Mga pangunahing formula at pamamaraan ng pagsasama. Ang panuntunan para sa pagsasama ng isang kabuuan o pagkakaiba. Ang paglipat ng pare-pareho sa labas ng integral sign. Paraan ng pagpapalit ng variable. Formula para sa pagsasama ng mga bahagi. Isang halimbawa ng paglutas ng problema.
Ang apat na pangunahing paraan ng pagsasama ay nakalista sa ibaba.
1)
Ang panuntunan para sa pagsasama ng isang kabuuan o pagkakaiba.
.
Dito at sa ibaba u, v, w ay mga function ng integration variable x.
2)
Ang paglipat ng pare-pareho sa labas ng integral sign.
Hayaan ang c ay isang pare-parehong independyente ng x. Pagkatapos ay maaari itong alisin sa integral sign.
3)
Paraan ng pagpapalit ng variable.
Isaalang-alang natin ang hindi tiyak na integral.
Kung mahahanap natin ang gayong function φ (x) mula sa x, kaya
,
pagkatapos, sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable t = φ(x) , mayroon tayo
.
4)
Formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
,
kung saan ang u at v ay mga function ng integration variable.
Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ay, sa pamamagitan ng mga pagbabagong-anyo, upang bawasan ang isang ibinigay na integral sa pinakasimpleng integral, na tinatawag na tabular integral. Ang mga integral ng talahanayan ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementary function gamit ang mga kilalang formula.
Tingnan ang Talaan ng Integrals >>>
Halimbawa
Kalkulahin ang hindi tiyak na integral
Solusyon
Pansinin namin na ang integrand ay ang kabuuan at pagkakaiba ng tatlong termino:
, At .
Paglalapat ng pamamaraan 1
.
Susunod, tandaan namin na ang mga integrand ng mga bagong integral ay pinarami ng mga constant 5, 4,
At 2
, ayon sa pagkakabanggit. Paglalapat ng pamamaraan 2
.
Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula
.
Ipagpalagay n = 2
, nakita namin ang unang integral.
Isulat muli natin ang pangalawang integral sa form
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos
Gamitin natin ang ikatlong paraan. Binabago namin ang variable t = φ (x) = ln x.
.
Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula
Dahil ang variable ng pagsasama ay maaaring ipahiwatig ng anumang titik, kung gayon
Isulat muli natin ang ikatlong integral sa anyo
.
Inilapat namin ang formula ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi.
Ilagay natin.
Pagkatapos
;
;
;
;
.
Sa paaralan, maraming tao ang nabigo sa paglutas ng mga integral o nahihirapan sa kanila. Ang artikulong ito ay tutulong sa iyo na malaman ito, dahil makikita mo ang lahat sa loob nito. integral na mga talahanayan.
integral ay isa sa mga pangunahing kalkulasyon at konsepto sa mathematical analysis. Ang hitsura nito ay nagresulta mula sa dalawang layunin:
Unang layunin- ibalik ang isang function gamit ang derivative nito.
Pangalawang layunin- pagkalkula ng lugar na matatagpuan sa layo mula sa graph hanggang sa function na f(x) sa tuwid na linya kung saan, ang a ay mas malaki sa o katumbas ng x na mas malaki kaysa sa o katumbas ng b at ang x-axis.
Ang mga layuning ito ay humahantong sa atin sa tiyak at hindi tiyak na mga integral. Ang koneksyon sa pagitan ng mga integral na ito ay nakasalalay sa paghahanap para sa mga katangian at pagkalkula. Ngunit ang lahat ay dumadaloy at lahat ng bagay ay nagbabago sa paglipas ng panahon, ang mga bagong solusyon ay natagpuan, ang mga pagdaragdag ay natukoy, sa gayon ay humahantong sa mga tiyak at hindi tiyak na integral sa iba pang mga anyo ng pagsasama.
Anong nangyari hindi tiyak na integral tanong mo. Ito ay isang antiderivative function na F(x) ng isang variable x sa pagitan na mas malaki sa x na mas malaki kaysa sa b. ay tinatawag na anumang function F(x), sa isang ibinigay na pagitan para sa anumang pagtatalaga x, ang derivative ay katumbas ng F(x). Malinaw na ang F(x) ay antiderivative para sa f(x) sa pagitan ng a ay mas malaki kaysa sa x ay mas malaki kaysa sa b. Nangangahulugan ito na F1(x) = F(x) + C. C - ay anumang pare-pareho at antiderivative para sa f(x) sa isang ibinigay na pagitan. Ang pahayag na ito ay invertible; para sa function na f(x) - 2 ang mga antiderivative ay naiiba lamang sa pare-pareho. Batay sa theorem ng integral calculus, lumalabas na ang bawat tuloy-tuloy sa pagitan a
Tiyak na integral ay nauunawaan bilang isang limitasyon sa integral sums, o sa sitwasyon ng isang ibinigay na function na f(x) na tinukoy sa ilang linya (a,b) na mayroong antiderivative F dito, ibig sabihin ang pagkakaiba ng mga expression nito sa mga dulo ng isang linya F(b) - F(a).
Upang ilarawan ang pag-aaral ng paksang ito, iminumungkahi kong panoorin ang video. Sinasabi nito nang detalyado at ipinapakita kung paano maghanap ng mga integral.
Ang bawat talahanayan ng mga integral sa sarili nito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil nakakatulong ito sa paglutas ng isang partikular na uri ng integral.
Lahat ng posibleng uri ng stationery at higit pa. Maaari kang bumili sa pamamagitan ng online na tindahan v-kant.ru. O sundin lamang ang link na Stationery Samara (http://v-kant.ru) ang kalidad at mga presyo ay kawili-wiling sorpresa sa iyo.
Ilista natin ang mga integral ng mga pag-andar ng elementarya, na kung minsan ay tinatawag na tabular:
Anuman sa mga formula sa itaas ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng derivative ng kanang bahagi (ang resulta ay ang integrand).
Mga pamamaraan ng pagsasama
Tingnan natin ang ilang pangunahing paraan ng pagsasama. Kabilang dito ang:
1. Paraan ng agnas(direktang pagsasama).
Ang pamamaraang ito ay batay sa direktang paggamit ng mga integral na tabular, gayundin sa paggamit ng mga katangian 4 at 5 ng hindi tiyak na integral (i.e., pag-alis ng pare-parehong kadahilanan sa mga bracket at/o kumakatawan sa integrand bilang isang kabuuan ng mga function - decomposition ng integrand sa mga termino).
Halimbawa 1. Halimbawa, upang mahanap ang(dx/x 4) maaari mong direktang gamitin ang table integral para sax n dx. Sa katunayan,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.
Halimbawa 2. Upang mahanap ito, ginagamit namin ang parehong integral:
Halimbawa 3. Upang mahanap ito kailangan mong kunin
Halimbawa 4. Upang mahanap, kinakatawan namin ang integrand function sa form 
at gamitin ang table integral para sa exponential function:
Isaalang-alang natin ang paggamit ng bracketing isang pare-parehong kadahilanan.
Halimbawa 5.
Hanapin natin, halimbawa 
. Isinasaalang-alang na, nakukuha namin
Halimbawa 6. Hahanapin natin. Dahil ang 
, gamitin natin ang table integral 
Nakukuha namin
Sa sumusunod na dalawang halimbawa, maaari mo ring gamitin ang bracketing at mga integral ng talahanayan:
Halimbawa 7.
(ginagamit namin at 
);
Halimbawa 8.
(ginagamit namin 
At 
).
Tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa na gumagamit ng sum integral.
Halimbawa 9. Halimbawa, hanapin natin 
. Upang ilapat ang paraan ng pagpapalawak sa numerator, ginagamit namin ang sum cube formula , at pagkatapos ay hatiin ang resultang polynomial sa denominator, termino sa pamamagitan ng termino.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Dapat pansinin na sa dulo ng solusyon ang isang karaniwang pare-parehong C ay nakasulat (at hindi hiwalay kapag isinasama ang bawat termino). Sa hinaharap, iminumungkahi din na alisin ang mga constant mula sa pagsasama ng mga indibidwal na termino sa proseso ng solusyon hangga't ang expression ay naglalaman ng hindi bababa sa isang hindi tiyak na integral (magsusulat kami ng isang pare-pareho sa dulo ng solusyon).
Halimbawa 10. Hahanapin natin 
. Upang malutas ang problemang ito, i-factorize natin ang numerator (pagkatapos nito ay maaari nating bawasan ang denominator).
Halimbawa 11. Hahanapin natin. Maaaring gamitin dito ang mga pagkakakilanlang trigonometriko.
Minsan, upang mabulok ang isang expression sa mga termino, kailangan mong gumamit ng mas kumplikadong mga diskarte.
Halimbawa 12. Hahanapin natin 
. Sa integrat pipiliin namin ang buong bahagi ng fraction 
. Pagkatapos
Halimbawa 13. Hahanapin natin
2. Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)
Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kung saan ang x =(t) ay isang function na naiba-iba sa pagitan na isinasaalang-alang.
Patunay. Hanapin natin ang mga derivatives na may paggalang sa variable tmula sa kaliwa at tamang bahagi mga formula.
Tandaan na sa kaliwang bahagi mayroong isang kumplikadong function na ang intermediate argument ay x = (t). Samakatuwid, upang pag-iba-ibahin ito nang may paggalang sa t, una nating pinagkaiba ang integral na may paggalang sa x, at pagkatapos ay kunin ang derivative ng intermediate argument na may paggalang sa t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivative mula sa kanang bahagi:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Dahil ang mga derivatives na ito ay pantay-pantay, ayon sa corollary sa Lagrange's theorem, ang kaliwa at kanang bahagi ng formula na pinatutunayang naiiba sa pamamagitan ng isang tiyak na pare-pareho. Dahil ang mga di-tiyak na integral mismo ay tinukoy hanggang sa isang hindi tiyak na pare-parehong termino, ang pare-parehong ito ay maaaring tanggalin mula sa panghuling notasyon. Napatunayan.
Ang matagumpay na pagbabago ng variable ay nagbibigay-daan sa iyo na gawing simple ang orihinal na integral, at sa pinakasimpleng mga kaso, bawasan ito sa isang tabular. Sa paggamit ng pamamaraang ito, ang isang pagkakaiba ay ginawa sa pagitan ng mga linear at nonlinear na pamamaraan ng pagpapalit.
a) Linear substitution method Tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa 1.
. Hayaan ang t= 1 – 2x, pagkatapos
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Dapat tandaan na ang bagong variable ay hindi kailangang isulat nang tahasan. Sa ganitong mga kaso, pinag-uusapan nila ang pagbabago ng isang function sa ilalim ng differential sign o tungkol sa pagpapakilala ng mga constant at variable sa ilalim ng differential sign, i.e. O implicit variable na pagpapalit.
Halimbawa 2. Halimbawa, hanapin natin angcos(3x + 2)dx. Sa pamamagitan ng mga katangian ng differential dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pagkataposcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Sa parehong mga halimbawa na isinasaalang-alang, ang linear substitution t=kx+b(k0) ay ginamit upang mahanap ang mga integral.
Sa pangkalahatang kaso, ang sumusunod na teorama ay wasto.
Linear substitution theorem. Hayaang ang F(x) ay ilang antiderivative ng function na f(x). Pagkataposf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kung saan ang k at b ay ilang constants,k0.
Patunay.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Alisin natin ang pare-parehong salik na k sa integral sign: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ngayon ay maaari nating hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa dalawa at makuha ang pahayag na patunayan hanggang sa pagtatalaga ng pare-parehong termino.
Ang theorem na ito ay nagsasaad na kung sa kahulugan ng integral f(x)dx= F(x) + C sa halip na argumentong x ay papalitan natin ang expression (kx+b), ito ay hahantong sa paglitaw ng karagdagang factor 1/k sa harap ng antiderivative.
Gamit ang napatunayang teorama, malulutas namin ang mga sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 3.
Hahanapin natin 
. Dito kx+b= 3 –x, ibig sabihin, k= -1,b= 3. Pagkatapos
Halimbawa 4.
Hahanapin natin. Herekx+b= 4x+ 3, ibig sabihin, k= 4,b= 3. Pagkatapos
Halimbawa 5.
Hahanapin natin 
. Dito kx+b= -2x+ 7, ibig sabihin, k= -2,b= 7. Pagkatapos
.
Halimbawa 6. Hahanapin natin 
. Dito kx+b= 2x+ 0, ibig sabihin, k= 2,b= 0.
.
Ihambing natin ang resulta na nakuha sa halimbawa 8, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agnas. Ang paglutas ng parehong problema gamit ang ibang paraan, nakuha namin ang sagot 
. Ihambing natin ang mga resulta: Kaya, ang mga expression na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino 
, ibig sabihin. Ang mga sagot na natanggap ay hindi sumasalungat sa bawat isa.
Halimbawa 7. Hahanapin natin 
. Pumili tayo ng perpektong parisukat sa denominator.
Sa ilang mga kaso, ang pagbabago ng isang variable ay hindi binabawasan ang integral nang direkta sa isang tabular, ngunit maaaring gawing simple ang solusyon, na ginagawang posible na gamitin ang paraan ng pagpapalawak sa isang kasunod na hakbang.
Halimbawa 8. Halimbawa, hanapin natin 
. Palitan ang t=x+ 2, pagkatapos ay dt=d(x+ 2) =dx. Pagkatapos
,
kung saan ang C = C 1 – 6 (kapag pinapalitan ang expression (x+ 2) sa halip na ang unang dalawang termino ay makakakuha tayo ng ½x 2 -2x– 6).
Halimbawa 9. Hahanapin natin 
. Hayaan ang t= 2x+ 1, pagkatapos ay dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Palitan natin ang expression (2x+ 1) para sa t, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad.
Tandaan na sa proseso ng mga pagbabagong-anyo lumipat kami sa isa pang pare-parehong termino, dahil ang pangkat ng mga pare-parehong termino ay maaaring tanggalin sa panahon ng proseso ng pagbabago.
b) Nonlinear na paraan ng pagpapalit Tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa 1.
. Lett= -x 2. Susunod, maaaring ipahayag ng isa ang x sa mga tuntunin ng t, pagkatapos ay maghanap ng isang expression para sa dx at magpatupad ng pagbabago ng variable sa nais na integral. Ngunit sa sa kasong ito Mas madaling gawin ito sa ibang paraan. Hanapin natindt=d(-x 2) = -2xdx. Tandaan na ang expression na xdx ay isang salik ng integrand ng gustong integral. Ipahayag natin ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantayxdx= - ½dt. Pagkatapos
Antiderivative function at indefinite integral
Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na aksyon ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Ang pag-andar kaya naibalik F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x).
Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay ay hawak F "(x)=f(x), yan ay function na ito f(x) ay ang derivative ng antiderivative function F(x). .
Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay isang antiderivative ng function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .
Kahulugan 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang set ng lahat ng antiderivatives nito. Sa kasong ito, ginagamit ang notasyon
∫
f(x)dx
,nasaan ang tanda ∫ tinatawag na integral sign, ang function f(x) – integrand function, at f(x)dx - pagsasama at pagpapahayag.
Kaya, kung F(x) – ilang antiderivative para sa f(x), Iyon
∫
f(x)dx = F(x) +C
saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).
Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Magkaroon ng pinto (tradisyonal kahoy na pinto). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto." Ano ang gawa sa pinto? Gawa sa kahoy. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand ng function na "to be a door", iyon ay, ang indefinite integral nito, ay ang function na "to be a tree + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring tukuyin, halimbawa, ang uri ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay ginawa mula sa kahoy gamit ang ilang mga tool, ang isang derivative ng isang function ay "ginawa" mula sa isang antiderivative function gamit ang mga formula na natutunan namin habang pinag-aaralan ang derivative .
Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang mga kaukulang antiderivatives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng pangunahing indefinite integrals, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function na may indikasyon ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Sa bahagi ng mga problema sa paghahanap ng hindi tiyak na integral, ang mga integrand ay ibinibigay na maaaring direktang pagsamahin nang walang labis na pagsisikap, iyon ay, gamit ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, kailangan munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral ng talahanayan.
Katotohanan 2. Kapag nire-restore ang isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang arbitrary constant (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong magsulat ng isang hanay ng mga antiderivative na may arbitrary na pare-pareho C, halimbawa, tulad nito: 5 x³+C. Kaya, ang isang di-makatwirang pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring maging isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag naiba, 4 o 3, o anumang iba pang pare-pareho ay napupunta sa zero.
Ibigay natin ang problema sa pagsasama: para sa function na ito f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango katumbas ng f(x).
Halimbawa 1. Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function
Solusyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function
Function F(x) ay tinatawag na isang antiderivative para sa function f(x), kung ang derivative F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, pagkakaiba F(x) ay pantay f(x) dx, ibig sabihin.
(2)
Samakatuwid, ang function ay isang antiderivative ng function. Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Nagsisilbi rin sila bilang mga function
saan SA– di-makatwirang pare-pareho. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.
Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang bilang ng mga antiderivative na naiiba sa isang pare-parehong termino. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.
Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung F(x) – antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring katawanin sa anyo F(x) + C, Saan SA– di-makatwirang pare-pareho.
SA sumusunod na halimbawa Bumaling na tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago basahin ang buong talahanayan upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga pag-aari, gagamitin namin ang mga ito nang buo sa panahon ng pagsasama.
Halimbawa 2. Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivative function:
Solusyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon ay tanggapin na lamang na mayroong gayong mga pormula doon, at pag-aaralan pa natin ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.
1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin
2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami
3) Mula noon
pagkatapos ay ayon sa formula (7) na may n= -1/4 nakita namin
Hindi ang function mismo ang nakasulat sa ilalim ng integral sign. f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ginagawa ito lalo na upang maipahiwatig kung saan hinahanap ang antiderivative. Halimbawa,
,
;
dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga kasong isinasaalang-alang ay naiiba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .
Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.
Geometric na kahulugan ng hindi tiyak na integral
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng curve y=F(x) at alam na natin na ang tangent ng tangent angle sa bawat punto nito ay isang ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.
Ayon sa geometric na kahulugan ng derivative, ang tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa isang naibigay na punto ng curve y=F(x) katumbas ng halaga derivative F"(x). Kaya kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangan ang pag-andar sa gawain F(x) ay isang antiderivative ng f(x). Ang mga kondisyon ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.
Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) mayroong isang integral curve.
Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba , tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ng mga coordinate ay tinutukoy ng isang arbitraryong integration constant C.
Mga katangian ng hindi tiyak na integral
Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.
Fact 5. Theorem 2. Indefinite integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.
(3)
Ang mga teorema 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibahan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.
Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.
Ang pagsasama ay hindi mahirap matutunan. Upang gawin ito, kailangan mo lamang matuto ng isang tiyak, medyo maliit na hanay ng mga patakaran at bumuo ng isang uri ng likas na ugali. Siyempre, madaling matutunan ang mga patakaran at mga formula, ngunit medyo mahirap maunawaan kung saan at kailan ilalapat ito o ang panuntunang iyon ng pagsasama o pagkita ng kaibhan. Ito, sa katunayan, ay ang kakayahang magsama.
1. Antiderivative. Indefinite integral.
Ipinapalagay na sa oras ng pagbabasa ng artikulong ito ang mambabasa ay mayroon nang ilang mga kasanayan sa pagkakaiba-iba (i.e., paghahanap ng mga derivatives).
Kahulugan 1.1: Ang isang function ay tinatawag na isang antiderivative ng isang function kung ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:
Mga komento:> Ang diin sa salitang "primordial" ay maaaring ilagay sa dalawang paraan: una O matalinhaga o prototype A nakakaalam.
Ari-arian 1: Kung ang isang function ay isang antiderivative ng isang function, kung gayon ang function ay isa ring antiderivative ng isang function.
Patunay: Patunayan natin ito mula sa kahulugan ng isang antiderivative. Hanapin natin ang derivative ng function:
Ang unang termino sa kahulugan 1.1 ay katumbas ng , at ang pangalawang termino ay ang derivative ng pare-pareho, na katumbas ng 0.
.
Ibuod. Isulat natin ang simula at dulo ng chain of equalities: 
Kaya, ang derivative ng isang function ay katumbas ng , at samakatuwid, ayon sa kahulugan, ay ang antiderivative nito. Ang ari-arian ay napatunayan na.
Kahulugan 1.2: Ang hindi tiyak na integral ng isang function ay ang buong hanay ng mga antiderivatives ng function na ito. Ito ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod: 
.
Tingnan natin nang detalyado ang mga pangalan ng bawat bahagi ng talaan:
- pangkalahatang pagtatalaga ng integral,
- integrand (integral) expression, integrable function.
ay isang kaugalian, at ang expression pagkatapos ng titik , sa kasong ito ay , ay tatawaging variable ng pagsasama.
Mga komento: Mga keyword sa kahulugang ito – “ang buong karamihan”. Yung. kung sa hinaharap ang parehong "plus C" ay hindi nakasulat sa sagot, kung gayon ang inspektor ay mayroon bawat karapatan huwag mong bilangin ang takdang-aralin na ito, dahil ito ay kinakailangan upang mahanap ang buong hanay ng mga antiderivatives, at kung C ay nawawala, pagkatapos ay isa lamang ang matatagpuan.
Konklusyon: Upang masuri kung ang integral ay kinakalkula nang tama, kinakailangan upang mahanap ang derivative ng resulta. Dapat itong kasabay ng integrand.
Halimbawa:
Pagsasanay: Kalkulahin ang hindi tiyak na integral at suriin.
Solusyon:
Ang paraan ng pagkalkula ng integral na ito ay hindi mahalaga sa kasong ito. Ipagpalagay natin na ito ay isang paghahayag mula sa itaas. Ang ating gawain ay ipakita na ang paghahayag ay hindi tayo dinaya, at ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapatunay.
Pagsusuri:
Kapag iniiba ang resulta, nakakuha kami ng integrand, na nangangahulugan na ang integral ay kinakalkula nang tama.
2. Simula. Talaan ng mga integral.
Upang isama, hindi mo kailangang tandaan sa bawat oras na ang function na ang derivative ay katumbas ng ibinigay na integrand (ibig sabihin, gamitin ang kahulugan ng integral nang direkta). Ang bawat koleksyon ng mga problema o aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay naglalaman ng isang listahan ng mga katangian ng mga integral at isang talahanayan ng mga pinakasimpleng integral.
Ilista natin ang mga katangian.
Ari-arian:
1.
Ang integral ng differential ay katumbas ng variable ng integration.
2. , kung saan ay isang pare-pareho.
Ang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa integral sign.
3.
Ang integral ng isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral (kung ang bilang ng mga termino ay may hangganan).
Talaan ng mga integral:
| 1. | 10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12. |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18. |
Kadalasan, ang gawain ay bawasan ang integral sa ilalim ng pag-aaral sa isang tabular gamit ang mga katangian at formula.
Halimbawa:
[Gamitin natin ang ikatlong katangian ng mga integral at isulat ito bilang kabuuan ng tatlong integral.]
[Gamitin natin ang pangalawang pag-aari at ilipat ang mga constant sa kabila ng integration sign.]
[ Sa unang integral gagamit tayo ng table integral No. 1 (n=2), sa pangalawa ay gagamitin natin ang parehong formula, ngunit n=1, at para sa ikatlong integral maaari nating gamitin ang parehong table integral, ngunit may n=0, o ang unang katangian ]
.
Suriin natin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan:
Ang orihinal na integrand ay nakuha, samakatuwid, ang pagsasama ay isinagawa nang walang mga pagkakamali (at ang pagdaragdag ng isang di-makatwirang pare-parehong C ay hindi kahit na nakalimutan).
Ang mga integral ng talahanayan ay dapat na matutunan sa pamamagitan ng puso para sa isang simpleng dahilan - upang malaman kung ano ang magsusumikap para sa, i.e. alamin ang layunin ng pagbabago ng isang naibigay na expression.
Narito ang ilan pang halimbawa:
1) 
2) 
3) 
Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:
Ehersisyo 1. Kalkulahin ang hindi tiyak na integral:
+ Ipakita/itago ang pahiwatig #1.
1) Gamitin ang ikatlong pag-aari at katawanin ang integral na ito bilang kabuuan ng tatlong integral.
+ Ipakita/itago ang pahiwatig #2.
+ Ipakita/itago ang pahiwatig #3.
3) Para sa unang dalawang termino, gamitin ang unang tabular integral, at para sa pangatlo, gamitin ang pangalawang tabular integral.
+ Ipakita/itago ang Solusyon at Sagot.
4) Solusyon: 
Sagot: 