Sa seksyon sa tanong, maghanap ng isang vector na patayo sa dalawang ibinigay na mga vector na ibinigay ng may-akda Anna Afanasyeva ang pinakamagandang sagot ay Ang isang vector na patayo sa dalawang di-parallel na mga vector ay matatagpuan bilang kanilang produkto ng vector ahv, upang mahanap ito kailangan mong bumuo ng isang determinant, ang unang linya na kung saan ay binubuo ng yunit mga vectors I,j,k, ang pangalawa ay mula sa mga coordinate ng vector a, ang pangatlo ay mula sa mga coordinate ng vector b. Ang determinant ay itinuturing na isang pagpapalawak sa kahabaan ng unang linya, sa iyong kaso makakakuha ka ng akhv=20i-10k, o ahv=(20,0,-10).
Sagot mula sa 22 sagot[guru]
Kamusta! Narito ang isang seleksyon ng mga paksang may mga sagot sa iyong tanong: maghanap ng isang vector na patayo sa dalawang ibinigay na mga vector
Sagot mula sa mag-inat[newbie]
Ang isang vector na patayo sa dalawang di-parallel na mga vector ay matatagpuan bilang kanilang produkto ng vector xb, upang mahanap ito kailangan mong bumuo ng isang determinant, ang unang linya na kung saan ay bubuo ng mga unit vectors I, j, k, ang pangalawa - mula sa mga coordinate ng vector a, ang pangatlo - mula sa mga coordinate ng vector b. Ang determinant ay itinuturing na isang pagpapalawak sa kahabaan ng unang linya, sa iyong kaso makakakuha ka ng akhv=20i-10k, o ahv=(20,0,-10).
Sagot mula sa HAYKA[guru]
Halos lutasin ito tulad nito; Pero basahin mo muna lahat!! !
Kalkulahin scalar na produkto mga vectors d at r, kung d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Ang modulus ng vector a ay 4, ang modulus ng vector b ay 6. Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b ay 60 degrees, ang vector c ay patayo sa mga vectors a at b.
Ang mga puntos na E at F ay namamalagi ayon sa pagkakasunod-sunod sa mga gilid AD at BC ng parallelogram ABCD, na may AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Ipahayag ang vector EF sa mga tuntunin ng mga vectors m = vector AB at vector n = vector AD. b) Maaari bang ang equality vector EF = x na pinarami ng vector CD ay humawak para sa anumang halaga ng x? .
ohm Upang gawin ito, ipinakilala muna namin ang konsepto ng isang segment.
Kahulugan 1
Tatawagin natin ang isang segment na bahagi ng isang linya na nililimitahan ng mga punto sa magkabilang panig.
Kahulugan 2
Ang mga dulo ng isang segment ay ang mga puntong naglilimita dito.
Upang ipakilala ang kahulugan ng isang vector, tinatawag namin ang isa sa mga dulo ng segment na simula nito.
Kahulugan 3
Tatawagin natin ang vector (directed segment) na segment kung saan ipinapahiwatig kung aling boundary point ang simula nito at kung alin ang dulo nito.
Notasyon: Ang \overline(AB) ay isang vector AB na nagsisimula sa punto A at nagtatapos sa punto B.
Kung hindi, sa isang maliit na titik: \overline(a) (Fig. 1).
Kahulugan 4
Tatawagin natin ang zero vector anumang punto na kabilang sa eroplano.
Simbolo: \overline(0) .
Direktang ipakilala natin ngayon ang kahulugan collinear vectors.
Ipapakilala din namin ang kahulugan ng isang scalar na produkto, na kakailanganin namin sa ibang pagkakataon.
Kahulugan 6
Ang scalar product ng dalawang binigay na vector ay isang scalar (o numero) na katumbas ng produkto ng mga haba ng dalawang vector na ito na may cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ito.
Sa matematika, maaaring ganito ang hitsura:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Ang produkto ng tuldok ay matatagpuan din gamit ang mga coordinate ng vector tulad ng sumusunod
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Sign ng perpendicularity sa pamamagitan ng proportionality
Teorama 1
Para sa mga di-zero na vector na patayo sa isa't isa, kinakailangan at sapat na ang kanilang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.
