Վեկտորների և , տրված կոորդինատներով , , խառը արտադրյալը հաշվարկվում է բանաձևով.
Խառը արտադրանքը օգտագործվում է. 1) հաշվարկել վեկտորների վրա կառուցված քառանիստի և զուգահեռականի ծավալները և, ինչպես եզրերի վրա, ըստ բանաձևի. 2) որպես վեկտորների համադրելիության պայման, և : և համահարթակ են։
Թեմա 5. Գծեր ինքնաթիռում.
Նորմալ գծի վեկտոր , կոչվում է տվյալ ուղղին ուղղահայաց ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։ Ուղղության վեկտորը ուղիղ , կոչվում է տվյալ ուղղին զուգահեռ ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։
Ուղիղ մակերեսի վրա կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.
1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որտեղ է ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը;
2) - տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.
3) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( կանոնական հավասարում );
4) - երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարում;
5) - գծային հավասարումներ թեքությամբ , որտեղ է այն կետը, որով անցնում է գիծը; () - անկյունը, որը կազմում է գիծը առանցքի հետ; - առանցքի վրա ուղիղ գծով կտրված հատվածի երկարությունը (նշանով) (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և « », եթե բացասական մասում):
6) - ուղիղ գծի հավասարում կտրվածքների մեջ, որտեղ և արդյո՞ք հատվածների երկարությունները (նշանով) կտրված են կոորդինատային առանցքների վրա ուղիղ գծով և (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա, և « »-ը, եթե բացասականի վրա. )
Հեռավորությունը կետից տող , որը տրված է հարթության վրա ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.
Անկյուն, ( )ուղիղ գծերի միջև և, տրված ընդհանուր հավասարումներով կամ թեքությամբ հավասարումներով, կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերից մեկով.
Եթե կամ.
Եթե կամ
Գծերի հատման կետի կոորդինատները և գտնվել են որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում՝ կամ .
Թեմա 10. Կոմպլեկտներ. Թվային հավաքածուներ. Գործառույթներ.
Տակ շատերը հասկանալ ցանկացած բնույթի առարկաների որոշակի խումբ, որոնք տարբերվում են միմյանցից և կարող են պատկերացնել որպես մեկ ամբողջություն: Այն օբյեկտները, որոնք կազմում են բազմություն, անվանում են այն տարրեր . Բազմությունը կարող է լինել անսահման (բաղկացած է անսահման թվով տարրերից), վերջավոր (բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից), դատարկ (չի պարունակում մեկ տարր)։ Բազմությունները նշանակվում են -ով, իսկ դրանց տարրերը՝ -ով: Դատարկ բազմությունը նշանակվում է .
Սահմանել զանգը ենթաբազմություն սահմանել, եթե բազմության բոլոր տարրերը պատկանում են բազմությանը և գրել:
Սահմանում և կանչում է հավասար , եթե դրանք կազմված են նույն տարրերից եւ գրեն . Երկու բազմություն և հավասար կլինեն, եթե և միայն, եթե և .
Սահմանել զանգը ունիվերսալ (այս մաթեմատիկական տեսության շրջանակներում) , եթե դրա տարրերը այս տեսության մեջ դիտարկվող բոլոր օբյեկտներն են:
Շատերը կարող են սահմանվել. 1) նրա բոլոր տարրերի թվարկումը, օրինակ՝ (միայն վերջավոր բազմությունների համար); 2) սահմանելով կանոն՝ որոշելու, թե արդյոք ունիվերսալ բազմության տարրը պատկանում է տվյալ բազմությանը.
Ասոցիացիա
հատում սահմանում է և կոչվում է բազմություն
տարբերությունը սահմանում է և կոչվում է բազմություն
Լրացում կոմպլեկտներ (մինչև ունիվերսալ հավաքածու) կոչվում է հավաքածու:
Երկու հավաքածուները և կոչվում են համարժեք and write ~ if կարող է հաստատվել մեկ առ մեկ համապատասխանություն այս բազմությունների տարրերի միջև։ Հավաքածուն կոչվում է հաշվելի , եթե այն համարժեք է բնական թվերի բազմությանը ~ . Դատարկ բազմությունը, ըստ սահմանման, հաշվելի է:
Վավերական (իրական) թիվ կոչվում է անվերջ տասնորդական կոտորակ՝ վերցված «+» կամ «» նշանով։ Իրական թվերը նույնացվում են թվային տողի կետերով:
մոդուլ Իրական թվի (բացարձակ արժեքը) ոչ բացասական թիվ է.
Հավաքածուն կոչվում է թվային եթե նրա տարրերը իրական թվեր են. Թվային ընդմիջումներով կոչվում են բազմություններ
թվեր՝ , , , , , , , , , .
