Eventi
Evento. Evento elementare.
Spazio degli eventi elementari.
Evento affidabile. Evento impossibile.
Eventi identici.
Somma, prodotto, differenza di eventi.
Eventi opposti. Eventi incompatibili.
Eventi altrettanto possibili.
Sotto evento nella teoria della probabilità comprendiamo qualsiasi fatto che può o meno verificarsi come risultato dell'esperienzarisultato casuale. Il risultato più semplice di un simile esperimento (ad esempio, la comparsa di "testa" o "croce" quando si lancia una moneta, il colpo sul bersaglio quando si spara, la comparsa di un asso quando si rimuove una carta dal mazzo, la comparsa casuale di un numero quando si lancia un dadoecc.) viene chiamatoevento elementare .
L'insieme di tutte le elementari eventi E chiamato elementi spaziali eventi di confezionamento . Si Quando quando si lancia un dado, questo spazio è composto da seieventi elementari e quando si rimuove una carta dal mazzo - da 52. Un evento può consistere in uno o più eventi elementari, ad esempio la comparsa di due assi di seguito quando si rimuove una carta dal mazzo o la comparsa di stesso numero lanciando un dado tre volte. Quindi possiamo determinare evento come sottoinsieme arbitrario dello spazio degli eventi elementari.
Un evento affidabile è chiamato l'intero spazio degli eventi elementari. Pertanto, un determinato evento è un evento che deve necessariamente verificarsi come risultato di una determinata esperienza. Quando si lancia un dado, un evento del genere avviene quando cade su una delle facce.
Un evento impossibile () è detto sottoinsieme vuoto dello spazio degli eventi elementari. Cioè, un evento impossibile non può verificarsi come risultato di una determinata esperienza. Quindi, quando si lancia un dado, l'evento impossibile è che cada sul bordo.
Eventi UN E IN sono chiamatiidentico (UN= IN), se l'evento UNavviene se e solo se si verifica un eventoIN .
Dicono che l'evento UN comporta un evento IN ( UN IN), se dalla condizione"si è verificato l'evento A" Dovrebbe "si è verificato l'evento B".
Evento CON chiamato somma di eventi UN E IN (CON = UN IN), se l'evento CON si verifica se e solo se si verifica una delle due condizioni UN, O IN.
Evento CON chiamato un prodotto di eventi UN E IN (CON = UN IN), se l'evento CON accade se e solo se accadeUN, E IN.
Evento CON chiamato differenza di eventi UN E IN (CON = UN – IN), se l'evento CON succede allora Solo allora, quando succede evento UN e l'evento non si verifica IN.
Evento UN"chiamato opposto eventoUN, se l'evento non si è verificato UN. Quindi, un errore e un successo durante le riprese sono eventi opposti.
Eventi UN E IN sono chiamatiincompatibile (UN IN = ) , se la loro comparsa simultanea è impossibile. Ad esempio, ottenendo sia “croce” che"testa" quando si lancia una moneta.
Se durante un esperimento possono verificarsi più eventi e ciascuno di essi, secondo le condizioni oggettive, non è più possibile dell'altro, allora tali eventi vengono chiamatiugualmente possibile . Esempi di eventi ugualmente possibili: la comparsa di un due, un asso e un jack quando una carta viene rimossa dal mazzo, la presenza di qualsiasi numero da 1 a 6 quando si lancia un dado, ecc.
La somma di tutte le probabilità degli eventi nello spazio campionario è uguale a 1. Ad esempio, se l'esperimento prevede il lancio di una moneta con Evento A = testa ed Evento B = croce, allora A e B rappresentano l'intero spazio campionario. Significa, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Esempio. Nell'esempio proposto in precedenza per calcolare la probabilità di rimuovere una penna rossa dalla tasca di un abito (questo è l'evento A), che contiene due penne blu e una rossa, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, la probabilità dell'evento opposto evento - disegnare una penna blu - sarà
Prima di passare ai teoremi principali, introduciamo due concetti più complessi: la somma e il prodotto degli eventi. Questi concetti sono diversi dai soliti concetti di somma e prodotto in aritmetica. L'addizione e la moltiplicazione nella teoria della probabilità sono operazioni simboliche soggette a determinate regole e facilitano la costruzione logica di conclusioni scientifiche.
Quantità più eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di essi. Cioè, la somma di due eventi A e B è chiamata evento C, che consiste nel verificarsi dell'evento A, o dell'evento B, o degli eventi A e B insieme.
Ad esempio, se un passeggero sta aspettando alla fermata del tram per uno dei due percorsi, allora l'evento di cui ha bisogno è la comparsa di un tram sulla prima linea (evento A), o di un tram sulla seconda linea (evento B), oppure la presenza congiunta di tram sulla prima e sulla seconda linea (evento CON). Nel linguaggio della teoria della probabilità, ciò significa che l'evento D di cui il passeggero ha bisogno consiste nel verificarsi dell'evento A, oppure dell'evento B, oppure dell'evento C, che sarà simbolicamente scritto nella forma:
D=A+B+C
Il prodotto di due eventiUN E INè un evento costituito dal verificarsi congiunto di eventi UN E IN. Il prodotto di diversi eventi si chiama il verificarsi congiunto di tutti questi eventi.
Nell'esempio sopra con un passeggero, l'evento CON(comparsa congiunta di tram su due linee) è il prodotto di due eventi UN E IN, che simbolicamente viene scritto così:
Diciamo che due medici esaminano separatamente un paziente per identificare una malattia specifica. Durante le ispezioni possono verificarsi i seguenti eventi:
Scoperta delle malattie da parte del primo medico ( UN);
Mancata rilevazione della malattia da parte del primo medico ();
Rilevazione della malattia da parte di un secondo medico ( IN);
Mancata rilevazione della malattia da parte del secondo medico ().
Considera il caso in cui la malattia verrà rilevata durante gli esami esattamente una volta. Questo evento può essere realizzato in due modi:
La malattia verrà scoperta dal primo medico ( UN) e non rileverà il secondo ();
Le malattie non verranno rilevate dal primo medico () e verranno rilevate dal secondo ( B).
Indichiamo l'evento in esame con e scriviamolo simbolicamente:
Considerare il caso in cui la malattia venga rilevata durante gli esami due volte (sia dal primo che dal secondo medico). Denotiamo questo evento con e scriviamo: .
Indichiamo l'evento con il quale né il primo né il secondo medico scoprono la malattia e lo scriviamo: .
Teoremi fondamentali della teoria della probabilità
La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.
Scriviamo simbolicamente il teorema di addizione:
P(A+B) = P(A)+P(B),
Dove R- la probabilità dell'evento corrispondente (l'evento è indicato tra parentesi).
Esempio . Il paziente ha sanguinamento gastrico. Questo sintomo si registra in caso di erosione ulcerosa di un vaso (evento A), rottura di vene varicose dell'esofago (evento B), cancro allo stomaco (evento C), polipo gastrico (evento D), diatesi emorragica (evento F), ittero ostruttivo (evento E) e gastrite finale (eventoG).
Il medico, sulla base dell’analisi dei dati statistici, assegna ad ogni evento un valore di probabilità:
In totale, il medico ha avuto 80 pazienti con sanguinamento gastrico (N= 80), di cui 12 presentavano erosione ulcerosa del vaso (), A6 - rottura delle vene varicose dell'esofago (), 36 avevano un cancro allo stomaco () eccetera.
Per ordinare un esame, il medico vuole determinare la probabilità che il sanguinamento dello stomaco sia associato a una malattia dello stomaco (evento I):
La probabilità che il sanguinamento gastrico sia associato a una malattia dello stomaco è piuttosto alta e il medico può determinare le tattiche dell'esame sulla base del presupposto di una malattia dello stomaco, giustificata a livello quantitativo utilizzando la teoria della probabilità.
Se si considerano eventi congiunti, la probabilità della somma di due eventi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto.
