इस पाठ में हम भिन्न के मूल गुण का अध्ययन करेंगे, पता लगाएंगे कि कौन सी भिन्न एक दूसरे के बराबर हैं। हम भिन्नों को कम करना सीखेंगे, यह निर्धारित करेंगे कि कोई भिन्न कम करने योग्य है या नहीं, भिन्नों को कम करने का अभ्यास करेंगे, और सीखेंगे कि कब संकुचन का उपयोग करना है और कब नहीं।

लोरेम इप्सम डोलर सिट अमेट, कंसेक्टेचर एडिपिसिसिंग एलीट। एडिपिस्की ऑटेम बीटा कंसेक्टेचर कॉर्पोरिस डोलोरेस ईए, ईयूस, एस्से आईडी इलो इन्वेंटोर इस्टे मोलिटिया नेमो नेससिअंट निसी ओबकेकाटी ऑप्टियो सिमिलिक टेम्पोर वॉलुप्टेट!

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भिन्न का मुख्य गुण

इस स्थिति की कल्पना कीजिए.

मेज पर 3 व्यक्ति और 5 सेब शेयर करना 5 तीन के लिए सेब. सभी को $\mathbf(\frac(5)(3))$ सेब मिलते हैं।

और अगली टेबल पर 3 व्यक्ति और भी 5 सेब प्रत्येक फिर से $\mathbf(\frac(5)(3))$

कुल मिलाकर 10 सेब 6 इंसान। प्रत्येक $\mathbf(\frac(10)(6))$

लेकिन यह वही बात है.

$\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))$

ये भिन्न समतुल्य हैं.

आप लोगों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं और सेबों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं। नतीजा वही होगा.

गणित में इसे इस प्रकार तैयार किया जाता है:

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (0 के बराबर नहीं) से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो नया भिन्न मूल के बराबर होगा.

इस संपत्ति को कभी-कभी "कहा जाता है" भिन्न का मुख्य गुण ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

उदाहरण के लिए, शहर से गाँव तक का रास्ता - 14 किमी.

हम सड़क पर चलते हैं और किलोमीटर मार्करों द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करते हैं। छह कॉलम, छह किलोमीटर चलने के बाद, हम समझते हैं कि हमने $\mathbf(\frac(6)(14))$ दूरी तय कर ली है।

लेकिन अगर हमें खंभे दिखाई नहीं देते (शायद वे लगाए ही नहीं गए थे), तो हम सड़क के किनारे लगे बिजली के खंभों का उपयोग करके पथ की गणना कर सकते हैं। उनका 40 हर किलोमीटर के लिए टुकड़े. यानी कुल मिलाकर 560 सब तरह से। छह किलोमीटर - $\mathbf(6\cdot40 = 240)$ खंभे। यानी हम पास हो गए हैं 240 से 560 स्तंभ-$\mathbf(\frac(240)(560))$

$\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))$

उदाहरण 1

निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करें ( 5; 7 ) समन्वय तल पर एक्सओवाई. यह भिन्न $\mathbf(\frac(5)(7))$ के अनुरूप होगा

निर्देशांक के मूल को परिणामी बिंदु से जोड़ें। एक अन्य बिंदु का निर्माण करें जिसके निर्देशांक पिछले बिंदु से दोगुने हों। आपको कौन सा अंश मिला? क्या वे बराबर होंगे?

समाधान

निर्देशांक तल पर एक भिन्न को एक बिंदु से चिह्नित किया जा सकता है। भिन्न $\mathbf(\frac(5)(7))$ का प्रतिनिधित्व करने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु को चिह्नित करें 5 अक्ष के अनुदिश वाईऔर 7 अक्ष के अनुदिश एक्स. आइए मूल बिंदु से अपने बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचें।

भिन्न $\mathbf(\frac(10)(14))$ के अनुरूप बिंदु भी उसी रेखा पर स्थित होगा

वे समतुल्य हैं: $\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))$

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय हम देखेंगे कि 497, 4 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में कहा जाता है कि यह पूरा हो गया है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. जब शेषफल से विभाजित किया जाता है तो विभाजन का परिणाम कहलाता है अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. ऐसे मामलों में जहां कोई शेष नहीं बचता, एक संख्या को दूसरे से विभाजित कहा जाता है बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग को गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n अपूर्ण भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न $\frac(m)(n) $ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
$m:n = \frac(m)(n)$

निम्नलिखित नियम सत्य हैं:

भिन्न $\frac(m)(n)$ प्राप्त करने के लिए, आपको एक को n से विभाजित करना होगा बराबर भाग(शेयर) और ऐसे हिस्से ले लो।

भिन्न $\frac(m)(n)$ प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

किसी संपूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको संपूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

इसके भाग से पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
$\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) $

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
$\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) $
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं एक अंश को कम करना.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो इस क्रिया को कहा जाता है भिन्नों को कम करना आम विभाजक .

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(3)(4)$ का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। कई कार्यों में पिछला पैराग्राफसामान्य भिन्नों का उपयोग संपूर्ण के भागों को दर्शाने के लिए किया जाता था। सामान्य ज्ञान यह निर्देश देता है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन $\frac(5)(5)$ या $\frac(8)(5)$ जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए वे भिन्न कहलाते हैं जिनका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनका अंश हर से छोटा होता है, कहलाते हैं सही भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सामान्य भिन्न, दोनों उचित और अनुचित, को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में सोचा जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश, हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
$5:3 = 1\frac(2)(3)$ : 1 - संपूर्ण भाग, और $\frac(2)(3)$ भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश $\frac(a)(b) $ एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
$\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) $

यदि भिन्न का अंश $\frac(a)(b)$ प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
$\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) $

ध्यान दें कि दूसरा नियम भी तब सत्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों को जोड़ना.

आप भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित कर सकते हैं। आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना आसान है। आइए, उदाहरण के लिए, $\frac(2)(7)$ और $\frac(3)(7)$ का योग ज्ञात करें। यह समझना आसान है कि $\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) $

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) $

यदि आपको भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है विभिन्न भाजक, तो उन्हें पहले एक सामान्य विभाजक में लाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
$\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) $

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों को जोड़ना

$2\frac(2)(3)$ जैसे नोटेशन कहलाते हैं मिश्रित अंश. इस स्थिति में, संख्या 2 को कहा जाता है संपूर्ण भागमिश्रित भिन्न, और संख्या $\frac(2)(3)$ इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि $2\frac(2)(3)$ को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई।"

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: $\frac(8)(3)$ और $2\frac(2)(3)$. वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात $\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)$

इस प्रकार, अनुचित भिन्न $\frac(8)(3)$ को मिश्रित भिन्न $2\frac(2)(3)$ के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि अनुचित भिन्न से पूरे भाग पर प्रकाश डाला.

भिन्नों को घटाना (आंशिक संख्याएँ)

भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरे में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
$\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) $ चूँकि $\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)$

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
$\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) $

भिन्नों को गुणा करना

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) $

तैयार नियम का उपयोग करके, आप किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से, मिश्रित भिन्न से गुणा कर सकते हैं, और मिश्रित भिन्न को भी गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में, एक मिश्रित भिन्न को - एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुण, साथ ही जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति मान्य हैं।

भिन्नों का विभाजन

आइए भिन्न $\frac(2)(3)$ लें और अंश और हर की अदला-बदली करते हुए इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न $\frac(3)(2)$ मिलता है। इस अंश को कहा जाता है रिवर्सभिन्न $\frac(2)(3)$.

यदि अब हम भिन्न $\frac(3)(2)$ को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न $\frac(2)(3)$ प्राप्त होगा। इसलिए, $\frac(2)(3)$ और $\frac(3)(2)$ जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(6)(5) $ और $\frac(5)(6) $, $\frac(7)(18) $ और $\frac (18) )(7)$.

अक्षरों का उपयोग करके, व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac(a)(b) $ और $\frac(b)(a) $

यह तो स्पष्ट है व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है. उदाहरण के लिए: $\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 $

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, आप भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम कर सकते हैं।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम है:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को विभाजित करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\बड़ा \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) $

यदि लाभांश या भाजक है प्राकृतिक संख्याया एक मिश्रित भिन्न, तो, भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करने के लिए, इसे पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में भिन्न कोई बड़ी परेशानी नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको तर्कसंगत घातांक और लघुगणक वाली घातें नहीं मिल जातीं। और वहां... आप कैलकुलेटर को दबाते हैं और दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूर्ण प्रदर्शन दिखाता है। आपको तीसरी कक्षा की तरह अपने दिमाग से सोचना होगा।

आइए अंततः भिन्नों का पता लगाएं! खैर, आप इनमें कितना उलझ सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

भिन्नों के प्रकार. परिवर्तन.