Թվային տողի բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք բավարարում են պայմանը, որտեղ կամայականորեն փոքր թիվ է, կոչվում է. -հարեւանություն (կամ ուղղակի հարևանություն) կետի և նշանակվում է . Բոլոր կետերի բազմությունը պայմանով, որտեղ կամայականորեն մեծ թիվ է, կոչվում է. հարեւանություն (կամ պարզապես հարևանություն) անսահմանության և նշանակվում է .
Այն մեծությունը, որը պահպանում է նույն թվային արժեքը, կոչվում է մշտական. Այն մեծությունը, որն ընդունում է տարբեր թվային արժեքներ, կոչվում է փոփոխական. Գործառույթ կոչվում է կանոնը, ըստ որի յուրաքանչյուր թվի վերագրվում է մեկ լավ սահմանված թիվ, և նրանք գրում են. Հավաքածուն կոչվում է սահմանման տիրույթ գործառույթներ, - շատերը (կամ տարածաշրջան ) արժեքներ գործառույթներ, - փաստարկ , - ֆունկցիայի արժեքը . Ֆունկցիան նշելու ամենատարածված եղանակը վերլուծական մեթոդն է, որտեղ ֆունկցիան տրվում է բանաձևով։ բնական տիրույթ ֆունկցիան այն փաստարկի արժեքների բազմությունն է, որի համար այս բանաձևը իմաստ ունի: Ֆունկցիայի գրաֆիկ , ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է կոորդինատներով , .
Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ բազմության վրա՝ սիմետրիկ կետի նկատմամբ, եթե բոլորի համար բավարարված է հետևյալ պայմանը. տարօրինակ պայմանը բավարարելու դեպքում. Հակառակ դեպքում, ընդհանուր գործառույթ կամ ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ .
Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական հավաքածուի վրա, եթե կա թիվ ( ֆունկցիոնալ ժամանակահատվածը ) այնպես, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Ամենափոքր թիվը կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան:
Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ աճող (թուլանալով ) բազմության վրա, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:
Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված հավաքածուի վրա, եթե կա այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Հակառակ դեպքում գործառույթն է անսահմանափակ .
Հակադարձ գործելու համար , , ֆունկցիա է, որը սահմանված է բազմության վրա և յուրաքանչյուրին վերագրում է այնպիսին, որ . Գտնել ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան , դուք պետք է լուծեք հավասարումը համեմատաբար. Եթե ֆունկցիան , -ին խիստ միատոն է, ապա միշտ ունի հակադարձ, իսկ եթե ֆունկցիան մեծանում է (նվազում), ապա հակադարձ ֆունկցիան նույնպես մեծանում է (նվազում է)։
Գործառույթը, որը ներկայացված է որպես, որտեղ կան որոշ գործառույթներ, ինչպիսիք են, որ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը պարունակում է ֆունկցիայի արժեքների ամբողջ հավաքածուն, կոչվում է. բարդ գործառույթ անկախ փաստարկ. Փոփոխականը կոչվում է միջանկյալ փաստարկ: Բարդ ֆունկցիան կոչվում է նաև ֆունկցիաների կազմություն և , և գրված է.
Հիմնական տարրական գործառույթներն են. ուժ գործառույթ, ցուցադրություն ֆունկցիա (,), լոգարիթմական ֆունկցիա (,), եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , , հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , . Տարրական կոչվում է ֆունկցիա, որը ստացվում է հիմնական տարրական ֆունկցիաներից դրանց թվաբանական գործողությունների և կազմությունների վերջավոր թվով։
Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի գագաթը ժամը է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե կամ ներքև, եթե:
Որոշ դեպքերում, երբ կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, նպատակահարմար է նրա սահմանման տիրույթը բաժանել մի քանի չհատվող միջակայքերի և դրանցից յուրաքանչյուրի վրա հաջորդաբար կառուցել գրաֆիկ:
Իրական թվերի ցանկացած դասավորված բազմություն կոչվում է կետաչափական թվաբանություն (համակարգել) տարածություն և նշանակում է կամ, մինչդեռ թվերը կոչվում են իր կոորդինատները .
Թողեք և լինեն մի քանի միավոր և . Եթե յուրաքանչյուր կետին, ըստ ինչ-որ կանոնի, վերագրվում է մեկ հստակ սահմանված իրական թիվ, ապա ասում են, որ փոփոխականների թվային ֆունկցիան տրված է բազմության վրա և գրել կամ հակիրճ և, մինչդեռ կոչվում է. սահմանման տիրույթ , - արժեքների հավաքածու , - փաստարկներ (անկախ փոփոխականներ) ֆունկցիաներ։
Հաճախ նշվում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա, երեք փոփոխականի ֆունկցիա՝ -: Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության կետերի որոշակի բազմություն է, ֆունկցիաները՝ տարածության կետերի որոշակի բազմություն։
Թեմա 7. Թվային հաջորդականություններ և շարքեր: Հերթականության սահմանափակում. Գործառույթի սահմանը և շարունակականությունը:
Եթե, ըստ որոշակի կանոնի, յուրաքանչյուր բնական թիվ կապված է մեկ հստակ սահմանված իրական թվի հետ, ապա ասում են թվային հաջորդականություն . Համառոտ նշեք. Համարը կոչվում է հաջորդականության ընդհանուր անդամ . Հերթականությունը կոչվում է նաև բնական փաստարկի ֆունկցիա։ Հերթականությունը միշտ պարունակում է անսահման թվով տարրեր, որոնցից մի քանիսը կարող են հավասար լինել:
Համարը կոչվում է հաջորդականության սահմանը , և գրի՛ր, եթե որևէ թվի համար կա այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը բավարարվի բոլորի համար:
Այն հաջորդականությունը, որն ունի վերջավոր սահման, կոչվում է համընկնող հակառակ դեպքում - տարբերվող .