Simbolicamente questo si scrive con la seguente formula:
Se immaginiamo che l'evento UN consiste nel colpire un bersaglio ombreggiato con strisce orizzontali durante il tiro e l'evento IN- nel colpire un bersaglio ombreggiato da strisce verticali, allora nel caso di eventi incompatibili, secondo il teorema dell'addizione, la probabilità della somma è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Se questi eventi sono congiunti, allora esiste una certa probabilità corrispondente al verificarsi congiunto degli eventi UN E IN. Se non correggi la franchigia P(AB), cioè. sulla probabilità del verificarsi congiunto di eventi, allora questa probabilità verrà presa in considerazione due volte, poiché l'area ombreggiata sia dalle linee orizzontali che da quelle verticali è parte integrante di entrambi i target e verrà presa in considerazione sia nel primo che nel secondo termine .
Nella fig. 1 viene data un'interpretazione geometrica che illustra chiaramente questa circostanza. Nella parte superiore della figura ci sono bersagli non sovrapposti, che sono un analogo di eventi incompatibili, nella parte inferiore - bersagli che si intersecano, che sono un analogo di eventi congiunti (con un colpo puoi colpire sia il bersaglio A che il bersaglio B subito).
Prima di passare al teorema della moltiplicazione è necessario considerare i concetti di eventi indipendenti e dipendenti e di probabilità condizionale e incondizionata.
Indipendente dall'evento B è un evento A la cui probabilità di accadimento non dipende dal verificarsi o meno dell'evento B.
Dipendente dall'evento B c'è un evento A la cui probabilità di accadimento dipende dal verificarsi o meno dell'evento B.
Esempio . Nell'urna ci sono 3 palline, 2 bianche e 1 nera. Quando si sceglie una pallina a caso, la probabilità di scegliere una pallina bianca (evento A) è uguale a: P(A) = 2/3 e una pallina nera (evento B) P(B) = 1/3. Abbiamo a che fare con un modello di caso e le probabilità degli eventi sono calcolate rigorosamente secondo la formula. Quando si ripete l'esperimento, le probabilità che si verifichino gli eventi A e B rimangono invariate se dopo ogni scelta la pallina viene rimessa nell'urna. In questo caso gli eventi A e B sono indipendenti. Se la pallina scelta nel primo esperimento non viene rimessa nell'urna, la probabilità dell'evento (A) nel secondo esperimento dipende dal verificarsi o meno dell'evento (B) nel primo esperimento. Quindi, se nel primo esperimento è comparso l'evento B (è stata scelta una pallina nera), allora il secondo esperimento viene eseguito se ci sono 2 palline bianche nell'urna e la probabilità che si verifichi l'evento A nel secondo esperimento è pari a: P (A) = 2/2 = 1.
Se l'evento B non si è verificato nel primo esperimento (è stata scelta una pallina bianca), il secondo esperimento viene eseguito se nell'urna sono presenti una pallina bianca e una nera e la probabilità che si verifichi l'evento A nel secondo esperimento è uguale a: P(A) = 1/2. Ovviamente, in questo caso, gli eventi A e B sono strettamente correlati e le probabilità del loro verificarsi sono dipendenti.
Probabilità condizionale l'evento A è la probabilità del suo verificarsi, a condizione che l'evento B si verifichi. La probabilità condizionata è simbolicamente indicata P(A/B).
Se la probabilità che si verifichi un evento UN non dipende dal verificarsi dell'evento IN, quindi la probabilità condizionata dell'evento UN uguale alla probabilità incondizionata:
Se la probabilità del verificarsi dell'evento A dipende dal verificarsi dell'evento B, allora la probabilità condizionata non potrà mai essere uguale alla probabilità incondizionata:
Identificare la dipendenza di vari eventi l'uno dall'altro è di grande importanza per risolvere problemi pratici. Ad esempio, un'ipotesi errata sull'indipendenza della comparsa di determinati sintomi durante la diagnosi di difetti cardiaci utilizzando un metodo probabilistico sviluppato presso l'Istituto di chirurgia cardiovascolare omonimo. A. N. Bakulev, ha causato circa il 50% delle diagnosi errate.
