ԵՐԵՔ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԵՎ ՆՐԱ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԽԱՌՆ ԱՐՏԱԴՐԱՆՔ

խառը արտադրանքերեք վեկտոր կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է . Նշվում է . Այստեղ առաջին երկու վեկտորները բազմապատկվում են վեկտորորեն, իսկ հետո ստացված վեկտորը սկալյար կերպով բազմապատկվում է երրորդ վեկտորով: Ակնհայտ է, որ նման ապրանքը որոշակի թիվ է:

Դիտարկենք խառը արտադրանքի հատկությունները:

1. երկրաչափական իմաստխառը արտադրանք. 3 վեկտորի խառը արտադրյալը, մինչև նշանը, հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին, ինչպես եզրերի վրա, այսինքն. .

   Այսպիսով, և .

   

   Ապացույց. Եկեք հետաձգենք ընդհանուր ծագման վեկտորները և դրանց վրա կառուցենք զուգահեռականություն։ Նշենք և նշենք, որ. Սկալյար արտադրանքի սահմանմամբ

   Ենթադրելով դա և նշելով միջոցով հզուգահեռականի բարձրությունը, մենք գտնում ենք.

   Այսպիսով, ժամը

   Եթե ​​, ապա եւ . Հետևաբար, .

   Այս երկու դեպքերն էլ համադրելով՝ ստանում ենք կամ .

   Այս հատկության ապացույցից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե վեկտորների եռապատիկը ճիշտ է, ապա խառը արտադրյալը, իսկ եթե այն մնացել է, ապա .

2. Ցանկացած վեկտորների համար , հավասարությունը

   Այս հատկության ապացույցը բխում է սեփականությունից 1. Իրոք, հեշտ է ցույց տալ, որ և . Ընդ որում, «+» և «-» նշանները վերցվում են միաժամանակ, քանի որ վեկտորների և և և-ի միջև անկյունները երկուսն էլ սուր են կամ բութ:

3. Երբ ցանկացած երկու գործոն փոխվում է, խառը արտադրանքը փոխում է նշանը:

   Իսկապես, եթե հաշվի առնենք խառը արտադրանքը, ապա, օրինակ, կամ

4. Խառը արտադրյալ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից մեկը հավասար է զրոյի կամ վեկտորները համահարթակ են:

   Ապացույց.

   Այսպիսով, 3 վեկտորների համադրելիության անհրաժեշտ և բավարար պայման է նրանց խառը արտադրյալի հավասարությունը զրոյին։ Բացի այդ, սրանից հետևում է, որ երեք վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, եթե .

   Եթե ​​վեկտորները տրված են կոորդինատային ձևով, ապա կարելի է ցույց տալ, որ դրանց խառը արտադրյալը գտնվել է բանաձևով.

   .

   Այսպիսով, խառը արտադրյալը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչի, որի առաջին տողը պարունակում է առաջին վեկտորի կոորդինատները, երկրորդ տողը պարունակում է երկրորդ վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդ տողը պարունակում է երրորդ վեկտորի կոորդինատները։

   Օրինակներ.

ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ ՏԻԵԶԵՐՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ

Հավասարումը F (x, y, z)= 0-ը սահմանում է տարածության մեջ Օքսիզորոշ մակերես, այսինքն. կետերի վայր, որոնց կոորդինատները x, y, zբավարարել այս հավասարումը. Այս հավասարումը կոչվում է մակերեսային հավասարում և x, y, z- ընթացիկ կոորդինատները:

Այնուամենայնիվ, հաճախ մակերեսը սահմանվում է ոչ թե հավասարմամբ, այլ որպես տարածության կետերի մի շարք, որոնք ունեն այս կամ այն ​​հատկությունը: Այս դեպքում պահանջվում է գտնել մակերեսի հավասարումը` ելնելով նրա երկրաչափական հատկություններից:

ԻՆՔՆԱԹԻՌ.

ՆՈՐՄԱԼ ՊԼԱՆԻ ՎԵԿՏՈՐ.

ՏՐՎԱԾ ԿԵՏՈՎ ԱՆՑՆՈՂ ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Դիտարկենք կամայական σ հարթություն տարածության մեջ: Նրա դիրքը որոշվում է այս հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր և որոշ ֆիքսված կետ դնելով M0(x0, y 0, z0) ինքնաթիռում պառկած σ.

Ս հարթությանը ուղղահայաց վեկտորը կոչվում է նորմալայս հարթության վեկտորը: Թող վեկտորն ունենա կոորդինատներ:

Ստացվում է տվյալ կետով անցնող σ հարթության հավասարումը M0և ունենալով նորմալ վեկտոր: Դա անելու համար կամայական կետ վերցրեք σ հարթության վրա M(x, y, z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Ցանկացած կետի համար ՄÎ σ վեկտոր։Ուստի նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այս հավասարությունը պայմանն է, որ կետը ՄՕ ս. Այն գործում է այս հարթության բոլոր կետերի համար և խախտվում է հենց կետը Մկլինի ինքնաթիռից դուրս σ.

Եթե ​​շառավղով վեկտորով նշենք կետերը Մ, կետի շառավիղի վեկտորն է M0, ապա հավասարումը կարելի է գրել այսպես

Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորհարթության հավասարումը. Գրենք կոորդինատային տեսքով։ Այդ ժամանակվանից

Այսպիսով, մենք ստացել ենք տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը։ Այսպիսով, հարթության հավասարումը կազմելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նորմալ վեկտորի կոորդինատները և հարթության վրա ընկած ինչ-որ կետի կոորդինատները։

Նշենք, որ հարթության հավասարումը 1-ին աստիճանի հավասարում է ընթացիկ կոորդինատների նկատմամբ. x, yև զ.

Օրինակներ.

ԻՆՔՆԱԹԻՐԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Կարելի է ցույց տալ, որ առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում դեկարտյան կոորդինատների նկատմամբ x, y, zինչ-որ հարթության հավասարում է: Այս հավասարումը գրված է այսպես.

Axe+By+Cz+D=0

և կանչեց ընդհանուր հավասարումհարթությունը և կոորդինատները A, B, Cահա հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները.

Դիտարկենք ընդհանուր հավասարման առանձին դեպքեր: Եկեք պարզենք, թե ինչպես է հարթությունը գտնվում կոորդինատային համակարգի համեմատ, եթե հավասարման մեկ կամ մի քանի գործակիցներ անհետանում են:

A-ն առանցքի վրա հարթության կողմից կտրված հատվածի երկարությունն է Եզ. Նմանապես, կարելի է դա ցույց տալ բև գառանցքների վրա դիտարկված հարթությամբ կտրված հատվածների երկարություններն են Օյև Օզ.

Հարմար է հարթությունների կառուցման համար օգտագործել հարթության հավասարումը հատվածներում։

Այս դասում մենք կդիտարկենք վեկտորներով ևս երկու գործողություն. վեկտորների խաչաձև արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, բացի վեկտորների կետային արտադրյալ, ավելի ու ավելի է պետք։ Այդպիսին է վեկտորային կախվածությունը։ Կարելի է տպավորություն ստեղծվել, որ մենք մտնում ենք անալիտիկ երկրաչափության ջունգլիներում: Սա ճիշտ չէ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, վառելափայտը քիչ է, բացառությամբ, գուցե, բավարար Պինոկիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի դժվար, քան նույնը սկալյար արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կտեսնեն կամ արդեն տեսել են, ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐԸ ՉՍԽԱԼԵԼՆ Է: Կրկնեք հմայքի պես, և դուք երջանիկ կլինեք =)

Եթե ​​վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա նշանակություն չունի, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը, ես փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հանդիպում են գործնական աշխատանքում

Ի՞նչը ձեզ կուրախացնի։ Երբ ես փոքր էի, կարող էի ձեռնածություն անել երկու և նույնիսկ երեք գնդակով: Լավ ստացվեց։ Հիմա ամենևին էլ պետք չէ ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տիեզերական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում են և աշխատում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ!

