ثابت کنید که حجم یک متوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. حاصلضرب برداری بردارها. حاصلضرب مخلوط بردارها. ویژگی های حاصلضرب متقاطع بردارها

برای بردارها، و، با مختصات آنها، حاصلضرب مخلوط با فرمول محاسبه می شود: .

محصول مخلوط استفاده می شود: 1) برای محاسبه حجم یک چهار وجهی و یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها، و مانند لبه ها، طبق فرمول: ; 2) به عنوان شرط همسانی بردارها و : و همسطح هستند.

مبحث 5. خطوط مستقیم و هواپیماها.

بردار خط معمولی ، هر بردار غیر صفر عمود بر خط داده شده نامیده می شود. بردار جهت مستقیم ، هر بردار غیر صفر موازی با خط داده شده نامیده می شود.

سر راست روی سطح

1) - معادله کلی خط مستقیم، جایی که بردار عادی خط مستقیم است.

2) - معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار مشخص می گذرد.

3) معادله متعارف );

5) - معادلات خطی با شیب نقطه ای که خط از آن می گذرد کجاست. () - زاویه ای که خط با محور ایجاد می کند. - طول قطعه (با علامت ) با یک خط مستقیم بر روی محور قطع شده است (اگر پاره در قسمت مثبت محور قطع شده است علامت " " و اگر در قسمت منفی " ").

6) - معادله خط مستقیم در برش ها، کجا و طول پاره ها (با علامت ) با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات و (علامت " " اگر پاره در قسمت مثبت محور قطع شده باشد و " " اگر روی محور منفی قطع شده است. ).

فاصله از نقطه به خط ، که با معادله کلی در صفحه داده می شود، با فرمول به دست می آید:

گوشه ، ( )بین خطوط مستقیم و با معادلات کلی یا معادلات با شیب داده می شود، با یکی از فرمول های زیر به دست می آید:

من برای .

من برای

مختصات نقطه تلاقی خطوط و به عنوان راه حلی برای یک سیستم معادلات خطی یافت می شوند: یا .

بردار معمولی هواپیما ، هر بردار غیر صفر عمود بر صفحه داده شده نامیده می شود.

سطح در سیستم مختصات را می توان با یک معادله از یکی از انواع زیر به دست آورد:

1) - معادله کلی صفحه، که بردار عادی هواپیما کجاست.

2) - معادله صفحه ای که از نقطه عمود بر بردار می گذرد.

3) - معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند و .

4) - معادله هواپیما در برش ها، که در آن، و طول پاره‌ها (با علامت) توسط صفحه در محورهای مختصات قطع شده است، و (اگر پاره در قسمت مثبت محور قطع شده باشد علامت «» و اگر روی محور منفی «» باشد. ).

فاصله از نقطه به هواپیما که با معادله کلی به دست می آید، با فرمول به دست می آید:

گوشه ،( )بین هواپیماها و با معادلات کلی به دست می آید با فرمول:

سر راست در فضای در سیستم مختصات را می توان با یک معادله از یکی از انواع زیر به دست آورد:

1) - معادله کلی یک خط مستقیم، به عنوان خطوط تقاطع دو صفحه، که در آن و بردارهای عادی صفحات و.

2) - معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای موازی با یک بردار معین می گذرد ( معادله متعارف );

3) - معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده عبور می کند.

4) - معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای موازی با یک بردار معین می گذرد، ( معادله پارامتریک );

گوشه ، ( ) بین خطوط مستقیم و در فضای ، که توسط معادلات متعارف به دست می آید، با فرمول به دست می آید:

مختصات نقطه تقاطع خط ، توسط معادله پارامتری به دست می آید و هواپیما ، که با معادله کلی داده می شود، به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات خطی یافت می شود: .

گوشه ، ( ) بین خط ، توسط معادله متعارف ارائه شده است و هواپیما ، با معادله کلی با فرمول بدست می آید: .

مبحث 6. منحنی های مرتبه دوم.

منحنی جبری مرتبه دومدر سیستم مختصات منحنی نامیده می شود، معادله کلی که به نظر می رسد:

که در آن اعداد - در همان زمان برابر با صفر نیستند. طبقه بندی زیر برای منحنی های مرتبه دوم وجود دارد: 1) اگر ، پس معادله کلی منحنی را تعریف می کند نوع بیضوی (دایره (برای)، بیضی (برای)، مجموعه خالی، نقطه); 2) اگر ، سپس - منحنی نوع هذلولی (هذلولی، یک جفت خط متقاطع)؛ 3) اگر ، سپس - منحنی نوع سهموی(پارابولا، مجموعه خالی، خط، جفت خط موازی). دایره، بیضی، هذلولی و سهمی نامیده می شوند منحنی های غیر منحط مرتبه دوم.

معادله کلی، که در آن یک منحنی غیر انحطاط (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعریف می کند، همیشه می تواند (با استفاده از روش انتخاب مربع های کامل) به معادله ای از یکی از انواع زیر کاهش یابد:

1a) -معادله دایره با مرکز یک نقطه و شعاع (شکل 5).

1b)- معادله یک بیضی در مرکز یک نقطه و محورهای تقارن موازی با محورهای مختصات. اعداد و - نامیده می شوند نیم محورهای یک بیضی مستطیل اصلی بیضی؛ رئوس بیضی .

برای ساختن بیضی در سیستم مختصات: 1) مرکز بیضی را علامت بزنید؛ 2) محور تقارن بیضی را از طریق مرکز با خط نقطه چین می کشیم. 3) ما مستطیل اصلی یک بیضی را با یک خط نقطه چین با مرکز و اضلاع موازی با محورهای تقارن می سازیم. 4) یک بیضی را با یک خط ثابت رسم می کنیم و آن را در مستطیل اصلی می نویسیم به طوری که بیضی اضلاع آن را فقط در رأس بیضی لمس می کند (شکل 6).

به همین ترتیب دایره ای ساخته می شود که مستطیل اصلی آن اضلاع دارد (شکل 5).

Fig.5 Fig.6

2) - معادلات هذلولی ها (نامیده می شود مزدوج) در مرکز نقطه و محورهای تقارن موازی با محورهای مختصات. اعداد و - نامیده می شوند نیم محورهای هذلولی ; مستطیل با اضلاع موازی با محورهای تقارن و در مرکز یک نقطه - مستطیل اصلی هذلولی ها؛ نقاط تقاطع مستطیل اصلی با محورهای تقارن - رئوس هذلولی ها؛ خطوط مستقیمی که از رئوس مخالف مستطیل اصلی عبور می کنند - مجانبی هذلولی ها .

برای ساخت هذلولی در سیستم مختصات: 1) مرکز هذلولی را علامت بزنید. 2) محور تقارن هذلولی را از طریق مرکز با خط نقطه چین ترسیم می کنیم. 3) مستطیل اصلی هذلولی را با خط نقطه چین با مرکز و اضلاع و موازی با محورهای تقارن می سازیم. 4) خطوط مستقیم را از طریق رئوس مخالف مستطیل اصلی با یک خط نقطه چین ترسیم می کنیم که مجانبی از هذلولی هستند که شاخه های هذلولی به طور نامحدود به آن نزدیک می شوند، در فاصله نامحدودی از مبدأ مختصات، بدون عبور از آنها. 5) ما شاخه های هذلولی (شکل 7) یا هذلولی (شکل 8) را با یک خط ثابت به تصویر می کشیم.

Fig.7 Fig.8

3 الف)- معادله یک سهمی با یک راس در یک نقطه و یک محور تقارن موازی با محور مختصات (شکل 9).

3 ب)- معادله یک سهمی با راس در یک نقطه و یک محور تقارن موازی با محور مختصات (شکل 10).

برای ساختن سهمی در سیستم مختصات: 1) بالای سهمی را علامت بزنید؛ 2) محور تقارن سهمی را از طریق راس با خط نقطه چین ترسیم می کنیم. 3) ما یک سهمی را با یک خط ثابت نشان می دهیم که شاخه آن را با در نظر گرفتن علامت پارامتر سهمی هدایت می کند: در - در جهت مثبت محور مختصات موازی با محور تقارن سهمی (شکل 9a و 10a). در - در سمت منفی محور مختصات (شکل 9b و 10b).

برنج. 9a شکل. 9b

برنج. 10a شکل. 10b

مبحث 7. مجموعه ها مجموعه های عددی تابع.

زیر زیاد مجموعه معینی از اشیاء با هر ماهیت را که از یکدیگر متمایز می شوند و به عنوان یک کل واحد قابل تصور هستند را درک کنند. اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند آن را می گویند عناصر . یک مجموعه می تواند نامتناهی (شامل تعداد نامتناهی عنصر)، متناهی (شامل تعداد محدودی از عناصر)، خالی (شامل یک عنصر واحد نیست). مجموعه ها با و عناصر آنها با نشان داده می شوند. مجموعه خالی با نشان داده می شود.

تنظیم تماس زیرمجموعه اگر همه عناصر مجموعه به مجموعه تعلق داشته باشند، تنظیم کنید و بنویسید. تنظیم کرد و تماس گرفت برابر ، اگر از همان عناصر تشکیل شده باشند و بنویسند. دو مجموعه و برابر خواهد بود اگر و فقط اگر و .

تنظیم تماس جهانی (در چارچوب این نظریه ریاضی) , اگر عناصر آن همه اشیاء در نظر گرفته شده در این نظریه باشند.

بسیاری را می توان تنظیم کرد: 1) شمارش تمام عناصر آن، به عنوان مثال: (فقط برای مجموعه های محدود). 2) با تعیین قاعده ای برای تعیین اینکه آیا یک عنصر از یک مجموعه جهانی متعلق به یک مجموعه معین است : .

اتحادیه

عبور از مجموعه می شود و مجموعه نامیده می شود

تفاوت مجموعه می شود و مجموعه نامیده می شود

مکمل مجموعه ها (تا یک مجموعه جهانی) مجموعه نامیده می شود.

دو مجموعه و نامیده می شوند معادل و اگر بتوان یک تناظر یک به یک بین عناصر این مجموعه ها برقرار کرد ~ بنویسید. مجموعه نامیده می شود شمردنی اگر معادل مجموعه اعداد طبیعی باشد : ~ . مجموعه خالی طبق تعریف قابل شمارش است.