Definizione 1. Dicono che in alcuni si sperimenta un evento UN comporta dietro l'apparenza di un evento IN, se al verificarsi di un evento UN l'evento arriva IN. Notazione per questa definizione UN Ì IN. In termini di eventi elementari, ciò significa che ciascun evento elementare incluso in UN, è incluso anche in IN.
Definizione 2. Eventi UN E IN sono detti uguali o equivalenti (denotati UN= IN), Se UN Ì IN E INÌ A, cioè UN E IN sono costituiti dagli stessi eventi elementari.
Evento affidabileè rappresentato dall'insieme abbracciante Ω, e l'evento impossibile è rappresentato da un sottoinsieme vuoto Æ in esso. Incompatibilità degli eventi UN E IN significa che i sottoinsiemi corrispondenti UN E IN non si intersecano: UN∩IN = Æ.
Definizione 3. La somma di due eventi A E IN(indicato CON= UN + IN) è chiamato evento CON, consiste in arrivando almeno uno degli eventi UN O IN(la congiunzione “o” per importo è la parola chiave), ad es. arriva o UN, O IN, O UN E IN insieme.
Esempio. Lascia che due tiratori sparino allo stesso bersaglio contemporaneamente e l'evento UN consiste nel fatto che il 1° tiratore colpisce il bersaglio, e l'evento B- che il 2° tiratore colpisca il bersaglio. Evento UN+ B significa che il bersaglio è stato colpito, ovvero che almeno uno dei tiratori (1° tiratore o 2° tiratore, o entrambi i tiratori) ha centrato il bersaglio.
Allo stesso modo, la somma di un numero finito di eventi UN 1 , UN 2 , …, UN n (indicato UN= UN 1 + UN 2 + … + UN n) l'evento è chiamato UN, consiste in il verificarsi di almeno uno dagli eventi UN io( io = 1, … , N) o una raccolta arbitraria UN io( io = 1, 2, … , N).
Esempio. La somma degli eventi A, B, Cè un evento costituito dal verificarsi di uno dei seguenti eventi: UN, AVANTI CRISTO, UN E IN, UN E CON, IN E CON, UN E IN E CON, UN O IN, UN O CON, IN O CON,UN O IN O CON.
Definizione 4. Il prodotto di due eventi UN E IN chiamato evento CON(indicato CON = A∙B), consistente nel fatto che a seguito della prova si è verificato anche l'evento UN, ed evento IN contemporaneamente. (La congiunzione “e” per produrre eventi è la parola chiave).
Simile al prodotto di un numero finito di eventi UN 1 , UN 2 , …, UN n (indicato UN = UN 1 ∙UN 2 ∙…∙ UN n) l'evento è chiamato UN, consistente nel fatto che a seguito del test si sono verificati tutti gli eventi specificati.
Esempio. Se gli eventi UN, IN, CON c'è la comparsa di uno “stemma” rispettivamente nella prima, seconda e terza prova, quindi l'evento UN× IN× CON In tutti e tre i processi è presente la caduta dello “stemma”.
Nota 1. Per eventi incompatibili UN E IN l'uguaglianza è vera A∙B= Æ, dove Æ è un evento impossibile.
Nota 2. Eventi UN 1 , UN 2, … , UN n forma un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie se .
Definizione 5. Eventi opposti vengono chiamati due eventi incompatibili univocamente possibili che formano un gruppo completo. Evento opposto a evento UN, denotato da . Evento opposto a evento UN, è un'aggiunta all'evento UN all'insieme Ω.
Per eventi opposti, due condizioni sono soddisfatte contemporaneamente LA∙= Æ e A+= Ω.
Definizione 6. Per differenza eventi UN E IN(indicato UN– IN) è detto evento consistente nel fatto che l'evento UN arriverà, e l'evento IN - no ed è uguale UN– IN= UN× .
Tieni presente che gli eventi A + B, A ∙ B, , A-Bè conveniente interpretarlo graficamente utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn (Fig. 1.1).
