Μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων Διανύσματα ύψους κουτιού

Για τα διανύσματα , και , δίνονται από τις συντεταγμένες τους , το μικτό γινόμενο υπολογίζεται με τον τύπο: .

Χρησιμοποιείται μικτό προϊόν: 1) να υπολογίσετε τους όγκους ενός τετραέδρου και ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου σε διανύσματα , και , όπως στις ακμές, σύμφωνα με τον τύπο: ; 2) ως προϋπόθεση για τη συμβατότητα των διανυσμάτων , και : και είναι ομοεπίπεδα.

Θέμα 5. Ευθείες γραμμές και αεροπλάνα.

Κανονική γραμμή διάνυσμα , καλείται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία , καλείται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στη δεδομένη ευθεία.

Ευθεία στην επιφάνεια

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

3) κανονική εξίσωση );

5) - εξισώσεις γραμμής με κλίση , πού είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή; () - η γωνία που κάνει η γραμμή με τον άξονα. - το μήκος του τμήματος (με το πρόσημο ) που αποκόπτεται από μια ευθεία γραμμή στον άξονα (σύμβολο " " εάν το τμήμα αποκόπτεται στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό μέρος).

6) - ευθύγραμμη εξίσωση σε περικοπές, όπου και είναι τα μήκη των τμημάτων (με το πρόσημο ) αποκόπτονται από μια ευθεία γραμμή στους άξονες συντεταγμένων και (το πρόσημο " " αν το τμήμα αποκόπτεται στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό ).

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από τη γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία , ( )ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και , που δίνονται από γενικές εξισώσεις ή εξισώσεις με κλίση, βρίσκεται με έναν από τους ακόλουθους τύπους:

Εγώ για .

Εγώ για

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή .

Το κανονικό διάνυσμα του αεροπλάνου , ονομάζεται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο επίπεδο.

Επίπεδο στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση επίπεδο, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.

2) - την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο που είναι κάθετο στο δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία και .

4) - επίπεδο εξίσωση σε περικοπές, όπου , και είναι τα μήκη των τμημάτων (με το πρόσημο ) που αποκόπτονται από το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων , και (σημάδι " " αν το τμήμα είναι αποκομμένο στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό ).

Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση , βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία ,( )μεταξύ αεροπλάνων και , που δίνονται με γενικές εξισώσεις, βρίσκεται με τον τύπο:

Ευθεία στο διάστημα στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση μια ευθεία γραμμή, ως οι γραμμές τομής δύο επιπέδων, όπου και είναι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων και·

2) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

3) - εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

4) - εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα, ( παραμετρική εξίσωση );

Γωνία , ( ) ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και στο διάστημα , που δίνεται με κανονικές εξισώσεις, βρίσκεται με τον τύπο:

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας , που δίνεται από την παραμετρική εξίσωση και αεροπλάνο , που δίνονται από τη γενική εξίσωση, βρίσκονται ως λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: .

Γωνία , ( ) μεταξύ της γραμμής , που δίνεται από την κανονική εξίσωση και αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση βρίσκεται με τον τύπο: .

Θέμα 6. Καμπύλες δεύτερης τάξης.

Αλγεβρική καμπύλη δεύτερης τάξηςστο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται καμπύλη, γενική εξίσωση που μοιάζει με:

όπου οι αριθμοί - δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα. Υπάρχει η ακόλουθη ταξινόμηση καμπυλών δεύτερης τάξης: 1) αν , τότε η γενική εξίσωση ορίζει την καμπύλη ελλειπτικού τύπου (κύκλος (για ), έλλειψη (για ), κενό σύνολο, σημείο); 2) αν , τότε - καμπύλη υπερβολικού τύπου (υπέρβολα, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών). 3) αν , τότε - καμπύλη παραβολικού τύπου(παραβολή, κενό σύνολο, γραμμή, ζεύγος παράλληλων γραμμών). Κύκλος, έλλειψη, υπερβολή και παραβολή ονομάζονται μη εκφυλισμένες καμπύλες δεύτερης τάξης.

Η γενική εξίσωση , όπου , η οποία ορίζει μια μη εκφυλισμένη καμπύλη (κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή), μπορεί πάντα (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής πλήρων τετραγώνων) να αναχθεί σε μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1α) -εξίσωση κύκλου με κέντρο σε σημείο και ακτίνα (Εικ. 5).

1β)- την εξίσωση μιας έλλειψης με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες μιας έλλειψης το κύριο ορθογώνιο της έλλειψης. οι κορυφές της έλλειψης .

Για να δημιουργήσετε μια έλλειψη στο σύστημα συντεταγμένων: 1) σημειώστε το κέντρο της έλλειψης. 2) σχεδιάζουμε μέσω του κέντρου με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της έλλειψης. 3) χτίζουμε το κύριο ορθογώνιο μιας έλλειψης με διακεκομμένη γραμμή με κέντρο και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας. 4) σχεδιάζουμε μια έλλειψη με μια συμπαγή γραμμή, εγγράφοντας την στο κύριο ορθογώνιο έτσι ώστε η έλλειψη να αγγίζει τις πλευρές της μόνο στις κορυφές της έλλειψης (Εικ. 6).

Ομοίως, κατασκευάζεται ένας κύκλος, του οποίου το κύριο ορθογώνιο έχει πλευρές (Εικ. 5).

Εικ.5 Εικ.6

2) - εξισώσεις υπερβολών (ονομάζονται κλίνω) με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες υπερβολών ; ένα ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας και κεντραρισμένες σε ένα σημείο - το κύριο ορθογώνιο των υπερβολών. σημεία τομής του κύριου ορθογωνίου με τους άξονες συμμετρίας - κορυφές υπερβολών. ευθείες γραμμές που διέρχονται από αντίθετες κορυφές του κύριου ορθογωνίου - ασύμπτωτες υπερβολών .

Για να δημιουργήσετε μια υπερβολή στο σύστημα συντεταγμένων: 1) Σημειώστε το κέντρο της υπερβολής. 2) σχεδιάζουμε μέσα από το κέντρο με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της υπερβολής. 3) Κατασκευάζουμε το κύριο ορθογώνιο μιας υπερβολής με διακεκομμένη γραμμή με κέντρο και πλευρές και παράλληλες με τους άξονες συμμετρίας. 4) σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές μέσω των απέναντι κορυφών του κύριου ορθογωνίου με μια διακεκομμένη γραμμή, οι οποίες είναι ασύμπτωτες της υπερβολής, στην οποία οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν επ' αόριστον, σε άπειρη απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων, χωρίς να τις διασχίζουν. 5) απεικονίζουμε τους κλάδους μιας υπερβολής (Εικ. 7) ή υπερβολής (Εικ. 8) με συνεχή γραμμή.

Εικ.7 Εικ.8

3α)- η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 9).

3β)- η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 10).

Για να δημιουργήσετε μια παραβολή στο σύστημα συντεταγμένων: 1) σημειώστε την κορυφή της παραβολής. 2) σχεδιάζουμε μέσα από την κορυφή με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. 3) απεικονίζουμε μια παραβολή με συμπαγή γραμμή, κατευθύνοντας τον κλάδο της, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της παραμέτρου της παραβολής: at - στη θετική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων παράλληλο προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (Εικ. 9α και 10α). στο - στην αρνητική πλευρά του άξονα συντεταγμένων (Εικ. 9b και 10b) .

Ρύζι. 9α Εικ. 9β

Ρύζι. 10α Εικ. 10β

Θέμα 7. Σκηνικά. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργία.

Υπό Πολλά κατανοούν ένα ορισμένο σύνολο αντικειμένων οποιασδήποτε φύσης, διακριτά μεταξύ τους και νοητά ως ενιαίο σύνολο. Το ονομάζουν τα αντικείμενα που συνθέτουν ένα σύνολο στοιχεία . Ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρο (αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων), πεπερασμένο (αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων), κενό (δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο). Τα σύνολα συμβολίζονται με , και τα στοιχεία τους με . Το κενό σύνολο συμβολίζεται με .

Ορισμός κλήσης υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν . Σετ και κάλεσε ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Ορισμός κλήσης Παγκόσμιος (στο πλαίσιο αυτής της μαθηματικής θεωρίας) , αν τα στοιχεία του είναι όλα τα αντικείμενα που εξετάζονται σε αυτή τη θεωρία.

Πολλά μπορούν να ρυθμιστούν: 1) απαρίθμηση όλων των στοιχείων του, για παράδειγμα: (μόνο για πεπερασμένα σύνολα). 2) θέτοντας έναν κανόνα για τον προσδιορισμό του εάν ένα στοιχείο ενός καθολικού συνόλου ανήκει σε ένα δεδομένο σύνολο : .

Σχέση

διάβαση θέτει και ονομάζεται σύνολο

διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σετ (μέχρι ένα καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

Τα δύο σετ και καλούνται ισοδύναμος και γράψτε ~ εάν μπορεί να δημιουργηθεί αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων αυτών των συνόλων. Το σετ λέγεται αριθμητός , αν είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών : ~ . Το κενό σύνολο είναι, εξ ορισμού, μετρήσιμο.

Η έννοια της καρδιναικότητας ενός συνόλου προκύπτει όταν τα σύνολα συγκρίνονται με τον αριθμό των στοιχείων που περιέχουν. Η καρδινικότητα του συνόλου συμβολίζεται με . Η καρδινικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του.

Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν την ίδια καρδινάτητα. Το σετ λέγεται αμέτρητος αν η καρδινάλισή του είναι μεγαλύτερη από την καρδινικότητα του συνόλου .