مفهوم اصلی بودن یک مجموعه زمانی به وجود می آید که مجموعه ها با تعداد عناصر موجود در آنها مقایسه شوند. کاردینالیته مجموعه با نشان داده می شود. کاردینالیته یک مجموعه محدود تعداد عناصر آن است.

مجموعه های معادل کاردینالیته یکسانی دارند. مجموعه نامیده می شود غیر قابل شمارش اگر کاردینالیته آن بیشتر از کاردینالیته مجموعه باشد.

معتبر (واقعی) عدد کسر اعشاری بی نهایت نامیده می شود که با علامت "+" یا "" گرفته می شود. اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد شناسایی می شوند. مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعی یک عدد غیر منفی است:

مجموعه نامیده می شود عددی اگر عناصر آن اعداد واقعی باشند در فواصل زمانی مجموعه اعداد را می گویند: , , , , , , , , .

مجموعه تمام نقاط روی خط اعداد که شرط را برآورده می کنند، جایی که یک عدد دلخواه کوچک است، نامیده می شود. -محله (یا فقط یک همسایگی) از یک نقطه و با نشان داده می شود. مجموعه تمام نقاط با شرط، که در آن یک عدد دلخواه بزرگ است، نامیده می شود - محله (یا فقط یک همسایگی) از بی نهایت است و با نشان داده می شود.

کمیتی که مقدار عددی یکسانی را حفظ کند نامیده می شود ثابت. کمیتی که مقادیر عددی متفاوتی می گیرد نامیده می شود متغیر. تابع قاعده نامیده می شود که بر اساس آن به هر عدد یک عدد کاملاً تعریف شده اختصاص داده می شود و آنها می نویسند. مجموعه نامیده می شود حوزه تعریف کارکرد، - زیاد (یا منطقه ) ارزش های کارکرد، - بحث و جدل , - مقدار تابع . متداول ترین روش برای تعیین یک تابع، روش تحلیلی است که در آن تابع با فرمول داده می شود. حوزه طبیعی تابع مجموعه ای از مقادیر آرگومان است که این فرمول برای آن معنا دارد. نمودار تابع , در یک سیستم مختصات مستطیلی , مجموعه تمام نقاط صفحه با مختصات , .

تابع فراخوانی می شود زوج در مجموعه، متقارن با توجه به نقطه، اگر شرط زیر برای همه برآورده شود: و فرد در صورت تحقق شرط در غیر این صورت، یک تابع عمومی یا نه زوج و نه فرد .

تابع فراخوانی می شود دوره ای در مجموعه در صورت وجود یک عدد ( دوره عملکرد ) به طوری که شرط زیر برای همه برقرار باشد: . کوچکترین عدد را دوره اصلی می نامند.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت افزایش می یابد (رو به زوال ) در مجموعه اگر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع مطابقت داشته باشد.

تابع فراخوانی می شود محدود در مجموعه اگر عددی وجود داشته باشد که شرط زیر برای همه برآورده شود : . در غیر این صورت، عملکرد است نامحدود .

معکوس برای عملکرد , ، چنین تابعی نامیده می شود که بر روی مجموعه و به هر یک تعریف شده است

مسابقات طوری که . برای یافتن تابع معکوس تابع , شما باید معادله را حل کنید به طور نسبی . اگر تابع , به شدت یکنواخت است، آنگاه همیشه یک معکوس دارد و اگر تابع افزایش یابد (کاهش یابد)، تابع معکوس نیز افزایش می یابد (کاهش می یابد).

تابعی که به صورت نمایش داده می شود، جایی که، برخی از توابع هستند به طوری که دامنه تعریف تابع شامل کل مجموعه مقادیر تابع است، نامیده می شود. تابع پیچیده استدلال مستقل متغیر را آرگومان میانی می نامند. تابع مختلط را ترکیب توابع و نیز می نامند و نوشته می شود: .

ابتدایی ابتدایی توابع عبارتند از: قدرت تابع ، تظاهرات تابع ( ، )، لگاریتمی تابع ( ، )، مثلثاتی کارکرد ، ، ، ، مثلثاتی معکوس کارکرد ، ، ، . ابتدایی تابعی نامیده می شود که از توابع ابتدایی پایه با تعداد محدودی از عملیات و ترکیبات حسابی آنها بدست می آید.

اگر نمودار تابع داده شود، ساختار نمودار تابع به یک سری تبدیل (تغییر، فشرده سازی یا کشش، نمایش) نمودار کاهش می یابد:

1) 2) تبدیل نمودار را به صورت متقارن حول محور نمایش می دهد. 3) تبدیل نمودار را در امتداد محور توسط واحدها جابجا می کند ( - به راست، - به چپ). 4) تبدیل نمودار را در امتداد محور توسط واحدها جابه جا می کند ( - بالا، - پایین). 5) نمودار تبدیل در امتداد محور در زمان کشیده می شود، اگر یا در زمان فشرده می شود، اگر ; 6) تبدیل نمودار در امتداد محور با ضریب اگر فشرده می شود یا با ضریب اگر کشیده می شود.

دنباله تبدیل ها هنگام رسم نمودار تابع می تواند به صورت نمادین به صورت زیر نمایش داده شود:

توجه داشته باشید. هنگام انجام یک تبدیل، به خاطر داشته باشید که مقدار جابجایی در امتداد محور توسط ثابتی تعیین می‌شود که مستقیماً به آرگومان اضافه می‌شود، نه به آرگومان.

نمودار تابع سهمی با راس در است که شاخه های آن به سمت بالا یا اگر به سمت پایین هستند. نمودار یک تابع خطی-کسری یک هذلولی است که در مرکز نقطه ای قرار دارد که مجانب آن از مرکز، موازی با محورهای مختصات عبور می کنند. ، ارضای شرط تماس گرفت.

برای بردارها و , داده شده با مختصات , حاصلضرب مخلوط با فرمول محاسبه می شود: .

مبحث 5. خطوط در هواپیما

سر راست روی سطح در سیستم مختصات را می توان با یک معادله از یکی از انواع زیر به دست آورد:

1) - معادله کلی خط مستقیم، جایی که بردار عادی خط مستقیم است.

2) - معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار مشخص می گذرد.

3) - معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای موازی با یک بردار معین می گذرد ( معادله متعارف );

4) - معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده عبور می کند.

فاصله از نقطه به خط ، که با معادله کلی در صفحه داده می شود، با فرمول به دست می آید:

من برای .

من برای

مختصات نقطه تلاقی خطوط و به عنوان راه حلی برای یک سیستم معادلات خطی یافت می شوند: یا .

مبحث 10. مجموعه ها مجموعه های عددی کارکرد.

تنظیم تماس زیرمجموعه اگر همه عناصر مجموعه به مجموعه تعلق داشته باشند، تنظیم کنید و بنویسید.

تنظیم کرد و تماس گرفت برابر ، اگر از همان عناصر تشکیل شده باشند و بنویسند. دو مجموعه و برابر خواهد بود اگر و فقط اگر و .

تنظیم تماس جهانی (در چارچوب این نظریه ریاضی) , اگر عناصر آن همه اشیاء در نظر گرفته شده در این نظریه باشند.

اتحادیه

عبور از مجموعه می شود و مجموعه نامیده می شود

تفاوت مجموعه می شود و مجموعه نامیده می شود

مکمل مجموعه ها (تا یک مجموعه جهانی) مجموعه نامیده می شود.

معتبر (واقعی) عدد کسر اعشاری بی نهایت نامیده می شود که با علامت "+" یا "" گرفته می شود. اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد شناسایی می شوند.

مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعی یک عدد غیر منفی است:

مجموعه نامیده می شود عددی اگر عناصر آن اعداد واقعی باشند. عددی در فواصل زمانی مجموعه نامیده می شوند

شماره: ، ، ، ، ، ، ، ، .

معکوس برای عملکرد , ، تابعی است که روی یک مجموعه تعریف می شود و به هر کدام به گونه ای اختصاص می دهد که . برای یافتن تابع معکوس تابع , شما باید معادله را حل کنید به طور نسبی . اگر تابع , به شدت یکنواخت است، آنگاه همیشه یک معکوس دارد و اگر تابع افزایش یابد (کاهش یابد)، تابع معکوس نیز افزایش می یابد (کاهش می یابد).

نمودار تابع سهمی با راس در است که شاخه های آن به سمت بالا یا اگر به سمت پایین هستند.

در برخی موارد، هنگام ساخت نمودار یک تابع، توصیه می شود دامنه تعریف آن را به چندین بازه غیر متقاطع تقسیم کنید و به طور متوالی بر روی هر یک از آنها یک نمودار بسازید.

هر مجموعه مرتب شده ای از اعداد واقعی فراخوانی می شود محاسبات نقطه‌بعدی (هماهنگ كردن) فضا و یا نشان داده می شود، در حالی که اعداد آن نامیده می شوند مختصات .

اجازه دهید و برخی از مجموعه از نقاط و . اگر به هر نقطه، طبق قاعده ای، یک عدد واقعی کاملاً تعریف شده اختصاص داده شود، می گویند که یک تابع عددی از متغیرها روی مجموعه داده می شود و می نویسد یا به طور خلاصه و در حالی که فراخوانی می شود. حوزه تعریف , - مجموعه ای از ارزش ها , - استدلال ها توابع (متغیرهای مستقل).

یک تابع از دو متغیر اغلب نشان داده می شود، یک تابع از سه متغیر -. دامنه تعریف تابع مجموعه معینی از نقاط در صفحه است، توابع مجموعه مشخصی از نقاط در فضا هستند.

مبحث 7. دنباله ها و سری های عددی محدودیت توالی محدودیت یک تابع و تداوم.

اگر طبق یک قاعده خاص، هر عدد طبیعی با یک عدد واقعی کاملاً تعریف شده مرتبط باشد، آنگاه می گویند دنباله عددی . به طور خلاصه نشان می دهد. شماره تماس گرفته می شود عضو مشترک دنباله . به دنباله تابعی از آرگومان طبیعی نیز گفته می شود. یک دنباله همیشه شامل تعداد نامتناهی عنصر است که برخی از آنها ممکن است برابر باشند.

شماره تماس گرفته می شود محدودیت توالی و اگر برای هر عدد عددی وجود دارد بنویسید که نابرابری برای همه برآورده شود.

دنباله ای که حد محدودی دارد نامیده می شود همگرا ، در غیر این صورت - واگرا .

