TRASCRIZIONE DEL TESTO DELLA LEZIONE:
Nella planimetria gli oggetti principali sono linee, segmenti, raggi e punti. I raggi provenienti da un punto formano una delle loro forme geometriche: un angolo.
Sappiamo che l'angolo lineare si misura in gradi e radianti.
Nella stereometria, un piano viene aggiunto agli oggetti. Una figura formata da una retta a e da due semipiani con confine comune a che non appartengono allo stesso piano in geometria si chiama angolo diedro. I semipiani sono le facce di un angolo diedro. La retta a è lo spigolo di un angolo diedro.
Un angolo diedro, come un angolo lineare, può essere nominato, misurato e costruito. Questo è ciò che dobbiamo scoprire in questa lezione.
Troviamo l'angolo diedro sul modello del tetraedro ABCD.
Un angolo diedro con spigolo AB si chiama CABD, a cui appartengono i punti C e D volti diversi l'angolo e lo spigolo AB si chiamano al centro
Intorno a noi ci sono molti oggetti con elementi sotto forma di un angolo diedro.
In molte città nei parchi vengono installate panchine speciali per la riconciliazione. La panca è realizzata sotto forma di due piani inclinati convergenti verso il centro.
Quando si costruiscono case, viene spesso utilizzato il cosiddetto tetto a due falde. In questa casa il tetto è realizzato sotto forma di un angolo diedro di 90 gradi.
Anche l'angolo diedro si misura in gradi o radianti, ma come misurarlo.
È interessante notare che i tetti delle case poggiano su travi. E il rivestimento della trave forma due pendenze del tetto con un dato angolo.
Trasferiamo l'immagine sul disegno. Nel disegno, per trovare un angolo diedro, si segna sul suo spigolo il punto B. Da questo punto si tracciano due raggi BA e BC perpendicolari allo spigolo dell'angolo. L'angolo ABC formato da questi raggi è chiamato angolo diedro lineare.
La misura in gradi di un angolo diedro è uguale alla misura in gradi del suo angolo lineare.
Misuriamo l'angolo AOB.
La misura in gradi di un dato angolo diedro è sessanta gradi.
Per un angolo diedro si possono tracciare infiniti angoli lineari; è importante sapere che sono tutti uguali;
Consideriamo due angoli lineari AOB e A1O1B1. I raggi OA e O1A1 giacciono sulla stessa faccia e sono perpendicolari alla retta OO1, quindi sono codirezionali. Anche i raggi OB e O1B1 sono co-diretti. Pertanto, l'angolo AOB è uguale all'angolo A1O1B1 come angoli con lati co-direzionali.
Quindi un angolo diedro è caratterizzato da un angolo lineare, e gli angoli lineari sono acuti, ottusi e retti. Consideriamo i modelli di angoli diedri.
Un angolo ottuso è se il suo angolo lineare è compreso tra 90 e 180 gradi.
Un angolo retto se il suo angolo lineare è di 90 gradi.
Un angolo acuto, se il suo angolo lineare è compreso tra 0 e 90 gradi.
Dimostriamo una delle proprietà importanti di un angolo lineare.
Il piano dell'angolo lineare è perpendicolare allo spigolo dell'angolo diedro.
Sia l'angolo AOB l'angolo lineare di un dato angolo diedro. Per costruzione i raggi AO e OB sono perpendicolari alla retta a.
Il piano AOB passa per due rette che si intersecano AO e OB secondo il teorema: Un piano passa per due rette che si intersecano, e solo una.
La linea a è perpendicolare a due linee che si intersecano giacenti in questo piano, il che significa, in base alla perpendicolarità della linea e del piano, che la linea retta a è perpendicolare al piano AOB.
Per risolvere i problemi è importante saper costruire un angolo lineare di un dato angolo diedro. Costruisci un angolo lineare di un angolo diedro con bordo AB per il tetraedro ABCD.
Stiamo parlando di un angolo diedro, formato innanzitutto dal bordo AB, da una faccia ABD e dalla seconda faccia ABC.
