벡터를 기반으로 하는 평행육면체의 부피를 증명하십시오. 벡터의 벡터 곱입니다. 벡터의 혼합 곱. 벡터의 외적 속성

벡터 , 및 , 좌표로 제공되는 , 의 경우 혼합 곱은 다음 공식으로 계산됩니다.

혼합 제품 사용: 1) 사면체와 벡터에 구축된 평행 육면체의 부피를 계산하려면 다음 공식에 따라 모서리에서와 같이 , 2) 벡터의 평면성에 대한 조건으로 , 및 : 및 동일 평면에 있습니다.

주제 5. 직선과 평면.

법선 벡터 , 주어진 선에 수직인 0이 아닌 벡터가 호출됩니다. 방향 벡터 직선 , 주어진 선에 평행한 0이 아닌 벡터가 호출됩니다.

똑바로 표면에

1) - 일반 방정식 직선, 여기서 직선의 법선 벡터는 어디입니까?

2) - 주어진 벡터에 수직인 점을 지나는 직선의 방정식;

3) 정준 방정식 );

5) - 선 방정식 경사로 , 선이 통과하는 지점은 어디입니까? () - 선이 축과 이루는 각도. - 축에서 직선으로 잘린 세그먼트의 길이(부호 포함)(세그먼트가 축의 양의 부분에서 잘린 경우 기호 " ", 음의 부분에서 잘린 경우 " ").

6) - 직선 방정식 컷에서, 여기서 및 는 좌표축에서 직선으로 잘린 세그먼트(부호 포함)의 길이이며 (세그먼트가 축의 양수 부분에서 잘린 경우 기호 " ", 음수인 경우 " " ).

점에서 선까지의 거리 , 평면에 대한 일반 방정식에 의해 주어진 공식은 다음과 같습니다.

모서리 , ( )직선 사이 일반 방정식 또는 기울기가 있는 방정식으로 주어지는 는 다음 공식 중 하나로 구합니다.

만약 또는 .

만약 또는

선의 교차점 좌표 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다. 또는 .

평면의 법선 벡터 , 주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터가 호출됩니다.

비행기 좌표계에서 다음 유형 중 하나의 방정식으로 주어질 수 있습니다.

1) - 일반 방정식 평면, 평면의 법선 벡터는 어디에 있습니까?

2) - 주어진 벡터에 수직인 점을 통과하는 평면의 방정식;

3) - 세 점을 지나는 평면의 방정식, 그리고 ;

4) - 평면 방정식 컷에서, 여기서 , 및 는 좌표축의 평면에 의해 절단된 세그먼트(부호 포함)의 길이이며, (세그먼트가 축의 양의 부분에서 절단된 경우 기호 " ", 음의 경우 " " ).

점에서 평면까지의 거리 , 일반 방정식에 의해 주어진 공식:

모서리 ,( )비행기 사이 일반 방정식으로 주어지는 , 는 다음 공식으로 구합니다.

똑바로 우주에서 좌표계에서 다음 유형 중 하나의 방정식으로 주어질 수 있습니다.

1) - 일반 방정식 두 평면의 교차선과 같은 직선, 여기서 및는 평면의 법선 벡터이고;

2) - 주어진 벡터에 평행한 점을 지나는 직선의 방정식( 정준 방정식 );

3) - 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식, ;

4) - 주어진 벡터에 평행한 점을 지나는 직선의 방정식, ( 매개변수 방정식 );

모서리 , ( ) 직선 사이 그리고 우주에서 , 정준 방정식으로 주어지는 공식은 다음과 같습니다.

선이 교차하는 지점의 좌표 , 매개변수 방정식으로 주어진 그리고 비행기 , 일반 방정식에 의해 주어진 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다. .

모서리 , ( ) 라인 사이 , 정준 방정식으로 주어진 그리고 비행기 , 일반 방정식에 의해 주어진 공식: .

주제 6. 2차 곡선.

2차 대수 곡선좌표계에서 곡선이라고 하며, 일반 방정식 다음과 같이 보입니다.

여기서 숫자는 동시에 0이 아닙니다. 2차 곡선에는 다음과 같은 분류가 있습니다. 1) 이면 일반 방정식이 곡선을 정의합니다. 타원형 (원(), 타원(), 빈 집합, 점); 2) 이면 - 곡선 쌍곡선 유형 (쌍곡선, 한 쌍의 교차 선); 3) 이면 - 곡선 포물선형(포물선, 빈 집합, 선, 평행선 쌍). 원, 타원, 쌍곡선 및 포물선은 2차 비축퇴 곡선.

비축퇴 곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선)을 정의하는 일반 방정식 은 항상(완전한 제곱 선택 방법을 사용하여) 다음 유형 중 하나의 방정식으로 축소될 수 있습니다.

1a) -점과 반지름을 중심으로 하는 원 방정식(그림 5).

1b)- 좌표축에 평행한 대칭축과 점을 중심으로 하는 타원의 방정식. 숫자와 -라고합니다. 타원의 반축 타원의 주 사각형; 타원의 정점 .

좌표계에서 타원을 만들려면: 1) 타원의 중심을 표시하십시오. 2) 우리는 타원의 대칭 축을 점선으로 중심을 통해 그립니다. 3) 중심과 대칭 축에 평행한 측면이 있는 점선으로 타원의 주 직사각형을 만듭니다. 4) 우리는 타원이 타원의 꼭지점에서만 측면에 닿도록 주 직사각형에 새기면서 실선으로 타원을 그립니다(그림 6).

유사하게, 주 직사각형이 측면을 갖는 원이 구성됩니다(그림 5).