: 1) թուլանալով , եթե ; 2) աճող , եթե ; 3) չնվազող , եթե ; 4) չաճող , եթե . Բոլոր վերը նշված հաջորդականությունները կոչվում են միապաղաղ .
Հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակված , եթե կա այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Հակառակ դեպքում, հաջորդականությունը անսահմանափակ .
Յուրաքանչյուր միապաղաղ սահմանափակ հաջորդականություն ունի սահման ( Վայերշտրասի թեորեմ).
Հաջորդականությունը կոչվում է անսահման փոքր , եթե . Հաջորդականությունը կոչվում է անսահման մեծ (համընկնում է դեպի անսահմանություն), եթե .
թիվ կոչվում է հաջորդականության սահման, որտեղ
հաստատունը կոչվում է ոչ համարժեք թիվ: Թվի հիմնական լոգարիթմը կոչվում է թվի բնական լոգարիթմ և նշվում է .
Այն ձևի արտահայտությունը, որտեղ թվերի հաջորդականություն է, կոչվում է թվային շարք և նշվում են. Շարքի առաջին անդամների գումարը կոչվում է մասնակի գումարը շարք.
Շարքը կոչվում է համընկնող եթե կա վերջավոր սահման և տարբերվող եթե սահմանը գոյություն չունի. Համարը կոչվում է կոնվերգենտ շարքի գումարը , գրելիս.
Եթե շարքը համընկնում է, ապա (շարքի սերտաճման անհրաժեշտ չափանիշ ) . Հակառակը ճիշտ չէ։
Եթե, ապա շարքը տարբերվում է ( շարքի տարբերության բավարար չափանիշ ).
Ընդհանրացված ներդաշնակ շարքերկոչվում է մի շարք, որը համընկնում է և շեղվում է .
Երկրաչափական շարք անվանել մի շարք, որը համընկնում է , մինչդեռ դրա գումարը հավասար է և շեղվում է . գտնել թիվ կամ նշան: (ձախ կիսաթաղամաս, աջ կիսաթաղամաս) և
Վեկտորների համար և , տրված նրանց կոորդինատներով , խառը արտադրյալը հաշվարկվում է բանաձևով.
Խառը արտադրանքը օգտագործվում է. 1) հաշվարկել վեկտորների վրա կառուցված քառանիստի և զուգահեռականի ծավալները և, ինչպես եզրերի վրա, ըստ բանաձևի. 2) որպես վեկտորների համադրելիության պայման, և : և համահարթակ են։
Թեմա 5. Ուղիղ գծեր և հարթություններ.
Նորմալ գծի վեկտոր , կոչվում է տվյալ ուղղին ուղղահայաց ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։ Ուղղության վեկտորը ուղիղ , կոչվում է տվյալ ուղղին զուգահեռ ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։
Ուղիղ մակերեսի վրա
1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որտեղ է ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը;
2) - տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.
3) կանոնական հավասարում );
4)
5) - գծային հավասարումներ թեքությամբ , որտեղ է այն կետը, որով անցնում է գիծը; () - անկյունը, որը կազմում է գիծը առանցքի հետ; - առանցքի վրա ուղիղ գծով կտրված հատվածի երկարությունը (նշանով) (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և « », եթե բացասական մասում):
6) - ուղիղ գծի հավասարում կտրվածքների մեջ, որտեղ և արդյո՞ք հատվածների երկարությունները (նշանով) կտրված են կոորդինատային առանցքների վրա ուղիղ գծով և (« » նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա, և « »-ը, եթե բացասականի վրա. )
Հեռավորությունը կետից տող , որը տրված է հարթության վրա ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.
Անկյուն, ( )ուղիղ գծերի միջև և, տրված ընդհանուր հավասարումներով կամ թեքությամբ հավասարումներով, կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերից մեկով.
Եթե կամ.
Եթե կամ
Գծերի հատման կետի կոորդինատները և գտնվել են որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում՝ կամ .
Ինքնաթիռի նորմալ վեկտորը , կոչվում է տվյալ հարթությանը ուղղահայաց ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր։
Ինքնաթիռ կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.
1) - ընդհանուր հավասարում հարթություն, որտեղ է հարթության նորմալ վեկտորը;
2) - տվյալ վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումը.
3) - երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը, և.
4) - հարթության հավասարումը կտրվածքների մեջ, որտեղ և են կոորդինատային առանցքների հարթությամբ կտրված հատվածների երկարությունները (նշանով) և («» նշանը, եթե հատվածը կտրված է առանցքի դրական մասի վրա և «» եթե բացասական կողմը )
Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ, գտնում ենք բանաձևով.
Անկյուն,( )ինքնաթիռների միջև և , տրված ընդհանուր հավասարումներով, գտնում ենք բանաձևով.
Ուղիղ տարածության մեջ կոորդինատային համակարգում կարելի է տրվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարմամբ.
1) - ընդհանուր հավասարում ուղիղ գիծ, որպես երկու հարթությունների հատման գծեր, որտեղ և են հարթությունների նորմալ վեկտորները և.
2) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( կանոնական հավասարում );
3) - երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարում;
4) - տրված վեկտորին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, պարամետրային հավասարում );
Անկյուն, ( ) ուղիղ գծերի միջև և տարածության մեջ , որը տրված է կանոնական հավասարումներով, գտնում ենք բանաձևով.
Գծի հատման կետի կոորդինատները , տրված պարամետրային հավասարմամբ և ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ, որպես գծային հավասարումների համակարգի լուծում են գտնում.
Անկյուն, ( ) գծի միջև , տրված կանոնական հավասարմամբ և ինքնաթիռ , տրված ընդհանուր հավասարմամբ գտնում ենք բանաձևով.
Թեմա 6. Երկրորդ կարգի կորեր.
Երկրորդ կարգի հանրահաշվական կորկոորդինատային համակարգում կոչվում է կոր, ընդհանուր հավասարում որը նման է.
որտեղ թվերը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի: Երկրորդ կարգի կորերի հետևյալ դասակարգումը կա. 1) եթե , ապա ընդհանուր հավասարումը սահմանում է կորը էլիպսաձև տիպ (շրջանակ (համար), էլիպս (համար), դատարկ հավաքածու, կետ); 2) եթե , ապա - կոր հիպերբոլիկ տեսակ (հիպերբոլա, մի զույգ հատվող գծեր); 3) եթե , ապա - կոր պարաբոլիկ տեսակ(պարաբոլա, դատարկ բազմություն, գիծ, զույգ զուգահեռ գծեր): Շրջան, էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա կոչվում են երկրորդ կարգի ոչ այլասերված կորեր.
Ընդհանուր հավասարումը, որտեղ , որը սահմանում է ոչ դեգեներատիվ կոր (շրջան, էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա), միշտ կարող է (օգտագործելով լրիվ քառակուսիների ընտրության մեթոդը) կրճատվել հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարման.
1ա) -շրջանագծի հավասարումը կենտրոնացած կետի և շառավղի վրա (նկ. 5):
1բ)- էլիպսի հավասարումը, որը կենտրոնացած է կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ կետի և սիմետրիայի առանցքների վրա: Թվերը և - կոչվում են էլիպսի կիսաառանցքները էլիպսի հիմնական ուղղանկյունը; էլիպսի գագաթները .
Կոորդինատային համակարգում էլիպս կառուցելու համար. 1) նշեք էլիպսի կենտրոնը; 2) կենտրոնի միջով մենք կետագծով գծում ենք էլիպսի համաչափության առանցքը. 3) մենք կառուցում ենք էլիպսի հիմնական ուղղանկյունը կետագծով, որի կենտրոնը և կողմերը զուգահեռ են համաչափության առանցքներին. 4) հոծ գծով գծում ենք էլիպս՝ այն մակագրելով հիմնական ուղղանկյան մեջ, որպեսզի էլիպսը դիպչի իր կողերին միայն էլիպսի գագաթներին (նկ. 6):
Նմանապես կառուցվում է շրջան, որի հիմնական ուղղանկյունն ունի կողմեր (նկ. 5):
Նկ.5 Նկ.6
2) - հիպերբոլաների հավասարումներ (կոչ զուգորդել) կենտրոնացած կետի և համաչափության առանցքների վրա, որոնք զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին: Թվերը և - կոչվում են հիպերբոլաների կիսաառանցքները ; ուղղանկյուն, որի կողմերը զուգահեռ են համաչափության առանցքներին և կենտրոնացած են մի կետի վրա. հիպերբոլաների հիմնական ուղղանկյունը; Հիմնական ուղղանկյան հատման կետերը համաչափության առանցքների հետ. հիպերբոլաների գագաթներ; ուղիղ գծեր, որոնք անցնում են հիմնական ուղղանկյան հակառակ գագաթներով. հիպերբոլաների ասիմպտոտներ .