Ecco un modo per costruirlo.
Disegniamo una perpendicolare dal punto D al piano ABC Segna il punto M come base della perpendicolare. Ricordiamo che in un tetraedro la base della perpendicolare coincide con il centro del cerchio inscritto alla base del tetraedro.
Disegniamo una linea inclinata dal punto D perpendicolare allo spigolo AB, segniamo il punto N come base della linea inclinata.
Nel triangolo DMN il segmento NM sarà la proiezione del segmento obliquo DN aereo ABC. Secondo il teorema delle tre perpendicolari, il bordo AB sarà perpendicolare alla proiezione NM.
Ciò significa che i lati dell'angolo DNM sono perpendicolari allo spigolo AB, il che significa che l'angolo costruito DNM è l'angolo lineare desiderato.
Consideriamo un esempio di risoluzione del problema del calcolo di un angolo diedro.
Il triangolo isoscele ABC e il triangolo regolare ADB non giacciono sullo stesso piano. Il segmento CD è perpendicolare al piano ADB. Trova l'angolo diedro DABC se AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
L'angolo diedro del DABC è uguale al suo angolo lineare. Costruiamo questo angolo.
Disegniamo la CM inclinata perpendicolare allo spigolo AB, poiché il triangolo ACB è isoscele, allora il punto M coinciderà con il centro dello spigolo AB.
La retta CD è perpendicolare al piano ADB, cioè è perpendicolare alla retta DM giacente in questo piano. E il segmento MD è una proiezione della CM inclinata sul piano ADV.
La retta AB è per costruzione perpendicolare alla CM inclinata, cioè, per il teorema delle tre perpendicolari, è perpendicolare alla proiezione MD.
Quindi al bordo AB si trovano due perpendicolari CM e DM. Ciò significa che formano un angolo lineare CMD dell'angolo diedro DABC. E tutto quello che dobbiamo fare è trovarlo a partire dal triangolo rettangolo CDM.
Quindi il segmento SM è la mediana e l'altezza del triangolo isoscele ACB, quindi secondo il teorema di Pitagora il cateto SM è pari a 4 cm.
Dal triangolo rettangolo DMB, secondo il teorema di Pitagora, la gamba DM è uguale a due radici di tre.
Il coseno di un angolo di un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra il cateto adiacente MD e l'ipotenusa CM ed è uguale a tre radici di tre volte due. Ciò significa che l'angolo CMD è di 30 gradi.
Concetto di angolo diedro
Per introdurre il concetto di angolo diedro ricordiamo innanzitutto uno degli assiomi della stereometria.
Qualsiasi piano può essere diviso in due semipiani della linea $a$ giacente in questo piano. In questo caso i punti che si trovano nello stesso semipiano si trovano su un lato della retta $a$, mentre i punti che si trovano in semipiani diversi si trovano su lati opposti della retta $a$ (Fig. 1).
Immagine 1.
Su questo assioma si basa il principio della costruzione di un angolo diedro.
Definizione 1
La figura si chiama angolo diedro, se è costituito da una linea e da due semipiani di questa linea che non appartengono allo stesso piano.
In questo caso si chiamano semipiani dell'angolo diedro bordi, e la retta che separa i semipiani è bordo diedro(Fig. 1).
Figura 2. Angolo diedro
Misura in gradi dell'angolo diedro
Definizione 2
Scegliamo un punto arbitrario $A$ sul bordo. L'angolo formato da due rette giacenti in semipiani diversi, perpendicolari ad uno spigolo e che si intersecano nel punto $A$ si chiama angolo diedro lineare(Fig. 3).
Figura 3.
Ovviamente ogni angolo diedro ha un numero infinito di angoli lineari.
Teorema 1
Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.
Prova.
Consideriamo due angoli lineari $AOB$ e $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).
Figura 4.
Poiché i raggi $OA$ e $(OA)_1$ giacciono nello stesso semipiano $\alpha $ e sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono codirezionali. Poiché i raggi $OB$ e $(OB)_1$ giacciono nello stesso semipiano $\beta $ e sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono codirezionali. Quindi
\[\angolo AOB=\angolo A_1(OB)_1\]
A causa dell'arbitrarietà della scelta degli angoli lineari. Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.