그림 5 그림 6

2) - 쌍곡선 방정식( 결합한) 좌표축에 평행한 점 및 대칭축을 중심으로 합니다. 숫자와 -라고합니다. 쌍곡선의 반축 ; 대칭축에 평행하고 한 점을 중심으로 하는 변이 있는 직사각형 - 쌍곡선의 주요 직사각형; 주 직사각형과 대칭 축의 교차점 - 쌍곡선의 정점; 주 직사각형의 반대 꼭짓점을 통과하는 직선 - 쌍곡선의 점근선 .

좌표계에서 쌍곡선을 작성하려면: 1) 쌍곡선의 중심을 표시하십시오. 2) 쌍곡선의 대칭 축을 점선으로 중심을 통해 그립니다. 3) 우리는 중심과 측면이 있고 대칭 축에 평행 한 점선으로 쌍곡선의 주요 직사각형을 만듭니다. 4) 우리는 쌍곡선의 지점이 좌표의 원점에서 무한한 거리에서 무한히 가까워지는 쌍곡선의 점근선 인 점선으로 주 직사각형의 반대 정점을 통해 직선을 그립니다. 5) 쌍곡선(그림 7) 또는 쌍곡선(그림 8)의 가지를 실선으로 묘사합니다.

그림 7 그림 8

3a)- 한 점에 꼭지점이 있고 좌표축에 평행한 대칭축이 있는 포물선의 방정식(그림 9).

3b)- 한 점에 꼭지점이 있고 좌표축에 평행한 대칭축이 있는 포물선의 방정식(그림 10).

좌표계에서 포물선을 작성하려면: 1) 포물선의 상단을 표시하십시오. 2) 우리는 포물선의 대칭 축을 점선으로 정점을 그립니다. 3) 우리는 포물선 매개 변수의 부호를 고려하여 분기를 지시하는 실선으로 포물선을 묘사합니다. ~에서 - 포물선의 대칭 축과 평행한 좌표축의 양의 방향(그림 9a 및 10a) ~에서 - 좌표축의 음수(그림 9b 및 10b) .

쌀. 도 9a 9b

쌀. 도 10a 10b

주제 7. 세트. 숫자 집합입니다. 기능.

아래에 많은 서로 구별할 수 있고 하나의 전체로 생각할 수 있는 어떤 성질의 특정 대상 집합을 이해합니다. 집합을 구성하는 개체는 집합을 호출합니다. 집단 . 집합은 무한(무한 수의 요소로 구성), 유한(유한한 수의 요소로 구성), 비어 있음(단일 요소를 포함하지 않음)일 수 있습니다. 집합은 로 표시되고 해당 요소는 로 표시됩니다. 빈 집합은 로 표시됩니다.

통화 설정 부분집합 집합의 모든 요소가 집합에 속해 있으면 설정하고 를 씁니다. 설정 및 호출 동일한 , 동일한 요소로 구성되어 있는 경우 작성합니다. 2개 세트 and 는 and 인 경우에만 동일합니다.

통화 설정 만능인 (이 수학 이론의 틀 내에서) , 그 요소가 이 이론에서 고려되는 모든 대상인 경우.

많은 것을 설정할 수 있습니다: 1) 모든 요소의 열거, 예: (유한 집합에만 해당); 2) 범용 집합의 요소가 주어진 집합에 속하는지 여부를 결정하기 위한 규칙을 설정하여: .

협회

횡단 집합이며 집합이라고 합니다.

차이점 집합이며 집합이라고 합니다.

보충 집합(범용 집합까지)을 집합이라고 합니다.

두 세트 및 동등한 이 집합의 요소 간에 일대일 대응이 설정될 수 있는 경우 ~를 작성합니다. 세트라고 합니다 셀 수 있는 , 자연수 집합과 동일한 경우 : ~ . 빈 집합은 정의에 따라 셀 수 있습니다.

집합의 카디널리티 개념은 집합이 포함된 요소의 수로 집합을 비교할 때 발생합니다. 집합의 카디널리티는 로 표시됩니다. 유한 집합의 카디널리티는 요소의 수입니다.

등가 집합은 동일한 카디널리티를 갖습니다. 세트라고 합니다 셀 수 없는 카디널리티가 세트의 카디널리티보다 큰 경우.

유효한 (진짜) 숫자 "+" 또는 "" 기호를 사용하여 무한소수점이라고 합니다. 실수는 숫자 라인의 점으로 식별됩니다. 기준 치수 실수의 (절대값)은 음수가 아닌 숫자입니다.

세트라고 합니다 수치 요소가 실수인 경우 숫자입니다. 간격으로 숫자 집합을 , , , , , , , , , 라고 합니다.

임의의 작은 수인 조건을 만족하는 수선상의 모든 점 집합을 이라고 합니다. -이웃 (또는 단지 이웃) 점의 및 로 표시됩니다. 임의의 큰 수인 조건에 의한 모든 점의 집합을 - 이웃 (또는 그냥 이웃) 무한대이고 로 표시됩니다.

동일한 수치를 유지하는 양을 끊임없는. 다른 숫자 값을 취하는 양을 변하기 쉬운. 기능 규칙이 호출되어 각 번호에 잘 정의된 하나의 번호가 할당되고 작성됩니다. 세트라고 합니다 정의의 영역 기능, - 많은 (또는 지역 ) 가치 기능, - 논쟁 , - 함수 값 . 함수를 지정하는 가장 일반적인 방법은 함수가 공식으로 제공되는 분석 방법입니다. 자연 영역 함수는 이 공식이 의미가 있는 인수의 값 집합입니다. 함수 그래프 직교 좌표계에서 는 좌표가 인 평면의 모든 점의 집합입니다.

함수가 호출됩니다 조차 세트에서 다음 조건이 모두 충족되는 경우 점에 대해 대칭입니다. 이상한 조건이 충족되면. 그렇지 않으면 일반 함수 또는 짝수도 홀수도 아닌 .

함수가 호출됩니다 정기 간행물 세트에 숫자가 있는 경우( 기능 기간 ) 모두에 대해 다음 조건이 충족되도록 합니다. 가장 작은 숫자를 주요 기간이라고 합니다.

함수가 호출됩니다 단조 증가 (쇠약해지는 ) 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰(작은) 값에 해당하는 경우 집합에서 .

함수가 호출됩니다 제한된 집합에 다음 조건이 모두 충족되는 숫자가 있는 경우: . 그렇지 않으면 기능은 제한 없는 .

뒤집다 기능하다 , , 이러한 함수가 호출되며 이는 집합 및 각각에 대해 정의됩니다.

일치합니다. 함수의 역함수를 찾으려면 , 당신은 방정식을 풀어야합니다 비교적 . 기능의 경우 , 엄격하게 단조 인 경우 항상 역함수를 가지며 함수가 증가(감소)하면 역함수도 증가(감소)합니다.

로 표현되는 함수는 함수 정의의 도메인이 함수의 전체 값 집합을 포함하는 일부 함수이며 호출됩니다. 복잡한 기능 독립적인 주장. 변수를 중간 인수라고 합니다. 복합 함수는 함수 및 의 합성이라고도 하며 다음과 같이 작성됩니다.

기초 초등 기능은 다음과 같습니다. 힘 기능 , 데모 기능 ( , ), 대수 기능 ( , ), 삼각법 기능 , , , 역삼각법 기능 , , , . 초등학교 유한한 수의 산술 연산과 합성에 의해 기본 기본 함수에서 얻은 함수라고 합니다.

함수의 그래프가 주어지면 함수의 그래프 구성은 그래프의 일련의 변환(이동, 압축 또는 늘이기, 표시)으로 축소됩니다.

1) 2) 변환은 축을 중심으로 대칭적으로 그래프를 표시합니다. 3) 변환은 축을 따라 그래프를 단위(-오른쪽, -왼쪽)로 이동합니다. 4) 변환은 축을 따라 차트를 단위( - 위, - 아래)로 이동합니다. 5) 축을 따른 변환 그래프는 시간이 경과하면 늘어나거나 시간이 지나면 압축됩니다. 6) 축을 따라 그래프를 변환하면 인 경우 인수만큼 압축되거나 인 경우 인수만큼 늘어납니다.

함수 그래프를 그릴 때 변환 순서는 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있습니다.

메모. 변환을 수행할 때 축을 따라 이동하는 정도는 인수가 아니라 인수에 직접 추가되는 상수에 의해 결정된다는 점에 유의하십시오.

함수의 그래프는 에 정점이 있는 포물선이고 분기가 if 이면 위쪽 또는 아래쪽으로 향합니다. 선형 분수 함수의 그래프는 점을 중심으로 하는 쌍곡선이며, 점근선은 좌표축에 평행하고 중심을 통과합니다. , 조건을 만족합니다. 라고 불리는.

좌표 , 로 주어진 벡터 및 의 경우, 혼합 곱은 다음 공식으로 계산됩니다.

주제 5. 비행기에 선입니다.

법선 벡터 , 주어진 선에 수직인 0이 아닌 벡터가 호출됩니다. 방향 벡터 직선 , 주어진 선에 평행한 0이 아닌 벡터가 호출됩니다.

똑바로 표면에 좌표계에서 다음 유형 중 하나의 방정식으로 주어질 수 있습니다.

1) - 일반 방정식 직선, 여기서 직선의 법선 벡터는 어디입니까?

2) - 주어진 벡터에 수직인 점을 지나는 직선의 방정식;

3) - 주어진 벡터에 평행한 점을 지나는 직선의 방정식( 정준 방정식 );

4) - 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식, ;

점에서 선까지의 거리 , 평면에 대한 일반 방정식에 의해 주어진 공식은 다음과 같습니다.

모서리 , ( )직선 사이 일반 방정식 또는 기울기가 있는 방정식으로 주어지는 는 다음 공식 중 하나로 구합니다.

만약 또는 .

만약 또는

선의 교차점 좌표 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다. 또는 .

주제 10. 세트. 숫자 집합입니다. 기능.

통화 설정 부분집합 집합의 모든 요소가 집합에 속해 있으면 설정하고 를 씁니다.

설정 및 호출 동일한 , 동일한 요소로 구성되어 있는 경우 작성합니다. 2개 세트 and 는 and 인 경우에만 동일합니다.

통화 설정 만능인 (이 수학 이론의 틀 내에서) , 그 요소가 이 이론에서 고려되는 모든 대상인 경우.

협회

횡단 집합이며 집합이라고 합니다.

차이점 집합이며 집합이라고 합니다.

보충 집합(범용 집합까지)을 집합이라고 합니다.

유효한 (진짜) 숫자 "+" 또는 "" 기호를 사용하여 무한소수점이라고 합니다. 실수는 숫자 라인의 점으로 식별됩니다.

기준 치수 실수의 (절대값)은 음수가 아닌 숫자입니다.

세트라고 합니다 수치 요소가 실수인 경우. 숫자 간격으로 세트라고 한다

번호: , , , , , , , , .

함수가 호출됩니다 단조 증가 (쇠약해지는 ) 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰(작은) 값에 해당하는 경우 집합에서 .

함수가 호출됩니다 제한된 집합에 다음 조건이 모두 충족되는 숫자가 있는 경우: . 그렇지 않으면 기능은 제한 없는 .

뒤집다 기능하다 , 는 집합에 대해 정의되고 다음과 같이 각각에 할당되는 함수입니다. 함수의 역함수를 찾으려면 , 당신은 방정식을 풀어야합니다 비교적 . 기능의 경우 , 엄격하게 단조 인 경우 항상 역함수를 가지며 함수가 증가(감소)하면 역함수도 증가(감소)합니다.

함수의 그래프는 에 정점이 있는 포물선이고 분기가 if 이면 위쪽 또는 아래쪽으로 향합니다.

어떤 경우에는 함수의 그래프를 구성할 때 정의 영역을 교차하지 않는 여러 간격으로 나누고 각각에 대해 순차적으로 그래프를 작성하는 것이 좋습니다.

순서가 지정된 실수 집합을 호출합니다. 점 차원 산술 (동등 어구) 우주 및 표시 또는 , 숫자는 그것의 좌표 .

및 를 점의 일부 집합으로 하고 . 어떤 규칙에 따라 각 점에 하나의 잘 정의된 실수가 할당되면 변수의 수치 함수가 집합에 주어진다고 말하거나 또는 짧게 및 , 호출되는 동안 정의의 영역 , - 값의 집합 , - 인수 (독립 변수) 함수.

두 변수의 함수는 종종 세 변수의 함수로 표시됩니다. 함수의 정의 영역은 평면에 있는 특정 점 집합이고, 함수는 공간에 있는 특정 점 집합입니다.

주제 7. 숫자 시퀀스 및 시리즈. 시퀀스 제한. 기능과 연속성의 한계.

특정 규칙에 따라 각 자연수가 잘 정의된 하나의 실수와 관련되어 있으면 다음과 같이 말합니다. 숫자 시퀀스 . 간단히 표시하십시오. 번호가 호출됩니다 시퀀스의 공통 멤버 . 시퀀스는 자연 인수의 함수라고도 합니다. 시퀀스는 항상 무한한 수의 요소를 포함하며 그 중 일부는 동일할 수 있습니다.

번호가 호출됩니다 시퀀스 제한 , 그리고 모든 숫자에 대해 부등식이 만족되는 숫자가 있는 경우 작성합니다.

유한한 극한을 가지는 수열을 수렴 , 그렇지 않으면 - 다른 .

: 1) 쇠약해지는 , 만약에 ; 2) 증가 , 만약에 ; 3) 비감소 , 만약에 ; 4) 비증가 , 만약에 . 위의 모든 시퀀스를 호출합니다. 단조로운 .

시퀀스라고 합니다 제한된 , 다음 조건이 모두 충족되는 숫자가 있는 경우: . 그렇지 않으면 시퀀스는 제한 없는 .

모든 모노톤 경계 시퀀스에는 한계가 있습니다( 바이어슈트라스 정리).

시퀀스라고 합니다 극소 , 만약에 . 시퀀스라고 합니다 무한히 큰 (무한대로 수렴) if .

숫자 수열의 극한이라고 하며, 여기서

상수를 비피어 번호라고 합니다. 숫자의 기본 로그를 숫자의 자연 로그라고 하며 로 표시됩니다.

가 일련의 숫자인 형식의 표현을 이라고 합니다. 숫자 시리즈 표시되어 있습니다. 급수의 첫 번째 항의 합을 이라고 합니다. 일 부분 합계 열.

행이 호출됩니다. 수렴 유한한 한계가 있고 다른 한계가 존재하지 않는 경우. 번호가 호출됩니다 수렴 급수의 합 , 쓰는 동안.

급수가 수렴하면 (급수의 수렴에 필요한 기준 ) . 그 반대는 사실이 아닙니다.

이면 계열이 발산합니다( 계열의 발산에 대한 충분한 기준 ).

일반화 고조파 시리즈에서 수렴하고 에서 발산하는 급수라고 합니다.

기하학적 시리즈 에 수렴하는 급수를 호출하고 그 합은 와 같고 에서 발산합니다. 숫자나 기호를 찾습니다. (왼쪽 반 이웃, 오른쪽 반 이웃) 및

벡터의 곱을 고려하십시오. 그리고 , 다음과 같이 구성됩니다.
. 여기서 처음 두 벡터는 벡터 방식으로 곱해지고 그 결과는 세 번째 벡터로 곱해집니다. 이러한 곱을 벡터 스칼라 또는 세 벡터의 혼합 곱이라고 합니다. 혼재 상품은 일부입니다.

표현의 기하학적 의미를 알아보자
.

정리 . 세 벡터의 혼합 곱은 이러한 벡터에 구축된 평행육면체의 부피와 같으며, 이 벡터가 오른쪽 삼중을 형성하면 더하기 기호를 사용하고 왼쪽 삼중을 형성하면 빼기 기호를 사용합니다.

증거..모서리가 벡터인 평행 육면체를 구성합니다. , , 및 벡터
.

우리는 다음을 가지고 있습니다:
,
, 어디 - 벡터에 구축된 평행 사변형의 영역 그리고 ,
벡터의 오른쪽 트리플에 대해
왼쪽의 경우
평행육면체의 높이입니다. 우리는 다음을 얻습니다.
, 즉.
, 어디 - 벡터에 의해 형성된 평행육면체의 부피 , 그리고 .

혼합 제품 속성

1. 혼합 제품은 다음과 같은 경우 변경되지 않습니다. 주기적요인의 순열, 즉 .

실제로 이 경우 평행육면체의 부피나 모서리의 방향이 변경되지 않습니다.

2. 벡터와 스칼라 곱셈의 부호가 반대로 되어도 혼합곱은 변하지 않는다.
.

진짜,
그리고
. 벡터의 3배가 , , 그리고 , , - 하나의 방향.

따라서,
. 이를 통해 벡터의 혼합 곱을 작성할 수 있습니다.
~처럼
벡터의 부호가 없는 스칼라 곱셈.

