Sa artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya gamit ang mga integral na kalkulasyon. Sa unang pagkakataon ay nakatagpo tayo ng pagbabalangkas ng naturang problema sa mataas na paaralan, kapag natapos na natin ang pag-aaral ng mga tiyak na integral at oras na upang simulan ang geometric na interpretasyon ng nakuhang kaalaman sa pagsasanay.
Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral:
- Kakayahang gumawa ng karampatang mga guhit;
- Kakayahang malutas ang isang tiyak na integral gamit ang kilalang Newton-Leibniz formula;
- Ang kakayahang "makita" ang isang mas kumikitang opsyon sa solusyon - i.e. maunawaan kung paano magiging mas maginhawang magsagawa ng pagsasama sa isang kaso o iba pa? Kasama ang x-axis (OX) o ang y-axis (OY)?
- Well, where would we be without correct calculations?) Kabilang dito ang pag-unawa kung paano lutasin ang ibang uri ng integral at tamang numerical calculations.
Algorithm para sa paglutas ng problema ng pagkalkula ng lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya:
1. Gumagawa kami ng drawing. Maipapayo na gawin ito sa isang checkered na piraso ng papel, sa isang malaking sukat. Nilagdaan namin ang pangalan ng function na ito gamit ang isang lapis sa itaas ng bawat graph. Ang pagpirma sa mga graph ay ginagawa lamang para sa kaginhawahan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ay agad na malinaw kung aling mga limitasyon ng pagsasama ang gagamitin. Kaya, malulutas namin ang problema sa graphically. Gayunpaman, nangyayari na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng mga karagdagang kalkulasyon, pumunta sa ikalawang hakbang.
2. Kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay hindi tahasang tinukoy, pagkatapos ay makikita namin ang mga punto ng intersection ng mga graph sa isa't isa at tingnan kung ang aming graphic na solusyon may analitikal.
3. Susunod, kailangan mong pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano nakaayos ang mga function graph, mayroong iba't ibang mga diskarte sa paghahanap ng lugar ng isang figure. Isaalang-alang natin iba't ibang halimbawa sa paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral.
3.1. Ang pinaka-klasiko at pinakasimpleng bersyon ng problema ay kapag kailangan mong hanapin ang lugar ng isang hubog na trapezoid. Ano ang isang curved trapezoid? Ito ay isang flat figure na nililimitahan ng x-axis (y = 0), tuwid x = a, x = b at anumang kurba na tuloy-tuloy sa pagitan mula sa a dati b. Bukod dito, ang figure na ito ay hindi negatibo at matatagpuan hindi sa ibaba ng x-axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral, na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:
Halimbawa 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Anong mga linya ang nililimitahan ng pigura? Mayroon kaming parabola y = x2 – 3x + 3, na matatagpuan sa itaas ng axis OH, ito ay hindi negatibo, dahil lahat ng mga punto ng parabola na ito ay mayroon mga positibong halaga. Susunod, binigyan ng mga tuwid na linya x = 1 At x = 3, na tumatakbo parallel sa axis OU, ay ang mga boundary lines ng figure sa kaliwa at kanan. Well y = 0, ito rin ang x-axis, na naglilimita sa figure mula sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng makikita mula sa figure sa kaliwa. SA sa kasong ito, maaari mong simulan kaagad ang paglutas ng problema. Bago sa amin ay isang simpleng halimbawa ng isang curved trapezoid, na pagkatapos ay malulutas namin gamit ang Newton-Leibniz formula.
3.2. Sa nakaraang talata 3.1, sinuri namin ang kaso kapag ang isang curved trapezoid ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng problema ay pareho, maliban na ang function ay nasa ilalim ng x-axis. Ang isang minus ay idinagdag sa karaniwang formula ng Newton-Leibniz. Isasaalang-alang namin kung paano malutas ang gayong problema sa ibaba.
