Vektörler üzerine kurulu hacmi bulun. Vektörlerin vektör çarpımı. Vektörlerin karışık çarpımı. Karışık ürün özellikleri

, ve koordinatları ile verilen vektörler için, karışık ürün şu formülle hesaplanır: .

Karışık ürün kullanılır: 1) vektörler üzerine inşa edilmiş bir dörtyüzlü ve paralel yüzlü hacimleri hesaplamak ve , aşağıdaki formüle göre kenarlarda olduğu gibi: ; 2) vektörlerinin yakınlığı için bir koşul olarak , ve : ve eş düzlemlidir.

Konu 5. Uçaktaki çizgiler.

Normal çizgi vektörü , verilen doğruya dik sıfır olmayan herhangi bir vektöre denir. Yön vektörü düz , verilen doğruya sıfır olmayan herhangi bir vektöre paralel denir.

Düz yüzeyde koordinat sisteminde aşağıdaki türlerden birinin denklemi ile verilebilir:

1) - genel denklem düz çizgi, düz çizginin normal vektörü nerede;

2) - belirli bir vektöre dik bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi;

3) - belirli bir vektöre paralel bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi ( kanonik denklem );

4) - verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi , ;

5) - çizgi denklemleri eğimli , çizginin geçtiği nokta neresidir; () - çizginin eksenle yaptığı açı; - eksen üzerinde düz bir çizgi ile kesilen parçanın (işaretli) uzunluğu (parça eksenin pozitif kısmında kesiliyorsa “ ” işareti ve eksi kısımda ise “ ” işareti).

6) - düz çizgi denklemi kesikler halinde, Koordinat eksenlerinde düz bir çizgi ile kesilen parçaların uzunlukları (işaretli) nerede ve (parça eksenin pozitif kısmında kesiliyorsa “ ” işareti ve eksi kısımda ise “ ” işareti) ).

Noktadan çizgiye uzaklık düzlemde genel denklem tarafından verilen, aşağıdaki formülle bulunur:

Köşe , ( )düz çizgiler arasında ve genel denklemler veya eğimli denklemler tarafından verilen, aşağıdaki formüllerden biri ile bulunur:

Eğer veya .

eğer veya

Çizgilerin kesişme noktasının koordinatları ve bir lineer denklem sisteminin çözümü olarak bulunur: veya .

Konu 10. Setler. Sayısal kümeler. Fonksiyonlar.

Altında birçok birbirinden ayırt edilebilen ve tek bir bütün olarak tasavvur edilebilen herhangi bir nitelikteki belirli bir nesne kümesini anlayabilir. Bir kümeyi oluşturan nesneler onu çağırır. elementler . Bir küme sonsuz (sonsuz sayıda elemandan oluşur), sonlu (sonlu sayıda elemandan oluşur), boş (eleman içermez) olabilir. Kümeler ile gösterilir ve öğeleri ile gösterilir. Boş küme ile gösterilir.

Aramayı ayarla alt küme kümenin tüm elemanları kümeye aitse ayarla ve yaz .

Kümeler ve denilen eşit , aynı elemanlardan oluşuyorsa ve yazarlar . İki küme ve ancak ve ancak ve ise eşit olacaktır.

Aramayı ayarla evrensel (bu matematiksel teori çerçevesinde) , öğelerinin tümü bu teoride ele alınan nesnelerse.

Birçoğu ayarlanabilir: 1) tüm elemanlarının numaralandırılması, örneğin: (yalnızca sonlu kümeler için); 2) evrensel bir kümenin bir öğesinin belirli bir kümeye ait olup olmadığını belirlemek için bir kural belirleyerek: .

Dernek

geçit kümeler ve küme denir

fark kümeler ve küme denir

ek kümelere (evrensel bir kümeye kadar) küme denir.

İki küme ve denir eşdeğer ve bu kümelerin elemanları arasında bire bir yazışma kurulabiliyorsa ~ yazın. küme denir sayılabilir , doğal sayılar kümesine eşdeğer ise : ~ . Boş küme, tanımı gereği sayılabilirdir.

Geçerli (gerçek) sayı "+" veya "" işaretiyle alınan sonsuz ondalık kesir olarak adlandırılır. Gerçek sayılar, sayı doğrusundaki noktalarla tanımlanır.

modül (mutlak değer) bir gerçek sayının negatif olmayan bir sayıdır:

küme denir sayısal elemanları gerçek sayılar ise. sayısal aralıklarla kümeler denir

sayılar: , , , , , , , .

Sayı doğrusunda koşul sağlayan ve keyfi olarak küçük bir sayı olan tüm noktaların kümesine denir. -komşu (veya sadece bir komşuluk) ve ile gösterilir. İsteğe bağlı olarak büyük bir sayı olan koşula göre tüm noktaların kümesine denir - komşu (veya sadece bir mahalle) sonsuzdur ve ile gösterilir.

Sayısal değeri aynı olan niceliğe denir. devamlı. Farklı sayısal değerler alan niceliğe denir. değişken. İşlev her numaraya iyi tanımlanmış bir numara atandığı kural çağrılır ve yazarlar. küme denir tanım alanı fonksiyonlar, - birçok ( veya bölge ) değerler fonksiyonlar, - argüman , - fonksiyon değeri . Bir işlevi belirtmenin en yaygın yolu, işlevin bir formülle belirtildiği analitik yöntemdir. doğal alan işlev, bu formülün anlamlı olduğu argümanın değer kümesidir. Fonksiyon Grafiği , bir dikdörtgen koordinat sisteminde , düzlemin tüm noktalarının koordinatları olan kümesidir .

fonksiyon denir Bile sette, noktaya göre simetrik, eğer aşağıdaki koşul herkes için sağlanırsa: ve garip koşul yerine getirilirse. Aksi takdirde, genel bir işlev veya ne çift ne tek .

fonksiyon denir periyodik sette bir sayı varsa ( fonksiyon periyodu ) aşağıdaki koşul herkes için sağlanacak şekilde: . En küçük sayı ana periyot olarak adlandırılır.

fonksiyon denir monoton artan (azalan ) bağımsız değişkenin daha büyük değeri işlevin daha büyük (daha küçük) değerine karşılık geliyorsa kümede .

fonksiyon denir sınırlı sette, aşağıdaki koşul herkes için sağlanacak şekilde bir sayı varsa: Aksi takdirde, fonksiyon sınırsız .

Tersi çalışmak , , bir küme üzerinde tanımlanan ve her birine şu şekilde atanan bir fonksiyondur . Fonksiyonun tersini bulmak için , denklemi çözmen gerek Nispeten . eğer fonksiyon , kesinlikle monotondur, o zaman her zaman bir tersi vardır ve fonksiyon artarsa (azalırsa), ters fonksiyon da artar (azalır).

Olarak temsil edilen bir işlev, burada, işlev tanımının etki alanı, işlevin tüm değer kümesini içerecek şekilde bazı işlevlerdir, denir. karmaşık fonksiyon bağımsız argüman Değişkene ara argüman denir. Karmaşık bir işlev, işlevlerin bileşimi olarak da adlandırılır ve şöyle yazılır: .

Temel ilköğretim fonksiyonlar şunlardır: güç işlev , gösteri işlev ( , ), logaritmik işlev ( , ), trigonometrik fonksiyonlar , , , , ters trigonometrik fonksiyonlar , , . İlköğretim sonlu sayıda aritmetik işlem ve bileşimleriyle temel temel işlevlerden elde edilen bir işlev olarak adlandırılır.

Fonksiyonun grafiği, dalları yukarı doğru, eğer ise aşağı doğru yönlendirilmiş, tepe noktası olan bir paraboldür.

Bazı durumlarda, bir fonksiyonun grafiğini oluştururken, tanım alanını kesişmeyen birkaç aralığa bölmek ve sırayla her biri üzerinde bir grafik oluşturmak tavsiye edilir.

Herhangi bir sıralı gerçek sayı kümesine denir nokta boyutlu aritmetik (koordinat) Uzay ve ile gösterilir veya , sayılar denirken koordinatlar .

Bazı nokta kümeleri olsun ve olsun. Her noktaya, bir kurala göre, iyi tanımlanmış bir gerçek sayı atanırsa, o zaman, değişkenlerin sayısal bir fonksiyonunun küme üzerinde verildiğini ve yazıldığını veya kısaca ve çağrılırken . tanım alanı , - değerler kümesi , - argümanlar (bağımsız değişkenler) fonksiyonlar.

İki değişkenli bir fonksiyon genellikle belirtilir, üç değişkenli bir fonksiyon -. Bir fonksiyonun tanım alanı, düzlemdeki belirli bir nokta kümesidir, fonksiyonlar uzaydaki belirli bir nokta kümesidir.

Konu 7. Sayısal diziler ve diziler. Sıra sınırı. Bir fonksiyonun limiti ve süreklilik.

Belirli bir kurala göre, her doğal sayı, iyi tanımlanmış bir gerçek sayı ile ilişkilendirilirse, o zaman şöyle derler: sayısal dizi . Kısaca belirtin. numara aranır dizinin ortak üyesi . Bir diziye doğal bir argümanın işlevi de denir. Bir dizi her zaman, bazıları eşit olabilen sonsuz sayıda öğe içerir.

numara aranır sıra sınırı ve herhangi bir sayı için eşitsizliğin herkes için sağlanacağı bir sayı varsa yazın.

Sınırı sonlu olan diziye denir. yakınsak , aksi halde - farklı .

: 1) azalan , eğer ; 2) artan , eğer ; 3) azalmayan , eğer ; 4) artmayan , eğer . Yukarıdaki dizilerin tümü denir monoton .

Sıra denir sınırlı , aşağıdaki koşul herkes için sağlanacak şekilde bir sayı varsa: . Aksi takdirde, sıra sınırsız .

Her monoton sınırlı dizinin bir limiti vardır ( Weierstrass teoremi).

Sıra denir sonsuz küçük , eğer . Sıra denir sonsuz büyük (sonsuzluğa yakınsak) ise .

sayı dizinin limiti denir, burada

Sabit, eş olmayan sayı olarak adlandırılır. Bir sayının temel logaritmasına, sayının doğal logaritması denir ve gösterilir.

Bir sayı dizisi olan formun bir ifadesine denir. Sayısal Seriler ve işaretlenir. Serinin ilk terimlerinin toplamına denir. kısmi toplam sıra.

satır denir yakınsak eğer sonlu bir limit varsa ve farklı sınır yoksa. numara aranır yakınsak bir serinin toplamı , yazarken.

Eğer seri yakınsarsa, o zaman (serinin yakınsaklığı için gerekli bir kriter ) . Bunun tersi doğru değil.

Eğer , o zaman seri ıraksar ( serinin diverjansı için yeterli bir kriter ).

Genelleştirilmiş harmonik seri yakınsayan ve uzaklaşan seriye denir.

Geometrik seriler Toplamı 'de yakınsayan ve 'de ıraksayan bir dizi arayın. bir sayı veya simge bulun. (sol yarı mahalle, sağ yarı mahalle) ve

Vektörler için ve koordinatları ile verilen , karışık ürün şu formülle hesaplanır: .

Konu 5. Düz çizgiler ve uçaklar.

Normal çizgi vektörü , verilen doğruya dik sıfır olmayan herhangi bir vektöre denir. Yön vektörü düz , verilen doğruya sıfır olmayan herhangi bir vektöre paralel denir.

Düz yüzeyde

1) - genel denklem düz çizgi, düz çizginin normal vektörü nerede;

2) - belirli bir vektöre dik bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi;

3) kanonik denklem );

Noktadan çizgiye uzaklık düzlemde genel denklem tarafından verilen, aşağıdaki formülle bulunur:

Köşe , ( )düz çizgiler arasında ve genel denklemler veya eğimli denklemler tarafından verilen, aşağıdaki formüllerden biri ile bulunur:

Eğer veya .

eğer veya

Çizgilerin kesişme noktasının koordinatları ve bir lineer denklem sisteminin çözümü olarak bulunur: veya .

Düzlemin normal vektörü , verilen düzleme dik sıfır olmayan herhangi bir vektöre denir.

Uçak koordinat sisteminde aşağıdaki türlerden birinin denklemi ile verilebilir:

1) - genel denklem düzlem, düzlemin normal vektörü nerede;

2) - verilen vektöre dik noktadan geçen düzlemin denklemi;

3) - üç noktadan geçen düzlemin denklemi ve ;

4) - düzlem denklemi kesikler halinde, nerede ve koordinat eksenlerinde düzlem tarafından kesilen parçaların (işaretli) uzunlukları ve (parça eksenin pozitif kısmında kesiliyorsa “ ”, eksi kısımda ise “ ” işareti ).

Noktadan düzleme uzaklık , genel denklem tarafından verilen formül ile bulunur:

Köşe ,( )uçaklar arasında ve genel denklemlerle verilen formülle bulunur:

Düz boşlukta koordinat sisteminde aşağıdaki türlerden birinin denklemi ile verilebilir:

1) - genel denklem düz bir çizgi, iki düzlemin kesişim çizgileri olarak, burada düzlemlerin normal vektörleri ve;

2) - belirli bir vektöre paralel bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi ( kanonik denklem );

3) - verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi , ;

4) - verilen bir vektöre paralel bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi, ( parametrik denklem );

Köşe , ( ) düz çizgiler arasında ve boşlukta kanonik denklemlerle verilen, aşağıdaki formülle bulunur:

Çizginin kesişme noktasının koordinatları , parametrik denklem tarafından verilen ve uçak , genel denklem tarafından verilen, lineer denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunur: .

Köşe , ( ) çizgi arasında kanonik denklem tarafından verilen ve uçak , genel denklem tarafından verilen formül ile bulunur: .

Konu 6. İkinci dereceden eğriler.

İkinci dereceden cebirsel eğri koordinat sisteminde eğri denir, genel denklem hangi görünüyor:

nerede sayılar - aynı anda sıfıra eşit değildir. İkinci dereceden eğrilerin aşağıdaki sınıflandırması vardır: 1) ise, genel denklem eğriyi tanımlar eliptik tip (daire (için), elips (için), boş küme, nokta); 2) eğer , o zaman - eğri hiperbolik tip (hiperbol, bir çift kesişen çizgi); 3) eğer , o zaman - eğri parabolik tip(parabol, boş küme, doğru, paralel doğru çifti). Daire, elips, hiperbol ve parabol denir ikinci dereceden dejenere olmayan eğriler.

Dejenere olmayan bir eğriyi (daire, elips, hiperbol, parabol) tanımlayan genel denklem , her zaman (tam kareler seçim yöntemini kullanarak) aşağıdaki türlerden birinin denklemine indirgenebilir:

1 A) - bir nokta ve yarıçapta ortalanmış daire denklemi (Şekil 5).

1b)- bir noktada merkezli bir elipsin denklemi ve koordinat eksenlerine paralel simetri eksenleri. Sayılar ve - denir bir elipsin yarım eksenleri elipsin ana dikdörtgeni; elipsin köşeleri .

Koordinat sisteminde bir elips oluşturmak için: 1) elipsin merkezini işaretleyin; 2) elipsin simetri eksenini noktalı bir çizgi ile merkezden çiziyoruz; 3) simetri eksenlerine paralel bir merkezi ve kenarları olan noktalı bir çizgi ile bir elipsin ana dikdörtgenini oluşturuyoruz; 4) düz bir çizgi ile bir elips çizeriz, onu ana dikdörtgene çizeriz, böylece elips yanlarına sadece elipsin köşelerinde temas eder (Şekil 6).

Benzer şekilde, ana dikdörtgenin kenarları olan bir daire oluşturulur (Şekil 5).

Şekil.5 Şekil.6

2) - hiperbol denklemleri (denilen eşlenik) bir noktada ortalanır ve simetri eksenleri koordinat eksenlerine paraleldir. Sayılar ve - denir hiperbollerin yarım eksenleri ; simetri eksenlerine paralel kenarları olan ve bir noktada ortalanmış bir dikdörtgen - hiperbollerin ana dikdörtgeni; ana dikdörtgenin simetri eksenleriyle kesişme noktaları - hiperbollerin köşeleri; ana dikdörtgenin zıt köşelerinden geçen düz çizgiler - hiperbol asimptotları .

Koordinat sisteminde bir hiperbol oluşturmak için: 1) hiperbolün merkezini işaretleyin; 2) hiperbolün simetri eksenini noktalı bir çizgi ile merkezden çiziyoruz; 3) merkezi ve kenarları olan ve simetri eksenlerine paralel noktalı bir çizgi ile bir hiperbolün ana dikdörtgenini oluşturuyoruz; 4) ana dikdörtgenin zıt köşelerinden, hiperbolün asimptotları olan kesikli bir çizgi ile düz çizgiler çiziyoruz, hiperbolün dalları, orijinden sonsuz bir mesafede, onları geçmeden sonsuz bir şekilde yaklaşıyor; 5) bir hiperbolün (Şekil 7) veya hiperbolün (Şekil 8) dallarını düz bir çizgi ile gösteriyoruz.

Şekil.7 Şekil.8

3 A)- bir noktada bir tepe noktası ve koordinat eksenine paralel bir simetri ekseni olan bir parabolün denklemi (Şekil 9).

3b)- bir noktada bir tepe noktası ve koordinat eksenine paralel bir simetri ekseni olan bir parabolün denklemi (Şekil 10).

Koordinat sisteminde bir parabol oluşturmak için: 1) parabolün tepesini işaretleyin; 2) noktalı bir çizgi ile tepe noktasından parabolün simetri eksenini çiziyoruz; 3) parabol parametresinin işaretini dikkate alarak dalını yönlendiren düz bir çizgi ile bir parabol tasvir ediyoruz: at - parabolün simetri eksenine paralel koordinat ekseninin pozitif yönünde (Şekil 9a ve 10a); en - koordinat ekseninin negatif tarafında (Şekil 9b ve 10b) .

Pirinç. 9a Şek. 9b

Pirinç. 10a Şek. 10b

Konu 7. Setler. Sayısal kümeler. İşlev.

Aramayı ayarla alt küme kümenin tüm elemanları kümeye aitse ayarla ve yaz . Kümeler ve denilen eşit , aynı elemanlardan oluşuyorsa ve yazarlar . İki küme ve ancak ve ancak ve ise eşit olacaktır.

Aramayı ayarla evrensel (bu matematiksel teori çerçevesinde) , öğelerinin tümü bu teoride ele alınan nesnelerse.

Dernek

geçit kümeler ve küme denir

fark kümeler ve küme denir

ek kümelere (evrensel bir kümeye kadar) küme denir.

Bir kümenin kardinalitesi kavramı, kümeler içerdikleri eleman sayısına göre karşılaştırıldığında ortaya çıkar. Kümenin kardinalitesi ile gösterilir. Sonlu bir kümenin kardinalitesi, elemanlarının sayısıdır.

Eşdeğer kümeler aynı kardinaliteye sahiptir. küme denir sayılamayan kardinalitesi kümenin kardinalitesinden büyükse .

Geçerli (gerçek) sayı "+" veya "" işaretiyle alınan sonsuz ondalık kesir olarak adlandırılır. Gerçek sayılar, sayı doğrusundaki noktalarla tanımlanır. modül (mutlak değer) bir gerçek sayının negatif olmayan bir sayıdır:

küme denir sayısal elemanları gerçek sayılar ise. aralıklarla sayı kümeleri denir: , , , , , , , , .

fonksiyon denir periyodik sette bir sayı varsa ( fonksiyon periyodu ) aşağıdaki koşul herkes için sağlanacak şekilde: . En küçük sayı ana periyot olarak adlandırılır.

fonksiyon denir monoton artan (azalan ) bağımsız değişkenin daha büyük değeri işlevin daha büyük (daha küçük) değerine karşılık geliyorsa kümede .

fonksiyon denir sınırlı sette, aşağıdaki koşul herkes için sağlanacak şekilde bir sayı varsa: Aksi takdirde, fonksiyon sınırsız .

Tersi çalışmak , , kümede ve her birine tanımlanan böyle bir işlev çağrılır .

Öyle maçlar. Fonksiyonun tersini bulmak için , denklemi çözmen gerek Nispeten . eğer fonksiyon , kesinlikle monotondur, o zaman her zaman bir tersi vardır ve fonksiyon artarsa (azalırsa), ters fonksiyon da artar (azalır).

Fonksiyonun grafiği verilirse, fonksiyonun grafiğinin yapısı, grafiğin bir dizi dönüşümüne (kaydırma, sıkıştırma veya germe, görüntüleme) indirgenir:

1) 2) dönüşüm, grafiği eksen etrafında simetrik olarak görüntüler; 3) dönüşüm, grafiği eksen boyunca birimlerle kaydırır ( - sağa, - sola); 4) dönüşüm, grafiği eksen boyunca birimlerle kaydırır ( - yukarı, - aşağı); 5) eksen boyunca dönüşüm grafiği zaman içinde uzar, if veya zaman içinde sıkıştırır, if ; 6) grafiği eksen boyunca dönüştürmek, bir faktöre göre sıkıştırır veya bir faktöre göre uzar.

Bir fonksiyon grafiği çizilirken dönüşüm dizisi sembolik olarak şu şekilde temsil edilebilir:

Not. Bir dönüşüm gerçekleştirirken, eksen boyunca kayma miktarının bağımsız değişkene değil doğrudan bağımsız değişkene eklenen sabit tarafından belirlendiğini unutmayın.

Fonksiyonun grafiği, dalları yukarı doğru, eğer ise aşağı doğru yönlendirilmiş, tepe noktası olan bir paraboldür. Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiği, asimptotları merkezden geçen, koordinat eksenlerine paralel olan noktada merkezli bir hiperboldür. , koşulu sağlıyor. aranan.

Vektörlerin çarpımını düşünün, ve , aşağıdaki gibi oluşur:
. Burada ilk iki vektör vektörel olarak çarpılır ve sonuçları üçüncü vektör ile skaler olarak çarpılır. Böyle bir ürüne vektör-skaler veya üç vektörün karışık ürünü denir. Karışık ürün bir miktardır.

İfadenin geometrik anlamını bulalım.
.

teorem . Üç vektörün karışık çarpımı, bu vektörler üzerinde inşa edilen paralelyüzün hacmine eşittir, bu vektörler sağ üçlü oluşturuyorsa artı işaretiyle, sol üçlü oluşturuyorsa eksi işaretiyle alınır.

Kanıt.. Kenarları vektörler olan bir paralelyüz oluşturuyoruz , , ve vektör
.

Sahibiz:
,
, nerede - vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın alanı ve ,
vektörlerin sağ üçlüsü için ve
sol için, nerede
paralel borunun yüksekliğidir. Alırız:
, yani
, nerede - vektörlerin oluşturduğu paralel yüzün hacmi , ve .

Karışık ürün özellikleri

1. Karışık ürün şu durumlarda değişmez: döngüsel faktörlerinin permütasyonu, yani. .

Gerçekten de, bu durumda, ne paralel yüzün hacmi ne de kenarlarının yönü değişmez.

2. Karışık ürün, vektör ve skaler çarpma işaretleri ters çevrildiğinde değişmez, yani.
.

Yok canım,
ve
. Vektörlerin üçlüleri olduğundan, bu eşitliklerin sağ tarafında aynı işareti alıyoruz. , , ve , , - bir yönlendirme.

Sonuç olarak,
. Bu, vektörlerin karışık çarpımını yazmamızı sağlar.
olarak
vektör işaretleri olmadan, skaler çarpma.

3. Karışık çarpım, herhangi iki faktör vektörü yer değiştirdiğinde işaret değiştirir, yani.
,
,
.

Gerçekten de, böyle bir permütasyon, vektör ürünündeki, ürünün işaretini değiştiren faktörlerin bir permütasyonuna eşdeğerdir.

4. Sıfırdan Farklı Vektörlerin Karışık Çarpımı , ve ancak ve ancak eş düzlemliyse sıfırdır.

2.12. Bir ortonormal temelde koordinat formunda karışık ürünü hesaplama

vektörler olsun
,
,
. Vektör ve skaler ürünler için koordinatlardaki ifadeleri kullanarak karışık ürünlerini bulalım:

. (10)

Ortaya çıkan formül daha kısa yazılabilir:

eşitliğin (10) sağ tarafı üçüncü sıradaki determinantın üçüncü sıradaki elemanlar açısından açılımıdır.

Yani vektörlerin karışık çarpımı, çarpılan vektörlerin koordinatlarından oluşan üçüncü dereceden determinanta eşittir.

2.13 Karışık ürünün bazı uygulamaları

Vektörlerin uzayda göreli yönelimini belirleme

Vektörlerin göreli yönelimini belirleme , ve aşağıdaki düşüncelere dayanmaktadır. Eğer bir
, sonra , , - sağ üç eğer
, sonra , , - üç kaldı.

Vektörler için benzerlik koşulu

vektörler , ve ancak ve ancak karışık çarpımları sıfır ise (
,
,
):

vektörler , , aynı düzlemde.

Paralel yüzlü ve üçgen piramidin hacimlerini belirleme

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacminin , ve şu şekilde hesaplanır
, ve aynı vektörler üzerine inşa edilmiş üçgen piramidin hacmi eşittir
.

örnek 1 vektörlerin olduğunu kanıtlayın.
,
,
aynı düzlemde.

Çözüm. Bu vektörlerin karışık ürününü aşağıdaki formülü kullanarak bulalım:

Bu, vektörlerin
aynı düzlemde.

Örnek 2 Bir tetrahedronun köşeleri verildiğinde: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Tepe noktasından düşen yüksekliğinin uzunluğunu bulun .

Çözüm.Önce tetrahedronun hacmini bulalım.
. Formüle göre şunları elde ederiz:

Determinant negatif bir sayı olduğu için bu durumda formülden önce eksi işareti almanız gerekir. Sonuç olarak,
.

İstenilen değer h formülden belirlemek
, nerede S - taban alanı. alanı belirleyelim S:

nerede

Çünkü

Formülde yer değiştirme
değerler
ve
, alırız h= 3.

Örnek 3 vektörler oluşur mu
uzayda baz? Ayrıştırma Vektör
vektörler bazında.

Çözüm. Vektörler uzayda bir temel oluşturuyorsa, aynı düzlemde bulunmazlar, yani. eş düzlemli değildir. Vektörlerin karışık ürününü bulun
:
,

Bu nedenle vektörler eş düzlemli değildir ve uzayda bir temel oluşturur. Vektörler uzayda bir taban oluşturuyorsa, o zaman herhangi bir vektör temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir, yani
,nerede
vektör koordinatları vektör bazında
. Bu koordinatları denklem sistemini derleyip çözerek bulalım.