§ 1 Επιλογή ριζών εξίσωσης σε πραγματικές καταστάσεις

Ας εξετάσουμε αυτή την πραγματική κατάσταση:

Ο πλοίαρχος και ο μαθητευόμενος έφτιαξαν μαζί 400 προσαρμοσμένα εξαρτήματα. Επιπλέον, ο πλοίαρχος εργάστηκε για 3 ημέρες και ο μαθητής για 2 ημέρες. Πόσα μέρη έκανε κάθε άτομο;

Ας δημιουργήσουμε ένα αλγεβρικό μοντέλο αυτής της κατάστασης. Αφήστε τον κύριο να παράγει εξαρτήματα σε 1 ημέρα. Και ο μαθητής είναι στις λεπτομέρειες. Στη συνέχεια, ο πλοίαρχος θα κάνει 3 μέρη σε 3 ημέρες και ο μαθητής θα κάνει 2 μέρη σε 2 ημέρες. Μαζί θα παράγουν 3 + 2 μέρη. Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες, κατασκευάστηκαν συνολικά 400 εξαρτήματα, παίρνουμε την εξίσωση:

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές. Εδώ πρέπει να βρούμε ένα ζεύγος αριθμών x και y για τους οποίους η εξίσωση θα έχει τη μορφή πραγματικής αριθμητικής ισότητας. Σημειώστε ότι αν x = 90, y = 65, τότε παίρνουμε την ισότητα:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Εφόσον έχει ληφθεί η σωστή αριθμητική ισότητα, το ζεύγος των αριθμών 90 και 65 θα είναι μια λύση σε αυτήν την εξίσωση. Όμως η λύση που βρέθηκε δεν είναι η μόνη. Αν x = 96 και y = 56, τότε παίρνουμε την ισότητα:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Αυτή είναι επίσης μια αληθινή αριθμητική ισότητα, που σημαίνει ότι το ζεύγος των αριθμών 96 και 56 είναι επίσης μια λύση σε αυτήν την εξίσωση. Αλλά ένα ζεύγος αριθμών x = 73 και y = 23 δεν θα είναι λύση σε αυτήν την εξίσωση. Στην πραγματικότητα, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 θα μας δώσει τη λανθασμένη αριθμητική ισότητα 265 = 400. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αν θεωρήσουμε την εξίσωση σε σχέση με αυτήν την πραγματική κατάσταση, τότε θα υπάρχουν ζεύγη αριθμών που, όντας μια λύση σε αυτή την εξίσωση, δεν θα είναι λύση στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, μερικοί αριθμοί:

x = 200 και y = -100

είναι μια λύση της εξίσωσης, αλλά ο μαθητής δεν μπορεί να κάνει -100 μέρη, και επομένως ένα τέτοιο ζεύγος αριθμών δεν μπορεί να είναι η απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος. Έτσι, σε κάθε συγκεκριμένη πραγματική κατάσταση είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε μια λογική προσέγγιση για την επιλογή των ριζών της εξίσωσης.

Ας συνοψίσουμε τα πρώτα αποτελέσματα:

Μια εξίσωση της μορφής ax + bу + c = 0, όπου a, b, c είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.

Η λύση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος αριθμών που αντιστοιχεί σε x και y, για τους οποίους η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ισότητα.

§ 2 Γράφημα γραμμικής εξίσωσης

Η ίδια η καταγραφή του ζεύγους (x;y) μας οδηγεί να σκεφτούμε τη δυνατότητα να το απεικονίσουμε ως σημείο με συντεταγμένες xy y σε ένα επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να αποκτήσουμε ένα γεωμετρικό μοντέλο μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη την εξίσωση:

2x + y - 4 = 0

Ας επιλέξουμε πολλά ζεύγη αριθμών που θα είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης και ας κατασκευάσουμε σημεία με τις συντεταγμένες που βρέθηκαν. Ας είναι αυτά σημεία:

Α(0; 4), Β(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), Ε(-1; 6).

Σημειώστε ότι όλα τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτή η γραμμή ονομάζεται γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές. Είναι ένα γραφικό (ή γεωμετρικό) μοντέλο μιας δεδομένης εξίσωσης.

Αν ένα ζεύγος αριθμών (x;y) είναι λύση της εξίσωσης

ax + vy + c = 0, τότε το σημείο M(x;y) ανήκει στη γραφική παράσταση της εξίσωσης. Μπορούμε να πούμε και το αντίστροφο: αν το σημείο M(x;y) ανήκει στη γραφική παράσταση της εξίσωσης ax + y + c = 0, τότε το ζεύγος των αριθμών (x;y) είναι λύση αυτής της εξίσωσης.

Από το μάθημα της γεωμετρίας γνωρίζουμε:

Για να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, χρειάζεστε 2 σημεία, επομένως για να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές, αρκεί να γνωρίζετε μόνο 2 ζεύγη λύσεων. Αλλά το να μαντέψετε τις ρίζες δεν είναι πάντα μια βολική ή λογική διαδικασία. Μπορείτε να ενεργήσετε σύμφωνα με έναν άλλο κανόνα. Δεδομένου ότι η τετμημένη ενός σημείου (μεταβλητή x) είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μπορείτε να της δώσετε οποιαδήποτε βολική τιμή. Αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό στην εξίσωση, βρίσκουμε την τιμή της μεταβλητής y.

Για παράδειγμα, ας δοθεί η εξίσωση:

Έστω x = 0, τότε παίρνουμε 0 - y + 1 = 0 ή y = 1. Αυτό σημαίνει ότι αν x = 0, τότε y = 1. Ένα ζεύγος αριθμών (0;1) είναι η λύση αυτής της εξίσωσης. Ας ορίσουμε μια άλλη τιμή για τη μεταβλητή x: x = 2. Τότε παίρνουμε 2 - y + 1 = 0 ή y = 3. Το ζεύγος των αριθμών (2;3) είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης. Χρησιμοποιώντας τα δύο σημεία που βρέθηκαν, είναι ήδη δυνατό να κατασκευαστεί μια γραφική παράσταση της εξίσωσης x - y + 1 = 0.

Μπορείτε να το κάνετε αυτό: πρώτα δώστε λίγο συγκεκριμένο νόημαμεταβλητή y και μόνο τότε υπολογίστε την τιμή του x.

§ 3 Σύστημα εξισώσεων

Βρείτε δύο φυσικούς αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι 11 και η διαφορά είναι 1.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, δημιουργούμε πρώτα ένα μαθηματικό μοντέλο (δηλαδή, ένα αλγεβρικό). Έστω ο πρώτος αριθμός x και ο δεύτερος αριθμός y. Τότε το άθροισμα των αριθμών x + y = 11 και η διαφορά των αριθμών x - y = 1. Εφόσον και οι δύο εξισώσεις αφορούν τους ίδιους αριθμούς, αυτές οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Συνήθως σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ειδική εγγραφή. Οι εξισώσεις γράφονται η μία κάτω από την άλλη και συνδυάζονται με ένα σγουρό στήριγμα.

Μια τέτοια εγγραφή ονομάζεται σύστημα εξισώσεων.

Τώρα ας κατασκευάσουμε σύνολα λύσεων σε κάθε εξίσωση, δηλ. γραφήματα καθεμιάς από τις εξισώσεις. Ας πάρουμε την πρώτη εξίσωση:

Αν x = 4, τότε y = 7. Αν x = 9, τότε y = 2.

Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή στα σημεία (4;7) και (9;2).

Ας πάρουμε τη δεύτερη εξίσωση x - y = 1. Αν x = 5, τότε y = 4. Αν x = 7, τότε y = 6. Τραβάμε επίσης μια ευθεία γραμμή στα σημεία (5;4) και (7;6 ). Αποκτήσαμε ένα γεωμετρικό μοντέλο του προβλήματος. Το ζεύγος των αριθμών που μας ενδιαφέρει (x;y) πρέπει να είναι λύση και στις δύο εξισώσεις. Στο σχήμα που βλέπουμε το μόνο σημείο, που βρίσκεται και στις δύο ευθείες, είναι το σημείο τομής των γραμμών.

Οι συντεταγμένες του είναι (6;5). Επομένως, η λύση στο πρόβλημα θα είναι: ο πρώτος απαιτούμενος αριθμός είναι 6, ο δεύτερος είναι 5.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 1, Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης / A.G. Μόρντκοβιτς. – 10η έκδ., αναθεωρημένη – Μόσχα, «Mnemosyne», 2007
Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 2, Βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [A.G. Mordkovich και άλλοι]; επιμέλεια A.G. Mordkovich - 10η έκδοση, αναθεωρημένη - Μόσχα, "Mnemosyne", 2007
ΑΥΤΗΝ. Tulchinskaya, Άλγεβρα 7η τάξη. Έρευνα Blitz: εγχειρίδιο για φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, 4η έκδοση, αναθεωρημένη και διευρυμένη, Μόσχα, «Mnemosyne», 2008
Alexandrova L.A., Άλγεβρα 7η τάξη. Θεματικός δοκιμαστική εργασία V νέα μορφήγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich, Μόσχα, «Mnemosyne», 2011
Alexandrova L.A. Άλγεβρα 7η τάξη. Ανεξάρτητη εργασίαγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich - 6η έκδοση, στερεότυπα, Μόσχα, «Mnemosyne», 2010

Ισότητα f(x; y) = 0αντιπροσωπεύει μια εξίσωση με δύο μεταβλητές. Η λύση σε μια τέτοια εξίσωση είναι ένα ζεύγος μεταβλητών τιμών που μετατρέπει την εξίσωση με δύο μεταβλητές σε πραγματική ισότητα.

Εάν έχουμε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές, τότε, κατά παράδοση, πρέπει να βάλουμε το x στην πρώτη θέση και το y στη δεύτερη θέση.

Θεωρήστε την εξίσωση x – 3y = 10. Τα ζεύγη (10; 0), (16; 2), (-2; -4) είναι λύσεις της εξίσωσης που εξετάζουμε, ενώ το ζεύγος (1; 5) δεν είναι λύση.

Για να βρούμε άλλα ζεύγη λύσεων σε αυτήν την εξίσωση, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε μια μεταβλητή ως προς μια άλλη - για παράδειγμα, x ως y. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την εξίσωση
x = 10 + 3y. Ας υπολογίσουμε τις τιμές του x επιλέγοντας αυθαίρετες τιμές του y.

Αν y = 7, τότε x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Αν y = -2, τότε x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

Έτσι, τα ζεύγη (31; 7), (4; -2) είναι επίσης λύσεις στη δεδομένη εξίσωση.

Εάν οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες.

Για εξισώσεις με δύο μεταβλητές, ισχύουν θεωρήματα για ισοδύναμους μετασχηματισμούς εξισώσεων.

Θεωρήστε τη γραφική παράσταση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές.

Έστω μια εξίσωση με δύο μεταβλητές f(x; y) = 0 Όλες οι λύσεις της μπορούν να παρασταθούν με σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων, λαμβάνοντας ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο. Αυτό το σύνολο σημείων στο επίπεδο ονομάζεται γραφική παράσταση της εξίσωσης f(x; y) = 0.

Έτσι, η γραφική παράσταση της εξίσωσης y – x 2 = 0 είναι η παραβολή y = x 2; η γραφική παράσταση της εξίσωσης y – x = 0 είναι ευθεία γραμμή. η γραφική παράσταση της εξίσωσης y – 3 = 0 είναι ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x κ.λπ.

Μια εξίσωση της μορφής ax + by = c, όπου x και y είναι μεταβλητές και a, b και c είναι αριθμοί, ονομάζεται γραμμική. οι αριθμοί a, b λέγονται συντελεστές των μεταβλητών, c είναι ο ελεύθερος όρος.

Η γραφική παράσταση της γραμμικής εξίσωσης ax + by = c είναι:

Ας σχηματίσουμε την εξίσωση 2x – 3y = -6.

1. Επειδή κανένας από τους συντελεστές των μεταβλητών δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε το γράφημα αυτής της εξίσωσης θα είναι ευθεία γραμμή.

2. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, πρέπει να γνωρίζουμε τουλάχιστον δύο σημεία της. Αντικαταστήστε τις τιμές x στις εξισώσεις και λάβετε τις τιμές y και αντίστροφα:

αν x = 0, τότε y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

αν y = 0, τότε x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Έτσι, πήραμε δύο σημεία στο γράφημα: (0; 2) και (-3; 0).

3. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή στα σημεία που λήφθηκαν και ας πάρουμε μια γραφική παράσταση της εξίσωσης
2x – 3y = -6.

Εάν η γραμμική εξίσωση ax + by = c έχει τη μορφή 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, τότε πρέπει να εξετάσουμε δύο περιπτώσεις:

1. c = 0. Στην περίπτωση αυτή, οποιοδήποτε ζεύγος (x; y) ικανοποιεί την εξίσωση, και επομένως η γραφική παράσταση της εξίσωσης είναι ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων.

2. c ≠ 0. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της δεν περιέχει ούτε ένα σημείο.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Οδηγίες

Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς «x» στο δεξιά πλευράκαι υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4, λοιπόν, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Οι άγνωστοι βρέθηκαν σωστά!

Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές

Εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει με διαφορετικούς τρόπους.

θα χρειαστείτε

- γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
- δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες συνθήκες.

Οδηγίες

Αν δοθεί ένα σύστημα δύο γραμμικές εξισώσεις, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μία από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.

Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο ευθείες γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.

Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Από μόνη της εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.

θα χρειαστείτε

- ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Οδηγίες

Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε κάποιες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.

Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε το πιθανότατα, η μετέπειτα λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.

Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.

Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Πηγές:

λύσεις εξισώσεων με τρεις αγνώστους

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Όσο πιο περίπλοκο είναι το σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι η επίλυσή του. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά γυμνάσιοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.

Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Στην πρώτη παράσταση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλη στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ο ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός σε πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Διτετραγωνικό εξίσωσηαντιπροσωπεύει εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική άποψηπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηΤο x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.

Οδηγίες

Λύστε το τετραγωνικό εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.

Να βρείτε τις ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Μία από τις κλασικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη των μεταβλητών, όταν ένα σύστημα εξισώσεων που χρησιμοποιεί απλούς μετασχηματισμούς μετατρέπεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από τις τελευταίες.

Οδηγίες

Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα X θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Y θα έρχονται μετά τα X, όλα τα Z θα έρχονται μετά τα Y και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.

Η επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς είναι ένα από τα παλαιότερα μαθηματικά προβλήματα. Ήδη στις αρχές της 2ης χιλιετίας π.Χ. μι. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν συστήματα τέτοιων εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Αυτός ο τομέας των μαθηματικών έφτασε στη μεγαλύτερη άνθησή του Αρχαία Ελλάδα. Η κύρια πηγή μας είναι η Αριθμητική του Διόφαντου, η οποία περιέχει διάφορους τύπους εξισώσεων. Σε αυτό, ο Διόφαντος (από το όνομά του το όνομα των εξισώσεων είναι Διοφαντικές εξισώσεις) προβλέπει μια σειρά από μεθόδους για τη μελέτη των εξισώσεων του 2ου και 3ου βαθμού, που αναπτύχθηκαν μόλις τον 19ο αιώνα.

Οι απλούστερες Διοφαντικές εξισώσεις είναι ax + y = 1 (εξίσωση με δύο μεταβλητές, πρώτου βαθμού) x2 + y2 = z2 (εξίσωση με τρεις μεταβλητές, δεύτερος βαθμός)

Πιο πλήρως μελετημένο αλγεβρικές εξισώσεις, η επίλυσή τους ήταν ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στην άλγεβρα τον 16ο και 17ο αιώνα.

Στις αρχές του 19ου αιώνα, τα έργα των P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ερεύνησαν μια Διοφαντινή εξίσωση της μορφής: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c , d, e, f είναι αριθμοί. x, y άγνωστες μεταβλητές.

Αυτή είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με δύο άγνωστους.

Ο Κ. Γκάους ανέπτυξε μια γενική θεωρία των τετραγωνικών μορφών, η οποία αποτελεί τη βάση για την επίλυση ορισμένων τύπων εξισώσεων με δύο μεταβλητές (εξισώσεις Διοφαντών). Υπάρχει μεγάλο αριθμόσυγκεκριμένες Διοφαντικές εξισώσεις λυμένες με στοιχειώδεις μεθόδους. /p>

Θεωρητικό υλικό.

Σε αυτό το μέρος της εργασίας θα περιγραφούν οι βασικές μαθηματικές έννοιες, θα οριστούν όροι και θα διατυπωθεί το θεώρημα επέκτασης με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, οι οποίοι μελετήθηκαν και ελήφθησαν υπόψη κατά την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές.

Ορισμός 1: Εξίσωση της μορφής ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c, d, e, f είναι αριθμοί. x, y άγνωστες μεταβλητές ονομάζεται εξίσωση δεύτερου βαθμού με δύο μεταβλητές.

Σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών μελετάται η τετραγωνική εξίσωση ax2+inx+c=0, όπου αριθμοί α, β, γ x μεταβλητή, με μία μεταβλητή. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:

1. Εύρεση ριζών με χρήση διακριτικού.

2. Εύρεση των ριζών για τον άρτιο συντελεστή στο (σύμφωνα με το D1=);

3. Εύρεση ριζών χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

4. Εύρεση ριζών απομονώνοντας το τέλειο τετράγωνο ενός διωνύμου.

Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει να βρεις όλες τις ρίζες της ή να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν.

Ορισμός 2: Η ρίζα μιας εξίσωσης είναι ένας αριθμός που, όταν αντικατασταθεί σε μια εξίσωση, σχηματίζει μια αληθινή ισότητα.

Ορισμός 3: Η λύση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές ονομάζεται ζεύγος αριθμών (x, y) όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση, μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα.

Η διαδικασία εύρεσης λύσεων σε μια εξίσωση πολύ συχνά συνήθως συνίσταται στην αντικατάσταση της εξίσωσης με μια ισοδύναμη εξίσωση, η οποία όμως είναι πιο απλή στην επίλυση. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες.

Ορισμός 4: Δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες εάν κάθε λύση μιας εξίσωσης είναι λύση της άλλης εξίσωσης και αντίστροφα, και οι δύο εξισώσεις θεωρούνται στον ίδιο τομέα.

Για να λύσετε εξισώσεις με δύο μεταβλητές, χρησιμοποιήστε το θεώρημα για την αποσύνθεση της εξίσωσης σε άθροισμα πλήρων τετραγώνων (με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών).

Για την εξίσωση δεύτερης τάξης ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), λαμβάνει χώρα η επέκταση a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Ας διατυπώσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες λαμβάνει χώρα η επέκταση (2) για την εξίσωση (1) δύο μεταβλητών.

Θεώρημα: Αν οι συντελεστές α,β,γ εξισώσεις(1) ικανοποιεί τις συνθήκες a0 και 4ab – c20, τότε η επέκταση (2) προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο.

Με άλλα λόγια, η εξίσωση (1) με δύο μεταβλητές μπορεί να αναχθεί σε μορφή (2) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς εφαρμόζεται η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.

ΜΕΘΟΔΟΣ Νο. 1. Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των συνθηκών του θεωρήματος, a=2, b=1, c=2, που σημαίνει a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Οι προϋποθέσεις του θεωρήματος πληρούνται, μπορούν να επεκταθούν σύμφωνα με τον τύπο (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, με βάση τις συνθήκες του θεωρήματος και τα δύο μέρη της ταυτότητας είναι ισοδύναμα. Ας απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά της ταυτότητας.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Εξισώνουμε τους συντελεστές για πανομοιότυπες μεταβλητές με τους βαθμούς τους.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Ας πάρουμε ένα σύστημα εξισώσεων, να το λύσουμε και να βρούμε τις τιμές των συντελεστών.

7. Αντικαταστήστε τους συντελεστές με (2) και τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Έτσι, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.

Απάντηση: (-1; 1).

Αν προσέξετε τον τύπο της επέκτασης (3), θα παρατηρήσετε ότι είναι πανομοιότυπο σε μορφή με την απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση με μία μεταβλητή: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Ας εφαρμόσουμε αυτήν την τεχνική όταν λύνουμε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές. Ας λύσουμε, χρησιμοποιώντας την επιλογή ενός πλήρους τετραγώνου, μια τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές που έχει ήδη λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα.

ΜΕΘΟΔΟΣ Νο 2: Λύστε την εξίσωση 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Λύση: 1. Ας φανταστούμε το 2x2 ως άθροισμα δύο όρων x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Ας ομαδοποιήσουμε τους όρους με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να τους διπλώσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο ενός πλήρους τετραγώνου.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Επιλέξτε πλήρη τετράγωνα από τις εκφράσεις σε αγκύλες.

(x + y) 2 + (x + 1) 2 = 0.

4. Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Απάντηση: (-1;1).

Εάν συγκρίνετε τα αποτελέσματα, μπορείτε να δείτε ότι η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 1 χρησιμοποιώντας το θεώρημα και τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών και η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 2 χρησιμοποιώντας την εξαγωγή πλήρους τετραγώνου έχουν τις ίδιες ρίζες.

Συμπέρασμα: Μια τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές μπορεί να επεκταθεί σε άθροισμα τετραγώνων με δύο τρόπους:

➢ Η πρώτη μέθοδος είναι η μέθοδος των αόριστων συντελεστών, η οποία βασίζεται στο θεώρημα και την επέκταση (2).

➢ Ο δεύτερος τρόπος είναι η χρήση μετασχηματισμών ταυτότητας, οι οποίοι σας επιτρέπουν να επιλέξετε διαδοχικά πλήρη τετράγωνα.

Φυσικά, κατά την επίλυση προβλημάτων, η δεύτερη μέθοδος είναι προτιμότερη, καθώς δεν απαιτεί απομνημόνευση επέκτασης (2) και συνθηκών.

Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τετραγωνικές εξισώσεις με τρεις μεταβλητές. Η απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου σε τέτοιες εξισώσεις είναι πιο εντατική. Θα κάνω αυτόν τον τύπο μεταμόρφωσης του χρόνου.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μια συνάρτηση που έχει τη μορφή: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Οι τετραγωνικές συναρτήσεις παίζουν σημαντικό ρόλο σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών:

Στον μαθηματικό προγραμματισμό (τετραγωνικός προγραμματισμός)

Στη γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία (τετραγωνικές μορφές)

Θεωρητικά διαφορικές εξισώσεις(αναγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή).

Κατά την επίλυση αυτών των διαφόρων προβλημάτων, ουσιαστικά πρέπει να εφαρμόσετε τη διαδικασία απομόνωσης ενός πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση (μία, δύο ή περισσότερες μεταβλητές).

Γραμμές των οποίων οι εξισώσεις περιγράφονται τετραγωνική εξίσωσηδύο μεταβλητές ονομάζονται καμπύλες δεύτερης τάξης.

Αυτός είναι ένας κύκλος, έλλειψη, υπερβολή.

Κατά την κατασκευή γραφημάτων αυτών των καμπυλών, χρησιμοποιείται επίσης η μέθοδος της διαδοχικής απομόνωσης ενός πλήρους τετραγώνου.

Ας δούμε πώς λειτουργεί η μέθοδος διαδοχικής επιλογής ενός πλήρους τετραγώνου χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Πρακτικό μέρος.

Λύστε εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διαδοχικής απομόνωσης πλήρους τετραγώνου.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Απάντηση:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Απάντηση: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Απάντηση:(-1;1).

Λύστε εξισώσεις:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(αναγωγή στη μορφή: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Απάντηση: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(αναγωγή στη μορφή: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Απάντηση: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(αναγωγή στη μορφή: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Απάντηση: (7; -7)

Σύναψη.

Σε αυτό επιστημονική εργασίαΜελετήθηκαν εξισώσεις με δύο μεταβλητές δεύτερου βαθμού και εξετάστηκαν μέθοδοι επίλυσής τους. Η εργασία έχει ολοκληρωθεί, έχει διατυπωθεί και περιγραφεί μια συντομότερη μέθοδος λύσης, βασισμένη στην απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου και στην αντικατάσταση της εξίσωσης με ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων, ως αποτέλεσμα η διαδικασία εύρεσης των ριζών μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές έχει έχουν απλοποιηθεί.

Ένα σημαντικό σημείο της εργασίας είναι ότι η εν λόγω τεχνική χρησιμοποιείται κατά την επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων που σχετίζονται με μια τετραγωνική συνάρτηση, την κατασκευή καμπυλών δεύτερης τάξης και την εύρεση της μεγαλύτερης (μικρότερης) τιμής παραστάσεων.

Έτσι, η τεχνική της αποσύνθεσης μιας εξίσωσης δεύτερης τάξης με δύο μεταβλητές σε άθροισμα τετραγώνων έχει τις πιο πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά.

Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι κάθε εξίσωση που έχει την ακόλουθη μορφή: a*x + b*y =с.Εδώ το x και το y είναι δύο μεταβλητές, οι a,b,c είναι μερικοί αριθμοί.

Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων.

1. 10*x + 25*y = 150;

Όπως οι εξισώσεις με έναν άγνωστο, μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές (άγνωστες) έχει επίσης λύση. Για παράδειγμα, η γραμμική εξίσωση x-y=5, με x=8 και y=3 μετατρέπεται στη σωστή ταυτότητα 8-3=5. Στην περίπτωση αυτή, το ζεύγος των αριθμών x=8 και y=3 λέγεται ότι είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης x-y=5. Μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα ζεύγος αριθμών x=8 και y=3 ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση x-y=5.

Επίλυση Γραμμικής Εξίσωσης

Έτσι, η λύση της γραμμικής εξίσωσης a*x + b*y = c είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (x,y) που ικανοποιεί αυτή την εξίσωση, δηλαδή μετατρέπει την εξίσωση με τις μεταβλητές x και y σε σωστή αριθμητική ισότητα. Παρατηρήστε πώς γράφεται εδώ το ζεύγος των αριθμών x και y. Αυτή η καταχώρηση είναι συντομότερη και πιο βολική. Απλά πρέπει να θυμάστε ότι η πρώτη θέση σε μια τέτοια εγγραφή είναι η τιμή της μεταβλητής x και η δεύτερη είναι η τιμή της μεταβλητής y.

Σημειώστε ότι οι αριθμοί x=11 και y=8, x=205 και y=200 x= 4,5 και y= -0,5 ικανοποιούν επίσης τη γραμμική εξίσωση x-y=5, και επομένως είναι λύσεις αυτής της γραμμικής εξίσωσης.

Επίλυση γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους δεν είναι το μόνο.Κάθε γραμμική εξίσωση σε δύο αγνώστους έχει άπειρες διαφορετικές λύσεις. Υπάρχει δηλαδή άπειρα πολλά διαφορετικάδύο αριθμοί x και y που μετατρέπουν μια γραμμική εξίσωση σε αληθινή ταυτότητα.

Εάν πολλές εξισώσεις με δύο μεταβλητές έχουν πανομοιότυπες λύσεις, τότε τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις. Πρέπει να σημειωθεί ότι αν οι εξισώσεις με δύο αγνώστους δεν έχουν λύσεις, τότε θεωρούνται και αυτές ισοδύναμες.

Βασικές ιδιότητες γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους

1. Οποιοσδήποτε από τους όρους της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος στο άλλο, αλλά είναι απαραίτητο να αλλάξει το πρόσημά του στο αντίθετο. Η εξίσωση που προκύπτει θα είναι ισοδύναμη με την αρχική.

2. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να διαιρεθούν με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι μηδέν. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την αρχική.