Ang Pi ay isa sa pinakasikat na konsepto ng matematika. Ang mga larawan ay nakasulat tungkol sa kanya, ang mga pelikula ay ginawa, siya ay nilalaro mga Instrumentong pangmusika, ang mga tula at pista opisyal ay nakatuon sa kanya, hinahanap nila siya at natagpuan siya sa mga sagradong teksto.
Sino ang nakatuklas ng pi?
Sino at kailan unang natuklasan ang bilang na π ay nananatiling isang misteryo. Ito ay kilala na ang mga tagapagtayo ng sinaunang Babylon ay ginamit na ito nang husto sa kanilang disenyo. Ang mga cuneiform tablet na libu-libong taong gulang ay nagpapanatili pa nga ng mga problema na iminungkahi na lutasin gamit ang π. Totoo, pagkatapos ay pinaniniwalaan na ang π ay katumbas ng tatlo. Ito ay pinatunayan ng isang tableta na natagpuan sa lungsod ng Susa, dalawang daang kilometro mula sa Babilonya, kung saan ang bilang na π ay ipinahiwatig bilang 3 1/8.
Sa proseso ng pagkalkula ng π, natuklasan ng mga Babylonians na ang radius ng isang bilog bilang isang chord ay pumapasok dito ng anim na beses, at hinati ang bilog sa 360 degrees. At kasabay nito ang ginawa nila sa orbit ng araw. Kaya, nagpasya silang isaalang-alang na mayroong 360 araw sa isang taon.
SA Sinaunang Ehipto Ang π ay katumbas ng 3.16.
Sa sinaunang India - 3,088.
Sa Italya sa pagliko ng panahon, pinaniniwalaan na ang π ay katumbas ng 3.125.
Sa Antiquity, ang pinakamaagang pagbanggit ng π ay tumutukoy sa sikat na problema ng pag-squaring ng bilog, iyon ay, ang imposibilidad ng paggamit ng compass at ruler upang makabuo ng isang parisukat na ang lugar ay katumbas ng lugar ng isang tiyak na bilog. Itinumbas ni Archimedes ang π sa fraction na 22/7.
Ang pinakamalapit na tao sa eksaktong halaga ng π ay dumating sa China. Ito ay kinakalkula noong ika-5 siglo AD. e. sikat na Chinese astronomer na si Zu Chun Zhi. Ang π ay kinakalkula nang simple. Kinakailangang isulat ang mga kakaibang numero nang dalawang beses: 11 33 55, at pagkatapos, hatiin ang mga ito sa kalahati, ilagay ang una sa denominator ng fraction, at ang pangalawa sa numerator: 355/113. Ang resulta ay sumasang-ayon sa mga modernong kalkulasyon ng π hanggang sa ikapitong digit.
Bakit π – π?
Ngayon kahit na ang mga mag-aaral ay alam na ang bilang na π ay isang matematikal na pare-pareho na katumbas ng ratio ng circumference ng isang bilog sa haba ng diameter nito at katumbas ng π 3.1415926535 ... at pagkatapos ay pagkatapos ng decimal point - hanggang sa kawalang-hanggan.
Nakuha ng numero ang pagtatalaga nito na π ang mahirap na paraan: ito muna liham ng Griyego Noong 1647, pinangalanan ng mathematician na Outrade ang circumference. Kinuha niya ang unang sulat salitang Griyegoπεριφέρεια - “periphery”. Noong 1706 guro sa Ingles Si William Jones sa kanyang akda na "Review of the Advances of Mathematics" ay tinawag na ang titik π ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. At ang pangalan ay pinagtibay ng ika-18 siglong mathematician na si Leonard Euler, sa harap kung saan ang awtoridad ay yumuko ang natitira sa kanilang mga ulo. Kaya ang π ay naging π.
Kakaiba ng numero
Ang Pi ay isang tunay na natatanging numero.
1. Naniniwala ang mga siyentipiko na ang bilang ng mga digit sa bilang na π ay walang katapusan. Ang kanilang pagkakasunud-sunod ay hindi nauulit. Bukod dito, walang sinuman ang makakahanap ng mga pag-uulit. Dahil ang numero ay walang hanggan, maaari itong maglaman ng ganap na lahat, kahit isang Rachmaninoff symphony, ang Lumang Tipan, ang iyong numero ng telepono at ang taon kung kailan magaganap ang Apocalypse.
2. Ang π ay nauugnay sa teorya ng kaguluhan. Ang mga siyentipiko ay dumating sa konklusyong ito pagkatapos lumikha ng programa sa kompyuter ni Bailey, na nagpakita na ang pagkakasunud-sunod ng mga numero sa π ay ganap na random, na naaayon sa teorya.
3. Halos imposibleng kalkulahin nang buo ang numero - aabutin ito ng masyadong maraming oras.
4. Ang π ay isang hindi makatwirang numero, ibig sabihin, ang halaga nito ay hindi maaaring ipahayag bilang isang fraction.
5. π – transendental na numero. Hindi ito makukuha sa pamamagitan ng pagsasagawa ng anumang algebraic operations sa mga integer.
6. Ang tatlumpu't siyam na decimal na lugar sa numerong π ay sapat na upang kalkulahin ang haba ng bilog na nakapalibot sa mga kilalang cosmic na bagay sa Uniberso, na may error sa radius ng hydrogen atom.
7. Ang bilang na π ay nauugnay sa konsepto ng "gintong ratio". Sa panahon ng proseso ng pagsukat Mahusay na Pyramid Sa Giza, natuklasan ng mga arkeologo na ang taas nito ay nauugnay sa haba ng base nito, tulad ng radius ng isang bilog na nauugnay sa haba nito.
Mga tala na nauugnay sa π
Noong 2010, nagawang kalkulahin ng Yahoo mathematician na si Nicholas Zhe ang dalawang quadrillion decimal place (2x10) sa numerong π. Ito ay tumagal ng 23 araw, at ang mathematician ay nangangailangan ng maraming katulong na nagtrabaho sa libu-libong mga computer, na nagkakaisa gamit ang distributed computing technology. Ang pamamaraan ay naging posible upang magsagawa ng mga kalkulasyon sa gayong kahanga-hangang bilis. Upang makalkula ang parehong bagay sa isang solong computer ay tatagal ng higit sa 500 taon.
Upang maisulat lamang ang lahat ng ito sa papel, kakailanganin mo ng papel na tape na higit sa dalawang bilyong kilometro ang haba. Kung palawakin mo ang naturang rekord, ang katapusan nito ay lalampas sa solar system.
Ang Intsik na si Liu Chao ay nagtakda ng rekord para sa pagsasaulo ng pagkakasunud-sunod ng mga digit ng numerong π. Sa loob ng 24 na oras at 4 na minuto, sinabi ni Liu Chao ang 67,890 decimal na lugar nang hindi nagkakamali.
π ay maraming tagahanga. Ito ay tinutugtog sa mga instrumentong pangmusika, at lumalabas na ito ay "tunog" na mahusay. Ito ay naaalala at naimbento para sa layuning ito iba't ibang mga pamamaraan. Para masaya, dina-download nila ito sa kanilang computer at ipinagyayabang sa isa't isa kung sino ang pinakamaraming nag-download. Ang mga monumento ay itinayo sa kanya. Halimbawa, mayroong isang monumento sa Seattle. Matatagpuan ito sa mga hakbang sa harap ng Museum of Art.
Ang π ay ginagamit sa mga dekorasyon at panloob na disenyo. Ang mga tula ay nakatuon sa kanya, siya ay hinahanap sa mga banal na aklat at sa mga paghuhukay. Mayroong kahit isang "Club π".
Sa pinakamahusay na mga tradisyon ng π, hindi isa, ngunit dalawang buong araw sa isang taon ay nakatuon sa numero! Ang unang pagkakataon na ipinagdiriwang ang π Day ay ika-14 ng Marso. Kailangan mong batiin ang isa't isa sa eksaktong 1 oras, 59 minuto, 26 segundo. Kaya, ang petsa at oras ay tumutugma sa mga unang digit ng numero - 3.1415926.
Sa pangalawang pagkakataon, ipinagdiriwang ang π holiday sa Hulyo 22. Ang araw na ito ay nauugnay sa tinatawag na "approximate π", na isinulat ni Archimedes bilang isang fraction.
Karaniwan sa araw na ito, ang mga mag-aaral, mga mag-aaral at mga siyentipiko ay nag-oorganisa ng mga nakakatawang flash mob at mga aksyon. Ang mga mathematician, na nagsasaya, ay gumagamit ng π upang kalkulahin ang mga batas ng bumabagsak na sandwich at bigyan ang bawat isa ng mga komiks na gantimpala.
At siya nga pala, ang π ay talagang makikita sa mga banal na aklat. Halimbawa, sa Bibliya. At doon ang bilang na π ay katumbas ng... tatlo.
Ano ang katumbas ng Pi? alam at naaalala natin mula sa paaralan. Ito ay katumbas ng 3.1415926 at iba pa... Sa isang ordinaryong tao sapat na malaman na ang bilang na ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. Ngunit alam ng maraming tao na ang numerong Pi ay lumilitaw sa mga hindi inaasahang lugar hindi lamang sa matematika at geometry, kundi pati na rin sa pisika. Buweno, kung susuriin mo ang mga detalye ng likas na katangian ng numerong ito, mapapansin mo ang maraming nakakagulat na mga bagay sa walang katapusang serye ng mga numero. Posible bang itinatago ni Pi ang pinakamalalim na sikreto ng uniberso?
Walang katapusang bilang
Ang numerong Pi mismo ay lilitaw sa ating mundo bilang circumference ng isang bilog na may diameter katumbas ng isa. Ngunit, sa kabila ng katotohanan na ang segment na katumbas ng Pi ay medyo may hangganan, ang numerong Pi ay nagsisimula bilang 3.1415926 at napupunta sa infinity sa mga hanay ng mga numero na hindi na mauulit. Una kamangha-manghang katotohanan ay ang numerong ito, na ginamit sa geometry, ay hindi maaaring ipahayag bilang isang fraction ng mga buong numero. Sa madaling salita, hindi mo maaaring isulat ito bilang ratio ng dalawang numero a/b. Bilang karagdagan, ang bilang na Pi ay transendental. Nangangahulugan ito na walang equation (polynomial) na may mga integer coefficient na ang solusyon ay ang bilang na Pi.
Ang katotohanan na ang bilang na Pi ay transendental ay pinatunayan noong 1882 ng German mathematician na si von Lindemann. Ito ang patunay na naging sagot sa tanong kung posible, gamit ang isang compass at isang ruler, upang gumuhit ng isang parisukat na ang lugar ay katumbas ng lugar ng isang ibinigay na bilog. Ang problemang ito ay kilala bilang ang paghahanap para sa pag-squaring ng isang bilog, na nag-aalala sa sangkatauhan mula noong sinaunang panahon. Tila ang problemang ito ay may simpleng solusyon at malapit nang malutas. Ngunit ito ay tiyak na ang hindi maunawaan na pag-aari ng numerong Pi na nagpakita na walang solusyon sa problema ng pag-squaring ng bilog.
Sa loob ng hindi bababa sa apat at kalahating millennia, sinusubukan ng sangkatauhan na makakuha ng mas tumpak na halaga para sa Pi. Halimbawa, sa Bibliya sa Ikatlong Aklat ng Mga Hari (7:23), ang bilang na Pi ay kinukuha na 3.
Ang halaga ng Pi na kapansin-pansing katumpakan ay matatagpuan sa mga piramide ng Giza: ang ratio ng perimeter at taas ng mga pyramids ay 22/7. Ang fraction na ito ay nagbibigay ng tinatayang halaga ng Pi na katumbas ng 3.142... Maliban kung, siyempre, itinakda ng mga Egyptian ang ratio na ito nang hindi sinasadya. Ang parehong halaga ay nakuha na may kaugnayan sa pagkalkula ng bilang na Pi noong ika-3 siglo BC ng dakilang Archimedes.
Sa Papyrus of Ahmes, isang sinaunang Egyptian mathematics textbook na itinayo noong 1650 BC, ang Pi ay kinakalkula bilang 3.160493827.
Sa mga sinaunang teksto ng India noong ika-9 na siglo BC, ang pinakatumpak na halaga ay ipinahayag ng bilang na 339/108, na katumbas ng 3.1388...
Sa loob ng halos dalawang libong taon pagkatapos ni Archimedes, sinubukan ng mga tao na maghanap ng mga paraan upang makalkula ang Pi. Kabilang sa kanila ay parehong sikat at hindi kilalang mathematician. Halimbawa, ang Romanong arkitekto na si Marcus Vitruvius Pollio, ang Egyptian astronomer na si Claudius Ptolemy, ang Chinese mathematician na si Liu Hui, ang Indian sage na si Aryabhata, ang medieval mathematician na si Leonardo ng Pisa, na kilala bilang Fibonacci, ang Arab scientist na si Al-Khwarizmi, kung saan ang pangalan ay salita. Lumitaw ang "algorithm". Lahat sila at marami pang ibang tao ay naghahanap ng mga pinakatumpak na pamamaraan para sa pagkalkula ng Pi, ngunit hanggang sa ika-15 siglo ay hindi sila nakakuha ng higit sa 10 decimal na lugar dahil sa pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon.
Sa wakas, noong 1400, kinakalkula ng Indian mathematician na si Madhava mula sa Sangamagram ang Pi na may katumpakan na 13 digit (bagaman siya ay nagkakamali pa rin sa huling dalawa).
Bilang ng mga palatandaan
Noong ika-17 siglo, natuklasan nina Leibniz at Newton ang pagsusuri ng mga infinitesimal na dami, na naging posible upang makalkula ang Pi nang mas progresibo - sa pamamagitan ng power series at integrals. Si Newton mismo ay nagkalkula ng 16 na mga decimal na lugar, ngunit hindi ito binanggit sa kanyang mga libro - nakilala ito pagkatapos ng kanyang kamatayan. Sinabi ni Newton na kinakalkula niya ang Pi dahil sa pagkabagot.
Sa parehong oras, ang iba pang hindi gaanong kilalang mathematician ay dumating din at nagmungkahi ng mga bagong formula para sa pagkalkula ng numerong Pi sa pamamagitan ng trigonometric functions.
Halimbawa, ito ang formula na ginamit upang kalkulahin ang Pi ng guro ng astronomiya na si John Machin noong 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Gamit ang mga analytical na pamamaraan, nakuha ng Machin ang numerong Pi sa isang daang decimal na lugar mula sa formula na ito.
Sa pamamagitan ng paraan, sa parehong 1706, ang numerong Pi ay nakatanggap ng opisyal na pagtatalaga sa anyo ng isang liham na Griyego: Ginamit ito ni William Jones sa kanyang trabaho sa matematika, na kinuha ang unang titik ng salitang Griyego na "periphery," na nangangahulugang "bilog. .” Ang dakilang Leonhard Euler, na ipinanganak noong 1707, ay nagpasikat sa pagtatalagang ito, na kilala na ngayon ng sinumang mag-aaral.
Bago ang panahon ng mga computer, ang mga mathematician ay nagtrabaho upang makalkula ang maraming mga palatandaan hangga't maaari. Sa bagay na ito, kung minsan ang mga nakakatawang bagay ay lumitaw. Ang amateur mathematician na si W. Shanks ay nagkalkula ng 707 digit ng Pi noong 1875. Ang pitong daang mga palatandaang ito ay na-immortalize sa dingding ng Palais des Discoverys sa Paris noong 1937. Gayunpaman, pagkaraan ng siyam na taon, natuklasan ng mga mapagmasid na mathematician na ang unang 527 na karakter lamang ang wastong nakalkula. Ang museo ay nagkaroon ng malaking gastos upang itama ang pagkakamali - ngayon ang lahat ng mga numero ay tama.
Nang lumitaw ang mga computer, ang bilang ng mga digit ng Pi ay nagsimulang kalkulahin sa ganap na hindi maisip na mga order.
Ang isa sa mga unang elektronikong computer, ang ENIAC, na nilikha noong 1946, ay napakalaki sa laki at nakabuo ng sobrang init na ang silid ay uminit hanggang 50 degrees Celsius, na kinakalkula ang unang 2037 digit ng Pi. Inabot ng kalkulasyon na ito ang makina ng 70 oras.
Habang umuunlad ang mga computer, ang aming kaalaman sa Pi ay higit na lumipat sa infinity. Noong 1958, 10 libong numero ng numero ang kinakalkula. Noong 1987, kinakalkula ng mga Hapones ang 10,013,395 character. Noong 2011, ang Japanese researcher na si Shigeru Hondo ay nalampasan ang 10 trilyong character mark.
Saan mo pa makikilala si Pi?
Kaya, kadalasan ang aming kaalaman tungkol sa numerong Pi ay nananatili sa antas ng paaralan, at alam naming sigurado na ang numerong ito ay hindi mapapalitan lalo na sa geometry.
Bilang karagdagan sa mga formula para sa haba at lugar ng isang bilog, ang numerong Pi ay ginagamit sa mga formula para sa mga ellipses, spheres, cones, cylinders, ellipsoids, at iba pa: sa ilang mga lugar ang mga formula ay simple at madaling matandaan, ngunit sa iba ay naglalaman sila ng napakakomplikadong integral.
Pagkatapos ay maaari nating matugunan ang numerong Pi sa mga mathematical formula, kung saan, sa unang tingin, hindi nakikita ang geometry. Halimbawa, hindi tiyak na integral mula sa 1/(1-x^2) ay katumbas ng Pi.
Ang Pi ay kadalasang ginagamit sa pagsusuri ng serye. Halimbawa, narito ang isang simpleng serye na nagtatagpo sa Pi:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Sa mga serye, ang Pi ay lumilitaw nang hindi inaasahan sa sikat na Riemann zeta function. Imposibleng pag-usapan ito sa maikling salita, sabihin na lang natin na balang araw makakatulong ang numerong Pi na makahanap ng formula para sa pagkalkula ng mga prime number.
At talagang nakakagulat: Ang Pi ay lumilitaw sa dalawa sa pinakamagagandang "royal" na mga formula ng matematika - Stirling's formula (na tumutulong upang mahanap ang tinatayang halaga ng factorial at gamma function) at Euler's formula (na nag-uugnay ng hanggang limang mathematical constants).
Gayunpaman, ang pinaka-hindi inaasahang pagtuklas ay naghihintay sa mga mathematician sa probability theory. Nandoon din ang numerong Pi.
Halimbawa, ang posibilidad na ang dalawang numero ay magiging relatibong prime ay 6/PI^2.
Lumilitaw ang Pi sa problema ni Buffon sa pagtapon ng karayom, na binuo noong ika-18 siglo: ano ang posibilidad na ang isang karayom na itinapon sa isang may linyang piraso ng papel ay tumawid sa isa sa mga linya. Kung ang haba ng karayom ay L, at ang distansya sa pagitan ng mga linya ay L, at r > L, kung gayon maaari nating kalkulahin ang halaga ng Pi gamit ang probability formula na 2L/rPI. Isipin mo na lang - makukuha natin ang Pi mga random na pangyayari. At sa pamamagitan ng paraan, ang Pi ay naroroon sa normal na pamamahagi ng posibilidad, na lumilitaw sa equation ng sikat na Gaussian curve. Nangangahulugan ba ito na ang Pi ay mas mahalaga kaysa sa simpleng ratio ng circumference sa diameter?
Makikilala rin natin si Pi sa physics. Lumilitaw ang Pi sa batas ng Coulomb, na naglalarawan sa puwersa ng interaksyon sa pagitan ng dalawang singil, sa ikatlong batas ni Kepler, na nagpapakita ng panahon ng rebolusyon ng isang planeta sa paligid ng Araw, at lumilitaw pa sa pag-aayos ng mga orbital ng elektron ng hydrogen atom. At ang pinaka-hindi kapani-paniwala ay ang numerong Pi ay nakatago sa formula ng Heisenberg uncertainty principle - ang pangunahing batas ng quantum physics.
Mga lihim ng Pi
Sa nobelang Contact ni Carl Sagan, kung saan nakabatay ang pelikula ng parehong pangalan, sinabi ng mga dayuhan sa pangunahing tauhang babae na kabilang sa mga palatandaan ng Pi ay mayroong isang lihim na mensahe mula sa Diyos. Mula sa isang tiyak na posisyon, ang mga numero sa numero ay titigil na maging random at kumakatawan sa isang code kung saan nakasulat ang lahat ng mga lihim ng Uniberso.
Ang nobelang ito ay talagang sumasalamin sa isang misteryo na sumasakop sa isipan ng mga mathematician sa buong mundo: ang Pi ba ay isang normal na numero kung saan ang mga digit ay nakakalat na may pantay na dalas, o may mali ba sa numerong ito? At kahit na ang mga siyentipiko ay hilig sa unang opsyon (ngunit hindi ito maaaring patunayan), ang numerong Pi ay mukhang napaka misteryoso. Minsang nakalkula ng isang Japanese na lalaki kung ilang beses naganap ang mga numerong 0 hanggang 9 sa unang trilyong digit ng Pi. At nakita ko na ang mga numero 2, 4 at 8 ay mas karaniwan kaysa sa iba. Ito ay maaaring isa sa mga pahiwatig na ang Pi ay hindi ganap na normal, at ang mga numero sa loob nito ay talagang hindi random.
Alalahanin natin ang lahat ng ating nabasa sa itaas at tanungin ang ating sarili, ano pa ba ang hindi makatwiran at transendental na numero ang madalas na matatagpuan sa totoong mundo?
At mayroong higit pang mga kakaiba sa tindahan. Halimbawa, ang kabuuan ng unang dalawampung numero ng Pi ay 20, at ang kabuuan ng unang 144 na numero ay katumbas ng "bilang ng hayop" na 666.
Ang pangunahing karakter ng American TV series na "Suspect," Propesor Finch, ay nagsabi sa mga estudyante na dahil sa kawalang-hanggan ng numerong Pi, ang anumang kumbinasyon ng mga numero ay matatagpuan dito, mula sa mga numero ng iyong petsa ng kapanganakan hanggang sa mas kumplikadong mga numero. . Halimbawa, sa posisyon 762 mayroong isang pagkakasunod-sunod ng anim na siyam. Ang posisyon na ito ay tinatawag na Feynman point pagkatapos ng sikat na physicist na napansin ang kagiliw-giliw na kumbinasyong ito.
Alam din namin na ang numerong Pi ay naglalaman ng sequence na 0123456789, ngunit ito ay matatagpuan sa ika-17,387,594,880 na digit.
Ang lahat ng ito ay nangangahulugan na sa kawalang-hanggan ng numerong Pi mahahanap mo hindi lamang ang mga kagiliw-giliw na kumbinasyon ng mga numero, kundi pati na rin ang naka-encode na teksto ng "Digmaan at Kapayapaan", ang Bibliya at maging Ang Pangunahing Lihim Ang uniberso, kung may ganoong bagay.
Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa Bibliya. Ang sikat na popularizer ng matematika, si Martin Gardner, ay nagsabi noong 1966 na ang ika-milyong digit ng Pi (sa panahong iyon ay hindi pa rin kilala) ay ang numero 5. Ipinaliwanag niya ang kanyang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng katotohanan na sa Ingles na bersyon ng Bibliya, sa ika-3 aklat, ika-14 na kabanata, 16 talata (3-14-16) ang ikapitong salita ay naglalaman ng limang titik. Ang ika-milyong bilang ay naabot makalipas ang walong taon. Iyon ang numerong lima.
Nararapat bang igiit pagkatapos nito na random ang numerong Pi?
Ngayon ang kaarawan ni Pi, na, sa inisyatiba ng mga Amerikanong mathematician, ay ipinagdiriwang noong Marso 14 sa 1 oras at 59 minuto sa hapon. Ito ay konektado sa isang mas tumpak na halaga ng numerong Pi: lahat tayo ay nakasanayan na isaalang-alang ang pare-parehong ito bilang 3.14, ngunit ang numero ay maaaring ipagpatuloy tulad ng sumusunod: 3.14159... Isinasalin ito sa petsa ng kalendaryo, nakakakuha tayo ng 03.14, 1:59.
Larawan: AiF/ Nadezhda Uvarova
Ang Propesor ng Kagawaran ng Matematika at Pagsusuri ng Functional ng South Ural State University na si Vladimir Zalyapin ay nagsabi na ang Hulyo 22 ay dapat pa ring isaalang-alang na "Pi day", dahil sa European na format ng petsa ang araw na ito ay nakasulat bilang 22/7, at ang halaga ng fraction na ito. ay tinatayang katumbas ng halaga ng Pi .
"Ang kasaysayan ng bilang na nagbibigay ng ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter ng isang bilog ay bumalik sa malayong sinaunang panahon, sabi ni Zalyapin. - Alam na ng mga Sumerians at Babylonians na ang ratio na ito ay hindi nakadepende sa diameter ng bilog at pare-pareho. Ang isa sa mga unang pagbanggit ng numerong Pi ay matatagpuan sa mga teksto Egyptian scribe na si Ahmes(mga 1650 BC). Ang mga sinaunang Greeks, na humiram ng maraming mula sa mga Egyptian, ay nag-ambag sa pag-unlad ng misteryosong dami na ito. Ayon sa alamat, Archimedes ay nadala sa pamamagitan ng mga kalkulasyon na hindi niya napansin kung paano siya kinuha ng mga sundalong Romano bayan Syracuse. Nang lapitan siya ng sundalong Romano, sumigaw si Archimedes sa wikang Griego: "Huwag mong hawakan ang aking mga bilog!" Bilang tugon, sinaksak siya ng sundalo ng espada.
Plato nakatanggap ng medyo tumpak na halaga ng Pi para sa kanyang oras - 3.146. Ludolf van Zeilen ginastos karamihan ang kanyang buhay ay nagtatrabaho sa mga kalkulasyon ng unang 36 decimal na lugar ng Pi, at ang mga ito ay nakaukit sa kanyang lapida pagkatapos ng kanyang kamatayan."Hindi makatwiran at abnormal
Ayon sa propesor, sa lahat ng oras ang pagtugis ng pagkalkula ng mga bagong decimal na lugar ay tinutukoy ng pagnanais na makuha ang eksaktong halaga ng numerong ito. Ipinapalagay na ang Pi ay makatwiran at samakatuwid ay maaaring ipahayag bilang isang simpleng fraction. At ito ay sa panimula ay mali!
Sikat din ang numerong Pi dahil ito ay mystical. Mula noong sinaunang panahon, mayroong isang relihiyon ng mga sumasamba sa pare-pareho. Bilang karagdagan sa tradisyonal na halaga ng Pi - isang pare-parehong matematika (3.1415...), na nagpapahayag ng ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito, mayroong maraming iba pang mga kahulugan ng numero. Ang ganitong mga katotohanan ay kawili-wili. Sa proseso ng pagsukat ng mga sukat ng Great Pyramid of Giza, lumabas na mayroon itong parehong ratio ng taas sa perimeter ng base nito bilang radius ng isang bilog sa haba nito, iyon ay, ½ Pi.
Kung kalkulahin mo ang haba ng ekwador ng Earth gamit ang Pi hanggang sa ika-siyam na decimal na lugar, ang error sa mga kalkulasyon ay magiging mga 6 mm lamang. Tatlumpu't siyam na decimal na lugar sa Pi ay sapat na upang kalkulahin ang circumference ng bilog na nakapalibot sa mga kilalang cosmic na bagay sa Uniberso, na may error na hindi hihigit sa radius ng hydrogen atom!
Kasama rin sa pag-aaral ng Pi ang mathematical analysis. Larawan: AiF/ Nadezhda Uvarova
Kaguluhan sa mga numero
Ayon sa isang propesor sa matematika, noong 1767 Lambert itinatag ang irrationality ng numerong Pi, iyon ay, ang imposibilidad ng pagkatawan nito bilang isang ratio ng dalawang integer. Nangangahulugan ito na ang pagkakasunud-sunod ng mga decimal na lugar ng Pi ay kaguluhan na nakapaloob sa mga numero. Sa madaling salita, ang "buntot" ng mga decimal na lugar ay naglalaman ng anumang numero, anumang pagkakasunud-sunod ng mga numero, anumang mga teksto noon, ay, at magiging, ngunit hindi lang posibleng kunin ang impormasyong ito!"Imposibleng malaman ang eksaktong halaga ng Pi," patuloy ni Vladimir Ilyich. - Ngunit ang mga pagtatangka na ito ay hindi pinababayaan. Noong 1991 Chudnovsky nakamit ang isang bagong 2260000000 decimal na lugar ng pare-pareho, at noong 1994 - 4044000000. Pagkatapos nito, ang bilang ng mga tamang digit ng Pi ay tumaas na parang avalanche."
Ang Chinese ay may hawak na world record para sa pagsasaulo ng Pi Liu Chao, na nakaalala ng 67,890 decimal na lugar nang walang pagkakamali at muling ginawa ang mga ito sa loob ng 24 na oras at 4 na minuto.
Tungkol sa "gintong ratio"
Sa pamamagitan ng paraan, ang koneksyon sa pagitan ng "pi" at isa pang kamangha-manghang dami - ang gintong ratio - ay hindi kailanman aktwal na napatunayan. Matagal nang napansin ng mga tao na ang "ginintuang" proporsyon - kilala rin bilang bilang Phi - at ang bilang na Pi na hinati sa dalawa ay naiiba sa bawat isa nang mas mababa sa 3% (1.61803398... at 1.57079632...). Gayunpaman, para sa matematika, ang tatlong porsyentong ito ay masyadong makabuluhang pagkakaiba upang isaalang-alang ang mga halagang ito na magkapareho. Sa parehong paraan, maaari nating sabihin na ang numero ng Pi at ang numero ng Phi ay mga kamag-anak ng isa pang kilalang pare-pareho - ang numero ng Euler, dahil ang ugat nito ay malapit sa kalahati ng numero ng Pi. Ang kalahati ng Pi ay 1.5708, ang Phi ay 1.6180, ang ugat ng E ay 1.6487.
Ito ay bahagi lamang ng halaga ng Pi. Larawan: Screenshot
Birthday ni Pi
Sa Timog Ural Pambansang Unibersidad Ang kaarawan ni Constant ay ipinagdiriwang ng lahat ng guro at mag-aaral sa matematika. Ito ay palaging ganito - hindi masasabi na ang interes ay lumitaw lamang sa mga nakaraang taon. Ang numero 3.14 ay tinatanggap pa nga sa isang espesyal na konsiyerto sa holiday!
Ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito ay pareho para sa lahat ng mga bilog. Ang ratio na ito ay karaniwang tinutukoy ng letrang Griyego ("pi" - ang unang titik ng salitang Griyego 
, na nangangahulugang "bilog").
Si Archimedes, sa kanyang akdang “Measurement of a Circle,” ay kinakalkula ang ratio ng circumference sa diameter (number) at nalaman na ito ay nasa pagitan ng 3 10/71 at 3 1/7.
Sa loob ng mahabang panahon, ang numerong 22/7 ay ginamit bilang isang tinatayang halaga, bagaman nasa ika-5 siglo na sa Tsina ang tinatayang 355/113 = 3.1415929... ay natagpuan, na muling natuklasan sa Europa noong ika-16 na siglo lamang.
SA Sinaunang India itinuturing na katumbas ng = 3.1622….
Ang Pranses na matematiko na si F. Viète ay nakalkula noong 1579 na may 9 na numero.
Ang Dutch mathematician na si Ludolf Van Zeijlen noong 1596 ay naglathala ng resulta ng kanyang sampung taong trabaho - ang bilang na kinakalkula na may 32 digit.
Ngunit ang lahat ng mga paglilinaw ng halaga ng numero ay isinagawa gamit ang mga pamamaraan na ipinahiwatig ng Archimedes: ang bilog ay pinalitan ng isang polygon na may lahat. isang malaking bilang panig Ang perimeter ng inscribed polygon ay mas mababa kaysa sa circumference ng bilog, at ang perimeter ng circumscribed polygon ay mas malaki. Ngunit sa parehong oras, nanatiling hindi malinaw kung ang bilang ay makatwiran, iyon ay, ang ratio ng dalawang integer, o hindi makatwiran.
Noon lamang 1767 ang German mathematician na si I.G. Pinatunayan ni Lambert na ang bilang ay hindi makatwiran.
At higit sa isang daang taon na ang lumipas, noong 1882, pinatunayan ng isa pang Aleman na matematiko, si F. Lindemann, ang transcendence nito, na nangangahulugan ng imposibilidad ng pagbuo ng isang parisukat na katumbas ng laki sa isang ibinigay na bilog gamit ang isang compass at isang ruler.
Ang pinakasimpleng pagsukat
Gumuhit ng bilog na lapad sa makapal na karton d(=15 cm), gupitin ang nagresultang bilog at balutin ito ng manipis na sinulid. Pagsukat ng haba l(=46.5 cm) isang buong pagliko ng thread, hatiin l bawat haba ng diameter d mga bilog. Ang magreresultang quotient ay magiging isang tinatayang halaga ng numero, i.e. = l/ d= 46.5 cm / 15 cm = 3.1. Ang medyo magaspang na paraan na ito ay nagbibigay, sa ilalim ng normal na mga kondisyon, ng tinatayang halaga ng numerong tumpak sa 1.
Pagsukat sa pamamagitan ng pagtimbang
Gumuhit ng isang parisukat sa isang piraso ng karton. Sumulat tayo ng isang bilog dito. Gupitin natin ang isang parisukat. Tukuyin natin ang masa ng isang karton na parisukat gamit ang mga timbangan ng paaralan. Gupitin natin ang isang bilog mula sa parisukat. Timbangin din natin siya. Pag-alam sa masa ng parisukat m sq. (=10 g) at ang bilog na nakasulat dito m cr (=7.8 g) gamitin natin ang mga formula
kung saan p at h– density at kapal ng karton, ayon sa pagkakabanggit, S- lugar ng figure. Isaalang-alang natin ang pagkakapantay-pantay:
Natural, sa sa kasong ito ang tinatayang halaga ay depende sa katumpakan ng pagtimbang. Kung ang mga numero ng karton na tinitimbang ay medyo malaki, kung gayon kahit na sa ordinaryong mga kaliskis posible na makakuha ng gayong mga halaga ng masa na titiyakin ang pagtatantya ng numero na may katumpakan na 0.1.
Pagbubuod ng mga lugar ng mga parihaba na nakasulat sa kalahating bilog
Larawan 1
Hayaan ang A (a; 0), B (b; 0). Ilarawan natin ang kalahating bilog sa AB bilang diameter. Hatiin ang segment AB sa n pantay na bahagi sa pamamagitan ng mga puntos x 1, x 2, ..., x n-1 at ibalik ang mga patayo mula sa kanila patungo sa intersection sa kalahating bilog. Ang haba ng bawat naturang patayo ay ang halaga ng function na f(x)=. Mula sa Figure 1 ay malinaw na ang lugar S ng isang kalahating bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
Sa kaso natin b=1, a=-1. Pagkatapos = 2 S.
Ang mas maraming dibisyon ng mga puntos sa segment AB, mas tumpak ang mga halaga. Upang mapadali ang monotonous computing work, makakatulong ang isang computer, kung saan ang program 1, na pinagsama-sama sa BASIC, ay ibinigay sa ibaba.
Programa 1REM "Pagkalkula ng Pi"
REM "Rectangle Method"
INPUT "Ipasok ang bilang ng mga parihaba", n
dx = 1/n
PARA sa i = 0 SA n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
SUSUNOD i
p = 4 * dx * a
I-PRINT "Ang halaga ng pi ay ", p
WAKAS
Ang programa ay nai-type at inilunsad na may iba't ibang mga halaga ng parameter n. Ang mga resultang halaga ng numero ay nakasulat sa talahanayan:
Paraan ng Monte Carlo
Ito ay talagang isang istatistikal na paraan ng pagsubok. Nakuha nito ang kakaibang pangalan mula sa lungsod ng Monte Carlo sa Principality of Monaco, na sikat sa mga bahay na pasugalan. Ang katotohanan ay ang pamamaraan ay nangangailangan ng paggamit ng mga random na numero, at ang isa sa pinakasimpleng aparato na bumubuo ng mga random na numero ay isang roulette. Gayunpaman, maaari kang makakuha ng mga random na numero gamit ang...ulan.
Para sa eksperimento, maghanda tayo ng isang piraso ng karton, gumuhit ng isang parisukat dito at isulat ang isang-kapat ng isang bilog sa parisukat. Kung ang gayong pagguhit ay pinananatili sa ulan sa loob ng ilang panahon, kung gayon ang mga bakas ng mga patak ay mananatili sa ibabaw nito. Bilangin natin ang bilang ng mga track sa loob ng square at sa loob ng quarter circle. Malinaw, ang kanilang ratio ay humigit-kumulang katumbas ng ratio ng mga lugar ng mga figure na ito, dahil ang mga patak ay mahuhulog sa iba't ibang mga lugar sa pagguhit na may pantay na posibilidad. Hayaan N cr- bilang ng mga patak sa isang bilog, N sq. ay ang bilang ng mga patak na parisukat, kung gayon
4 N cr / N sq.
Figure 2
Maaaring mapalitan ang ulan ng isang talahanayan ng mga random na numero, na pinagsama-sama gamit ang isang computer gamit ang isang espesyal na programa. Magtalaga tayo ng dalawang random na numero sa bawat bakas ng isang patak, na nagpapakilala sa posisyon nito kasama ang mga palakol Oh At OU. Maaaring piliin ang mga random na numero mula sa talahanayan sa anumang pagkakasunud-sunod, halimbawa, sa isang hilera. Hayaan ang unang apat na digit na numero sa talahanayan 3265 . Mula dito maaari kang maghanda ng isang pares ng mga numero, na ang bawat isa ay mas malaki sa zero at mas mababa sa isa: x=0.32, y=0.65. Isasaalang-alang namin ang mga numerong ito bilang mga coordinate ng drop, ibig sabihin, ang pagbagsak ay tila tumama sa punto (0.32; 0.65). Ginagawa namin ang parehong sa lahat ng napili random na mga numero. Kung ito ay lumabas na para sa punto (x;y) Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak, pagkatapos ito ay nasa labas ng bilog. Kung x + y = 1, pagkatapos ang punto ay nasa loob ng bilog.
Upang kalkulahin ang halaga, muli naming ginagamit ang formula (1). Ang error sa pagkalkula gamit ang paraang ito ay karaniwang proporsyonal sa , kung saan ang D ay isang pare-pareho at ang N ay ang bilang ng mga pagsubok. Sa aming kaso N = N sq. Mula sa formula na ito ay malinaw: upang mabawasan ang error ng 10 beses (sa madaling salita, upang makakuha ng isa pang tamang decimal na lugar sa sagot), kailangan mong dagdagan ang N, i.e. ang dami ng trabaho, ng 100 beses. Malinaw na ang paggamit ng paraan ng Monte Carlo ay naging posible lamang salamat sa mga computer. Ipinapatupad ng Programa 2 ang inilarawang paraan sa isang computer.
Programa 2REM "Pagkalkula ng Pi"
REM "Monte Carlo Method"
INPUT "Ipasok ang bilang ng mga patak", n
m = 0
PARA sa i = 1 SA n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
KUNG x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
SUSUNOD i
p=4*m/n
WAKAS
Ang programa ay nai-type at inilunsad na may iba't ibang mga halaga ng parameter n. Ang mga resultang halaga ng numero ay nakasulat sa talahanayan:
| n | ||||||
| n | ||||||
Paraan ng pag-drop ng karayom
Kumuha tayo ng isang ordinaryong karayom sa pananahi at isang sheet ng papel. Gumuhit kami ng ilang magkatulad na linya sa sheet upang ang mga distansya sa pagitan ng mga ito ay pantay at lumampas sa haba ng karayom. Ang pagguhit ay dapat na sapat na malaki upang ang isang hindi sinasadyang itinapon na karayom ay hindi mahulog sa labas ng mga hangganan nito. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: A- distansya sa pagitan ng mga linya, l- haba ng karayom.
Larawan 3
Ang posisyon ng isang karayom na random na itinapon sa drawing (tingnan ang Fig. 3) ay tinutukoy ng distansya X mula sa gitna nito hanggang sa pinakamalapit na tuwid na linya at ang anggulo na j na ginagawa ng karayom na ang patayo ay ibinaba mula sa gitna ng karayom hanggang sa pinakamalapit na tuwid na linya (tingnan ang Fig. 4). Malinaw na
Larawan 4
Sa Fig. 5 sabihin graphically kumakatawan sa function y=0.5cos. Ang lahat ng posibleng lokasyon ng karayom ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga puntos na may mga coordinate (; y ), na matatagpuan sa seksyong ABCD. Ang may kulay na lugar ng AED ay ang mga punto na tumutugma sa kaso kung saan ang karayom ay nagsalubong sa isang tuwid na linya. Probability ng pangyayari a– “ang karayom ay tumawid sa isang tuwid na linya” – ay kinakalkula gamit ang formula:
Larawan 5
Probability p(a) maaaring tinatayang matukoy sa pamamagitan ng paulit-ulit na paghahagis ng karayom. Hayaang itapon ang karayom sa drawing c minsan at p dahil nahulog ito habang tumatawid sa isa sa mga tuwid na linya, pagkatapos ay may sapat na laki c meron kami p(a) = p/c. Mula rito = 2 l s / isang k.
Magkomento.
Ang ipinakita na pamamaraan ay isang pagkakaiba-iba ng pamamaraan ng istatistikal na pagsubok. Ito ay kawili-wili mula sa isang didactic na pananaw, dahil nakakatulong ito upang pagsamahin ang simpleng karanasan sa paglikha ng isang medyo kumplikadong modelo ng matematika.
Pagkalkula gamit ang Taylor series Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng isang arbitrary function f(x). Ipagpalagay natin na para sa kanya sa puntong iyon x 0 n may mga derivatives ng lahat ng order hanggang sa ika kasama. Pagkatapos ay para sa pag-andar f(x)
Magiging mas tumpak ang mga kalkulasyon gamit ang seryeng ito kapag mas maraming miyembro ng serye ang nasasangkot. Siyempre, pinakamahusay na ipatupad ang pamamaraang ito sa isang computer, kung saan maaari mong gamitin ang program 3.
Programa 3REM "Pagkalkula ng Pi"
REM "Pagpapalawak ng serye ng Taylor"
INPUT n
a = 1
PARA sa i = 1 SA n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
SUSUNOD i
p = 4 * a
I-PRINT ang "value of pi equals"; p
WAKAS
Ang programa ay nai-type at tumakbo na may iba't ibang mga halaga ng parameter n. Ang mga resultang halaga ng numero ay nakasulat sa talahanayan:
Mayroong napaka-simpleng mga tuntunin ng mnemonic para sa pag-alala sa kahulugan ng isang numero: |
Sa loob ng maraming siglo at kahit na, kakaiba, millennia, naunawaan ng mga tao ang kahalagahan at halaga para sa agham ng isang pare-parehong matematika na katumbas ng ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. ang bilang na Pi ay hindi pa rin kilala, ngunit ang pinakamahuhusay na mathematician sa buong kasaysayan natin ay kasangkot dito. Karamihan sa kanila ay nais na ipahayag ito bilang isang makatwirang numero.
1. Ang mga mananaliksik at tunay na tagahanga ng numerong Pi ay nag-organisa ng isang club, upang sumali na kailangan mong malaman nang buong puso malaking bilang ng kanyang mga palatandaan.
2. Mula noong 1988, ang "Pi Day" ay ipinagdiriwang, na pumapatak sa ika-14 ng Marso. Naghahanda sila ng mga salad, cake, cookies, at pastry kasama ang kanyang imahe.
3. Ang numerong Pi ay naitakda na sa musika, at ito ay medyo maganda. Isang monumento pa nga ang itinayo sa kanya sa Seattle, America, sa harap ng museo ng Sining ng lungsod.
Sa malayong oras na iyon, sinubukan nilang kalkulahin ang numerong Pi gamit ang geometry. Ang katotohanan na ang bilang na ito ay pare-pareho para sa iba't ibang uri ng mga bilog ay kilala ng mga geometer sa Sinaunang Egypt, Babylon, India at Sinaunang Greece, na nag-claim sa kanilang mga gawa na ito ay higit lamang ng kaunti sa tatlo.
Sa isa sa mga banal na aklat Binanggit ng Jainism (isang sinaunang relihiyong Indian na lumitaw noong ika-6 na siglo BC) na ang bilang na Pi ay itinuturing na katumbas ng square root ng sampu, na sa huli ay nagbibigay ng 3.162... .
Sinusukat ng mga sinaunang Greek mathematician ang isang bilog sa pamamagitan ng paggawa ng isang segment, ngunit upang masukat ang isang bilog, kailangan nilang bumuo ng isang pantay na parisukat, iyon ay, isang figure na katumbas ng lugar dito.
Noong hindi pa nila alam mga decimal, natagpuan ng dakilang Archimedes ang halaga ng Pi na may katumpakan na 99.9%. Natuklasan niya ang isang paraan na naging batayan para sa maraming kasunod na mga kalkulasyon, inscribing regular polygons sa isang bilog at naglalarawan ito sa paligid nito. Bilang resulta, kinakalkula ni Archimedes ang halaga ng Pi bilang ratio na 22 / 7 ≈ 3.142857142857143.
Sa China, mathematician at court astronomer, si Zu Chongzhi noong ika-5 siglo BC. e. nagtalaga ng mas tumpak na halaga para sa Pi, kinakalkula ito sa pitong decimal na lugar at tinukoy ang halaga nito sa pagitan ng mga numero 3, 1415926 at 3.1415927. Kinailangan ng mga siyentipiko ng higit sa 900 taon upang ipagpatuloy ang digital series na ito.
Middle Ages
Ang sikat na Indian na siyentipiko na si Madhava, na nabuhay sa pagliko ng XIV - XV na siglo, at naging tagapagtatag ng Kerala na paaralan ng astronomiya at matematika, sa unang pagkakataon sa kasaysayan ay nagsimulang magtrabaho sa agnas. trigonometriko function sa mga hanay. Totoo, dalawa lamang sa kanyang mga gawa ang nakaligtas, at tanging mga sanggunian at panipi lamang mula sa kanyang mga estudyante ang kilala sa iba. Ang siyentipikong treatise na "Mahajyanayana", na iniuugnay kay Madhava, ay nagsasaad na ang numerong Pi ay 3.14159265359. At sa treatise na "Sadratnamala" ang isang numero ay ibinigay na may mas eksaktong mga decimal na lugar: 3.14159265358979324. Sa mga ibinigay na numero, ang mga huling digit ay hindi tumutugma sa tamang halaga.
Noong ika-15 siglo, kinakalkula ng Samarkand mathematician at astronomer na si Al-Kashi ang bilang na Pi na may labing-anim na decimal na lugar. Ang kanyang resulta ay itinuturing na pinakatumpak para sa susunod na 250 taon.
Si W. Johnson, isang mathematician mula sa Inglatera, ay isa sa mga unang nagpahiwatig ng ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito sa pamamagitan ng titik π. Ang Pi ay ang unang titik ng salitang Griyego na "περιφέρεια" - bilog. Ngunit ang pagtatalaga na ito ay pinamamahalaang maging pangkalahatang tinanggap lamang pagkatapos itong gamitin noong 1736 ng mas sikat na siyentipiko na si L. Euler.
Konklusyon
Ang mga modernong siyentipiko ay patuloy na nagtatrabaho sa karagdagang mga kalkulasyon ng mga halaga ng Pi. Ginagamit na ang mga supercomputer para dito. Noong 2011, isang scientist mula sa Shigeru Kondo, na nakikipagtulungan sa isang Amerikanong estudyante na si Alexander Yi, ay wastong nakalkula ang isang sequence ng 10 trilyong digit. Ngunit hindi pa rin malinaw kung sino ang natuklasan ang numerong Pi, na unang nag-isip tungkol sa problemang ito at gumawa ng mga unang kalkulasyon ng tunay na mystical na numerong ito.