Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε τρία διανύσματα. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Διανυσματικό γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, και , που αποτελείται ως εξής:
. Εδώ τα δύο πρώτα διανύσματα πολλαπλασιάζονται διανυσματικά και το αποτέλεσμά τους πολλαπλασιάζεται κλιμακωτά με το τρίτο διάνυσμα. Ένα τέτοιο γινόμενο ονομάζεται διανυσματικό βαθμωτό, ή μικτό, γινόμενο τριών διανυσμάτων. Το μικτό προϊόν είναι κάποιος αριθμός.

Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία της έκφρασης
.

Θεώρημα . Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν αν αυτά τα διανύσματα σχηματίζουν δεξιό τριπλό και με αρνητικό πρόσημο αν σχηματίζουν αριστερό τριπλό.

Απόδειξη..Κατασκευάζουμε ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές είναι τα διανύσματα , , και διάνυσμα
.

Εχουμε:
,
, που - περιοχή του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και ,
για το δεξιό τριπλό των διανυσμάτων και
για την αριστερά, όπου
είναι το ύψος του παραλληλεπίπεδου. Παίρνουμε:
, δηλ.
, που - ο όγκος του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα , και .

Μικτές ιδιότητες προϊόντος

1. Το ανάμεικτο προϊόν δεν αλλάζει πότε κυκλικόςμετάθεση των παραγόντων του, δηλ. .

Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση δεν αλλάζει ούτε ο όγκος του παραλληλεπιπέδου ούτε ο προσανατολισμός των άκρων του.

2. Το μικτό γινόμενο δεν αλλάζει όταν αντιστρέφονται τα πρόσημα του διανυσματικού και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ.
.

Πραγματικά,
και
. Παίρνουμε το ίδιο πρόσημο στη δεξιά πλευρά αυτών των ισοτήτων, αφού οι τριάδες των διανυσμάτων , , και , , - ένας προσανατολισμός.

Συνεπώς,
. Αυτό μας επιτρέπει να γράψουμε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων
όπως και
χωρίς σημάδια διανύσματος, βαθμωτός πολλαπλασιασμός.

3. Το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο όταν οποιαδήποτε δύο διανύσματα παραγόντων αλλάζουν θέσεις, δηλ.
,
,
.

Πράγματι, μια τέτοια μετάθεση είναι ισοδύναμη με μια μετάθεση των παραγόντων στο διανυσματικό γινόμενο, η οποία αλλάζει το πρόσημο του γινομένου.

4. Μικτό προϊόν μη μηδενικών διανυσμάτων , και είναι μηδέν αν και μόνο αν είναι ομοεπίπεδα.

2.12. Υπολογισμός του μικτού προϊόντος σε συντεταγμένη μορφή σε ορθοκανονική βάση

Αφήστε τα διανύσματα
,
,
. Ας βρούμε το μικτό γινόμενο τους χρησιμοποιώντας εκφράσεις σε συντεταγμένες για διανυσματικά και κλιμακωτά γινόμενα:

. (10)

Ο προκύπτων τύπος μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

αφού η δεξιά πλευρά της ισότητας (10) είναι η επέκταση της ορίζουσας τρίτης τάξης ως προς τα στοιχεία της τρίτης σειράς.

Άρα, το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με την ορίζουσα τρίτης τάξης, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των πολλαπλασιασμένων διανυσμάτων.

2.13 Ορισμένες εφαρμογές του μικτού προϊόντος

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων στο χώρο

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων , και με βάση τις ακόλουθες σκέψεις. Αν
, έπειτα , , - δεξιά τρία αν
, έπειτα , , - αριστερά τρία.

Συνθήκη συμβατότητας για διανύσματα

Διανύσματα , και είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν (
,
,
):

φορείς , , ομοεπίπεδη.

Προσδιορισμός των όγκων παραλληλεπίπεδου και τριγωνικής πυραμίδας

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου βασίζεται σε διανύσματα , και υπολογίζεται ως
, και ο όγκος της τριγωνικής πυραμίδας που είναι χτισμένη στα ίδια διανύσματα είναι ίσος με
.

