Οι αλγεβρικές πράξεις σε συμβάντα ορίζουν τους κανόνες για ενέργειες με συμβάντα και επιτρέπουν σε κάποιον να εκφράσει ένα γεγονός με όρους άλλου. Οι πράξεις σε συμβάντα ισχύουν μόνο για συμβάντα που αντιπροσωπεύουν υποσύνολα του ίδιου χώρου στοιχειωδών γεγονότων.
Οι ενέργειες συμβάντων μπορούν να οπτικοποιηθούν χρησιμοποιώντας διαγράμματα Venn. Στα διαγράμματα, τα συμβάντα αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιοχές στο επίπεδο, οι οποίες προσδιορίζουν υπό όρους υποσύνολα στοιχειωδών γεγονότων που συνθέτουν γεγονότα. Άρα, στα διαγράμματα του Σχ. 1.1, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων αντιστοιχεί στα εσωτερικά σημεία του τετραγώνου, το γεγονός Α _ τα εσωτερικά σημεία του κύκλου, το γεγονός Β _ τα εσωτερικά σημεία του τριγώνου. Το γεγονός ότι τα γεγονότα Α και Β είναι υποσύνολα του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων (Α, Β) φαίνεται στα διαγράμματα του Σχ. 1.1α,β.
Το άθροισμα (ένωση) των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C=A+B (ή C=AB), το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι θα συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β. Το γεγονός Γ αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη συμβάντα που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β, ή και τα δύο συμβάντα. Στο διάγραμμα (Εικ. 1.2.), το γεγονός C αντιστοιχεί στη σκιασμένη περιοχή C, που αντιπροσωπεύει την ένωση των περιοχών A και B. Ομοίως, το άθροισμα πολλών γεγονότων A 1, A 2, ..., A n είναι το γεγονός C, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα θα συμβεί And i , i=:
Το άθροισμα των γεγονότων ενώνει όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που αποτελούν τα А i , i=. Εάν τα γεγονότα E 1 , E 2 ,…, E n σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με ένα αξιόπιστο συμβάν:
Το άθροισμα των στοιχειωδών γεγονότων είναι ίσο με ένα αξιόπιστο γεγονός
Το γινόμενο (τομή) των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C=AB (ή C=AB), το οποίο συνίσταται στην κοινή εμφάνιση των γεγονότων Α και Β. Το συμβάν Γ αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν τόσο στο Α όσο και στο Β. Το Σχήμα 1.3.α συμβάν Γ παριστάνεται από την τομή των περιοχών Α και Β. Εάν τα Α και Β είναι ασύμβατα γεγονότα, τότε το γινόμενο τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλαδή AB = (Εικ. 1.3.β).
Το γινόμενο των γεγονότων A 1 , A 2 , ..., A n είναι ένα γεγονός C, που συνίσταται στην ταυτόχρονη εκτέλεση όλων των γεγονότων A i , i=:
Προϊόντα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη А 1 , А 2 ,…, А n - αδύνατα συμβάντα: А i А j =, για οποιαδήποτε ij. Προϊόντα γεγονότων που συνθέτουν μια πλήρη ομάδα είναι αδύνατα γεγονότα: Е i Е j =, ij, προϊόντα στοιχειωδών γεγονότων είναι επίσης αδύνατα γεγονότα: ij =, ij.
Η διαφορά μεταξύ των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C=A_B (C=AB), το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι συμβαίνει το συμβάν Α και το γεγονός Β δεν συμβαίνει. Το συμβάν Γ αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν έως Β. Διάγραμμα διαφοράς γεγονότων που φαίνεται στο σχ. 1.4. Το διάγραμμα δείχνει ότι C=A_B=
Το αντίθετο γεγονός για το γεγονός Α (ή το συμπλήρωμά του) είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι το γεγονός Α δεν συνέβη. Το αντίθετο συμβάν συμπληρώνει το γεγονός Α σε μια πλήρη ομάδα και αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη συμβάντα που ανήκουν στο χώρο και δεν ανήκουν στο γεγονός Α (Εικ. 1.5). Έτσι, είναι η διαφορά μεταξύ ενός συγκεκριμένου γεγονότος και του γεγονότος A: =_A.
Ιδιότητες πράξεων σε γεγονότα.
Ιδιότητες μετατόπισης: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Συνειρμικές ιδιότητες: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Ιδιότητα διανομής: A(B+C)=AB+AC.
Από τους ορισμούς των πράξεων σε συμβάντα ακολουθούν οι ιδιότητες
Α+Α=Α; A+=; A+=A; Α·Α=Α; Α·=Α; Α =
Από τον ορισμό του αντίθετου γεγονότος προκύπτει ότι
A+=; A=; =Α; =; =; ;
Από το διάγραμμα στο Σχ. 1.4, οι ιδιότητες της διαφοράς των κοινών γεγονότων είναι προφανείς:
Αν το Α και το Β είναι αμοιβαία γεγονότα, τότε
Οι ιδιότητες των κοινών εκδηλώσεων είναι επίσης προφανείς.
Τα αντίθετα γεγονότα έχουν ιδιότητες που μερικές φορές ονομάζονται κανόνας του de Morgan ή αρχή της δυαδικότητας: οι πράξεις της ένωσης και της τομής αντιστρέφονται όταν περνούν σε αντίθετα γεγονότα
Η απόδειξη της αρχής της δυαδικότητας μπορεί να ληφθεί γραφικά χρησιμοποιώντας διαγράμματα Venn ή αναλυτικά εφαρμόζοντας τις ιδιότητες 1-6
Σημειωτέον ότι ενέργειες παρόμοιες με τις ενέργειες «μείωση ομοίων όρων» και εκθεσιμότητα στην άλγεβρα των αριθμών δεν επιτρέπονται κατά τη διάρκεια πράξεων με συμβάντα.
Για παράδειγμα, για πράξεις με συμβάντα, οι σωστές ενέργειες είναι:
Η εσφαλμένη εφαρμογή των ενεργειών κατ' αναλογία με τις αλγεβρικές: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A οδηγεί σε εσφαλμένο αποτέλεσμα (ελέγξτε με τα διαγράμματα Venn!).
Παράδειγμα 1.11. Απόδειξη Ταυτοτήτων
α) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
β) AC_B=AC_BC
α) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
β) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Παράδειγμα 1.12. Το έπαθλο κληρώνεται μεταξύ των δύο φιναλίστ του προγράμματος εκπομπής. Η κλήρωση γίνεται με τη σειρά μέχρι την πρώτη επιτυχημένη προσπάθεια, ο αριθμός των προσπαθειών για κάθε συμμετέχοντα περιορίζεται σε τρεις. Ο πρώτος φιναλίστ ξεκινάει πρώτος. Θεωρούνται τα ακόλουθα γεγονότα: A=(το βραβείο κέρδισε ο πρώτος φιναλίστ); B = (το βραβείο κέρδισε ο δεύτερος φιναλίστ). 1) Συμπληρώστε αυτές τις εκδηλώσεις σε μια πλήρη ομάδα και συνθέστε ένα αξιόπιστο συμβάν για αυτήν. 2) Συνθέστε μια πλήρη ομάδα στοιχειωδών γεγονότων. 3) Να εκφράσετε τα γεγονότα της πρώτης ολοκληρωμένης ομάδας ως προς τα στοιχειώδη. 4) Συνθέστε άλλες πλήρεις ομάδες γεγονότων και καταγράψτε αξιόπιστα συμβάντα μέσω αυτών.
1) Τα γεγονότα Α και Β δεν είναι κοινά, μέχρι την πλήρη ομάδα συμπληρώνονται από ένα μη κοινό γεγονός C=(κανείς δεν κέρδισε το έπαθλο). Ένα συγκεκριμένο γεγονός = (είτε ο πρώτος φιναλίστ, είτε ο δεύτερος, είτε κανείς δεν κερδίζει το βραβείο) ισούται με: = A + B + C.
2) Ας παρουσιάσουμε γεγονότα που περιγράφουν το αποτέλεσμα κάθε προσπάθειας για κάθε παίκτη και δεν εξαρτώνται από τις συνθήκες του αγώνα: А i =(ο πρώτος φιναλίστ ολοκλήρωσε επιτυχώς την i-η προσπάθεια), В i =(ο δεύτερος φιναλίστ ολοκλήρωσε επιτυχώς την i-η προσπάθεια), . Αυτές οι εκδηλώσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τις συνθήκες του διαγωνισμού, επομένως δεν είναι στοιχειώδεις σε σχέση με το γεγονός της κατάκτησης ενός βραβείου. Αλλά μέσω αυτών των γεγονότων, χρησιμοποιώντας λειτουργίες σε εκδηλώσεις, μπορείτε να συνθέσετε μια πλήρη ομάδα στοιχειωδών γεγονότων που λαμβάνουν υπόψη τις προϋποθέσεις για τη νίκη στην πρώτη επιτυχημένη προσπάθεια: 1 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε το βραβείο στην πρώτη προσπάθεια), 2 = (ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε το βραβείο στην πρώτη προσπάθεια), 3 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στη δεύτερη προσπάθεια), 4 = (ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στη δεύτερη προσπάθεια), 5 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στην τρίτη προσπάθεια), 6 =(ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στην τρίτη προσπάθεια), 7 =( και οι δύο φιναλίστ απέτυχαν να κερδίσουν το βραβείο σε τρεις προσπάθειες). Σύμφωνα με τους όρους του διαγωνισμού
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Πλήρης ομάδα στοιχειωδών γεγονότων: =( 1 ,…, 7 )
3) Τα γεγονότα Α και Β εκφράζονται μέσω στοιχειωδών γεγονότων χρησιμοποιώντας πράξεις άθροισης, το C συμπίπτει με ένα στοιχειώδες γεγονός:
4) Οι πλήρεις ομάδες εκδηλώσεων αποτελούν επίσης εκδηλώσεις
Οι σχετικές εκδηλώσεις είναι:
=(ο πρώτος φιναλίστ είτε θα κερδίσει το βραβείο είτε όχι)=;
=(Ο δεύτερος φιναλίστ είτε θα κερδίσει το βραβείο είτε όχι)=;
=(βραβείο ή όχι νίκη, ή νίκη)=.
Τύποι τυχαίων συμβάντων
Οι εκδηλώσεις καλούνται ασύμβατεςαν η επέλευση ενός από αυτά αποκλείει την επέλευση άλλων γεγονότων στην ίδια δίκη.
Παράδειγμα 1.10.Ένα μέρος λαμβάνεται τυχαία από ένα κουτί εξαρτημάτων. Η εμφάνιση ενός τυπικού εξαρτήματος αποκλείει την εμφάνιση ενός μη τυποποιημένου εξαρτήματος. Συμβάντα (εμφανίστηκε ένα τυπικό μέρος) και (εμφανίστηκε ένα μη τυπικό μέρος)- ασύμβατες .
Παράδειγμα 1.11.Ένα νόμισμα ρίχνεται. Η εμφάνιση «οικόσημου» αποκλείει την εμφάνιση ενός αριθμού. Γεγονότα (εμφανίστηκε ένα εθνόσημο) και (εμφανίστηκε ένας αριθμός) - ασύμβατες .
Σχηματίζονται διάφορα γεγονότα πλήρης ομάδα, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής.Με άλλα λόγια, η εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα της πλήρους ομάδας είναι αξιόπιστος Εκδήλωση. Συγκεκριμένα, εάν τα συμβάντα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ασύμβατα κατά ζεύγη, τότε ένα και μόνο ένα από αυτά τα συμβάντα θα εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής.Η συγκεκριμένη περίπτωση μας ενδιαφέρει περισσότερο, αφού θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω.
Παράδειγμα 1.12.Αγόρασε δύο εισιτήρια της λαχειοφόρου αγοράς χρημάτων και ρούχων. Ένα και μόνο ένα από τα ακόλουθα γεγονότα θα συμβεί απαραίτητα: (τα κέρδη έπεσαν στο πρώτο δελτίο και δεν έπεσαν στο δεύτερο), (τα κέρδη δεν έπεσαν στο πρώτο δελτίο και έπεσαν στο δεύτερο), (τα κέρδη έπεσαν και στα δύο δελτία), (τα κέρδη δεν κέρδισαν και στα δύο δελτία). έπεσαν έξω). Αυτά τα γεγονότα σχηματίζονται πλήρης ομάδα ασυμβίβαστα συμβάντα κατά ζεύγη.
Παράδειγμα 1.13.Ο σκοπευτής πυροβόλησε στον στόχο. Ένα από τα ακόλουθα δύο γεγονότα είναι βέβαιο ότι θα συμβεί: ένα χτύπημα ή ένα χάσιμο. Αυτά τα δύο ασύμβατα γεγονότα σχηματίζονται πλήρης ομάδα .
Οι εκδηλώσεις καλούνται εξίσου δυνατό αν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένας από αυτούςδεν είναι πιο δυνατό από το άλλο.
3. Πράξεις σε γεγονότα: άθροισμα (ένωση), γινόμενο (τομή) και διαφορά γεγονότων. διαγράμματα vienne.
Λειτουργίες σε εκδηλώσεις
Τα γεγονότα σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα της αρχής του λατινικού αλφαβήτου A, B, C, D, ..., παρέχοντάς τους δείκτες εάν είναι απαραίτητο. Το γεγονός ότι το στοιχειώδες αποτέλεσμα Χπου περιέχεται στο συμβάν Α, δηλώνουν .
Για κατανόηση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε μια γεωμετρική ερμηνεία με τη βοήθεια διαγραμμάτων της Βιέννης: ας αναπαραστήσουμε τον χώρο των στοιχειωδών γεγονότων Ω ως τετράγωνο, κάθε σημείο του οποίου αντιστοιχεί σε ένα στοιχειώδες γεγονός. Τυχαία γεγονότα Α και Β, που αποτελούνται από ένα σύνολο στοιχειωδών γεγονότων x iκαι στο j, αντίστοιχα, απεικονίζονται γεωμετρικά ως ορισμένες μορφές που βρίσκονται στο τετράγωνο Ω (Εικ. 1-α, 1-β).
Έστω ότι το πείραμα συνίσταται στο γεγονός ότι μέσα στο τετράγωνο που φαίνεται στο Σχήμα 1-α, ένα σημείο επιλέγεται τυχαία. Ας υποδηλώσουμε με Α το γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι (το επιλεγμένο σημείο βρίσκεται μέσα στον αριστερό κύκλο) (Εικ. 1-α), έως το Β - το γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι (το επιλεγμένο σημείο βρίσκεται μέσα στον δεξιό κύκλο) (Εικ. 1-β).
Ένα αξιόπιστο γεγονός ευνοείται από οποιοδήποτε , επομένως ένα αξιόπιστο γεγονός θα συμβολίζεται με το ίδιο σύμβολο Ω.
Δύο τα γεγονότα είναι πανομοιότυπαμεταξύ τους (Α=Β) αν και μόνο αν αυτά τα γεγονότα αποτελούνται από τα ίδια στοιχειώδη γεγονότα (σημεία).
Το άθροισμα (ή ένωση) δύο γεγονότωνΤο Α και το Β ονομάζεται γεγονός Α + Β (ή ), το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί είτε το Α είτε το Β. Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β αντιστοιχεί στην ένωση των συνόλων Α και Β (Εικ. 1-ε).
Παράδειγμα 1.15.Το συμβάν που συνίσταται στην απώλεια ενός ζυγού αριθμού είναι το άθροισμα των γεγονότων: 2 έπεσαν έξω, 4 έπεσαν έξω, 6 έπεσαν έξω. Δηλαδή, (x \u003d ακόμη και }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
Το γινόμενο (ή τομή) δύο γεγονότωνΤο Α και το Β ονομάζεται γεγονός ΑΒ (ή ), το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβαίνουν και τα δύο Α και Β. Το γινόμενο των γεγονότων Α και Β αντιστοιχεί στην τομή των συνόλων Α και Β (Εικ. 1-ε).
Παράδειγμα 1.16. Το συμβάν που αποτελείται από την κύλιση 5 είναι η τομή των γεγονότων: περιττός αριθμός και περισσότεροι από 3 κυλιόμενοι, δηλαδή A(x=5)=B(x-περίον)∙C(x>3).
Ας σημειώσουμε τις προφανείς σχέσεις:
Η εκδήλωση ονομάζεται απεναντι αποστο Α αν συμβεί αν και μόνο αν δεν συμβεί το Α. Γεωμετρικά, αυτό είναι ένα σύνολο σημείων ενός τετραγώνου που δεν περιλαμβάνεται στο υποσύνολο Α (Εικ. 1-γ). Ένα συμβάν ορίζεται παρόμοια (Εικ. 1-δ).
Παράδειγμα 1.14.. Γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια ενός ζυγού και ενός περιττού αριθμού είναι αντίθετα γεγονότα.
Ας σημειώσουμε τις προφανείς σχέσεις:
Τα δύο γεγονότα λέγονται ασύμβατεςαν η ταυτόχρονη εμφάνισή τους στο πείραμα είναι αδύνατη. Επομένως, εάν τα Α και Β είναι ασύμβατα, τότε το προϊόν τους είναι ένα αδύνατο γεγονός:
Τα στοιχειώδη γεγονότα που παρουσιάστηκαν νωρίτερα είναι προφανώς ασύμβατα κατά ζεύγη, δηλαδή
Παράδειγμα 1.17. Γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια ενός ζυγού και ενός περιττού αριθμού είναι ασύμβατα γεγονότα.
Ορισμένα και Αδύνατα Γεγονότα
αξιόπιστοςΈνα συμβάν ονομάζεται ένα γεγονός που σίγουρα θα συμβεί εάν πληρούται ένα συγκεκριμένο σύνολο προϋποθέσεων.
ΑδύνατοΈνα γεγονός ονομάζεται ένα γεγονός που σίγουρα δεν θα συμβεί εάν πληρούται ένα συγκεκριμένο σύνολο προϋποθέσεων.
Ένα συμβάν που συμπίπτει με το κενό σύνολο καλείται αδύνατογεγονός, και ένα γεγονός που συμπίπτει με ολόκληρο το σύνολο ονομάζεται αξιόπιστοςΕκδήλωση.
Οι εκδηλώσεις καλούνται εξίσου δυνατόεάν δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ένα γεγονός είναι πιο πιθανό από άλλα.
Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά τα μοτίβα των τυχαίων γεγονότων. Ένα από τα κύρια προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι το πρόβλημα του προσδιορισμού ενός ποσοτικού μέτρου της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός.
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ
Πράξεις σε γεγονότα (άθροισμα, διαφορά, προϊόν)
Κάθε δοκιμή σχετίζεται με μια σειρά από γεγονότα που μας ενδιαφέρουν, τα οποία, σε γενικές γραμμές, μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, όταν πετάτε ένα ζάρι (δηλαδή, ένα ζάρι με σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6 στα πρόσωπά του), το γεγονός είναι ένα δίδυμο και το γεγονός είναι ένας ζυγός αριθμός πόντων. Προφανώς, αυτά τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται.
Αφήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα της δοκιμής να πραγματοποιηθούν σε έναν αριθμό από τις μοναδικές πιθανές ειδικές περιπτώσεις, αμοιβαία αποκλειόμενες μεταξύ τους. Επειτα:
- κάθε αποτέλεσμα δοκιμής αντιπροσωπεύεται από ένα και μόνο στοιχειώδες γεγονός.
- · Κάθε γεγονός που σχετίζεται με αυτό το τεστ είναι ένα σύνολο πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού στοιχειωδών γεγονότων.
- · ένα γεγονός συμβαίνει εάν και μόνο εάν πραγματοποιηθεί ένα από τα στοιχειώδη συμβάντα που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο.
Με άλλα λόγια, δίνεται ένας αυθαίρετος αλλά σταθερός χώρος στοιχειωδών γεγονότων, ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια ορισμένη περιοχή στο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, τα στοιχειώδη γεγονότα είναι σημεία του αεροπλάνου που βρίσκονται μέσα. Εφόσον ένα συμβάν ταυτίζεται με ένα σύνολο, όλες οι λειτουργίες που μπορούν να εκτελεστούν σε σύνολα μπορούν να εκτελεστούν σε συμβάντα. Δηλαδή, κατ' αναλογία με τη θεωρία συνόλων, κατασκευάζει κανείς άλγεβρα γεγονότων. Συγκεκριμένα, ορίζονται οι ακόλουθες λειτουργίες και σχέσεις μεταξύ γεγονότων:
 (σχέση συμπερίληψης συνόλων: ένα σύνολο είναι ένα υποσύνολο ενός συνόλου) - το γεγονός Α συνεπάγεται γεγονός Β. Με άλλα λόγια, το γεγονός Β συμβαίνει κάθε φορά που συμβαίνει το γεγονός Α. (σχέση ισοδυναμίας συνόλου) - ένα γεγονός είναι πανομοιότυπο ή ισοδύναμο με ένα συμβάν. Αυτό είναι δυνατό εάν και μόνο εάν και ταυτόχρονα, δηλ. το καθένα συμβαίνει όποτε συμβαίνει το άλλο.  () - άθροισμα γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα από τα δύο γεγονότα ή (χωρίς να εξαιρεθεί το λογικό "ή") έχει συμβεί. Στη γενική περίπτωση, το άθροισμα πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα. |
 () - προϊόν γεγονότων. Πρόκειται για μια εκδήλωση που συνίσταται στην από κοινού υλοποίηση γεγονότων και (λογικά "και"). Στη γενική περίπτωση, το προϊόν πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη υλοποίηση όλων αυτών των γεγονότων. Έτσι, τα γεγονότα και είναι ασύμβατα εάν το προϊόν τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλ. . |
|
(σύνολο στοιχείων που ανήκουν αλλά δεν ανήκουν) - διαφορά γεγονότων. Αυτή είναι μια εκδήλωση που αποτελείται από επιλογές που περιλαμβάνονται αλλά δεν περιλαμβάνονται σε. Βρίσκεται στο γεγονός ότι ένα γεγονός συμβαίνει, αλλά ένα γεγονός δεν συμβαίνει. |
 Το αντίθετο (πρόσθετο) για ένα συμβάν (σημειώνεται) είναι ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα αποτελέσματα που δεν περιλαμβάνονται.  Δύο γεγονότα λέγονται αντίθετα αν η εμφάνιση του ενός εξ αυτών ισοδυναμεί με τη μη εμφάνιση του άλλου. Ένα γεγονός αντίθετο από ένα γεγονός συμβαίνει εάν και μόνο εάν το συμβάν δεν συμβεί. Με άλλα λόγια, η εμφάνιση ενός γεγονότος σημαίνει απλώς ότι το γεγονός δεν έχει συμβεί. |
|
Η συμμετρική διαφορά δύο γεγονότων και (σημειώνεται) ονομάζεται γεγονός που αποτελείται από αποτελέσματα που περιλαμβάνονται ή, αλλά δεν περιλαμβάνονται σε και ταυτόχρονα. Το νόημα του γεγονότος είναι ότι ένα και μόνο από τα γεγονότα ή συμβαίνει. Η συμμετρική διαφορά συμβολίζεται: ή. |
Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων γεγονότων στον χώρο του δείγματος είναι 1.Για παράδειγμα, εάν το πείραμα είναι μια ρίψη νομίσματος με Γεγονός Α = "κεφαλές" και Συμβάν Β = "ουρές", τότε τα Α και Β αντιπροσωπεύουν ολόκληρο το χώρο του δείγματος. Που σημαίνει, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Παράδειγμα.Στο προηγουμένως προτεινόμενο παράδειγμα υπολογισμού της πιθανότητας εξαγωγής ενός κόκκινου στυλό από την τσέπη ενός μπουρνούζι (αυτό είναι το συμβάν Α), στο οποίο υπάρχουν δύο μπλε και ένα κόκκινο στυλό, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος - εξαγωγή μπλε στυλό - θα είναι
Πριν προχωρήσουμε στα κύρια θεωρήματα, εισάγουμε δύο πιο σύνθετες έννοιες - το άθροισμα και το γινόμενο των γεγονότων. Αυτές οι έννοιες είναι διαφορετικές από τις συνήθεις έννοιες του αθροίσματος και του γινόμενου στην αριθμητική. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στη θεωρία πιθανοτήτων είναι συμβολικές πράξεις που υπόκεινται σε ορισμένους κανόνες και διευκολύνουν τη λογική κατασκευή επιστημονικών συμπερασμάτων.
άθροισμαπολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Δηλαδή, το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β ονομάζεται γεγονός Γ, το οποίο συνίσταται στην εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε των γεγονότων Α και Β μαζί.
Για παράδειγμα, εάν ένας επιβάτης περιμένει σε στάση τραμ για οποιαδήποτε από τις δύο διαδρομές, τότε το γεγονός που χρειάζεται είναι η εμφάνιση ενός τραμ της πρώτης διαδρομής (γεγονός Α) ή ενός τραμ της δεύτερης διαδρομής (γεγονός Β) , ή κοινή εμφάνιση τραμ της πρώτης και δεύτερης διαδρομής (εκδήλωση ΜΕ). Στη γλώσσα της θεωρίας πιθανοτήτων, αυτό σημαίνει ότι το γεγονός D που είναι απαραίτητο για τον επιβάτη συνίσταται στην εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε του γεγονότος Γ, το οποίο συμβολικά γράφεται ως:
Δ=Α+Β+Γ
Το προϊόν δύο γεγονότωνΚΑΙκαι ΣΤΟείναι ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση γεγονότων ΚΑΙκαι ΣΤΟ. Προϊόν πολλών γεγονότωνη κοινή εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων ονομάζεται.
Στο παραπάνω παράδειγμα επιβατών, το συμβάν Με(κοινή εμφάνιση τραμ δύο διαδρομών) είναι προϊόν δύο γεγονότων ΚΑΙκαι ΣΤΟ, που συμβολικά γράφεται ως εξής:
Ας υποθέσουμε ότι δύο γιατροί εξετάζουν ξεχωριστά έναν ασθενή προκειμένου να εντοπίσουν μια συγκεκριμένη ασθένεια. Κατά τη διάρκεια των επιθεωρήσεων, ενδέχεται να συμβούν τα ακόλουθα συμβάντα:
Ανίχνευση ασθενειών από τον πρώτο γιατρό ( ΚΑΙ);
Αποτυχία εντοπισμού της νόσου από τον πρώτο γιατρό ()
Ανίχνευση της νόσου από τον δεύτερο γιατρό ( ΣΤΟ);
Μη ανίχνευση της νόσου από τον δεύτερο γιατρό ().
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια ανιχνεύεται ακριβώς μία φορά κατά τη διάρκεια των εξετάσεων. Αυτή η εκδήλωση μπορεί να υλοποιηθεί με δύο τρόπους:
Η ασθένεια εντοπίζεται από τον πρώτο γιατρό ( ΚΑΙ) και δεν θα βρει το δεύτερο ();
Οι ασθένειες δεν θα εντοπιστούν από τον πρώτο γιατρό () και θα εντοπιστούν από τον δεύτερο ( σι).
Ας υποδηλώσουμε το υπό εξέταση γεγονός και ας το γράψουμε συμβολικά:
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια ανακαλυφθεί κατά τη διαδικασία των εξετάσεων δύο φορές (τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο γιατρό). Ας υποδηλώσουμε αυτό το γεγονός και ας γράψουμε: .
Το συμβάν, που συνίσταται στο ότι ούτε ο πρώτος ούτε ο δεύτερος γιατρός εντοπίζει την ασθένεια, θα δηλωθεί με και θα γράψουμε: .
Κανόνας προσθήκης- εάν το στοιχείο Α μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους και το στοιχείο Β μπορεί να επιλεγεί με m τρόπους, τότε το Α ή το Β μπορούν να επιλεγούν με n + m τρόπους.
^ κανόνας πολλαπλασιασμού - εάν το στοιχείο Α μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους και για οποιαδήποτε επιλογή του Α, το στοιχείο Β μπορεί να επιλεγεί με m τρόπους, τότε το ζεύγος (Α, Β) μπορεί να επιλεγεί με n m τρόπους.
Μετάθεση.Μια μετάθεση ενός συνόλου στοιχείων είναι η διάταξη των στοιχείων σε μια ορισμένη σειρά. Έτσι, όλες οι διαφορετικές μεταθέσεις ενός συνόλου τριών στοιχείων είναι
Ο αριθμός όλων των μεταθέσεων των στοιχείων συμβολίζεται με . Επομένως, ο αριθμός όλων των διαφορετικών μεταθέσεων υπολογίζεται από τον τύπο
Κατάλυμα.Ο αριθμός των τοποθετήσεων ενός συνόλου στοιχείων ανά στοιχεία είναι ίσος με
^ Τοποθέτηση με επανάληψη. Εάν υπάρχει ένα σύνολο n τύπων στοιχείων και πρέπει να τοποθετήσετε ένα στοιχείο κάποιου τύπου σε καθεμία από τις m θέσεις (οι τύποι στοιχείων μπορούν να ταιριάζουν σε διαφορετικά σημεία), τότε ο αριθμός των επιλογών για αυτό θα είναι n m .
^ Συνδυασμός. Ορισμός. Συνδυασμοί από διάφορα στοιχεία σύμφωνα μεΤα στοιχεία ονομάζονται συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομέναστοιχεία από στοιχεία και διαφέρουν κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο (με άλλα λόγια,-υποσύνολα στοιχείων του δεδομένου συνόλου απόστοιχεία). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων. Τυχαίο συμβάν. Αξιόπιστο συμβάν. Αδύνατον γεγονός.
τυχαίο συμβάν -οποιοδήποτε υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων.
^ Αξιόπιστο γεγονός - είναι βέβαιο ότι θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Αδύνατο γεγονός -δεν θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Ενέργειες σε γεγονότα: άθροισμα, γινόμενο και διαφορά γεγονότων. αντίθετο γεγονός. Κοινές και μη εκδηλώσεις. Πλήρης ομάδα εκδηλώσεων.
^ Μη συμβατά συμβάντα - εάν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Λέγεται ότι σχηματίζονται πολλά ασύνδετα γεγονότα πλήρη ομάδα εκδηλώσεων, εάν ένα από αυτά εμφανιστεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Εάν το πρώτο συμβάν αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα, εκτός από αυτά που περιλαμβάνονται στο δεύτερο συμβάν, τότε τέτοια γεγονότα ονομάζονται απεναντι απο.
Το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β είναιένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β. ^ Το γινόμενο δύο γεγονότων Α και Β ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν ταυτόχρονα στο Α και στο Β. Η διαφορά μεταξύ Α και Β είναιένα γεγονός που αποτελείται από στοιχεία Α που δεν ανήκουν στο γεγονός Β.
Κλασικοί, στατιστικοί και γεωμετρικοί ορισμοί πιθανοτήτων. Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας συμβάντος.
, ζ – μέρος του σχήματος G. ^ Βασικές ιδιότητες πιθανοτήτων: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι 1, 3) Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι 0.
Το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων και συνέπειες από αυτό.
Πιθανότητα υπό όρους. ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων εξαρτημένων και ανεξάρτητων γεγονότων.
^ Πολλαπλασιασμός Πιθανοτήτων: Για εξαρτημένους. Θεώρημα. P (A ∙ B) \u003d P (A) ∙ P A (B). Σχόλιο. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Συνέπεια. P (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P (A 1) ∙ P A1 (A 2) ∙ ... ∙ P A1-Ak-1 (A k). Για ανεξάρτητους. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Τθεώρημα για την πρόσθεση των πιθανοτήτων κοινών γεγονότων. Θεώρημα . Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο κοινά γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους
Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων. Φόρμουλες Bayes.
H 1, H 2 ... H n - σχηματίστε μια πλήρη ομάδα - υποθέσεις.
Το συμβάν Α μπορεί να συμβεί μόνο εάν εμφανιστεί H 1, H 2 ... H n,
Τότε P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
^ Φόρμουλα Bayes
Έστω H 1, H 2 ... H n υποθέσεις, το γεγονός Α μπορεί να συμβεί κάτω από μία από τις υποθέσεις
P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός Α έχει συμβεί.
Πώς έχει αλλάξει η πιθανότητα του Η 1 λόγω του γεγονότος ότι έχει συμβεί το Α; Εκείνοι. R A (H 1)
R (A * H 1) \u003d R (A) * R A (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => R A (H 1) \u003d (P (H 1) * R n1 (Α))/ Ρ(Α)
H 2 , H 3 ... H n ορίζονται παρόμοια
Γενική μορφή:
Р А (Н i)= (Р (Н i)* Р n i (Α))/ Р (Α) , όπου i=1,2,3…n.
Οι τύποι σάς επιτρέπουν να υπερεκτιμάτε τις πιθανότητες των υποθέσεων ως αποτέλεσμα του τρόπου με τον οποίο γίνεται γνωστό το αποτέλεσμα της δοκιμής, ως αποτέλεσμα του οποίου εμφανίστηκε το συμβάν Α.
"Πριν" το τεστ - a priori πιθανότητες - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)
"Μετά" το τεστ - εκ των υστέρων πιθανότητες - R A (H 1), R A (H 2) ... R A (H n)
Οι μεταγενέστερες πιθανότητες, όπως και οι προηγούμενες, αθροίζονται σε 1.
9. Φόρμουλες Bernoulli και Poisson.
Φόρμουλα Bernoulli
Έστω να υπάρχουν n δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το γεγονός Α μπορεί να συμβεί ή όχι. Εάν η πιθανότητα του συμβάντος Α σε καθεμία από αυτές τις δοκιμές είναι σταθερή, τότε αυτές οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες σε σχέση με το Α.
Εξετάστε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το A μπορεί να συμβεί με πιθανότητα p. Μια τέτοια ακολουθία δοκιμών ονομάζεται σχήμα Bernoulli.
Θεώρημα: η πιθανότητα ότι σε n δοκιμές το γεγονός A θα συμβεί ακριβώς m φορές είναι ίση με: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Ο αριθμός m 0 - η εμφάνιση ενός γεγονότος Α ονομάζεται πιο πιθανή εάν η αντίστοιχη πιθανότητα P n (m 0) δεν είναι μικρότερη από άλλες P n (m)
Pn (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Για να βρείτε m 0 χρησιμοποιήστε:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Φόρμουλα Poisson
Εξετάστε το τεστ Bernoulli:
n είναι ο αριθμός των δοκιμών, p είναι η πιθανότητα επιτυχίας
Έστω p μικρό (p→0) και n μεγάλο (n→∞)
μέσος αριθμός εμφανίσεων επιτυχίας σε n δοκιμές
λ=n*p → p= λ βάζουμε στον τύπο Bernoulli:
Pn (m)=C n m *p m *(1-q) n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Αν p≤0,1 και λ=n*p≤10, τότε ο τύπος δίνει καλά αποτελέσματα.
10. Τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre-Laplace.
Έστω n ο αριθμός των δοκιμών, p η πιθανότητα επιτυχίας, n είναι μεγάλος και τείνει στο άπειρο. (n->∞)
^ Τοπικό θεώρημα
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , όπου f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Εάν npq≥ 20 - δίνει καλά αποτελέσματα, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Ολοκληρωτικό θεώρημα
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
όπου ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt είναι η συνάρτηση Laplace
x 1 \u003d (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2
Ιδιότητες της συνάρτησης Laplace
ȹ(x) – περιττή συνάρτηση: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – μονοτονικά αυξανόμενο
τιμές ȹ(x) (-0,5;0,5), και lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), όπου z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Τυχαία τιμή. Τύποι τυχαίων μεταβλητών. Μέθοδοι ορισμού τυχαίας μεταβλητής.
Το SW είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο στοιχειωδών γεγονότων.
Το X,Y,Z είναι NE και η τιμή του είναι x,y,z
Τυχαίοςονομάζουν μια τιμή που, ως αποτέλεσμα των δοκιμών, θα λάβει μία και μοναδική πιθανή τιμή, άγνωστη εκ των προτέρων και εξαρτάται από τυχαίες αιτίες που δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη εκ των προτέρων.
ΝΔ διακεκριμένος, εάν το σύνολο των τιμών του είναι πεπερασμένο ή μετρημένο (μπορούν να αριθμηθούν). Παίρνει ξεχωριστές, απομονωμένες πιθανές τιμές με ορισμένες πιθανότητες. Ο αριθμός των πιθανών τιμών ενός διακριτού CV μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος.
ΝΔ συνεχής, εάν παίρνει όλες τις πιθανές τιμές από κάποιο διάστημα (σε ολόκληρο τον άξονα). Οι τιμές του μπορεί να διαφέρουν πολύ λίγο.
^ Νόμος διακριτής διανομής SW m.b. δεδομένος:
1.πίνακας
| Χ | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | σελ 1 | σελ 2 | … | p n |
(εύρος διανομής)
X \u003d x 1) δεν είναι συμβατά
p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p i
2.γραφικό
Πολύγωνο κατανομής πιθανότητας
3.αναλυτικός
P=P(X)
12. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής.
Η συνάρτηση κατανομής του CV X είναι μια συνάρτηση F(X) που καθορίζει την πιθανότητα ότι το CV X θα λάβει τιμή μικρότερη από x, δηλ.
x x = αθροιστική συνάρτηση κατανομής
Ένα συνεχές SW έχει μια συνεχή, τμηματικά διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.