: 1) رو به زوال ، اگر ؛ 2) افزایش می یابد ، اگر ؛ 3) بدون کاهش ، اگر ؛ 4) غیر افزایشی ، اگر . تمام دنباله های فوق نامیده می شوند یکنواخت .

دنباله نامیده می شود محدود ، اگر عددی وجود داشته باشد که شرط زیر برای همه برقرار باشد: . در غیر این صورت، دنباله است نامحدود .

هر دنباله محدود یکنواخت یک حدی دارد ( قضیه وایرشتراس).

دنباله نامیده می شود بی نهایت کوچک ، اگر . دنباله نامیده می شود بی نهایت بزرگ (همگرا به بی نهایت) اگر .

عدد حد دنباله نامیده می شود، جایی که

ثابت را عدد غیر همتا می نامند. لگاریتم پایه یک عدد لگاریتم طبیعی یک عدد نامیده می شود و نشان داده می شود.

یک عبارت از شکل، که در آن دنباله ای از اعداد است، نامیده می شود سری عددی و مشخص شده اند. مجموع ترم های اول مجموعه نامیده می شود مجموع جزئی ردیف

ردیف نامیده می شود همگرا اگر حد محدودی وجود داشته باشد و واگرا اگر محدودیت وجود نداشته باشد. شماره تماس گرفته می شود مجموع یک سری همگرا , در حین نوشتن

اگر سری همگرا شوند، پس (یک معیار ضروری برای همگرایی سری ) . این صحبت درست نیست.

اگر، پس سری از هم جدا می شود ( معیار کافی برای واگرایی سریال ).

سری هارمونیک تعمیم یافتهمجموعه ای نامیده می شود که در همگرا و واگرا در .

سری هندسی مجموعه ای را فراخوانی می کنیم که در همگرا باشد در حالی که مجموع آن برابر است و در واگرا می شود. یک عدد یا نماد پیدا کنید (نیمه محله چپ، نیمه محله راست) و

حاصل ضرب بردارها را در نظر بگیرید، و ، به شرح زیر تشکیل شده است:
. در اینجا دو بردار اول به صورت بردار ضرب می شوند و نتیجه آنها به صورت اسکالر در بردار سوم ضرب می شود. چنین حاصل ضرب بردار اسکالر یا مخلوط سه بردار نامیده می شود. محصول مخلوط مقداری است.

بیایید معنای هندسی عبارت را دریابیم
.

قضیه . حاصلضرب مخلوط سه بردار برابر با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها است که اگر این بردارها یک سه گانه سمت راست را تشکیل دهند با علامت مثبت و اگر سه بردار سمت چپ را تشکیل دهند با علامت منفی گرفته می شود.

اثبات..ما یک متوازی الاضلاع می سازیم که لبه های آن بردار هستند , , و بردار
.

ما داریم:
,
، جایی که - مساحت متوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است و ,
برای سه گانه سمت راست بردارها و
برای چپ، کجا
ارتفاع متوازی الاضلاع است. ما گرفتیم:
، یعنی
، جایی که - حجم متوازی الاضلاع تشکیل شده توسط بردارها , و .

خواص ترکیبی محصول

1. محصول مخلوط زمانی که تغییر نمی کند چرخه ایجایگشت عوامل آن، یعنی. .

در واقع، در این مورد، نه حجم موازی و نه جهت لبه های آن تغییر می کند.

2. زمانی که نشانه های ضرب بردار و اسکالر معکوس می شوند، حاصلضرب مخلوط تغییر نمی کند، یعنی.
.

واقعا،
و
. ما همان علامت را در سمت راست این برابری ها، از سه گانه بردارها، می گیریم , , و , , - یک جهت

از این رو،
. این به ما اجازه می دهد تا حاصلضرب مخلوط بردارها را بنویسیم
مانند
بدون نشانه بردار، ضرب اسکالر.

3. هنگامی که هر دو بردار عاملی مکان خود را تغییر می دهند، علامت محصول مختلط تغییر می کند.
,
,
.

در واقع، چنین جایگشتی معادل جایگشت عوامل در حاصلضرب بردار است که علامت محصول را تغییر می‌دهد.

4. محصول مخلوط بردارهای غیر صفر , و صفر است اگر و فقط اگر همسطح باشند.

2.12. محاسبه محصول مخلوط به شکل مختصات به صورت متعارف

اجازه دهید بردارها
,
,
. بیایید محصول ترکیبی آنها را با استفاده از عبارات مختصات برای محصولات برداری و اسکالر پیدا کنیم:

. (10)

فرمول حاصل را می توان کوتاهتر نوشت:

زیرا سمت راست برابری (10) بسط تعیین کننده مرتبه سوم بر حسب عناصر ردیف سوم است.

بنابراین، حاصلضرب مخلوط بردارها برابر با تعیین کننده مرتبه سوم است که از مختصات بردارهای ضرب شده تشکیل شده است.

2.13 برخی از کاربردهای محصول مخلوط

تعیین جهت نسبی بردارها در فضا

تعیین جهت نسبی بردارها , و بر اساس ملاحظات زیر اگر
، آن , , - راست سه اگر
، آن , , - سه سمت چپ

شرط همسانی برای بردارها

بردارها , و همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که حاصلضرب مخلوط آنها صفر باشد (
,
,
):

بردارها , , هم صفحه.