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Riso. 1.1. Operazioni sugli eventi: negazione, somma, prodotto e differenza |
Formuliamo l'esempio in questo modo: facciamo esperienza G consiste nel sparare a caso nell'area Ω, i cui punti sono eventi elementari ω. Lasciamo che entrare nella regione Ω sia un evento affidabile Ω, e lasciamo che entri nella regione UN E IN– rispettivamente eventi UN E IN. Poi gli eventi A+B(O UNÈ IN- leggero zona nella figura), A∙B(O UNÇ IN - zona al centro), A-B(O UN\IN - sottoregioni leggere) corrisponderà alle quattro immagini in Fig. 1.1. Nelle condizioni dell'esempio precedente con due tiratori che sparano al bersaglio, il prodotto degli eventi UN E IN ci sarà un evento C = AÇ IN, consistente nel colpire il bersaglio con entrambe le frecce.
Osservazione 3. Se le operazioni sugli eventi sono rappresentate come operazioni sugli insiemi, e gli eventi sono rappresentati come sottoinsiemi di qualche insieme Ω, allora la somma degli eventi A+B corrisponde al sindacato UNÈ IN questi sottoinsiemi e il prodotto degli eventi A∙B- incrocio UN∩IN questi sottoinsiemi.
Pertanto, le operazioni sugli eventi possono essere associate alle operazioni sugli insiemi. Questa corrispondenza è mostrata nella tabella. 1.1
Tabella 1.1
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Designazioni |
Linguaggio della probabilità |
Linguaggio della teoria degli insiemi |
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Elemento spaziale. eventi |
Insieme universale |
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Evento elementare |
Elemento del set universale |
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Evento casuale |
Sottoinsieme di elementi ω da Ω |
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Evento affidabile |
L'insieme di tutti gli ω |
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Evento impossibile |
Set vuoto |
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UNÌ В |
UN comporta IN |
UN– sottoinsieme IN |
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A+B(UNÈ IN) |
Somma di eventi UN E IN |
Unione di insiemi UN E IN |
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UN×V(UNÇ IN) |
Produrre Eventi UN E IN |
Intersezione di molti UN E IN |
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A-B(UN\IN) |
Differenza di eventi |
Imposta la differenza |
Le azioni sugli eventi hanno le seguenti proprietà:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(commutativo);
(A+B) ∙ C = A× C+B× C, LA ∙ B + C =(A+C) × ( B+C) (distribuzione);
(A+B) + CON = UN + (B+C), (A∙B) ∙ CON= UN ∙ (B∙C) (associativo);
A + A = A, A ∙ A = A;
UN + Ω = Ω, UN∙ Ω = UN;
Le operazioni algebriche sugli eventi definiscono le regole per trattare gli eventi e consentono di esprimere un evento in termini di un altro. Le operazioni sugli eventi sono applicabili solo agli eventi che rappresentano sottoinsiemi dello stesso spazio degli eventi elementare.
Le azioni degli eventi possono essere visualizzate utilizzando i diagrammi di Venn. Nei diagrammi gli eventi corrispondono a varie aree del piano, denotando convenzionalmente sottoinsiemi di eventi elementari che compongono gli eventi. Così, nei diagrammi di Fig. 1.1, lo spazio degli eventi elementari corrisponde ai punti interni di un quadrato, l'evento A ai punti interni di un cerchio e l'evento B ai punti interni di un triangolo. Il fatto che gli eventi A e B siano sottoinsiemi dello spazio degli eventi elementari (A, B) è mostrato nei diagrammi di Fig. 1.1a,b.
La somma (unione) degli eventi A e B è l'evento C=A+B (o C=AB), che consiste nel fatto che almeno uno degli eventi A o B si verificherà. L'evento C è costituito da tutti gli eventi elementari appartenente ad almeno uno degli eventi A o B, o entrambi gli eventi. Nel diagramma (Fig. 1.2.), l'evento C corrisponde ad un'area ombreggiata C, che rappresenta l'unione delle aree A e B. Analogamente, la somma di più eventi A 1, A 2,..., A n è chiamata evento C, consistente nel fatto che si verificherà almeno uno degli eventi A i, i=:
La somma degli eventi unisce tutti gli eventi elementari che compongono A i, i=. Se gli eventi E 1, E 2,…, E n formano un gruppo completo, allora la loro somma è uguale ad un evento attendibile:
La somma degli eventi elementari equivale ad un evento attendibile
Il prodotto (intersezione) degli eventi A e B è l'evento C=AB (o C=AB), che consiste nel verificarsi congiunto degli eventi A e B. L'evento C è costituito da quegli eventi elementari che appartengono sia ad A che a B. Nella Fig. 1.3.a l'evento C è rappresentato dall'intersezione delle aree A e B. Se A e B sono eventi incompatibili, allora il loro prodotto è un evento impossibile, cioè AB = (Fig. 1.3.b).
Il prodotto degli eventi A 1, A 2,…, A n è un evento C, costituito dall'esecuzione simultanea di tutti gli eventi A i, i=:
I prodotti di eventi incompatibili a coppie A 1, A 2,…, A n sono eventi impossibili: A i A j =, per qualsiasi ij. I prodotti di eventi che compongono un gruppo completo sono eventi impossibili: E i E j =, ij, anche i prodotti di eventi elementari sono eventi impossibili: ij =, ij.
La differenza tra gli eventi A e B è chiamata evento C=A_B (C=AB), che consiste nel fatto che l'evento A si verifica e l'evento B non si verifica. L'evento C è costituito da quegli eventi elementari che appartengono ad A e non si verificano appartengono a B. Diagramma della differenza di eventi mostrato in Fig. 1.4. Il diagramma mostra che C=A_B=
L'evento opposto all'evento A (o al suo complemento) è un evento che consiste nel fatto che l'evento A non si è verificato. L'evento opposto completa l'evento A in un gruppo completo ed è costituito da quegli eventi elementari che appartengono allo spazio e non appartengono all'evento A (Fig. 1.5). Pertanto, la differenza tra un evento affidabile e l'evento A: =_A.
Proprietà delle operazioni sugli eventi.
Proprietà di spostamento: A+B=B+A, A·B=В·A.
Combinazione di proprietà: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).
Proprietà distributiva: A(B+C)=AB+AC.
Dalle definizioni delle operazioni sugli eventi seguono le proprietà
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; UN = UN; A·=
Dalla definizione dell'evento opposto segue che
A+=; A=; =A; =; =; ;
Dal diagramma di Fig. 1.4, le proprietà della differenza negli eventi congiunti sono evidenti:
Se A e B sono eventi incompatibili, allora
Anche le proprietà degli eventi congiunti sono ovvie
Per eventi opposti sono vere proprietà che a volte vengono chiamate regola di De Morgan o principio di dualità: le operazioni di unione e intersezione cambiano di posto quando si passa ad eventi opposti
La dimostrazione del principio di dualità può essere ottenuta graficamente utilizzando i diagrammi di Venn oppure analiticamente applicando le proprietà 1-6
Va notato che azioni simili alle azioni di “riduzione di termini simili” e di elevazione a potenza nell'algebra dei numeri sono inaccettabili quando si eseguono operazioni con eventi.
Ad esempio, quando si opera con gli eventi, le azioni corrette sono:
L'applicazione errata di azioni per analogia con quelle algebriche: (A+B)B=A+BB=A porta ad un risultato errato (verificare utilizzando i diagrammi di Venn!).
Esempio 1.11. Dimostrare identità
a) (A+C)(B+C)=AB+C;
b) AC_B=AC_BC
a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+ ) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC
Esempio 1.12. Il premio viene sorteggiato tra due finalisti del programma dello spettacolo. L'estrazione viene effettuata uno ad uno fino al primo tentativo riuscito, il numero di tentativi per ciascun partecipante è limitato a tre. Il primo finalista inizia per primo. Vengono considerati i seguenti eventi: A = (il primo finalista ha vinto il premio); B=(il secondo finalista ha vinto il premio). 1) Aggiungi questi eventi all'intero gruppo e componi un evento affidabile. 2) Comporre un gruppo completo di eventi elementari. 3) Esprimere gli eventi del primo gruppo completo attraverso quelli elementari. 4) Comporre altri gruppi completi di eventi e registrare attraverso di essi eventi attendibili.
1) Gli eventi A e B sono incompatibili; per completare il gruppo vengono integrati dall'evento incompatibile C = (nessuno ha vinto il premio). Un evento attendibile = (o vincerà il primo finalista, oppure il secondo, oppure non vincerà nessuno) è uguale a: =A+B+C.
2) Introduciamo eventi che descrivono l'esito di ogni tentativo per ciascun giocatore e non dipendono dalle condizioni della competizione: A i = (il primo finalista ha completato con successo l'i-esimo tentativo), B i = (il secondo finalista completato con successo l'i-esimo tentativo), . Questi eventi non tengono conto delle condizioni del concorso, e quindi non sono elementari rispetto al fatto di vincere un premio. Ma attraverso questi eventi, utilizzando operazioni sugli eventi, è possibile creare un gruppo completo di eventi elementari che tengono conto delle condizioni per vincere al primo tentativo andato a buon fine: 1 = (il primo finalista ha vinto il premio al primo tentativo), 2 = (il secondo finalista ha vinto il premio al primo tentativo), 3 =(il primo finalista ha vinto il premio al secondo tentativo), 4 =(il secondo finalista ha vinto il premio al secondo tentativo), 5 =(il primo finalista ha vinto il premio al secondo tentativo) premio al terzo tentativo), 6 =(il secondo finalista ha vinto il premio al terzo tentativo), 7 =(entrambi i finalisti non sono riusciti a vincere il premio dopo tre tentativi). Secondo i termini del concorso
1 =A 1, 2 =, 3 =, 4 =,
5 =, 6 = , 7 = .
Gruppo completo di eventi elementari: =( 1 ,…, 7 )
3) Gli eventi A e B si esprimono tramite eventi elementari utilizzando operazioni di somma, C coincide con l'evento elementare:
4) Costituiscono eventi anche gruppi completi di eventi
Eventi attendibili corrispondenti:
=(il primo finalista vincerà o meno il premio)=;
=(il secondo finalista vincerà o meno il premio)=;
=(o non vinceranno il premio oppure lo vinceranno)=.
Assumeremo che il risultato dell'esperienza reale (esperimento) possa essere uno o più risultati mutuamente esclusivi; questi risultati sono indecomponibili e si escludono a vicenda. In questo caso si dice che l'esperimento termina con uno e uno solo risultato elementare.
L'insieme di tutti gli eventi elementari che si verificano come risultato casuale esperimento, lo chiameremo spazio degli eventi elementari W (ad un evento elementare corrisponde un risultato elementare).
Eventi casuali(eventi), chiameremo W i sottoinsiemi dello spazio degli eventi elementari.
Esempio 1. Lanciamo la moneta una volta. La moneta può cadere con il numero in alto - l'evento elementare w c (o w 1), o con lo stemma - l'evento elementare w à (o w 2). Lo spazio corrispondente degli eventi elementari W è costituito da due eventi elementari:
W = (w c,w Ã) o W = (w 1,w 2).
Esempio 2. Lanciamo i dadi una volta. In questo esperimento, lo spazio degli eventi elementari W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), dove w io- abbandonare io punti. Evento UN- ottenere un numero pari di punti, UN= (w2,w4,w6), UN W.
Esempio 3. Un punto viene posizionato a caso (in modo casuale) su un segmento. Viene misurata la distanza del punto dall'estremità sinistra del segmento. In questo esperimento, lo spazio degli eventi elementari W = è l'insieme dei numeri reali su un segmento unitario.
Più precisamente, in termini formali, gli eventi elementari e lo spazio degli eventi elementari sono descritti come segue.
Lo spazio degli eventi elementari è un insieme arbitrario W, W =(w). Gli elementi w di questo insieme si chiamano W eventi elementari .
Concetti evento elementare, evento, spazio degli eventi elementari, sono i concetti originali della teoria della probabilità. È impossibile dare una descrizione più specifica dello spazio degli eventi elementari. Per descrivere ciascun modello reale, viene selezionato lo spazio corrispondente W.
Viene chiamato l'evento W affidabile evento.
Un evento attendibile non può non verificarsi come risultato di un esperimento; succede sempre.
Esempio 4. Lanciamo i dadi una volta. Un evento affidabile è che il numero di punti ottenuti non sia inferiore a uno e non superiore a sei, vale a dire W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), dove w io- abbandonare io punti, è un evento affidabile.
Un evento impossibile è un insieme vuoto.
Un evento impossibile non può verificarsi come risultato di un esperimento; non succede mai.
Un evento casuale può verificarsi o meno come risultato di un esperimento succede a volte.
Esempio 5. Lanciamo i dadi una volta. Ottenere più di sei punti è un evento impossibile.
Il contrario dell'evento UN chiamato evento consistente nel fatto che l'evento UN Non è successo. Denotato da , .
Esempio 6. Lanciamo i dadi una volta. Evento UN allora l'evento è il verificarsi di un numero dispari di punti. Qui W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), dove w io- abbandonare io occhiali, UN= (w2,w4,w6), = .
Gli eventi incompatibili sono chiamati eventi
UN E B, per cui A B = .Esempio 7. Lanciamo i dadi una volta. Evento UN- ottenere un numero pari di punti, evento B- il numero di punti persi è inferiore a due. Evento UN B consiste nel lanciare un numero pari di punti inferiore a due. Questo è impossibile, UN= (w2,w4,w6), B=(w1), UN B = , quelli. eventi UN E B- incompatibile.
Quantità eventi UN E Bè un evento costituito da tutti gli eventi elementari appartenenti a uno degli eventi UN O B. Designato A+ B.
Esempio 8. Lanciamo i dadi una volta. In questo esperimento, lo spazio degli eventi elementari W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), dove l'evento elementare w io- abbandonare io punti. UN Evento UN B B=(w5, w6).
Evento A+ B = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) è che è stato lanciato un numero pari di punti, oppure un numero di punti maggiore di quattro, cioè si è verificato un evento UN o evento B. E' ovvio A+ B W.
Il lavoro eventi UN E Bè un evento costituito da tutti gli eventi elementari che appartengono contemporaneamente agli eventi UN E B. Designato AB.
Esempio 9. Lanciamo i dadi una volta. In questa esperienza, lo spazio degli eventi elementari W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), dove l'evento elementare w io- abbandonare io punti. UN Evento UN= (w2,w4,w6), evento B- lanciando un numero di punti maggiore di quattro, B=(w5, w6).
Evento UN B consiste nel fatto che viene lanciato un numero pari di punti, maggiore di quattro, cioè entrambi gli eventi si sono verificati e l'evento UN ed evento B, A B = (w6) UN B W.
Per differenza eventi UN E Bè un evento costituito da tutti gli eventi elementari appartenenti a UN, ma non appartenente B. Designato A\B.
Esempio 10. Lanciamo i dadi una volta. Evento UN Evento UN= (w2,w4,w6), evento B- lanciando un numero di punti maggiore di quattro, B=(w5, w6). Evento UN\ B = (w 2 ,w 4 ) è che viene lanciato un numero pari di punti, non superiore a quattro, cioè si è verificato un evento UN e l'evento non si è verificato B, A\B W.
E' ovvio
A+A=A, AA=A, 
.
È facile dimostrare le uguaglianze:
, (A+B)C=AC+BC.
Le definizioni di somma e prodotto di eventi si applicano a infinite sequenze di eventi:
, un evento costituito da eventi elementari, ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno di;
, un evento costituito da eventi elementari, ciascuno dei quali appartiene contemporaneamente a tutti.
Sia W uno spazio arbitrario di eventi elementari, e - come questo un insieme di eventi casuali per i quali vale quanto segue: W , AB, A+B e A\B, se A e B.
Viene chiamata una funzione numerica P definita su un insieme di eventi probabilità, Se : (UN) 0 per qualsiasi UN da ; (W) = 1;
Chiamano la troika spazio di probabilità.