Կոորդինատային համակարգում հիպերբոլա կառուցելու համար. 1) նշեք հիպերբոլայի կենտրոնը; 2) կենտրոնի միջով մենք կետավոր գծով գծում ենք հիպերբոլայի համաչափության առանցքը. 3) մենք կառուցում ենք հիպերբոլայի հիմնական ուղղանկյունը կետավոր գծով կենտրոնով և կողմերով և համաչափության առանցքներին զուգահեռ. 4) մենք ուղիղ գծեր ենք գծում հիմնական ուղղանկյան հակառակ գագաթներով կետավոր գծով, որոնք հիպերբոլայի ասիմպտոտներ են, որոնց հիպերբոլայի ճյուղերը մոտենում են անորոշ ժամանակով, կոորդինատների սկզբնակետից անսահման հեռավորության վրա, առանց դրանք հատելու. 5) մենք հոծ գծով պատկերում ենք հիպերբոլայի (նկ. 7) կամ հիպերբոլայի (նկ. 8) ճյուղերը:
Նկ.7 Նկ.8
3ա)- պարաբոլայի հավասարումը գագաթով կետում և կոորդինատային առանցքին զուգահեռ սիմետրիայի առանցքով (նկ. 9):
3բ)- պարաբոլայի հավասարումը գագաթով կետում և կոորդինատային առանցքին զուգահեռ համաչափության առանցք (նկ. 10):
Կոորդինատների համակարգում պարաբոլա կառուցելու համար. 1) նշեք պարաբոլայի վերին մասը; 2) մենք գագաթի միջով կետավոր գծով գծում ենք պարաբոլայի համաչափության առանցքը. 3) մենք պատկերում ենք պարաբոլան հոծ գծով, ուղղելով դրա ճյուղը, հաշվի առնելով պարաբոլայի պարամետրի նշանը. at - պարաբոլայի համաչափության առանցքին զուգահեռ կոորդինատային առանցքի դրական ուղղությամբ (նկ. 9ա և 10ա); ժամը - կոորդինատային առանցքի բացասական կողմում (նկ. 9b և 10b) .
Բրինձ. 9 ա Նկ. 9բ
Բրինձ. 10 ա Նկ. 10բ
Թեմա 7. Կոմպլեկտներ. Թվային հավաքածուներ. Գործառույթ.
Տակ շատերը հասկանալ ցանկացած բնույթի առարկաների որոշակի խումբ, որոնք տարբերվում են միմյանցից և կարող են պատկերացնել որպես մեկ ամբողջություն: Այն օբյեկտները, որոնք կազմում են բազմություն, անվանում են այն տարրեր . Բազմությունը կարող է լինել անսահման (բաղկացած է անսահման թվով տարրերից), վերջավոր (բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից), դատարկ (չի պարունակում մեկ տարր)։ Բազմությունները նշանակվում են -ով, իսկ դրանց տարրերը՝ -ով: Դատարկ բազմությունը նշանակվում է .
Սահմանել զանգը ենթաբազմություն սահմանել, եթե բազմության բոլոր տարրերը պատկանում են բազմությանը և գրել: Սահմանում և կանչում է հավասար , եթե դրանք կազմված են նույն տարրերից եւ գրեն . Երկու բազմություն և հավասար կլինեն, եթե և միայն, եթե և .
Սահմանել զանգը ունիվերսալ (այս մաթեմատիկական տեսության շրջանակներում) , եթե դրա տարրերը այս տեսության մեջ դիտարկվող բոլոր օբյեկտներն են:
Շատերը կարող են սահմանվել. 1) նրա բոլոր տարրերի թվարկումը, օրինակ՝ (միայն վերջավոր բազմությունների համար); 2) սահմանելով կանոն՝ որոշելու, թե արդյոք ունիվերսալ բազմության տարրը պատկանում է տվյալ բազմությանը.
Ասոցիացիա
հատում սահմանում է և կոչվում է բազմություն
տարբերությունը սահմանում է և կոչվում է բազմություն
Լրացում կոմպլեկտներ (մինչև ունիվերսալ հավաքածու) կոչվում է հավաքածու:
Երկու հավաքածուները և կոչվում են համարժեք and write ~ if կարող է հաստատվել մեկ առ մեկ համապատասխանություն այս բազմությունների տարրերի միջև։ Հավաքածուն կոչվում է հաշվելի , եթե այն համարժեք է բնական թվերի բազմությանը ~ . Դատարկ բազմությունը, ըստ սահմանման, հաշվելի է:
Կոմպլեկտի կարդինալության հասկացությունն առաջանում է, երբ բազմությունները համեմատվում են դրանց պարունակած տարրերի քանակով: Կոմպլեկտի կարդինալությունը նշվում է . Վերջավոր բազմության կարդինալությունը նրա տարրերի քանակն է:
Համարժեք հավաքածուներն ունեն նույն կարդինալությունը: Հավաքածուն կոչվում է անհաշվելի եթե դրա կարդինալությունը ավելի մեծ է, քան հավաքածուի կարդինալությունը:
Վավերական (իրական) թիվ կոչվում է անվերջ տասնորդական կոտորակ՝ վերցված «+» կամ «» նշանով։ Իրական թվերը նույնացվում են թվային տողի կետերով: մոդուլ Իրական թվի (բացարձակ արժեքը) ոչ բացասական թիվ է.