Il teorema è stato dimostrato.
Definizione 3
La misura in gradi di un angolo diedro è la misura in gradi dell'angolo lineare di un angolo diedro.
Esempi di problemi
Esempio 1
Diamocene due no piani perpendicolari$\alpha $ e $\beta $ che si intersecano lungo la retta $m$. Il punto $A$ appartiene al piano $\beta$. $AB$ è perpendicolare alla linea $m$. $AC$ è perpendicolare al piano $\alpha $ (il punto $C$ appartiene a $\alpha $). Dimostrare che l'angolo $ABC$ è un angolo lineare di un angolo diedro.
Prova.
Disegniamo un'immagine in base alle condizioni del problema (Fig. 5).
Figura 5.
Per dimostrarlo ricordiamo il seguente teorema
Teorema 2: Una retta passante per la base di una inclinata è ad essa perpendicolare, perpendicolare alla sua proiezione.
Poiché $AC$ è perpendicolare al piano $\alpha $, il punto $C$ è la proiezione del punto $A$ sul piano $\alpha $. Pertanto $BC$ è una proiezione obliqua di $AB$. Per il Teorema 2, $BC$ è perpendicolare allo spigolo dell'angolo diedro.
Quindi, l'angolo $ABC$ soddisfa tutti i requisiti per definire un angolo diedro lineare.
Esempio 2
L'angolo diedro è $30^\circ$. Su una delle facce si trova il punto $A$, che si trova a una distanza di $4$ cm dall'altra faccia. Trova la distanza dal punto $A$ allo spigolo dell'angolo diedro.
Soluzione.
Diamo un'occhiata alla Figura 5.
Per condizione, abbiamo $AC=4\cm$.
Per definizione della misura in gradi di un angolo diedro, abbiamo che l'angolo $ABC$ è uguale a $30^\circ$.
Il triangolo $ABC$ è triangolo rettangolo. Per definizione di seno di un angolo acuto
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
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Didascalie delle diapositive:
ANGOLO DIEDRO Insegnante di matematica GOU scuola secondaria n. 10 Eremenko M.A.
Obiettivi principali della lezione: introdurre il concetto di angolo diedro e il suo angolo lineare. Considerare i compiti per l'applicazione di questi concetti.
Definizione: Angolo diedroè una figura formata da due semipiani con una linea di confine comune.
L'ampiezza di un angolo diedro è l'ampiezza del suo angolo lineare. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - angolo diedro lineare ACD B
Dimostriamo che tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro. Consideriamo due angoli lineari AOB e A 1 OB 1. I raggi OA e OA 1 giacciono sulla stessa faccia e sono perpendicolari a OO 1, quindi sono codirezionali. Anche i raggi OB e OB 1 sono co-diretti. Pertanto, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (come angoli con lati co-direzionali).
Esempi di angoli diedri:
Definizione: L'angolo tra due piani che si intersecano è il più piccolo degli angoli diedri formati da questi piani.
Compito 1: Nel cubo A ... D 1, trova l'angolo tra i piani ABC e CDD 1. Risposta: 90 o.
Problema 2: Nel cubo A... D 1, trova l'angolo tra i piani ABC e CDA 1. Risposta: 45 o.
Problema 3: Nel cubo A...D 1, trova l'angolo tra i piani ABC e BDD 1. Risposta: 90 o.
Problema 4: Nel cubo A ... D 1, trova l'angolo tra i piani ACC 1 e BDD 1. Risposta: 90 o.
Problema 5: Nel cubo A... D 1, trova l'angolo tra i piani BC 1 D e BA 1 D. Soluzione: Sia O il punto medio di B D. A 1 OC 1 – l'angolo lineare dell'angolo diedro A 1 B D C 1.
Problema 6: Nel tetraedro DABC tutti gli spigoli sono uguali, il punto M è il centro dello spigolo AC. Dimostrare che ∠ DMB è l'angolo lineare dell'angolo diedro BACD .
Soluzione: I triangoli ABC e ADC sono regolari, quindi BM ⊥ AC e DM ⊥ AC e quindi ∠ DMB è l'angolo lineare dell'angolo diedro DACB.
Problema 7: Dal vertice B del triangolo ABC, il cui lato AC giace nel piano α, si traccia una perpendicolare BB 1 a questo piano. Trova la distanza dal punto B alla retta AC e al piano α, se AB=2, ∠ВАС=150 0 e l'angolo diedro ВАСВ 1 è uguale a 45 0.
Soluzione: ABC è un triangolo ottuso con angolo ottuso A, quindi la base dell'altezza BC giace sul prolungamento del lato AC. VC – distanza dal punto B ad AC. BB 1 – distanza dal punto B al piano α
2) Poiché AC ⊥BK, allora AC⊥KB 1 (per il teorema, inverso del teorema circa tre perpendicolari). Pertanto, ∠VKV 1 è l'angolo lineare dell'angolo diedro BASV 1 e ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Argomento della lezione: "Angolo diedro".Lo scopo della lezione: introduzione del concetto di angolo diedro e del suo angolo lineare.
Compiti:
Educativo: considerare i compiti sull'applicazione di questi concetti, sviluppare l'abilità costruttiva di trovare l'angolo tra i piani;
Sviluppo: sviluppo pensiero creativo studenti, auto-sviluppo personale degli studenti, sviluppo del discorso degli studenti;
Educativo: coltivare una cultura del lavoro mentale, una cultura comunicativa, una cultura riflessiva.
Tipo di lezione: lezione per apprendere nuove conoscenze
Metodi di insegnamento: esplicativo e illustrativo
Attrezzatura: computer, lavagna interattiva.
Letteratura:
Geometria. Classi 10-11: libro di testo. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, ecc.] - 18a ed. – M.: Educazione, 2009. – 255 p.
Piano della lezione:
Organizzare il tempo(2 minuti)
Aggiornamento delle conoscenze (5 min)
Imparare nuovo materiale (12 min)
Rafforzamento del materiale appreso (21 min)
Compiti a casa (2 minuti)
Riassumendo (3 minuti)
Durante le lezioni:
1. Momento organizzativo.
Comprende l'insegnante che saluta la classe, prepara l'aula per la lezione e controlla gli assenti.
2. Aggiornamento delle conoscenze di base.
Insegnante: Nell'ultima lezione hai scritto lavoro indipendente. In generale, il lavoro è stato scritto bene. Ora ripetiamolo un po'. Come si chiama l'angolo in un piano?
Alunno: Un angolo su un piano è una figura formata da due raggi provenienti da un punto.
Insegnante: Come si chiama l'angolo tra le linee nello spazio?
Alunno: L'angolo tra due linee che si intersecano nello spazio è il più piccolo degli angoli formati dai raggi di queste linee con il vertice nel punto della loro intersezione.
Alunno: L'angolo tra le linee che si intersecano è l'angolo tra le linee che si intersecano, rispettivamente, parallele ai dati.
Insegnante: Come si chiama l'angolo formato da una retta e da un piano?
Alunno: L'angolo tra una linea retta e un pianoViene chiamato qualsiasi angolo compreso tra una linea retta e la sua proiezione su questo piano.
3. Studio di nuovo materiale.
Insegnante: Nella stereometria, insieme a tali angoli, viene considerato un altro tipo di angolo: gli angoli diedri. Probabilmente hai già intuito qual è l'argomento della lezione di oggi, quindi apri i tuoi quaderni, scrivi la data di oggi e l'argomento della lezione.
Scrivi alla lavagna e sui quaderni:
10.12.14.
Angolo diedro.