3. 두 요인 벡터가 위치를 바꾸면 혼합 곱의 부호가 바뀝니다.
,
,
.

실제로, 그러한 순열은 벡터 곱의 요인 순열과 동일하며, 이는 곱의 부호를 변경합니다.

4. 0이 아닌 벡터의 혼합 곱 , 그리고 동일 평면에 있는 경우에만 0입니다.

2.12. 직교 기준으로 좌표 형태의 혼합 곱 계산

벡터를 보자
,
,
. 벡터 및 스칼라 곱에 대한 좌표의 표현식을 사용하여 혼합 곱을 찾아 보겠습니다.

. (10)

결과 수식은 더 짧게 작성할 수 있습니다.

등식(10)의 우변은 세 번째 행의 요소에 대한 세 번째 행렬식의 확장이기 때문입니다.

따라서 벡터의 혼합 곱은 곱한 벡터의 좌표로 구성된 3차 행렬식과 같습니다.

2.13 혼합 제품의 일부 응용

공간에서 벡터의 상대적 방향 결정

벡터의 상대 방향 결정 , 그리고 다음 고려 사항을 기반으로 합니다. 만약
, 그 다음에 , , - 오른쪽 세 만약에
, 그 다음에 , , - 3개 남았습니다.

벡터에 대한 비교 조건

벡터 , 그리고 혼합 곱이 0인 경우에만 동일 평면에 있습니다(
,
,
):

벡터 , , 동일 평면상의.

평행 육면체와 삼각형 피라미드의 부피 결정

벡터를 기반으로 하는 평행육면체의 부피를 나타내는 것은 쉽습니다. , 그리고 다음과 같이 계산됩니다.
, 그리고 동일한 벡터에 구축된 삼각형 피라미드의 부피는 다음과 같습니다.
.

실시예 1벡터임을 증명
,
,
동일 평면상의.

해결책.다음 공식을 사용하여 이러한 벡터의 혼합 곱을 구해 보겠습니다.

이것은 벡터가
동일 평면상의.

실시예 2정사면체의 꼭짓점이 주어지면: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). 꼭짓점에서 떨어진 높이의 길이 찾기 .

해결책.먼저 사면체의 부피를 구합시다.
. 공식에 따르면 다음을 얻습니다.

행렬식은 음수이므로 이 경우 수식 앞에 빼기 기호를 가져와야 합니다. 따라서,
.

원하는 값 시간공식에서 결정
, 어디 에스 - 기본 영역. 면적을 정하자 에스:

어디

왜냐하면

공식에 대입
가치
그리고
, 우리는 얻는다 시간= 3.

실시예 3벡터 형성
우주의 기초? 벡터 분해
벡터를 기반으로 합니다.

해결책.벡터가 공간의 기초를 형성하면 같은 평면에 있지 않습니다. 동일 평면에 있지 않습니다. 벡터의 혼합 곱 찾기
:
,

따라서 벡터는 동일 평면에 있지 않으며 공간에서 기초를 형성합니다. 벡터가 공간에서 기저를 형성하면 모든 벡터는 기저 벡터의 선형 조합으로 나타낼 수 있습니다.
,어디
벡터 좌표 벡터 기준으로
. 방정식 시스템을 컴파일하고 해결하여 이러한 좌표를 찾자

가우스법으로 풀면

여기에서
. 그 다음에 .

이런 식으로,
.

실시예 4피라미드의 꼭짓점은 다음과 같습니다.
,
,
,
. 계산하다:

가) 얼굴 영역
;

b) 피라미드의 부피
;

c) 벡터 투영
벡터 방향으로
;

d) 각도
;

e) 벡터가
,
,
동일 평면상의.

해결책

a) 외적의 정의에서 다음이 알려져 있습니다.

벡터 찾기
그리고
, 공식을 사용하여

,
.

투영으로 정의된 벡터의 경우 벡터 곱은 다음 공식으로 구합니다.

, 어디
.

우리의 경우

공식을 사용하여 결과 벡터의 길이를 찾습니다.

,
.

그리고
(제곱 단위).

b) 세 벡터의 혼합 곱은 벡터에 구축된 평행 육면체의 부피와 절대값이 같습니다. , , 갈비뼈처럼.

혼합 제품은 다음 공식으로 계산됩니다.

벡터를 구해보자
,
,
, 피라미드의 가장자리와 일치하여 상단으로 수렴 :

이 벡터의 혼합 곱

피라미드의 부피는 벡터 위에 만들어진 평행 육면체의 부피의 일부와 같기 때문에
,
,
, 그 다음에
(입방 단위).

c) 공식 사용
, 벡터의 스칼라 곱을 정의합니다. , , 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

어디
또는
;

또는
.

벡터의 투영을 찾으려면
벡터 방향으로
벡터의 좌표 찾기
,
, 다음 공식을 적용

우리는 얻는다

d) 각도를 찾으려면
벡터 정의
,
, 점에서 공통 원점을 갖는 :

그런 다음 스칼라 곱 공식에 따라

e) 세 벡터에 대해

,
,

동일 평면에 있으면 혼합 곱이 0과 같아야 하고 충분합니다.

우리의 경우에는
.

따라서 벡터는 동일 평면에 있습니다.

이 단원에서는 벡터를 사용하는 두 가지 연산을 더 살펴보겠습니다. 벡터의 외적그리고 벡터의 혼합 곱 (필요하신 분들을 위한 바로가기). 괜찮아, 가끔은 완전한 행복을 위해 벡터의 내적, 점점 더 필요합니다. 이것이 벡터 중독입니다. 우리가 분석 기하학의 정글에 들어서고 있다는 인상을 받을 수 있습니다. 이것은 사실이 아닙니다. 고등 수학의 이 섹션에서는 피노키오를 제외하고 일반적으로 장작이 거의 없습니다. 사실, 재료는 매우 일반적이고 간단합니다. 같은 것보다 거의 더 어렵습니다. 스칼라 곱, 심지어 더 적은 수의 일반적인 작업이 있을 것입니다. 많은 사람들이 보거나 이미 보았듯이 해석 기하학에서 가장 중요한 것은 계산을 실수하지 않는 것입니다. 주문처럼 반복하면 행복할 것입니다 =)

지평선의 번개처럼 멀리 어딘가에서 벡터가 반짝거린다면 상관없어 레슨부터 시작해 인형용 벡터벡터에 대한 기본 지식을 복원하거나 다시 획득합니다. 준비된 독자들이 선별적으로 정보를 접할 수 있도록 실무에서 흔히 볼 수 있는 가장 완벽한 예제 모음을 수집하려고 노력했습니다.

무엇이 당신을 행복하게 만들까요? 어렸을 때 나는 공을 두 개, 세 개까지 저글링할 수 있었습니다. 그것은 잘 작동했습니다. 이제 우리가 고려할 것이기 때문에 저글링 할 필요가 전혀 없습니다. 공간 벡터만, 그리고 두 개의 좌표가 있는 평면 벡터는 생략됩니다. 왜요? 이것이 이러한 동작이 탄생한 방식입니다. 벡터와 벡터의 혼합 곱이 정의되고 3차원 공간에서 작동합니다. 이미 더 쉽게!

이 연산에서 스칼라 곱과 같은 방법으로, 두 벡터. 불멸의 편지가 되게 하십시오.

액션 그 자체 표시된다음과 같은 방법으로: . 다른 옵션이 있지만 저는 이런 식으로 벡터의 외적을 대괄호 안에 십자형으로 지정하는 데 익숙합니다.

그리고 즉시 의문: 만약에 벡터의 내적두 벡터가 관련되어 있고 여기에서 두 벡터도 곱하면 차이점은 무엇입니까? 먼저 결과에서 분명한 차이점은 다음과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱의 결과는 NUMBER입니다.

벡터의 외적 결과는 VECTOR입니다.: 즉, 벡터를 곱하고 벡터를 다시 얻습니다. 폐쇄된 클럽. 실제로, 따라서 작업의 이름입니다. 다양한 교육 문헌에서 지정도 다를 수 있으므로 문자를 사용하겠습니다.

외적의 정의

먼저 사진과 함께 정의가 있을 것이고, 그 다음에는 코멘트가 있을 것입니다.

정의: 외적 비공선벡터, 이 순서로 찍은, 벡터라고 하며, 길이수치적으로 평행 사변형의 면적과 동일, 이러한 벡터를 기반으로 합니다. 벡터 벡터에 직교, 그리고 기초가 올바른 방향을 갖도록 지시됩니다.

우리는 뼈로 정의를 분석합니다. 흥미로운 것들이 많이 있습니다!

따라서 다음과 같은 중요한 사항을 강조할 수 있습니다.

1) 정의에 따라 빨간색 화살표로 표시된 소스 벡터 동일선상에 있지 않다. 나중에 공선 벡터의 경우를 고려하는 것이 적절할 것입니다.

2) 촬영된 벡터 엄격한 순서로: – "a"에 "be"를 곱합니다., "be"가 "a"가 아닙니다. 벡터 곱셈의 결과파란색으로 표시된 VECTOR입니다. 벡터를 역순으로 곱하면 길이가 같고 방향이 반대인 벡터(진홍색)를 얻습니다. 즉, 평등 .

3) 이제 벡터곱의 기하학적 의미를 알아봅시다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 파란색 벡터(따라서 진홍색 벡터)의 LENGTH는 벡터에 구축된 평행사변형의 AREA와 수치적으로 동일합니다. 그림에서 이 평행사변형은 검은색으로 음영 처리되어 있습니다.

메모 : 도면은 개략도이며, 물론 외적의 공칭 길이는 평행 사변형의 면적과 동일하지 않습니다.

기하학적 공식 중 하나를 기억합니다. 평행 사변형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인과 같습니다. 따라서 전술한 내용을 기반으로 벡터 곱의 LENGTH를 계산하는 공식이 유효합니다.

공식에서 우리는 벡터 자체가 아니라 벡터의 길이에 대해 이야기하고 있음을 강조합니다. 실용적인 의미는 무엇입니까? 그리고 그 의미는 해석 기하학의 문제에서 평행 사변형의 영역이 벡터 제품의 개념을 통해 종종 발견된다는 것입니다.

우리는 두 번째 중요한 공식을 얻습니다. 평행 사변형의 대각선(빨간색 점선)은 평행 사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 벡터(빨간색 음영)를 기반으로 하는 삼각형의 면적은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

4) 똑같이 중요한 사실은 벡터가 벡터와 직교한다는 것입니다. . 물론 반대 방향 벡터(진홍색 화살표)도 원본 벡터와 직교합니다.

5) 벡터는 다음과 같이 지시됩니다. 기초그것은 가지고있다 오른쪽정위. 에 대한 강의에서 새로운 기반으로의 전환에 대해 자세히 이야기했습니다 평면 방향, 그리고 이제 우리는 공간의 방향이 무엇인지 알아낼 것입니다. 손가락으로 설명해줄게 오른손. 정신적으로 결합 집게손가락벡터와 가운데 손가락벡터와 함께 . 약지와 새끼손가락손바닥에 누르십시오. 결과적으로 무지- 벡터 제품이 조회됩니다. 이것은 오른쪽 지향적인 기반입니다(그림 참조). 이제 벡터를 교환합니다( 검지와 중지) 어떤 곳에서는 결과적으로 엄지손가락이 돌아서 벡터 곱이 이미 아래를 내려다볼 것입니다. 이것은 또한 권리 지향적인 기초입니다. 아마도 당신은 질문이 있을 것입니다: 어떤 기초가 왼쪽 방향을 가지고 있습니까? 같은 손가락 "할당" 왼손벡터, 그리고 왼쪽 기저와 왼쪽 공간 방향을 얻습니다. (이 경우 엄지손가락은 아래쪽 벡터 방향에 위치합니다). 비유적으로 말해서, 이러한 베이스는 공간을 다른 방향으로 "비틀어" 놓거나 방향을 지정합니다. 그리고 이 개념은 터무니없거나 추상적인 것으로 간주되어서는 안 됩니다. 예를 들어, 가장 일반적인 거울은 공간의 방향을 변경하고 "거울에서 반사된 물체를 당기면" 일반적으로 불가능합니다. "원본"과 결합하십시오. 그건 그렇고, 세 손가락을 거울에 가져다 놓고 반사를 분석하십시오 ;-)

... 당신이 지금 알고 있는 것이 얼마나 좋은지 오른쪽과 왼쪽 지향오리엔테이션 변경에 대한 일부 강사의 진술이 끔찍하기 때문에 기반 =)

공선 벡터의 벡터 곱

정의는 자세히 이루어졌으며 벡터가 동일선상에 있을 때 어떤 일이 발생하는지 알아내는 것이 남아 있습니다. 벡터가 동일선상에 있으면 하나의 직선에 배치될 수 있으며 평행사변형도 하나의 직선으로 "접힘"됩니다. 수학자들이 말하는 것과 같은 영역은, 퇴화하다평행 사변형은 0입니다. 공식에서 동일하게 따릅니다. 0 또는 180도의 사인은 0과 같습니다. 이는 면적이 0임을 의미합니다.

따라서 이면 그리고 . 외적 자체는 0 벡터와 같지만 실제로는 종종 무시되고 0과 같다고 기록됩니다.

특별한 경우는 벡터와 자신의 벡터 곱입니다.

외적을 사용하여 3차원 벡터의 공선성을 확인할 수 있으며 이 문제도 분석할 것입니다.

실제 사례를 해결하려면 필요할 수 있습니다. 삼각 테이블그것에서 사인 값을 찾습니다.

자, 불을 피우자:

실시예 1

a) 다음과 같은 경우 벡터의 벡터 곱의 길이를 구합니다.

b) 다음과 같은 경우 벡터에 작성된 평행 사변형의 면적을 찾으십시오.

해결책: 아니오, 오타가 아닙니다. 의도적으로 조건 항목의 초기 데이터를 동일하게 만들었습니다. 솔루션의 디자인이 다르기 때문입니다!

a) 조건에 따라 찾아야 한다. 길이벡터(벡터 곱). 해당 공식에 따르면:

대답:

길이에 대해 질문을 받았으므로 대답에서 치수 - 단위를 나타냅니다.

b) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 정사각형벡터를 기반으로 하는 평행사변형 . 이 평행 사변형의 면적은 외적의 길이와 수치적으로 같습니다.

대답:

벡터 제품에 대한 답변에는 전혀 이야기가 없습니다. 그림 영역, 각각의 치수는 제곱 단위입니다.

우리는 항상 조건에 의해 발견되어야 하는 것이 무엇인지 살펴보고, 이를 기반으로 공식화합니다. 분명한대답. 문자주의처럼 보일 수 있지만 교사들 사이에 문자주의자들이 충분히 있고 좋은 기회가 있는 과제는 수정을 위해 반환됩니다. 이것은 특별히 긴장된 엉뚱한 선택은 아니지만 대답이 정확하지 않으면 그 사람이 간단한 것을 이해하지 못하거나 작업의 본질을 이해하지 못했다는 인상을 받습니다. 이 순간은 항상 통제 하에 있어야 하며, 고등 수학 및 다른 과목에서도 문제를 해결해야 합니다.

큰 글자 "en"은 어디로 갔습니까? 원칙적으로는 추가로 솔루션에 붙일 수도 있지만 기록을 단축하기 위해 하지 않았습니다. 모두가 이해해 주었으면 하는 바램과 같은 명칭입니다.

DIY 솔루션의 인기 있는 예:

실시예 2

벡터에 구축 된 삼각형의 면적을 찾으십시오.

벡터 곱을 통해 삼각형의 면적을 찾는 공식은 정의에 대한 주석에 나와 있습니다. 공과 끝에 솔루션과 답변이 있습니다.

실제로 작업은 매우 일반적이며 삼각형은 일반적으로 고문 될 수 있습니다.

다른 문제를 해결하려면 다음이 필요합니다.

벡터의 외적 속성

우리는 이미 벡터 곱의 일부 속성을 고려했지만 이 목록에 포함할 것입니다.

임의의 벡터와 임의의 숫자의 경우 다음 속성이 true입니다.

1) 다른 정보원에서는 이 항목이 일반적으로 속성상 구별되지 않으나 실용상 매우 중요하다. 그렇게 놔두세요.

2) - 속성은 위에서도 논의되었으며 때로는 다음과 같이 불립니다. 반가환성. 즉, 벡터의 순서가 중요합니다.

3) - 조합 또는 연관벡터 제품 법칙. 상수는 벡터 곱의 한계에서 쉽게 벗어날 수 있습니다. 정말, 그들은 거기에서 무엇을하고 있습니까?

4) - 배포 또는 분포벡터 제품 법칙. 브래킷을 여는 데에도 문제가 없습니다.

데모로 다음과 같은 짧은 예를 고려하십시오.

실시예 3

다음 경우 찾기

해결책:조건에 따라 벡터 곱의 길이를 다시 찾아야 합니다. 미니어처를 칠해 봅시다.

(1) 결합 법칙에 따라 벡터 곱의 한계를 넘어 상수를 꺼냅니다.

(2) 모듈에서 상수를 가져오는 동안 모듈은 빼기 기호를 "먹습니다". 길이는 음수일 수 없습니다.

(3) 다음 내용은 분명합니다.

대답:

나무를 불에 던질 시간입니다.

실시예 4

다음과 같은 경우 벡터를 기반으로 한 삼각형의 면적을 계산하십시오.

해결책: 공식을 이용하여 삼각형의 넓이 구하기 . 문제는 벡터 "ce"와 "te"가 벡터의 합으로 표현된다는 것입니다. 여기의 알고리즘은 표준이며 수업의 3번과 4번 예제를 연상시킵니다. 벡터의 내적. 명확성을 위해 세 단계로 나누겠습니다.

1) 첫 번째 단계에서 벡터곱을 통해 벡터곱을 표현하는데, 사실, 벡터를 벡터로 표현. 아직 길이에 대한 단어가 없습니다!

(1) 벡터의 표현을 대체합니다.

(2) 분배법칙을 이용하여 다항식의 곱셈 법칙에 따라 괄호를 연다.

(3) 결합법칙을 사용하여 벡터곱 너머의 모든 상수를 꺼냅니다. 경험이 거의 없으면 작업 2와 3을 동시에 수행할 수 있습니다.

(4) 첫 번째 항과 마지막 항은 유쾌한 속성으로 인해 0(제로 벡터)과 같습니다. 두 번째 항에서는 벡터 곱의 반가환성 속성을 사용합니다.

(5) 유사한 용어를 제시합니다.

결과적으로 벡터는 벡터를 통해 표현되는 것으로 밝혀졌으며 이는 달성해야 하는 것이었습니다.

2) 두 번째 단계에서 필요한 벡터 곱의 길이를 찾습니다. 이 작업은 예 3과 유사합니다.

3) 필요한 삼각형의 면적을 찾으십시오.

솔루션의 2-3단계를 한 줄로 정리할 수 있습니다.

대답:

고려된 문제는 테스트에서 매우 일반적입니다. 다음은 독립적인 솔루션의 예입니다.

실시예 5

다음 경우 찾기

수업이 끝날 때 짧은 솔루션과 답변. 이전 예제를 공부할 때 얼마나 주의를 기울였는지 살펴봅시다 ;-)

좌표 벡터의 외적

, 직교 기준으로 주어진 공식으로 표현된다:

공식은 정말 간단합니다. 행렬식의 맨 윗줄에 좌표 벡터를 쓰고 두 번째 줄과 세 번째 줄에 벡터 좌표를 "포장"하고 다음을 넣습니다. 엄격한 순서로- 첫째, 벡터 "ve"의 좌표, 그 다음 벡터 "double-ve"의 좌표. 벡터를 다른 순서로 곱해야 하는 경우 행도 바꿔야 합니다.

실시예 10

다음 공간 벡터가 동일선상에 있는지 확인하십시오.
ㅏ)
비)

해결책: 테스트는 이 단원의 진술 중 하나를 기반으로 합니다. 벡터가 동일선상에 있으면 외적은 0(영 벡터)입니다. .

a) 벡터 곱을 찾습니다.

따라서 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

b) 벡터 곱을 찾습니다.

대답: a) 동일선상에 있지 않음, b)

여기에 벡터의 벡터 곱에 대한 모든 기본 정보가 있습니다.

이 섹션은 벡터의 혼합 곱이 사용되는 문제가 거의 없기 때문에 그리 크지 않을 것입니다. 사실, 모든 것은 정의, 기하학적 의미 및 몇 가지 작업 공식에 달려 있습니다.

벡터의 혼합 곱은 세 벡터의 곱입니다.:

이렇게 기차처럼 줄을 서서 기다리며 계산될 때까지 기다릴 수 없다.

먼저 다시 정의와 그림:

정의: 혼합제품 동일 평면에 있지 않은벡터, 이 순서로 찍은, 라고 한다 평행육면체의 부피, 이러한 벡터를 기반으로 하며 기저가 오른쪽이면 "+" 기호가 있고 기저가 왼쪽이면 "-" 기호가 있습니다.

그림을 그려봅시다. 우리에게 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다.

정의를 살펴보겠습니다.

2) 촬영된 벡터 일정한 순서로, 즉, 추측할 수 있듯이 곱에서 벡터의 순열은 결과 없이 진행되지 않습니다.

3) 기하학적 의미에 대해 논평하기 전에 다음과 같은 명백한 사실에 주목하겠습니다. 벡터의 혼합 곱은 NUMBER입니다.: . 교육 문헌에서는 디자인이 다소 다를 수 있습니다. 나는 혼합 제품을 지정하는 데 사용하고 문자 "pe"로 계산 결과를 지정했습니다.

정의상 혼합 곱은 평행 육면체의 부피입니다., 벡터를 기반으로 합니다(그림은 빨간색 벡터와 검은색 선으로 그려짐). 즉, 숫자는 주어진 평행 육면체의 부피와 같습니다.

메모 : 도면은 개략도입니다.

4) 다시는 기초와 공간의 방향성이라는 개념으로 귀찮게 하지 말자. 마지막 부분의 의미는 볼륨에 마이너스 기호를 추가할 수 있다는 것입니다. 간단히 말해서 혼합 곱은 음수일 수 있습니다. .

벡터에 구축된 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식은 정의에서 직접 따릅니다.