Si Leonardo ng Pisa, na kilala bilang Fibonacci, ay ang una sa mga dakilang mathematician ng Europa huling bahagi ng Middle Ages. Ipinanganak sa Pisa sa isang mayaman pamilya ng mangangalakal, dumating siya sa matematika dahil sa isang praktikal na pangangailangan na magtatag ng mga contact sa negosyo. Sa kanyang kabataan, si Leonardo ay naglakbay ng maraming, kasama ang kanyang ama sa mga paglalakbay sa negosyo. Halimbawa, alam natin ang tungkol sa kanyang mahabang pananatili sa Byzantium at Sicily. Sa mga naturang paglalakbay, marami siyang nakipag-usap sa mga lokal na siyentipiko.
Ang serye ng numero na nagtataglay ng kanyang pangalan ngayon ay lumaki mula sa problema ng kuneho na binalangkas ni Fibonacci sa kanyang aklat na Liber abacci, na isinulat noong 1202:
Isang lalaki ang naglagay ng isang pares ng mga kuneho sa isang kulungan na napapalibutan ng pader sa lahat ng panig. Ilang pares ng mga kuneho ang maaaring gawin ng pares na ito sa isang taon, kung alam na bawat buwan, simula sa pangalawa, ang bawat pares ng mga kuneho ay gumagawa ng isang pares?
Makatitiyak ka na ang bilang ng mga mag-asawa sa bawat isa sa labindalawang kasunod na buwan ay magiging ayon sa pagkakabanggit
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sa madaling salita, ang bilang ng mga pares ng mga kuneho ay lumilikha ng isang serye, ang bawat termino ay ang kabuuan ng naunang dalawa. Siya ay kilala bilang Serye ng Fibonacci, at ang mga numero mismo - Mga numero ng Fibonacci. Lumalabas na ang pagkakasunud-sunod na ito ay may maraming mga kagiliw-giliw na katangian mula sa isang matematikal na punto ng view. Narito ang isang halimbawa: maaari mong hatiin ang isang linya sa dalawang segment, upang ang ratio sa pagitan ng mas malaki at mas maliit na segment ay proporsyonal sa ratio sa pagitan ng buong linya at mas malaking segment. Ang proportionality factor na ito, humigit-kumulang katumbas ng 1.618, ay kilala bilang gintong ratio. Sa panahon ng Renaissance, pinaniniwalaan na ito ang tiyak na proporsyon na naobserbahan sa mga istrukturang arkitektura, pinaka nakalulugod sa mata. Kung kukuha ka ng magkakasunod na pares mula sa serye ng Fibonacci at hatiin mas malaking bilang mula sa bawat pares hanggang sa mas maliit, ang iyong resulta ay unti-unting lalapit sa gintong ratio.
Mula nang matuklasan ni Fibonacci ang kanyang pagkakasunud-sunod, kahit na ang mga natural na phenomena ay natagpuan kung saan ang pagkakasunud-sunod na ito ay tila may mahalagang papel. Isa sa kanila - phyllotaxis(pag-aayos ng dahon) - ang panuntunan kung saan, halimbawa, ang mga buto ay nakaayos sa isang sunflower inflorescence. Ang mga buto ay nakaayos sa dalawang hanay ng mga spiral, ang isa ay napupunta sa clockwise, ang isa pa counterclockwise. At ano ang bilang ng mga buto sa bawat kaso? 34 at 55.
Fibonacci sequence. Kung titingnan mo ang mga dahon ng halaman mula sa itaas, mapapansin mo na sila ay namumulaklak sa isang spiral. Ang mga anggulo sa pagitan ng mga katabing dahon ay bumubuo ng isang regular na mathematical series na kilala bilang Fibonacci sequence. Salamat dito, ang bawat indibidwal na dahon na lumalaki sa isang puno ay tumatanggap ng pinakamataas na magagamit na dami ng init at liwanag.
Pyramids sa Mexico
Hindi lamang ang mga Egyptian pyramids ay itinayo alinsunod sa perpektong proporsyon ng golden ratio, ang parehong phenomenon ay natagpuan sa Mexican pyramids. Ang ideya ay lumitaw na ang parehong Egyptian at Mexican na mga piramide ay itinayo nang humigit-kumulang sa parehong oras ng mga tao ng isang karaniwang pinagmulan.
Ang cross section ng pyramid ay nagpapakita ng hugis na katulad ng isang hagdanan Ang unang baitang ay may 16 na hakbang, ang pangalawang 42 na hakbang at ang pangatlo - 68 na hakbang.
Ang mga numerong ito ay batay sa ratio ng Fibonacci tulad ng sumusunod:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
Pagkatapos ng unang ilang mga numero ng pagkakasunud-sunod, ang ratio ng alinman sa mga miyembro nito sa kasunod na isa ay humigit-kumulang 0.618, at sa nauna - 1.618. Kung mas mataas ang ordinal na numero ng isang miyembro ng sequence, mas malapit ang ratio sa numerong phi, na isang hindi makatwirang numero at katumbas ng 0.618034... Ang ratio sa pagitan ng mga miyembro ng sequence na pinaghihiwalay ng parehong numero ay humigit-kumulang katumbas ng 0.382, at ang kabaligtaran na numero nito ay 2.618. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 3-2 ang talahanayan ng mga ratio ng lahat ng Fibonacci na numero mula 1 hanggang 144.
Ang F ay ang tanging numero na, kapag idinagdag sa 1, ay nagbibigay ng kabaligtaran nito: 1 + 0.618 = 1: 0.618. Ang kaugnayan sa pagitan ng mga pamamaraan ng pagdaragdag at pagpaparami ay humahantong sa sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga equation:
Kung ipagpapatuloy namin ang prosesong ito, gagawa kami ng mga parihaba na 13 by 21, 21 by 34, at iba pa.
Ngayon tingnan ito. Kung hahatiin mo ang 13 sa 8, makakakuha ka ng 1.625. At kung hahatiin mo ang mas malaking bilang sa mas maliit na bilang, ang mga logro na iyon ay lalapit at papalapit sa numerong 1.618, na kilala ng maraming tao bilang Golden ratio, isang numerong nabighani sa mga mathematician, scientist at artist sa loob ng maraming siglo.
Talahanayan ng ratio ng Fibonacci
Habang lumalaki ang bagong pag-unlad, ang mga numero ay bumubuo ng ikatlong pagkakasunod-sunod, na binubuo ng mga numerong idinagdag sa produkto ng apat at ang numerong Fibonacci. Ito ay naging posible dahil dito. na ang ratio sa pagitan ng mga miyembro ng sequence na may pagitan ng dalawang posisyon ay 4.236. kung saan ang bilang na 0.236 ay ang katumbas ng 4.236 at. bilang karagdagan, ang pagkakaiba sa pagitan ng 4.236 at 4. Ang iba pang mga salik ay humahantong sa iba pang mga pagkakasunud-sunod, na lahat ay batay sa mga ratio ng Fibonacci.
1. Walang dalawang magkasunod na numero ng Fibonacci ang may mga karaniwang salik.
2. Kung ang mga tuntunin ng Fibonacci sequence ay binibilang bilang 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, atbp., nalaman namin na, maliban sa pang-apat na termino (number 3), ang bilang ng anumang Fibonacci bilang bilang pangunahing numero(ibig sabihin, ang pagkakaroon ng walang divisors maliban sa sarili at isa), ay isa ring simpleng dalisay. Katulad nito, maliban sa ikaapat na miyembro ng Fibonacci sequence (number 3), ang lahat ng composite number ng sequence member (iyon ay, ang mga may hindi bababa sa dalawang divisors maliban sa sarili nito at isa) ay tumutugma sa composite Fibonacci number, bilang ang ipinapakita ng talahanayan sa ibaba. Ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo.