Այս գործողության մեջ, ինչպես սկալյար արտադրյալում, երկու վեկտոր. Թող դա անթառամ տառեր լինի։

Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան նաև այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը նշանակել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:

Եվ անմիջապես հարցԵթե ​​ներս վեկտորների կետային արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա որն է տարբերությունը? Հստակ տարբերություն, առաջին հերթին, ԱՐԴՅՈՒՆՔՈՒՄ.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը ԹԻՎ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, այստեղից էլ վիրահատության անվանումը։ Տարբեր ուսումնական գրականության մեջ նշանակումները կարող են նաև տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ տառը:

Խաչի արտադրանքի սահմանում

Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։

Սահմանում՝ խաչաձև արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում.

Մենք վերլուծում ենք սահմանումը ոսկորներով, շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, մենք կարող ենք առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.

1) Աղբյուրի վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Համաձև վեկտորների դեպքը տեղին կլինի դիտարկել մի փոքր ավելի ուշ:

2) վերցված վեկտորներ խիստ կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, ոչ թե «լինել» «ա»-ին։ Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշվում է կապույտով: Եթե ​​վեկտորները բազմապատկվում են հակառակ հերթականությամբ, ապա ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (կարմիր գույն): Այսինքն՝ հավասարությունը .

3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է։ Կապույտ վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ (և, հետևաբար, բոսորագույն վեկտորը) թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին: Նկարում այս զուգահեռագիծը ստվերված է սևով:

Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, իհարկե, խաչաձև արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:

Մենք հիշում ենք երկրաչափական բանաձևերից մեկը. զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.

Շեշտում եմ, որ բանաձեւում խոսքը վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ մասին է, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այնպիսին է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրանքի հայեցակարգի միջոցով.

Մենք ստանում ենք երկրորդ կարևոր բանաձևը. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.

4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն. . Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (կարմիր սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորներին:

5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքԱյն ունի ճիշտկողմնորոշում. Մի դասի մասին անցում նոր հիմքիԵս մանրամասն խոսել եմ դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տարածության կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռք. Հոգեպես միավորել ցուցամատվեկտորով և միջնամատվեկտորով. Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք ձեր ափի մեջ: Որպես արդյունք բութ մատը- վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա վերև: Սա ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմքն է (նկարում է): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) տեղ-տեղ, արդյունքում բթամատը կշրջվի, իսկ վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի։ Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմք է։ Երևի ձեզ մոտ հարց է առաջանում՝ ի՞նչ հիմք ունի ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատները ձախ ձեռքվեկտորները և ստացեք ձախ հիմքը և ձախ տարածության կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում» կամ կողմնորոշում են տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի հեռուն կամ վերացական ինչ-որ բան. օրինակ, ամենասովորական հայելին փոխում է տարածության կողմնորոշումը, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս հանեք հայելու միջից», ապա ընդհանուր առմամբ հնարավոր չի լինի համադրել այն «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը մոտեցրեք հայելուն և վերլուծեք արտացոլումը ;-)

... որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)

Կոլայն վեկտորների վեկտորային արտադրյալը

Սահմանումը մանրամասն մշակված է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե ​​վեկտորները միաձույլ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ծալվել» մեկ ուղիղ գծի մեջ։ Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը զրո է: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։

Այսպիսով, եթե, ապա և . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խաչաձև արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրվում, որ այն նույնպես հավասար է զրոյի:

Հատուկ դեպք է վեկտորի և իր վեկտորի արտադրյալը.

Օգտագործելով խաչաձև արտադրյալը, դուք կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակողմանիությունը, և մենք, ի թիվս այլոց, կվերլուծենք նաև այս խնդիրը:

Գործնական օրինակներ լուծելու համար կարող է անհրաժեշտ լինել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:

Դե, եկեք կրակ վառենք.

Օրինակ 1

ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե

բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե

ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր նախնական տվյալները դարձրել եմ նույնը: Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։

ա) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել երկարությունըվեկտոր (վեկտորային արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխանել:

Քանի որ հարցվել է երկարության մասին, ապա պատասխանում նշում ենք չափը՝ միավորներ։

բ) Ըստ պայմանի՝ պահանջվում է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ. Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է խաչաձև արտադրյալի երկարությանը.