Παράδειγμα 1Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα
,
,
ομοεπίπεδη.

Απόφαση.Ας βρούμε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα
ομοεπίπεδη.

Παράδειγμα 2Δίνονται οι κορυφές ενός τετραέδρου: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Να βρείτε το μήκος του ύψους του που έπεσε από την κορυφή .

Απόφαση.Ας βρούμε πρώτα τον όγκο του τετραέδρου
. Σύμφωνα με τον τύπο παίρνουμε:

Δεδομένου ότι η ορίζουσα είναι αρνητικός αριθμός, σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πάρετε ένα σύμβολο μείον πριν από τον τύπο. Συνεπώς,
.

Η επιθυμητή τιμή ηκαθορίστε από τον τύπο
, που μικρό - περιοχή βάσης. Ας προσδιορίσουμε την περιοχή μικρό:

που

Επειδή η

Αντικατάσταση στη φόρμουλα
αξίες
και
, παίρνουμε η= 3.

Παράδειγμα 3Να σχηματιστούν διανύσματα
βάση στο διάστημα; Διάνυσμα αποσύνθεσης
με βάση τα διανύσματα .

Απόφαση.Εάν τα διανύσματα αποτελούν βάση στο χώρο, τότε δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. είναι μη ομοεπίπεδες. Βρείτε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων
:
,

Επομένως, τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα και αποτελούν βάση στο χώρο. Εάν τα διανύσματα αποτελούν μια βάση στο χώρο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης, δηλαδή
,που
διανυσματικές συντεταγμένες σε διανυσματική βάση
. Ας βρούμε αυτές τις συντεταγμένες συντάσσοντας και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων

Λύνοντάς το με τη μέθοδο Gauss, έχουμε

Από εδώ
. Επειτα .

Ετσι,
.

Παράδειγμα 4Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία:
,
,
,
. Υπολογίζω:

α) περιοχή του προσώπου
;

β) τον όγκο της πυραμίδας
;

γ) διανυσματική προβολή
προς την κατεύθυνση του διανύσματος
;

δ) γωνία
;

ε) ελέγξτε ότι τα διανύσματα
,
,
ομοεπίπεδη.

Απόφαση

α) Από τον ορισμό του διασταυρούμενου προϊόντος, είναι γνωστό ότι:

Εύρεση διανυσμάτων
και
, χρησιμοποιώντας τον τύπο

,
.

Για διανύσματα που ορίζονται από τις προβολές τους, το γινόμενο του διανύσματος βρίσκεται από τον τύπο

, που
.

Για την περίπτωσή μας

Βρίσκουμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας τον τύπο

,
.

και μετά
(τετρ. μονάδες).

β) Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται στα διανύσματα , , όπως στα πλευρά.

Το μικτό προϊόν υπολογίζεται με τον τύπο:

Ας βρούμε τα διανύσματα
,
,
, που συμπίπτει με τις άκρες της πυραμίδας, συγκλίνοντας προς την κορυφή :

Το μικτό γινόμενο αυτών των φορέων

Δεδομένου ότι ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το μέρος του όγκου του παραλληλεπίπεδου που είναι χτισμένο στα διανύσματα
,
,
, έπειτα
(κυβικές μονάδες).

γ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο
, που ορίζει το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων , , μπορεί να γραφτεί ως εξής:

που
ή
;

ή
.

Να βρείτε την προβολή του διανύσματος
προς την κατεύθυνση του διανύσματος
βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων
,
, και στη συνέχεια εφαρμόζοντας τον τύπο

παίρνουμε

δ) Να βρεθεί η γωνία
ορίζουν διανύσματα
,
, έχοντας κοινή καταγωγή στο σημείο :

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο του κλιμακωτού προϊόντος

ε) Με σειρά για τα τρία διανύσματα

,
,

είναι ομοεπίπεδα, είναι απαραίτητο και επαρκές το μικτό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Στην περίπτωσή μας έχουμε
.

Επομένως, τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Για τα διανύσματα , και , δίνονται από τις συντεταγμένες τους , το μικτό γινόμενο υπολογίζεται με τον τύπο: .

Χρησιμοποιείται μικτό προϊόν: 1) να υπολογίσετε τους όγκους ενός τετραέδρου και ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου σε διανύσματα , και , όπως στις ακμές, σύμφωνα με τον τύπο: ; 2) ως προϋπόθεση για τη συμβατότητα των διανυσμάτων , και : και είναι ομοεπίπεδα.

Θέμα 5. Ευθείες γραμμές και αεροπλάνα.

Κανονική γραμμή διάνυσμα , καλείται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία , καλείται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στη δεδομένη ευθεία.

Ευθεία στην επιφάνεια

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

3) κανονική εξίσωση );

5) - εξισώσεις γραμμής με κλίση , πού είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή; () - η γωνία που κάνει η γραμμή με τον άξονα. - το μήκος του τμήματος (με το πρόσημο ) που αποκόπτεται από μια ευθεία γραμμή στον άξονα (σύμβολο " " εάν το τμήμα αποκόπτεται στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό μέρος).

6) - ευθύγραμμη εξίσωση σε περικοπές, όπου και είναι τα μήκη των τμημάτων (με το πρόσημο ) αποκόπτονται από μια ευθεία γραμμή στους άξονες συντεταγμένων και (το πρόσημο " " αν το τμήμα αποκόπτεται στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό ).

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από τη γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία , ( )ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και , που δίνονται από γενικές εξισώσεις ή εξισώσεις με κλίση, βρίσκεται με έναν από τους ακόλουθους τύπους:

Εγώ για .

Εγώ για

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή .

Το κανονικό διάνυσμα του αεροπλάνου , ονομάζεται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο επίπεδο.

Επίπεδο στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση επίπεδο, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.

2) - την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο που είναι κάθετο στο δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία και .

4) - επίπεδο εξίσωση σε περικοπές, όπου , και είναι τα μήκη των τμημάτων (με το πρόσημο ) που αποκόπτονται από το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων και (το πρόσημο " " αν το τμήμα είναι αποκομμένο στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό ένας).

Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση , βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία ,( )μεταξύ αεροπλάνων και , που δίνονται με γενικές εξισώσεις, βρίσκεται με τον τύπο:

Ευθεία στο διάστημα στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση μια ευθεία γραμμή, ως οι γραμμές τομής δύο επιπέδων, όπου και είναι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων και·

2) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

3) - εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

4) - εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα, ( παραμετρική εξίσωση );

Γωνία , ( ) ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και στο διάστημα , που δίνεται με κανονικές εξισώσεις, βρίσκεται με τον τύπο:

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας , που δίνεται από την παραμετρική εξίσωση και αεροπλάνο , που δίνονται από τη γενική εξίσωση, βρίσκονται ως λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: .

Γωνία , ( ) μεταξύ της γραμμής , που δίνεται από την κανονική εξίσωση και αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση βρίσκεται με τον τύπο: .

Θέμα 6. Καμπύλες δεύτερης τάξης.

Αλγεβρική καμπύλη δεύτερης τάξηςστο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται καμπύλη, γενική εξίσωση που μοιάζει με:

όπου οι αριθμοί - δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα. Υπάρχει η ακόλουθη ταξινόμηση καμπυλών δεύτερης τάξης: 1) αν , τότε η γενική εξίσωση ορίζει την καμπύλη ελλειπτικού τύπου (κύκλος (για ), έλλειψη (για ), κενό σύνολο, σημείο); 2) αν , τότε - καμπύλη υπερβολικού τύπου (υπέρβολα, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών). 3) αν , τότε - καμπύλη παραβολικού τύπου(παραβολή, κενό σύνολο, γραμμή, ζεύγος παράλληλων γραμμών). Κύκλος, έλλειψη, υπερβολή και παραβολή ονομάζονται μη εκφυλισμένες καμπύλες δεύτερης τάξης.

Η γενική εξίσωση , όπου , η οποία ορίζει μια μη εκφυλισμένη καμπύλη (κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή), μπορεί πάντα (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής πλήρων τετραγώνων) να αναχθεί σε μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1α) -εξίσωση κύκλου με κέντρο σε σημείο και ακτίνα (Εικ. 5).

1β)- την εξίσωση μιας έλλειψης με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες μιας έλλειψης το κύριο ορθογώνιο της έλλειψης. οι κορυφές της έλλειψης .

Για να δημιουργήσετε μια έλλειψη στο σύστημα συντεταγμένων: 1) σημειώστε το κέντρο της έλλειψης. 2) σχεδιάζουμε μέσω του κέντρου με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της έλλειψης. 3) χτίζουμε το κύριο ορθογώνιο μιας έλλειψης με διακεκομμένη γραμμή με κέντρο και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας. 4) σχεδιάζουμε μια έλλειψη με μια συμπαγή γραμμή, εγγράφοντας την στο κύριο ορθογώνιο έτσι ώστε η έλλειψη να αγγίζει τις πλευρές της μόνο στις κορυφές της έλλειψης (Εικ. 6).

Ομοίως, κατασκευάζεται ένας κύκλος, του οποίου το κύριο ορθογώνιο έχει πλευρές (Εικ. 5).

Εικ.5 Εικ.6

2) - εξισώσεις υπερβολών (ονομάζονται κλίνω) με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες υπερβολών ; ένα ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας και κεντραρισμένες σε ένα σημείο - το κύριο ορθογώνιο των υπερβολών. σημεία τομής του κύριου ορθογωνίου με τους άξονες συμμετρίας - κορυφές υπερβολών. ευθείες γραμμές που διέρχονται από αντίθετες κορυφές του κύριου ορθογωνίου - ασύμπτωτες υπερβολών .

Για να δημιουργήσετε μια υπερβολή στο σύστημα συντεταγμένων: 1) Σημειώστε το κέντρο της υπερβολής. 2) σχεδιάζουμε μέσα από το κέντρο με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της υπερβολής. 3) Κατασκευάζουμε το κύριο ορθογώνιο μιας υπερβολής με διακεκομμένη γραμμή με κέντρο και πλευρές και παράλληλες με τους άξονες συμμετρίας. 4) σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές μέσω των απέναντι κορυφών του κύριου ορθογωνίου με μια διακεκομμένη γραμμή, οι οποίες είναι ασύμπτωτες της υπερβολής, στην οποία οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν επ' αόριστον, σε άπειρη απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων, χωρίς να τις διασχίζουν. 5) απεικονίζουμε τους κλάδους μιας υπερβολής (Εικ. 7) ή υπερβολής (Εικ. 8) με συνεχή γραμμή.

Εικ.7 Εικ.8

3α)- η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 9).

3β)- η εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 10).

Για να δημιουργήσετε μια παραβολή στο σύστημα συντεταγμένων: 1) σημειώστε την κορυφή της παραβολής. 2) σχεδιάζουμε μέσα από την κορυφή με μια διακεκομμένη γραμμή τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. 3) απεικονίζουμε μια παραβολή με συμπαγή γραμμή, κατευθύνοντας τον κλάδο της, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της παραμέτρου της παραβολής: at - στη θετική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων παράλληλο προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (Εικ. 9α και 10α). στο - στην αρνητική πλευρά του άξονα συντεταγμένων (Εικ. 9b και 10b) .

Ρύζι. 9α Εικ. 9β

Ρύζι. 10α Εικ. 10β

Θέμα 7. Σκηνικά. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργία.

Υπό Πολλά κατανοούν ένα ορισμένο σύνολο αντικειμένων οποιασδήποτε φύσης, διακριτά μεταξύ τους και νοητά ως ενιαίο σύνολο. Το ονομάζουν τα αντικείμενα που συνθέτουν ένα σύνολο στοιχεία . Ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρο (αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων), πεπερασμένο (αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων), κενό (δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο). Τα σύνολα συμβολίζονται με , και τα στοιχεία τους με . Το κενό σύνολο συμβολίζεται με .

Ορισμός κλήσης υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν . Σετ και κάλεσε ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Ορισμός κλήσης Παγκόσμιος (στο πλαίσιο αυτής της μαθηματικής θεωρίας) , αν τα στοιχεία του είναι όλα τα αντικείμενα που εξετάζονται σε αυτή τη θεωρία.

Πολλά μπορούν να ρυθμιστούν: 1) απαρίθμηση όλων των στοιχείων του, για παράδειγμα: (μόνο για πεπερασμένα σύνολα). 2) θέτοντας έναν κανόνα για τον προσδιορισμό του εάν ένα στοιχείο ενός καθολικού συνόλου ανήκει σε ένα δεδομένο σύνολο : .

Σχέση

διάβαση θέτει και ονομάζεται σύνολο

διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σετ (μέχρι ένα καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

Τα δύο σετ και καλούνται ισοδύναμος και γράψτε ~ εάν μπορεί να δημιουργηθεί αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων αυτών των συνόλων. Το σετ λέγεται αριθμητός , αν είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών : ~ . Το κενό σύνολο είναι, εξ ορισμού, μετρήσιμο.

Η έννοια της καρδιναικότητας ενός συνόλου προκύπτει όταν τα σύνολα συγκρίνονται με τον αριθμό των στοιχείων που περιέχουν. Η καρδινικότητα του συνόλου συμβολίζεται με . Η καρδινικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του.

Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν την ίδια καρδινάτητα. Το σετ λέγεται αμέτρητος αν η καρδινάλισή του είναι μεγαλύτερη από την καρδινικότητα του συνόλου .

Εγκυρος (πραγματικός) αριθμός ονομάζεται άπειρο δεκαδικό κλάσμα, που λαμβάνεται με το πρόσημο "+" ή "". Οι πραγματικοί αριθμοί προσδιορίζονται με σημεία στην αριθμογραμμή. μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί.Αριθμητικός κατά διαστήματα τα σύνολα αριθμών ονομάζονται: , , , , , , , , .

Το σύνολο όλων των σημείων στην αριθμητική γραμμή που ικανοποιούν την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μικρός αριθμός, λέγεται -γειτονιά (ή απλώς μια γειτονιά) ενός σημείου και συμβολίζεται με . Το σύνολο όλων των σημείων από την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός, ονομάζεται - γειτονιά (ή απλώς μια γειτονιά) του άπειρου και συμβολίζεται με .

Μια ποσότητα που διατηρεί την ίδια αριθμητική τιμή ονομάζεται συνεχής. Μια ποσότητα που παίρνει διαφορετικές αριθμητικές τιμές ονομάζεται μεταβλητός. Λειτουργία καλείται ο κανόνας, σύμφωνα με τον οποίο σε κάθε αριθμό εκχωρείται ένας καλά καθορισμένος αριθμός και γράφουν. Το σετ λέγεται τομέα ορισμού λειτουργίες, - Πολλά (ή περιοχή ) αξίες λειτουργίες, - διαφωνία , - τιμή συνάρτησης . Ο πιο συνηθισμένος τρόπος καθορισμού μιας συνάρτησης είναι η αναλυτική μέθοδος, στην οποία η συνάρτηση δίνεται με έναν τύπο. φυσικό πεδίο συνάρτηση είναι το σύνολο των τιμών του ορίσματος για το οποίο έχει νόημα αυτός ο τύπος. Γράφημα συνάρτησης , σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων , είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες , .

Η συνάρτηση καλείται ακόμη και στο σύνολο , συμμετρικό ως προς το σημείο , εάν η ακόλουθη συνθήκη ικανοποιείται για όλους: και Περιττός εάν πληρούται η προϋπόθεση. Διαφορετικά, μια γενική συνάρτηση ή ούτε ζυγός ούτε περιττός .

Η συνάρτηση καλείται περιοδικός στο σετ αν υπάρχει αριθμός ( περίοδο λειτουργίας ) έτσι ώστε να ικανοποιείται για όλους η ακόλουθη προϋπόθεση: . Ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται κύρια περίοδος.

Η συνάρτηση καλείται μονότονα αυξανόμενη (φθίνουσα ) στο σύνολο εάν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης .

Η συνάρτηση καλείται περιορισμένος στο σετ , εάν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη για όλα : . Διαφορετικά, η λειτουργία είναι απεριόριστος .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ για να λειτουργήσει , , μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται , η οποία ορίζεται στο σύνολο και στο καθένα

Ταιριάζει τέτοια που . Για να βρείτε τη συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης , πρέπει να λύσετε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αυξάνεται (μειώνεται) και η αντίστροφη συνάρτηση.

Μια συνάρτηση που αναπαρίσταται ως , όπου είναι μερικές συναρτήσεις τέτοιες που ο τομέας του ορισμού συνάρτησης περιέχει ολόκληρο το σύνολο τιμών της συνάρτησης , ονομάζεται σύνθετη λειτουργία ανεξάρτητο επιχείρημα. Η μεταβλητή ονομάζεται ενδιάμεσο όρισμα. Μια σύνθετη συνάρτηση ονομάζεται επίσης σύνθεση συναρτήσεων και , και γράφεται: .

Βασικό δημοτικό οι λειτουργίες είναι: εξουσία λειτουργία , επίδειξη λειτουργία ( , ), λογαριθμική λειτουργία ( , ), τριγωνομετρική λειτουργίες , , , , αντίστροφη τριγωνομετρική λειτουργίες , , , . Στοιχειώδης ονομάζεται συνάρτηση που προκύπτει από βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις με πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων και συνθέσεων τους.

Εάν δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε η κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ανάγεται σε μια σειρά μετασχηματισμών (μετατόπιση, συμπίεση ή τέντωμα, εμφάνιση) του γραφήματος:

1) 2) ο μετασχηματισμός εμφανίζει το γράφημα συμμετρικά ως προς τον άξονα. 3) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - προς τα δεξιά, - προς τα αριστερά). 4) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - πάνω, - κάτω). 5) το γράφημα μετασχηματισμού κατά μήκος του άξονα εκτείνεται σε χρόνους, εάν ή συμπιέζει σε χρόνους, εάν ; 6) μετασχηματίζοντας το γράφημα κατά μήκος του άξονα συμπιέζει κατά έναν παράγοντα αν ή εκτείνεται κατά έναν παράγοντα εάν .

Η ακολουθία μετασχηματισμών κατά τη σχεδίαση ενός γραφήματος συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως:

Σημείωση. Κατά την εκτέλεση ενός μετασχηματισμού, να έχετε κατά νου ότι το μέγεθος της μετατόπισης κατά μήκος του άξονα καθορίζεται από τη σταθερά που προστίθεται απευθείας στο όρισμα και όχι στο όρισμα.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο , της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν . Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής-κλασματικής συνάρτησης είναι μια υπερβολή με κέντρο το σημείο , της οποίας οι ασύμπτωτες διέρχονται από το κέντρο, παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων. , ικανοποιώντας την προϋπόθεση. που ονομάζεται.

Για διανύσματα , και , που δίνονται με συντεταγμένες , , το μικτό γινόμενο υπολογίζεται με τον τύπο: .

Θέμα 5. Γραμμές στο αεροπλάνο.

Ευθεία στην επιφάνεια στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

4) - εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από τη γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Εγώ για .

Εγώ για

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή .

Θέμα 10. Σκηνικά. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργίες.

Ορισμός κλήσης υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν .

Σετ και κάλεσε ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Σχέση

διάβαση θέτει και ονομάζεται σύνολο

διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σετ (μέχρι ένα καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί. Αριθμητικός κατά διαστήματα ονομάζονται σύνολα

αριθμοί: , , , , , , , , , .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ για να λειτουργήσει , , είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο και εκχωρεί σε καθένα τέτοια ώστε . Για να βρείτε τη συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης , πρέπει να λύσετε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αυξάνεται (μειώνεται) και η αντίστροφη συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο , της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν κατασκευάζουμε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, είναι σκόπιμο να διαιρέσουμε το πεδίο ορισμού της σε πολλά διαστήματα που δεν τέμνονται και να δημιουργήσουμε διαδοχικά ένα γράφημα σε καθένα από αυτά.

Οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών καλείται κουκκιδοσδιάστατη αριθμητική (συντεταγμένη) χώρος και συμβολίζεται ή , ενώ οι αριθμοί ονομάζονται του συντεταγμένες .

Αφήνω και είναι μερικά σύνολα σημείων και . Εάν σε κάθε σημείο εκχωρηθεί, σύμφωνα με κάποιον κανόνα, ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός, τότε λένε ότι μια αριθμητική συνάρτηση μεταβλητών δίνεται στο σύνολο και γράφουν ή εν συντομία και, ενώ καλούνται τομέα ορισμού , - σύνολο αξιών , - επιχειρήματα (ανεξάρτητες μεταβλητές) συναρτήσεις.

Συχνά υποδηλώνεται μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, μια συνάρτηση τριών μεταβλητών -. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο, οι συναρτήσεις είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο χώρο.

Θέμα 7. Αριθμητικές ακολουθίες και σειρές. Όριο ακολουθίας. Όριο συνάρτησης και συνέχεια.

Εάν, σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, κάθε φυσικός αριθμός συνδέεται με έναν καλά καθορισμένο πραγματικό αριθμό, τότε το λένε αυτό αριθμητική ακολουθία . Σημειώστε συνοπτικά. Ο αριθμός καλείται κοινό μέλος της ακολουθίας . Μια ακολουθία ονομάζεται επίσης συνάρτηση φυσικού ορίσματος. Μια ακολουθία περιέχει πάντα έναν άπειρο αριθμό στοιχείων, μερικά από τα οποία μπορεί να είναι ίσα.

Ο αριθμός καλείται όριο ακολουθίας , και γράψτε αν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε η ανίσωση να ικανοποιείται για όλους .

Μια ακολουθία που έχει πεπερασμένο όριο ονομάζεται συγκλίνουσα , σε διαφορετική περίπτωση - αποκλίνων .

: 1) φθίνουσα , αν ; 2) αυξανόμενη , αν ; 3) μη φθίνουσα , αν ; 4) μη αυξανόμενη , αν . Όλες οι παραπάνω ακολουθίες καλούνται μονότονος .

Η ακολουθία ονομάζεται περιορισμένος , εάν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη για όλους: . Διαφορετικά, η σειρά είναι απεριόριστος .

Κάθε μονότονη οριοθετημένη ακολουθία έχει ένα όριο ( Θεώρημα Weierstrass).

Η ακολουθία ονομάζεται απειροελάχιστος , αν . Η ακολουθία ονομάζεται απείρως μεγάλο (συγκλίνοντας στο άπειρο) αν .

αριθμός ονομάζεται όριο της ακολουθίας, όπου

Η σταθερά ονομάζεται μη ομότιμος αριθμός. Ο βασικός λογάριθμος ενός αριθμού ονομάζεται φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού και συμβολίζεται .

Μια έκφραση της μορφής , όπου είναι μια ακολουθία αριθμών, ονομάζεται αριθμητική σειρά και σημειώνονται. Το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς ονομάζεται το μερικό άθροισμα σειρά.

Η σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα αν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο και αποκλίνων αν δεν υπάρχει το όριο. Ο αριθμός καλείται το άθροισμα μιας συγκλίνουσας σειράς , ενώ γράφω.

Αν η σειρά συγκλίνει, τότε (απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς ) . Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια.

Αν , τότε η σειρά αποκλίνει ( επαρκές κριτήριο για την απόκλιση της σειράς ).

Γενικευμένες αρμονικές σειρέςονομάζεται σειρά που συγκλίνει στο και αποκλίνει στο .

Γεωμετρική σειρά καλούμε μια σειρά που συγκλίνει στο , ενώ το άθροισμά της είναι ίσο και αποκλίνει στο . βρείτε έναν αριθμό ή ένα σύμβολο. (αριστερή ημιγειτονιά, δεξιά ημιγειτονιά) και