Insegnante : Per introdurre il concetto di angolo diedro, occorre ricordare che ogni retta tracciata su un dato piano divide questo piano in due semipiani(Fig. 1, a)
Insegnante : Immaginiamo di aver piegato il piano lungo una linea retta in modo che due semipiani delimitati non giacciano più sullo stesso piano (Fig. 1, b). La figura risultante è l'angolo diedro. Un angolo diedro è una figura formata da una retta e da due semipiani con confine comune che non appartengono allo stesso piano. I semipiani che formano un angolo diedro si chiamano facce. Un angolo diedro ha due lati, da qui il nome angolo diedro. La linea retta - confine comune dei semipiani - è chiamata spigolo dell'angolo diedro. Scrivi la definizione sul tuo quaderno.
Un angolo diedro è una figura formata da una retta e da due semipiani con confine comune che non appartengono allo stesso piano.
Insegnante : Nella vita di tutti i giorni incontriamo spesso oggetti che hanno la forma di un angolo diedro. Dare esempi.
Alunno : Cartella semiaperta.
Alunno : La parete della stanza è unita al pavimento.
Alunno : Tetti a due falde degli edifici.
Insegnante : Giusto. E ci sono moltissimi esempi del genere.
Insegnante : Come sai, gli angoli su un piano si misurano in gradi. Probabilmente hai una domanda: come vengono misurati gli angoli diedri? Questo viene fatto come segue.Segniamo un punto sul bordo dell'angolo diedro e disegniamo un raggio perpendicolare al bordo da questo punto su ciascuna faccia. L'angolo formato da questi raggi è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro. Fai un disegno sui tuoi quaderni.
Scrivi alla lavagna e sui quaderni.
DI ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ UN, SAB.D– angolo diedro,∠ AOB– angolo lineare dell'angolo diedro.
Insegnante : Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali. Realizza un altro disegno come questo.
Insegnante : Dimostriamolo. Consideriamo due angoli lineari AOB ePQR. Raggi OA eQPgiacciono sulla stessa faccia e sono perpendicolariOQ, il che significa che sono co-diretti. Allo stesso modo, i raggi OB eQRco-diretto. Significa,∠ AOB= ∠ PQR(come gli angoli con i lati allineati).
Insegnante : Bene, ora la risposta alla nostra domanda è come viene misurato l'angolo diedro.La misura in gradi di un angolo diedro è la misura in gradi del suo angolo lineare. Ridisegna le immagini di un angolo diedro acuto, retto e ottuso dal libro di testo a pagina 48.
4. Consolidamento del materiale studiato.
Insegnante : Realizza disegni per i compiti.
№ 1 . Dato: ΔABC, AC = BC, AB giace nel pianoα, CD ⊥ α, C∉ α. Costruisci l'angolo lineare dell'angolo diedroCABD.
Alunno : Soluzione:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - ricercato.
№ 2. Dato: ΔABC, ∠ C= 90°, BC giace sul pianoα, JSC⊥ α, UN∈ α.
Costruisci l'angolo lineare dell'angolo diedroABCO.
Alunno : Soluzione:AB ⊥ AVANTI CRISTO., JSC⊥ BC significa sistema operativo⊥ Sole.∠ ACO - ricercato.
№ 3 . Dato: ΔABC, ∠ C = 90°, AB giace nel pianoα, CD⊥ α, C∉ α. Costruireangolo diedro lineareDABC.
Alunno : Soluzione: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,Non so ⊥ AB significa∠ DKC - ricercato.
№ 4
. Dato:DABC-tetraedro,FARE⊥
ABC.Costruire l'angolo lineare dell'angolo diedroABCD.
Alunno : Soluzione:DM ⊥ sole,FARE ⊥ VS significa OM⊥ Sole;∠ OMD - ricercato.
5. Riassumendo.
Insegnante: Cosa hai imparato di nuovo in classe oggi?
Studenti : Quello che viene chiamato angolo diedro, angolo lineare, come si misura l'angolo diedro.
Insegnante : Cosa hanno ripetuto?
Studenti : Ciò che viene chiamato angolo su un piano; angolo tra rette.
6.Compiti a casa.
Scrivi alla lavagna e nei tuoi diari: paragrafo 22, n. 167, n. 170.