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վեկտորային արտադրյալի մասին պատասխանում ընդհանրապես խոսք չկա, մեզ հարցրել են գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է։

Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ է պահանջվում գտնել պայմանով, և դրա հիման վրա ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Կարող է տառացիություն թվալ, բայց ուսուցիչների մեջ բավականաչափ բառացիներ կան, և լավ շանսեր ունեցող առաջադրանքը կվերադարձվի վերանայման։ Թեև սա առանձնապես լարված հնարք չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում պարզ բաները և/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը: Այս պահը միշտ պետք է վերահսկողության տակ պահել՝ լուծելով ցանկացած խնդիր բարձրագույն մաթեմատիկայից, ինչպես նաև այլ առարկաներից։

Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն, դա կարող էր լրացուցիչ կառչել լուծմանը, բայց ռեկորդը կրճատելու համար ես չարեցի: Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է։

Ինքնուրույն լուծման հանրաճանաչ օրինակ.

Օրինակ 2

Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները հիմնականում կարող են խոշտանգվել:

Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի հատկությունները

Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:

Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս նյութը սովորաբար չի առանձնանում հատկություններով, բայց գործնական առումով շատ կարևոր է: Ուրեմն թող լինի։

2) - վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։

3) - համադրություն կամ ասոցիատիվվեկտորային արտադրանքի օրենքները. Հաստատունները հեշտությամբ դուրս են բերվում վեկտորի արտադրյալի սահմաններից։ Իսկապես, ի՞նչ են անում այնտեղ։

4) - բաշխում կամ բաշխումվեկտորային արտադրանքի օրենքները. Փակագծերի բացման հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։

Որպես ցուցադրություն, հաշվի առեք մի կարճ օրինակ.

Օրինակ 3

Գտեք, եթե

Լուծում:Ըստ պայմանի, կրկին պահանջվում է գտնել վեկտորի արտադրյալի երկարությունը։ Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Ասոցիատիվ օրենքների համաձայն՝ մենք հաստատունները հանում ենք վեկտորի արտադրյալի սահմաններից դուրս։

(2) Մենք մոդուլից հանում ենք հաստատունը, մինչդեռ մոդուլը «ուտում է» մինուս նշանը։ Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) Հետևյալը պարզ է.

Պատասխանել:

Ժամանակն է կրակի վրա փայտ նետելու.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով . Խնդիրն այն է, որ «ce» և «te» վեկտորներն իրենք ներկայացված են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները։ Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար եկեք բաժանենք այն երեք քայլի.

1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, փաստորեն. վեկտորն արտահայտել վեկտորի առումով. Երկարության մասին դեռ ոչինչ չկա:

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Բաշխիչ օրենքների օգնությամբ բացում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։

(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքները, մենք հանում ենք բոլոր հաստատունները վեկտորային արտադրյալներից դուրս: Փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ գործողությունները կարող են կատարվել միաժամանակ:

(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ հաճելի հատկության: Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտացիոն հատկությունը.

(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, որն այն էր, ինչ պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին.

3) Գտեք պահանջվող եռանկյունու մակերեսը.

Լուծման 2-3 քայլերը կարելի է դասավորել մեկ տողում:

Պատասխանել:

Դիտարկված խնդիրը բավականին տարածված է թեստերում, ահա անկախ լուծման օրինակ.

Օրինակ 5

Գտեք, եթե

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում

տրված օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտվում է բանաձևով:

Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «փաթեթավորում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում ենք. խիստ կարգով- նախ՝ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «կրկնակի-վե» վեկտորի կոորդինատները։ Եթե ​​վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը նույնպես պետք է փոխանակվեն.

Օրինակ 10

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
ա)
բ)

ԼուծումԹեստը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց խաչաձև արտադրյալը զրո է (զրոյական վեկտոր). .

ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:

բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)

Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Փաստորեն, ամեն ինչ կախված կլինի սահմանման, երկրաչափական իմաստի և մի երկու աշխատանքային բանաձևերի վրա։

Վեկտորների խառը արտադրյալը երեք վեկտորի արտադրյալն է:

Ահա թե ինչպես են գնացքի պես շարվել ու սպասում, չեն կարող սպասել, մինչև հաշվարկվեն։

Նախ կրկին սահմանումը և պատկերը.

ՍահմանումԽառը արտադրանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է զուգահեռականի ծավալը, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «-» նշանով, եթե հիմքը մնացել է։

Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծվում են կետագծով.

Եկեք խորանանք սահմանման մեջ.

2) վերցված վեկտորներ որոշակի հերթականությամբ, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների փոխարկումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի անցնում։

3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նշեմ ակնհայտ փաստը. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ դիզայնը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես օգտագործում էի խառը արտադրանքը նշանակում, իսկ հաշվարկների արդյունքը «պե» տառով:

Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տվյալ զուգահեռականի ծավալին։

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգով։ Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ ասած, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից:

Անկյուն վեկտորների միջև

Որպեսզի մենք ներկայացնենք երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալ հասկացությունը, մենք նախ պետք է զբաղվենք այնպիսի հասկացությամբ, ինչպիսին է այս վեկտորների միջև անկյունը:

Եկեք մեզ տրվի երկու վեկտոր $\overline(α)$ և $\overline(β)$: Եկեք վերցնենք $O$-ի ինչ-որ կետ տիեզերքում և մի կողմ դնենք $\overline(α)=\overline(OA)$ և $\overline(β)=\overline(OB)$ վեկտորները, այնուհետև $AOB անկյունը: $-ը կկոչվի անկյուն այս վեկտորների միջև (նկ. 1):

Նշում. $∠(\overline(α),\overline(β))$

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալի հայեցակարգը և գտնելու բանաձևը

Սահմանում 1

Երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր է, և դրա երկարությունը հավասար կլինի այս վեկտորների երկարությունների արտադրյալին այս վեկտորների միջև անկյան սինուսի հետ, և այս վեկտորը երկու սկզբնականով ունի նույնը. կողմնորոշումը որպես դեկարտյան կոորդինատային համակարգ:

Նշում. $\overline(α)х\overline(β)$:

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(a)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(a),\overline(β))$ and $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ են նույն կողմնորոշումը (նկ. 2)

Ակնհայտ է, որ վեկտորների արտաքին արտադրյալը երկու դեպքում հավասար կլինի զրոյական վեկտորի.

1. Եթե ​​մեկ կամ երկու վեկտորների երկարությունը զրո է:
2. Եթե ​​այս վեկտորների միջև անկյունը հավասար է $180^\circ$ կամ $0^\circ$ (քանի որ այս դեպքում սինուսը հավասար է զրոյի):

Հստակ տեսնելու համար, թե ինչպես է հայտնաբերվել վեկտորների խաչաձև արտադրյալը, հաշվի առեք լուծման հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 1

Գտե՛ք $\overline(δ)$ վեկտորի երկարությունը, որը կլինի վեկտորների խաչաձև արտադրյալի արդյունք՝ $\overline(α)=(0,4,0)$ և $\overline(β) կոորդինատներով։ =(3,0,0 )$.

Լուծում.

Եկեք պատկերենք այս վեկտորները դեկարտյան կոորդինատային տարածության մեջ (նկ. 3).

Նկար 3. Վեկտորները դեկարտյան կոորդինատային տարածության մեջ: Հեղինակ24 - ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում

Մենք տեսնում ենք, որ այս վեկտորները համապատասխանաբար գտնվում են $Ox$ և $Oy$ առանցքների վրա: Հետեւաբար, նրանց միջեւ անկյունը հավասար կլինի $90^\circ$-ի։ Գտնենք այս վեկտորների երկարությունները.

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Այնուհետև, ըստ սահմանման 1-ի, մենք ստանում ենք $|\overline(δ)|$ մոդուլը

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Պատասխան՝ $12$։

Խաչաձև արտադրյալի հաշվարկը վեկտորների կոորդինատներով

Սահմանում 1-ն անմիջապես ենթադրում է երկու վեկտորի խաչաձև արտադրյալը գտնելու միջոց: Քանի որ վեկտորը, բացի արժեքից, ունի նաև ուղղություն, այն հնարավոր չէ գտնել միայն սկալյար արժեքի միջոցով: Բայց բացի դրանից, կոորդինատների միջոցով մեզ տրված վեկտորները գտնելու ևս մեկ միջոց կա։

Մեզ տրվեն $\overline(α)$ և $\overline(β)$ վեկտորները, որոնք համապատասխանաբար կունենան $(α_1,α_2,α_3)$ և $(β_1,β_2,β_3)$ կոորդինատներ։ Այնուհետև խաչաձև արտադրյալի վեկտորը (մասնավորապես՝ դրա կոորդինատները) կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\վերջ (vmatrix)$

Հակառակ դեպքում, ընդլայնելով որոշիչը, ստանում ենք հետևյալ կոորդինատները

$\ overline(α)х\ overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Օրինակ 2

Գտեք $\overline(α)$ և $\overline(β)$ համագիծ վեկտորների խաչաձև արտադրյալի վեկտորը $(0,3,3)$ և $(-1,2,6)$ կոորդինատներով:

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք վերը նշված բանաձևը. Ստացեք

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Պատասխան՝ $(12,-3,3)$:

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի հատկությունները

կամայական խառը երեք վեկտորների համար՝ $\overline(α)$, $\overline(β)$ և $\overline(γ)$, ինչպես նաև $r∈R$, պահպանվում են հետևյալ հատկությունները.

Օրինակ 3

Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը, որի գագաթներն ունեն կոորդինատներ $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ և $(3,8,0) $.

Լուծում.

Նախ գծեք այս զուգահեռագիծը կոորդինատային տարածության մեջ (նկ. 5):

Նկար 5. Զուգահեռագիծ կոորդինատային տարածության մեջ: Հեղինակ24 - ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում

Մենք տեսնում ենք, որ այս զուգահեռագծի երկու կողմերը կառուցված են համագիծ վեկտորների միջոցով՝ $\overline(α)=(3,0,0)$ և $\overline(β)=(0,8,0)$ կոորդինատներով: Օգտագործելով չորրորդ հատկությունը՝ մենք ստանում ենք.

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Գտեք $\overline(α)х\overline(β)$ վեկտորը:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Հետեւաբար

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Սահմանում. Վեկտորի a (բազմապատկիչ) վեկտորի արտադրյալը վեկտորի (բազմապատկիչի) կողմից, որը համակողմանի չէ դրան, երրորդ վեկտոր c (արտադրյալն է), որը կառուցված է հետևյալ կերպ.

1) դրա մոդուլը թվայինորեն հավասար է նկ. 155), որը կառուցված է վեկտորների վրա, այսինքն՝ հավասար է նշված զուգահեռագծի հարթությանը ուղղահայաց ուղղությանը.

3) այս դեպքում c վեկտորի ուղղությունը ընտրվում է (երկու հնարավորից), որպեսզի c վեկտորները կազմեն աջակողմյան համակարգ (§ 110):

Նշանակում՝ կամ

Սահմանման լրացում. Եթե ​​վեկտորները համագիծ են, ապա պատկերը դիտարկելով որպես (պայմանականորեն) զուգահեռագիծ, բնական է զրոյական տարածք վերագրելը: Հետևաբար, համագիծ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը համարվում է հավասար զրոյական վեկտորին։

Քանի որ զրոյական վեկտորին կարող է վերագրվել ցանկացած ուղղություն, այս կոնվենցիան չի հակասում սահմանման 2-րդ և 3-րդ կետերին:

Դիտողություն 1. «Վեկտորային արտադրյալ» տերմինում առաջին բառը ցույց է տալիս, որ գործողության արդյունքը վեկտոր է (ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի, տե՛ս § 104, դիտողություն 1):

Օրինակ 1. Գտե՛ք վեկտորային արտադրյալը, որտեղ աջ կոորդինատային համակարգի հիմնական վեկտորները (նկ. 156):

1. Քանի որ հիմնական վեկտորների երկարությունները հավասար են սանդղակի միավորին, զուգահեռագծի (քառակուսու) մակերեսը թվայինորեն հավասար է մեկի: Այսպիսով, վեկտորի արտադրյալի մոդուլը հավասար է մեկի:

2. Քանի որ հարթությանը ուղղահայացը առանցքն է, ցանկալի վեկտորային արտադրյալը վեկտոր է, որը համագիծ է k վեկտորին; և քանի որ երկուսն էլ ունեն մոդուլ 1, անհրաժեշտ խաչաձև արտադրյալը կա՛մ k է, կա՛մ -k:

3. Այս երկու հնարավոր վեկտորներից պետք է ընտրել առաջինը, քանի որ k վեկտորները կազմում են աջ համակարգ (իսկ վեկտորները՝ ձախ)։

Օրինակ 2. Գտե՛ք խաչաձև արտադրյալը

Լուծում. Ինչպես օրինակ 1-ում, մենք եզրակացնում ենք, որ վեկտորը կա՛մ k է, կա՛մ -k: Բայց հիմա մենք պետք է ընտրենք -k, քանի որ վեկտորները կազմում են ճիշտ համակարգը (իսկ վեկտորները կազմում են ձախը): Այսպիսով,

Օրինակ 3 Վեկտորներն ունեն համապատասխանաբար 80 և 50 սմ երկարություն և կազմում են 30° անկյուն: Ընդունելով մետրը որպես երկարության միավոր՝ գտե՛ք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը a

Լուծում. Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է ցանկալի վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է

Օրինակ 4. Գտե՛ք նույն վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի երկարությունը՝ որպես երկարության միավոր վերցնելով սանտիմետրը:

Լուծում. Քանի որ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորի արտադրյալի երկարությանը, 2000 սմ է, այսինքն.

3 և 4 օրինակների համեմատությունը ցույց է տալիս, որ վեկտորի երկարությունը կախված է ոչ միայն գործոնների երկարությունից, այլև երկարության միավորի ընտրությունից։

Վեկտորային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը:Վեկտորային արտադրյալով ներկայացված բազմաթիվ ֆիզիկական մեծություններից մենք կդիտարկենք միայն ուժի պահը:

Թող A լինի ուժի կիրառման կետը: O կետի նկատմամբ ուժի պահը կոչվում է վեկտորային արտադրյալ: Քանի որ այս վեկտորային արտադրյալի մոդուլը թվայինորեն հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին (Նկար 157), պահի մոդուլը հավասար է բազայի արտադրյալին բարձրությամբ, այսինքն՝ ուժը բազմապատկված է O կետից դեպի ուղիղ գիծ հեռավորության վրա, որի երկայնքով գործում է ուժը։

Մեխանիկայի մեջ ապացուցված է, որ կոշտ մարմնի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ է, որ ոչ միայն մարմնի վրա կիրառվող ուժերը ներկայացնող վեկտորների գումարը, այլև ուժերի մոմենտների գումարը հավասար լինի զրոյի։ Այն դեպքում, երբ բոլոր ուժերը զուգահեռ են նույն հարթությանը, մոմենտները ներկայացնող վեկտորների գումարումը կարող է փոխարինվել դրանց մոդուլների գումարմամբ և հանելով։ Բայց ուժերի կամայական ուղղությունների համար նման փոխարինումն անհնար է։ Ըստ այդմ՝ խաչաձև արտադրյալը սահմանվում է հենց որպես վեկտոր, այլ ոչ թե որպես թիվ։

Dot արտադրանքի հատկությունները

Վեկտորների կետային արտադրյալ, սահմանում, հատկություններ

Գծային գործողություններ վեկտորների վրա.

Վեկտորներ, հիմնական հասկացություններ, սահմանումներ, գծային գործողություններ դրանց վրա

Հարթության վրա վեկտորը նրա կետերի դասավորված զույգն է, մինչդեռ առաջին կետը կոչվում է վեկտորի սկիզբ, իսկ երկրորդը՝ վերջ՝ վեկտորի։

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք հավասար են և միակողմանի:

Վեկտորները, որոնք գտնվում են նույն գծի վրա, կոչվում են համուղղորդված, եթե դրանք ուղղորդված են միևնույն վեկտորի հետ, որը չի գտնվում այս գծի վրա:

Վեկտորները, որոնք գտնվում են միևնույն գծի կամ զուգահեռ գծերի վրա, կոչվում են համագիծ, իսկ համագիծը, բայց ոչ միակողմանի, կոչվում են հակառակ ուղղորդված:

Ուղղահայաց գծերի վրա ընկած վեկտորները կոչվում են ուղղանկյուն:

Սահմանում 5.4. գումար ա+բ վեկտորներ ա և բ կոչվում է վեկտորի սկզբից եկող վեկտոր ա մինչև վեկտորի վերջը բ , եթե վեկտորի սկիզբը բ համընկնում է վեկտորի վերջի հետ ա .

Սահմանում 5.5. տարբերությունը ա - բ վեկտորներ ա և բ այդպիսի վեկտորը կոչվում է Հետ , որը վեկտորի հետ միասին բ տալիս է վեկտոր ա .

Սահմանում 5.6. աշխատանքկ ա վեկտոր ա մեկ թվով կկոչվում է վեկտոր բ , համագիծ վեկտոր ա , որն ունի մոդուլ հավասար | կ||ա |, և ուղղությունը, որը նույնն է, ինչ ուղղությունը ա ժամը կ>0 և հակառակը ա ժամը կ<0.

Վեկտորի թվով բազմապատկելու հատկությունները.

Գույք 1. k(ա+բ ) = կ ա+ k բ.

Գույք 2. (k+m)ա = k ա+ մ ա.

Գույք 3. k(մ ա) = (կմ)ա .

Հետևանք. Եթե ​​ոչ զրոյական վեկտորներ ա և բ համագիծ են, ապա կա թիվ կ, ինչ b= կ ա.

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը աև բկոչվում է թիվ (սկալար), որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև φ անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ Սկալյար արտադրյալը կարող է արտահայտվել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ ինչպես աբ, ա · բ, (ա , բ), (ա · բ) Այսպիսով, կետային արտադրանքը հետևյալն է.

ա · բ = |ա| · | բ| cos φ

Եթե ​​վեկտորներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, ապա սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Փոխակերպման հատկություն. ա · բ = բ · ա(սկալյար արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից);

բաշխման սեփականություն: ա · ( բ · գ) = (ա · բ) · գ(արդյունքը կախված չէ բազմապատկման կարգից);

Համակցման հատկություն (սկալյար գործոնի նկատմամբ) (λ ա) · բ = λ ( ա · բ).

Ուղղանկյունության հատկություն (ուղղահայացություն). եթե վեկտորը աև բոչ զրոյական, ապա դրանց կետային արտադրյալը զրո է միայն այն դեպքում, երբ այս վեկտորները ուղղանկյուն են (միմյանց ուղղահայաց) ա ┴ բ;

Քառակուսի գույք. ա · ա = ա 2 = |ա| 2 (վեկտորի սկալյար արտադրյալն ինքն իր հետ հավասար է նրա մոդուլի քառակուսուն);

Եթե ​​վեկտորների կոորդինատները ա=(x 1, y 1, z 1) և բ=(x 2, y 2, z 2), ապա սկալյար արտադրյալն է ա · բ= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2:

Վեկտոր պահող վեկտորներ. ՍահմանումԵրկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը և հասկացվում է որպես վեկտոր, որի համար.

Մոդուլը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին, այսինքն. , որտեղ է անկյունը վեկտորների և

Այս վեկտորը ուղղահայաց է բազմապատկված վեկտորներին, այսինքն.

Եթե ​​վեկտորները ոչ համագիծ են, ապա նրանք կազմում են վեկտորների աջ եռապատիկ:

Խաչի արտադրանքի հատկությունները:

1. Երբ գործոնների հերթականությունը փոխվում է, վեկտորային արտադրյալը փոխում է իր նշանը հակառակի վրա՝ պահպանելով մոդուլը, այսինքն.

2 .Վեկտորի քառակուսին հավասար է զրոյական վեկտորի, այսինքն.

3 .Սկալյար գործոնը կարելի է հանել վեկտորի արտադրյալի նշանից, այսինքն.

4 Ցանկացած երեք վեկտորների համար հավասարությունը

5 .Անհրաժեշտ և բավարար պայման երկու վեկտորների համագծի և .