어집니다. 그러면 외적의 벡터(즉, 좌표)는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

그렇지 않으면 행렬식을 확장하면 다음 좌표를 얻습니다.

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

실시예 2

좌표가 $(0,3,3)$ 및 $(-1,2,6)$인 공선 벡터 $\overline(α)$ 및 $\overline(β)$의 외적 벡터를 찾습니다.

해결책.

위의 공식을 사용합시다. 얻다

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

답: $(12,-3,3)$.

벡터의 외적 속성

임의의 혼합된 세 벡터 $\overline(α)$, $\overline(β)$ 및 $\overline(γ)$ 및 $r∈R$에 대해 다음 속성이 유지됩니다.

실시예 3

꼭짓점이 $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ 및 $(3,8,0) 좌표를 갖는 평행 사변형의 영역 찾기 $.

해결책.

먼저 좌표 공간에 이 평행사변형을 그립니다(그림 5).

그림 5. 좌표 공간의 평행사변형. Author24 - 학생 논문의 온라인 교환

이 평행사변형의 두 변은 좌표가 $\overline(α)=(3,0,0)$이고 $\overline(β)=(0,8,0)$인 공선 벡터를 사용하여 구성됩니다. 네 번째 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

$\overline(α)х\overline(β)$ 벡터를 찾습니다.

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

따라서

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

정의. 동일선상에 있지 않은 벡터(승수)와 벡터 a(승수)의 벡터 곱은 다음과 같이 구성된 세 번째 벡터 c(곱)입니다.

1) 그 계수는 그림의 평행 사변형의 면적과 수치 적으로 같습니다. 155) 벡터에 구축, 즉 언급된 평행사변형의 평면에 수직인 방향과 같습니다.

3) 이 경우 벡터 c가 오른손 시스템을 형성하도록 벡터 c의 방향이 선택됩니다(2개의 가능한 것 중에서).

명칭: 또는

정의에 대한 부록입니다. 벡터가 동일선상에 있는 경우 그림을 (조건부) 평행사변형으로 고려하면 0 영역을 할당하는 것이 자연스럽습니다. 따라서 공선 벡터의 벡터 곱은 영 벡터와 동일한 것으로 간주됩니다.

널 벡터는 어떤 방향으로도 할당될 수 있으므로 이 규칙은 정의의 항목 2 및 3과 모순되지 않습니다.

비고 1. "벡터 곱"이라는 용어에서 첫 번째 단어는 작업의 결과가 벡터임을 나타냅니다(스칼라 곱과 반대, § 104, 비고 1 참조).

예 1. 오른쪽 좌표계의 주 벡터가 있는 벡터 곱을 찾습니다(그림 156).

1. 주 벡터의 길이가 눈금 단위와 같기 때문에 평행 사변형 (정사각형)의 면적은 수치 적으로 1과 같습니다. 따라서 벡터 곱의 계수는 1과 같습니다.

2. 평면에 수직인 축이 축이므로 원하는 벡터 곱은 벡터 k와 동일선상에 있는 벡터입니다. 둘 다 모듈러스 1을 갖기 때문에 필요한 외적은 k 또는 -k입니다.

3. 이 두 가지 가능한 벡터 중에서 첫 번째 벡터를 선택해야 합니다. 벡터 k가 오른쪽 시스템을 형성하고 벡터가 왼쪽 시스템을 형성하기 때문입니다.

예 2. 외적 찾기

해결책. 예 1에서와 같이 벡터가 k 또는 -k라는 결론을 내립니다. 그러나 이제 벡터가 오른쪽 시스템을 형성하고 벡터가 왼쪽을 형성하기 때문에 -k를 선택해야 합니다. 그래서,

예제 3 벡터의 길이는 각각 80cm와 50cm이고 각도는 30°입니다. 미터를 길이 단위로 취하여 벡터 곱의 길이를 구하십시오.

해결책. 벡터에 구축된 평행 사변형의 면적은 다음과 같습니다. 원하는 벡터 곱의 길이는 다음과 같습니다.

예 4. 센티미터를 길이 단위로 사용하여 동일한 벡터의 외적 길이를 구합니다.

해결책. 벡터에 구축 된 평행 사변형의 면적은 벡터 제품의 길이와 같기 때문에 2000cm, 즉

예 3과 4를 비교하면 벡터의 길이가 요소의 길이뿐만 아니라 길이 단위의 선택에도 의존함을 알 수 있습니다.

벡터 곱의 물리적 의미.벡터 곱으로 표현되는 많은 물리량 중에서 우리는 힘의 순간만을 고려할 것입니다.

A를 힘의 적용점이라고 하자.점 O에 대한 힘의 모멘트를 벡터곱이라고 한다.이 벡터곱의 모듈은 수치적으로 평행사변형의 면적과 같기 때문에(그림 157), 모멘트의 모듈은 높이에 의한 밑면의 곱과 같습니다. 즉, 힘에 점 O에서 힘이 작용하는 직선까지의 거리를 곱한 값입니다.