Patunay.
Pangangailangan: Bigyan tayo ng mga vectors \overline(α) at \overline(β) na may mga coordinate (α_1,α_2,α_3) at (β_1,β_2,β_3), ayon sa pagkakabanggit, at sila ay patayo sa isa't isa. Pagkatapos ay kailangan nating patunayan ang sumusunod na pagkakapantay-pantay
Dahil ang mga vectors \overline(α) at \overline(β) ay patayo, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90^0. Hanapin natin ang scalar product ng mga vector na ito gamit ang formula mula sa Definition 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Sapat: Hayaang maging totoo ang pagkakapantay-pantay \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Patunayan natin na ang mga vectors \overline(α) at \overline(β) ay magiging patayo sa isa't isa.
Sa kahulugan 6, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Samakatuwid, ang mga vectors \overline(α) at \overline(β) ay magiging patayo sa isa't isa.
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa 1
Patunayan na ang mga vector na may mga coordinate (1,-5,2) at (2,1,3/2) ay patayo.
Patunay.
Hanapin natin ang produktong scalar para sa mga vector na ito gamit ang formula na ibinigay sa itaas
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Nangangahulugan ito, ayon sa Theorem 1, ang mga vector na ito ay patayo.
Paghahanap ng patayo na vector sa dalawang ibinigay na vectors gamit ang cross product
Ipakilala muna natin ang konsepto ng isang produkto ng vector.
Kahulugan 7
Ang produkto ng vector ng dalawang vector ay magiging isang vector na magiging patayo sa parehong ibinigay na mga vector, at ang haba nito ay magiging katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito na may sine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ito, at gayundin ang vector na ito na may dalawang ang mga inisyal ay may parehong oryentasyon gaya ng Cartesian coordinate system.
pagtatalaga: \overline(α)х\overline(β) x.
Upang mahanap ang produkto ng vector, gagamitin namin ang formula
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Dahil ang vector ng cross product ng dalawang vectors ay patayo sa pareho ng mga vector na ito, ito ang magiging vector. Iyon ay, upang makahanap ng isang vector na patayo sa dalawang mga vector, kailangan mo lamang hanapin ang kanilang produkto ng vector.
Halimbawa 2
Maghanap ng isang vector na patayo sa mga vector na may mga coordinate \overline(α)=(1,2,3) at \overline(β)=(-1,0,3)
Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector na ito.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Ang artikulong ito ay nagpapakita ng kahulugan ng perpendicularity ng dalawang vector sa isang eroplano sa tatlong-dimensional na espasyo at paghahanap ng mga coordinate ng isang vector na patayo sa isa o isang buong pares ng mga vector. Ang paksa ay naaangkop sa mga problemang kinasasangkutan ng mga equation ng mga linya at eroplano.
Isasaalang-alang namin ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang vectors, lutasin ang paraan ng paghahanap ng isang vector na patayo sa isang naibigay na isa, at hawakan ang mga sitwasyon ng paghahanap ng isang vector na patayo sa dalawang vectors.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang vectors
Ilapat natin ang panuntunan tungkol sa mga perpendikular na vector sa eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.
Kahulugan 1
Kung ang anggulo sa pagitan ng dalawang di-zero na vector ay katumbas ng 90 ° (π 2 radians) ay tinatawag patayo.
Ano ang ibig sabihin nito, at sa anong mga sitwasyon kailangang malaman ang tungkol sa kanilang perpendicularity?
Ang pagtatatag ng perpendicularity ay posible sa pamamagitan ng pagguhit. Kapag nagpaplano ng isang vector sa isang eroplano mula sa mga ibinigay na punto, maaari mong sukatin sa geometriko ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Kahit na ang perpendicularity ng mga vector ay naitatag, hindi ito magiging ganap na tumpak. Kadalasan, ang mga gawaing ito ay hindi nagpapahintulot sa iyo na gawin ito gamit ang isang protractor, kaya ang pamamaraang ito ay naaangkop lamang kapag walang ibang nalalaman tungkol sa mga vector.
Karamihan sa mga kaso ng pagpapatunay ng perpendicularity ng dalawang non-zero vectors sa isang eroplano o sa kalawakan ay ginagawa gamit ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang vectors.
Teorama 1
Ang scalar product ng dalawang di-zero vectors a → at b → katumbas ng zero upang masiyahan ang pagkakapantay-pantay a → , b → = 0 ay sapat na para sa kanilang perpendicularity.
Katibayan 1
Hayaang ang mga ibinigay na vectors a → at b → ay patayo, pagkatapos ay patunayan natin ang pagkakapantay-pantay a ⇀ , b → = 0 .
Mula sa kahulugan ng tuldok na produkto ng mga vector alam natin na ito ay katumbas ang produkto ng mga haba ng ibinigay na mga vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang a → at b → ay patayo, na nangangahulugang, batay sa kahulugan, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 °. Pagkatapos ay mayroon tayong → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Ikalawang bahagi ng patunay
Sa kondisyon na ang a ⇀, b → = 0, ay patunayan ang perpendicularity ng a → at b →.
Sa katunayan, ang patunay ay kabaligtaran ng nauna. Ito ay kilala na ang a → at b → ay hindi zero, na nangangahulugan na mula sa pagkakapantay-pantay a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ nakita natin ang cosine. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Dahil ang cosine ay zero, maaari nating tapusin na ang anggulo a →, b → ^ ng mga vectors a → at b → ay katumbas ng 90 °. Sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kinakailangan at sapat na pag-aari.
Perpendicularity na kondisyon sa coordinate plane
Kabanata scalar na produkto sa mga coordinate ipinapakita ang hindi pagkakapantay-pantay (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , wasto para sa mga vector na may mga coordinate a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y), sa eroplano at (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y para sa mga vector a → = (a x , a y , a z) at b → = (b x , b y , b z) sa espasyo. Ang kailangan at sapat na kundisyon para sa perpendicularity ng dalawang vectors sa coordinate plane ay a x · b x + a y · b y = 0, para sa three-dimensional space a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Isagawa natin ito at tingnan ang mga halimbawa.
Halimbawa 1
Suriin ang ari-arian ng perpendicularity ng dalawang vectors a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Solusyon
Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong hanapin ang scalar product. Kung ayon sa kondisyon ito ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga ito ay patayo.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Ang kundisyon ay natutugunan, na nangangahulugan na ang ibinigay na mga vector ay patayo sa eroplano.
Sagot: oo, ang mga ibinigay na vectors a → at b → ay patayo.
Halimbawa 2
Ay ibinigay coordinate vectors i → , j → , k → . Suriin kung ang mga vectors i → - j → at i → + 2 · j → + 2 · k → ay maaaring patayo.
Solusyon
Upang matandaan kung paano tinutukoy ang mga coordinate ng vector, kailangan mong basahin ang artikulo tungkol sa vector coordinates sa isang rectangular coordinate system. Kaya, nalaman namin na ang ibinigay na mga vectors i → - j → at i → + 2 · j → + 2 · k → ay may kaukulang mga coordinate (1, - 1, 0) at (1, 2, 2). Pinapalitan namin ang mga numerical na halaga at makuha ang: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Ang expression ay hindi katumbas ng zero, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, na nangangahulugan na ang mga vectors i → - j → at i → + 2 j → + 2 k → ay hindi patayo, dahil ang kundisyon ay hindi natutugunan.
Sagot: hindi, ang mga vectors i → - j → at i → + 2 · j → + 2 · k → ay hindi patayo.
Halimbawa 3
Ibinigay ang mga vector a → = (1, 0, - 2) at b → = (λ, 5, 1). Hanapin ang halaga ng λ kung saan ang mga vector na ito ay patayo.
Solusyon
Ginagamit namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors sa espasyo sa square form, pagkatapos ay makuha namin
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Sagot: ang mga vector ay patayo sa halagang λ = 2.
May mga kaso kapag ang tanong ng perpendicularity ay imposible kahit na sa ilalim ng isang kinakailangan at sapat na kondisyon. Dahil sa kilalang data sa tatlong panig ng isang tatsulok sa dalawang vectors, posible na mahanap anggulo sa pagitan ng mga vector at suriin ito.
Halimbawa 4
Ibinigay ang isang tatsulok A B C na may mga gilid A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Suriin ang mga vectors A B → at A C → para sa perpendicularity.
Solusyon
Kung ang mga vectors A B → at A C → ay patayo, ang tatsulok na A B C ay itinuturing na hugis-parihaba. Pagkatapos ay inilalapat namin ang Pythagorean theorem, kung saan ang B C ay ang hypotenuse ng tatsulok. Ang pagkakapantay-pantay B C 2 = A B 2 + A C 2 ay dapat totoo. Kasunod nito na 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Nangangahulugan ito na ang A B at A C ay mga binti ng tatsulok na A B C, samakatuwid, ang A B → at A C → ay patayo.
Mahalagang matutunan kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector na patayo sa isang ibinigay. Posible ito kapwa sa eroplano at sa kalawakan, sa kondisyon na ang mga vector ay patayo.
Paghahanap ng isang vector patayo sa isang ibinigay na isa sa isang eroplano.
Ang isang non-zero vector a → ay maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga perpendikular na vector sa eroplano. Ilarawan natin ito sa isang coordinate line.
Given a non-zero vector a → nakahiga sa tuwid na linya a. Pagkatapos ang isang ibinigay na b →, na matatagpuan sa anumang linya na patayo sa linya a, ay nagiging patayo sa isang →. Kung ang vector i → ay patayo sa vector j → o alinman sa mga vectors λ · j → na may λ na katumbas ng anumang tunay na numero maliban sa zero, pagkatapos ay hanapin ang mga coordinate ng vector b → patayo sa a → = (a x , a y ) ay nabawasan sa isang walang katapusang hanay ng mga solusyon. Ngunit ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng vector patayo sa isang → = (a x , a y) . Upang gawin ito, kinakailangang isulat ang kondisyon ng perpendicularity ng mga vector sa sumusunod na anyo: a x · b x + a y · b y = 0. Mayroon kaming b x at b y, na kung saan ay ang nais na mga coordinate ng patayo na vector. Kapag ang a x ≠ 0, ang halaga ng b y ay hindi zero, at ang b x ay maaaring kalkulahin mula sa hindi pagkakapantay-pantay a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Para sa isang x = 0 at a y ≠ 0, itinatalaga namin ang b x ng anumang halaga maliban sa zero, at hanapin ang b y mula sa expression na b y = - a x · b x a y .
Halimbawa 5
Ibinigay ang isang vector na may mga coordinate a → = (- 2 , 2) . Maghanap ng isang vector na patayo dito.
Solusyon
Tukuyin natin ang gustong vector bilang b → (b x , b y) . Ang mga coordinate nito ay matatagpuan mula sa kondisyon na ang mga vectors a → at b → ay patayo. Pagkatapos ay makukuha natin ang: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Italaga natin ang b y = 1 at palitan natin ang: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Kaya, mula sa formula ay nakukuha natin ang b x = - 2 - 2 = 1 2. Nangangahulugan ito na ang vector b → = (1 2 , 1) ay isang vector na patayo sa isang → .
Sagot: b → = (1 2, 1) .
Kung ang tanong ay itinaas tungkol sa tatlong-dimensional na espasyo, ang problema ay malulutas ayon sa parehong prinsipyo. Para sa isang naibigay na vector a → = (a x , a y , a z) mayroong isang walang katapusang bilang ng mga perpendikular na vector. Aayusin ito sa isang three-dimensional na coordinate plane. Given a → lying on the line a. Ang eroplanong patayo sa tuwid na a ay tinutukoy ng α. Sa kasong ito, ang anumang di-zero na vector b → mula sa eroplanong α ay patayo sa isang →.
Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng b → patayo sa di-zero na vector a → = (a x , a y , a z) .
Hayaang ibigay ang b → na may mga coordinate b x , b y at b z . Upang mahanap ang mga ito, kinakailangang ilapat ang kahulugan ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors. Ang pagkakapantay-pantay a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ay dapat masiyahan. Mula sa kundisyong a → ay non-zero, na nangangahulugan na ang isa sa mga coordinate ay may halaga na hindi katumbas ng zero. Ipagpalagay natin na a x ≠ 0, (a y ≠ 0 o a z ≠ 0). Samakatuwid, may karapatan tayong hatiin ang buong hindi pagkakapantay-pantay a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 sa pamamagitan ng coordinate na ito, nakukuha namin ang expression b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Nagtatalaga kami ng anumang halaga sa mga coordinate b y at b x, kalkulahin ang halaga ng b x batay sa formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Ang gustong perpendicular vector ay magkakaroon ng value na a → = (a x, a y, a z).
Tingnan natin ang patunay gamit ang isang halimbawa.
Halimbawa 6
Ibinigay ang isang vector na may mga coordinate a → = (1, 2, 3) . Maghanap ng isang vector na patayo sa ibinigay.
Solusyon
Tukuyin natin ang gustong vector sa pamamagitan ng b → = (b x , b y , b z) . Batay sa kondisyon na ang mga vector ay patayo, ang scalar product ay dapat na katumbas ng zero.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Kung ang halaga ng b y = 1, b z = 1, kung gayon b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Ito ay sumusunod na ang mga coordinate ng vector b → (- 5 , 1 , 1) . Ang Vector b → ay isa sa mga vector na patayo sa ibinigay.
Sagot: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Paghahanap ng mga coordinate ng isang vector patayo sa dalawang ibinigay na vectors
Kailangan nating hanapin ang mga coordinate ng vector sa tatlong-dimensional na espasyo. Ito ay patayo sa mga di-collinear na vectors a → (a x , a y , a z) at b → = (b x , b y , b z) . Sa kondisyon na ang mga vectors a → at b → ay collinear, ito ay sapat na upang makahanap ng isang vector na patayo sa a → o b → sa problema.
Kapag nag-solve, ginagamit ang konsepto ng isang vector product ng mga vectors.
Vector na produkto ng mga vector a → at b → ay isang vector na magkasabay na patayo sa parehong a → at b →. Upang malutas ang problemang ito, ginagamit ang produkto ng vector a → × b →. Para sa tatlong-dimensional na espasyo ito ay may anyong a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Tingnan natin ang produkto ng vector nang mas detalyado gamit ang isang halimbawang problema.
Halimbawa 7
Ang mga vectors b → = (0, 2, 3) at a → = (2, 1, 0) ay ibinigay. Hanapin ang mga coordinate ng anumang vector na patayo sa data nang sabay-sabay.
Solusyon
Upang malutas, kailangan mong hanapin ang produkto ng vector ng mga vector. (Mangyaring sumangguni sa talata pagkalkula ng determinant ng isang matrix upang mahanap ang vector). Nakukuha namin:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Sagot: (3 , - 6 , 4) - mga coordinate ng isang vector na sabay-sabay na patayo sa ibinigay na a → at b → .
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Mga tagubilin
Kung ang orihinal na vector ay inilalarawan sa pagguhit sa isang hugis-parihaba na two-dimensional na sistema ng coordinate at isang patayo ay kailangang itayo doon, magpatuloy mula sa kahulugan ng perpendicularity ng mga vectors sa isang eroplano. Sinasabi nito na ang anggulo sa pagitan ng naturang pares ng mga nakadirekta na mga segment ay dapat na katumbas ng 90°. Ang isang walang katapusang bilang ng mga naturang vector ay maaaring itayo. Samakatuwid, gumuhit ng anuman maginhawang lokasyon ang eroplano ay patayo sa orihinal na vector, maglatag ng isang segment dito na katumbas ng haba ng isang nai-order na pares ng mga puntos at italaga ang isa sa mga dulo nito bilang simula ng patayo na vector. Gawin ito gamit ang isang protractor at ruler.
Kung ang orihinal na vector ay ibinigay ng dalawang-dimensional na coordinate ā = (X₁;Y₁), ipagpalagay na ang scalar product ng isang pares ng perpendicular vectors ay dapat na katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na kailangan mong pumili para sa nais na vector ō = (X₂,Y₂) tulad ng mga coordinate na ang pagkakapantay-pantay (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 ay maaaring gawin tulad nito: piliin ang alinman non-zero value para sa X₂ coordinate, at kalkulahin ang Y₂ coordinate gamit ang formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Halimbawa, para sa vector ā = (15;5) magkakaroon ng vector ō, na may abscissa, katumbas ng isa, at isang ordinate na katumbas ng -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).
Para sa isang three-dimensional at anumang iba pang orthogonal coordinate system, ang parehong kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng mga vectors ay totoo - ang kanilang scalar product ay dapat na katumbas ng zero. Samakatuwid, kung ang paunang nakadirekta na segment ay ibinibigay ng mga coordinate ā = (X₁,Y₁,Z₁), piliin para sa nakaayos na pares ng mga puntos ō = (X₂,Y₂,Z₂) patayo dito tulad ng mga coordinate na nakakatugon sa kundisyon (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Ang pinakamadaling paraan ay ang magtalaga ng mga solong value sa X₂ at Y₂, at kalkulahin ang Z₂ mula sa pinasimpleng equality Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Halimbawa, para sa vector ā = (3,5,4) ito ay kukuha ng sumusunod na anyo: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Pagkatapos ay kunin ang abscissa at ordinate ng perpendicular vector bilang isa, at sa kasong ito ito ay magiging katumbas ng -(3+5)/4 = -2.
Mga Pinagmulan:
- hanapin ang vector kung ito ay patayo
Tinatawag silang patayo vector, ang anggulo sa pagitan ay 90º. Ang mga perpendikular na vector ay itinayo gamit ang mga tool sa pagguhit. Kung ang kanilang mga coordinate ay kilala, kung gayon ang perpendicularity ng mga vector ay maaaring suriin o matagpuan gamit ang mga analytical na pamamaraan.
Kakailanganin mong
- - protraktor;
- - compass;
- - pinuno.
Mga tagubilin
Bumuo ng isang vector na patayo sa ibinigay. Upang gawin ito, sa punto na ang simula ng vector, ibalik ang isang patayo dito. Magagawa ito gamit ang isang protractor, na magtabi ng anggulo na 90º. Kung wala kang protractor, gumamit ng compass para gawin ito.
Itakda ito sa panimulang punto ng vector. Gumuhit ng bilog na may arbitrary radius. Pagkatapos ay bumuo ng dalawa na may mga sentro sa mga punto kung saan ang unang bilog ay nag-intersect sa linya kung saan ang vector ay namamalagi. Ang radii ng mga bilog na ito ay dapat na katumbas ng bawat isa at mas malaki kaysa sa unang bilog na ginawa. Sa mga punto ng intersection ng mga bilog, bumuo ng isang tuwid na linya na patayo sa orihinal na vector sa pinagmulan nito, at i-plot dito ang isang vector na patayo sa isang ito.
Ang unit vector ay: , where 
- module ng vector.
Sagot: 
.
Tandaan. Ang mga coordinate ng unit vector ay dapat na hindi hihigit sa isa.
6.3. Hanapin ang haba at direksyon na mga cosiine ng isang vector 
. Ihambing sa sagot sa nakaraang talata. Gumawa ng mga konklusyon.
Ang haba ng isang vector ay ang modulus nito:
At mahahanap natin ang mga cosine ng direksyon gamit ang formula para sa isa sa mga paraan upang tukuyin ang mga vector:
Mula dito makikita natin na ang mga cosine ng direksyon ay ang mga coordinate ng unit vector.
Sagot: 
,
,
,
.
6.4. Hanapin 
.
Ito ay kinakailangan upang isagawa ang mga aksyon ng pagpaparami ng isang vector sa isang numero, pagdaragdag at modulus.
Pina-multiply namin ang mga coordinate ng mga vector sa isang term ng numero sa pamamagitan ng term.
Idinaragdag namin ang mga coordinate ng termino ng mga vector sa pamamagitan ng termino.
Paghahanap ng modulus ng vector.
Sagot: 
6.5. Tukuyin ang mga coordinate ng vector 
, collinear sa vector 
, alam na 
at ito ay nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa vector 
.
Vector 
collinear sa vector 
, na nangangahulugan na ang unit vector nito ay katumbas ng unit vector 
may minus sign lang kasi nakadirekta sa kabilang direksyon.
Ang unit vector ay may haba na katumbas ng 1, na nangangahulugan na kung i-multiply mo ito sa 5, ang haba nito ay magiging katumbas ng lima.
Nahanap namin 
Sagot: 
6.6. Kalkulahin ang Mga Produktong Dot 
At 
. Ang mga vector ba ay patayo? 
At 
,
At 
sa pagitan nila?
Gawin natin ang scalar product ng mga vectors.
Kung ang mga vector ay patayo, ang kanilang scalar product ay zero.
Nakikita namin na sa aming kaso ang mga vectors 
At 
patayo.
Sagot: 
,
, ang mga vector ay hindi patayo.
Tandaan. Ang geometriko na kahulugan ng produktong scalar ay hindi gaanong ginagamit sa pagsasanay, ngunit umiiral pa rin ito. Ang resulta ng naturang aksyon ay maaaring ilarawan at kalkulahin sa geometrically.
6.7. Hanapin ang gawaing ginawa ng isang materyal na punto kung saan inilalapat ang puwersa 
, kapag inililipat ito mula sa punto B hanggang sa punto C.
Ang pisikal na kahulugan ng scalar product ay trabaho. Nandito na ang force vector 
, ang displacement vector ay 
. At ang produkto ng mga vector na ito ay ang kinakailangang gawain.
Paghahanap ng trabaho
6.8. Hanapin ang panloob na anggulo sa isang vertex A at panlabas na anggulo ng vertex C tatsulok ABC .
Mula sa kahulugan ng scalar product ng mga vectors, nakuha namin ang formula para sa paghahanap ng anggulo: .
SA 
Hahanapin natin ang panloob na anggulo bilang anggulo sa pagitan ng mga vector na nagmumula sa isang punto.
Upang mahanap ang panlabas na anggulo, kailangan mong pagsamahin ang mga vector upang lumabas sila mula sa isang punto. Ipinapaliwanag ito ng larawan.
Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na 
, magkaiba lang ang mga inisyal na coordinate.
Paghahanap ng mga kinakailangang vector at anggulo
Sagot: panloob na anggulo sa vertex A = 
, panlabas na anggulo sa vertex B = 
.
6.9. Hanapin ang mga projection ng mga vectors: at
Alalahanin natin ang mga vector vectors: 
,
,
.
Ang projection ay matatagpuan din mula sa scalar product
-project b sa a.
Naunang nakuha na mga vector
,
,
Paghahanap ng projection
Paghahanap ng pangalawang projection
Sagot: 
,
Tandaan. Ang minus sign kapag naghahanap ng projection ay nangangahulugan na ang projection ay hindi bumababa sa vector mismo, ngunit sa kabaligtaran ng direksyon, papunta sa linya kung saan ang vector na ito ay namamalagi.
6.10. Kalkulahin 
.
Gawin natin ang vector product ng mga vectors
Hanapin natin ang modyul
Nahanap namin ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga vector mula sa kahulugan ng produkto ng vector ng mga vector
Sagot: 
,
,
.
6.11. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok ABC at ang haba ng taas ay bumaba mula sa punto C.
Ang geometric na kahulugan ng modulus ng isang produkto ng vector ay ito ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga vector na ito. At ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng lugar ng isang paralelogram.
Ang lugar ng isang tatsulok ay maaari ding matagpuan bilang produkto ng taas at base na hinati ng dalawa, kung saan maaaring makuha ang formula para sa paghahanap ng taas.
Kaya, nakita namin ang taas
Sagot: 
,
.
6.12. Hanapin ang unit vector patayo sa mga vectors 
At 
.
Ang resulta ng produkto ng tuldok ay isang vector na patayo sa dalawang orihinal. At ang unit vector ay isang vector na hinati sa haba nito.
Noong nakaraan, natagpuan namin ang:
,
Sagot: 
.
6.13. Tukuyin ang magnitude at direksyon cosine ng moment of force 
, inilapat sa A na may kaugnayan sa punto C.
Ang pisikal na kahulugan ng isang produkto ng vector ay ang sandali ng puwersa. Magbigay tayo ng isang paglalarawan para sa gawaing ito.
Paghahanap ng sandali ng puwersa
Sagot: 
.
6.14. Magsisinungaling ba ang mga vector 
,
At 
sa parehong eroplano? Maaari bang maging batayan ng espasyo ang mga vector na ito? Bakit? Kung magagawa nila, palawakin ang vector sa batayan na ito 
.
Upang suriin kung ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, ito ay kinakailangan upang magsagawa ng isang halo-halong produkto ng mga vectors na ito.
Ang pinaghalong produkto ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang mga vector ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (hindi coplanar) at maaaring bumuo ng isang batayan. Mag-decompose tayo 
sa batayan na ito.
Palawakin natin ayon sa batayan sa pamamagitan ng paglutas ng equation
Sagot: Vectors 
,
At 
huwag magsinungaling sa parehong eroplano. 
.
6.15. Hanapin 
. Ano ang volume ng pyramid na may mga vertices A, B, C, D at ang taas nito ay ibinaba mula sa punto A hanggang sa base BCD.
G 
geometriko na kahulugan pinaghalong produkto ito ay ang dami ng parallelepiped na nabuo ng mga vector na ito.
Ang dami ng pyramid ay anim na beses na mas mababa kaysa sa dami ng parallelepiped.
Ang dami ng pyramid ay matatagpuan din tulad nito:
Nakukuha namin ang formula para sa paghahanap ng taas
Paghahanap ng taas
Sagot: dami = 2.5, taas = 
.
6.16. Kalkulahin 
At 
.
– Inaanyayahan ka naming isipin ang gawaing ito sa iyong sarili.
- Gawin natin ang gawain.
Dati natanggap
Sagot: 
.
6.17. Kalkulahin
Gawin natin ang mga hakbang sa mga bahagi
3)
Isa-isahin natin ang mga nakuhang halaga
Sagot: 
.
6.18. Maghanap ng vector 
, alam na ito ay patayo sa mga vectors 
At 
, at ang projection nito sa vector 
katumbas ng 5.
Hatiin natin ang gawaing ito sa dalawang subtask
1) Maghanap ng isang vector na patayo sa mga vector 
At 
di-makatwirang haba.
Nakukuha namin ang patayo na vector bilang isang resulta ng produkto ng vector
Noong nakaraan, natagpuan namin ang:
Ang kinakailangang vector ay naiiba lamang sa haba mula sa natanggap
2) Hanapin natin 
sa pamamagitan ng equation
6.19. Maghanap ng vector 
, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon 
,
,
.
Isaalang-alang natin ang mga kundisyong ito nang mas detalyado.
Ito ay isang sistema ng mga linear equation. Buuin natin at lutasin ang sistemang ito.
Sagot: 
6.20. Tukuyin ang mga coordinate ng isang vector 
, coplanar sa mga vectors 
At 
, at patayo sa vector 
.
Sa gawaing ito ay may dalawang kondisyon: coplanarity ng mga vectors at perpendicularity; una nating tuparin ang unang kondisyon, at pagkatapos ay ang pangalawa.
1) Kung ang mga vector ay coplanar, kung gayon ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero.
Mula dito nakakakuha kami ng ilang pag-asa ng mga coordinate ng vector
Hanapin natin ang vector 
.
2) Kung ang mga vector ay patayo, kung gayon ang kanilang scalar product ay zero
Nakuha namin ang pangalawang pag-asa ng mga coordinate ng nais na vector
Para sa anumang halaga 
sasagutin ng vector ang mga kundisyon. Palitan natin 
.
Sagot: 
.
Analytic geometry