3. Ang kabuuan ng alinmang sampung termino ng sequence ay hinati sa labing-isa.
4. Ang kabuuan ng lahat ng mga numero ng Fibonacci hanggang sa isang tiyak na punto sa pagkakasunud-sunod kasama ang isa ay katumbas ng Fibonacci bilang dalawang posisyon ang layo mula sa huling idinagdag na numero.
5. Ang kabuuan ng mga parisukat ng anumang magkakasunod na termino na nagsisimula sa unang 1 ay palaging magiging katumbas ng huling (mula sa isang ibinigay na sample) na numero ng sequence na na-multiply sa susunod na termino.
6. Ang parisukat ng numerong Fibonacci na binawasan ang parisukat ng ikalawang termino ng pagkakasunud-sunod sa pababang direksyon ay palaging magiging numero ng Fibonacci.
7. Ang parisukat ng anumang numero ng Fibonacci ay katumbas ng nakaraang termino sa sequence na pinarami ng susunod na numero sa sequence, plus o minus one. Pagdaragdag at pagbabawas ng isang kahalili habang umuusad ang pagkakasunud-sunod.
8. Ang kabuuan ng parisukat ng numerong Fn at ang parisukat ng susunod na numerong Fibonacci F ay katumbas ng numerong Fibonacci F,. Formula F - + F 2 = F„, naaangkop sa kanang tatsulok, kung saan ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang mas maiikling panig ay katumbas ng parisukat ng pinakamahabang panig. Sa kanan ay isang halimbawa gamit ang F5, F6 at Kuwadrado na ugat mula kay Fn.
10. Isa sa mga kahanga-hangang phenomena, na, sa pagkakaalam natin, ay hindi pa nababanggit, ay ang mga ratios sa pagitan ng mga numero ng Fibonacci ay katumbas ng mga numerong napakalapit sa ikasalibo ng iba pang mga numero ng Fibonacci, na may pagkakaiba na katumbas ng isang libo ng isa pang numerong Fibonacci (tingnan ang Fig. 3-2). Kaya, sa pataas na direksyon, ang ratio ng dalawang magkaparehong Fibonacci na numero ay 1, o 0.987 plus 0.013: ang mga katabing Fibonacci na numero ay may ratio na 1.618. o 1.597 plus 0.021; Ang mga numero ng Fibonacci na matatagpuan sa magkabilang panig ng ilang miyembro ng sequence ay may ratio na 2.618, o 2.584 plus 0.034, at iba pa. Sa kabilang direksyon, ang mga katabing Fibonacci na numero ay may ratio na 0.618. o 0.610 plus 0.008: Ang mga numero ng Fibonacci na matatagpuan sa magkabilang panig ng ilang miyembro ng sequence ay may ratio na 0.382, o 0.377 plus 0.005; Ang mga numero ng Fibonacci sa pagitan kung saan matatagpuan ang dalawang miyembro ng sequence ay may ratio na 0.236, o 0.233 plus 0.003: Ang mga numero ng Fibonacci kung saan matatagpuan ang tatlong miyembro ng sequence ay may ratio na 0 146. o 0.144 plus 0.002: Fibonacci na mga numero sa pagitan ng apat na numero. ang mga miyembro ng sequence ay matatagpuan ay may ratio na 0.090, o 0.089 plus 0.001: Ang mga numero ng Fibonacci kung saan matatagpuan ang limang termino ng sequence ay may ratio na 0.056. o 0.055 plus 0.001; Ang mga numero ng Fibonacci, kung saan matatagpuan ang anim hanggang labindalawang miyembro ng sequence, ay may mga ratio na mismong ika-1000 ng mga numero ng Fibonacci, simula sa 0.034. Kapansin-pansin, sa pagsusuring ito, ang koepisyent na nagkokonekta sa mga numero ng Fibonacci, kung saan matatagpuan ang labintatlong termino ng pagkakasunud-sunod, ay muling sinisimulan ang serye sa numerong 0.001, mula sa ika-1000 ng numero kung saan ito nagsimula! Sa lahat ng mga kalkulasyon, talagang nakakakuha tayo ng pagkakapareho o "pag-reproduction sa sarili sa isang walang katapusang serye", na nagpapakita ng mga katangian ng "pinakamatibay na koneksyon sa lahat ng mga relasyon sa matematika."
Panghuli, tandaan na (V5 + 1)/2 = 1.618 at [\^5- 1)/2 = 0.618. kung saan ang V5 = 2.236. Ang 5 ay lumalabas na ang pinakamahalagang numero para sa prinsipyo ng wave, at ang square root nito ay ang mathematical key sa numerong f.
Ang bilang na 1.618 (o 0.618) ay kilala bilang golden ratio, o golden average. Ang proporsyonalidad na nauugnay dito ay nakalulugod sa mata at tainga. Ito ay nagpapakita ng sarili sa biology, at sa musika, at sa pagpipinta, at sa arkitektura. Sa isang artikulo noong Disyembre 1975 sa Smithsonian Magazine, sinabi ni William Hoffer:
“...Ang ratio ng bilang na 0.618034 hanggang 1 ay ang mathematical na batayan ng form Baraha at ang Parthenon, sunflower at shell ng dagat, mga Greek vase at spiral galaxies ng outer space. Ang proporsyon na ito ay nakasalalay sa batayan ng maraming mga gawa ng sining at arkitektura ng mga Greeks. Tinawag nila itong "golden mean".
Ang mga fertile Fibonacci bunnies ay lumalabas sa mga hindi inaasahang lugar. Ang mga numero ng Fibonacci ay walang alinlangan na bahagi ng isang mystical natural harmony na maganda sa pakiramdam, mukhang maganda, at kahit na maganda ang tunog. Ang musika, halimbawa, ay batay sa isang eight-note octave. Sa isang piano ito ay kinakatawan ng 8 puti at 5 itim na key - sa kabuuan ay 13. Hindi nagkataon na pagitan ng musika Ang isa na nagdudulot ng pinakamalaking kasiyahan sa ating mga tainga ay ang ikaanim. Ang note na "E" ay nagvibrate sa ratio na 0.62500 sa note na "C". 0.006966 lang ang layo nito sa eksaktong ginintuang mean. Ang mga proporsyon ng ikaanim ay nagpapadala ng kaaya-ayang mga vibrations sa cochlea ng gitnang tainga - isang organ na mayroon ding hugis ng isang logarithmic spiral.
Ang patuloy na paglitaw ng mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang spiral sa kalikasan ay nagpapaliwanag nang eksakto kung bakit ang ratio ng 0.618034 sa 1 ay napakasaya sa mga gawa ng sining. Nakikita ng isang tao sa sining ang isang salamin ng buhay, na may ginintuang kahulugan sa kaibuturan nito."
Ginagamit ng kalikasan ang golden ratio sa pinakaperpektong mga likha nito - mula sa kasing liit ng micro convolutions ng utak at mga molekula ng DNA (tingnan ang Fig. 3 9) hanggang sa kasing laki ng mga kalawakan. Ito ay ipinakita sa iba't ibang mga phenomena tulad ng paglaki ng mga kristal, ang repraksyon ng isang light ray sa salamin, ang istraktura ng utak at sistema ng nerbiyos, musical constructions, istraktura ng mga halaman at hayop. Ang agham ay nagbibigay ng dumaraming ebidensya na ang kalikasan ay may pangunahing prinsipyo ng proporsyonalidad. Siyanga pala, hawak mo ang aklat na ito gamit ang dalawa sa iyong limang daliri, bawat daliri ay binubuo ng tatlong bahagi. Kabuuan: limang mga yunit, na ang bawat isa ay nahahati sa tatlo - isang pag-unlad ng 5-3-5-3, katulad ng kung saan pinagbabatayan ang prinsipyo ng alon.
Symmetrical at proporsyonal na hugis, nagtataguyod ng pinakamahusay visual na pagdama at nagdudulot ng pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa. Holistic na imahe palaging binubuo ng mga bahagi ng iba't ibang laki na nasa isang tiyak na kaugnayan sa isa't isa at sa kabuuan. Ang gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa agham, sining at kalikasan.
Kung sa simpleng halimbawa, kung gayon ang Golden Section ay ang paghahati ng isang segment sa dalawang bahagi sa ganoong ratio na karamihan ng nauugnay sa mas maliit dahil ang kanilang kabuuan (ang buong segment) ay nauugnay sa mas malaki.
Kung kukunin natin ang buong segment c bilang 1, ang segment a ay magiging katumbas ng 0.618, segment b - 0.382, sa ganitong paraan lamang matutugunan ang kondisyon ng Golden Ratio (0.618/0.382=1.618; 1/0.618=1.618) . Ang ratio ng c sa a ay 2.618, at c sa b ay 1.618. Ito ang parehong mga ratio ng Fibonacci na pamilyar na sa amin.
Syempre may golden rectangle, golden triangle at kahit golden cuboid. Mga proporsyon katawan ng tao sa maraming aspeto malapit sa Golden Section.
Pero magsisimula ang saya kapag pinagsama-sama natin ang mga kaalamang natamo natin. Malinaw na ipinapakita ng figure ang kaugnayan sa pagitan ng Fibonacci sequence at ng Golden Ratio. Nagsisimula kami sa dalawang parisukat ng unang sukat. Magdagdag ng isang parisukat ng pangalawang laki sa itaas. Gumuhit ng isang parisukat sa tabi nito na may gilid na katumbas ng kabuuan ng mga gilid ng nakaraang dalawa, ikatlong sukat. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, lumilitaw ang isang parisukat na may sukat na limang. At iba pa hanggang sa mapagod ka, ang pangunahing bagay ay ang haba ng gilid ng bawat susunod na parisukat ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng dalawang nauna. Nakikita namin ang isang serye ng mga parihaba na ang haba ng gilid ay mga numero ng Fibonacci, at, kakaiba, ang mga ito ay tinatawag na mga parihaba na Fibonacci.
Kung gumuhit tayo ng makinis na mga linya sa mga sulok ng ating mga parisukat, wala tayong makukuha kundi isang Archimedes spiral, na ang pagtaas nito ay palaging pare-pareho.
Ang bawat termino ng golden logarithmic sequence ay isang kapangyarihan ng Golden Ratio ( z). Ang bahagi ng serye ay mukhang ganito: ... z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5... Kung bilugan natin ang halaga ng Golden Ratio sa tatlong decimal na lugar, makukuha natin z=1.618, pagkatapos ay ganito ang hitsura ng serye: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Ang bawat susunod na termino ay maaaring makuha hindi lamang sa pamamagitan ng pagpaparami ng nauna sa pamamagitan ng 1,618 , ngunit din sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang nauna. Kaya, ang exponential growth sa isang sequence ay nakakamit sa pamamagitan lamang ng pagdaragdag ng dalawang magkatabing elemento. Ito ay isang serye na walang simula o wakas, at iyon ang sinusubukang maging katulad ng Fibonacci sequence. Ang pagkakaroon ng isang napaka-tiyak na simula, siya ay nagsusumikap para sa ideal, hindi kailanman nakakamit ito. Yan ang buhay.
Gayunpaman, may kaugnayan sa lahat ng nakita at nabasa natin, medyo lohikal na mga tanong ang lumitaw:
Saan nagmula ang mga numerong ito? Sino itong arkitekto ng uniberso na sinubukang gawing perpekto ito? Ang lahat ba ay naging paraang gusto niya? At kung gayon, bakit nagkamali? Mga mutasyon? Libreng pagpili? Ano ang susunod? Ang spiral ba ay kumukulot o nakaka-unwinding?
Kapag nahanap mo na ang sagot sa isang tanong, makukuha mo ang susunod. Kung malulutas mo ito, makakakuha ka ng dalawang bago. Sa sandaling makitungo ka sa kanila, tatlo pa ang lalabas. Kapag nalutas na rin ang mga ito, magkakaroon ka ng limang hindi nalutas. Pagkatapos ay walo, pagkatapos ay labintatlo, 21, 34, 55...
Gayunpaman, hindi lamang ito ang maaaring gawin sa ginintuang ratio. Kung hahatiin natin ang isa sa 0.618, makakakuha tayo ng 1.618; Ito ang mga ratio ng pagpapalawak ng Fibonacci. Ang tanging nawawalang numero dito ay 3,236, na iminungkahi ni John Murphy.
Ano ang iniisip ng mga eksperto tungkol sa pagkakapare-pareho?
Maaaring sabihin ng ilan na pamilyar na ang mga numerong ito dahil ginagamit ang mga ito sa mga programang teknikal na pagsusuri upang matukoy ang laki ng mga pagwawasto at extension. Bilang karagdagan, ang parehong serye ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa teorya ng alon ni Eliot. Sila ang numerical na batayan nito.
Ang aming dalubhasa na si Nikolay ay isang napatunayang portfolio manager sa kumpanya ng pamumuhunan ng Vostok.
- — Nikolay, sa tingin mo ba ay nagkataon lang na ang mga numero ng Fibonacci at ang mga derivative nito ay lumalabas sa mga chart? iba't ibang instrumento? At masasabi ba nating: “Fibonacci series praktikal na gamit" nangyayari?
- — Masama ang ugali ko sa mistisismo. At higit pa sa mga tsart ng stock exchange. Lahat ng bagay ay may mga dahilan. sa aklat na "Fibonacci Levels" maganda niyang inilarawan kung saan lumilitaw ang golden ratio, na hindi siya nagulat na lumitaw ito sa mga tsart ng quote ng stock exchange. Ngunit walang kabuluhan! Sa marami sa mga halimbawang ibinigay niya, ang numerong Pi ay madalas na lumalabas. Ngunit sa ilang kadahilanan ay hindi ito kasama sa mga ratio ng presyo.
- — Kaya hindi ka naniniwala sa pagiging epektibo ng prinsipyo ng wave ni Eliot?
- - Hindi, hindi iyon ang punto. Ang prinsipyo ng alon ay isang bagay. Iba ang numerical ratio. At ang mga dahilan para sa kanilang hitsura sa mga chart ng presyo ay ang pangatlo
- — Ano, sa iyong palagay, ang mga dahilan ng paglitaw ng golden ratio sa mga stock chart?
- — Ang tamang sagot sa tanong na ito ay maaaring kumita Nobel Prize sa ekonomiya. Habang tayo ay mahuhulaan lamang totoong dahilan. Malinaw na hindi sila kasuwato ng kalikasan. Maraming mga modelo ng exchange pricing. Hindi nila ipinapaliwanag ang itinalagang kababalaghan. Ngunit ang hindi pag-unawa sa likas na katangian ng isang kababalaghan ay hindi dapat tanggihan ang kababalaghan bilang ganoon.
- — At kung bubuksan man ang batas na ito, magagawa ba nitong sirain ang proseso ng pagpapalitan?
- — Gaya ng ipinapakita ng parehong teorya ng alon, ang batas ng mga pagbabago sa mga presyo ng stock ay purong sikolohiya. Para sa akin, ang kaalaman sa batas na ito ay hindi magbabago at hindi makakasira sa stock exchange.
Ang materyal na ibinigay ng blog ng webmaster Maxim.
Ang coincidence ng mga pangunahing prinsipyo ng matematika sa karamihan iba't ibang teorya parang hindi kapani-paniwala. Marahil ito ay pantasiya o na-customize para sa huling resulta. Maghintay at tingnan. Karamihan sa dating itinuturing na hindi karaniwan o hindi posible: ang paggalugad sa kalawakan, halimbawa, ay naging karaniwan at hindi nakakagulat sa sinuman. Gayundin, ang teorya ng alon, na maaaring hindi maintindihan, ay magiging mas naa-access at mauunawaan sa paglipas ng panahon. Kung ano ang dating hindi kailangan, sa mga kamay ng isang may karanasang analyst, ay magiging isang makapangyarihang kasangkapan para sa paghula ng gawi sa hinaharap.
Mga numero ng Fibonacci sa kalikasan.
Tingnan mo
Ngayon, pag-usapan natin kung paano mo mapasinungalingan ang katotohanan na ang Fibonacci digital series ay kasangkot sa anumang mga pattern sa kalikasan.
Kumuha tayo ng anumang iba pang dalawang numero at bumuo ng isang pagkakasunud-sunod na may parehong lohika tulad ng mga numero ng Fibonacci. Ibig sabihin, ang susunod na miyembro ng sequence ay katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa. Halimbawa, kumuha tayo ng dalawang numero: 6 at 51. Ngayon ay bubuo tayo ng isang sequence na kukumpletuhin natin sa dalawang numero na 1860 at 3009. Tandaan na kapag hinahati ang mga numerong ito, nakakakuha tayo ng isang numero na malapit sa golden ratio.
Kasabay nito, ang mga numero na nakuha kapag hinahati ang iba pang mga pares ay bumaba mula sa una hanggang sa huli, na nagpapahintulot sa amin na sabihin na kung ang seryeng ito ay magpapatuloy nang walang hanggan, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang numero na katumbas ng gintong ratio.
Kaya, ang mga numero ng Fibonacci ay hindi namumukod-tangi sa anumang paraan. Mayroong iba pang mga pagkakasunud-sunod ng mga numero, kung saan mayroong isang walang katapusang bilang, na nagreresulta mula sa parehong mga operasyon gintong numero fi.
Si Fibonacci ay hindi isang esotericist. Hindi niya nais na ilagay ang anumang mistisismo sa mga numero; At sumulat siya ng isang sequence ng mga numero na sumunod mula sa kanyang problema, sa una, pangalawa at iba pang mga buwan, kung gaano karaming mga kuneho ang magkakaroon pagkatapos ng pag-aanak. Sa loob ng isang taon, natanggap niya ang parehong sequence. At hindi ako gumawa ng relasyon. Walang pinag-uusapan ng anumang ginintuang sukat o banal na kaugnayan. Ang lahat ng ito ay naimbento pagkatapos niya noong Renaissance.
Kung ikukumpara sa matematika, ang mga pakinabang ng Fibonacci ay napakalaki. Pinagtibay niya ang sistema ng numero mula sa mga Arabo at pinatunayan ang bisa nito. Ito ay isang mahirap at mahabang pakikibaka. Mula sa sistema ng numero ng Roman: mabigat at hindi maginhawa para sa pagbibilang. Nawala siya pagkatapos rebolusyong Pranses. Walang kinalaman ang Fibonacci sa golden ratio.
Mayroong walang katapusang bilang ng mga spiral, ang pinakasikat ay: ang natural na logarithm spiral, ang Archimedes spiral, at ang hyperbolic spiral.
Ngayon tingnan natin ang Fibonacci spiral. Ang piecewise composite unit na ito ay binubuo ng ilang quarter circles. At ito ay hindi isang spiral, tulad nito.
Konklusyon
Gaano man tayo katagal maghanap ng kumpirmasyon o pagtanggi sa pagiging angkop ng serye ng Fibonacci sa stock exchange, umiiral ang gayong kasanayan.
Napakaraming tao ang kumikilos ayon sa linya ng Fibonacci, na matatagpuan sa maraming terminal ng gumagamit. Samakatuwid, gusto man natin o hindi: Nakakaimpluwensya ang mga numero ng Fibonacci, at maaari nating samantalahin ang impluwensyang ito.
Siguraduhing basahin ang artikulo -.
Narinig mo na ba na ang matematika ay tinatawag na "reyna ng lahat ng agham"? Sumasang-ayon ka ba sa pahayag na ito? Hangga't ang matematika ay nananatili para sa iyo ng isang hanay ng mga boring na problema sa isang aklat-aralin, halos hindi mo mararanasan ang kagandahan, kagalingan sa maraming bagay at maging ang katatawanan ng agham na ito.
Ngunit may mga paksa sa matematika na nakakatulong sa paggawa ng mga kawili-wiling obserbasyon tungkol sa mga bagay at phenomena na karaniwan sa atin. At kahit na subukang tumagos sa tabing ng misteryo ng paglikha ng ating Uniberso. May mga kagiliw-giliw na pattern sa mundo na maaaring ilarawan gamit ang matematika.
Ipinapakilala ang mga numero ng Fibonacci
Mga numero ng Fibonacci pangalanan ang mga elemento ng pagkakasunod-sunod ng numero. Sa loob nito, ang bawat susunod na numero sa isang serye ay nakuha sa pamamagitan ng pagsusuma ng dalawa nakaraang mga numero.
Halimbawang pagkakasunud-sunod: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Maaari mong isulat ito tulad nito:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Maaari kang magsimula ng isang serye ng mga numero ng Fibonacci na may mga negatibong halaga n. Bukod dito, ang sequence sa kasong ito ay two-way (iyon ay, sumasaklaw ito sa mga negatibo at positibong numero) at may posibilidad na infinity sa parehong direksyon.
Isang halimbawa ng gayong pagkakasunud-sunod: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Ang formula sa kasong ito ay ganito ang hitsura:
F n = F n+1 - F n+2 o kung hindi, magagawa mo ito: F -n = (-1) n+1 Fn.
Ang kilala na natin ngayon bilang "mga numero ng Fibonacci" ay kilala ng mga sinaunang Indian mathematician bago pa sila nagsimulang gamitin sa Europa. At sa pangalang ito, isa lamang itong tuluy-tuloy na makasaysayang anekdota. Magsimula tayo sa katotohanan na si Fibonacci mismo ay hindi kailanman tinawag ang kanyang sarili na Fibonacci sa kanyang buhay - ang pangalang ito ay nagsimulang ilapat kay Leonardo ng Pisa ilang siglo lamang pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ngunit pag-usapan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod.
Leonardo ng Pisa, aka Fibonacci
Ang anak ng isang mangangalakal na naging isang matematiko, at pagkatapos ay tumanggap ng pagkilala mula sa mga inapo bilang unang pangunahing matematiko ng Europa noong Middle Ages. Hindi sa huling paraan salamat sa mga numero ng Fibonacci (na, tandaan natin, ay hindi pa tinatawag na ganyan). Na inilarawan niya sa simula ng ika-13 siglo sa kanyang akdang "Liber abaci" ("Book of Abacus", 1202).
Naglakbay ako kasama ang aking ama sa Silangan, nag-aral si Leonardo ng matematika sa mga gurong Arabo (at noong mga panahong iyon ay kabilang sila sa mga pinakamahusay na espesyalista sa bagay na ito, at sa maraming iba pang mga agham). Mga gawa ng mga mathematician ng Antiquity at Sinaunang India nabasa niya sa mga salin sa Arabic.
Dahil lubusan niyang nauunawaan ang lahat ng nabasa niya at ginamit ang sarili niyang mapagtanong na isip, sumulat si Fibonacci ng ilang siyentipikong treatise sa matematika, kabilang ang nabanggit sa itaas na "Book of Abacus." Bilang karagdagan dito nilikha ko:
- "Practica geometriae" ("Practice of Geometry", 1220);
- "Flos" ("Bulaklak", 1225 - isang pag-aaral sa mga cubic equation);
- "Liber quadratorum" ("Book of Squares", 1225 - mga problema sa indefinite quadratic equation).
Siya ay isang malaking tagahanga ng mga mathematical tournaments, kaya sa kanyang treatises siya ay nagbigay ng maraming pansin sa pagsusuri ng iba't ibang mga problema sa matematika.
Napakakaunting natitira tungkol sa buhay ni Leonardo talambuhay na impormasyon. Tulad ng para sa pangalang Fibonacci, kung saan siya pumasok sa kasaysayan ng matematika, ito ay itinalaga sa kanya lamang noong ika-19 na siglo.
Fibonacci at ang kanyang mga problema
Pagkatapos ng Fibonacci ay nanatili ang isang malaking bilang ng mga problema na napakapopular sa mga mathematician sa mga sumunod na siglo. Titingnan natin ang problema ng kuneho, na nalutas gamit ang mga numero ng Fibonacci.
Ang mga kuneho ay hindi lamang mahalagang balahibo
Itinakda ng Fibonacci ang mga sumusunod na kondisyon: mayroong isang pares ng mga bagong panganak na kuneho (lalaki at babae) ng isang kawili-wiling lahi na sila ay regular (simula sa ikalawang buwan) ay gumagawa ng mga supling - palaging isa bagong pares mga kuneho. Gayundin, tulad ng maaari mong hulaan, isang lalaki at isang babae.
Ang mga conditional na kuneho na ito ay inilalagay sa isang nakakulong na espasyo at dumarami nang may sigasig. Itinakda rin na walang kahit isang kuneho ang namamatay mula sa ilang mahiwagang sakit ng kuneho.
Kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming mga kuneho ang makukuha natin sa isang taon.
- Sa simula ng 1 buwan mayroon kaming 1 pares ng mga kuneho. Sa katapusan ng buwan sila ay mag-asawa.
- Ang ikalawang buwan - mayroon na kaming 2 pares ng mga kuneho (isang pares ay may mga magulang + 1 pares ang kanilang mga supling).
- Ikatlong buwan: Ang unang pares ay nagsilang ng isang bagong pares, ang pangalawang pares ay nagsasama. Kabuuan - 3 pares ng mga kuneho.
- Ikaapat na buwan: Ang unang pares ay nanganak ng bagong pares, ang pangalawang pares ay hindi nag-aaksaya ng oras at nanganak din ng bagong pares, ang pangatlong pares ay nag-aasawa pa lamang. Kabuuan - 5 pares ng mga kuneho.
Bilang ng mga kuneho sa n ika buwan = bilang ng mga pares ng mga kuneho mula sa nakaraang buwan + bilang ng mga bagong silang na pares (mayroong parehong bilang ng mga pares ng mga kuneho tulad ng nagkaroon ng mga pares ng mga kuneho 2 buwan bago ngayon). At ang lahat ng ito ay inilarawan ng pormula na naibigay na namin sa itaas: F n = F n-1 + F n-2.
Kaya, nakakakuha tayo ng paulit-ulit (paliwanag tungkol sa recursion– sa ibaba) pagkakasunod-sunod ng numero. Kung saan ang bawat susunod na numero ay katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Maaari mong ipagpatuloy ang pagkakasunud-sunod nang mahabang panahon: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ngunit dahil nagtakda kami ng isang tiyak na panahon - isang taon, interesado kami sa resulta na nakuha sa ika-12 na "paglipat". Yung. Ika-13 miyembro ng sequence: 377.
Ang sagot sa problema: 377 kuneho ang makukuha kung lahat ng nakasaad na kondisyon ay matutugunan.
Ang isa sa mga katangian ng pagkakasunud-sunod ng numero ng Fibonacci ay lubhang kawili-wili. Kung kukuha ka ng dalawang magkasunod na pares mula sa isang serye at hahatiin ang mas malaking bilang sa mas maliit na bilang, unti-unting lalapit ang resulta. gintong ratio(maaari mong basahin ang higit pa tungkol dito sa ibang pagkakataon sa artikulo).
Sa mga termino sa matematika, "ang limitasyon ng relasyon isang n+1 Upang isang n katumbas ng gintong ratio".
Higit pang mga problema sa teorya ng numero
- Maghanap ng isang numero na maaaring hatiin ng 7. Gayundin, kung hahatiin mo ito sa 2, 3, 4, 5, 6, ang natitira ay magiging isa.
- Hanapin parisukat na numero. Ito ay kilala tungkol dito na kung magdagdag ka ng 5 dito o ibawas ang 5, makakakuha ka muli ng isang parisukat na numero.
Iminumungkahi namin na ikaw mismo ang maghanap ng mga sagot sa mga problemang ito. Maaari mong iwanan sa amin ang iyong mga pagpipilian sa mga komento sa artikulong ito. At pagkatapos ay sasabihin namin sa iyo kung tama ang iyong mga kalkulasyon.
Paliwanag ng recursion
Recursion– kahulugan, paglalarawan, larawan ng isang bagay o proseso na naglalaman ng mismong bagay o prosesong ito. Ibig sabihin, sa esensya, ang isang bagay o proseso ay bahagi ng sarili nito.
Ang recursion ay malawakang ginagamit sa matematika at computer science, at maging sa sining at kulturang popular.
Ang mga numero ng Fibonacci ay tinutukoy gamit ang isang recurrence relation. Para sa numero n>2 n- e numero ay katumbas (n – 1) + (n – 2).
Paliwanag ng golden ratio
Golden ratio- paghahati ng isang kabuuan (halimbawa, isang segment) sa mga bahagi na nauugnay ayon sa sumusunod na prinsipyo: ang mas malaking bahagi ay nauugnay sa mas maliit sa parehong paraan tulad ng buong halaga (halimbawa, ang kabuuan ng dalawang segment) ay sa mas malaking bahagi.
Ang unang pagbanggit ng golden ratio ay matatagpuan kay Euclid sa kanyang treatise na "Elements" (mga 300 BC). Sa konteksto ng pagbuo ng isang regular na parihaba.
Ang terminong pamilyar sa atin ay ipinakilala sa sirkulasyon noong 1835 ng German mathematician na si Martin Ohm.
Kung ilalarawan natin ang ginintuang ratio ng humigit-kumulang, ito ay kumakatawan sa isang proporsyonal na dibisyon sa dalawang hindi pantay na bahagi: humigit-kumulang 62% at 38%. Sa numerical terms, ang golden ratio ay ang numero 1,6180339887 .
Ang ginintuang ratio ay nakakahanap ng praktikal na aplikasyon sa sining(mga pintura ni Leonardo da Vinci at iba pang mga pintor ng Renaissance), arkitektura, sinehan (“Battleship Potemkin” ni S. Esenstein) at iba pang mga lugar. Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang ginintuang ratio ay ang pinaka-aesthetic na proporsyon. Ang opinyon na ito ay popular pa rin ngayon. Bagama't, ayon sa mga resulta ng pananaliksik, nakikita ng karamihan sa mga tao ang proporsyon na ito bilang ang pinakamatagumpay na opsyon at itinuturing itong masyadong pinahaba (disproportionate).
- Haba ng seksyon Sa = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Saloobin Sa Upang A = 1, 618.
- Saloobin Sa Upang b = 2,618
Ngayon, bumalik tayo sa mga numero ng Fibonacci. Kumuha tayo ng dalawang magkasunod na termino mula sa pagkakasunod-sunod nito. Hatiin ang mas malaking numero sa mas maliit na numero at makakuha ng humigit-kumulang 1.618. At ngayon ginagamit namin ang parehong mas malaking numero at ang susunod na miyembro ng serye (ibig sabihin, isang mas malaking numero) - ang kanilang ratio ay maagang 0.618.
Narito ang isang halimbawa: 144, 233, 377.
233/144 = 1.618 at 233/377 = 0.618
Sa pamamagitan ng paraan, kung susubukan mong gawin ang parehong eksperimento sa mga numero mula sa simula ng pagkakasunud-sunod (halimbawa, 2, 3, 5), walang gagana. halos. Ang panuntunan ng golden ratio ay halos hindi sinusunod para sa simula ng sequence. Ngunit habang lumilipat ka sa serye at tumataas ang mga numero, mahusay itong gumagana.
At upang makalkula ang buong serye ng mga numero ng Fibonacci, sapat na malaman ang tatlong termino ng pagkakasunud-sunod, na magkakasunod. Makikita mo ito para sa iyong sarili!
Golden Rectangle at Fibonacci Spiral
Ang isa pang kawili-wiling parallel sa pagitan ng mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio ay ang tinatawag na "golden rectangle": ang mga gilid nito ay nasa proporsyon na 1.618 hanggang 1. Ngunit alam na natin kung ano ang numerong 1.618, tama ba?
Halimbawa, kumuha tayo ng dalawang magkasunod na termino ng serye ng Fibonacci - 8 at 13 - at bumuo ng isang parihaba na may mga sumusunod na parameter: lapad = 8, haba = 13.
At pagkatapos ay hahatiin natin ang malaking parihaba sa mas maliit. Kinakailangang kondisyon: Ang mga haba ng mga gilid ng mga parihaba ay dapat na tumutugma sa mga numero ng Fibonacci. Yung. Ang haba ng gilid ng mas malaking parihaba ay dapat na katumbas ng kabuuan ng mga gilid ng dalawang mas maliit na parihaba.
Ang paraan ng paggawa nito sa figure na ito (para sa kaginhawahan, ang mga numero ay nilagdaan sa Latin na mga titik).
Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang bumuo ng mga parihaba sa reverse order. Yung. simulan ang pagbuo ng mga parisukat na may gilid na 1. Kung saan, ginagabayan ng prinsipyong nakasaad sa itaas, ang mga figure na may mga gilid na katumbas ng mga numero ng Fibonacci ay nakumpleto. Sa teorya, maaari itong ipagpatuloy nang walang katapusan - pagkatapos ng lahat, ang serye ng Fibonacci ay pormal na walang katapusan.
Kung ikinonekta namin ang mga sulok ng mga parihaba na nakuha sa figure na may isang makinis na linya, nakakakuha kami ng isang logarithmic spiral. O sa halip, ang espesyal na kaso nito ay ang Fibonacci spiral. Ito ay nailalarawan, sa partikular, sa pamamagitan ng ang katunayan na ito ay walang mga hangganan at hindi nagbabago ng hugis.
Ang isang katulad na spiral ay madalas na matatagpuan sa kalikasan. Ang mga shell ng kabibe ay isa sa mga pinakakapansin-pansing halimbawa. Bukod dito, ang ilang mga kalawakan na makikita mula sa Earth ay may hugis na spiral. Kung bibigyan mo ng pansin ang mga pagtataya ng panahon sa TV, maaaring napansin mo na ang mga bagyo ay may katulad na hugis ng spiral kapag nakuhanan ng larawan mula sa mga satellite.
Nakakapagtataka na ang DNA helix ay sumusunod din sa panuntunan ng gintong seksyon - ang kaukulang pattern ay makikita sa mga pagitan ng mga liko nito.
Ang ganitong kahanga-hangang "mga pagkakataon" ay hindi maaaring hindi mapukaw ang mga isipan at magbunga ng pag-uusap tungkol sa ilang solong algorithm kung saan sinusunod ng lahat ng mga phenomena sa buhay ng Uniberso. Ngayon naiintindihan mo na ba kung bakit tinawag ang artikulong ito sa ganitong paraan? At anong mga pinto kamangha-manghang mga mundo Ang matematika ay maaaring magbukas ng mga bagay para sa iyo?
Mga numero ng Fibonacci sa kalikasan
Ang koneksyon sa pagitan ng mga numero ng Fibonacci at ang golden ratio ay nagmumungkahi ng mga kawili-wiling pattern. Napaka-curious na nakakatukso na subukang maghanap ng mga pagkakasunud-sunod na katulad ng mga numero ng Fibonacci sa kalikasan at maging sa panahon ng makasaysayang mga pangyayari. At ang kalikasan ay talagang nagbibigay ng gayong mga pagpapalagay. Ngunit maaari bang ipaliwanag at ilarawan ang lahat ng bagay sa ating buhay gamit ang matematika?
Mga halimbawa ng mga bagay na may buhay na maaaring ilarawan gamit ang Fibonacci sequence:
- ang pag-aayos ng mga dahon (at mga sanga) sa mga halaman - ang mga distansya sa pagitan ng mga ito ay nauugnay sa mga numero ng Fibonacci (phyllotaxis);
- pag-aayos ng mga buto ng mirasol (ang mga buto ay nakaayos sa dalawang hanay ng mga spiral na pinaikot sa iba't ibang direksyon: isang hilera pakanan, ang isa pa counterclockwise);
- pag-aayos ng mga kaliskis ng pine cone;
- mga talutot ng bulaklak;
- mga selula ng pinya;
- ratio ng haba ng mga phalanges ng mga daliri sa kamay ng tao (humigit-kumulang), atbp.
Mga problema sa combinatorics
Ang mga numero ng Fibonacci ay malawakang ginagamit sa paglutas ng mga problema sa combinatorics.
Kombinatorika ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng pagpili ng isang tiyak na bilang ng mga elemento mula sa isang itinalagang set, enumeration, atbp.
Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga problema sa combinatorics na idinisenyo para sa antas mataas na paaralan(pinagmulan - http://www.problems.ru/).
Gawain 1:
Umakyat si Lesha sa isang hagdanan na may 10 hakbang. Sa isang pagkakataon ay tumalon siya ng isang hakbang o dalawang hakbang. Sa ilang paraan makakaakyat si Lesha sa hagdan?
Ang bilang ng mga paraan kung saan maaaring umakyat si Lesha sa hagdan n mga hakbang, tukuyin natin at n. Sinusundan nito iyon a 1 = 1, a 2= 2 (pagkatapos ng lahat, tumalon si Lesha ng isa o dalawang hakbang).
Napagkasunduan din na tumalon si Lesha sa hagdan n> 2 hakbang. Sabihin nating tumalon siya ng dalawang hakbang sa unang pagkakataon. Nangangahulugan ito, ayon sa mga kondisyon ng problema, kailangan niyang tumalon ng isa pa n – 2 hakbang. Pagkatapos ay ang bilang ng mga paraan upang makumpleto ang pag-akyat ay inilarawan bilang isang n–2. At kung ipagpalagay natin na sa unang pagkakataong tumalon si Lesha ng isang hakbang lamang, inilalarawan natin ang bilang ng mga paraan upang tapusin ang pag-akyat bilang isang n–1.
Mula dito nakukuha natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: a n = a n–1 + a n–2(mukhang pamilyar, hindi ba?).
Since alam naman natin a 1 At a 2 at tandaan na ayon sa mga kondisyon ng problema mayroong 10 hakbang, kalkulahin ang lahat sa pagkakasunud-sunod at n: a 3 = 3, a 4 = 5, isang 5 = 8, isang 6 = 13, isang 7 = 21, isang 8 = 34, isang 9 = 55, isang 10 = 89.
Sagot: 89 na paraan.
Gawain #2:
Kailangan mong hanapin ang bilang ng mga salita na 10 letra ang haba na binubuo lamang ng mga letrang "a" at "b" at hindi dapat maglaman ng dalawang letrang "b" sa isang hilera.
Tukuyin natin ng isang n bilang ng mga salita ang haba n mga titik na binubuo lamang ng mga letrang “a” at “b” at hindi naglalaman ng dalawang letrang “b” na magkasunod. Ibig sabihin, a 1= 2, a 2= 3.
Sa pagkakasunod-sunod a 1, a 2, <…>, isang n ipahahayag natin ang bawat susunod na miyembro nito sa pamamagitan ng mga nauna. Samakatuwid, ang bilang ng mga salita ng haba ay n mga titik na hindi rin naglalaman ng dobleng letrang “b” at nagsisimula sa letrang “a” ay isang n–1. At kung mahaba ang salita n ang mga titik ay nagsisimula sa titik na "b", lohikal na ang susunod na titik sa naturang salita ay "a" (pagkatapos ng lahat, hindi maaaring magkaroon ng dalawang "b" ayon sa mga kondisyon ng problema). Samakatuwid, ang bilang ng mga salita ng haba ay n sa kasong ito, tinutukoy namin ang mga titik bilang isang n–2. Sa una at pangalawang kaso, anumang salita (haba ng n – 1 At n – 2 mga titik ayon sa pagkakabanggit) nang walang dobleng "b".
Nagawa naming bigyang-katwiran kung bakit a n = a n–1 + a n–2.
kalkulahin natin ngayon a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, isang 10= isang 9+ isang 8= 144. At makuha namin ang pamilyar na Fibonacci sequence.
Sagot: 144.
Gawain #3:
Isipin na mayroong isang tape na nahahati sa mga cell. Ito ay papunta sa kanan at tumatagal nang walang katapusan. Maglagay ng tipaklong sa unang parisukat ng tape. Kahit anong cell ng tape siya ay nasa, maaari lang siyang lumipat sa kanan: alinman sa isang cell, o dalawa. Ilang paraan ang mayroon kung saan ang isang tipaklong ay maaaring tumalon mula sa simula ng tape hanggang n-ang mga cell?
Tukuyin natin ang bilang ng mga paraan upang ilipat ang isang tipaklong kasama ng sinturon n-th cell tulad ng isang n. Sa kasong ito a 1 = a 2= 1. Gayundin sa n+1 Ang tipaklong ay maaaring pumasok sa -th cell alinman mula sa n-th cell, o sa pamamagitan ng pagtalon dito. Mula rito isang n + 1 = isang n – 1 + isang n. saan isang n = Fn – 1.
Sagot: Fn – 1.
Maaari kang lumikha ng mga katulad na problema sa iyong sarili at subukang lutasin ang mga ito sa mga aralin sa matematika kasama ng iyong mga kaklase.
Mga numero ng Fibonacci sa sikat na kultura
Siyempre ito ay hindi pangkaraniwang pangyayari, tulad ng mga numero ng Fibonacci, ay hindi makakaakit ng pansin. Mayroon pa ring isang bagay na kaakit-akit at kahit na mahiwaga sa mahigpit na na-verify na pattern na ito. Hindi nakakagulat na ang Fibonacci sequence sa paanuman ay "naiilawan" sa maraming mga gawa ng modernong sikat na kultura iba't ibang genre.
Sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa ilan sa kanila. At sinubukan mong hanapin muli ang iyong sarili. Kung nahanap mo ito, ibahagi ito sa amin sa mga komento - mausisa din kami!
- Ang mga numero ng Fibonacci ay binanggit sa bestseller ni Dan Brown na The Da Vinci Code: ang Fibonacci sequence ay nagsisilbing code na ginagamit ng mga pangunahing karakter ng aklat upang magbukas ng safe.
- SA pelikulang Amerikano 2009 "Mr. Nobody" sa isa sa mga episode ang address ng bahay ay bahagi ng Fibonacci sequence - 12358. Bilang karagdagan, sa isa pang episode bida dapat tumawag sa isang numero ng telepono, na sa pangkalahatan ay pareho, ngunit bahagyang baluktot (dagdag na digit pagkatapos ng 5) sequence: 123-581-1321.
- Sa 2012 series na "Connection", ang pangunahing karakter, isang batang lalaki na nagdurusa sa autism, ay nakakakita ng mga pattern sa mga kaganapan na nagaganap sa mundo. Kasama sa pamamagitan ng mga numero ng Fibonacci. At pamahalaan ang mga kaganapang ito sa pamamagitan din ng mga numero.
- Mga developer ng laro ng Java para sa mga mobile phone Ang Doom RPG ay naglagay ng isang lihim na pinto sa isa sa mga antas. Ang code na magbubukas nito ay ang Fibonacci sequence.
- Noong 2012, inilabas ng Russian rock band na Splin ang concept album na "Optical Deception." Ang ikawalong track ay tinatawag na "Fibonacci". Ang mga taludtod ng pinuno ng grupo na si Alexander Vasiliev ay naglalaro sa pagkakasunud-sunod ng mga numero ng Fibonacci. Para sa bawat isa sa siyam na magkakasunod na termino ay may katumbas na bilang ng mga linya (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Umandar na ang tren
1 Naputol ang isang joint
1 Nanginginig ang isang manggas
2 Ayan, kunin mo na ang gamit
Ayan, kunin mo na ang gamit
3 Humiling ng kumukulong tubig
Pupunta ang tren sa ilog
Dumadaan ang tren sa taiga<…>.
- Ang isang limerick (isang maikling tula ng isang tiyak na anyo - karaniwang limang linya, na may isang tiyak na rhyme scheme, nakakatawa sa nilalaman, kung saan ang una at huling mga linya ay inuulit o bahagyang duplicate ang isa't isa) ni James Lyndon ay gumagamit din ng isang sanggunian sa Fibonacci pagkakasunud-sunod bilang isang nakakatawang motif:
Ang siksik na pagkain ng mga asawa ni Fibonacci
Ito ay para lamang sa kanilang kapakanan, wala nang iba pa.
Ang mga asawa ay tinimbang, ayon sa sabi-sabi,
Ang bawat isa ay katulad ng naunang dalawa.
Isa-isahin natin
Umaasa kami na nakapagsabi kami sa iyo ng maraming kawili-wili at kapaki-pakinabang na mga bagay ngayon. Halimbawa, maaari mo na ngayong hanapin ang Fibonacci spiral sa kalikasan sa paligid mo. Baka ikaw ang makakapag-usad ng "lihim ng buhay, ang Uniberso at sa pangkalahatan."
Gamitin ang formula para sa mga numerong Fibonacci kapag nilulutas ang mga problema sa combinatorics. Maaari kang umasa sa mga halimbawang inilarawan sa artikulong ito.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Tungkol sa mga numero at formula na nangyayari sa kalikasan. Well, ilang salita tungkol sa parehong mga numero at formula.
Ang mga numero at pormula sa kalikasan ay isang hadlang sa pagitan ng mga naniniwala sa paglikha ng uniberso ng isang tao at ng mga naniniwala sa paglikha ng sansinukob mismo. Dahil ang tanong ay: "Kung ang uniberso ay bumangon sa sarili nitong, kung gayon hindi ba halos lahat ng buhay at walang buhay na mga bagay ay mabubuo ayon sa parehong pamamaraan, ayon sa parehong mga formula?"
Buweno, hindi namin sasagutin ang pilosopikal na tanong na ito dito (hindi pareho ang format ng site 🙂), ngunit sasabihin namin ang mga formula. At magsimula tayo sa mga numero ng Fibonacci at Golden Spiral.
Kaya, ang mga numerong Fibonacci ay mga elemento ng pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na numero ay katumbas ng kabuuan ng dalawang naunang numero. Ibig sabihin, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 at iba pa.
Kabuuan, nakukuha namin ang serye: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 10965,
Isa pang halimbawa ng serye ng Fibonacci: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 at iba pa. Maaari kang mag-eksperimento sa iyong sarili :)
Paano lumilitaw ang mga numero ng Fibonacci sa kalikasan? Napakasimple:
- Ang pag-aayos ng dahon ng mga halaman ay inilalarawan ng Fibonacci sequence. Ang mga sunflower seed, pine cone, flower petals, at pineapple cell ay nakaayos din ayon sa Fibonacci sequence.
- Ang mga haba ng phalanges ng mga daliri ng tao ay humigit-kumulang kapareho ng mga numero ng Fibonacci.
- Ang molekula ng DNA ay binubuo ng dalawang vertically intertwined helice, 34 angstrom ang haba at 21 angstrom ang lapad. Ang mga numerong 21 at 34 ay sumusunod sa isa't isa sa Fibonacci sequence.
Gamit ang mga numero ng Fibonacci maaari kang bumuo ng isang Golden Spiral. Kaya, gumuhit tayo ng isang maliit na parisukat na may gilid ng, sabihin nating, 1. Susunod, tandaan natin ang paaralan. Ano ang 1 2? Ito ay magiging 1. Kaya, gumuhit tayo ng isa pang parisukat sa tabi ng una, malapit sa isa't isa. Susunod, ang susunod na numero ng Fibonacci ay 2 (1+1). Ano ang 2 2? Ito ay magiging 4. Gumuhit tayo ng isa pang parisukat malapit sa unang dalawang parisukat, ngunit ngayon ay may gilid na 2 at isang lugar na 4 Ang susunod na numero ay ang numero 3 (1+2). Ang parisukat ng bilang 3 ay 9. Gumuhit ng parisukat na may gilid 3 at lugar 9 sa tabi ng mga iginuhit na. Susunod na mayroon kaming isang parisukat na may gilid 5 at lugar 25, isang parisukat na may gilid 8 at lugar 64 - at iba pa, ad infinitum.
Panahon na para sa ginintuang spiral. Ikonekta natin ang mga hangganan ng mga punto sa pagitan ng mga parisukat na may isang makinis na hubog na linya. At makukuha natin ang parehong ginintuang spiral, kung saan itinayo ang maraming buhay at walang buhay na mga bagay sa kalikasan.
At bago lumipat sa golden ratio, isipin natin. Dito nakagawa kami ng spiral batay sa mga parisukat ng Fibonacci sequence (sequence 1, 1, 2, 3, 5, 8 at mga parisukat 1, 1, 4, 9, 25, 64). Ngunit ano ang mangyayari kung gagamitin natin hindi ang mga parisukat ng mga numero, ngunit ang kanilang mga cube? Ang mga cube ay magiging ganito mula sa gitna:
At sa gilid:
Buweno, kapag gumagawa ng isang spiral, ito ay lalabas volumetric na gintong spiral:
Ganito ang hitsura ng napakalaking ginintuang spiral na ito mula sa gilid:
Ngunit paano kung hindi tayo kukuha ng mga cube ng mga numero ng Fibonacci, ngunit lumipat sa ikaapat na dimensyon?.. Isa itong palaisipan, tama?
Gayunpaman, wala akong ideya kung paano nagpapakita ang volumetric na ginintuang ratio sa kalikasan batay sa mga cube ng mga numero ng Fibonacci, mas mababa ang mga numero sa ikaapat na kapangyarihan. Samakatuwid, bumalik kami sa ginintuang ratio sa eroplano. Kaya, tingnan natin muli ang ating mga parisukat. Sa pagsasalita sa matematika, ito ang larawang nakukuha natin:
Iyon ay, nakukuha natin ang gintong ratio - kung saan ang isang panig ay nahahati sa dalawang bahagi sa isang ratio na ang mas maliit na bahagi ay nauugnay sa mas malaki dahil ang mas malaki ay sa buong halaga.
Ibig sabihin, a: b = b: c o c: b = b: a.
Sa batayan ng ratio na ito ng mga dami, bukod sa iba pang mga bagay, ang isang regular na pentagon at isang pentagram ay binuo:
Para sa sanggunian: upang bumuo ng isang pentagram kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon. Ang paraan ng pagtatayo nito ay binuo ng Aleman na pintor at graphic artist na si Albrecht Durer (1471...1528). Hayaang O ang sentro ng bilog, A ang punto sa bilog, at E ang gitnang punto ng segment OA. Ang patayo sa radius OA, na naibalik sa punto O, ay nagsalubong sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang segment CE = ED sa diameter. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng DC. I-plot namin ang mga segment na DC sa bilog at kumuha ng limang puntos para gumuhit ng regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.
Sa pangkalahatan, ito ang mga pattern. Bukod dito, mayroong maraming iba't ibang mga pattern kaysa sa inilarawan. At ngayon, pagkatapos ng lahat ng mga boring na numero, narito ang ipinangakong video kung saan ang lahat ay simple at malinaw:
Tulad ng makikita mo, ang matematika ay talagang naroroon sa kalikasan. At hindi lamang sa mga bagay na nakalista sa video, kundi pati na rin sa maraming iba pang mga lugar. Halimbawa, kapag ang alon ay tumama sa baybayin at umiikot, umiikot ito sa kahabaan ng Golden Spiral. At iba pa :)