역학에서는 강체의 평형을 위해 몸체에 가해진 힘을 나타내는 벡터의 합뿐만 아니라 힘의 모멘트의 합도 0과 같아야 한다는 것이 증명되었습니다. 모든 힘이 같은 평면에 평행한 경우 모멘트를 나타내는 벡터의 추가는 계수의 더하기 및 빼기로 대체될 수 있습니다. 그러나 임의의 힘의 방향에 대해서는 그러한 대체가 불가능합니다. 이에 따라 외적은 정확히 숫자가 아닌 벡터로 정의됩니다.

내적 속성

벡터, 정의, 속성의 내적

벡터에 대한 선형 연산.

벡터, 기본 개념, 정의, 선형 연산

평면의 벡터는 순서가 지정된 점 쌍이며, 첫 번째 점을 벡터의 시작이라고 하고 두 번째 점을 끝이라고 합니다.

두 벡터가 동일하고 방향성이 같으면 동일하다고 합니다.

동일한 선에 있는 벡터는 이 선에 있지 않은 동일한 벡터의 일부와 동방향인 경우 동방향이라고 합니다.

같은 선 또는 평행선 위에 있는 벡터를 동일선상이라고 하고 동일선상에 있지만 동일 방향이 아닌 벡터를 반대 방향이라고 합니다.

수직선에 놓인 벡터를 직교라고 합니다.

정의 5.4. 합집합 a+b 벡터 ㅏ 그리고 비 벡터의 시작 부분에서 오는 벡터라고 합니다. ㅏ 벡터의 끝까지 비 , 벡터의 시작인 경우 비 벡터의 끝과 일치 ㅏ .

정의 5.5. 차이점 a - b 벡터 ㅏ 그리고 비 이러한 벡터는 와 함께 , 벡터와 함께 비 벡터를 제공합니다 ㅏ .

정의 5.6. 일하다케이 ㅏ 벡터 ㅏ 번호당 케이벡터라고 불리는 비 , 동일선상 벡터 ㅏ , 이 모듈은 | 케이||ㅏ |, 그리고 그 방향과 같은 방향 ㅏ ~에 케이>0 및 반대 ㅏ ~에 케이<0.

벡터에 숫자를 곱하는 속성:

속성 1. 케이(a+b ) = k ㅏ+ k 비.

속성 2. (k+m)ㅏ = k ㅏ+ m ㅏ.

재산 3. k(m ㅏ) = (km)ㅏ .

결과. 0이 아닌 벡터인 경우 ㅏ 그리고 비 동일선상에 있으면 숫자가 있습니다. 케이, 무엇 b= 케이 ㅏ.

0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱 ㅏ그리고 비이러한 벡터의 길이와 그 사이의 각도 φ의 코사인의 곱과 동일한 숫자(스칼라)라고 합니다. 스칼라 곱은 다음과 같이 다양한 방식으로 표현될 수 있습니다. ab, ㅏ · 비, (ㅏ , 비), (ㅏ · 비). 따라서 내적은 다음과 같습니다.

ㅏ · 비 = |ㅏ| · | 비| 코스 φ

벡터 중 하나 이상이 0이면 스칼라 곱은 0과 같습니다.

순열 속성: ㅏ · 비 = 비 · ㅏ(스칼라 곱은 요인의 순열로 인해 변하지 않음);

배포 속성: ㅏ · ( 비 · 씨) = (ㅏ · 비) · 씨(결과는 곱셈의 순서에 의존하지 않습니다);

조합 속성(스칼라 인수 관련): (λ ㅏ) · 비 = λ ( ㅏ · 비).

직교성(수직성)의 속성: 벡터인 경우 ㅏ그리고 비 0이 아닌 경우 내적은 이러한 벡터가 직교(서로 수직)일 때만 0입니다. ㅏ ┴ 비;

정사각형 속성: ㅏ · ㅏ = ㅏ 2 = |ㅏ| 2(벡터 자체와 스칼라 곱은 모듈러스의 제곱과 같습니다);

벡터의 좌표라면 ㅏ=(x 1 , y 1 , z 1 ) 및 비=(x 2 , y 2 , z 2 ) 스칼라 곱은 다음과 같습니다. ㅏ · 비= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

벡터 지주 벡터입니다. 정의: 두 벡터의 벡터 곱은 다음과 같은 벡터로 이해됩니다.

모듈은 이러한 벡터에 구축된 평행 사변형의 영역, 즉 , 벡터 사이의 각도는 어디입니까?

이 벡터는 곱한 벡터에 수직입니다.

벡터가 공선적이지 않으면 벡터의 오른쪽 삼중을 형성합니다.

교차 제품 속성:

1. 요인의 순서가 변경되면 벡터 곱은 부호를 반대로 변경하여 모듈을 보존합니다.

2 .Vector 제곱은 0 벡터와 같습니다. 즉,

3 . 스칼라 인자는 벡터 곱의 부호에서 빼낼 수 있습니다. 즉,

4 .세 개의 벡터에 대해 평등

5 . 두 벡터의 공선성에 대한 필요 충분 조건 및 :