भिन्न हैं तीन प्रकार.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी क्षैतिज रेखा के बजाय वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, ठीक है, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इसी वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हरयदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है...), तो अपने आप से यह वाक्यांश कहें: " ज़ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़भाजक - देखो zzzzzउह!" देखो, सब कुछ याद किया जाएगा।)

डैश, या तो क्षैतिज या झुका हुआ, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे (हर) तक। बस इतना ही! डैश के बजाय, विभाजन चिन्ह - दो बिंदु लगाना काफी संभव है।

जब पूर्ण विभाजन संभव हो तो ऐसा अवश्य करना चाहिए। अत: भिन्न "32/8" के स्थान पर संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात भी नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है. और यदि यह पूरी तरह विभाज्य नहीं है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको विपरीत ऑपरेशन भी करना पड़ता है। किसी पूर्ण संख्या को भिन्न में बदलें. लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि आपको कार्य "बी" के उत्तर लिखने होंगे।

3. मिश्रित संख्याएँ , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से ऐसा करने में सक्षम होने की आवश्यकता है! अन्यथा आप किसी समस्या में ऐसी संख्या में आ जाएंगे और रुक जाएंगे... कहीं से भी नहीं। लेकिन हम इस प्रक्रिया को याद रखेंगे! थोड़ा नीचे.

सर्वाधिक बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनसे शुरुआत करें. वैसे, यदि किसी भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सबकुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएँ सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

भिन्न का मुख्य गुण.

तो चलिए! सबसे पहले, मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा। भिन्न परिवर्तनों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलता है।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक लिखना जारी रख सकते हैं जब तक आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। मुख्य बात यह समझना है कि ये सभी विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं वही अंश . 2/3.

क्या हमें इसकी, इन सभी परिवर्तनों की आवश्यकता है? हाँ! अब आप खुद ही देख लेंगे. आरंभ करने के लिए, आइए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें अंशों को कम करना. यह एक प्राथमिक बात प्रतीत होगी. अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करें और बस इतना ही! गलती करना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप कहीं भी गलती कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे भिन्न को नहीं, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

अतिरिक्त कार्य किए बिना भिन्नों को सही ढंग से और शीघ्रता से कैसे कम किया जाए, इसके बारे में विशेष धारा 555 में पढ़ा जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह बस उन सभी चीज़ों को काट देता है जो ऊपर और नीचे समान हैं! यदि आप चाहें तो यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती, एक भूल छिपी हुई है।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

यहां सोचने की कोई बात नहीं है, ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से दो अक्षर काट दें! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन सच में आपने बंटवारा कर लिया सभी अंश और सभी हर "ए" है। यदि आप केवल काट देने के आदी हैं, तो जल्दबाजी में आप अभिव्यक्ति में "ए" को काट सकते हैं

और इसे फिर से प्राप्त करें

जो कि सर्वथा असत्य होगा। क्योंकि यहाँ सभी"ए" पर अंश पहले से ही है साझा नहीं किया गया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता. वैसे, ऐसी कमी, उम्म... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती है। यह माफ़ नहीं है! तुम्हे याद है? कम करते समय, आपको विभाजित करने की आवश्यकता है सभी अंश और सभी भाजक!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। अब मैं उसके साथ कैसे काम करना जारी रख सकता हूं? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, और सावधानी से इसे पाँच से कम कर देते हैं, और पाँच से कम कर देते हैं, और यहाँ तक कि... जबकि इसे छोटा किया जा रहा है, संक्षेप में। आइए 3/8 प्राप्त करें! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मुख्य गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने और इसके विपरीत करने की अनुमति देता है बिना कैलकुलेटर के! यह एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव भिन्नों के साथ सब कुछ सरल है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य दशमलव पच्चीस सौवाँ भाग है। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (हम अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य भिन्न मिलता है: 1/4। सभी। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। जैसे 0.3. यह तीन दसवाँ भाग है, अर्थात्। 3/10.

यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम पूर्ण अंश लिखते हैं बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन दशमलव सत्रह सौवाँ भाग है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ, इसका मतलब सब कुछ है। यह उत्तर है. प्राथमिक, वॉटसन! जो कुछ कहा गया है, उससे एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन कुछ लोग कैलकुलेटर के बिना साधारण से दशमलव में उलटा रूपांतरण नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप एकीकृत राज्य परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे!? ध्यान से पढ़ें और इस प्रक्रिया में महारत हासिल करें।

दशमलव भिन्न की विशेषता क्या है? उसका भाजक है हमेशालागत 10, या 100, या 1000, या 10000 इत्यादि। यदि आपके उभयनिष्ठ भिन्न का हर इस प्रकार है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4. या 7/100 = 0.07. या 12/10 = 1.2. यदि अनुभाग "बी" में कार्य का उत्तर 1/2 निकला तो क्या होगा? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

आइए याद करें भिन्न का मुख्य गुण ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। कुछ भी, वैसे! बेशक, शून्य को छोड़कर। तो आइए इस संपत्ति का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (बेशक, छोटा बेहतर है...)? 5 बजे, ज़ाहिर है। बेझिझक हर को गुणा करें (यह है)। हमआवश्यक) 5 से। लेकिन फिर अंश को भी 5 से गुणा करना होगा। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमाँग! हमें 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 मिलता है। इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 3/16 मिलेगा। कोशिश करें और पता लगाएं कि 100 या 1000 बनाने के लिए 16 को किससे गुणा करें... क्या यह काम नहीं करता है? फिर आप आसानी से 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको कागज के एक टुकड़े पर एक कोने से विभाजित करना होगा, जैसा कि वे प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाते थे। हमें 0.1875 मिलता है।

और बहुत ख़राब भाजक भी हैं. उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को अच्छे दशमलव में बदलने का कोई तरीका नहीं है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश है अनुवादित नहीं. 1/7, 5/6 इत्यादि के समान। उनमें से कई ऐसे हैं जिनका अनुवाद नहीं किया जा सकता। यह हमें एक और उपयोगी निष्कर्ष पर लाता है। प्रत्येक भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता !

वैसे, यह उपयोगी जानकारीआत्म परीक्षण के लिए. अनुभाग "बी" में आपको अपने उत्तर में एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह भिन्न दशमलव में परिवर्तित नहीं होता. इसका मतलब है कि आपने रास्ते में कहीं न कहीं गलती की है! वापस जाएँ और समाधान की जाँच करें।

इसलिए, हमने साधारण और दशमलव भिन्नों का पता लगाया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटना बाकी है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। यह कैसे करें? आप छठी कक्षा के विद्यार्थी को पकड़ कर उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठी कक्षा का विद्यार्थी हमेशा साथ नहीं रहेगा... आपको यह स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। आपको भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्ण भाग से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा. हर के बारे में क्या? विभाजक वही रहेगा. यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है। आइए एक उदाहरण देखें.

मान लीजिए कि आप समस्या में संख्या देखकर भयभीत हो गए:

शांति से, बिना घबराहट के, हम सोचते हैं। सम्पूर्ण भाग 1. इकाई है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अत: भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश को गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा। इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

क्या यह स्पष्ट है? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! साधारण भिन्नों में बदलें. आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, यदि ऐसा है... और यदि आप हाई स्कूल में नहीं हैं, तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वैसे, आप वहां अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

ख़ैर, व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आपने भिन्नों के प्रकार याद किये और समझे कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में स्थानांतरित करें। प्रश्न बना हुआ है: किस लिए इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई भी उदाहरण स्वयं ही आवश्यक कार्यवाही का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक कि मिश्रित संख्याओं को एक साथ मिलाया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर यह 0.8 + 0.3 जैसा कुछ कहता है, तो हम इसे बिना किसी अनुवाद के उसी तरह गिनते हैं। हमें अतिरिक्त कार्य की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य पूर्णतः है दशमलव, लेकिन उम... कुछ प्रकार के दुष्ट, सामान्य लोगों के पास जाएं, इसे आज़माएं! देखिए, सब ठीक हो जाएगा. उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। यदि आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने की आदत नहीं है तो यह इतना आसान नहीं है! आपको न केवल किसी कॉलम में संख्याओं को गुणा करना है, बल्कि आपको यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से आपके दिमाग में काम नहीं करेगा! यदि हम एक साधारण भिन्न की ओर बढ़ें तो क्या होगा?

0.125 = 125/1000. हम इसे 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत करने वालों के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 से हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह अभी भी सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है. हम इसे आसानी से वर्गित कर सकते हैं (अपने दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त कर सकते हैं। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव एवं मिश्रित संख्याएँ हमेशासाधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा स्थानांतरण हमेशा नहींसंभव

3. किसी कार्य पर काम करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव कार्य पर ही निर्भर करता है। उपलब्धता का विषय अलग - अलग प्रकारएक कार्य में भिन्न, सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों की ओर बढ़ना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं. सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह उत्तर मिलना चाहिए (अव्यवस्था में!):

आइए इसे समाप्त करें। इस पाठ में हमने अपनी यादें ताज़ा कीं प्रमुख बिंदुभिन्नों द्वारा. हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है...) यदि कोई इसे पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं कर पाया है... तो आप एक विशेष धारा 555 पर जा सकते हैं। वहां सभी बुनियादी बातों को विस्तार से शामिल किया गया है। कई अचानक सब कुछ समझोशुरू कर रहे हैं. और वे तुरंत भिन्नों को हल कर देते हैं)।

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भिन्न को बड़ा करने के लिए भिन्न को कम करना आवश्यक है सरल दृश्य, उदाहरण के लिए, किसी अभिव्यक्ति को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

भिन्नों को कम करना, परिभाषा और सूत्र।

घटता हुआ भिन्न क्या है? भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

परिभाषा:
भिन्नों को कम करना- यह एक भिन्न के अंश और हर का एक ही धनात्मक संख्या से विभाजन है जो शून्य और एक के बराबर नहीं है। कमी के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर वाला एक भिन्न प्राप्त होता है, जो पिछले भिन्न के बराबर होता है।

भिन्नों को कम करने का सूत्रमुख्य संपत्ति भिन्नात्मक संख्याएं.

$\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)$

आइए एक उदाहरण देखें:
भिन्न को कम करें $\frac(9)(15)$

समाधान:
हम भिन्न का विस्तार कर सकते हैं प्रमुख कारकऔर सामान्य कारकों को कम करें।

$\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)$

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न $\frac(3)(5)$ प्राप्त हुआ। परिमेय संख्याओं के मूल गुण के अनुसार मूल और परिणामी भिन्न बराबर होती हैं।

$\frac(9)(15)=\frac(3)(5)$

भिन्नों को कैसे कम करें? किसी अंश को उसके अघुलनशील रूप में कम करना।

परिणामस्वरूप एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमें इसकी आवश्यकता है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) खोजेंभिन्न के अंश और हर के लिए.

जीसीडी खोजने के कई तरीके हैं; उदाहरण में हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय भिन्न $\frac(48)(136)$ प्राप्त करें।

समाधान:
आइए जीसीडी(48,136) खोजें। आइए संख्याओं 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

$\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रेक(6)(17)$

भिन्न को अघुलनशील रूप में घटाने का नियम।

हमें अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है।
विभाजन के परिणामस्वरूप एक अपरिवर्तनीय भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करना होगा।

उदाहरण:
भिन्न को कम करें $\frac(152)(168)$.

समाधान:
आइए जीसीडी(152,168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

$\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)$

उत्तर: $\frac(19)(21)$ एक अपरिवर्तनीय भिन्न है।

अनुचित भिन्नों को कम करना.

छोटा कैसे करें सही अंश?
भिन्नों को कम करने के नियम उचित और अनुचित भिन्नों के लिए समान हैं।

आइए एक उदाहरण देखें:
अनुचित भिन्न $\frac(44)(32)$ को कम करें।

समाधान:
आइए अंश और हर को सरल गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम कर देंगे।

$\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \गुना 2 \गुना 2)=\frac(11)(8)$

मिश्रित अंशों को कम करना.

मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्न के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे भाग को न छुएं, बल्कि आंशिक भाग को कम करेंया मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें, उसे कम करें और वापस उचित भिन्न में बदलें।

आइए एक उदाहरण देखें:
मिश्रित भिन्न $2\frac(30)(45)$ को रद्द करें।

समाधान:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
आइए भिन्नात्मक भाग को सरल गुणनखंडों में लिखें, लेकिन हम संपूर्ण भाग को नहीं छूएंगे।

$2\frac(30)(45)=2\frac(2 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))(3 \गुना \रंग(लाल) (5 \गुना 3))=2\ फ़्रेक(2)(3)$

दूसरा तरीका:
आइए पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलें, और फिर इसे अभाज्य गुणनखंडों में लिखें और घटाएँ। आइए परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

$2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)$

संबंधित प्रश्न:
क्या आप जोड़ते या घटाते समय भिन्नों को कम कर सकते हैं?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही उन्हें घटाना होगा। आइए एक उदाहरण देखें:

अभिव्यक्ति $\frac(50+20-10)(20)$ का मूल्यांकन करें।

समाधान:
वे अक्सर अंश और हर में समान संख्याओं को कम करने की गलती करते हैं, हमारे मामले में संख्या 20 है, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव पूरा नहीं कर लेते तब तक उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

$\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3$

आप भिन्न को किन संख्याओं से कम कर सकते हैं?
उत्तर: आप भिन्न को सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड या अंश और हर के सामान्य भाजक से कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(100)(150)$.

आइए संख्याओं 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 होगी

$\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)$

हमें अपरिवर्तनीय भिन्न $\frac(2)(3)$ मिला।

लेकिन हमेशा जीसीडी द्वारा विभाजित करना आवश्यक नहीं है; एक अघुलनशील अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा भिन्न को कम कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में 2 का उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न $\frac(100)(150)$ को 2 से कम करें।

$\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)$

हमें कम करने योग्य अंश $\frac(50)(75)$ मिला।

किन भिन्नों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का भाजक एक समान हो। उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(4)(8)$. संख्या 4 और 8 में एक संख्या होती है जिससे वे दोनों विभाज्य होते हैं - संख्या 2। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से कम किया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों $\frac(2)(3)$ और $\frac(8)(12)$ की तुलना करें।

ये दोनों भिन्न बराबर हैं. आइए भिन्न $\frac(8)(12)$ पर करीब से नज़र डालें:

$\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\गुना 1=\frac(2)(3)$

यहां से हमें मिलता है, $\frac(8)(12)=\frac(2)(3)$

दो भिन्न बराबर होती हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से एक भिन्न को अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड द्वारा दूसरे भिन्न को कम करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो, तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) $\frac(90)(65)$ b) $\frac(27)(63)$ c) $\frac(17)(100)$ d) $\frac(100)(250)$

समाधान:
a) $\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)$
बी) $\frac(27)(63)=\frac(\color(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 3)(\रंग(लाल) (3 \गुना 3) \गुना 7)=\frac (3)(7)$
c) $\frac(17)(100)$ अघुलनशील अंश
d) $\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ गुणा 5)=\frac(2)(5)$

किसी भिन्न को कम करने का तरीका जानने और ऐसे उदाहरणों को हल करने में स्थिर कौशल के बिना, स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करना बहुत मुश्किल है। आप जितना आगे बढ़ेंगे, संक्षेपण के बारे में आपका बुनियादी ज्ञान उतना ही अधिक होगा साधारण अंशआरोपित नई जानकारी. सबसे पहले, शक्तियां प्रकट होती हैं, फिर कारक, जो बाद में बहुपद बन जाते हैं।

आप यहां भ्रमित होने से कैसे बच सकते हैं? पिछले विषयों में कौशल को पूरी तरह से समेकित करें और धीरे-धीरे एक अंश को कम करने के ज्ञान के लिए तैयारी करें, जो साल-दर-साल और अधिक जटिल होता जाता है।

बुनियादी ज्ञान

इनके बिना आप किसी भी स्तर के कार्यों का सामना नहीं कर पाएंगे। समझने के लिए आपको दो आसान बातें समझनी होंगी. पहला: आप केवल कारकों को कम कर सकते हैं। जब अंश या हर में बहुपद आते हैं तो यह बारीकियां बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। फिर आपको स्पष्ट रूप से अंतर करने की आवश्यकता है कि गुणक कहां है और जोड़ कहां है।

दूसरा बिंदु कहता है कि किसी भी संख्या को गुणनखंडों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, कमी का परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश और हर अब कम नहीं किया जा सकता है।

सामान्य भिन्नों को कम करने के नियम

सबसे पहले, आपको यह जांचना चाहिए कि अंश हर से विभाज्य है या इसके विपरीत। फिर यही वह संख्या है जिसे कम करने की जरूरत है। यह सबसे सरल विकल्प है.

दूसरा है विश्लेषण उपस्थितिनंबर. यदि दोनों एक या अधिक शून्य पर समाप्त होते हैं, तो उन्हें 10, 100 या एक हजार तक छोटा किया जा सकता है। यहां आप देख सकते हैं कि संख्याएं सम हैं या नहीं। यदि हां, तो आप इसे सुरक्षित रूप से दो से काट सकते हैं।

भिन्न को कम करने का तीसरा नियम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना है। इस समय, आपको संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के बारे में अपने सभी ज्ञान का सक्रिय रूप से उपयोग करने की आवश्यकता है। इस अपघटन के बाद, जो कुछ बचता है वह है सभी दोहराई जाने वाली संख्याओं को ढूंढना, उन्हें गुणा करना और परिणामी संख्या से उन्हें कम करना।

यदि भिन्न में बीजगणितीय व्यंजक हो तो क्या होगा?

यहीं पर पहली कठिनाइयाँ सामने आती हैं। क्योंकि यहीं पर ऐसे शब्द प्रकट होते हैं जो कारकों के समान हो सकते हैं। मैं वास्तव में उन्हें कम करना चाहता हूं, लेकिन मैं नहीं कर सकता। इससे पहले कि आप किसी बीजगणितीय भिन्न को कम कर सकें, उसे इस प्रकार परिवर्तित किया जाना चाहिए कि उसमें गुणनखंड हों।

ऐसा करने के लिए, आपको कई चरण पूरे करने होंगे. आपको उन सभी से गुज़रने की आवश्यकता हो सकती है, या शायद पहला वाला एक उपयुक्त विकल्प प्रदान करेगा।

जांचें कि क्या अंश और हर या उनमें कोई अभिव्यक्ति चिह्न से भिन्न है। इस मामले में, आपको बस कोष्ठक में से ऋण एक लगाना होगा। इससे समान कारक उत्पन्न होते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

देखें कि क्या कोष्ठक के बाहर बहुपद से उभयनिष्ठ गुणनखंड को हटाना संभव है। शायद इसके परिणामस्वरूप एक कोष्ठक बनेगा, जिसे छोटा भी किया जा सकता है, या यह एक हटा दिया गया एकपदी होगा।

एकपदी को समूहीकृत करने का प्रयास करें ताकि उनमें एक सामान्य गुणनखंड जोड़ा जा सके। इसके बाद, यह पता चल सकता है कि ऐसे कारक होंगे जिन्हें कम किया जा सकता है, या फिर से सामान्य तत्वों की ब्रैकेटिंग दोहराई जाएगी।

लिखित रूप में संक्षिप्त गुणन सूत्रों पर विचार करने का प्रयास करें। इनकी सहायता से आप बहुपदों को आसानी से गुणनखंडों में बदल सकते हैं।

घातों के साथ भिन्नों के साथ संक्रियाओं का क्रम

घातों के साथ भिन्न को कैसे कम किया जाए, इस प्रश्न को आसानी से समझने के लिए, आपको उनके साथ बुनियादी संचालन को दृढ़ता से याद रखने की आवश्यकता है। इनमें से पहला शक्तियों के गुणन से संबंधित है। इस मामले में, यदि आधार समान हैं, तो संकेतक जोड़े जाने चाहिए।

दूसरा है विभाजन. फिर, जिनके कारण समान हैं, उनके लिए संकेतकों को घटाना होगा। इसके अलावा, आपको उस संख्या से घटाना होगा जो लाभांश में है, न कि इसके विपरीत।

तीसरा है घातांक। इस स्थिति में, संकेतक कई गुना बढ़ जाते हैं।

सफल कमी के लिए समान आधारों पर शक्तियों को कम करने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। अर्थात्, यह देखना कि चार दो वर्ग हैं। या 27 - तीन का घन. क्योंकि 9 वर्ग और 3 घन कम करना कठिन है। लेकिन यदि हम पहले व्यंजक को (3 2) 2 के रूप में रूपांतरित करें तो कमी सफल होगी।