حل نابرابری های خطی با مدول. روش بازه ای یک روش جهانی برای حل نابرابری ها با مدول است

ریاضی نمادی از حکمت علم است,

نمونه ای از دقت و سادگی علمی,

معیار کمال و زیبایی در علم

فیلسوف روسی، پروفسور A.V. ولوشینوف

نابرابری های مدول

مشکل ترین مسائل حل در ریاضیات مدرسه، نابرابری ها هستند, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول. برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری هایی، لازم است ویژگی های ماژول را به خوبی بشناسیم و مهارت استفاده از آنها را داشته باشیم.

مفاهیم و ویژگی های اساسی

مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعینشان داده شده است و به صورت زیر تعریف می شود:

ویژگی های ساده ماژول شامل روابط زیر است:

و .

توجه داشته باشید، که دو خاصیت آخر برای هر درجه زوجی وجود دارد.

همچنین، اگر، کجا، سپس و

بیشتر خواص پیچیدهمدول, که می تواند به طور موثر در حل معادلات و نابرابری ها با ماژول ها استفاده شود, با استفاده از قضایای زیر فرموله می شوند:

قضیه 1.برای هر توابع تحلیلیو نابرابری.

قضیه 2.برابری معادل نابرابری است.

قضیه 3.برابری معادل نابرابری است.

رایج ترین نابرابری ها در ریاضیات مدرسه, حاوی متغیرهای ناشناخته در زیر علامت مدول, نابرابری های شکل هستندو کجا مقداری ثابت مثبت

قضیه 4.نابرابری معادل یک نابرابری مضاعف است, و راه حل نابرابریبه حل مجموعه نابرابری ها تقلیل می دهدو .

این قضیه یک مورد خاص از قضایای 6 و 7 است.

نابرابری های پیچیده تر, حاوی ماژول نابرابری های فرم هستند، و .

با استفاده از سه قضیه زیر می‌توان روش‌های حل چنین نامساوی‌هایی را فرمول‌بندی کرد.

قضیه 5.نابرابری معادل ترکیب دو سیستم نابرابری است

و (1)

اثباتاز آن به بعد

این دلالت بر اعتبار (1) دارد.

قضیه 6.نابرابری معادل سیستم نابرابری است

اثباتزیرا ، سپس از نابرابریبه دنبال آن است . تحت این شرایط، نابرابریو در این حالت سیستم دوم نابرابری ها (1) ناسازگار است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه 7.نابرابری معادل ترکیب یک نابرابری و دو سیستم نابرابری است

و (3)

اثباتاز آنجا که، پس از آن نابرابری همیشه اجرا می شود، اگر .

اجازه دهید ، سپس نابرابریمساوی با نابرابری خواهد بود, که مجموعه دو نامساوی از آن به دست می آیدو .

قضیه ثابت شده است.

نمونه های معمولی از حل مسائل را در مورد "نابرابری ها" در نظر بگیرید, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول.

حل نابرابری ها با مدول

ساده ترین روش برای حل نابرابری ها با مدول روش است, بر اساس گسترش ماژول این روش عمومی است, با این حال، در حالت کلی، استفاده از آن می تواند به محاسبات بسیار دست و پا گیر منجر شود. بنابراین، دانش‌آموزان باید روش‌ها و تکنیک‌های دیگر (کارآمدتر) را نیز برای حل این نابرابری‌ها بدانند. به خصوص, نیاز به داشتن مهارت برای اعمال قضایا, در این مقاله ارائه شده است.

مثال 1نابرابری را حل کنید

. (4)

راه حل.نابرابری (4) با روش "کلاسیک" - روش گسترش مدول حل خواهد شد. برای این منظور، محور عددی را می شکنیمنقطه و فواصل و سه مورد را در نظر بگیرید.

1. اگر، پس،،، و نابرابری (4) شکل می گیردیا .

از آنجایی که مورد در اینجا در نظر گرفته شده است، راه حلی برای نابرابری است (4).

2. اگر، سپس از نابرابری (4) بدست می آوریمیا . از آنجایی که تقاطع فواصلو خالی است, پس هیچ راه حلی برای نابرابری (4) در بازه در نظر گرفته شده وجود ندارد.

3. اگر، سپس نابرابری (4) شکل می گیردیا . بدیهی است که همچنین راه حلی برای نابرابری است (4).

پاسخ: ، .

مثال 2نابرابری را حل کنید.

راه حل.بیایید آن را فرض کنیم. زیرا ، سپس نابرابری داده شده شکل می گیردیا . چون پس و از این رو به دنبال داردیا .

با این حال , بنابراین یا .

مثال 3نابرابری را حل کنید

. (5)

راه حل.زیرا ، آنگاه نابرابری (5) معادل نابرابری ها استیا . از اینجا، طبق قضیه 4, مجموعه ای از نابرابری ها داریمو .

پاسخ: ، .

مثال 4نابرابری را حل کنید

. (6)

راه حل.بیایید نشان دهیم. سپس از نابرابری (6) نابرابری های , , یا .

از اینجا، با استفاده از روش فاصله، ما گرفتیم . زیرا ، پس در اینجا ما یک سیستم نابرابری داریم

راه حل اولین نابرابری سیستم (7) اتحاد دو بازه استو و حل نابرابری دوم نابرابری مضاعف است. این دلالت می کنه که ، که راه حل سیستم نابرابری ها (7) اتحاد دو بازه استو .

پاسخ: ،

مثال 5نابرابری را حل کنید

. (8)

راه حل. نابرابری (8) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا .

استفاده از روش فاصله, راه حلی برای نابرابری بدست می آوریم (8).

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر و را در شرط قضیه 5 قرار دهیم، آنگاه بدست می آوریم.

مثال 6نابرابری را حل کنید

. (9)

راه حل. از نابرابری (9) به دست می آید. نابرابری (9) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا

از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 7نابرابری را حل کنید

. (10)

راه حل.از آنجا که و پس از آن یا .

در این اتصال و نابرابری (10) شکل می گیرد

یا

. (11)

از این نتیجه می شود که یا . از آنجا که ، پس نابرابری (11) نیز دلالت دارد یا .

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر قضیه 1 را در سمت چپ نابرابری اعمال کنیم (10)، سپس دریافت می کنیم . از اینجا و از نابرابری (10) به دست می آید، آن یا . زیرا ، سپس نابرابری (10) شکل می گیردیا .

مثال 8نابرابری را حل کنید

. (12)

راه حل.از آن به بعد و نابرابری (12) دلالت داردیا . با این حال , بنابراین یا . از اینجا می گیریم یا .

پاسخ: .

مثال 9نابرابری را حل کنید

. (13)

راه حل.با توجه به قضیه 7، راه حل های نابرابری (13) یا .

بگذار حالا در این مورد و نابرابری (13) شکل می گیردیا .

اگر فواصل را با هم ترکیب کنیمو سپس راه حلی برای نابرابری (13) شکل بدست می آوریم.

مثال 10نابرابری را حل کنید

. (14)

راه حل.اجازه دهید نابرابری (14) را به شکلی معادل بازنویسی کنیم: . اگر قضیه 1 را در سمت چپ این نابرابری اعمال کنیم، نابرابری را بدست می آوریم.

از اینجا و از قضیه 1 نتیجه می شود, که نابرابری (14) برای هر مقداری برآورده می شود.

پاسخ: هر عددی.

مثال 11.نابرابری را حل کنید

. (15)

راه حل. اعمال قضیه 1 در سمت چپ نابرابری (15)، ما گرفتیم . از اینجا و از نابرابری (15) معادله را دنبال می کند, که به نظر می رسد.

طبق قضیه 3، معادله معادل نابرابری است. از اینجا می گیریم.

مثال 12.نابرابری را حل کنید

. (16)

راه حل. از نابرابری (16)، طبق قضیه 4، سیستم نابرابری ها را به دست می آوریم

هنگام حل نابرابریاز قضیه 6 استفاده می کنیم و سیستم نابرابری ها را به دست می آوریمکه از آن در زیر آمده است.

نابرابری را در نظر بگیرید. طبق قضیه 7, مجموعه ای از نابرابری ها را به دست می آوریمو . دومین نابرابری جمعیت برای هر واقعیتی صادق است.

در نتیجه ، راه حل نابرابری (16) هستند.

مثال 13نابرابری را حل کنید

. (17)

راه حل.طبق قضیه 1 می توانیم بنویسیم

(18)

با در نظر گرفتن نابرابری (17)، نتیجه می گیریم که هر دو نابرابری (18) به برابری تبدیل می شوند، یعنی. یک سیستم معادلات وجود دارد

با قضیه 3، این سیستم معادلات معادل سیستم نامساوی است

یا

مثال 14نابرابری را حل کنید

. (19)

راه حل.از آن به بعد . اجازه دهید هر دو بخش نابرابری (19) را در عبارت ضرب کنیم، که برای هر مقداری فقط ارزش های مثبت. سپس نابرابری را به دست می آوریم که معادل نامساوی (19) است

از اینجا می رسیم یا کجا . از آنجایی که و سپس راه حل های نابرابری (19) هستندو .

پاسخ: ، .

برای مطالعه عمیق تر روش های حل نابرابری ها با ماژول، توصیه می شود به آموزش ها مراجعه کنید., در لیست خواندن های توصیه شده ذکر شده است.

1. مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان دانشگاه فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م .: جهان و آموزش، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش هایی برای حل و اثبات نابرابری ها. - M.: Lenand / URSS، 2018. - 264 ص.

3. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش های غیر استاندارد برای حل مسائل. - M .: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

آیا هیچ سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

چگونه مردم بیشتریمی فهمد، میل به درک قوی تر است

توماس آکویناس

روش بازه به شما امکان می دهد هر معادله ای را که دارای مدول است حل کنید. ماهیت این روش تقسیم محور عددی به چند بخش (فاصله) است و باید محور را با صفر عبارات موجود در ماژول ها تقسیم کرد. سپس، در هر یک از بخش های حاصل، هر عبارت زیرماژول یا مثبت یا منفی است. بنابراین، هر یک از ماژول ها را می توان یا با علامت منفی یا با علامت مثبت گسترش داد. پس از این اقدامات، تنها حل هر یک از موارد به دست آمده باقی می ماند معادلات سادهدر فاصله در نظر گرفته شده و ترکیب پاسخ های دریافتی.

بیایید این روش را در یک مثال خاص در نظر بگیریم.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) صفر عبارات موجود در ماژول ها را بیابید. برای این کار آنها را با صفر برابر می کنیم و معادلات حاصل را حل می کنیم.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) نقاط به دست آمده را به ترتیب دلخواه روی خط مختصات بچینید. آنها کل محور را به چهار بخش تقسیم می کنند.

3) بیایید در هر یک از بخش های به دست آمده علائم عبارات موجود در ماژول ها را تعیین کنیم. برای انجام این کار، ما هر عددی را از فواصل مورد علاقه خود در آنها جایگزین می کنیم. اگر نتیجه محاسبه یک عدد مثبت باشد، در جدول "+" و اگر عدد منفی باشد، "-" را قرار می دهیم. این را می توان به شکل زیر تصویر کرد:

4) حالا معادله را در هر چهار بازه حل می کنیم و ماژول ها را با علائمی که در جدول هستند باز می کنیم. بنابراین، فاصله اول را در نظر بگیرید:

فاصله من (-∞؛ -3). روی آن، همه ماژول ها با علامت "-" باز می شوند. معادله زیر را بدست می آوریم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. ما عبارات مشابهی را ارائه می دهیم که قبلاً پرانتزها را در معادله حاصل باز کرده ایم:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

پاسخ دریافتی در بازه زمانی در نظر گرفته نشده است، بنابراین نوشتن آن در پاسخ نهایی ضروری نیست.

فاصله دوم [-3; -یک). در این فاصله در جدول علائم "-"، "-"، "+" وجود دارد. به این ترتیب ماژول های معادله اصلی را آشکار می کنیم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. با گسترش براکت ها ساده کنید:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. ما در معادله حاصل موارد زیر را ارائه می دهیم:

x = 6/5. عدد حاصل به بازه مورد نظر تعلق ندارد، بنابراین ریشه معادله اصلی نیست.

فاصله III [-1; 2). ماژول های معادله اصلی را با علائمی که در شکل در ستون سوم هستند باز می کنیم. ما گرفتیم:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. از براکت ها خلاص شوید، عبارت های حاوی متغیر x را به سمت چپ معادله و غیر حاوی x را به سمت راست منتقل کنید. . خواهد داشت:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

عدد 2 در بازه در نظر گرفته نشده است.

فاصله IV) - آنها به طور خودکار این را یک پاسخ نادرست در نظر می گیرند. همچنین، هنگام آزمایش، اگر یک نابرابری غیر دقیق با ماژول ها مشخص شده است، در بین راه حل ها، به دنبال مناطقی با براکت مربع باشید.

در بازه (-3؛ 0)، با گسترش ماژول، علامت تابع را به عکس تغییر می دهیم

با در نظر گرفتن دامنه افشای نابرابری، راه حل شکل خواهد داشت

همراه با منطقه قبلی، این دو نیم فاصله ایجاد می کند

مثال 5. راه حلی برای نابرابری بیابید
9x^2-|x-3|>=9x-2

راه حل:
یک نابرابری غیر دقیق داده می شود که تابع زیرماژول آن در نقطه x=3 برابر با صفر است. در مقادیر کوچکتر منفی و در مقادیر بزرگتر مثبت است. ماژول را در بازه x گسترش می دهیم<3.

پیدا کردن ممیز معادله

و ریشه ها

با جایگزینی نقطه صفر، متوجه می شویم که در بازه [-1/9؛ 1] تابع درجه دوم منفی است، بنابراین بازه یک راه حل است. بعد، ماژول را برای x>3 باز کنید

تفاهم نامه "خواستویچسکایا مدرسه راهنمایی»

"روش فواصل حل معادلات و نامساوی با چند ماژول"

کار تحقیقی در ریاضیات

انجام:

دانش آموز کلاس 10 "ب".

گولیشوا اوگنیا

سرپرست:

معلم ریاضی

Shapenskaya E.N.

مقدمه………………………………………………………………………………………….3 فصل 1. روشهای حل مسائل با چندین ماژول……………… ………............4 1.1. تعریف ماژول. حل بر اساس تعریف…………………………………………………………………………………4 1.2 حل معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فواصل………………… …………5 1.3. وظایف با چندین ماژول روش های حل………………………………….7 1.4. روش فواصل در مسائل مربوط به ماژول ها……………………………………………….۹ فصل ۲. معادلات و نامساوی های حاوی ماژول………………………………… .…. 11 2.1 حل معادلات با چند ماژول با استفاده از روش فاصله…….11 2.2 حل نامساوی با مدول های متعدد با استفاده از روش بازه… 13 نتیجه…………………………………………… …………………………………………15 ادبیات…………………………………………………………………………………………….. 16

مقدمه

مفهوم قدر مطلق یکی از مهم ترین ویژگی های یک عدد است، چه در حوزه واقعی و چه در حوزه اعداد مختلط. این مفهوم نه تنها در بخش‌های مختلف درس ریاضیات مدرسه، بلکه در دروس عالی ریاضیات، فیزیک و علوم فنی که در دانشگاه‌ها تحصیل می‌شوند، به‌طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرد. مسائل مربوط به مقادیر مطلق اغلب در المپیادهای ریاضی یافت می شود. امتحان ورودیدر دانشگاه ها و امتحانات

موضوع:"روش بازه ای برای حل معادلات و نامعادلات با چند ماژول به روش بازه".

حوزه هدف:ریاضی.

موضوع مطالعه:حل معادلات و نابرابری ها با ماژول.

موضوع مطالعه:روش فاصله ای برای حل چند ماژول

هدف مطالعه:کارایی حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول را به روش بازه ای نشان می دهد.

فرضیه:اگر از روش بازه ای برای حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول استفاده کنید، می توانید کار خود را تا حد زیادی تسهیل کنید.

روش های کار:جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آن

وظایف:

ادبیات مربوط به این موضوع را مطالعه کنید.

راه حل های نابرابری ها و معادلات را با چندین ماژول در نظر بگیرید.

بیشترین را آشکار کند روش موثرراه حل ها

جهت گیری عملی پروژه:

این کارمی توان به عنوان استفاده کرد راهنمای مطالعهبرای دانش آموزان و کتابچه راهنمای روش شناختیبرای معلم

فصل 1.

1.1 تعریف ماژول. راه حل با تعریف

طبق تعریف، مدول یا قدر مطلق یک عدد غیر منفی a با خود عدد یکسان است و مدول یک عدد منفی عدد مقابل، یعنی - یک:

مدول یک عدد همیشه غیر منفی است. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال 1حل معادله |–x| = -3.

در اینجا نیازی به تجزیه و تحلیل موارد نیست، زیرا قدر مطلق عدد همیشه غیر منفی است، یعنی این معادله هیچ راه حلی ندارد.

اجازه دهید حل این ساده ترین معادلات را در آن بنویسیم نمای کلی:

مثال 2حل معادله |x| = 2 - x.

راه حل. برای x 0 معادله x = 2 – x را داریم، یعنی. x = 1. از آنجایی که 1 0، x = 1 ریشه معادله اصلی است. در حالت دوم (x

پاسخ: x = 1.

مثال 3حل معادله 3|x – 3| + x = -1.

راه حل. در اینجا تقسیم به موارد با علامت عبارت x – 3 مشخص می شود. برای x – 3 ³ 0 3x – 9 + x = –1 Û x = 2 داریم. اما 2 – 3 0.

پاسخ: معادله ریشه ندارد.

مثال 4حل معادله |x – 1| = 1 - x.

راه حل. از 1 - x \u003d - (x - 1)، مستقیماً از تعریف ماژول نتیجه می‌شود که آن‌ها و فقط آن‌هایی که x برای آنها x - 1 0 معادله را برآورده می‌کنند. این معادله به یک نابرابری کاهش یافته است و پاسخ یک بازه کامل (پرتو) است.

پاسخ: x 1.

1.2. حل معادلات با یک ماژول با استفاده از سیستم ها.

مثال‌هایی که قبلاً تحلیل شد به ما امکان می‌دهد قوانین معافیت از علامت مدول را در معادلات فرموله کنیم. برای معادلات فرم |f(x)| = g(x) دو قانون از این قبیل وجود دارد:

قانون اول: |f(x)| = g(x) w (1)
قانون دوم: |f(x)| = g(x) Û (2)

اجازه دهید نماد استفاده شده در اینجا را توضیح دهیم. براکت های مجعد نشان دهنده سیستم ها و براکت های مربع نشان دهنده مجموعه ها هستند.

راه حل های یک سیستم معادلات مقادیر یک متغیر است که به طور همزمان تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

جواب های مجموعه معادلات همگی مقادیر متغیر هستند که هر کدام ریشه حداقل یکی از معادلات مجموعه هستند.

دو معادله در صورتی معادل هستند که هر یک از آنها راه حل دیگری نیز باشد، به عبارت دیگر اگر مجموعه راه حل های آنها یکی باشد.

اگر معادله شامل چندین ماژول باشد، می توانید به نوبه خود با استفاده از قوانین بالا از شر آنها خلاص شوید. اما معمولاً میانبرهایی وجود دارد. بعداً با آنها آشنا می شویم، اما اکنون حل ساده ترین این معادلات را در نظر می گیریم:

|f(x)| = |g(x)| Û

این برابری از این واقعیت ناشی می شود واقعیت آشکارکه اگر ماژول های دو عدد مساوی باشند، خود اعداد یا مساوی یا مخالف هستند.

مثال 1. حل معادله |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
راه حل. بیایید به دو روشی که در بالا توضیح داده شد از شر ماژول خلاص شویم:

1 راه: 2 راه:

همانطور که می بینید، در هر دو مورد لازم است که همان دو معادله درجه دوم را حل کنیم، اما در مورد اول آنها با نابرابری های درجه دوم و در مورد دوم - خطی همراه هستند. بنابراین، روش دوم برای این معادله ساده تر است. با حل معادلات درجه دوم، ریشه های اول را پیدا می کنیم، هر دو ریشه نابرابری را برآورده می کنند. ممیز معادله دوم منفی است، بنابراین معادله ریشه ندارد.

پاسخ: .
مثال 2. حل معادله |x 2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.

راه حل. ما قبلاً می دانیم که لازم نیست (به اندازه 4) نوع توزیع علائم عبارات زیر ماژول ها را در نظر بگیریم: این معادله معادل ترکیب دو است. معادلات درجه دومبدون هیچ گونه نابرابری اضافی: معادل این است: معادله اول مجموعه ای از راه حل ندارد (ممیز آن منفی است)، معادله دوم دارای دو ریشه است.

1.3. وظایف با چندین ماژول روش های حل.

گسترش متوالی ماژول ها

دو رویکرد اصلی برای حل معادلات و نابرابری ها شامل چندین ماژول وجود دارد. می توانید آنها را «سریال» و «موازی» بنامید. حال بیایید با اولین آنها آشنا شویم.

ایده او این است که ابتدا یکی از ماژول ها در بخشی از معادله (یا نابرابری) جدا شده و با یکی از روش هایی که قبلا توضیح داده شد آشکار می شود. سپس همین کار با هر یک از معادلات به دست آمده با ماژول ها تکرار می شود و به همین ترتیب تا زمانی که از شر همه ماژول ها خلاص شویم.

مثال 1.معادله + را حل کنید

راه حل. ماژول دوم را جدا کرده و با استفاده از روش اول باز می کنیم، یعنی به سادگی با تعیین مقدار مطلق:

روش دوم آزادسازی از ماژول را به دو معادله به دست آمده اعمال می کنیم:

در نهایت چهار حاصل را حل می کنیم معادلات خطیو ریشه هایی را انتخاب کنید که نابرابری های مربوطه را برآورده کنند. در نتیجه فقط دو مقدار باقی می ماند: x = –1 و .

پاسخ 1؛ .

گسترش موازی ماژول ها

می‌توانید همه ماژول‌ها را به یکباره در یک معادله یا نابرابری حذف کنید و همه ترکیب‌های ممکن از نشانه‌های عبارات زیر ماژول را بنویسید. اگر n ماژول در معادله وجود داشته باشد، 2 n گزینه وجود خواهد داشت، زیرا هر یک از n عبارت زیر ماژول، هنگام حذف ماژول، می تواند یکی از دو علامت - مثبت یا منفی را دریافت کند. اساسا، ما باید تمام 2 n معادله (یا نابرابری) آزاد شده از ماژول ها را حل کنیم. اما راه‌حل‌های آنها تنها در صورتی راه‌حل‌های مسئله اصلی خواهند بود که در مناطقی قرار داشته باشند که معادله (نابرابری) مربوطه با معادله اصلی منطبق باشد. این مناطق با علائم بیانی در زیر ماژول ها تعریف می شوند. ما قبلاً نابرابری زیر را حل کرده ایم، بنابراین می توانید رویکردهای مختلف را برای حل مقایسه کنید.

مثال 2.+
راه حل.

بیایید 4 مجموعه کاراکتر ممکن از عبارات را در زیر ماژول ها در نظر بگیریم.

فقط اولین و سومین ریشه‌ها نابرابری‌های مربوطه را برآورده می‌کنند و از این رو معادله اصلی است.

پاسخ 1؛ .

به طور مشابه، می توانید هر مشکلی را با چندین ماژول حل کنید. اما، مانند هر روش جهانی، این روش حل از همیشه بهینه نیست. در زیر خواهیم دید که چگونه می توان آن را بهبود بخشید.

1.4. روش فواصل در مسائل با ماژول ها

نگاه دقیق تر به شرایط انواع مختلفتوزیع نشانه های عبارات زیر ماژول در راه حل قبلی، خواهیم دید که یکی از آنها، 1 - 3x

تصور کنید ما در حال حل معادله ای هستیم که دارای سه مدول عبارات خطی است. به عنوان مثال، |x – a| + |x – b| + |x – c| = متر

مدول اول x - a برای x ³ a و a - x برای x b و x است

آنها چهار شکاف را تشکیل می دهند. در هر یک از آنها، هر یک از عبارات زیر ماژول ها علامت خود را حفظ می کند، بنابراین، معادله به عنوان یک کل، پس از گسترش ماژول ها، در هر بازه یک شکل دارد. بنابراین، از 8 گزینه از نظر تئوری ممکن برای باز کردن ماژول ها، تنها 4 مورد برای ما کافی بود!

همچنین می توانید هر مشکلی را با چندین ماژول حل کنید. یعنی محور عددی به فواصل علامت ثابت تمام عبارات زیر ماژول ها تقسیم می شود و سپس بر روی هر یک از آنها معادله یا نابرابری حل می شود که مسئله داده شده روی این بازه تبدیل می شود. به طور خاص، اگر تمام عبارات زیر ماژول ها منطقی باشند، کافی است ریشه های آنها را روی محور و همچنین نقاطی که در آنها تعریف نشده اند، یعنی ریشه های مخرج آنها مشخص کنیم. نقاط علامت گذاری شده و فواصل مورد نیاز ثبات علامت را تنظیم کنید. به همین ترتیب هنگام حل نابرابری های گویا با روش فواصل عمل می کنیم. و روشی که برای حل مسائل با ماژول ها توضیح دادیم به همین نام است.

مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل. صفرهای تابع را بیابید، از کجا. ما در هر بازه مشکل را حل می کنیم:

بنابراین این معادله هیچ راه حلی ندارد.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه حل. صفرهای تابع را پیدا کنید. ما در هر بازه مشکل را حل می کنیم:

1) (بدون راه حل)؛

مثال 3. معادله را حل کنید.

راه حل. عبارات زیر علامت قدر مطلق در . بر این اساس، لازم است سه مورد را در نظر بگیریم:

2) - ریشه معادله.

3) ریشه این معادله است.

فصل 2. معادلات و نابرابری های حاوی ماژول.

2.1 حل معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فواصل.

مثال 1

معادله را حل کنید:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 - راضی نمی کند

شرط x

بدون راه حل

2. اگر -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

راضی می کند

شرایط -2

3. اگر x≥1، پس

پاسخ: x=6

مثال 2

معادله را حل کنید:

1) صفر عبارات زیر ماژول را بیابید

صفر عبارات زیر ماژول محور عددی را به چندین بازه می شکند. علائم عبارات زیر ماژول را در این فواصل مرتب کنید.

در هر بازه، ماژول ها را باز می کنیم و معادله حاصل را حل می کنیم. پس از یافتن ریشه، بررسی می کنیم که متعلق به بازه ای است که در آن قرار داریم این لحظهما در حال کار هستیم

1. :

- مناسب است

2. :

- مناسب نیست.

3. :

– مناسب است.

4. :

- مناسب نیست. پاسخ:

2.2 حل نابرابری ها با چند ماژول با استفاده از روش فاصله.

مثال 1

حل نابرابری:

|x-1| + |x-3| چهار

-(x-1) - (x-3) 4

2. اگر 1≤x

x-1– (x-3) 4

24 اشتباه است

بدون راه حل

3. اگر x≥3، پس

پاسخ: xЄ (-∞؛ 0) U (4؛ + ∞)

مثال 2

بیایید نابرابری را حل کنیم

راه حل. نقاط و (ریشه عبارات زیر ماژول) کل محور عددی را به سه بازه تقسیم می کنند که در هر یک از آنها ماژول ها باید گسترش یابند.

1) وقتی ارضا می شود و نابرابری به شکل است یعنی . در این مورد، پاسخ این است.

2) هنگامی که ، نابرابری شکل ، یعنی . این نابرابری برای هر مقدار از متغیر صادق است و با توجه به اینکه آن را در مجموعه حل می کنیم، در حالت دوم پاسخ می گیریم.

3) هنگامی که، نابرابری به تبدیل می شود، و راه حل در این مورد است. حل کلی نابرابری --- یک انجمنسه پاسخ دریافت شد

بنابراین، برای حل معادلات و نابرابری های حاوی چندین ماژول، استفاده از روش فاصله مناسب است. برای انجام این کار، شما باید صفرهای نقاط عطف توابع زیرماژول را پیدا کنید، آنها را با علامت گذاری کنید. معادلات odzو نابرابری ها

نتیجه

AT اخیرادر ریاضیات، روش ها به طور گسترده ای برای ساده کردن حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند، به ویژه روش بازه ای، که سرعت محاسبات را به میزان قابل توجهی امکان پذیر می کند. بنابراین، مطالعه روش بازه ای برای حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول مرتبط است.

در روند کار بر روی موضوع "حل معادلات و نامعادله های حاوی مجهول تحت علامت مدول به روش بازه ای" من: ادبیات مربوط به این موضوع را مطالعه کردم، با رویکرد جبری و گرافیکی برای حل معادلات و نامعادلات حاوی تحت علامت مدول ناشناخته بود و به این نتیجه رسید:

در برخی موارد، هنگام حل معادلات با مدول، می توان معادلات را طبق قوانین حل کرد و گاهی اوقات استفاده از روش فاصله ای راحت تر است.

هنگام حل معادلات و نابرابری های حاوی مدول، روش بازه ای بصری تر و نسبتاً ساده تر است.

در جریان نوشتن کار پژوهشیمن مشکلات زیادی را آشکار کرده ام که با استفاده از روش فاصله قابل حل هستند. مهمترین کار حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول است.

در طول کارم در مورد حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول با استفاده از روش فاصله، متوجه شدم که سرعت حل مسائل دو برابر شده است. این به شما امکان می دهد تا به طور قابل توجهی سرعت کار را افزایش دهید و هزینه های زمانی را کاهش دهید. بنابراین، فرضیه من "اگر از روش بازه ای برای حل نابرابری ها و معادلات با چندین ماژول استفاده کنید، می توانید تا حد زیادی کار خود را تسهیل کنید" تأیید شد. در روند کار بر روی مطالعه، در حل معادلات و نابرابری ها با چندین ماژول تجربه کسب کردم. فکر می کنم دانشی که به دست آورده ام به من این امکان را می دهد که هنگام حل کردن از اشتباه اجتناب کنم.

ادبیات

http://padabum.com

http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. حل معادلات و نابرابری ها با I.I. م.: انتشارات فاکتوریال، 1388.- 112 ص.
Olehnik S.N. پوتاپوف M.K معادلات و نابرابری ها. روش های حل غیر استاندارد م.: انتشارات فاکتوریال، 1376. - 219ص.
سوریوکوف P.F.، اسمولیاکوف A.N. معادلات و نابرابری ها با ماژول ها و روش های حل آنها. م.: انتشارات خانه روشنگری 2005. - 112 ص.
سادوونیچی یو.و. استفاده کنید. تمرین در ریاضیات. حل معادلات و نابرابری ها. تبدیل عبارات جبری. مسکو: انتشارات لژیون 2015 - 128 ص.
Shevkin A.V. نابرابری های درجه دوم. روش فاصله M.: LLC " کلمه روسی– کتاب آموزشی، 1382. – 32 ص.