تعیین حجم هرم متوازی الاضلاع و مثلثی شکل

به راحتی می توان نشان داد که حجم یک متوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است , و به عنوان محاسبه می شود
، و حجم هرم مثلثی ساخته شده بر روی همان بردارها برابر است با
.

مثال 1ثابت کنید که بردارها
,
,
هم صفحه.

راه حل.بیایید حاصلضرب مخلوط این بردارها را با استفاده از فرمول پیدا کنیم:

این بدان معناست که بردارها
هم صفحه.

مثال 2با توجه به رئوس یک چهار وجهی: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2، -1، 3). طول ارتفاع آن را که از راس پایین آمده است را بیابید .

راه حل.اجازه دهید ابتدا حجم چهار وجهی را پیدا کنیم
. طبق فرمول بدست می آوریم:

از آنجایی که تعیین کننده یک عدد منفی است، در این مورد، قبل از فرمول باید علامت منفی بگیرید. از این رو،
.

مقدار مورد نظر ساعتاز فرمول تعیین کنید
، جایی که اس - مساحت پایه بیایید منطقه را تعیین کنیم اس:

جایی که

از آنجا که

جایگزین کردن در فرمول
ارزش های
و
، ما گرفتیم ساعت= 3.

مثال 3آیا بردارها تشکیل می شوند
اساس در فضا؟ بردار تجزیه
بر اساس بردارها .

راه حل.اگر بردارها مبنایی را در فضا تشکیل دهند، در آن صورت در یک صفحه قرار نمی گیرند، یعنی. غیر همسطح هستند. حاصلضرب مخلوط بردارها را پیدا کنید
:
,

بنابراین، بردارها همسطح نیستند و پایه ای را در فضا تشکیل می دهند. اگر بردارها مبنایی را در فضا تشکیل دهند، پس هر بردار را می توان به عنوان یک ترکیب خطی از بردارهای پایه، یعنی
،جایی که
مختصات برداری بر اساس بردار
. بیایید با جمع آوری و حل سیستم معادلات این مختصات را پیدا کنیم

حل آن با روش گاوس، داریم

از اینجا
. سپس .

بدین ترتیب،
.

مثال 4رئوس هرم در نقاط زیر است:
,
,
,
. محاسبه:

الف) ناحیه صورت
;

ب) حجم هرم
;

ج) طرح برداری برداری
به جهت بردار
;

د) زاویه
;

ه) بررسی کنید که بردارها
,
,
هم صفحه.

راه حل

الف) از تعریف محصول متقاطع مشخص می شود که:

یافتن بردارها
و
، با استفاده از فرمول

,
.

برای بردارهایی که با پیش بینی آنها تعریف می شوند، حاصلضرب بردار با فرمول پیدا می شود

، جایی که
.

برای پرونده ما

طول بردار حاصل را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم

,
.

و سپس
(واحد مربع).

ب) حاصلضرب مخلوط سه بردار از نظر قدر مطلق برابر با حجم متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها است. , , مثل روی دنده ها

محصول مخلوط با فرمول محاسبه می شود:

بیایید بردارها را پیدا کنیم
,
,
، همزمان با لبه های هرم، به سمت بالا همگرا می شود :

حاصلضرب مخلوط این بردارها

از آنجایی که حجم هرم برابر با بخشی از حجم متوازی الاضلاع است که بر روی بردارها ساخته شده است.
,
,
، آن
(واحد مکعب).

ج) با استفاده از فرمول
، که حاصل ضرب اسکالر بردارها را تعریف می کند , ، می توان اینگونه نوشت:

جایی که
یا
;

یا
.

برای یافتن طرح ریزی بردار
به جهت بردار
مختصات بردارها را پیدا کنید
,
و سپس فرمول را اعمال کنید

ما گرفتیم

د) برای پیدا کردن زاویه
بردارها را تعریف کنید
,
، داشتن یک منشاء مشترک در نقطه :

سپس با توجه به فرمول محصول اسکالر

ه) به ترتیب برای سه بردار

,
,

همسطح هستند، لازم و کافی است که حاصلضرب مخلوط آنها برابر با صفر باشد.

در مورد ما داریم
.

بنابراین، بردارها همسطح هستند.

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصل ضرب بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (لینک فوری برای کسانی که به آن نیاز دارند). اشکالی ندارد، گاهی پیش می آید که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب نقطه ای بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. اعتیاد ناقل چنین است. ممکن است این تصور ایجاد شود که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش از ریاضیات عالی، به طور کلی هیزم کمی وجود دارد، به جز شاید به اندازه کافی برای پینوکیو. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی دشوارتر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری خواهند دید یا قبلا دیده اند، اشتباه نکردن محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مثل رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید. وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند، من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کارهای عملی یافت می شود جمع آوری کنم.

چه چیزی شما را خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو و حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به شعبده بازی نیست، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر!

در این عملیات، مانند محصول اسکالر، دو بردار. بگذار حروف فنا ناپذیر باشد.

خود عمل نشان داده شده استبه روش زیر: . گزینه‌های دیگری هم وجود دارد، اما من عادت دارم ضربدر بردارها را به این شکل، در پرانتز با یک ضربدر مشخص کنم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب نقطه ای بردارهادو بردار درگیر هستند، و در اینجا دو بردار نیز ضرب می شوند، سپس تفاوت در چیست? یک تفاوت واضح، اول از همه، در نتیجه:

حاصل حاصل ضرب اسکالر بردارها عددی است:

حاصل ضرب ضربدری بردارها یک بردار است: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، از این رو نام عملیات. در ادبیات آموزشی مختلف، نامگذاری ها نیز ممکن است متفاوت باشد، من از حرف استفاده خواهم کرد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: محصول متقابل غیر خطیبردارها به این ترتیب گرفته شده است، بردار نامیده می شود، طولکه به صورت عددی است برابر مساحت متوازی الاضلاع است، بر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

ما تعریف را با استخوان تجزیه و تحلیل می کنیم، چیزهای جالب زیادی وجود دارد!

بنابراین، می توانیم نکات مهم زیر را برجسته کنیم:

1) بردارهای منبع، که با فلش های قرمز، با تعریف نشان داده شده اند خطی نیست. مناسب است که کمی بعد مورد بردارهای خطی را در نظر بگیریم.

2) بردارهای گرفته شده به ترتیب دقیق: – "الف" در "بودن" ضرب می شود، نه "بودن" به "الف". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی نشان داده می شود. اگر بردارها به ترتیب معکوس ضرب شوند، بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ زرشکی) به دست می آید. یعنی برابری .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! طول بردار آبی (و بنابراین، بردار زرشکی) از نظر عددی برابر است با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها. در شکل، این متوازی الاضلاع به رنگ مشکی سایه زده شده است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است و البته طول اسمی ضربدر برابر مساحت متوازی الاضلاع نیست.

یکی از فرمول های هندسی را به یاد می آوریم: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها. بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که در فرمول ما در مورد طول بردار صحبت می کنیم و نه در مورد خود بردار. معنای عملی چیست؟ و معنی چنین است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم حاصلضرب بردار پیدا می شود:

فرمول مهم دوم را دریافت می کنیم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه زنی قرمز) را می توان با فرمول پیدا کرد:

4) یک واقعیت به همان اندازه مهم این است که بردار متعامد بر بردارها است، یعنی . البته بردار جهت مخالف (فلش زرشکی) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساساین دارد درستگرایش. در یک درس در مورد انتقال به یک پایه جدیدمن مفصل در مورد آن صحبت کرده ام جهت هواپیماو اکنون متوجه خواهیم شد که جهت فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست. ذهنی ترکیب کنید انگشت اشارهبا وکتور و انگشت وسطبا وکتور . انگشت حلقه و انگشت کوچکبه کف دست خود فشار دهید در نتیجه شست- محصول برداری به بالا نگاه می کند. این مبنای راست گرا است (در شکل است). حالا بردارها را عوض کنید ( انگشت اشاره و وسط) در برخی مکان ها، در نتیجه، انگشت شست به دور خود می چرخد و حاصلضرب برداری از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. شاید برای شما سوالی پیش بیاید که گرایش چپ چه مبنایی دارد؟ همان انگشتان را "تخصیص" کنید دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت فضای چپ را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد). به بیان تصویری، این پایه ها فضا را در جهات مختلف "پیچان" یا جهت می دهند. و این مفهوم را نباید چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، معمولی ترین آینه جهت گیری فضا را تغییر می دهد، و اگر "شیء منعکس شده را از آینه بیرون بکشید"، به طور کلی امکان پذیر نخواهد بود. آن را با "اصلی" ترکیب کنید. به هر حال، سه انگشت خود را به آینه بیاورید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

... چقدر خوبه که الان میدونی راست و چپ گرامبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر گرایش وحشتناک است =)

حاصلضرب برداری بردارهای خطی

این تعریف با جزئیات کار شده است، باید بفهمیم وقتی بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز در یک خط مستقیم "تا" می شود. حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع صفر است از فرمول نیز به همین صورت است - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر است، به این معنی که مساحت صفر است.

بنابراین، اگر، پس و . لطفاً توجه داشته باشید که ضرب ضربدر خود برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این موضوع صرف نظر می شود و می نویسند که آن نیز برابر با صفر است.

یک مورد خاص حاصل ضرب برداری یک بردار و خودش است:

با استفاده از محصول متقاطع، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما همچنین این مشکل را در میان موارد دیگر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

برای حل مثال های کاربردی ممکن است لازم باشد جدول مثلثاتیبرای یافتن مقادیر سینوس ها از آن.

خب بیایید آتش بزنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب بردار بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در موارد شرط یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) بر حسب شرط لازم است پیدا شود طولبردار (محصول بردار). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

از آنجایی که در مورد طول پرسیده شد، پس در پاسخ ابعاد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) بر حسب شرط لازم است پیدا شود مربعمتوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول ضربدر:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که در پاسخ در مورد محصول برداری اصلاً صحبتی نشده است، از ما سؤال شده است مساحت شکلبه ترتیب ابعاد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه برای یافتن شرط لازم است نگاه می کنیم، و بر این اساس، فرمول بندی می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در بین معلمان به اندازه کافی لفظ نویس وجود دارد و وظیفه با شانس خوب برای تجدید نظر برگردانده می شود. اگر چه این یک نکته خاص نیست - اگر پاسخ نادرست باشد، این تصور را ایجاد می کند که شخص چیزهای ساده را نمی فهمد و / یا ماهیت کار را درک نکرده است. این لحظه باید همیشه تحت کنترل باشد و هر مشکلی را در ریاضیات عالی و دروس دیگر حل کند.