Halimbawa 2 . Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
SA sa halimbawang ito may parabola tayo y = x2 + 6x + 2, na nagmumula sa axis OH, diretso x = -4, x = -1, y = 0. Dito y = 0 nililimitahan ang nais na pigura mula sa itaas. Direkta x = -4 At x = -1 ito ang mga hangganan kung saan kakalkulahin ang tiyak na integral. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang figure ay halos ganap na tumutugma sa halimbawa ng numero 1. Ang pagkakaiba lamang ay ang ibinigay na function ay hindi positibo, at patuloy din sa pagitan [-4; -1] . Ano ang ibig mong sabihin na hindi positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure na nasa loob ng ibinigay na x ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kung ano ang kailangan nating makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Hinahanap namin ang lugar ng figure gamit ang Newton-Leibniz formula, na may minus sign lamang sa simula.
Ang artikulo ay hindi nakumpleto.
Problema 1(tungkol sa pagkalkula ng lugar ng isang hubog na trapezoid).
Sa Cartesian rectangular coordinate system xOy, binibigyan ang isang figure (tingnan ang figure) na nililimitahan ng x axis, mga tuwid na linya x = a, x = b (a ng isang curvilinear trapezoid. Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid.
Solusyon. Binibigyan tayo ng Geometry ng mga recipe para sa pagkalkula ng mga lugar ng polygons at ilang bahagi ng isang bilog (sektor, segment). Gamit ang mga geometric na pagsasaalang-alang, mahahanap lamang natin ang tinatayang halaga ng kinakailangang lugar, na nangangatuwiran tulad ng sumusunod.
Hatiin natin ang segment [a; b] (base ng isang hubog na trapezoid) sa n pantay na bahagi; ang partisyon na ito ay isinasagawa gamit ang mga puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Gumuhit tayo ng mga tuwid na linya sa mga puntong ito na kahanay sa y-axis. Pagkatapos ang ibinigay na curvilinear trapezoid ay hahatiin sa n bahagi, sa n makitid na hanay. Ang lugar ng buong trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga haligi.
Isaalang-alang natin ang k-th column nang hiwalay, i.e. isang hubog na trapezoid na ang base ay isang segment. Palitan natin ito ng isang parihaba na may parehong base at taas na katumbas ng f(x k) (tingnan ang figure). Ang lugar ng rectangle ay katumbas ng \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kung saan ang \(\Delta x_k \) ay ang haba ng segment; Natural na isaalang-alang ang nagresultang produkto bilang isang tinatayang halaga ng lugar ng kth column. 
Kung gagawin natin ngayon ang parehong sa lahat ng iba pang mga column, darating tayo sa sumusunod na resulta: ang lugar S ng isang naibigay na curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng lugar S n ng isang stepped figure na binubuo ng n rectangles (tingnan ang figure):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Dito, para sa kapakanan ng pagkakapareho ng notasyon, ipinapalagay namin na a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - haba ng segment, \(\Delta x_1 \) - haba ng segment, atbp.; sa kasong ito, tulad ng napagkasunduan namin sa itaas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Kaya, \(S \approx S_n \), at ang tinatayang pagkakapantay-pantay na ito ay mas tumpak, mas malaki ang n.
Sa pamamagitan ng kahulugan, pinaniniwalaan na ang kinakailangang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(tungkol sa paglipat ng isang punto)
Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya. Ang pag-asa ng bilis sa oras ay ipinahayag ng formula v = v(t). Hanapin ang paggalaw ng isang punto sa loob ng isang yugto ng panahon [a; b].
Solusyon. Kung ang kilusan ay pare-pareho, kung gayon ang problema ay malulutas nang napakasimple: s = vt, i.e. s = v(b-a). Para sa hindi pantay na paggalaw, kailangan mong gumamit ng parehong mga ideya kung saan ibinatay ang solusyon sa nakaraang problema.
1) Hatiin ang pagitan ng oras [a; b] sa n pantay na bahagi.
2) Isaalang-alang ang isang yugto ng panahon at ipagpalagay na sa panahong ito ang bilis ay pare-pareho, katulad ng sa oras t k. Kaya ipinapalagay namin na v = v(t k).
3) Hanapin natin ang tinatayang halaga ng paggalaw ng punto sa loob ng isang yugto ng panahon;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Hanapin ang tinatayang halaga ng displacement s:
\(s \approx S_n \) kung saan
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Ang kinakailangang displacement ay katumbas ng limitasyon ng sequence (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
I-summarize natin. Ang mga solusyon sa iba't ibang problema ay binawasan sa parehong modelo ng matematika. Maraming mga problema mula sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya ang humahantong sa parehong modelo sa proseso ng solusyon. Nangangahulugan ito na ang mathematical model na ito ay dapat na espesyal na pinag-aralan.
Ang konsepto ng isang tiyak na integral
Magbigay tayo ng mathematical na paglalarawan ng modelo na binuo sa tatlong itinuturing na problema para sa function na y = f(x), tuluy-tuloy (ngunit hindi kinakailangang hindi negatibo, gaya ng ipinapalagay sa mga isinasaalang-alang na problema) sa pagitan [a; b]:
1) hatiin ang segment [a; b] sa n pantay na bahagi;
2) buuin ang kabuuan $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) kalkulahin ang $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang limitasyong ito ay umiiral sa kaso ng tuluy-tuloy (o piecewise na tuloy-tuloy) na function. Siya ay tinatawag isang tiyak na integral ng function na y = f(x) sa ibabaw ng segment [a; b] at tinukoy bilang sumusunod:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Ang mga numero a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama (mas mababa at itaas, ayon sa pagkakabanggit).
Bumalik tayo sa mga gawaing tinalakay sa itaas. Ang kahulugan ng lugar na ibinigay sa Problema 1 ay maaari na ngayong muling isulat bilang mga sumusunod:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
dito S ay ang lugar ng curved trapezoid na ipinapakita sa figure sa itaas. Ito ay geometric na kahulugan ng isang tiyak na integral.
Ang kahulugan ng displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa tagal ng panahon mula t = a hanggang t = b, na ibinigay sa Problema 2, ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
Newton - Leibniz formula
Una, sagutin natin ang tanong: ano ang koneksyon sa pagitan ng tiyak na integral at ng antiderivative?
Ang sagot ay matatagpuan sa Problema 2. Sa isang banda, ang displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa tagal ng panahon mula t = a hanggang t = b ay kinakalkula ng ang formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Sa kabilang banda, ang coordinate ng isang gumagalaw na punto ay isang antiderivative para sa bilis - sabihin natin itong s(t); Nangangahulugan ito na ang displacement s ay ipinahayag ng formula na s = s(b) - s(a). Bilang resulta, nakukuha namin ang:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kung saan ang s(t) ay ang antiderivative ng v(t).
Ang sumusunod na teorama ay napatunayan sa kurso ng pagsusuri sa matematika.
Teorama. Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a; b], kung gayon ang formula ay wasto
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kung saan ang F(x) ay ang antiderivative ng f(x).
Ang ibinigay na pormula ay karaniwang tinatawag Formula ng Newton-Leibniz bilang parangal sa English physicist na si Isaac Newton (1643-1727) at pilosopong Aleman Gottfried Leibniz (1646-1716), na tumanggap nito nang hiwalay sa isa't isa at halos sabay-sabay.
Sa pagsasagawa, sa halip na isulat ang F(b) - F(a), ginagamit nila ang notation na \(\left. F(x)\right|_a^b \) (tinatawag itong minsan dobleng pagpapalit) at, nang naaayon, muling isulat ang formula ng Newton-Leibniz sa form na ito:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kaliwa. F(x)\kanan|_a^b \)
Kapag kinakalkula ang isang tiyak na integral, hanapin muna ang antiderivative, at pagkatapos ay magsagawa ng dobleng pagpapalit.
Batay sa formula ng Newton-Leibniz, makakakuha tayo ng dalawang katangian ng tiyak na integral.
Ari-arian 1. Ang integral ng kabuuan ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Kinakalkula ang mga lugar ng mga figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral
Gamit ang integral, maaari mong kalkulahin ang mga lugar hindi lamang ng mga curvilinear trapezoid, kundi pati na rin ng mga flat figure nang higit pa kumplikadong uri, halimbawa ang ipinapakita sa figure. Ang figure P ay nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng tuluy-tuloy na function y = f(x), y = g(x), at sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay na \(g(x) \leq f(x) \) ay hawak. Upang kalkulahin ang lugar S ng naturang figure, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kaya, ang lugar S ng isang figure na nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng mga function y = f(x), y = g(x), tuloy-tuloy sa segment at tulad na para sa anumang x mula sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay \(g(x) \leq f(x) \) ay nasiyahan, na kinakalkula ng formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Talaan ng mga hindi tiyak na integral (antiderivatives) ng ilang function
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Sa katunayan, upang mahanap ang lugar ng isang pigura, hindi mo kailangan ng ganoong karaming kaalaman sa hindi tiyak at tiyak na integral. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, marami pang iba paksang isyu ang iyong magiging kaalaman at kasanayan sa pagguhit. Kaugnay nito, kapaki-pakinabang na i-refresh ang iyong memorya ng mga graph ng pangunahing mga pag-andar ng elementarya, at, sa pinakamababa, makakagawa ng isang tuwid na linya at isang hyperbola.
Ang curved trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng isang axis, straight lines, at ang graph ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na hindi nagbabago ng sign sa interval na ito. Hayaang matatagpuan ang figure na ito hindi mas mababa x-axis:
Pagkatapos ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay ayon sa bilang na katumbas ng isang tiyak na integral. Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan.
Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay AREA.
Yan ay, isang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng isang tiyak na figure. Halimbawa, isaalang-alang ang tiyak na integral. Tinutukoy ng integrand ang isang curve sa eroplano na matatagpuan sa itaas ng axis (maaaring gumawa ng drawing ang mga nais), at ang definite integral mismo ay ayon sa numero. katumbas ng lugar kaukulang curved trapezoid.
Halimbawa 1
Ito ay isang tipikal na pahayag ng pagtatalaga. Una at ang pinakamahalagang sandali mga solusyon - pagbuo ng pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na itayo TAMA.
Kapag gumagawa ng isang pagguhit, inirerekumenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga tuwid na linya (kung mayroon sila) at lamang Pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ito ay mas kumikita upang bumuo ng mga graph ng mga function punto sa punto.
Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Iguhit natin ang pagguhit (tandaan na ang equation ay tumutukoy sa axis):
Sa segment, matatagpuan ang graph ng function sa itaas ng axis, Kaya naman:
Sagot:
Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, magkakaroon ng mga 9, tila totoo. Ito ay ganap na malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 parisukat na mga yunit, pagkatapos ay malinaw na ang isang pagkakamali ay ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.
Halimbawa 3
Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya at coordinate axes.
Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:
Kung matatagpuan ang isang hubog na trapezoid sa ilalim ng ehe(o hindi bababa sa hindi mas mataas ibinigay na axis), kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang formula:
Sa kasong ito:
Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:
1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon ito ay maaaring negatibo.
2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na tinalakay lamang.
Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan ay nagpapatuloy tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.
Halimbawa 4
Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya, .
Solusyon: Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin natin ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analitikal. Malutas namin ang equation:
Nangangahulugan ito na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay , ang itaas na limitasyon ng pagsasama ay .
Kung maaari, mas mainam na huwag gamitin ang pamamaraang ito..
Ito ay higit na kumikita at mas mabilis na bumuo ng mga linya ng punto sa punto, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nagiging malinaw "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon ay kailangan pa ring gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang detalyadong konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At isasaalang-alang din natin ang gayong halimbawa.
Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatuwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:
At ngayon ang gumaganang formula: Kung mayroong ilang tuluy-tuloy na pag-andar sa segment mas malaki kaysa sa o katumbas ng ilang tuluy-tuloy na pag-andar, pagkatapos ay ang lugar ng figure, limitado ng mga iskedyul ibinigay na mga function at tuwid na linya , , ay matatagpuan gamit ang formula: 
Dito hindi mo na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, at, halos nagsasalita, mahalaga kung aling graph ang MAS MATAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.
Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa
Ang nakumpletong solusyon ay maaaring magmukhang ganito:
Ang nais na pigura ay nililimitahan ng isang parabola sa itaas at isang tuwid na linya sa ibaba.
Sa segment, ayon sa kaukulang formula:
Sagot:
Halimbawa 4
Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , , .
Solusyon: Una, gumawa tayo ng guhit:
Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul(tingnang mabuti ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, madalas na nangyayari ang isang "glitch" na kailangan mong hanapin ang lugar ng isang pigura na may kulay na berde!
Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din dahil kinakalkula nito ang lugar ng isang figure gamit ang dalawang tiyak na integral.
Talaga:
1) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph ng isang tuwid na linya;
2) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph ng isang hyperbola.
Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:
Gawain Blg. 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya
Paglalapat ng integral sa solusyon ng mga inilapat na problema
Pagkalkula ng lugar
Ang tiyak na integral ng isang tuluy-tuloy na di-negatibong function na f(x) ay katumbas ng bilang sa ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng curve y = f(x), ang O x axis at ang mga tuwid na linya x = a at x = b. Alinsunod dito, ang pormula ng lugar ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano.
Gawain Blg. 1. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Solusyon. Bumuo tayo ng figure na ang lugar ay kailangan nating kalkulahin.
Ang y = x 2 + 1 ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inililipat paitaas ng isang yunit na may kaugnayan sa O y axis (Larawan 1).
Figure 1. Graph ng function na y = x 2 + 1
Gawain Blg. 2. Kalkulahin ang lugar na nililigiran ng mga linyang y = x 2 – 1, y = 0 sa hanay mula 0 hanggang 1.
 |
Solusyon. Ang graph ng function na ito ay isang parabola ng mga sanga na nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inililipat kaugnay sa O y axis pababa ng isang unit (Figure 2).
Figure 2. Graph ng function na y = x 2 – 1
Gawain Blg. 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya
y = 8 + 2x – x 2 at y = 2x – 4.
Solusyon. Ang una sa dalawang linyang ito ay isang parabola na ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa, dahil ang koepisyent ng x 2 ay negatibo, at ang pangalawang linya ay isang tuwid na linya na nagsasalubong sa parehong coordinate axes.
Upang makabuo ng parabola, makikita natin ang mga coordinate ng vertex nito: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscissa ng vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ang ordinate nito, N(1;9) ang vertex.
Ngayon, hanapin natin ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:
Equating ang kanang bahagi ng isang equation na ang kaliwang panig ay pantay.
Nakukuha natin ang 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 o x 2 – 12 = 0, kung saan 
.
Kaya, ang mga punto ay ang mga intersection point ng isang parabola at isang tuwid na linya (Figure 1).
Figure 3 Mga graph ng mga function y = 8 + 2x – x 2 at y = 2x – 4
Bumuo tayo ng isang tuwid na linya y = 2x – 4. Ito ay dumadaan sa mga puntos (0;-4), (2;0) sa mga coordinate axes.
Upang makabuo ng isang parabola, maaari mo ring gamitin ang mga intersection point nito sa 0x axis, iyon ay, ang mga ugat ng equation 8 + 2x – x 2 = 0 o x 2 – 2x – 8 = 0. Gamit ang Vieta's theorem, ito ay madali. upang mahanap ang mga ugat nito: x 1 = 2, x 2 = 4.
Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang figure (parabolic segment M 1 N M 2) na nakatali sa mga linyang ito.
Ang pangalawang bahagi ng problema ay upang mahanap ang lugar ng figure na ito. Ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang isang tiyak na integral ayon sa formula 
.
Kaugnay ng kondisyong ito, nakukuha natin ang integral: 
2 Pagkalkula ng dami ng isang katawan ng pag-ikot
Ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng curve y = f(x) sa paligid ng O x axis ay kinakalkula ng formula:
Kapag umiikot sa paligid ng O y axis, ang formula ay mukhang:
Gawain Blg. 4. Tukuyin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang curved trapezoid bounded ng mga tuwid na linya x = 0 x = 3 at curve y = sa paligid ng O x axis.
Solusyon. Gumuhit tayo ng larawan (Figure 4).
Figure 4. Graph ng function na y =
Ang kinakailangang volume ay 
Gawain Blg. 5. Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang hubog na trapezoid na nililimitahan ng kurba y = x 2 at mga tuwid na linya na y = 0 at y = 4 sa paligid ng O y axis.
Solusyon. Meron kami:
Suriin ang mga tanong
Nagsisimula kaming isaalang-alang ang proseso ng pagkalkula mismo dobleng integral at kilalanin ang geometriko na kahulugan nito.
Ang dobleng integral ay numerong katumbas ng lugar ng figure ng eroplano (ang rehiyon ng pagsasama). Ito pinakasimpleng anyo double integral, kapag ang function ng dalawang variable ay katumbas ng isa: .
Isaalang-alang muna natin ang problema sa pangkalahatang pananaw. Ngayon ay mabigla ka kung gaano kasimple ang lahat! Kalkulahin natin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya. Para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa segment . Ang lugar ng figure na ito ay numerong katumbas ng:
Ilarawan natin ang lugar sa pagguhit: 
Piliin natin ang unang paraan ng pagtawid sa lugar: 
kaya: 
At kaagad isang mahalagang teknikal na pamamaraan: maaaring kalkulahin nang hiwalay ang mga iterated integral. Una ang panloob na integral, pagkatapos ay ang panlabas na integral. Ang pamamaraang ito Lubos kong inirerekumenda ito sa mga nagsisimula sa paksa.
1) Kalkulahin natin ang panloob na integral, at ang pagsasama ay isinasagawa sa variable na "y": 
Indefinite integral narito ang pinakasimpleng isa, at pagkatapos ay ginagamit ang banal na Newton-Leibniz na formula, na may pagkakaiba lamang ang mga limitasyon ng pagsasama ay hindi mga numero, ngunit mga function. Una, pinalitan namin ang itaas na limitasyon sa "y" (antiderivative function), pagkatapos ay ang mas mababang limitasyon
2) Ang resulta na nakuha sa unang talata ay dapat na palitan sa panlabas na integral: 
Ang isang mas compact na representasyon ng buong solusyon ay ganito ang hitsura:
Ang resultang formula 
ay eksakto ang gumaganang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang patag na pigura gamit ang "ordinaryo" tiyak na integral! Panoorin ang aralin Pagkalkula ng Lugar Gamit ang Definite Integral, nandiyan siya sa bawat hakbang!
Yan ay, problema sa pagkalkula ng lugar gamit ang double integral hindi gaanong naiiba mula sa problema ng paghahanap ng lugar gamit ang isang tiyak na integral! Sa katunayan, ito ay ang parehong bagay!
Alinsunod dito, walang mga paghihirap na dapat lumitaw! Hindi ako titingin sa napakaraming mga halimbawa, dahil ikaw, sa katunayan, ay paulit-ulit na nakatagpo ng gawaing ito.
Halimbawa 9
Solusyon: Ilarawan natin ang lugar sa pagguhit: 
Piliin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng paglalakbay sa lugar: 
Dito at higit pa ay hindi na ako magtatagal kung paano lampasan ang lugar, dahil ang napakadetalyadong mga paliwanag ay ibinigay sa unang talata.
kaya: 
Tulad ng nabanggit ko na, mas mabuti para sa mga nagsisimula na kalkulahin nang hiwalay ang mga iterated integral, at mananatili ako sa parehong pamamaraan:
1) Una, gamit ang Newton-Leibniz formula, haharapin natin ang internal integral: 
2) Ang resulta na nakuha sa unang hakbang ay pinapalitan sa panlabas na integral: 
Ang punto 2 ay aktwal na paghahanap ng lugar ng isang figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral.
Sagot:
Ito ay isang hangal at walang muwang na gawain.
Isang kawili-wiling halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:
Halimbawa 10
Gamit ang isang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya , ,
Tinatayang sample pagsasapinal ng solusyon sa pagtatapos ng aralin.
Sa Mga Halimbawa 9-10, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang unang paraan ng pagtawid sa lugar, sa pamamagitan ng paraan, maaaring baguhin ng mga mausisa na mambabasa ang pagkakasunud-sunod ng traversal at kalkulahin ang mga lugar gamit ang pangalawang paraan. Kung hindi ka magkakamali, kung gayon, natural, makakakuha ka ng parehong mga halaga ng lugar.
Ngunit sa ilang mga kaso, ang pangalawang paraan ng pagtawid sa lugar ay mas epektibo, at sa pagtatapos ng kurso ng batang nerd, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa sa paksang ito:
Halimbawa 11
Gamit ang isang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya,
Solusyon: Inaasahan namin ang dalawang parabola na may quirk na nakatagilid. Hindi na kailangang ngumiti;
Ano ang pinakamadaling paraan upang makagawa ng pagguhit?
Isipin natin ang isang parabola sa anyo ng dalawang function:
– ang itaas na sangay at – ang mas mababang sangay.
Katulad nito, isipin ang isang parabola sa anyo ng upper at lower 
mga sanga.
Susunod, point-wise na pag-plot ng mga panuntunan sa mga graph, na nagreresulta sa kakaibang figure: 
Kinakalkula namin ang lugar ng figure gamit ang double integral ayon sa formula:
Ano ang mangyayari kung pipiliin natin ang unang paraan ng pagtawid sa lugar? Una, ang lugar na ito ay kailangang hatiin sa dalawang bahagi. At pangalawa, mamasdan natin ang malungkot na larawang ito: 
. Ang mga integral, siyempre, ay hindi sa sobrang kumplikadong antas, ngunit... mayroong isang matandang kasabihan sa matematika: ang mga malapit sa kanilang pinagmulan ay hindi nangangailangan ng pagsubok.
Samakatuwid, mula sa hindi pagkakaunawaan na ibinigay sa kundisyon, ipinapahayag namin ang mga inverse function: 
Mga kabaligtaran na pag-andar sa halimbawang ito, mayroon silang kalamangan na tinukoy nila ang buong parabola nang sabay-sabay nang walang anumang mga dahon, acorn, sanga at ugat.
Ayon sa pangalawang paraan, ang lugar na traversal ay ang mga sumusunod: 
kaya: 
Sabi nga nila, feel the difference.
1) Nakikitungo kami sa panloob na integral:
Pinapalitan namin ang resulta sa panlabas na integral:
Ang pagsasama sa variable na "y" ay hindi dapat nakakalito; kung mayroong isang titik na "zy", magiging mahusay na pagsamahin ito. Bagama't sino ang nagbasa ng ikalawang talata ng aralin Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, hindi na siya nakakaranas ng kahit kaunting awkwardness na may integrasyon ayon sa pamamaraang "Y".
Bigyang-pansin din ang unang hakbang: ang integrand ay pantay, at ang pagitan ng pagsasama ay simetriko tungkol sa zero. Samakatuwid, ang segment ay maaaring hatiin, at ang resulta ay maaaring doble. Ang pamamaraan na ito ay nagkomento nang detalyado sa aralin. Mga mabisang pamamaraan pagkalkula ng isang tiyak na integral.
Ano ang idadagdag... Lahat!
Sagot:
Upang subukan ang iyong diskarte sa pagsasama, maaari mong subukang kalkulahin . Ang sagot ay dapat na eksaktong pareho.
Halimbawa 12
Gamit ang isang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya 
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susubukan mong gamitin ang unang paraan ng pagtawid sa lugar, ang pigura ay hindi na kailangang hatiin sa dalawa, ngunit sa tatlong bahagi! At, nang naaayon, nakakakuha tayo ng tatlong pares ng paulit-ulit na integral. Nangyayari minsan.
Ang master class ay natapos na, at oras na para magpatuloy sa grandmaster level - Paano makalkula ang dobleng integral? Mga halimbawa ng solusyon. Susubukan kong huwag maging maniacal sa pangalawang artikulo =)
Nais kong tagumpay ka!
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 2:Solusyon:
Ilarawan natin ang lugar sa pagguhit:
Piliin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng paglalakbay sa lugar:
kaya: 
Lumipat tayo sa mga inverse function:
kaya: 
Sagot:
Halimbawa 4:Solusyon:
Lumipat tayo sa mga direktang pag-andar:
Gawin natin ang pagguhit:
Baguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng pagtawid sa lugar:
Sagot:
