Matematiikka on tieteen viisauden symboli,
esimerkki tieteellisestä tarkkuudesta ja yksinkertaisuudesta,
tieteen täydellisyyden ja kauneuden taso.
Venäläinen filosofi, professori A.V. Vološinov
Modulo-epäyhtälöt
Koulumatematiikan vaikeimpia ratkaistavia ongelmia ovat eriarvoisuus, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla. Tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi onnistuneesti on välttämätöntä tuntea moduulin ominaisuudet hyvin ja osata käyttää niitä.
Peruskäsitteet ja ominaisuudet
Reaaliluvun moduuli (absoluuttinen arvo). merkitty ja se määritellään seuraavasti:
Moduulin yksinkertaiset ominaisuudet sisältävät seuraavat suhteet:
JA .
Merkintä, että kaksi viimeistä ominaisuutta pätevät mille tahansa parilliselle asteelle.
Myös jos , missä , sitten ja
Lisää monimutkaiset ominaisuudet moduuli, joita voidaan käyttää tehokkaasti yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen moduuleilla, on muotoiltu seuraavien lauseiden avulla:
Lause 1.Kaikille analyyttisille toiminnoille ja eriarvoisuutta.
Lause 2. Tasa-arvo vastaa eriarvoisuutta.
Lause 3. Tasa-arvo vastaa eriarvoisuutta.
Yleisimmät epätasa-arvot koulumatematiikassa, jotka sisältävät tuntemattomia muuttujia modulo-merkin alla, ovat muodon epätasa-arvoa ja missä jokin positiivinen vakio.
Lause 4. Epätasa-arvo vastaa kaksinkertaista epätasa-arvoa, ja ratkaisu epätasa-arvoonpelkistyy epätasa-arvojoukon ratkaisemiseen ja .
Tämä lause on lauseiden 6 ja 7 erityinen tapaus.
Monimutkaisempia eriarvoisuuksia, moduulin sisältävät ovat muodon epäyhtälöitä, ja .
Menetelmät tällaisten epäyhtälöiden ratkaisemiseksi voidaan muotoilla käyttämällä seuraavia kolmea lausetta.
Lause 5. Epätasa-arvo vastaa kahden epätasa-arvojärjestelmän yhdistelmää
JA (1)
Todiste. Siitä lähtien
Tämä tarkoittaa kohdan (1) pätevyyttä.
Lause 6. Epätasa-arvo vastaa epätasa-arvojärjestelmää
Todiste. Koska , sitten eriarvoisuudesta seuraa sitä . Tässä tilanteessa epätasa-arvoja tässä tapauksessa toinen epäyhtälöjärjestelmä (1) osoittautuu epäjohdonmukaiseksi.
Lause on todistettu.
Lause 7. Epätasa-arvo vastaa yhden epätasa-arvon ja kahden eriarvoisuusjärjestelmän yhdistelmää
JA (3)
Todiste. Siitä lähtien, sitten epätasa-arvo aina toteutettu, jos.
Päästää , sitten epätasa-arvotulee olemaan eriarvoisuutta, josta seuraa kahden epätasa-arvon joukko ja .
Lause on todistettu.
Harkitse tyypillisiä esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Epätasa-arvo, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla.
Epäyhtälöiden ratkaiseminen moduulilla
Yksinkertaisin menetelmä moduulin epäyhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä, moduulin laajennuksen perusteella. Tämä menetelmä on yleinen, sen soveltaminen voi kuitenkin yleensä johtaa erittäin hankalia laskelmiin. Siksi opiskelijoiden tulee tietää myös muita (tehokkaampia) menetelmiä ja tekniikoita tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi. Erityisesti, täytyy olla taidot soveltaa lauseita, annettu tässä artikkelissa.
Esimerkki 1Ratkaise epätasa-arvo
. (4)
Ratkaisu.Epäyhtälö (4) ratkaistaan "klassisella" menetelmällä - modulilaajennusmenetelmällä. Tätä varten katkaisemme numeerisen akselin pisteitä ja väliajoin ja harkitse kolmea tapausta.
1. Jos , niin , , , ja epätasa-arvo (4) saa muodon tai .
Koska tapausta tarkastellaan tässä, , on ratkaisu epätasa-arvoon (4).
2. Jos , niin epäyhtälöstä (4) saadaan tai . Intervallien leikkauspisteestä lähtien ja on tyhjä, silloin epäyhtälölle (4) ei ole ratkaisuja tarkasteluvälillä.
3. Jos , silloin epäyhtälö (4) saa muodon tai . Se on selvää on myös ratkaisu epätasa-arvoon (4).
Vastaus: ,.
Esimerkki 2 Ratkaise epätasa-arvo.
Ratkaisu. Oletetaan, että. Koska , silloin annettu epäyhtälö saa muodon tai . Siitä lähtien ja siitä seuraa tai .
Kuitenkin siksi tai .
Esimerkki 3 Ratkaise epätasa-arvo
. (5)
Ratkaisu. Koska , silloin epäyhtälö (5) on ekvivalentti epäyhtälöille tai . Täältä, Lauseen 4 mukaan, meillä on joukko eriarvoisuutta ja .
Vastaus: ,.
Esimerkki 4Ratkaise epätasa-arvo
. (6)
Ratkaisu. Merkitään. Sitten epäyhtälöstä (6) saadaan epäyhtälöt , , tai .
Täältä, käyttämällä intervallimenetelmää, saamme . Koska , niin tässä meillä on epätasa-arvojärjestelmä
Järjestelmän (7) ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu on kahden välin liitto ja , ja toisen epäyhtälön ratkaisu on kaksois-epäyhtälö. Tämä tarkoittaa, että ratkaisu epäyhtälöjärjestelmälle (7) on kahden välin liitto ja .
Vastaus: ,
Esimerkki 5Ratkaise epätasa-arvo
. (8)
Ratkaisu. Muunnamme epäyhtälön (8) seuraavasti:
Tai .
Intervallimenetelmän soveltaminen, saamme ratkaisun epätasa-arvoon (8).
Vastaus:.
Merkintä. Jos laitamme ja lauseen 5 ehtoon, saamme .
Esimerkki 6 Ratkaise epätasa-arvo
. (9)
Ratkaisu. Epäyhtälöstä (9) seuraa. Muunnamme epäyhtälön (9) seuraavasti:
Tai
Siitä lähtien tai .
Vastaus:.
Esimerkki 7Ratkaise epätasa-arvo
. (10)
Ratkaisu. Koska ja , sitten tai .
Tässä yhteydessä ja epätasa-arvo (10) saa muodon
Tai
. (11)
Tästä seuraa, että tai . Koska , Sitten epätasa-arvo (11) merkitsee myös tai .
Vastaus:.
Merkintä. Jos soveltamme Lause 1 epäyhtälön (10) vasemmalle puolelle, sitten saamme . Tästä ja epätasa-arvosta (10) se seuraa, että tai . Koska , silloin epäyhtälö (10) saa muodon tai .
Esimerkki 8 Ratkaise epätasa-arvo
. (12)
Ratkaisu. Siitä lähtien ja epätasa-arvo (12) tarkoittaa tai . Kuitenkin siksi tai . Täältä saamme tai .
Vastaus:.
Esimerkki 9 Ratkaise epätasa-arvo
. (13)
Ratkaisu. Lauseen 7 mukaan epäyhtälön (13) ratkaisut ovat tai .
Anna nyt. Tässä tapauksessa ja epätasa-arvo (13) saa muodon tai .
Jos yhdistämme välit ja , sitten saadaan ratkaisu muodon epäyhtälölle (13)..
Esimerkki 10 Ratkaise epätasa-arvo
. (14)
Ratkaisu. Kirjoitetaan epäyhtälö (14) vastaavaan muotoon: . Jos soveltamme Lauseen 1 tämän epäyhtälön vasemmalle puolelle, saadaan epäyhtälö .
Tästä ja lauseesta 1 se seuraa, että epäyhtälö (14) täyttyy mille tahansa arvolle.
Vastaus: mikä tahansa numero.
Esimerkki 11. Ratkaise epätasa-arvo
. (15)
Ratkaisu. Lauseen 1 soveltaminen epäyhtälön (15) vasemmalle puolelle, saamme . Tästä ja epäyhtälöstä (15) seuraa yhtälö, joka näyttää.
Lauseen 3 mukaan, yhtälö vastaa eriarvoisuutta. Täältä saamme.
Esimerkki 12.Ratkaise epätasa-arvo
. (16)
Ratkaisu. Epäyhtälöstä (16) saadaan lauseen 4 mukaan epäyhtälöjärjestelmä
Kun ratkaistaan eriarvoisuuttakäytämme Lauseen 6 ja saamme epäyhtälöjärjestelmänjosta seuraa.
Harkitse eriarvoisuutta. Lauseen 7 mukaan, saamme joukon epäyhtälöitä ja . Toinen väestön eriarvoisuus pätee mihin tahansa todellisuuteen.
Tämän seurauksena epäyhtälön (16) ratkaisu ovat.
Esimerkki 13Ratkaise epätasa-arvo
. (17)
Ratkaisu. Lauseen 1 mukaan voimme kirjoittaa
(18)
Ottaen huomioon eriarvoisuuden (17) päätämme, että molemmat epätasa-arvot (18) muuttuvat tasa-arvoiksi, ts. on yhtälöjärjestelmä
Lauseen 3 mukaan tämä yhtälöjärjestelmä vastaa epäyhtälöjärjestelmää
tai
Esimerkki 14Ratkaise epätasa-arvo
. (19)
Ratkaisu. Siitä lähtien . Kerrotaan molemmat epäyhtälön (19) osat lausekkeella , joka mille tahansa arvolle kestää vain positiiviset arvot. Sitten saadaan epäyhtälö, joka vastaa muodon epäyhtälöä (19).
Täältä saamme tai missä . Siitä lähtien ja niin eriarvoisuuden (19) ratkaisut ovat ja .
Vastaus: ,.
Jos haluat syvemmälle tutkia menetelmiä epätasa-arvojen ratkaisemiseksi moduulin avulla, on suositeltavaa viitata opetusohjelmiin, lueteltu suositusten luettelossa.
1. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. - M .: Maailma ja koulutus, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: menetelmiä eriarvoisuuksien ratkaisemiseen ja todistamiseen. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 s.
3. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: epätyypilliset menetelmät ongelmien ratkaisemiseen. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.
Onko sinulla kysymyksiä?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Miten enemmän ihmisiä ymmärtää, sitä vahvempi on halu ymmärtää
Tuomas Akvinolainen
Intervallimenetelmän avulla voit ratkaista kaikki moduulin sisältävät yhtälöt. Tämän menetelmän ydin on jakaa numeerinen akseli useisiin osiin (intervalleihin), ja on tarpeen jakaa akseli moduulien lausekkeiden nollien kanssa. Sitten jokaisessa tuloksena olevassa osiossa mikä tahansa alimoduulilauseke on joko positiivinen tai negatiivinen. Siksi jokainen moduuli voidaan laajentaa joko miinusmerkillä tai plusmerkillä. Näiden toimien jälkeen jää vain ratkaista jokainen saatu yksinkertaiset yhtälöt tarkasteluvälillä ja yhdistä saadut vastaukset.
Tarkastellaan tätä menetelmää tietyssä esimerkissä.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.
1) Etsi moduulien lausekkeiden nollat. Tätä varten vertaamme ne nollaan ja ratkaisemme tuloksena olevat yhtälöt.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Järjestä saadut pisteet haluttuun järjestykseen koordinaattiviivalle. Ne jakavat koko akselin neljään osaan.
3) Määritetään jokaisesta tuloksena olevasta osiosta moduulien lausekkeiden etumerkit. Tätä varten korvaamme niissä mitkä tahansa numerot meitä kiinnostavista aikaväleistä. Jos laskennan tulos on positiivinen luku, laitamme taulukkoon "+", ja jos luku on negatiivinen, laitamme "-". Tämä voidaan kuvata näin: 
4) Nyt ratkaisemme yhtälön jokaisella neljästä intervallista avaamalla moduulit taulukossa olevilla merkeillä. Joten harkitse ensimmäistä väliä:
I-väli (-∞; -3). Siinä kaikki moduulit avataan "-" -merkillä. Saamme seuraavan yhtälön:
-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Esitämme samankaltaiset termit avattuamme aiemmin sulut tuloksena olevassa yhtälössä:
X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6
Saatu vastaus ei sisälly tarkasteltuun väliin, joten sitä ei tarvitse kirjoittaa lopulliseen vastaukseen.
II intervalli [-3; -yksi). Tällä aikavälillä taulukossa on merkkejä "-", "-", "+". Näin paljastamme alkuperäisen yhtälön moduulit:
-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Yksinkertaista laajentamalla sulkeita:
X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Esitämme tuloksena olevaan yhtälöön seuraavaa:
x = 6/5. Tuloksena oleva luku ei kuulu tarkasteltavaan väliin, joten se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.
III intervalli [-1; 2). Avaamme alkuperäisen yhtälön moduulit etumerkeillä, jotka ovat kuvassa kolmannessa sarakkeessa. Saamme:
(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Päästä eroon hakasulkeista, siirrä muuttujan x sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle ja x:ää sisältämättömät termit oikealle . Tulee olemaan:
x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6
Numero 2 ei sisälly tarkasteltuun väliin.
IV intervalli) - he pitävät tätä automaattisesti vääränä vastauksena. Lisäksi testattaessa, jos määritetään ei-tiukka epäyhtälö moduulien kanssa, etsi ratkaisuista alueita hakasulkeilla.
Välillä (-3; 0) moduulia laajentamalla muutetaan funktion etumerkki päinvastaiseksi 
Epätasa-arvoilmoituksen laajuus huomioon ottaen ratkaisulla on muoto
Yhdessä edellisen alueen kanssa tämä antaa kaksi puoliväliä
Esimerkki 5. Etsi ratkaisu epäyhtälölle
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Ratkaisu:
Annetaan ei-tiukka epäyhtälö, jonka alimoduulifunktio on nolla pisteessä x=3. Pienemmillä arvoilla se on negatiivinen, suuremmilla arvoilla positiivinen. Laajennamme moduulia aikavälillä x<3.
Yhtälön diskriminantin löytäminen
ja juuret 
Korvaamalla nollapisteen saadaan selville, että välillä [-1/9; 1] toisen asteen funktio on negatiivinen, joten väli on ratkaisu. Avaa seuraavaksi moduuli x>3:lle 
MOU "Hvastovichskaya yläaste»
"Intervallien menetelmä yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi useilla moduuleilla"
Matematiikan tutkimustyötä
Esitetty:
10 "b" luokan opiskelija
Golysheva Evgeniya
Valvoja:
matematiikan opettaja
Shapenskaya E.N.
Johdanto…………………………………………………………………………… … … ….3 Luku 1. Menetelmät useiden moduulien ongelmien ratkaisemiseen…………… …… …............4 1.1 Moduulin määritelmä. Määritelmän ratkaiseminen………………………………………………………………………………4 1.2 Yhtälöiden ratkaiseminen useilla moduuleilla intervallimenetelmällä………………… …………5 1.3 . Tehtävät useilla moduuleilla. Ratkaisumenetelmät……………………………..7 1.4. Intervallien menetelmä moduulitehtävissä…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. .…. 11 2.1 Yhtälöiden ratkaiseminen useilla moduuleilla intervallimenetelmällä...….11 2.2 Epäyhtälöiden ratkaiseminen useilla moduuleilla intervallimenetelmällä.…13 Johtopäätös……………………………………………… ………… ……………………………………………………………………………………………………………………………….……….…. 16
Johdanto
Absoluuttisen arvon käsite on yksi luvun tärkeimmistä ominaisuuksista sekä todellisen että kentän alalla kompleksiluvut. Tätä käsitettä käytetään laajasti paitsi koulun matematiikan kurssin eri osissa, myös korkeakouluissa opiskelevilla korkeamman matematiikan, fysiikan ja teknisten tieteiden kursseilla. Absoluuttisiin arvoihin liittyviä ongelmia löytyy usein matemaattisista olympialaisista, pääsykokeet yliopistoissa ja tentissä.
Aihe:"Intervallimenetelmä yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi useilla moduuleilla intervallimenetelmällä".
Tavoitealue: matematiikka.
Tutkimuksen kohde: yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu moduulin kanssa.
Opintojen aihe: intervallimenetelmä monimoduuliratkaisulle.
Tutkimuksen tarkoitus: paljastaa yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisen tehokkuus useilla moduuleilla intervallimenetelmällä.
Hypoteesi: jos käytät intervallimenetelmää epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisemiseen useilla moduuleilla, voit helpottaa työtäsi huomattavasti.
Työtavat: tiedon kerääminen ja sen analysointi.
Tehtävät:
Tutustu aiheeseen liittyvään kirjallisuuteen.
Harkitse useiden moduulien epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisuja.
Paljasta eniten tehokas menetelmä ratkaisuja.
Projektin käytännön opastus:
Tämä työ voidaan käyttää mm opinto-opas opiskelijoille ja menetelmäkäsikirja opettajalle.
Luku 1.
1.1 Moduulin määritelmä. Ratkaisu määritelmän mukaan.
Määritelmän mukaan ei-negatiivisen luvun a moduuli tai itseisarvo on sama kuin itse luku, ja negatiivisen luvun moduuli on vastakkainen numero, tuo on:
Luvun moduuli on aina ei-negatiivinen. Harkitse esimerkkejä.
Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö |–x| = -3.
Tässä ei ole tarvetta analysoida tapauksia, koska luvun itseisarvo on aina ei-negatiivinen, mikä tarkoittaa, että tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Kirjoitetaan näiden yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisu yleisnäkymä:
Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö |x| = 2 – x.
Ratkaisu. Kohdalle x 0 meillä on yhtälö x = 2 – x, ts. x = 1. Koska 1 0, x = 1 on alkuperäisen yhtälön juuri. Toisessa tapauksessa (x
Vastaus: x = 1.
Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö 3|x – 3| + x = -1.
Ratkaisu. Tässä jako tapauksiin määräytyy lausekkeen x – 3 etumerkillä. Kohdalle x – 3 ³ 0 meillä on 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Mutta 2 – 3 0.
Vastaus: Yhtälöllä ei ole juuria.
Esimerkki 4 Ratkaise yhtälö |x – 1| = 1 – x.
Ratkaisu. Koska 1 - x \u003d - (x - 1), moduulin määritelmästä seuraa suoraan, että ne ja vain ne x, joille x - 1 0, täyttävät yhtälön. Tämä yhtälö on pelkistetty epäyhtälöksi ja vastaus on kokonainen väli (säde).
Vastaus: x 1.
1.2. Yhtälöiden ratkaiseminen moduulilla järjestelmien avulla.
Aiemmin analysoidut esimerkit antavat meille mahdollisuuden muotoilla säännöt moduulien etumerkistä vapautumiselle yhtälöissä. Yhtälöille, joiden muoto on |f(x)| = g(x) on olemassa kaksi tällaista sääntöä:
1. sääntö: |f(x)| = g(x) w (1)
2. sääntö: |f(x)| = g(x) Û (2)
Selvitetään tässä käytetty merkintä. Kiharat hakasulkeet tarkoittavat järjestelmiä ja hakasulkeet kokoelmia.
Yhtälöjärjestelmän ratkaisut ovat muuttujan arvoja, jotka samanaikaisesti täyttävät kaikki järjestelmän yhtälöt.
Yhtälöjoukon ratkaisut ovat kaikki muuttujan arvoja, joista jokainen on vähintään yhden joukon yhtälön juuri.
Kaksi yhtälöä ovat ekvivalentteja, jos mikä tahansa ratkaisu niistä on myös ratkaisu toiselle, toisin sanoen, jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.
Jos yhtälö sisältää useita moduuleja, voit päästä eroon niistä vuorotellen yllä olevien sääntöjen avulla. Mutta yleensä on pikakuvakkeita. Tutustumme niihin myöhemmin, mutta nyt harkitsemme näiden yhtälöiden yksinkertaisimman ratkaisua:
|f(x)| = |g(x)| Û
Tämä vastaavuus seuraa tosiasiasta ilmeinen tosiasia että jos kahden luvun moduulit ovat yhtä suuret, niin itse luvut ovat joko yhtä suuria tai vastakkaisia.
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Ratkaisu. Päätetään eroon moduulista kahdella yllä kuvatulla tavalla:
1 tapa: 2 tapa:
Kuten näette, molemmissa tapauksissa on tarpeen ratkaista samat kaksi neliöyhtälöä, mutta ensimmäisessä tapauksessa niihin liittyy neliöllinen epäyhtälö ja toisessa - lineaarinen. Siksi toinen menetelmä tälle yhtälölle on yksinkertaisempi. Ratkaisemalla toisen asteen yhtälöitä löydämme ensimmäisen juuret, molemmat juuret täyttävät epäyhtälön . Toisen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole juuria.
Vastaus:.
Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö |x 2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.
Ratkaisu. Tiedämme jo, että ei ole tarpeen ottaa huomioon (jopa 4) lausekkeiden merkkien jakautumisen muunnelmia moduulien alla: tämä yhtälö vastaa kahden yhdistelmää. toisen asteen yhtälöt ilman lisäepäyhtälöitä: Mikä on ekvivalentti: Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisujoukkoa (sen diskriminantti on negatiivinen), toisella yhtälöllä on kaksi juuria.
1.3. Tehtävät useilla moduuleilla. Ratkaisumenetelmät.
Moduulien peräkkäinen laajennus.
Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen on kaksi päätapaa, jotka sisältävät useita moduuleja. Voit kutsua niitä "sarja" ja "rinnakkais". Tutustutaan nyt ensimmäiseen niistä.
Hänen ajatuksensa on, että ensin yksi moduuleista eristetään yhtälön (tai epäyhtälön) osassa ja paljastetaan jollakin aiemmin kuvatuista menetelmistä. Sitten sama toistetaan jokaisen tuloksena olevan yhtälön kanssa moduulien kanssa ja niin edelleen, kunnes pääsemme eroon kaikista moduuleista.
Esimerkki1. Ratkaise yhtälö: +
Ratkaisu. Eristämme toisen moduulin ja avaamme sen ensimmäisellä menetelmällä, eli yksinkertaisesti määrittämällä itseisarvon:
Käytämme toista vapautusmenetelmää moduulista saatuun kahteen yhtälöön:
Lopuksi ratkaisemme tuloksena olevat neljä lineaariset yhtälöt ja valitse ne juuret, jotka täyttävät vastaavat epäyhtälöt. Seurauksena on vain kaksi arvoa: x = –1 ja .
Vastaus: -1; .
Moduulien rinnakkaislaajennus.
Voit poistaa kaikki moduulit kerralla yhtälöstä tai epäyhtälöstä ja kirjoittaa kaikki mahdolliset alimoduulilausekkeiden etumerkkien yhdistelmät. Jos yhtälössä on n moduulia, vaihtoehtoja on 2 n, koska jokainen moduulin alla oleva n lauseke voi vastaanottaa moduulia poistettaessa yhden kahdesta merkistä - plus tai miinus. Periaatteessa meidän on ratkaistava kaikki 2 n yhtälöä (tai epäyhtälöä), jotka on vapautettu moduuleista. Mutta niiden ratkaisut ovat myös alkuperäisen ongelman ratkaisuja vain, jos ne sijaitsevat alueilla, joilla vastaava yhtälö (epäyhtälö) osuu yhteen alkuperäisen kanssa. Nämä alueet määritellään moduulien alla olevilla lausekkeilla. Olemme jo ratkaisseet seuraavan epäyhtälön, joten voit verrata erilaisia lähestymistapoja ratkaisuun.
Esimerkki 2.+
Ratkaisu.
Tarkastellaan 4 mahdollista lausekkeiden merkkijoukkoa moduulien alla.
Vain ensimmäinen ja kolmas näistä juurista täyttävät vastaavat epäyhtälöt ja siten alkuperäisen yhtälön.
Vastaus: -1; .
Vastaavasti voit ratkaista kaikki ongelmat useilla moduuleilla. Mutta kuten mikä tahansa yleinen menetelmä, tämä ratkaisumenetelmä ei ole aina optimaalinen. Alla näemme, kuinka sitä voidaan parantaa.
1.4. Intervallien menetelmä moduulien ongelmissa
Kun tarkastellaan olosuhteita tarkemmin erilaisia muunnelmia alimoduulilausekkeiden etumerkkien jakauma edellisessä ratkaisussa, näemme, että yksi niistä, 1 - 3x
Kuvittele, että ratkaisemme yhtälön, jolla on kolme lineaaristen lausekkeiden moduulia; esimerkiksi |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.
Ensimmäinen moduuli on x - a x ³ a:lle ja a - x x b:lle ja x:lle
Ne muodostavat neljä aukkoa. Jokaisessa niistä jokainen moduulien alla oleva lauseke säilyttää etumerkkinsä, joten yhtälöllä kokonaisuutena moduulien laajentamisen jälkeen on sama muoto jokaisella välillä. Joten 8 teoreettisesti mahdollisesta moduulien avaamisvaihtoehdosta vain 4 osoittautui meille riittäväksi!
Voit myös ratkaista minkä tahansa ongelman useilla moduuleilla. Nimittäin numeerinen akseli jaetaan kaikkien moduulien alla olevien lausekkeiden vakiomerkkiväleihin ja sitten jokaisessa niistä ratkaistaan yhtälö tai epäyhtälö, johon annettu tehtävä kytkeytyy tämän intervallin päälle. Erityisesti, jos kaikki moduulien alla olevat lausekkeet ovat rationaalisia, riittää, että merkitään akselille niiden juuret sekä kohdat, joissa niitä ei ole määritelty, eli niiden nimittäjien juuret. Merkitty pisteet ja asetettu tarvittavat etumerkkien pysyvyyden välit. Samalla tavalla toimimme ratkottaessa rationaalisia epäyhtälöitä intervallimenetelmällä. Ja menetelmällä, jonka olemme kuvanneet moduulien ongelmien ratkaisemiseksi, on sama nimi.
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö.
Ratkaisu. Etsi funktion nollat, mistä . Ratkaisemme tehtävän jokaisella aikavälillä:
Joten tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö.
Ratkaisu. Etsi funktion nollat. Ratkaisemme tehtävän jokaisella aikavälillä:
1) (ei ratkaisuja);
Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö.
Ratkaisu. Absoluuttisen arvon merkin alla olevat lausekkeet katoavat kohdassa . Näin ollen meidän on tarkasteltava kolmea tapausta:
2) - yhtälön juuri;
3) on tämän yhtälön juuri.
Luku 2. Moduuleja sisältävät yhtälöt ja epäyhtälöt.
2.1 Useiden moduulien yhtälöiden ratkaisut intervallimenetelmällä.
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) + x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 - ei tyydytä
kunto x
ei ratkaisuja
2. Jos -2≤x
x+2 = -(x-1)+x-3
tyydyttää
kunto -2
3. Jos x≥1, niin
Vastaus: x = 6
Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö:
1) Etsi alimoduulilausekkeiden nollia
Osamoduulilausekkeiden nollat jakavat numeerisen akselin useisiin intervalleihin. Järjestä alimoduulilausekkeiden etumerkit näille intervalleille.
Jokaisella aikavälillä avaamme moduulit ja ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön. Kun olet löytänyt juuren, tarkistamme, että se kuuluu väliin, jossa olemme Tämä hetki olemme töissä.
1. :
- sopii.
2. :
- ei sovi.
3. :
– sopii.
4. :
- ei sovi. Vastaus:
2.2 Epäyhtälöiden ratkaiseminen useilla moduuleilla intervallimenetelmällä.
Esimerkki 1
Ratkaise epäyhtälö:
|x-1| + |x-3| neljä
-(x-1) - (x-3) 4
2. Jos 1≤x
x-1– (x-3) 4
24 on väärin
ei ratkaisuja
3. Jos x≥3, niin
Vastaus: xЄ (-∞; 0) U (4; + ∞)
Esimerkki 2
Ratkaistaan eriarvoisuus
Ratkaisu. Pisteet ja (moduulin alla olevien lausekkeiden juuret) jakavat koko numeerisen akselin kolmeen väliin, joista jokaisessa tulee laajentaa moduulia.
1) Kun täyttyy, ja epäyhtälöllä on muoto , eli . Tässä tapauksessa vastaus on.
2) Kun , epäyhtälöllä on muoto , eli . Tämä epäyhtälö on totta kaikille muuttujan arvoille, ja koska ratkaisemme sen joukossa, saamme vastauksen toisessa tapauksessa.
3) Kun , Epäyhtälö muunnetaan , ja ratkaisu tässä tapauksessa on . Yleinen epätasa-arvon ratkaisu --- yhdistys saatiin kolme vastausta.
Useita moduuleja sisältävien yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen on siis kätevää käyttää intervallimenetelmää. Tätä varten sinun on löydettävä alimoduulifunktioiden virstanpylväiden nollat, merkitään ne odz yhtälöt ja eriarvoisuudet.
Johtopäätös
AT viime aikoina matematiikassa tehtävien ratkaisun yksinkertaistamiseksi käytetään laajalti menetelmiä, erityisesti intervallimenetelmää, joka mahdollistaa laskelmien huomattavan nopeuttamisen. Siksi intervallimenetelmän tutkiminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi useilla moduuleilla on relevanttia.
Työskennellessäni aiheen "Tuntemattoman moduulimerkin alla sisältävien yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä" parissa, minä: tutkin tätä asiaa koskevaa kirjallisuutta, tutustuin algebralliseen ja graafiseen lähestymistapaan yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi, jotka sisältävät tuntematon moduulimerkin alla ja päätyi siihen tulokseen:
Joissakin tapauksissa yhtälöitä ratkaistaessa moduulilla on mahdollista ratkaista yhtälöt sääntöjen mukaan, ja joskus on kätevämpää käyttää intervallimenetelmää.
Ratkaistaessa yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät moduulin, intervallimenetelmä on visuaalisempi ja suhteellisen yksinkertaisempi.
Kirjoittamisen aikana tutkimustyö Olen paljastanut monia ongelmia, jotka voidaan ratkaista intervallimenetelmällä. Tärkein tehtävä on ratkaista yhtälöitä ja epäyhtälöitä useilla moduuleilla.
Työssäni useiden moduulien välisten epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisussa intervallimenetelmällä havaitsin, että tehtävien ratkaisunopeus kaksinkertaistui. Näin voit nopeuttaa työnkulkua merkittävästi ja vähentää aikakustannuksia. Näin ollen hypoteesini "jos käytät intervallimenetelmää epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisemiseen useilla moduuleilla, voit helpottaa työtäsi suuresti". Opinnäytetyön aikana sain kokemusta yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisesta useiden moduulien avulla. Uskon, että hankkimani tiedon avulla voin välttää virheitä ratkoessani.
Kirjallisuus
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen I.I. M.: Publishing House Factorial, 2009.- 112 s.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Yhtälöt ja epäyhtälöt. Epätyypilliset ratkaisumenetelmät. M.: Publishing House Factorial, 1997. - 219s.
Sevrjukov P.F., Smolyakov A.N. Yhtälöt ja epäyhtälöt moduulien kanssa ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi. M.: Publishing House of Enlightenment 2005. - 112 s.
Sadovnichiy Yu.V. KÄYTTÄÄ. Matematiikan harjoitus. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu. Algebrallisten lausekkeiden muunnos. Moskova: Legion Publishing House 2015 - 128 s.
Shevkin A.V. Neliöllinen epätasa-arvo. intervallimenetelmä. M.: LLC " Venäjän sana– oppikirja”, 2003. – 32 s.
http://padabum.com