Հավաքածուն կոչվում է թվային եթե նրա տարրերը իրական թվեր են.թվային ընդմիջումներով թվերի բազմությունները կոչվում են՝ , , , , , , , , , .
Թվային տողի բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք բավարարում են պայմանը, որտեղ կամայականորեն փոքր թիվ է, կոչվում է. -հարեւանություն (կամ ուղղակի հարևանություն) կետի և նշանակվում է . Բոլոր կետերի բազմությունը պայմանով, որտեղ կամայականորեն մեծ թիվ է, կոչվում է. հարեւանություն (կամ պարզապես հարևանություն) անսահմանության և նշանակվում է .
Այն մեծությունը, որը պահպանում է նույն թվային արժեքը, կոչվում է մշտական. Այն մեծությունը, որն ընդունում է տարբեր թվային արժեքներ, կոչվում է փոփոխական. Գործառույթ կոչվում է կանոնը, ըստ որի յուրաքանչյուր թվի վերագրվում է մեկ լավ սահմանված թիվ, և նրանք գրում են. Հավաքածուն կոչվում է սահմանման տիրույթ գործառույթներ, - շատերը (կամ տարածաշրջան ) արժեքներ գործառույթներ, - փաստարկ , - ֆունկցիայի արժեքը . Ֆունկցիան նշելու ամենատարածված եղանակը վերլուծական մեթոդն է, որտեղ ֆունկցիան տրվում է բանաձևով։ բնական տիրույթ ֆունկցիան այն փաստարկի արժեքների բազմությունն է, որի համար այս բանաձևը իմաստ ունի: Ֆունկցիայի գրաֆիկ , ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է կոորդինատներով , .
Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ բազմության վրա՝ սիմետրիկ կետի նկատմամբ, եթե բոլորի համար բավարարված է հետևյալ պայմանը. տարօրինակ պայմանը բավարարելու դեպքում. Հակառակ դեպքում, ընդհանուր գործառույթ կամ ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ .
Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական հավաքածուի վրա, եթե կա թիվ ( ֆունկցիոնալ ժամանակահատվածը ) այնպես, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Ամենափոքր թիվը կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան:
Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ աճող (թուլանալով ) բազմության վրա, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:
Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակված հավաքածուի վրա, եթե կա այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար բավարարվի հետևյալ պայմանը. Հակառակ դեպքում գործառույթն է անսահմանափակ .
Հակադարձ գործելու համար , , կոչվում է այնպիսի ֆունկցիա, որը սահմանված է բազմության վրա և յուրաքանչյուրին
Համապատասխանում է այնպես, որ. Գտնել ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան , դուք պետք է լուծեք հավասարումը համեմատաբար. Եթե ֆունկցիան , -ին խիստ միատոն է, ապա միշտ ունի հակադարձ, իսկ եթե ֆունկցիան մեծանում է (նվազում), ապա հակադարձ ֆունկցիան նույնպես մեծանում է (նվազում է)։
Գործառույթը, որը ներկայացված է որպես, որտեղ կան որոշ գործառույթներ, ինչպիսիք են, որ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը պարունակում է ֆունկցիայի արժեքների ամբողջ հավաքածուն, կոչվում է. բարդ գործառույթ անկախ փաստարկ. Փոփոխականը կոչվում է միջանկյալ փաստարկ: Բարդ ֆունկցիան կոչվում է նաև ֆունկցիաների կազմություն և , և գրված է.
Հիմնական տարրական գործառույթներն են. ուժ գործառույթ, ցուցադրություն ֆունկցիա (,), լոգարիթմական ֆունկցիա (,), եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , , հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթներ , , , . Տարրական կոչվում է ֆունկցիա, որը ստացվում է հիմնական տարրական ֆունկցիաներից դրանց թվաբանական գործողությունների և կազմությունների վերջավոր թվով։
Եթե տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը վերածվում է գրաֆիկի մի շարք փոխակերպումների (հերթափոխում, սեղմում կամ ձգում, ցուցադրում).
1) 2) փոխակերպումը սիմետրիկ կերպով ցուցադրում է գրաֆիկը առանցքի նկատմամբ. 3) փոխակերպումը գրաֆիկը տեղափոխում է առանցքի երկայնքով ըստ միավորների ( - դեպի աջ, - դեպի ձախ); 4) փոխակերպումը տեղափոխում է գծապատկերը առանցքի երկայնքով ըստ միավորների (-վերև,-ներքև); 5) փոխակերպման գրաֆիկը առանցքի երկայնքով ձգվում է ժամանակով, եթե կամ սեղմվում է ժամանակով, եթե ; 6) առանցքի երկայնքով գրաֆիկը փոխակերպելով սեղմվում է գործակցով, եթե կամ ձգվում է գործակցով, եթե .