حرف بزرگ «ان» کجا رفت؟ در اصل، می‌توان آن را به راه‌حل اضافه کرد، اما برای کوتاه کردن رکورد، این کار را نکردم. امیدوارم همه آن را درک کنند و همین موضوع باشد.

یک مثال محبوب برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق حاصلضرب بردار در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است، مثلث ها به طور کلی می توانند شکنجه شوند.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های حاصلضرب متقاطع بردارها

ما قبلاً برخی از ویژگی های محصول برداری را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر درست است:

1) در سایر منابع اطلاعاتی، این مورد معمولاً در خواص متمایز نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا بحث شده است، گاهی اوقات به آن گفته می شود ضد جابجایی. به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) - ترکیب یا انجمنیقوانین محصول برداری ثابت ها به راحتی از محدوده حاصلضرب بردار خارج می شوند. راستی اونجا چیکار میکنن؟

4) - توزیع یا توزیعقوانین محصول برداری باز کردن براکت ها هم مشکلی ندارد.

به عنوان نمونه، یک مثال کوتاه را در نظر بگیرید:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:بر اساس شرط، مجدداً لازم است طول حاصلضرب بردار را پیدا کنید. بیایید مینیاتور خود را نقاشی کنیم:

(1) با توجه به قوانین انجمنی، ما ثابت ها را فراتر از مرزهای حاصل ضرب برداری خارج می کنیم.

(2) ثابت را از ماژول خارج می کنیم، در حالی که ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) آنچه در ادامه می آید روشن است.

پاسخ:

وقت انداختن هیزم روی آتش است:

مثال 4

مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید اگر

راه حل: با استفاده از فرمول مساحت مثلث را پیدا کنید . مشکل این است که بردارهای "ce" و "te" خود به عنوان مجموع بردارها نشان داده می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های شماره 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها. برای وضوح، آن را به سه مرحله تقسیم می کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب برداری را از طریق حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بردار را بر حسب بردار بیان کنید. هنوز خبری از طول نیست!

(1) ما عبارات بردارها را جایگزین می کنیم.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را طبق قاعده ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت های فراتر از محصولات برداری را خارج می کنیم. با کمی تجربه، اقدامات 2 و 3 را می توان به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت خوشایند برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم، از خاصیت ضد جابجایی محصول برداری استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، مشخص شد که بردار از طریق یک بردار بیان می شود، که برای دستیابی به آن نیاز بود:

2) در مرحله دوم، طول محصول برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل مشابه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نظر را پیدا کنید:

مراحل 2-3 محلول را می توان در یک خط مرتب کرد.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده در تست ها بسیار رایج است، در اینجا یک مثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر دقت کردید ;-)

ضرب ضربدری بردارها در مختصات

، داده شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعا ساده است: ما بردارهای مختصات را در خط بالایی تعیین کننده می نویسیم، مختصات بردارها را در خط دوم و سوم "بسته بندی" می کنیم و قرار می دهیم. به ترتیب دقیق- ابتدا مختصات بردار "ve" و سپس مختصات بردار "double-ve". اگر بردارها باید به ترتیب متفاوتی ضرب شوند، خطوط نیز باید تعویض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر هم خط هستند:
آ)
ب)

راه حل: آزمون بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها خطی باشند، حاصل ضرب آنها صفر است (بردار صفر): .

الف) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

بنابراین بردارها خطی نیستند.

ب) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصلضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا مشکلات کمی در استفاده از حاصلضرب مخلوط بردارها وجود دارد. در واقع، همه چیز به تعریف، معنای هندسی و چند فرمول کار بستگی دارد.

حاصلضرب مخلوط بردارها حاصل ضرب سه بردار است:

اینطوری مثل قطار صف می‌کشند و منتظر می‌مانند، نمی‌توانند صبر کنند تا حساب شوند.

ابتدا دوباره تعریف و تصویر:

تعریف: محصول مخلوط غیر همسطحبردارها به این ترتیب گرفته شده است، نامیده میشود حجم متوازی الاضلاع، بر روی این بردارها ساخته شده است، اگر پایه درست باشد با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-".

بیایید نقاشی را انجام دهیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با یک خط نقطه چین ترسیم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارهای گرفته شده به ترتیب خاصی، یعنی جایگشت بردارها در محصول، همانطور که ممکن است حدس بزنید، بدون عواقب نیست.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، این واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: . در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است تا حدودی متفاوت باشد، من برای تعیین یک محصول ترکیبی از طریق و نتیجه محاسبات با حرف "pe" استفاده می کردم.

الف - مقدماتی محصول مخلوط، حجم موازی است، بر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم متوازی الاضلاع است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) بیایید دوباره با مفهوم جهت گیری مبنا و فضا به خود زحمت ندهیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به عبارت ساده، محصول مخلوط می تواند منفی باشد: .

فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها مستقیماً از تعریف پیروی می کند.