Εγκυρος (πραγματικός) αριθμός ονομάζεται άπειρο δεκαδικό κλάσμα, που λαμβάνεται με το πρόσημο "+" ή "". Οι πραγματικοί αριθμοί προσδιορίζονται με σημεία στην αριθμογραμμή. μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί.Αριθμητικός κατά διαστήματα τα σύνολα αριθμών ονομάζονται: , , , , , , , , .

Το σύνολο όλων των σημείων στην αριθμητική γραμμή που ικανοποιούν την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μικρός αριθμός, λέγεται -γειτονιά (ή απλώς μια γειτονιά) ενός σημείου και συμβολίζεται με . Το σύνολο όλων των σημείων από την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός, ονομάζεται - γειτονιά (ή απλώς μια γειτονιά) του άπειρου και συμβολίζεται με .

Μια ποσότητα που διατηρεί την ίδια αριθμητική τιμή ονομάζεται μόνιμος. Μια ποσότητα που παίρνει διαφορετικές αριθμητικές τιμές ονομάζεται μεταβλητός. Λειτουργία καλείται ο κανόνας, σύμφωνα με τον οποίο σε κάθε αριθμό εκχωρείται ένας καλά καθορισμένος αριθμός και γράφουν. Το σετ λέγεται τομέα ορισμού λειτουργίες, - Πολλά (ή περιοχή ) αξίες λειτουργίες, - διαφωνία , - τιμή συνάρτησης . Ο πιο συνηθισμένος τρόπος καθορισμού μιας συνάρτησης είναι η αναλυτική μέθοδος, στην οποία η συνάρτηση δίνεται με έναν τύπο. φυσικό πεδίο συνάρτηση είναι το σύνολο των τιμών του ορίσματος για το οποίο έχει νόημα αυτός ο τύπος. Γράφημα συνάρτησης , σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων , είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες , .

Η συνάρτηση καλείται ακόμη και στο σύνολο , συμμετρικό ως προς το σημείο , εάν η ακόλουθη συνθήκη ικανοποιείται για όλους: και Περιττός εάν πληρούται η προϋπόθεση. Διαφορετικά, μια γενική συνάρτηση ή ούτε ζυγός ούτε περιττός .

Η συνάρτηση καλείται περιοδικός στο σετ αν υπάρχει αριθμός ( περίοδο λειτουργίας ) έτσι ώστε να ικανοποιείται για όλους η ακόλουθη προϋπόθεση: . Ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται κύρια περίοδος.

Η συνάρτηση καλείται μονότονα αυξανόμενη (φθίνουσα ) στο σύνολο εάν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης .

Η συνάρτηση καλείται περιορισμένος στο σετ , εάν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη για όλα : . Διαφορετικά, η λειτουργία είναι απεριόριστος .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ για να λειτουργήσει , , μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται , η οποία ορίζεται στο σύνολο και στο καθένα

Ταιριάζει τέτοια που . Για να βρείτε τη συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης , πρέπει να λύσετε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αυξάνεται (μειώνεται) και η αντίστροφη συνάρτηση.

Μια συνάρτηση που αναπαρίσταται ως , όπου είναι μερικές συναρτήσεις τέτοιες που ο τομέας του ορισμού συνάρτησης περιέχει ολόκληρο το σύνολο τιμών της συνάρτησης , ονομάζεται σύνθετη λειτουργία ανεξάρτητο επιχείρημα. Η μεταβλητή ονομάζεται ενδιάμεσο όρισμα. Μια σύνθετη συνάρτηση ονομάζεται επίσης σύνθεση συναρτήσεων και , και γράφεται: .

Βασικό δημοτικό οι λειτουργίες είναι: εξουσία λειτουργία , επίδειξη λειτουργία ( , ), λογαριθμική λειτουργία ( , ), τριγωνομετρική λειτουργίες , , , , αντίστροφη τριγωνομετρική λειτουργίες , , , . Στοιχειώδης ονομάζεται συνάρτηση που προκύπτει από βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις με πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων και συνθέσεων τους.

Εάν δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε η κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ανάγεται σε μια σειρά μετασχηματισμών (μετατόπιση, συμπίεση ή τέντωμα, εμφάνιση) του γραφήματος:

1) 2) ο μετασχηματισμός εμφανίζει το γράφημα συμμετρικά ως προς τον άξονα. 3) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - προς τα δεξιά, - προς τα αριστερά). 4) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - πάνω, - κάτω). 5) το γράφημα μετασχηματισμού κατά μήκος του άξονα εκτείνεται σε χρόνους, εάν ή συμπιέζει σε χρόνους, εάν ; 6) μετασχηματίζοντας το γράφημα κατά μήκος του άξονα συμπιέζει κατά έναν παράγοντα αν ή εκτείνεται κατά έναν παράγοντα εάν .

Η ακολουθία μετασχηματισμών κατά τη σχεδίαση ενός γραφήματος συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως:

Σημείωση. Κατά την εκτέλεση ενός μετασχηματισμού, να έχετε κατά νου ότι το μέγεθος της μετατόπισης κατά μήκος του άξονα καθορίζεται από τη σταθερά που προστίθεται απευθείας στο όρισμα και όχι στο όρισμα.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο , της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν . Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής-κλασματικής συνάρτησης είναι μια υπερβολή με κέντρο το σημείο , της οποίας οι ασύμπτωτες διέρχονται από το κέντρο, παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων. , ικανοποιώντας την προϋπόθεση. που ονομάζεται.

Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, και , που αποτελείται ως εξής:
. Εδώ τα δύο πρώτα διανύσματα πολλαπλασιάζονται διανυσματικά και το αποτέλεσμά τους πολλαπλασιάζεται κλιμακωτά με το τρίτο διάνυσμα. Ένα τέτοιο γινόμενο ονομάζεται διανυσματικό βαθμωτό, ή μικτό, γινόμενο τριών διανυσμάτων. Το μικτό προϊόν είναι κάποιος αριθμός.

Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία της έκφρασης
.

Θεώρημα . Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν αν αυτά τα διανύσματα σχηματίζουν δεξιό τριπλό και με αρνητικό πρόσημο αν σχηματίζουν αριστερό τριπλό.

Απόδειξη..Κατασκευάζουμε ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές είναι τα διανύσματα , , και διάνυσμα
.

Εχουμε:
,
, όπου - περιοχή του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και ,
για το δεξιό τριπλό των διανυσμάτων και
για την αριστερά, όπου
είναι το ύψος του παραλληλεπίπεδου. Παίρνουμε:
, δηλ.
, όπου - ο όγκος του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα , και .

Μικτές ιδιότητες προϊόντος

1. Το ανάμεικτο προϊόν δεν αλλάζει πότε κυκλικόςμετάθεση των παραγόντων του, δηλ. .

Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση δεν αλλάζει ούτε ο όγκος του παραλληλεπιπέδου ούτε ο προσανατολισμός των άκρων του.

2. Το μικτό γινόμενο δεν αλλάζει όταν αντιστρέφονται τα πρόσημα του διανυσματικού και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ.
.

Πραγματικά,
και
. Παίρνουμε το ίδιο πρόσημο στη δεξιά πλευρά αυτών των ισοτήτων, αφού οι τριάδες των διανυσμάτων , , και , , - ένας προσανατολισμός.

Συνεπώς,
. Αυτό μας επιτρέπει να γράψουμε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων
όπως και
χωρίς σημάδια διανύσματος, βαθμωτός πολλαπλασιασμός.

3. Το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο όταν οποιαδήποτε δύο διανύσματα παραγόντων αλλάζουν θέσεις, δηλ.
,
,
.

Πράγματι, μια τέτοια μετάθεση είναι ισοδύναμη με μια μετάθεση των παραγόντων στο διανυσματικό γινόμενο, η οποία αλλάζει το πρόσημο του γινομένου.

4. Μικτό προϊόν μη μηδενικών διανυσμάτων , και είναι μηδέν αν και μόνο αν είναι ομοεπίπεδα.

2.12. Υπολογισμός του μικτού προϊόντος σε συντεταγμένη μορφή σε ορθοκανονική βάση

Αφήστε τα διανύσματα
,
,
. Ας βρούμε το μικτό γινόμενο τους χρησιμοποιώντας εκφράσεις σε συντεταγμένες για διανυσματικά και κλιμακωτά γινόμενα:

. (10)

Ο προκύπτων τύπος μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

αφού η δεξιά πλευρά της ισότητας (10) είναι η επέκταση της ορίζουσας τρίτης τάξης ως προς τα στοιχεία της τρίτης σειράς.

Άρα, το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με την ορίζουσα τρίτης τάξης, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των πολλαπλασιασμένων διανυσμάτων.

2.13 Ορισμένες εφαρμογές του μικτού προϊόντος

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων στο χώρο

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων , και με βάση τις ακόλουθες εκτιμήσεις. Αν ένα
, έπειτα , , - δεξιά τρία αν
, έπειτα , , - αριστερά τρία.

Συνθήκη συμβατότητας για διανύσματα

Διανύσματα , και είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν (
,
,
):

φορείς , , ομοεπίπεδη.

Προσδιορισμός των όγκων παραλληλεπίπεδου και τριγωνικής πυραμίδας

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου βασίζεται σε διανύσματα , και υπολογίζεται ως
, και ο όγκος της τριγωνικής πυραμίδας που είναι χτισμένη στα ίδια διανύσματα είναι ίσος με
.

Παράδειγμα 1Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα
,
,
ομοεπίπεδη.

Λύση.Ας βρούμε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα
ομοεπίπεδη.

Παράδειγμα 2Δίνονται οι κορυφές ενός τετραέδρου: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Να βρείτε το μήκος του ύψους του που έπεσε από την κορυφή .

Λύση.Ας βρούμε πρώτα τον όγκο του τετραέδρου
. Σύμφωνα με τον τύπο παίρνουμε:

Δεδομένου ότι η ορίζουσα είναι αρνητικός αριθμός, σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πάρετε ένα σύμβολο μείον πριν από τον τύπο. Συνεπώς,
.

Η επιθυμητή τιμή ηκαθορίστε από τον τύπο
, όπου μικρό - περιοχή βάσης. Ας προσδιορίσουμε την περιοχή μικρό:

όπου

Επειδή η

Αντικατάσταση στη φόρμουλα
αξίες
και
, παίρνουμε η= 3.

Παράδειγμα 3Να σχηματιστούν διανύσματα
βάση στο διάστημα; Διάνυσμα αποσύνθεσης
με βάση τα διανύσματα .

Λύση.Εάν τα διανύσματα αποτελούν βάση στο χώρο, τότε δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. είναι μη ομοεπίπεδες. Βρείτε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων
:
,

Επομένως, τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα και αποτελούν βάση στο χώρο. Εάν τα διανύσματα αποτελούν μια βάση στο χώρο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης, δηλαδή
,όπου
διανυσματικές συντεταγμένες σε διανυσματική βάση
. Ας βρούμε αυτές τις συντεταγμένες συντάσσοντας και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων

Λύνοντάς το με τη μέθοδο Gauss, έχουμε

Από εδώ
. Επειτα .

Με αυτόν τον τρόπο,
.

Παράδειγμα 4Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία:
,
,
,
. Υπολογίζω:

α) περιοχή του προσώπου
;

β) τον όγκο της πυραμίδας
;

γ) διανυσματική προβολή
προς την κατεύθυνση του διανύσματος
;

δ) γωνία
;

ε) ελέγξτε ότι τα διανύσματα
,
,
ομοεπίπεδη.

Λύση

α) Από τον ορισμό του διασταυρούμενου προϊόντος, είναι γνωστό ότι:

Εύρεση διανυσμάτων
και
, χρησιμοποιώντας τον τύπο

,
.

Για διανύσματα που ορίζονται από τις προβολές τους, το γινόμενο του διανύσματος βρίσκεται από τον τύπο

, όπου
.

Για την περίπτωσή μας

Βρίσκουμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας τον τύπο

,
.

και μετά
(τετρ. μονάδες).

β) Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται στα διανύσματα , , όπως στα πλευρά.

Το μικτό προϊόν υπολογίζεται με τον τύπο:

Ας βρούμε τα διανύσματα
,
,
, που συμπίπτει με τις άκρες της πυραμίδας, συγκλίνοντας προς την κορυφή :

Το μικτό γινόμενο αυτών των φορέων

Δεδομένου ότι ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το μέρος του όγκου του παραλληλεπίπεδου που είναι χτισμένο στα διανύσματα
,
,
, έπειτα
(κυβικές μονάδες).

γ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο
, που ορίζει το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων , , μπορεί να γραφτεί ως εξής:

όπου
ή
;

ή
.

Να βρείτε την προβολή του διανύσματος
προς την κατεύθυνση του διανύσματος
βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων
,
, και στη συνέχεια εφαρμόζοντας τον τύπο

παίρνουμε

δ) Να βρεθεί η γωνία
ορίζουν διανύσματα
,
, έχοντας κοινή καταγωγή στο σημείο :

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο του κλιμακωτού προϊόντος

ε) Με σειρά για τα τρία διανύσματα

,
,

είναι ομοεπίπεδα, είναι απαραίτητο και επαρκές το μικτό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Στην περίπτωσή μας έχουμε
.

Επομένως, τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Για διανύσματα , και , που δίνονται με συντεταγμένες , , το μικτό γινόμενο υπολογίζεται με τον τύπο: .

Θέμα 5. Γραμμές στο αεροπλάνο.

Ευθεία στην επιφάνεια στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

4) - εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από τη γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Εγώ για .

Εγώ για

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή .

Θέμα 10. Σκηνικά. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργίες.

Ορισμός κλήσης υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν .

Σετ και κάλεσε ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Σχέση

διάβαση θέτει και ονομάζεται σύνολο

διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σετ (μέχρι ένα καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί. Αριθμητικός κατά διαστήματα ονομάζονται σύνολα

αριθμοί: , , , , , , , , , .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ για να λειτουργήσει , , είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο και εκχωρεί σε καθένα τέτοια ώστε . Για να βρείτε τη συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης , πρέπει να λύσετε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αυξάνεται (μειώνεται) και η αντίστροφη συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο , της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν κατασκευάζετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, είναι σκόπιμο να διαιρέσετε το πεδίο ορισμού της σε πολλά διαστήματα που δεν τέμνονται και να δημιουργήσετε διαδοχικά ένα γράφημα σε καθένα από αυτά.

Οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών καλείται κουκκιδοσδιάστατη αριθμητική (συντεταγμένη) χώρος και συμβολίζεται ή , ενώ οι αριθμοί ονομάζονται του συντεταγμένες .

Αφήνω και είναι μερικά σύνολα σημείων και . Αν σε κάθε σημείο εκχωρηθεί, σύμφωνα με κάποιον κανόνα, ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός, τότε λένε ότι δίνεται μια αριθμητική συνάρτηση μεταβλητών στο σύνολο και γράφουν ή εν συντομία και, ενώ καλούνται τομέα ορισμού , - σύνολο αξιών , - επιχειρήματα (ανεξάρτητες μεταβλητές) συναρτήσεις.

Συχνά υποδηλώνεται μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, μια συνάρτηση τριών μεταβλητών -. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο, οι συναρτήσεις είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο χώρο.

Θέμα 7. Αριθμητικές ακολουθίες και σειρές. Όριο ακολουθίας. Όριο συνάρτησης και συνέχεια.

Εάν, σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, κάθε φυσικός αριθμός συνδέεται με έναν καλά καθορισμένο πραγματικό αριθμό, τότε το λένε αυτό αριθμητική ακολουθία . Σημειώστε συνοπτικά. Ο αριθμός καλείται κοινό μέλος της ακολουθίας . Μια ακολουθία ονομάζεται επίσης συνάρτηση φυσικού ορίσματος. Μια ακολουθία περιέχει πάντα έναν άπειρο αριθμό στοιχείων, μερικά από τα οποία μπορεί να είναι ίσα.

Ο αριθμός καλείται όριο ακολουθίας , και γράψτε αν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε η ανίσωση να ικανοποιείται για όλους .

Μια ακολουθία που έχει πεπερασμένο όριο ονομάζεται συγκλίνουσα , σε διαφορετική περίπτωση - αποκλίνων .

: 1) φθίνουσα , αν ; 2) αυξανόμενη , αν ; 3) μη φθίνουσα , αν ; 4) μη αυξανόμενη , αν . Όλες οι παραπάνω ακολουθίες καλούνται μονότονος .

Η ακολουθία ονομάζεται περιορισμένος , εάν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη για όλους: . Διαφορετικά, η σειρά είναι απεριόριστος .

Κάθε μονότονη οριοθετημένη ακολουθία έχει ένα όριο ( Θεώρημα Weierstrass).

Η ακολουθία ονομάζεται απειροελάχιστος , αν . Η ακολουθία ονομάζεται απείρως μεγάλο (συγκλίνοντας στο άπειρο) αν .

αριθμός ονομάζεται όριο της ακολουθίας, όπου

Η σταθερά ονομάζεται μη ομότιμος αριθμός. Ο βασικός λογάριθμος ενός αριθμού ονομάζεται φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού και συμβολίζεται .

Μια έκφραση της μορφής , όπου είναι μια ακολουθία αριθμών, ονομάζεται αριθμητική σειρά και σημειώνονται. Το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς ονομάζεται το μερικό άθροισμα σειρά.

Η σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα αν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο και αποκλίνων αν δεν υπάρχει το όριο. Ο αριθμός καλείται το άθροισμα μιας συγκλίνουσας σειράς , ενώ γράφω.

Αν η σειρά συγκλίνει, τότε (απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς ) . Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια.

Αν , τότε η σειρά αποκλίνει ( επαρκές κριτήριο για την απόκλιση της σειράς ).

Γενικευμένες αρμονικές σειρέςονομάζεται σειρά που συγκλίνει και αποκλίνει στο .

Γεωμετρική σειρά καλούμε μια σειρά που συγκλίνει στο , ενώ το άθροισμά της είναι ίσο με και αποκλίνει στο . βρείτε έναν αριθμό ή ένα σύμβολο. (αριστερή ημιγειτονιά, δεξιά ημιγειτονιά) και

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνκαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, συμβαίνει μερικές φορές ότι για πλήρη ευτυχία, εκτός από τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, χρειάζονται όλο και περισσότερα. Αυτός είναι ο διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να έχει κανείς την εντύπωση ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό δεν είναι αληθινό. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών, υπάρχουν γενικά λίγα καυσόξυλα, εκτός ίσως από αρκετά για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - σχεδόν πιο δύσκολο από το ίδιο κλιμακωτό προϊόν, ακόμη και θα υπάρχουν λιγότερες τυπικές εργασίες. Το κύριο πράγμα στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα δουν ή έχουν ήδη δει, είναι ΝΑ ΜΗΝ ΛΑΘΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)

Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες επιλεκτικά, προσπάθησα να συγκεντρώσω την πιο πλήρη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά στην πρακτική εργασία

Τι θα σε κάνει ευτυχισμένο; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν χρειάζεται καθόλου ταχυδακτυλουργία, αφού θα εξετάσουμε μόνο διανύσματα χώρου, και επίπεδα διανύσματα με δύο συντεταγμένες θα παραμείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Ήδη πιο εύκολο!

Σε αυτή τη λειτουργία, με τον ίδιο τρόπο όπως στο βαθμωτό γινόμενο, δύο διανύσματα. Ας είναι άφθαρτα γράμματα.

Η ίδια η δράση συμβολίζεταιμε τον εξής τρόπο: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να ορίζω το σταυρό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.

Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποιά είναι η διαφορά? Μια σαφής διαφορά, πρώτα απ 'όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:

Το αποτέλεσμα του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας ΑΡΙΘΜΟΣ:

Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, εξ ου και το όνομα της λειτουργίας. Σε διάφορες εκπαιδευτικές βιβλιογραφία, οι ονομασίες μπορεί επίσης να διαφέρουν, θα χρησιμοποιήσω το γράμμα .

Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.

Ορισμός: σταυρωτό προϊόν μη γραμμικόφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, ονομάζεται ΔΙΑΝΥΣΜΑ, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό:

Αναλύουμε τον ορισμό με τα οστά, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα!

Έτσι, μπορούμε να επισημάνουμε τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:

1) Διανύσματα πηγής , που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.

2) Διανύσματα που λαμβάνονται με αυστηρή σειρά: – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι "είναι" στο "α". Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ , το οποίο συμβολίζεται με μπλε. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν με αντίστροφη σειρά, τότε παίρνουμε διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (βυσσινί χρώμα). Δηλαδή την ισότητα .

3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του βυσσινί διανύσματος ) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο με μαύρο χρώμα.

Σημείωση : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του εγκάρσιου γινομένου δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.

Θυμόμαστε έναν από τους γεωμετρικούς τύπους: το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:

Τονίζω ότι στον τύπο μιλάμε για το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος, και όχι για το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι τέτοιο που σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού προϊόντος:

Παίρνουμε τη δεύτερη σημαντική φόρμουλα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

4) Ένα εξίσου σημαντικό γεγονός είναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα, δηλαδή . Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βυσσινί βέλος) είναι επίσης ορθογώνιο στα αρχικά διανύσματα.

5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηΕχει σωστάπροσανατολισμός. Σε ένα μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΈχω μιλήσει αναλυτικά για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε ποιος είναι ο προσανατολισμός του χώρου. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξί χέρι. Συνδυάστε διανοητικά δείκτηςμε διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε στην παλάμη σας. Σαν άποτέλεσμα αντίχειρας- το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει προς τα πάνω. Αυτή είναι η σωστή βάση (είναι στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαία δάχτυλα) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα, ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Ίσως έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει ο αριστερός προσανατολισμός; «Αναθέστε» τα ίδια δάχτυλα αριστερόχειραςδιανύσματα , και λάβετε την αριστερή βάση και τον προσανατολισμό του αριστερού χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο πιο συνηθισμένος καθρέφτης αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου και εάν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από τον καθρέφτη", τότε γενικά δεν θα είναι δυνατό να συνδυάστε το με το «πρωτότυπο». Παρεμπιπτόντως, φέρτε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)

... πόσο καλό είναι αυτό που ξέρετε τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις κάποιων ομιλητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομερές =)

Διανυσματικό γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Ο ορισμός έχει επεξεργαστεί λεπτομερώς, μένει να μάθουμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςτο παραλληλόγραμμο είναι μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν

Έτσι, εάν , τότε και . Σημειώστε ότι το ίδιο το διασταυρούμενο γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφεται ότι είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Μια ειδική περίπτωση είναι το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος και του ίδιου του:

Χρησιμοποιώντας το διασταυρούμενο γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και θα αναλύσουμε επίσης αυτό το πρόβλημα, μεταξύ άλλων.

Για την επίλυση πρακτικών παραδειγμάτων, μπορεί να είναι απαραίτητο τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.

Λοιπόν, ας βάλουμε φωτιά:

Παράδειγμα 1

α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν

β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα ίδια τα αρχικά δεδομένα στα στοιχεία συνθήκης. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!

α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί μήκοςδιάνυσμα (διανυσματικό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Αφού ρωτήθηκε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.

β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση απαιτείται να βρεθεί τετράγωνοπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του εγκάρσιου γινομένου:

Απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι στην απάντηση σχετικά με το διανυσματικό γινόμενο δεν γίνεται καθόλου συζήτηση, μας ρωτήθηκε περιοχή σχήματος, αντίστοιχα, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.

Εξετάζουμε πάντα ΤΙ απαιτείται να βρεθεί από την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε Σαφήαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν αρκετοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία με καλές πιθανότητες θα επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και αυτό δεν είναι ένα ιδιαίτερα τεταμένο τσίμπημα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματα ή/και δεν έχει κατανοήσει την ουσία της εργασίας. Αυτή η στιγμή πρέπει να διατηρείται πάντα υπό έλεγχο, λύνοντας οποιοδήποτε πρόβλημα στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «εν»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να κολλήσει επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω τον δίσκο, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι ο προσδιορισμός του ίδιου πράγματος.

Ένα δημοφιλές παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του διανυσματικού γινόμενου δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, το έργο είναι πολύ συνηθισμένο, τα τρίγωνα μπορούν γενικά να βασανιστούν.

Για να λύσουμε άλλα προβλήματα χρειαζόμαστε:

Ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.

Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν διακρίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.

2) - η ιδιοκτησία συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.

3) - συνδυασμός ή προσεταιριστικήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές αφαιρούνται εύκολα από τα όρια του γινομένου του διανύσματος. Αλήθεια, τι κάνουν εκεί;

4) - διανομή ή διανομήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.

Ως επίδειξη, εξετάστε ένα σύντομο παράδειγμα:

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν

Λύση:Κατά συνθήκη, απαιτείται και πάλι να βρεθεί το μήκος του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας:

(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, βγάζουμε τις σταθερές πέρα από τα όρια του διανυσματικού γινομένου.

(2) Βγάζουμε τη σταθερά από τη μονάδα, ενώ η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

(3) Αυτό που ακολουθεί είναι σαφές.

Απάντηση:

Ήρθε η ώρα να ρίξουμε ξύλα στη φωτιά:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο . Το εμπόδιο είναι ότι τα διανύσματα "ce" και "te" αντιπροσωπεύονται από μόνα τους ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος. Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Ας το αναλύσουμε σε τρία βήματα για σαφήνεια:

1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του γινομένου του διανύσματος, στην πραγματικότητα, εκφράζουν το διάνυσμα ως προς το διάνυσμα. Δεν υπάρχει ακόμη λέξη για το μήκος!

(1) Αντικαθιστούμε εκφράσεις διανυσμάτων .

(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίξτε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.

(3) Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς νόμους, αφαιρούμε όλες τις σταθερές πέρα από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, οι ενέργειες 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.

(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω της ευχάριστης ιδιότητας . Στον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας του γινομένου του διανύσματος:

(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί:

2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3:

3) Βρείτε το εμβαδόν του απαιτούμενου τριγώνου:

Τα βήματα 2-3 του διαλύματος θα μπορούσαν να τακτοποιηθούν σε μία γραμμή.

Απάντηση:

Το εξεταζόμενο πρόβλημα είναι αρκετά κοινό στις δοκιμές, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Βρείτε αν

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

, που δίνεται στην ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:

Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: γράφουμε τα διανύσματα συντεταγμένων στην επάνω γραμμή της ορίζουσας, «πακετάρουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στη δεύτερη και τρίτη γραμμή και βάζουμε με αυστηρή σειρά- πρώτα, οι συντεταγμένες του διανύσματος "ve", μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος "double-ve". Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι γραμμές θα πρέπει επίσης να αλλάξουν:

Παράδειγμα 10

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ένα)
σι)

Λύση: Το τεστ βασίζεται σε μία από τις προτάσεις σε αυτό το μάθημα: εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διασταυρούμενο γινόμενο τους είναι μηδέν (μηδέν διάνυσμα): .

α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)

Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα βασίζονται στον ορισμό, τη γεωμετρική σημασία και μερικές φόρμουλες εργασίας.

Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο τριών διανυσμάτων:

Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και περιμένουν, δεν μπορούν να περιμένουν μέχρι να υπολογιστούν.

Πρώτα πάλι ο ορισμός και η εικόνα:

Ορισμός: Μικτό προϊόν μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, λέγεται όγκος του παραλληλεπίπεδου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο "+" εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο "-" εάν η βάση είναι αριστερά.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με μια διακεκομμένη γραμμή:

Ας βουτήξουμε στον ορισμό:

2) Διανύσματα που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η μετάθεση των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν είναι χωρίς συνέπειες.

3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω το προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, ο σχεδιασμός μπορεί να είναι κάπως διαφορετικός, χρησιμοποίησα για να ορίσω ένα μικτό προϊόν μέσω και το αποτέλεσμα των υπολογισμών με το γράμμα "pe".

Εξ ορισμού το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο του δεδομένου παραλληλεπίπεδου.

Σημείωση : Το σχέδιο είναι σχηματικό.

4) Ας μην ασχοληθούμε ξανά με την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, το μικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα προκύπτει απευθείας από τον ορισμό.