Փոխակերպումների հաջորդականությունը ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս կարող է խորհրդանշական կերպով ներկայացվել հետևյալ կերպ.
Նշում. Փոխակերպում կատարելիս հիշեք, որ առանցքի երկայնքով տեղաշարժի չափը որոշվում է հաստատունով, որն ուղղակիորեն ավելացվում է փաստարկին, և ոչ թե փաստարկին:
Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի գագաթը ժամը է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե կամ ներքև, եթե: Գծային-կոտորակային ֆունկցիայի գրաֆիկը հիպերբոլա է՝ կենտրոնացած կետում, որի ասիմպտոտներն անցնում են կենտրոնով, կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ: , բավարարելով պայմանը։ կանչեց.
Դիտարկենք վեկտորների արտադրյալը, 
և 
, կազմված է հետևյալ կերպ. 
. Այստեղ առաջին երկու վեկտորները բազմապատկվում են վեկտորականորեն, և դրանց արդյունքը սանդղակով բազմապատկվում է երրորդ վեկտորով։ Նման արտադրյալը կոչվում է երեք վեկտորների վեկտորային սկալյար կամ խառը արտադրյալ։ Խառը արտադրանքը ինչ-որ թիվ է։
Եկեք պարզենք արտահայտության երկրաչափական իմաստը 
.
Թեորեմ . Երեք վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին, որը վերցված է գումարած նշանով, եթե այս վեկտորները կազմում են աջ եռապատիկ, և մինուս նշանով, եթե ձախ եռապատիկ են կազմում։
Ապացույց..Մենք կառուցում ենք զուգահեռաբարձ, որի եզրերը վեկտորներն են 
,
,
և վեկտոր 
.
Մենք ունենք: 
,
, որտեղ 
- վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը 
և 
,
վեկտորների ճիշտ եռակի համար և 
ձախի համար, որտեղ 
զուգահեռականի բարձրությունն է։ Մենք ստանում ենք. 
, այսինքն. 
, որտեղ 
- վեկտորների կողմից ձևավորված զուգահեռականի ծավալը 
,
և 
.
Արտադրանքի խառը հատկություններ
1. Խառը արտադրանքը չի փոխվում, երբ ցիկլայինդրա գործոնների փոխակերպումը, այսինքն. .
Իսկապես, այս դեպքում չի փոխվում ոչ զուգահեռի ծավալը, ոչ էլ նրա եզրերի կողմնորոշումը։
2. Խառը արտադրյալը չի փոխվում, երբ հակադարձվում են վեկտորային և սկալյար բազմապատկման նշանները, այսինքն. 
.
Իսկապես, 
և 
. Մենք վերցնում ենք նույն նշանը այս հավասարումների աջ կողմում, քանի որ վեկտորների եռապատիկները 
,
,
և 
,
,
- մեկ կողմնորոշում.
հետևաբար, 
. Սա թույլ է տալիս գրել վեկտորների խառը արտադրյալը 
ինչպես 
առանց վեկտորի նշանների, սկալյար բազմապատկման։
3. Խառը արտադրյալը փոխում է նշանը, երբ ցանկացած երկու գործոն վեկտոր փոխում են տեղերը, այսինքն. 
,
,
.
Իրոք, նման փոխարկումը համարժեք է վեկտորային արտադրյալի գործոնների փոխակերպմանը, որը փոխում է արտադրյալի նշանը։
4. Ոչ զրոյական վեկտորների խառը արտադրանք 
,
և 
զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ դրանք համահունչ են:
2.12. Խառը արտադրանքի հաշվարկը կոորդինատային ձևով օրթոնորմալ հիմունքներով
Թող վեկտորները 
,
,
. Եկեք գտնենք նրանց խառը արտադրյալը՝ օգտագործելով վեկտորի և սկալյար արտադրյալների կոորդինատների արտահայտությունները.
. (10)
Ստացված բանաձևը կարելի է ավելի կարճ գրել.
,
քանի որ (10) հավասարության աջ կողմը երրորդ կարգի որոշիչի ընդլայնումն է երրորդ շարքի տարրերի առումով։
Այսպիսով, վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար է երրորդ կարգի որոշիչին, որը կազմված է բազմապատկված վեկտորների կոորդինատներից։
2.13 Խառը արտադրանքի որոշ կիրառություններ
Տիեզերքում վեկտորների հարաբերական կողմնորոշման որոշում
Վեկտորների հարաբերական կողմնորոշման որոշում 
,
և 
հիմնվելով հետևյալ նկատառումների վրա. Եթե 
, ապա 
,
,
- ճիշտ երեք եթե 
, ապա 
,
,
- թողեց երեքը:
Համատեղելիության պայման վեկտորների համար
Վեկտորներ 
,
և 
հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց խառը արտադրյալը զրո է ( 
,
,
):
վեկտորներ 
,
,
համակողմանի.
Զուգահեռաբարի և եռանկյուն բուրգի ծավալների որոշում
Հեշտ է ցույց տալ, որ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը 
,
և 
հաշվարկվում է որպես 
, և նույն վեկտորների վրա կառուցված եռանկյուն բուրգի ծավալը հավասար է 
.
Օրինակ 1Ապացուցեք, որ վեկտորները 
,
,
համակողմանի.
Լուծում.Գտնենք այս վեկտորների խառը արտադրյալը՝ օգտագործելով բանաձևը.
.
Սա նշանակում է, որ վեկտորները 
համակողմանի.
Օրինակ 2Հաշվի առնելով քառաեդրոնի գագաթները. 
(0, -2, 5),
(6, 6, 0),
(3, -3, 6),
(2, -1, 3): Գտի՛ր գագաթից իջած նրա բարձրության երկարությունը 
.
Լուծում.Եկեք նախ գտնենք քառանիստի ծավալը 
. Բանաձևի համաձայն մենք ստանում ենք.
Քանի որ որոշիչը բացասական թիվ է, այս դեպքում բանաձևից առաջ անհրաժեշտ է վերցնել մինուս նշան: հետևաբար, 
.
Ցանկալի արժեքը հորոշեք բանաձևից 
, որտեղ Ս
- բազայի տարածքը. Եկեք որոշենք տարածքը Ս:
որտեղ 
Քանի որ 
Փոխարինելով բանաձևի մեջ 
արժեքներ 
և 
, ստանում ենք հ=
3.
Օրինակ 3Արդյո՞ք ձևավորվում են վեկտորներ 
հիմքը տիեզերքում? Քայքայել վեկտորը 
վեկտորների հիման վրա.
Լուծում.Եթե վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, ապա նրանք չեն գտնվում նույն հարթության վրա, այսինքն. ոչ համահունչ են: Գտե՛ք վեկտորների խառը արտադրյալը 
:
,
Հետևաբար, վեկտորները հավասարաչափ չեն և հիմք են կազմում տարածության մեջ։ Եթե վեկտորները հիմք են կազմում տարածության մեջ, ապա ցանկացած վեկտոր 
կարող է ներկայացվել որպես հիմքի վեկտորների գծային համակցություն, մասնավորապես 
, որտեղ 
վեկտորի կոորդինատները 
վեկտորային հիմքով 
. Գտնենք այս կոորդինատները՝ կազմելով և լուծելով հավասարումների համակարգը
.
Գաուսի մեթոդով լուծելով՝ մենք ունենք
Այստեղից 
. Հետո 
.
Այս կերպ, 
.
Օրինակ 4Բուրգի գագաթները գտնվում են կետերում. 
,
,
,
. Հաշվարկել.
ա) դեմքի տարածքը 
;
բ) բուրգի ծավալը 
;
գ) վեկտորային պրոյեկցիա 
դեպի վեկտորի ուղղությամբ 
;
դ) անկյուն 
;
ե) ստուգեք, որ վեկտորները 
,
,
համակողմանի.
Լուծում
ա) Խաչաձև արտադրանքի սահմանումից հայտնի է, որ.
.
Վեկտորների որոնում 
և 
, օգտագործելով բանաձեւը
,
.
Իրենց կանխատեսումներով սահմանված վեկտորների համար վեկտորային արտադրյալը հայտնաբերվում է բանաձևով
, որտեղ 
.
Մեր գործի համար
.
Մենք գտնում ենք ստացված վեկտորի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը
,
.
եւ հետո 
(քառ. միավոր):
բ) Երեք վեկտորների խառը արտադրյալը բացարձակ արժեքով հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալին. 
,
,
ինչպես կողերի վրա:
Խառը արտադրանքը հաշվարկվում է բանաձևով.
.
Գտնենք վեկտորները 
,
,
, համընկնում է բուրգի եզրերին, զուգակցվում դեպի գագաթը 
:
,
,
.
Այս վեկտորների խառը արտադրյալը
.
Քանի որ բուրգի ծավալը հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալի մասին. 
,
,
, ապա 
(խորանարդ միավոր):
գ) Օգտագործելով բանաձևը 
, որը սահմանում է վեկտորների սկալյար արտադրյալը 
,
, կարելի է գրել այսպես.
,
որտեղ 
կամ 
;
կամ 
.
Վեկտորի պրոյեկցիան գտնելու համար 
դեպի վեկտորի ուղղությամբ 
գտե՛ք վեկտորների կոորդինատները 
,
, այնուհետև կիրառելով բանաձևը
,
մենք ստանում ենք
դ) Անկյունը գտնելու համար 
սահմանել վեկտորներ 
,
, կետում ունենալով ընդհանուր ծագում 
:
,
.
Այնուհետեւ, ըստ սկալյար արտադրանքի բանաձեւի
,
ե) Երեք վեկտորների համար
,
,
համակողմանի են, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց խառը արտադրյալը հավասար լինի զրոյի։
Մեր դեպքում ունենք 
.
Հետևաբար, վեկտորները հավասարաչափ են: