Ας αναλύσουμε δύο τύπους λύσεων σε συστήματα εξισώσεων:

1. Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
2. Επίλυση του συστήματος με όρο προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση) των εξισώσεων του συστήματος.

Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με μέθοδο αντικατάστασηςπρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1. Εξπρές. Από οποιαδήποτε εξίσωση εκφράζουμε μία μεταβλητή.
2. Υποκατάστατο. Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση αντί της εκφρασμένης μεταβλητής.
3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Για να λύσω σύστημα με τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης).Χρειάζομαι:
1. Επιλέξτε μια μεταβλητή για την οποία θα κάνουμε πανομοιότυπους συντελεστές.
2. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις, με αποτέλεσμα μια εξίσωση με μία μεταβλητή.
3. Λύστε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Η λύση στο σύστημα είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση των συστημάτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα #1:

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης

2x+5y=1 (1 εξίσωση)
x-10y=3 (2η εξίσωση)

1. Εξπρές
Μπορεί να φανεί ότι στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή x με συντελεστή 1, που σημαίνει ότι είναι ευκολότερο να εκφραστεί η μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση.
x=3+10y

2. Αφού το έχουμε εκφράσει, αντικαθιστούμε το 3+10y στην πρώτη εξίσωση αντί της μεταβλητής x.
2(3+10y)+5y=1

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
2(3+10y)+5y=1 (ανοίξτε τις αγκύλες)
6+20ε+5ε=1
25ε=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Η λύση του συστήματος εξίσωσης είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων, επομένως πρέπει να βρούμε τα x και y, επειδή το σημείο τομής αποτελείται από το x και το y Ας βρούμε το x, στο πρώτο σημείο που το εκφράσαμε αντικαθιστούμε το y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Συνηθίζεται να γράφουμε σημεία στην πρώτη θέση γράφουμε τη μεταβλητή x και στη δεύτερη τη μεταβλητή y.
Απάντηση: (1; -0,2)

Παράδειγμα #2:

Ας λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης (αφαίρεσης) όρου προς όρο.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης

3x-2y=1 (1 εξίσωση)
2x-3y=-10 (2η εξίσωση)

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή, ας πούμε ότι επιλέγουμε x. Στην πρώτη εξίσωση, η μεταβλητή x έχει συντελεστή 3, στη δεύτερη - 2. Πρέπει να κάνουμε τους συντελεστές ίδιους, για αυτό έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ή να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3 και παίρνουμε συνολικό συντελεστή 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή x Λύστε τη γραμμική εξίσωση.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Βρείτε το x. Αντικαθιστούμε το y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, ας πούμε στην πρώτη εξίσωση.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Το σημείο τομής θα είναι x=4,6; y=6,4
Απάντηση: (4.6; 6.4)

Θέλετε να προετοιμαστείτε για εξετάσεις δωρεάν; Δάσκαλος σε απευθείας σύνδεση δωρεάν. Δεν αστειεύομαι.

Η ηλεκτρονική υπηρεσία επίλυσης εξισώσεων θα σας βοηθήσει να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση. Χρησιμοποιώντας τον ιστότοπό μας, όχι μόνο θα λάβετε την απάντηση στην εξίσωση, αλλά και θα δείτε λεπτομερής λύση, δηλαδή μια βήμα προς βήμα απεικόνιση της διαδικασίας απόκτησης του αποτελέσματος. Η υπηρεσία μας θα είναι χρήσιμη σε μαθητές γυμνασίου και στους γονείς τους. Οι μαθητές θα μπορούν να προετοιμαστούν για τεστ και εξετάσεις, να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους και οι γονείς θα μπορούν να παρακολουθούν τη λύση των μαθηματικών εξισώσεων από τα παιδιά τους. Ικανότητα επίλυσης εξισώσεων – υποχρεωτική απαίτησησε μαθητές σχολείου. Η υπηρεσία θα σας βοηθήσει να εκπαιδεύσετε τον εαυτό σας και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας στον τομέα των μαθηματικών εξισώσεων. Με τη βοήθειά του μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση: τετραγωνική, κυβική, παράλογη, τριγωνομετρική κ.λπ. Όφελος διαδικτυακή υπηρεσίακαι είναι ανεκτίμητο, γιατί εκτός από τη σωστή απάντηση, λαμβάνετε μια λεπτομερή λύση για κάθε εξίσωση. Οφέλη από την επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο. Μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση διαδικτυακά στον ιστότοπό μας εντελώς δωρεάν. Η υπηρεσία είναι εντελώς αυτόματη, δεν χρειάζεται να εγκαταστήσετε τίποτα στον υπολογιστή σας, απλά πρέπει να εισάγετε τα δεδομένα και το πρόγραμμα θα σας δώσει λύση. Τυχόν λάθη στους υπολογισμούς ή τυπογραφικά λάθη εξαιρούνται. Με εμάς, η επίλυση οποιασδήποτε εξίσωσης στο διαδίκτυο είναι πολύ εύκολη, επομένως φροντίστε να χρησιμοποιήσετε τον ιστότοπό μας για να λύσετε κάθε είδους εξίσωση. Χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τα δεδομένα και ο υπολογισμός θα ολοκληρωθεί σε λίγα δευτερόλεπτα. Το πρόγραμμα λειτουργεί ανεξάρτητα, χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση και λαμβάνετε ακριβή και λεπτομερή απάντηση. Λύση της εξίσωσης σε γενική μορφή. Σε μια τέτοια εξίσωση, οι μεταβλητοί συντελεστές και οι επιθυμητές ρίζες αλληλοσυνδέονται. Η υψηλότερη ισχύς μιας μεταβλητής καθορίζει τη σειρά μιας τέτοιας εξίσωσης. Με βάση αυτό, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι και θεωρήματα για εξισώσεις για την εύρεση λύσεων. Η επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου σημαίνει την εύρεση των απαιτούμενων ριζών σε γενική μορφή. Η υπηρεσία μας σάς επιτρέπει να λύσετε ακόμη και την πιο περίπλοκη αλγεβρική εξίσωση online. Μπορείτε να λάβετε τόσο μια γενική λύση της εξίσωσης όσο και μια συγκεκριμένη για τις αριθμητικές τιμές των συντελεστών που καθορίζετε. Για να λύσετε μια αλγεβρική εξίσωση στον ιστότοπο, αρκεί να συμπληρώσετε σωστά μόνο δύο πεδία: την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεδομένης εξίσωσης. U αλγεβρικές εξισώσειςμε μεταβλητούς συντελεστές υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων και θέτοντας ορισμένες προϋποθέσεις, επιλέγονται ιδιωτικές από το σύνολο των λύσεων. Τετραγωνική εξίσωση. Η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή ax^2+bx+c=0 για a>0. Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων περιλαμβάνει την εύρεση των τιμών του x στις οποίες ισχύει η ισότητα ax^2+bx+c=0. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την τιμή διάκρισης χρησιμοποιώντας τον τύπο D=b^2-4ac. Αν ο διακριτής λιγότερο από το μηδέν, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (οι ρίζες είναι από το πεδίο μιγαδικοί αριθμοί), αν ισούται με μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα και αν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες βρίσκονται με τον τύπο: D= -b+-sqrt/2a. Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση στο διαδίκτυο, πρέπει απλώς να εισαγάγετε τους συντελεστές της εξίσωσης (ακέραιοι, κλάσματα ή δεκαδικοί). Εάν υπάρχουν πρόσημα αφαίρεσης σε μια εξίσωση, πρέπει να βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από τους αντίστοιχους όρους της εξίσωσης. Αποφασίζω τετραγωνική εξίσωση online και ανάλογα με την παράμετρο, δηλαδή τις μεταβλητές στους συντελεστές της εξίσωσης. Η ηλεκτρονική μας υπηρεσία για την εύρεση γενικών λύσεων αντιμετωπίζει καλά αυτό το έργο. Γραμμικές εξισώσεις. Για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων (ή συστημάτων εξισώσεων), χρησιμοποιούνται στην πράξη τέσσερις κύριες μέθοδοι. Θα περιγράψουμε λεπτομερώς κάθε μέθοδο. Μέθοδος αντικατάστασης. Η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης απαιτεί την έκφραση μιας μεταβλητής ως προς τις άλλες. Μετά από αυτό, η έκφραση αντικαθίσταται με άλλες εξισώσεις του συστήματος. Εξ ου και το όνομα της μεθόδου λύσης, δηλαδή, αντί για μεταβλητή, η έκφρασή της αντικαθίσταται από τις υπόλοιπες μεταβλητές. Στην πράξη, η μέθοδος απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς, αν και είναι εύκολο να κατανοηθεί, επομένως η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης στο διαδίκτυο θα βοηθήσει στην εξοικονόμηση χρόνου και θα διευκολύνει τους υπολογισμούς. Απλά πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό των αγνώστων στην εξίσωση και να συμπληρώσετε τα δεδομένα από τις γραμμικές εξισώσεις, τότε η υπηρεσία θα κάνει τον υπολογισμό. Μέθοδος Gauss. Η μέθοδος βασίζεται στους απλούστερους μετασχηματισμούς του συστήματος προκειμένου να καταλήξουμε σε ένα ισοδύναμο τριγωνικό σύστημα. Από αυτήν καθορίζονται ένα προς ένα τα άγνωστα. Στην πράξη, απαιτείται η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης διαδικτυακά με Λεπτομερής περιγραφή, χάρη στην οποία θα έχετε καλή κατανόηση της μεθόδου Gaussian για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Καταγράψτε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων στη σωστή μορφή και λάβετε υπόψη τον αριθμό των αγνώστων για να λύσετε με ακρίβεια το σύστημα. Η μέθοδος του Cramer. Αυτή η μέθοδος επιλύει συστήματα εξισώσεων σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Η κύρια μαθηματική ενέργεια εδώ είναι ο υπολογισμός των οριζόντων πινάκων. Η επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer πραγματοποιείται online, λαμβάνετε το αποτέλεσμα αμέσως με μια πλήρη και λεπτομερή περιγραφή. Αρκεί απλώς να γεμίσετε το σύστημα με συντελεστές και να επιλέξετε τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών. Μέθοδος μήτρας. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη συλλογή των συντελεστών των αγνώστων στον πίνακα Α, των αγνώστων στη στήλη Χ και των ελεύθερων όρων στη στήλη Β. Έτσι, το σύστημα γραμμικών εξισώσεων ανάγεται σε μια εξίσωση πίνακα της μορφής AxX = B. Αυτή η εξίσωση έχει μοναδική λύση μόνο εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διαφορετική από το μηδέν, διαφορετικά το σύστημα δεν έχει λύσεις ή άπειρο αριθμό λύσεων. Η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα περιλαμβάνει την εύρεση του αντίστροφου πίνακα Α.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τι συνέβη εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικές εξισώσεις :

3 x 2 x = 8 x+3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΕ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με Χ. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα Χ στην εξίσωση κάπου εκτός από έναν δείκτη, για παράδειγμα:

αυτό θα είναι μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες για την επίλυσή τους. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Υπάρχουν όμως ορισμένοι τύποι εκθετικών εξισώσεων που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων.

Αρχικά, ας λύσουμε κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς θεωρίες, με απλή επιλογή είναι σαφές ότι x = 2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Καμία άλλη αξία του Χ δεν λειτουργεί. Τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε; Στην πραγματικότητα, απλώς πετάξαμε τις ίδιες βάσεις (τριπλές). Εντελώς πεταμένο. Και, τα καλά νέα είναι ότι χτυπήσαμε το καρφί στο κεφάλι!

Πράγματι, αν σε μια εκθετική εξίσωση υπάρχουν αριστερά και δεξιά το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και οι εκθέτες μπορούν να εξισωθούν. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Τέλεια, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε σταθερά: Μπορείτε να αφαιρέσετε βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης αριστερά και δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x+1 = 2 3, ή

δύο δεν μπορούν να αφαιρεθούν!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να μετακινηθείτε από τις κακές εκθετικές εκφράσεις σε απλούστερες εξισώσεις.

«Είναι καιροί!» - λες. «Ποιος θα έδινε ένα τόσο πρωτόγονο μάθημα για τεστ και εξετάσεις!;»

Πρέπει να συμφωνήσω. Κανείς δεν θα το δώσει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να στοχεύσετε όταν λύνετε δύσκολα παραδείγματα. Πρέπει να μεταφερθεί στη φόρμα όπου ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται αριστερά και δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα κλασικό των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Ας δούμε παραδείγματα που απαιτούν κάποια πρόσθετη προσπάθεια για να τα μειώσουμε στο απλούστερο. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, οι κύριοι κανόνες είναι δράσεις με πτυχία.Χωρίς γνώση αυτών των ενεργειών τίποτα δεν θα λειτουργήσει.

Στις ενέργειες με βαθμούς, πρέπει κανείς να προσθέσει προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους αριθμούς βάσης; Τα αναζητούμε λοιπόν στο παράδειγμα σε ρητή ή κρυπτογραφημένη μορφή.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη;

Ας μας δοθεί ένα παράδειγμα:

2 2x - 8 x+1 = 0

Η πρώτη ζωηρή ματιά είναι λόγους.Αυτοί... Είναι διαφορετικοί! Δύο και οκτώ. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να αποθαρρυνθούμε. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

Δύο και οκτώ είναι συγγενείς στο βαθμό.) Είναι πολύ πιθανό να γράψουμε:

8 x+1 = (2 3) x+1

Αν θυμηθούμε τον τύπο από πράξεις με βαθμούς:

(a n) m = a nm,

αυτό λειτουργεί υπέροχα:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Το αρχικό παράδειγμα άρχισε να μοιάζει με αυτό:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Μεταφέρουμε 2 3 (x+1)προς τα δεξιά (κανείς δεν έχει ακυρώσει τις στοιχειώδεις πράξεις των μαθηματικών!), έχουμε:

2 2x = 2 3(x+1)

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Αφαίρεση των βάσεων:

Λύνουμε αυτό το τέρας και παίρνουμε

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η γνώση των δυνάμεων των δύο μας βοήθησε. Εμείς αναγνωρισθείςσε οκτώ υπάρχει ένα κρυπτογραφημένο δύο. Αυτή η τεχνική (κωδικοποίηση κοινών βάσεων κάτω από διαφορετικούς αριθμούς) είναι μια πολύ δημοφιλής τεχνική στις εκθετικές εξισώσεις! Ναι, και σε λογάριθμους επίσης. Πρέπει να είστε σε θέση να αναγνωρίζετε δυνάμεις άλλων αριθμών σε αριθμούς. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Το γεγονός είναι ότι η αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε οποιαδήποτε δύναμη δεν είναι πρόβλημα. Πολλαπλασιάστε, ακόμα και στα χαρτιά, και αυτό είναι. Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε μπορεί να ανεβάσει το 3 στην πέμπτη δύναμη. Το 243 θα λειτουργήσει αν γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.) Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, πολύ πιο συχνά δεν είναι απαραίτητο να αυξήσετε σε μια ισχύ, αλλά το αντίστροφο... Μάθετε ποιος αριθμός σε ποιο βαθμόκρύβεται πίσω από τον αριθμό 243, ή, ας πούμε, 343... Κανένας υπολογιστής δεν θα σας βοηθήσει εδώ.

Πρέπει να ξέρεις τις δυνάμεις κάποιων αριθμών όραμα, σωστά... Ας εξασκηθούμε;

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και τι αριθμούς είναι οι αριθμοί:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Απαντήσεις (σε χάος, φυσικά!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε περίεργο γεγονός. Υπάρχουν πολύ περισσότερες απαντήσεις από εργασίες! Λοιπόν, συμβαίνει... Για παράδειγμα, 2 6, 4 3, 8 2 - αυτό είναι όλο 64.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε σημειώσει τις πληροφορίες σχετικά με την εξοικείωση με τους αριθμούς.) Επιτρέψτε μου επίσης να σας υπενθυμίσω ότι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε όλααπόθεμα μαθηματικών γνώσεων. Συμπεριλαμβανομένων εκείνων από κατώτερες και μεσαίες τάξεις. Δεν πήγες κατευθείαν στο γυμνάσιο, σωστά;)

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων συχνά βοηθά (γεια στην 7η τάξη!). Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Και πάλι, η πρώτη ματιά είναι στα θεμέλια! Οι βάσεις των μοιρών είναι διαφορετικές... Τρεις και εννιά. Αλλά θέλουμε να είναι το ίδιο. Λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση η επιθυμία εκπληρώνεται πλήρως!) Γιατί:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες για την αντιμετώπιση πτυχίων:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Αυτό είναι υπέροχο, μπορείτε να το γράψετε:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Λοιπόν, τι ακολουθεί! Δεν μπορείς να πετάξεις τρίποντα... Αδιέξοδο;

Καθόλου. Θυμηθείτε τον πιο καθολικό και ισχυρό κανόνα απόφασης Ολοιμαθηματικές εργασίες:

Αν δεν ξέρετε τι χρειάζεστε, κάντε ό,τι μπορείτε!

Κοίτα, όλα θα πάνε καλά).

Τι υπάρχει σε αυτή την εκθετική εξίσωση Μπορώκάνω; Ναι, στην αριστερή πλευρά απλά ζητάει να βγει από αγκύλες! Ο συνολικός πολλαπλασιαστής των 3 2x υποδηλώνει ξεκάθαρα αυτό. Ας προσπαθήσουμε και μετά θα δούμε:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Το παράδειγμα γίνεται όλο και καλύτερο!

Θυμόμαστε ότι για την εξάλειψη των λόγων χρειαζόμαστε ένα καθαρό πτυχίο, χωρίς κανέναν συντελεστή. Ο αριθμός 70 μας ενοχλεί. Άρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 70, παίρνουμε:

Ωχ! Όλα έγιναν καλύτερα!

Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Συμβαίνει, όμως, να επιτυγχάνεται η τροχοδρόμηση στην ίδια βάση, αλλά να μην είναι δυνατή η εξάλειψή τους. Αυτό συμβαίνει σε άλλους τύπους εκθετικών εξισώσεων. Ας κατακτήσουμε αυτό το είδος.

Αντικατάσταση μεταβλητής στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Πρώτα - ως συνήθως. Ας προχωρήσουμε σε μια βάση. Σε ένα δελτίο.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Και εδώ είναι που κάνουμε παρέα. Οι προηγούμενες τεχνικές δεν θα λειτουργήσουν, όπως και να το δεις. Θα πρέπει να βγάλουμε μια άλλη ισχυρή και καθολική μέθοδο από το οπλοστάσιό μας. Λέγεται μεταβλητή αντικατάσταση.

Η ουσία της μεθόδου είναι εκπληκτικά απλή. Αντί για ένα σύνθετο εικονίδιο (στην περίπτωσή μας - 2 x) γράφουμε ένα άλλο, πιο απλό (για παράδειγμα - t). Μια τέτοια φαινομενικά ανούσια αντικατάσταση οδηγεί σε εκπληκτικά αποτελέσματα!) Όλα γίνονται ξεκάθαρα και κατανοητά!

Ας λοιπόν

Τότε 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Στην εξίσωσή μας αντικαθιστούμε όλες τις δυνάμεις με x με t:

Λοιπόν, σου ξημερώνει;) Έχεις ξεχάσει ακόμα τις τετραγωνικές εξισώσεις; Επιλύοντας μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην σταματήσουμε, όπως συμβαίνει... Αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα, χρειαζόμαστε x, όχι t. Ας επιστρέψουμε στα Χ, δηλ. κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση. Πρώτα για το t 1:

Αυτό είναι,

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο από το t 2:

Χμ... 2 x στα αριστερά, 1 στα δεξιά... Πρόβλημα; Καθόλου! Αρκεί να θυμάστε (από λειτουργίες με δυνάμεις, ναι...) ότι μια μονάδα είναι όποιοςαριθμός στη μηδενική ισχύ. Οποιος. Ό,τι χρειαστεί θα το εγκαταστήσουμε. Χρειαζόμαστε δύο. Που σημαίνει:

Αυτό είναι τώρα. Έχουμε 2 ρίζες:

Αυτή είναι η απάντηση.

Στο επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστο τέλος μερικές φορές καταλήγεις με κάποιο είδος αμήχανης έκφρασης. Τύπος:

Από επτά έως δύο έως απλό πτυχίοδεν δουλεύει. Δεν είναι συγγενείς... Πώς να είμαστε; Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί... Αλλά αυτός που διάβασε σε αυτόν τον ιστότοπο το θέμα "Τι είναι ο λογάριθμος;" , απλά χαμογελά με φειδώ και σημειώνει με σταθερό χέρι την απολύτως σωστή απάντηση:

Δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια απάντηση στα καθήκοντα "Β" στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εκεί απαιτείται συγκεκριμένος αριθμός. Αλλά στις εργασίες "C" είναι εύκολο.

Αυτό το μάθημα παρέχει παραδείγματα επίλυσης των πιο κοινών εκθετικών εξισώσεων. Ας επισημάνουμε τα κύρια σημεία.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε λόγουςβαθμούς. Αναρωτιόμαστε αν είναι δυνατόν να τα φτιάξουμε πανομοιότυπο.Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας ενεργά δράσεις με πτυχία.Μην ξεχνάτε ότι οι αριθμοί χωρίς x μπορούν επίσης να μετατραπούν σε δυνάμεις!

2. Προσπαθούμε να φέρουμε την εκθετική εξίσωση στη μορφή όταν στα αριστερά και στα δεξιά υπάρχουν το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις. Χρησιμοποιούμε δράσεις με πτυχίαΚαι παραγοντοποίηση.Ό,τι μπορεί να μετρηθεί σε αριθμούς, το μετράμε.

3. Εάν η δεύτερη συμβουλή δεν λειτουργεί, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση μεταβλητής. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί εύκολα. Τις περισσότερες φορές - τετράγωνο. Ή κλασματική, η οποία επίσης μειώνεται σε τετράγωνο.

4. Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις ορισμένων αριθμών με όψη.

Ως συνήθως, στο τέλος του μαθήματος καλείστε να αποφασίσετε λίγο.) Μόνοι σας. Από απλό σε σύνθετο.

Λύστε εκθετικές εξισώσεις:

Πιο δύσκολο:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Βρείτε το προϊόν των ριζών:

2 3 + 2 x = 9

Συνέβη;

Καλά τότε το πιο περίπλοκο παράδειγμα(αποφάσισε, ωστόσο, στο μυαλό...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Τι πιο ενδιαφέρον; Τότε είναι ένα κακό παράδειγμα για εσάς. Αρκετά δελεαστικό για αυξημένη δυσκολία. Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω ότι σε αυτό το παράδειγμα, αυτό που σας σώζει είναι η εφευρετικότητα και ο πιο παγκόσμιος κανόνας για την επίλυση όλων των μαθηματικών προβλημάτων.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ένα πιο απλό παράδειγμα, για χαλάρωση):

9 2 x - 4 3 x = 0

Και για επιδόρπιο. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ναι ναι! Αυτή είναι μια εξίσωση μικτού τύπου! Το οποίο δεν λάβαμε υπόψη σε αυτό το μάθημα. Γιατί να τα εξετάσετε, πρέπει να λυθούν!) Αυτό το μάθημα είναι αρκετό για να λύσετε την εξίσωση. Λοιπόν, χρειάζεσαι εφευρετικότητα... Και μακάρι να σε βοηθήσει η έβδομη τάξη (αυτό είναι μια υπόδειξη!).

Απαντήσεις (σε αταξία, διαχωρισμένες με ερωτηματικά):

1; 2; 3; 4; δεν υπαρχουν λυσεις? 2; -2; -5; 4; 0.

Είναι όλα επιτυχημένα; Εξαιρετική.

Υπάρχει ένα πρόβλημα; Κανένα πρόβλημα! Η ειδική ενότητα 555 επιλύει όλες αυτές τις εκθετικές εξισώσεις με λεπτομερείς εξηγήσεις. Τι, γιατί και γιατί. Και, φυσικά, υπάρχουν πρόσθετες πολύτιμες πληροφορίες σχετικά με την εργασία με κάθε είδους εκθετικές εξισώσεις. Όχι μόνο αυτά.)

Μια τελευταία διασκεδαστική ερώτηση που πρέπει να εξετάσετε. Σε αυτό το μάθημα δουλέψαμε με εκθετικές εξισώσεις. Γιατί δεν είπα λέξη για την ODZ εδώ;Στις εξισώσεις, αυτό είναι πολύ σημαντικό πράγμα, παρεμπιπτόντως...

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οδηγίες

Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς «x» στο σωστη πλευρακαι υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4, λοιπόν, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Τα άγνωστα βρέθηκαν σωστά!

Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές

Η εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει διαφορετικοί τρόποι.

Θα χρειαστείτε

• - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
• - δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες συνθήκες.

Οδηγίες

Δίνεται ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μία από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.

Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο ευθείες γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.

Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

• πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Από μόνο του την εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.

Θα χρειαστείτε

• - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Οδηγίες

Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε ορισμένες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε την εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό την εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.

Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε την πιθανότατα, η μετέπειτα λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.

Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.

Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Πηγές:

• λύσεις σε εξισώσεις με τρεις αγνώστους

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Όσο πιο περίπλοκο είναι το σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι η επίλυσή του. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά ΛύκειοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη την εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι την εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.

Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Στην πρώτη έκφραση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλα στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη την εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ο ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός σε πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Διτετραγωνικό την εξίσωσηαντιπροσωπεύει την εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική μορφήπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΤο x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο την εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.

Οδηγίες

Λύστε το τετραγωνικό την εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.

Βρείτε τις ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Μία από τις κλασσικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη των μεταβλητών, όταν ένα σύστημα εξισώσεων που χρησιμοποιεί απλούς μετασχηματισμούς μετατρέπεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από τις τελευταίες.

Οδηγίες

Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα Χ θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Υ θα έρχονται μετά τα Χ, όλα τα Ζ θα έρχονται μετά τα Υ και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.

Σε αυτό το βίντεο θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια ονομάζεται απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Δώστε παρόμοιους όρους στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$.

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν προκύπτει κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Στο παρακάτω βίντεο θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους αυτή η κατάσταση είναι πιθανή.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την πραγματική ζωή.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα έχουμε να κάνουμε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επεκτείνετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο τελευταίο μας παράδειγμα).
2. Στη συνέχεια συνδυάστε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. μετακινήστε όλα όσα συνδέονται με τη μεταβλητή - τους όρους στους οποίους περιέχεται - στη μία πλευρά και μετακινήστε ό,τι απομένει χωρίς αυτήν στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να δώσετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της ισότητας που προκύπτει και μετά από αυτό το μόνο που μένει είναι να διαιρέσετε με τον συντελεστή "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται όμορφο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλά γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται σφάλματα είτε κατά το άνοιγμα των αγκύλων είτε κατά τον υπολογισμό των "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα εξετάσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Αλλά θα ξεκινήσουμε, όπως ήδη καταλάβατε, με τις πιο απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου για άλλη μια φορά να γράψω ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώνουμε τις μεταβλητές, δηλ. Μετακινούμε ό,τι περιέχει "Χ" στη μία πλευρά και οτιδήποτε χωρίς "Χ" στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x".

Φυσικά, αυτό το σχήμα δεν λειτουργεί πάντα, υπάρχουν ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα σε αυτό, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία Νο. 1

Το πρώτο βήμα απαιτεί να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, επομένως τα παραλείπουμε αυτό το στάδιο. Στο δεύτερο βήμα πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε γιαμόνο για μεμονωμένους όρους. Ας το γράψουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρούμε με τον συντελεστή:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Εργασία Νο. 2

Μπορούμε να δούμε τις παρενθέσεις σε αυτό το πρόβλημα, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά βλέπουμε περίπου το ίδιο σχέδιο, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. διαχωρισμός των μεταβλητών:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία Νο. 3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Υπάρχουν πολλές παρενθέσεις, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλώς προηγούνται διάφορα σημάδια. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας κάνουμε τα μαθηματικά:

Πραγματοποιούμε το τελευταίο βήμα - διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, μπορεί να υπάρχει μηδέν ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους άλλους, δεν πρέπει να κάνετε διακρίσεις εναντίον του με κανέναν τρόπο ή να υποθέσετε ότι εάν λάβετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με το άνοιγμα των στηρίξεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρένθεση αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Κατανοώντας αυτό απλό γεγονόςθα σας επιτρέψει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και προσβλητικά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοιες ενέργειες θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες εξισώσεις. Τώρα οι κατασκευές θα γίνουν πιο σύνθετες και όταν εκτελούνται διάφοροι μετασχηματισμοί θα εμφανίζεται μια τετραγωνική συνάρτηση. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβόμαστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με το σχέδιο του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση σίγουρα θα ακυρωθούν.

Παράδειγμα Νο. 1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε θα γράψουμε αυτό στην απάντηση:

\[\varnothing\]

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα Νο. 2

Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε θα τη γράψουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο εκφράσεις ως παράδειγμα, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμα και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, ή άπειρες ρίζες. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και οι δύο απλώς δεν έχουν ρίζες.

Θα ήθελα όμως να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με παρενθέσεις και πώς να τις ανοίγετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "Χ". Σημείωση: πολλαπλασιάζεται κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιασμένοι.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορείτε να ανοίξετε την αγκύλη από την άποψη του γεγονότος ότι υπάρχει ένα σημάδι μείον μετά από αυτό. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν ολοκληρωθούν οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω αλλάζουν απλώς πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Επειδή η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπου η αδυναμία να εκτελεστούν με σαφήνεια και ικανότητα απλά βήματαοδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν ξανά να λύνουν τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες σε σημείο αυτοματισμού. Δεν θα χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά, θα γράφετε τα πάντα σε μία γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε λίγο απόρρητο:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Ας ολοκληρώσουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ακυρώνονταν ο ένας τον άλλον, γεγονός που κάνει την εξίσωση γραμμική και όχι τετραγωνική.

Εργασία Νο. 2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας εκτελέσουμε προσεκτικά το πρώτο βήμα: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο από την πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο από τη δεύτερη. Θα πρέπει να υπάρχουν συνολικά τέσσερις νέοι όροι μετά τους μετασχηματισμούς:

Τώρα ας εκτελέσουμε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "Χ" προς τα αριστερά και αυτούς χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Για άλλη μια φορά λάβαμε την τελική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική σημείωση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι η εξής: μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε αγκύλες που περιέχουν περισσότερους από έναν όρους, αυτό γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο; τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε τέσσερις θητείες.

Σχετικά με το αλγεβρικό άθροισμα

Με αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι είναι το αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρέστε επτά από ένα. Στην άλγεβρα εννοούμε το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Έτσι διαφέρει ένα αλγεβρικό άθροισμα από ένα συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις, όταν εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Τέλος, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα

Για να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοίξτε τις αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρτε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με την αναλογία.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, αποδεικνύεται ότι δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα και στα αριστερά και στα δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να γίνει τόσο πριν όσο και μετά την πρώτη ενέργεια, δηλαδή να απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Ο αλγόριθμος λοιπόν θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοίξτε τις αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρτε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με την αναλογία.

Τι σημαίνει «να απαλλαγούμε από τα κλάσματα»; Και γιατί μπορεί να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά στον παρονομαστή τους, δηλ. Παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα Νο. 1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την καθεμία με "τέσσερις". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας επεκταθούμε:

Αποκλείουμε τη μεταβλητή:

Εκτελούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Λάβαμε την τελική λύση, ας περάσουμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Βασικά ευρήματα είναι:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείτε αν έχετε τετραγωνικές συναρτήσεις κάπου, πιθανότατα θα μειωθούν στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών.
• Υπάρχουν τρεις τύποι ριζών στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και οι πιο απλές: μία μόνο ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα και καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο και λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα!