Εξελίξεις
Εκδήλωση. στοιχειώδες γεγονός.
Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων.
Αξιόπιστο συμβάν. Αδύνατον γεγονός.
πανομοιότυπα γεγονότα.
Άθροισμα, προϊόν, διαφορά γεγονότων.
αντίθετα γεγονότα. ασυμβίβαστα γεγονότα.
Ισοδύναμα γεγονότα.
Υπό Εκδήλωση στη θεωρία πιθανοτήτων νοείται κάθε γεγονός που μπορεί ή δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα της εμπειρίας μετυχαίο αποτέλεσμα. Το απλούστερο αποτέλεσμα ενός τέτοιου πειράματος (για παράδειγμα, η εμφάνιση «κεφαλιών» ή «ουρών» όταν πετάτε ένα κέρμα, χτυπάτε τον στόχο κατά τη βολή, εμφάνιση άσου όταν αφαιρείτε ένα φύλλο από την τράπουλα, πέφτοντας τυχαία έναν αριθμό όταν ρίχνετε ένα ζάρικ.λπ.) λέγεταιστοιχειώδες γεγονός .
Το σύνολο όλων των δημοτικώνεκδηλώσεις μιπου ονομάζεται χώρος στοιχείου γεγονότα απόβαρου . Ναι, στο ρίχνοντας ένα ζάρι, αυτός ο χώρος αποτελείται από έξιστοιχειώδη γεγονότα και όταν αφαιρείται ένα φύλλο από την τράπουλα - από 52. Ένα γεγονός μπορεί να αποτελείται από ένα ή περισσότερα στοιχειώδη γεγονότα, για παράδειγμα, την εμφάνιση δύο άσων στη σειρά κατά την αφαίρεση ενός φύλλου από την τράπουλα ή την απώλεια του τον ίδιο αριθμό όταν ρίχνετε ένα ζάρι τρεις φορές. Τότε μπορεί κανείς να ορίσει Εκδήλωση ως αυθαίρετο υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων.
ένα συγκεκριμένο γεγονός όλος ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων ονομάζεται. Έτσι, ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι ένα γεγονός που πρέπει απαραίτητα να συμβεί ως αποτέλεσμα μιας δεδομένης εμπειρίας. Όταν ρίχνεται ένα ζάρι, ένα τέτοιο γεγονός είναι η πτώση του σε ένα από τα πρόσωπα.
Αδύνατον γεγονός () ονομάζεται κενό υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων. Δηλαδή, ένα αδύνατο γεγονός δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα αυτής της εμπειρίας. Έτσι, όταν πετάμε ένα ζάρι, ένα αδύνατο γεγονός είναι η πτώση του στην άκρη.
Εξελίξεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟπου ονομάζεταιπανομοιότυπο (ΑΛΛΑ= ΣΤΟ) εάν το συμβάν ΑΛΛΑσυμβαίνει όταν και μόνο όταν συμβαίνει ένα γεγονόςΣΤΟ .
Λένε ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑ πυροδοτεί ένα συμβάν ΣΤΟ ( ΑΛΛΑ ΣΤΟ), εάν από την κατάσταση"Το συμβάν Α συνέβη" πρέπει "Το συμβάν Β συνέβη".
Εκδήλωση ΑΠΟπου ονομάζεται άθροισμα γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ (ΑΠΟ = ΑΛΛΑ ΣΤΟ) εάν το συμβάν ΑΠΟσυμβαίνει εάν και μόνο εάν κάποιο από τα δύο ΑΛΛΑ, ή ΣΤΟ.
Εκδήλωση ΑΠΟπου ονομάζεται προϊόν των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ (ΑΠΟ = ΑΛΛΑ ΣΤΟ) εάν το συμβάν ΑΠΟσυμβαίνει όταν και μόνο όταν συμβαίνει καιΑΛΛΑ, και ΣΤΟ.
Εκδήλωση ΑΠΟπου ονομάζεται διαφορά γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ (ΑΠΟ = ΑΛΛΑ – ΣΤΟ) εάν το συμβάν ΑΠΟσυμβαίνει τότε καιΜόνο τότε, όταν συμβείΕκδήλωση ΑΛΛΑ, και το συμβάν δεν συμβαίνει ΣΤΟ.
Εκδήλωση ΑΛΛΑ"που ονομάζεται απεναντι απο ΕκδήλωσηΑΛΛΑαν το συμβάν δεν συνέβαινε ΑΛΛΑ. Έτσι, ένα χάσιμο και ένα χτύπημα κατά τη λήψη είναι αντίθετα γεγονότα.
Εξελίξεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟπου ονομάζεταιασύμβατες (ΑΛΛΑ ΣΤΟ = ) , αν η ταυτόχρονη εμφάνισή τους είναι αδύνατη. Για παράδειγμα, πτώση και "ουρές", και«αετός» όταν πετάει ένα κέρμα.
Εάν κατά τη διάρκεια του πειράματος μπορούν να συμβούν πολλά γεγονότα και καθένα από αυτά, σύμφωνα με αντικειμενικές συνθήκες, δεν είναι πιο δυνατό από το άλλο, τότε τέτοια γεγονότα ονομάζονταιεξίσου δυνατό . Παραδείγματα εξίσου πιθανών γεγονότων: η εμφάνιση ενός δευτέρου, ενός άσου και ενός τζακ όταν αφαιρείται ένα φύλλο από την τράπουλα, απώλεια οποιουδήποτε από τους αριθμούς από το 1 έως το 6 όταν ρίχνετε ένα ζάρι κ.λπ.
Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων γεγονότων στον χώρο του δείγματος είναι 1. Για παράδειγμα, εάν το πείραμα είναι μια ρίψη νομίσματος με Γεγονός Α = "κεφαλές" και Συμβάν Β = "ουρές", τότε τα Α και Β αντιπροσωπεύουν ολόκληρο το χώρο του δείγματος. Που σημαίνει, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Παράδειγμα. Στο προηγουμένως προτεινόμενο παράδειγμα υπολογισμού της πιθανότητας εξαγωγής ενός κόκκινου στυλό από την τσέπη ενός μπουρνούζι (αυτό είναι το συμβάν Α), στο οποίο υπάρχουν δύο μπλε και ένα κόκκινο στυλό, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος - εξαγωγή μπλε στυλό - θα είναι
Πριν προχωρήσουμε στα κύρια θεωρήματα, εισάγουμε δύο πιο σύνθετες έννοιες - το άθροισμα και το γινόμενο των γεγονότων. Αυτές οι έννοιες είναι διαφορετικές από τις συνήθεις έννοιες του αθροίσματος και του γινόμενου στην αριθμητική. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στη θεωρία πιθανοτήτων είναι συμβολικές πράξεις που υπόκεινται σε ορισμένους κανόνες και διευκολύνουν τη λογική κατασκευή επιστημονικών συμπερασμάτων.
άθροισμαπολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Δηλαδή, το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β ονομάζεται γεγονός Γ, το οποίο συνίσταται στην εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε των γεγονότων Α και Β μαζί.
Για παράδειγμα, εάν ένας επιβάτης περιμένει σε στάση τραμ για ένα από τα δύο δρομολόγια, τότε το γεγονός που χρειάζεται είναι η εμφάνιση ενός τραμ της πρώτης διαδρομής (γεγονός Α) ή ενός τραμ της δεύτερης διαδρομής (γεγονός Β) , ή κοινή εμφάνιση τραμ της πρώτης και δεύτερης διαδρομής (εκδήλωση ΑΠΟ). Στη γλώσσα της θεωρίας πιθανοτήτων, αυτό σημαίνει ότι το γεγονός D που χρειάζεται ο επιβάτης είναι η εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε του γεγονότος Γ, το οποίο μπορεί να γραφτεί συμβολικά ως:
Δ=Α+Β+Γ
Το προϊόν δύο γεγονότωνΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Προϊόν πολλών γεγονότωνη κοινή εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων ονομάζεται.
Στο παραπάνω παράδειγμα επιβατών, το συμβάν ΑΠΟ(κοινή εμφάνιση τραμ δύο διαδρομών) είναι προϊόν δύο γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, που συμβολικά γράφεται ως εξής:
Ας υποθέσουμε ότι δύο γιατροί εξετάζουν ξεχωριστά έναν ασθενή προκειμένου να εντοπίσουν μια συγκεκριμένη ασθένεια. Κατά τη διάρκεια των επιθεωρήσεων, ενδέχεται να συμβούν τα ακόλουθα συμβάντα:
Ανίχνευση ασθενειών από τον πρώτο γιατρό ( ΑΛΛΑ);
Αποτυχία εντοπισμού της νόσου από τον πρώτο γιατρό ()
Ανίχνευση της νόσου από τον δεύτερο γιατρό ( ΣΤΟ);
Μη ανίχνευση της νόσου από τον δεύτερο γιατρό ().
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια ανιχνεύεται ακριβώς μία φορά κατά τη διάρκεια των εξετάσεων. Αυτή η εκδήλωση μπορεί να υλοποιηθεί με δύο τρόπους:
Η ασθένεια εντοπίζεται από τον πρώτο γιατρό ( ΑΛΛΑ) και δεν θα βρει το δεύτερο ();
Οι ασθένειες δεν θα εντοπιστούν από τον πρώτο γιατρό () και θα εντοπιστούν από τον δεύτερο ( σι).
Ας υποδηλώσουμε το υπό εξέταση γεγονός και ας το γράψουμε συμβολικά:
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια ανακαλυφθεί κατά τη διαδικασία των εξετάσεων δύο φορές (τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο γιατρό). Ας υποδηλώσουμε αυτό το γεγονός και ας γράψουμε: .
Το συμβάν, που συνίσταται στο ότι ούτε ο πρώτος ούτε ο δεύτερος γιατρός εντοπίζει την ασθένεια, θα δηλωθεί με και θα γράψουμε: .
Βασικά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων
Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.
Ας γράψουμε το θεώρημα πρόσθεσης συμβολικά:
P(A + B) = P(A) + P(B),
όπου R- την πιθανότητα του αντίστοιχου γεγονότος (το συμβάν αναφέρεται σε αγκύλες).
Παράδειγμα . Ο ασθενής έχει αιμορραγία στο στομάχι. Αυτό το σύμπτωμα καταγράφεται σε ελκώδη διάβρωση αγγείων (συμβάν Α), ρήξη κιρσών του οισοφάγου (συμβάν Β), καρκίνο του στομάχου (συμβάν C), γαστρικό πολύποδα (συμβάν Δ), αιμορραγική διάθεση (συμβάν F), αποφρακτικό ίκτερο (συμβάν Ε) και τελική γαστρίτιδα (συμβάνσολ).
Ο γιατρός, με βάση την ανάλυση των στατιστικών δεδομένων, εκχωρεί μια τιμή πιθανότητας σε κάθε συμβάν:
Συνολικά, ο γιατρός είχε 80 ασθενείς με γαστρική αιμορραγία (n= 80), εκ των οποίων 12 είχαν ελκώδη διάβρωση αγγείων (), στο6 - ρήξη κιρσών του οισοφάγου (), 36 είχαν καρκίνο στομάχου () και τα λοιπά.
Για να συνταγογραφήσει μια εξέταση, ο γιατρός θέλει να προσδιορίσει την πιθανότητα η αιμορραγία του στομάχου να σχετίζεται με στομαχική νόσο (συμβάν I):
Η πιθανότητα η γαστρική αιμορραγία να σχετίζεται με στομαχική νόσο είναι αρκετά υψηλή ώστε ο γιατρός να μπορεί να καθορίσει την τακτική της εξέτασης με βάση την υπόθεση της στομαχικής νόσου, που δικαιολογείται σε ποσοτικό επίπεδο χρησιμοποιώντας τη θεωρία πιθανοτήτων.
Εάν ληφθούν υπόψη κοινά γεγονότα, η πιθανότητα του αθροίσματος δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους.
Συμβολικά, αυτό γράφεται ως εξής:
Αν φανταστούμε ότι το γεγονός ΑΛΛΑσυνίσταται στο χτύπημα ενός στόχου που σκιάζεται με οριζόντιες ρίγες κατά τη διάρκεια της βολής και του γεγονότος ΣΤΟ- στο χτύπημα ενός στόχου που σκιάζεται με κάθετες ρίγες, τότε στην περίπτωση ασυμβίβαστων γεγονότων, σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης, η πιθανότητα του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων μεμονωμένων γεγονότων. Εάν αυτά τα γεγονότα είναι κοινά, τότε υπάρχει κάποια πιθανότητα που αντιστοιχεί στην κοινή εμφάνιση γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Εάν δεν εισάγετε διόρθωση για την έκπτωση P(AB), δηλ. σχετικά με την πιθανότητα κοινής εμφάνισης γεγονότων, τότε αυτή η πιθανότητα θα ληφθεί υπόψη δύο φορές, καθώς η περιοχή που σκιάζεται τόσο από οριζόντιες όσο και από κάθετες γραμμές αποτελεί αναπόσπαστο μέρος και των δύο στόχων και θα λαμβάνεται υπόψη τόσο στον πρώτο όσο και στον δεύτερη άθροιση.
Στο σχ. 1 δίνεται μια γεωμετρική ερμηνεία που δείχνει ξεκάθαρα αυτή την περίσταση. Στο επάνω μέρος του σχήματος υπάρχουν μη τεμνόμενοι στόχοι, που είναι ανάλογος ασυμβίβαστων γεγονότων, στο κάτω μέρος - τεμνόμενοι στόχοι, που είναι ανάλογοι κοινών γεγονότων (μία βολή μπορεί να χτυπήσει και τον στόχο Α και τον στόχο Β ταυτόχρονα ).
Πριν προχωρήσουμε στο θεώρημα του πολλαπλασιασμού, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τις έννοιες των ανεξάρτητων και εξαρτημένων γεγονότων και των πιθανοτήτων υπό όρους και άνευ όρων.
Ανεξάρτητοςένα γεγονός Β είναι ένα γεγονός Α του οποίου η πιθανότητα να συμβεί δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του γεγονότος Β.
εθισμένοςΈνα συμβάν Β είναι ένα γεγονός Α του οποίου η πιθανότητα εμφάνισης εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του γεγονότος Β.
Παράδειγμα . Ένα δοχείο περιέχει 3 μπάλες, 2 λευκές και 1 μαύρη. Όταν επιλέγετε μια μπάλα τυχαία, η πιθανότητα να επιλέξετε μια λευκή μπάλα (γεγονός Α) είναι: P(A) = 2/3, και μαύρη (γεγονός Β) P(B) = 1/3. Έχουμε να κάνουμε με ένα σχήμα περιπτώσεων και οι πιθανότητες γεγονότων υπολογίζονται αυστηρά σύμφωνα με τον τύπο. Όταν το πείραμα επαναλαμβάνεται, οι πιθανότητες εμφάνισης των γεγονότων Α και Β παραμένουν αμετάβλητες εάν μετά από κάθε επιλογή η μπάλα επιστρέφεται στο δοχείο. Στην περίπτωση αυτή, τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα. Εάν η μπάλα που επιλέχθηκε στο πρώτο πείραμα δεν επιστραφεί στο δοχείο, τότε η πιθανότητα του γεγονότος (Α) στο δεύτερο πείραμα εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του γεγονότος (Β) στο πρώτο πείραμα. Έτσι, εάν το γεγονός Β εμφανίστηκε στο πρώτο πείραμα (επιλέχθηκε μια μαύρη μπάλα), τότε το δεύτερο πείραμα πραγματοποιείται εάν υπάρχουν 2 άσπρες μπάλες στη λάρνακα και η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α στο δεύτερο πείραμα είναι: P (Α) = 2/2 = 1.
Εάν το συμβάν Β δεν εμφανίστηκε στο πρώτο πείραμα (επιλέγεται μια λευκή μπάλα), τότε το δεύτερο πείραμα εκτελείται εάν υπάρχουν μία λευκή και μία μαύρη μπάλα στο δοχείο και η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α στο δεύτερο πείραμα ισούται με: P(A) = 1/2. Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, τα γεγονότα Α και Β συνδέονται στενά και οι πιθανότητες εμφάνισής τους εξαρτώνται.
Πιθανότητα υπό όρουςγεγονός Α είναι η πιθανότητα εμφάνισής του, με την προϋπόθεση ότι έχει εμφανιστεί το γεγονός Β. Η υπό όρους πιθανότητα συμβολίζεται συμβολικά Ρ(Α/Β).
Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑδεν εξαρτάται από την εμφάνιση του γεγονότος ΣΤΟ, τότε η υπό όρους πιθανότητα του συμβάντος ΑΛΛΑισούται με την άνευ όρων πιθανότητα:
Εάν η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α εξαρτάται από την εμφάνιση του γεγονότος Β, τότε η υπό όρους πιθανότητα δεν μπορεί ποτέ να είναι ίση με την άνευ όρων πιθανότητα:
Η αποκάλυψη της εξάρτησης των διαφόρων γεγονότων μεταξύ τους έχει μεγάλη σημασία για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Έτσι, για παράδειγμα, μια εσφαλμένη υπόθεση σχετικά με την ανεξαρτησία της εμφάνισης ορισμένων συμπτωμάτων στη διάγνωση καρδιακών ελαττωμάτων χρησιμοποιώντας μια πιθανολογική μέθοδο που αναπτύχθηκε στο Ινστιτούτο Καρδιαγγειακής Χειρουργικής. A. N. Bakuleva, προκάλεσε περίπου το 50% των λανθασμένων διαγνώσεων.
Ορισμός 1. Λέγεται ότι σε κάποια εμπειρία ένα γεγονός ΑΛΛΑ συνεπάγεταιακολουθούμενη από την εμφάνιση ενός γεγονότος ΣΤΟαν όταν συμβεί το συμβάν ΑΛΛΑέρχεται η εκδήλωση ΣΤΟ. Σημείωση αυτού του ορισμού ΑΛΛΑ Ì ΣΤΟ. Όσον αφορά τα στοιχειώδη γεγονότα, αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχειώδες γεγονός περιλαμβάνεται σε ΑΛΛΑ, περιλαμβάνεται επίσης σε ΣΤΟ.
Ορισμός 2. Γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟονομάζονται ίσα ή ισοδύναμα (σημ ΑΛΛΑ= ΣΤΟ), αν ΑΛΛΑ Ì ΣΤΟκαι ΣΤΟÌ A, δηλ. ΑΛΛΑκαι ΣΤΟαποτελούνται από τα ίδια στοιχειώδη γεγονότα.
Αξιόπιστη εκδήλωσηαντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο που περικλείει Ω, και ένα αδύνατο γεγονός είναι ένα κενό υποσύνολο του Æ σε αυτό. Ασυνέπεια των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟσημαίνει ότι τα αντίστοιχα υποσύνολα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟμην τέμνονται: ΑΛΛΑ∩ΣΤΟ = Æ.
Ορισμός 3. Το άθροισμα δύο γεγονότων Ακαι ΣΤΟ(σημειώνεται ΑΠΟ= ΑΛΛΑ + ΣΤΟ) ονομάζεται γεγονός ΑΠΟ, που αποτελείται από την έναρξη τουλάχιστονένα από τα γεγονότα ΑΛΛΑή ΣΤΟ(ο σύνδεσμος "ή" για το ποσό είναι λέξη-κλειδί), π.χ. έρχεται ή ΑΛΛΑ, ή ΣΤΟ, ή ΑΛΛΑκαι ΣΤΟμαζί.
Παράδειγμα. Αφήστε δύο σκοπευτές να πυροβολήσουν στο στόχο ταυτόχρονα, και το συμβάν ΑΛΛΑσυνίσταται στο γεγονός ότι ο 1ος σκοπευτής χτυπά το στόχο, και το γεγονός σι- ότι ο 2ος σκοπευτής χτυπά το στόχο. Εκδήλωση ΕΝΑ+ σισημαίνει ότι ο στόχος χτυπήθηκε, ή, με άλλα λόγια, ότι τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές (1ος σκοπευτής ή 2ος σκοπευτής ή και οι δύο σκοπευτές) χτύπησε τον στόχο.
Ομοίως, το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2 , …, ΑΛΛΑ n (σημειώνεται ΑΛΛΑ= ΑΛΛΑ 1 + ΑΛΛΑ 2 + … + ΑΛΛΑιδ) το συμβάν καλείται ΑΛΛΑ, που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενόςαπό εκδηλώσεις ΑΛΛΑΕγώ ( Εγώ = 1, … , n), ή ένα αυθαίρετο σύνολο ΑΛΛΑΕγώ ( Εγώ = 1, 2, … , n).
Παράδειγμα. Το άθροισμα των γεγονότων Α, Β, Γείναι ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση ενός από τα ακόλουθα γεγονότα: ΑΛΛΑ, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ, ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, ΑΛΛΑκαι ΑΠΟ, ΣΤΟκαι ΑΠΟ, ΑΛΛΑκαι ΣΤΟκαι ΑΠΟ, ΑΛΛΑή ΣΤΟ, ΑΛΛΑή ΑΠΟ, ΣΤΟή ΑΠΟ,ΑΛΛΑή ΣΤΟή ΑΠΟ.
Ορισμός 4. Το προϊόν δύο γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟονομάζεται εκδήλωση ΑΠΟ(σημειώνεται ΑΠΟ = Α ∙ Β), που συνίσταται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής συνέβη και ένα συμβάν ΑΛΛΑ,και εκδήλωση ΣΤΟΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ. (Ο σύνδεσμος "και" για την παραγωγή γεγονότων είναι η λέξη κλειδί.)
Ομοίως με το γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2 , …, ΑΛΛΑ n (σημειώνεται ΑΛΛΑ = ΑΛΛΑ 1 ∙ΑΛΛΑ 2 ∙…∙ ΑΛΛΑιδ) το συμβάν καλείται ΑΛΛΑ, που συνίσταται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής συνέβησαν όλα τα καθορισμένα συμβάντα.
Παράδειγμα. Αν τα γεγονότα ΑΛΛΑ, ΣΤΟ, ΑΠΟείναι η εμφάνιση «οικόσημου» στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη δοκιμασία αντίστοιχα, στη συνέχεια το γεγονός ΑΛΛΑ× ΣΤΟ× ΑΠΟυπάρχει πτώση «οικόσημο» και στις τρεις δοκιμές.
Παρατήρηση 1. Για ασύμβατα συμβάντα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟδίκαιη ισότητα Α ∙ Β= Æ, όπου το Æ είναι ένα αδύνατο γεγονός.
Παρατήρηση 2. Γεγονότα ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2, … , ΑΛΛΑ n σχηματίστε μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη εάν .
Ορισμός 5. αντίθετα γεγονότακαλούνται δύο μοναδικά πιθανά ασύμβατα συμβάντα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα. Γεγονός αντίθετο από το γεγονός ΑΛΛΑ,υποδεικνύεται. Γεγονός αντίθετο από το γεγονός ΑΛΛΑ, είναι μια προσθήκη στην εκδήλωση ΑΛΛΑστο σύνολο Ω.
Για αντίθετα γεγονότα, δύο προϋποθέσεις ικανοποιούνται ταυτόχρονα A ∙= Æ και Α+= Ω.
Ορισμός 6. διαφοράεκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ(σημειώνεται ΑΛΛΑ– ΣΤΟ) ονομάζεται γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι το συμβάν ΑΛΛΑθα έρθει, και η εκδήλωση AT -όχι και είναι ίσο ΑΛΛΑ– ΣΤΟ= ΑΛΛΑ× .
Σημειώστε ότι τα γεγονότα A + B, A ∙ B, , Α - Βείναι βολικό να ερμηνεύεται γραφικά χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Euler-Venn (Εικ. 1.1).
|
Ρύζι. 1.1. Πράξεις σε γεγονότα: άρνηση, άθροισμα, γινόμενο και διαφορά |
Ας διατυπώσουμε ένα παράδειγμα ως εξής: αφήστε την εμπειρία σολσυνίσταται στην τυχαία πυροδότηση πάνω από την περιοχή Ω, τα σημεία της οποίας είναι στοιχειώδη γεγονότα ω. Έστω ότι το χτύπημα της περιοχής Ω είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός Ω και το χτύπημα της περιοχής ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ- σύμφωνα με τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Μετά τα γεγονότα Α+Β(ή ΑΛΛΑÈ ΣΤΟ- φως περιοχή στο σχήμα), Α ∙ Β(ή ΑΛΛΑÇ AT -περιοχή στο κέντρο) Α - Β(ή ΑΛΛΑ\AT -ελαφροί υποτομείς) θα αντιστοιχεί στις τέσσερις εικόνες στο Σχ. 1.1. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος με δύο σκοπευτές να πυροβολούν έναν στόχο, προϊόν γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟθα γίνει εκδήλωση Γ = ΑÇ ΣΤΟ, που συνίσταται στο χτύπημα του στόχου και με τα δύο βέλη.
Παρατήρηση 3. Εάν οι πράξεις σε συμβάντα αναπαριστώνται ως πράξεις σε σύνολα και τα συμβάντα ως υποσύνολα κάποιου συνόλου Ω, τότε το άθροισμα των γεγονότων Α+Βένωση αγώνα ΑΛΛΑÈ ΣΤΟαυτά τα υποσύνολα, αλλά το προϊόν των γεγονότων Α ∙ Β- σημείο τομής ΑΛΛΑ∩ΣΤΟαυτά τα υποσύνολα.
Έτσι, οι πράξεις σε συμβάντα μπορούν να αντιστοιχιστούν σε πράξεις σε σύνολα. Αυτή η αντιστοιχία δίνεται στον πίνακα. 1.1
Πίνακας 1.1
|
Σημειογραφία |
Η Γλώσσα της Θεωρίας Πιθανοτήτων |
Η γλώσσα της θεωρίας συνόλων |
|
Διαστημικό στοιχείο. εκδηλώσεις |
Σετ γενικής χρήσης |
|
|
στοιχειώδες γεγονός |
Ένα στοιχείο από το καθολικό σύνολο |
|
|
τυχαίο συμβάν |
Ένα υποσύνολο στοιχείων ω από το Ω |
|
|
Αξιόπιστη εκδήλωση |
Το σύνολο όλων των ω |
|
|
Αδύνατον γεγονός |
Αδειο σετ |
|
|
ΑΛΛΑÌ V |
ΑΛΛΑσυνεπάγεται ΣΤΟ |
ΑΛΛΑ- υποσύνολο ΣΤΟ |
|
Α+Β(ΑΛΛΑÈ ΣΤΟ) |
Άθροισμα γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ |
Ένωση συνόλων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ |
|
ΑΛΛΑ× V(ΑΛΛΑÇ ΣΤΟ) |
Παραγωγή εκδηλώσεων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ |
Διασταύρωση πολλών ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ |
|
Α - Β(ΑΛΛΑ\ΣΤΟ) |
Διαφορά γεγονότος |
Ρυθμίστε τη διαφορά |
Οι ενέργειες σε συμβάντα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(μετατόπιση);
(Α+Β) ∙ Γ = Α× Γ + Β× C, A ∙ B + C =(Α + Γ) × ( Β + Γ) (διανεμητικό);
(Α+Β) + ΑΠΟ = ΑΛΛΑ + (Β + Γ), (Α ∙ Β) ∙ ΑΠΟ= ΑΛΛΑ ∙ (Β ∙ Γ) (προσεταιριστική);
A + A = A, A ∙ A = A;
ΑΛΛΑ + Ω = Ω, ΑΛΛΑ∙ Ω = ΑΛΛΑ;
Οι αλγεβρικές πράξεις σε συμβάντα ορίζουν τους κανόνες για ενέργειες με συμβάντα και επιτρέπουν σε κάποιον να εκφράσει ένα γεγονός με όρους άλλου. Οι πράξεις σε συμβάντα ισχύουν μόνο για συμβάντα που αντιπροσωπεύουν υποσύνολα του ίδιου χώρου στοιχειωδών γεγονότων.
Οι ενέργειες συμβάντων μπορούν να οπτικοποιηθούν χρησιμοποιώντας διαγράμματα Venn. Στα διαγράμματα, τα γεγονότα αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιοχές στο επίπεδο, δηλώνοντας συμβατικά υποσύνολα στοιχειωδών γεγονότων που συνθέτουν γεγονότα. Άρα, στα διαγράμματα του Σχ. 1.1, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων αντιστοιχεί στα εσωτερικά σημεία του τετραγώνου, το γεγονός Α _ τα εσωτερικά σημεία του κύκλου, το γεγονός Β _ τα εσωτερικά σημεία του τριγώνου. Το γεγονός ότι τα γεγονότα Α και Β είναι υποσύνολα του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων (Α, Β) φαίνεται στα διαγράμματα του Σχ. 1.1α, β.
Το άθροισμα (ένωση) των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C=A+B (ή C=AB), το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι θα συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β. Το γεγονός Γ αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη συμβάντα που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β, ή και τα δύο συμβάντα. Στο διάγραμμα (Εικ. 1.2.), το γεγονός C αντιστοιχεί στη σκιασμένη περιοχή C, που αντιπροσωπεύει την ένωση των περιοχών A και B. Ομοίως, το άθροισμα πολλών γεγονότων A 1, A 2, ..., A n είναι το γεγονός C, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα θα συμβεί And i , i=:
Το άθροισμα των γεγονότων ενώνει όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που αποτελούν τα А i , i=. Εάν τα γεγονότα E 1 , E 2 ,…, E n σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με ένα αξιόπιστο συμβάν:
Το άθροισμα των στοιχειωδών γεγονότων είναι ίσο με ένα αξιόπιστο γεγονός
Το γινόμενο (τομή) των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C = AB (ή C = AB), το οποίο συνίσταται στην κοινή εμφάνιση των γεγονότων Α και Β. Το συμβάν Γ αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν τόσο στο Α όσο και στο Β. Το Σχήμα 1.3.α συμβάν Γ παριστάνεται από την τομή των περιοχών Α και Β. Εάν τα Α και Β είναι ασύμβατα γεγονότα, τότε το γινόμενο τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλαδή AB = (Εικ. 1.3.β).
Το γινόμενο των γεγονότων A 1 , A 2 , ..., A n είναι ένα γεγονός C, που συνίσταται στην ταυτόχρονη εκτέλεση όλων των γεγονότων A i , i=:
Προϊόντα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη А 1 , А 2 ,…, А n - αδύνατα συμβάντα: А i А j =, για οποιαδήποτε ij. Προϊόντα γεγονότων που συνθέτουν μια πλήρη ομάδα είναι αδύνατα γεγονότα: Е i Е j =, ij, προϊόντα στοιχειωδών γεγονότων είναι επίσης αδύνατα γεγονότα: ij =, ij.
Η διαφορά μεταξύ των γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός C=A_B (C=AB), το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι συμβαίνει το συμβάν Α και το γεγονός Β δεν συμβαίνει. Το γεγονός Γ αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν έως Β. Διάγραμμα διαφοράς γεγονότων που φαίνεται στο σχ. 1.4. Το διάγραμμα δείχνει ότι C=A_B=
Το αντίθετο γεγονός για το γεγονός Α (ή το συμπλήρωμά του) είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι το γεγονός Α δεν συνέβη. Το αντίθετο συμβάν συμπληρώνει το γεγονός Α σε μια πλήρη ομάδα και αποτελείται από εκείνα τα στοιχειώδη συμβάντα που ανήκουν στο χώρο και δεν ανήκουν στο γεγονός Α (Εικ. 1.5). Έτσι, είναι η διαφορά μεταξύ ενός συγκεκριμένου γεγονότος και του γεγονότος A: =_A.
Ιδιότητες πράξεων σε γεγονότα.
Ιδιότητες μετατόπισης: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Συνειρμικές ιδιότητες: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Ιδιότητα διανομής: A(B+C)=AB+AC.
Από τους ορισμούς των πράξεων σε συμβάντα ακολουθούν οι ιδιότητες
Α+Α=Α; A+=; A+=A; Α·Α=Α; Α·=Α; Α =
Από τον ορισμό του αντίθετου γεγονότος προκύπτει ότι
A+=; A=; =Α; =; =; ;
Από το διάγραμμα στο Σχ. 1.4, οι ιδιότητες της διαφοράς των κοινών γεγονότων είναι προφανείς:
Αν το Α και το Β είναι αμοιβαία γεγονότα, τότε
Οι ιδιότητες των κοινών εκδηλώσεων είναι επίσης προφανείς.
Για τα αντίθετα γεγονότα, ισχύουν ιδιότητες που μερικές φορές ονομάζονται κανόνας του De Morgan ή αρχή της δυαδικότητας: οι πράξεις της ένωσης και της τομής αντιστρέφονται όταν περνούν σε αντίθετα γεγονότα
Η απόδειξη της αρχής της δυαδικότητας μπορεί να ληφθεί γραφικά χρησιμοποιώντας διαγράμματα Venn ή αναλυτικά εφαρμόζοντας τις ιδιότητες 1-6
Πρέπει να σημειωθεί ότι ενέργειες παρόμοιες με τις ενέργειες «μείωση παρόμοιων όρων» και εκτίμηση στην άλγεβρα των αριθμών δεν επιτρέπονται κατά τη διάρκεια πράξεων με συμβάντα.
Για παράδειγμα, για πράξεις με συμβάντα, οι σωστές ενέργειες είναι:
Η εσφαλμένη εφαρμογή των ενεργειών κατ' αναλογία με τις αλγεβρικές: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A οδηγεί σε εσφαλμένο αποτέλεσμα (ελέγξτε με τα διαγράμματα Venn!).
Παράδειγμα 1.11. Απόδειξη Ταυτοτήτων
α) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
β) AC_B=AC_BC
α) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
β) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Παράδειγμα 1.12. Το έπαθλο κληρώνεται μεταξύ των δύο φιναλίστ του προγράμματος εκπομπής. Η κλήρωση γίνεται με τη σειρά μέχρι την πρώτη επιτυχημένη προσπάθεια, ο αριθμός των προσπαθειών για κάθε συμμετέχοντα περιορίζεται σε τρεις. Ο πρώτος φιναλίστ ξεκινάει πρώτος. Θεωρούνται τα ακόλουθα γεγονότα: A=(το βραβείο κέρδισε ο πρώτος φιναλίστ); B = (το βραβείο κέρδισε ο δεύτερος φιναλίστ). 1) Συμπληρώστε αυτές τις εκδηλώσεις σε μια πλήρη ομάδα και συνθέστε ένα αξιόπιστο συμβάν για αυτήν. 2) Συνθέστε μια πλήρη ομάδα στοιχειωδών γεγονότων. 3) Να εκφράσετε τα γεγονότα της πρώτης ολοκληρωμένης ομάδας ως προς τα στοιχειώδη. 4) Συνθέστε άλλες πλήρεις ομάδες γεγονότων και καταγράψτε αξιόπιστα συμβάντα μέσω αυτών.
1) Τα γεγονότα Α και Β δεν είναι κοινά, μέχρι την πλήρη ομάδα συμπληρώνονται από ένα μη κοινό γεγονός C=(κανείς δεν κέρδισε το έπαθλο). Ένα συγκεκριμένο γεγονός = (είτε ο πρώτος φιναλίστ, είτε ο δεύτερος, είτε κανείς δεν κερδίζει το βραβείο) ισούται με: = A + B + C.
2) Ας εισαγάγουμε γεγονότα που περιγράφουν το αποτέλεσμα κάθε προσπάθειας για κάθε παίκτη και δεν εξαρτώνται από τις συνθήκες του αγώνα: А i =(ο πρώτος φιναλίστ ολοκλήρωσε επιτυχώς την i-η προσπάθεια), В i =(ο δεύτερος φιναλίστ ολοκλήρωσε επιτυχώς την i-η προσπάθεια), . Αυτές οι εκδηλώσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τις συνθήκες του διαγωνισμού, επομένως δεν είναι στοιχειώδεις σε σχέση με το γεγονός της κατάκτησης ενός βραβείου. Αλλά μέσω αυτών των γεγονότων, χρησιμοποιώντας λειτουργίες σε εκδηλώσεις, μπορείτε να συνθέσετε μια πλήρη ομάδα στοιχειωδών γεγονότων που λαμβάνουν υπόψη τις προϋποθέσεις για τη νίκη στην πρώτη επιτυχημένη προσπάθεια: 1 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε το βραβείο στην πρώτη προσπάθεια), 2 = (ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε το βραβείο στην πρώτη προσπάθεια), 3 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στη δεύτερη προσπάθεια), 4 = (ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στη δεύτερη προσπάθεια), 5 = (ο πρώτος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στην τρίτη προσπάθεια), 6 =(ο δεύτερος φιναλίστ κέρδισε βραβείο στην τρίτη προσπάθεια), 7 =( και οι δύο φιναλίστ απέτυχαν να κερδίσουν το βραβείο σε τρεις προσπάθειες). Σύμφωνα με τους όρους του διαγωνισμού
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Πλήρης ομάδα στοιχειωδών γεγονότων: =( 1 ,…, 7 )
3) Τα γεγονότα Α και Β εκφράζονται μέσω στοιχειωδών γεγονότων χρησιμοποιώντας πράξεις άθροισης, το C συμπίπτει με ένα στοιχειώδες γεγονός:
4) Οι πλήρεις ομάδες εκδηλώσεων αποτελούν επίσης εκδηλώσεις
Οι σχετικές εκδηλώσεις είναι:
=(ο πρώτος φιναλίστ είτε θα κερδίσει το βραβείο είτε όχι)=;
=(Ο δεύτερος φιναλίστ είτε θα κερδίσει το βραβείο είτε όχι)=;
=(βραβείο ή όχι νίκη, ή νίκη)=.
Θα υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πραγματικής εμπειρίας (πείραμα) μπορεί να είναι ένα ή περισσότερα αμοιβαία αποκλειόμενα αποτελέσματα. αυτά τα αποτελέσματα είναι αδιάσπαστα και αλληλοαποκλείονται. Σε αυτή την περίπτωση, το πείραμα λέγεται ότι τελειώνει με ένα και μοναδικό στοιχειώδες αποτέλεσμα.
Το σύνολο όλων των στοιχειωδών γεγονότων που λαμβάνουν χώρα ως αποτέλεσμα τυχαίοςπείραμα, θα καλέσουμε στοιχειώδες χώρο εκδηλώσεων W (ένα στοιχειώδες γεγονός αντιστοιχεί σε ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα).
τυχαία γεγονότα(γεγονότα), θα ονομάσουμε υποσύνολα του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων W .
Παράδειγμα 1Ας γυρίσουμε ένα νόμισμα μια φορά. Ένα νόμισμα μπορεί να πέσει με έναν αριθμό επάνω - ένα στοιχειώδες γεγονός w c (ή w 1), ή ένα εθνόσημο - ένα στοιχειώδες γεγονός w Г (ή w 2). Ο αντίστοιχος χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W αποτελείται από δύο στοιχειώδη συμβάντα:
W \u003d (β γ, β G) ή W \u003d (β 1, β 2).
Παράδειγμα 2. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση ζυγού αριθμού πόντων, ΕΝΑ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), ΕΝΑ W.
Παράδειγμα 3. Ένα σημείο τοποθετείται τυχαία (τυχαία) σε ένα τμήμα. Μετράται η απόσταση ενός σημείου από το αριστερό άκρο του τμήματος. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών σε ένα μοναδιαίο διάστημα.
Πιο συγκεκριμένα, οι τυπικοί όροι, τα στοιχειώδη γεγονότα και ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων περιγράφονται ως εξής.
Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων είναι ένα αυθαίρετο σύνολο W , W =(w ). Τα στοιχεία w αυτού του συνόλου W ονομάζονται στοιχειώδη γεγονότα .
Έννοιες στοιχειώδες γεγονός, γεγονός, χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων, είναι οι αρχικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Είναι αδύνατο να δοθεί μια πιο συγκεκριμένη περιγραφή του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων. Για να περιγραφεί κάθε πραγματικό μοντέλο, επιλέγεται ο αντίστοιχος χώρος W.
Το συμβάν W ονομάζεται αυθεντικόςΕκδήλωση.
Ένα συγκεκριμένο γεγονός δεν μπορεί να μην συμβεί ως αποτέλεσμα ενός πειράματος συμβαίνει πάντα.
Παράδειγμα 4. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Ένα βέβαιο γεγονός είναι ότι ένας αριθμός πόντων έχει πέσει έξω, όχι λιγότεροι από έναν και όχι περισσότεροι από έξι, δηλ. W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία, - ένα αξιόπιστο γεγονός.
Το κενό σύνολο ονομάζεται αδύνατο συμβάν.
Ένα αδύνατο γεγονός δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, αυτό δεν συμβαίνει ποτέ.
Ένα τυχαίο συμβάν μπορεί να συμβεί ή όχι ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, αυτό συμβαίνει μερικές φορές.
Παράδειγμα 5. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Το να περάσεις πάνω από έξι πόντους είναι ένα αδύνατο γεγονός.
Το αντίθετο του γεγονότος ΕΝΑονομάζεται γεγονός, που συνίσταται στο γεγονός ότι το γεγονός ΕΝΑΔεν συνέβη. Συμβολίζεται , .
Παράδειγμα 6. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Εκδήλωση ΕΝΑτότε το γεγονός είναι μονός αριθμός πόντων. Εδώ W = (w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία, ΕΝΑ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), = .
Τα ασύμβατα συμβάντα ονομάζονται συμβάντα
ΕΝΑκαι σι, για το οποίο Α Β = .Παράδειγμα 7. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Εκδήλωση ΕΝΑ- απώλεια ζυγού αριθμού πόντων, γεγονός σι- απώλεια ενός αριθμού πόντων λιγότερο από δύο. Εκδήλωση ΕΝΑσι αποτελείται από τη λήψη ζυγού αριθμού πόντων λιγότερο από δύο. Είναι αδύνατο, ΕΝΑ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), Β=(w 1 ), ΕΝΑΒ = , εκείνοι. εξελίξεις ΕΝΑκαι ΣΙ-ασύμβατες.
άθροισμαεκδηλώσεις ΕΝΑκαι σιονομάζεται ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν σε ένα από τα γεγονότα ΕΝΑή σι.Σημειώνεται Α+ σι.
Παράδειγμα 8. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), όπου το στοιχειώδες γεγονός w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση ζυγού αριθμού πόντων, ΕΝΑ σι Β=(w 5 , w 6 ).
Εκδήλωση Α+ σι = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) είναι ότι είτε ένας ζυγός αριθμός πόντων έχει πέσει έξω, είτε ο αριθμός των πόντων είναι μεγαλύτερος από τέσσερις, δηλ. είτε έχει συμβεί κάποιο γεγονός ΕΝΑ, ή μια εκδήλωση σι.Είναι προφανές ότι Α+ σι W.
δουλειάεκδηλώσεις ΕΝΑκαι σιονομάζεται γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν ταυτόχρονα στα γεγονότα ΕΝΑκαι σι.Σημειώνεται ΑΒ.
Παράδειγμα 9. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = ( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), όπου το στοιχειώδες συμβάν w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση ζυγού αριθμού πόντων, ΕΝΑ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), συμβάν σι- απώλεια αριθμού βαθμών μεγαλύτερο των τεσσάρων, Β=(w 5 , w 6 ).
Εκδήλωση ΕΝΑ σισυνίσταται στο ότι ένας ζυγός αριθμός πόντων, πάνω από τέσσερις, έπεσε έξω, δηλ. συνέβησαν και τα δύο γεγονότα και το συμβάν ΕΝΑκαι εκδήλωση Β, Α σι = (w6) ΕΝΑ σι W.
διαφοράεκδηλώσεις ΕΝΑκαι σιονομάζεται ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν σε ΕΝΑαλλά δεν ανήκει σι.Σημειώνεται A/B.
Παράδειγμα 10. Πέτα ένα ζάρι μια φορά. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση ζυγού αριθμού πόντων, ΕΝΑ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), συμβάν σι- απώλεια αριθμού βαθμών μεγαλύτερο των τεσσάρων, Β=(w 5 , w 6 ). Εκδήλωση ΕΝΑ\ σι = (w 2 ,w 4 ) είναι ότι ένας ζυγός αριθμός πόντων έχει πέσει έξω, που δεν υπερβαίνει τους τέσσερις, δηλ. συνέβη ένα γεγονός ΕΝΑκαι το συμβάν δεν έγινε Β, Α\Β W.
Είναι προφανές ότι
Α+Α=Α, ΑΑ=Α, 
.
Είναι εύκολο να αποδείξουμε τις ισότητες:
, (Α+Β)C=AC+BC.
Οι ορισμοί του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων μεταφέρονται σε άπειρες ακολουθίες γεγονότων:
, ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα, καθένα από τα οποία ανήκει σε τουλάχιστον ένα από τα
, ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα, καθένα από τα οποία ανήκει ταυτόχρονα σε όλα .
Έστω W ένας αυθαίρετος χώρος στοιχειωδών γεγονότων, και - τέτοιος σύνολο τυχαίων γεγονότων για τα οποία ισχύει το εξής: W , AB, A+B και Α\Β αν Α και Β.
Καλείται η αριθμητική συνάρτηση P που ορίζεται στο σύνολο των γεγονότων πιθανότητα,αν : (ΕΝΑ) 0 για οποιοδήποτε ΕΝΑαπό ; (W) = 1;
ονομάζεται Τρόικα χώρο πιθανοτήτων.