சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு இரண்டு வகையான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.
2. கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்காக மாற்று முறை மூலம்நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டும்:
1. எக்ஸ்பிரஸ். எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம்.
2. மாற்று. வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறிக்கு பதிலாக விளைந்த மதிப்பை மற்றொரு சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

முடிவு செய்ய கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறை மூலம் அமைப்புவேண்டும்:
1. ஒரே மாதிரியான குணகங்களை உருவாக்கும் ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு உருவாகிறது.
3. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

அமைப்புக்கான தீர்வு என்பது செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை விரிவாகக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:

மாற்று முறையில் தீர்வு காண்போம்

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

2x+5y=1 (1 சமன்பாடு)
x-10y=3 (2வது சமன்பாடு)

1. எக்ஸ்பிரஸ்
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் 1 இன் குணகம் கொண்ட மாறி x இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவது எளிதானது.
x=3+10y

2. நாம் அதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, x மாறிக்கு பதிலாக முதல் சமன்பாட்டில் 3+10y ஐ மாற்றுவோம்.
2(3+10y)+5y=1

3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும்.
2(3+10y)+5y=1 (அடைப்புக்குறிகளைத் திற)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

சமன்பாடு அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள், எனவே நாம் x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெட்டுப்புள்ளி x மற்றும் y ஐக் கொண்டுள்ளது, அதை வெளிப்படுத்திய முதல் புள்ளியில் y ஐக் கண்டுபிடிப்போம் .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

முதலில் x என்ற மாறியை எழுதும்போது புள்ளிகளை எழுதுவது வழக்கம், இரண்டாவது இடத்தில் y என்ற மாறி.
பதில்: (1; -0.2)

எடுத்துக்காட்டு #2:

கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

3x-2y=1 (1 சமன்பாடு)
2x-3y=-10 (2வது சமன்பாடு)

1. நாம் ஒரு மாறியை தேர்வு செய்கிறோம், x ஐ தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதல் சமன்பாட்டில், மாறி x 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது - 2. குணகங்களை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும், இதற்காக சமன்பாடுகளைப் பெருக்க அல்லது எந்த எண்ணாலும் வகுக்க உரிமை உண்டு. முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது 3 ஆல் பெருக்கி மொத்த குணகம் 6 ஐப் பெறுகிறோம்.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கவும்.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x ஐக் கண்டுபிடி. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட y ஐ ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுகிறோம், முதல் சமன்பாட்டில் கூறுவோம்.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

வெட்டுப்புள்ளி x=4.6 ஆக இருக்கும்; y=6.4
பதில்: (4.6; 6.4)

தேர்வுகளுக்கு இலவசமாகத் தயாராக விரும்புகிறீர்களா? ஆன்லைன் ஆசிரியர் இலவசமாக. நகைச்சுவை இல்லை.

ஆன்லைன் சமன்பாடு தீர்க்கும் சேவை எந்த சமன்பாட்டையும் தீர்க்க உதவும். எங்கள் தளத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சமன்பாட்டிற்கான பதிலைப் பெறுவது மட்டுமல்லாமல், பார்க்கவும் விரிவான தீர்வு, அதாவது, முடிவைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையின் படிப்படியான காட்சி. எங்கள் சேவை உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கும் அவர்களின் பெற்றோருக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மாணவர்கள் சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகலாம், அவர்களின் அறிவை சோதிக்க முடியும், மேலும் பெற்றோர்கள் தங்கள் குழந்தைகளால் கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கண்காணிக்க முடியும். சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் திறன் - கட்டாய தேவைபள்ளி மாணவர்களுக்கு. கணித சமன்பாடுகள் துறையில் உங்களைப் பயிற்றுவிக்கவும், உங்கள் அறிவை மேம்படுத்தவும் இந்த சேவை உதவும். அதன் உதவியுடன் நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம்: இருபடி, கனசதுரம், பகுத்தறிவற்ற, முக்கோணவியல், பல. ஆன்லைன் சேவைமற்றும் விலைமதிப்பற்றது, ஏனெனில் சரியான பதிலுக்கு கூடுதலாக, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் விரிவான தீர்வைப் பெறுவீர்கள். ஆன்லைனில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் நன்மைகள். எங்கள் இணையதளத்தில் ஆன்லைனில் எந்த சமன்பாட்டையும் நீங்கள் முற்றிலும் இலவசமாக தீர்க்கலாம். சேவை முற்றிலும் தானாகவே உள்ளது, உங்கள் கணினியில் எதையும் நிறுவ வேண்டியதில்லை, நீங்கள் தரவை உள்ளிட வேண்டும், நிரல் உங்களுக்கு ஒரு தீர்வைத் தரும். கணக்கீடுகளில் ஏதேனும் பிழைகள் அல்லது எழுத்துப்பிழைகள் விலக்கப்படும். எங்களுடன், எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் ஆன்லைனில் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது, எனவே எந்த வகையான சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க எங்கள் தளத்தைப் பயன்படுத்த மறக்காதீர்கள். நீங்கள் தரவை மட்டுமே உள்ளிட வேண்டும் மற்றும் கணக்கீடு சில நொடிகளில் முடிவடையும். நிரல் மனித தலையீடு இல்லாமல் சுயாதீனமாக செயல்படுகிறது, மேலும் நீங்கள் துல்லியமான மற்றும் விரிவான பதிலைப் பெறுவீர்கள். பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாட்டின் தீர்வு. அத்தகைய சமன்பாட்டில், மாறி குணகங்களும் விரும்பிய வேர்களும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு மாறியின் மிக உயர்ந்த சக்தி அத்தகைய சமன்பாட்டின் வரிசையை தீர்மானிக்கிறது. இதன் அடிப்படையில், சமன்பாடுகளுக்கு பல்வேறு முறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் தீர்வுகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது என்பது பொதுவான வடிவத்தில் தேவையான வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். மிகவும் சிக்கலான இயற்கணித சமன்பாட்டை ஆன்லைனில் தீர்க்க எங்கள் சேவை உங்களை அனுமதிக்கிறது. நீங்கள் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு மற்றும் நீங்கள் குறிப்பிடும் குணகங்களின் எண் மதிப்புகளுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு இரண்டையும் பெறலாம். இணையதளத்தில் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இரண்டு புலங்களை மட்டும் சரியாக நிரப்பினால் போதும்: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள். யு இயற்கணித சமன்பாடுகள்மாறி குணகங்களுடன் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன, மேலும் சில நிபந்தனைகளை அமைப்பதன் மூலம், தீர்வுகளின் தொகுப்பிலிருந்து தனிப்பட்டவை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடு. இருபடிச் சமன்பாடு a>0க்கு ax^2+bx+c=0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது என்பது x இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்கியது, அதில் சமத்துவக் கோடாரி^2+bx+c=0 உள்ளது. இதைச் செய்ய, D=b^2-4ac சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாடு மதிப்பைக் கண்டறியவும். பாரபட்சம் என்றால் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, பின்னர் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை (வேர்கள் புலத்திலிருந்து வந்தவை சிக்கலான எண்கள்), பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், சமன்பாட்டில் ஒரு உண்மையான வேர் உள்ளது, மேலும் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன: D= -b+-sqrt/2a. ஆன்லைனில் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் சமன்பாட்டின் குணகங்களை (முழு எண்கள், பின்னங்கள் அல்லது தசமங்கள்) உள்ளிட வேண்டும். ஒரு சமன்பாட்டில் கழித்தல் குறிகள் இருந்தால், சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய சொற்களுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் குறியை வைக்க வேண்டும். முடிவு செய்யுங்கள் இருபடி சமன்பாடுஆன்லைன் மற்றும் அளவுருவைப் பொறுத்து, அதாவது சமன்பாட்டின் குணகங்களில் உள்ள மாறிகள். பொதுவான தீர்வுகளைக் கண்டறிவதற்கான எங்கள் ஆன்லைன் சேவை இந்தப் பணியைச் சிறப்பாகச் சமாளிக்கிறது. நேரியல் சமன்பாடுகள். நேரியல் சமன்பாடுகளை (அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்) தீர்க்க நான்கு முக்கிய முறைகள் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு முறையையும் விரிவாக விவரிப்போம். மாற்று முறை. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு மாறியை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, வெளிப்பாடு அமைப்பின் பிற சமன்பாடுகளில் மாற்றப்படுகிறது. எனவே தீர்வு முறையின் பெயர், அதாவது ஒரு மாறிக்கு பதிலாக, அதன் வெளிப்பாடு மீதமுள்ள மாறிகள் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. நடைமுறையில், முறைக்கு சிக்கலான கணக்கீடுகள் தேவைப்படுகின்றன, இருப்பினும் புரிந்துகொள்வது எளிது, எனவே ஆன்லைனில் இதுபோன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நேரத்தை மிச்சப்படுத்தவும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்கவும் உதவும். நீங்கள் சமன்பாட்டில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிட வேண்டும் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளிலிருந்து தரவை நிரப்ப வேண்டும், பின்னர் சேவை கணக்கீடு செய்யும். காஸ் முறை. இந்த முறையானது சமமான முக்கோண அமைப்பை அடைவதற்காக கணினியின் எளிய மாற்றங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அதிலிருந்து தெரியாதவை ஒவ்வொன்றாகத் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. நடைமுறையில், அத்தகைய சமன்பாட்டை ஆன்லைனில் தீர்க்க வேண்டியது அவசியம் விரிவான விளக்கம், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸியன் முறையைப் பற்றி நீங்கள் நன்கு புரிந்துகொள்வீர்கள். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை சரியான வடிவத்தில் எழுதி, கணினியைத் துல்லியமாகத் தீர்க்க, தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவும். க்ரேமர் முறை. இந்த முறையானது அமைப்புக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை தீர்க்கிறது. இங்கே முக்கிய கணித நடவடிக்கை மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீடு ஆகும். க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது ஆன்லைனில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, முழுமையான மற்றும் விரிவான விளக்கத்துடன் உடனடியாக முடிவைப் பெறுவீர்கள். கணினியை குணகங்களுடன் நிரப்பி, அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுத்தால் போதும். மேட்ரிக்ஸ் முறை. இந்த முறையானது மேட்ரிக்ஸ் A இல் தெரியாதவைகளின் குணகங்களையும், X நெடுவரிசையில் தெரியாதவைகளையும் மற்றும் B நெடுவரிசையில் உள்ள இலவச சொற்களையும் சேகரிப்பதைக் கொண்டுள்ளது. இதனால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு AxX = B வடிவத்தின் அணி சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் A இன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால் மட்டுமே இந்த சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இல்லையெனில் கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை, அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள். மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது தலைகீழ் அணி A ஐக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது.

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

என்ன நடந்தது அதிவேக சமன்பாடு? இது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதில் தெரியாதவை (xகள்) மற்றும் அவற்றுடன் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன குறிகாட்டிகள்சில டிகிரி. மற்றும் அங்கு மட்டுமே! இது முக்கியமானது.

இதோ போ உதாரணங்கள் அதிவேக சமன்பாடுகள் :

3 x 2 x = 8 x+3

கவனம் செலுத்துங்கள்! டிகிரிகளின் அடிப்படைகளில் (கீழே) - எண்கள் மட்டுமே. IN குறிகாட்டிகள்டிகிரி (மேலே) - X உடன் பலவிதமான வெளிப்பாடுகள். ஒரு குறிகாட்டியைத் தவிர வேறு எங்காவது சமன்பாட்டில் ஒரு எக்ஸ் தோன்றினால், எடுத்துக்காட்டாக:

இது ஒரு சமன்பாடாக இருக்கும் கலப்பு வகை. இத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான தெளிவான விதிகள் இல்லை. அவற்றை இப்போதைக்கு கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம். இங்கே நாம் சமாளிப்போம் அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுஅதன் தூய்மையான வடிவத்தில்.

உண்மையில், தூய அதிவேக சமன்பாடுகள் கூட எப்போதும் தெளிவாக தீர்க்கப்படுவதில்லை. ஆனால் தீர்க்கப்படக்கூடிய மற்றும் தீர்க்கப்பட வேண்டிய சில வகையான அதிவேக சமன்பாடுகள் உள்ளன. இந்த வகைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

முதலில், மிக அடிப்படையான ஒன்றைத் தீர்ப்போம். உதாரணமாக:

எந்த கோட்பாடும் இல்லாமல், எளிய தேர்வு மூலம் x = 2 என்பது தெளிவாகிறது. இனி ஒன்றுமில்லை, சரி!? X இன் வேறு எந்த மதிப்பும் வேலை செய்யாது. இப்போது இந்த தந்திரமான அதிவேக சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்:

நாம் என்ன செய்தோம்? நாங்கள், உண்மையில், அதே தளங்களை (மூன்று) தூக்கி எறிந்தோம். முற்றிலும் தூக்கி எறியப்பட்டது. மேலும், நல்ல செய்தி என்னவென்றால், நாங்கள் தலையில் ஆணி அடித்தோம்!

உண்மையில், ஒரு அதிவேக சமன்பாட்டில் இடது மற்றும் வலது இருந்தால் ஒரே மாதிரியானஎந்த சக்திகளிலும் உள்ள எண்கள், இந்த எண்களை அகற்றி, அடுக்குகளை சமப்படுத்தலாம். கணிதம் அனுமதிக்கிறது. இது மிகவும் எளிமையான சமன்பாட்டை தீர்க்க உள்ளது. அருமை, சரியா?)

இருப்பினும், உறுதியாக நினைவில் கொள்வோம்: இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள அடிப்படை எண்கள் தனித்தனியாக இருக்கும்போது மட்டுமே நீங்கள் அடிப்படைகளை அகற்ற முடியும்!எந்த அண்டை மற்றும் குணகங்கள் இல்லாமல். சமன்பாடுகளில் கூறுவோம்:

2 x +2 x+1 = 2 3, அல்லது

இரண்டு நீக்க முடியாது!

சரி, நாங்கள் மிக முக்கியமான விஷயத்தில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளோம். தீய அதிவேக வெளிப்பாடுகளிலிருந்து எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கு எப்படி நகர்த்துவது.

"அதுதான் நேரங்கள்!" - நீங்கள் சொல்கிறீர்கள். "சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளில் இவ்வளவு பழமையான பாடத்தை யார் கொடுப்பார்கள்!?"

நான் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். யாரும் செய்ய மாட்டார்கள். ஆனால் தந்திரமான உதாரணங்களைத் தீர்க்கும்போது எங்கு நோக்க வேண்டும் என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரே அடிப்படை எண் இருக்கும் படிவத்திற்கு கொண்டு வருவது அவசியம். பின்னர் எல்லாம் எளிதாக இருக்கும். உண்மையில், இது கணிதத்தின் உன்னதமானது. நாங்கள் அசல் உதாரணத்தை எடுத்து அதை விரும்பியதாக மாற்றுகிறோம் எங்களைமனம். கணித விதிகளின் படி, நிச்சயமாக.

அவற்றை எளிமையாகக் குறைக்க கூடுதல் முயற்சி தேவைப்படும் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம். அவர்களை அழைப்போம் எளிய அதிவேக சமன்பாடுகள்.

எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்.

அதிவேக சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, முக்கிய விதிகள் டிகிரி கொண்ட செயல்கள்.இந்த செயல்களைப் பற்றிய அறிவு இல்லாமல் எதுவும் செயல்படாது.

டிகிரி கொண்ட செயல்களுக்கு, ஒருவர் தனிப்பட்ட கவனிப்பு மற்றும் புத்தி கூர்மை சேர்க்க வேண்டும். அதே அடிப்படை எண்கள் தேவையா? எனவே அவற்றை வெளிப்படையான அல்லது மறைகுறியாக்கப்பட்ட வடிவத்தில் எடுத்துக்காட்டில் தேடுகிறோம்.

இதை நடைமுறையில் எப்படி செய்வது என்று பார்ப்போமா?

ஒரு உதாரணம் தருவோம்:

2 2x - 8 x+1 = 0

முதல் கூரிய பார்வை உள்ளது மைதானங்கள்.அவர்கள்... அவர்கள் வேறு! இரண்டு மற்றும் எட்டு. ஆனால் சோர்வடைவது மிக விரைவில். அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது

இரண்டு மற்றும் எட்டு பட்டம் உறவினர்கள்.) இது எழுத மிகவும் சாத்தியம்:

8 x+1 = (2 3) x+1

டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து சூத்திரத்தை நாம் நினைவு கூர்ந்தால்:

(a n) m = a nm,

இது நன்றாக வேலை செய்கிறது:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

அசல் உதாரணம் இப்படி இருக்க ஆரம்பித்தது:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

நாங்கள் மாற்றுகிறோம் 2 3 (x+1)வலதுபுறம் (கணிதத்தின் ஆரம்ப செயல்பாடுகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை!), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2 2x = 2 3(x+1)

நடைமுறையில் அவ்வளவுதான். அடித்தளங்களை நீக்குதல்:

இந்த அரக்கனை தீர்த்து பெறுகிறோம்

இதுவே சரியான விடை.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இருவரின் சக்திகளை அறிவது எங்களுக்கு உதவியது. நாங்கள் அடையாளம் காணப்பட்டதுஎட்டில் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட இரண்டு உள்ளது. இந்த நுட்பம் (வெவ்வேறு எண்களின் கீழ் பொதுவான அடிப்படைகளை குறியாக்கம் செய்வது) அதிவேக சமன்பாடுகளில் மிகவும் பிரபலமான நுட்பமாகும்! ஆம், மடக்கைகளிலும் கூட. எண்களில் உள்ள மற்ற எண்களின் சக்திகளை நீங்கள் அடையாளம் காண முடியும். அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது மிகவும் முக்கியமானது.

எந்த எண்ணை எந்த சக்தியாக உயர்த்தினாலும் பிரச்சனை இல்லை என்பதுதான் உண்மை. காகிதத்தில் கூட பெருக்கவும், அவ்வளவுதான். உதாரணமாக, யார் வேண்டுமானாலும் 3 ஐ ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்தலாம். பெருக்கல் அட்டவணை உங்களுக்குத் தெரிந்தால் 243 செயல்படும்.) ஆனால் அதிவேக சமன்பாடுகளில், பெரும்பாலும் ஒரு சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டிய அவசியமில்லை, மாறாக நேர்மாறாக... கண்டுபிடிக்கவும் எந்த எண் எந்த அளவிற்கு 243 என்ற எண்ணுக்குப் பின்னால் மறைந்துள்ளது, அல்லது, 343 என்று சொல்லுங்கள்... இங்கு எந்த கால்குலேட்டரும் உங்களுக்கு உதவாது.

சில எண்களின் சக்தியை பார்வையால் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், சரி... பயிற்சி செய்வோம்?

எண்கள் என்ன சக்திகள் மற்றும் எந்த எண்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

பதில்கள் (ஒரு குழப்பத்தில், நிச்சயமாக!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

கூர்ந்து கவனித்தால் தெரியும் விசித்திரமான உண்மை. பணிகளை விட அதிகமான பதில்கள் உள்ளன! சரி, அது நடக்கும்... உதாரணமாக, 2 6, 4 3, 8 2 - அவ்வளவுதான் 64.

எண்களுடன் பரிச்சயம் பற்றிய தகவலை நீங்கள் கவனத்தில் எடுத்துள்ளீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.) அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நாம் பயன்படுத்தும் என்பதையும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். அனைத்துகணித அறிவின் பங்கு. இளைய மற்றும் நடுத்தர வகுப்பைச் சேர்ந்தவர்கள் உட்பட. நீங்கள் நேரடியாக உயர்நிலைப் பள்ளிக்குச் செல்லவில்லை, இல்லையா?)

எடுத்துக்காட்டாக, அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது பெரும்பாலும் உதவுகிறது (7 ஆம் வகுப்புக்கு வணக்கம்!). ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

3 2x+4 -11 9 x = 210

மீண்டும், முதல் பார்வை அடித்தளத்தில் உள்ளது! பட்டங்களின் அடிப்படைகள் வேறு... மூன்று மற்றும் ஒன்பது. மேலும் அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் விரும்புகிறோம். சரி, இந்த விஷயத்தில் ஆசை முற்றிலும் நிறைவேறும்!) ஏனெனில்:

9 x = (3 2) x = 3 2x

பட்டங்களைக் கையாள்வதற்கு அதே விதிகளைப் பயன்படுத்துதல்:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

அது நன்றாக இருக்கிறது, நீங்கள் அதை எழுதலாம்:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

அதே காரணங்களுக்காக நாங்கள் ஒரு உதாரணம் கொடுத்தோம். அடுத்து என்ன!? த்ரீஸை தூக்கி எறிய முடியாது... டெட் எண்ட்?

இல்லவே இல்லை. மிகவும் உலகளாவிய மற்றும் சக்திவாய்ந்த முடிவு விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள் அனைவரும்கணித பணிகள்:

உங்களுக்கு என்ன தேவை என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், உங்களால் முடிந்ததைச் செய்யுங்கள்!

பார், எல்லாம் சரியாகிவிடும்).

இந்த அதிவேக சமன்பாட்டில் என்ன இருக்கிறது முடியும்செய்ய? ஆம், இடது பக்கத்தில் அது அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கும்படி கெஞ்சுகிறது! 3 2x இன் ஒட்டுமொத்த பெருக்கி இதை தெளிவாகக் குறிக்கிறது. முயற்சிப்போம், பிறகு பார்ப்போம்:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

உதாரணம் மேலும் மேலும் சிறப்பாக வருகிறது!

அடிப்படைகளை அகற்ற, எந்த குணகங்களும் இல்லாமல், ஒரு தூய பட்டம் தேவை என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம். 70 என்ற எண் நம்மைத் தொந்தரவு செய்கிறது. எனவே சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 70 ஆல் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:

அச்சச்சோ! எல்லாம் சிறப்பாகிவிட்டது!

இதுவே இறுதி விடை.

எவ்வாறாயினும், அதே அடிப்படையில் டாக்ஸி ஓட்டுவது பலனளிக்கிறது, ஆனால் அவற்றை நீக்குவது இல்லை. இது மற்ற வகை அதிவேக சமன்பாடுகளில் நிகழ்கிறது. இந்த வகையை மாஸ்டர் செய்வோம்.

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் மாறியை மாற்றுதல். எடுத்துக்காட்டுகள்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

4 x - 3 2 x +2 = 0

முதல் - வழக்கம் போல். ஒரு தளத்திற்கு செல்லலாம். ஒரு டியூஸுக்கு.

4 x = (2 2) x = 2 2x

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

மேலும் இங்குதான் நாங்கள் பேசுகிறோம். எப்படிப் பார்த்தாலும் முந்தைய நுட்பங்கள் வேலை செய்யாது. எங்கள் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் இருந்து மற்றொரு சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய முறையை நாங்கள் வெளியேற்ற வேண்டும். இது அழைக்கப்படுகிறது மாறி மாற்று.

முறையின் சாராம்சம் வியக்கத்தக்க வகையில் எளிமையானது. ஒரு சிக்கலான ஐகானுக்குப் பதிலாக (எங்கள் விஷயத்தில் - 2 x) இன்னொன்றை, எளிமையான ஒன்றை எழுதுகிறோம் (உதாரணமாக - t). அத்தகைய வெளித்தோற்றத்தில் அர்த்தமற்ற மாற்றீடு அற்புதமான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது!) எல்லாம் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் மாறும்!

எனவே விடுங்கள்

பிறகு 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

எங்கள் சமன்பாட்டில், அனைத்து சக்திகளையும் x உடன் t ஆல் மாற்றுகிறோம்:

சரி, உங்களுக்கு விடிகிறதா?) நீங்கள் இன்னும் இருபடி சமன்பாடுகளை மறந்துவிட்டீர்களா? பாகுபாடு மூலம் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இங்கே முக்கிய விஷயம், நடப்பது போல் நிறுத்தக்கூடாது... இது இன்னும் பதில் இல்லை, நமக்கு x தேவை, t அல்ல. X க்கு திரும்புவோம், அதாவது. நாங்கள் ஒரு தலைகீழ் மாற்றீடு செய்கிறோம். டி 1க்கு முதலில்:

எனவே,

ஒரு வேர் கிடைத்தது. t 2 இலிருந்து இரண்டாவது ஒன்றைத் தேடுகிறோம்:

ம்... இடதுபுறம் 2 x, வலதுபுறம் 1... பிரச்சனையா? இல்லவே இல்லை! ஒரு அலகு என்பதை (அதிகாரங்களுடனான செயல்பாடுகளிலிருந்து, ஆம்...) நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் போதும் ஏதேனும்பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எண். ஏதேனும். எது தேவையோ, அதை நிறுவுவோம். எங்களுக்கு இரண்டு வேண்டும். பொருள்:

இப்போது அவ்வளவுதான். எங்களுக்கு 2 வேர்கள் உள்ளன:

இதுதான் பதில்.

மணிக்கு அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுஇறுதியில் சில நேரங்களில் நீங்கள் ஒருவித மோசமான வெளிப்பாடுகளுடன் முடிவடையும். வகை:

ஏழு முதல் இரண்டு வரை எளிய பட்டம்அது வேலை செய்யாது. அவர்கள் உறவினர்கள் அல்ல... நாம் எப்படி இருக்க முடியும்? யாரோ குழப்பத்தில் இருக்கலாம்... ஆனால் இந்தத் தளத்தில் “மடக்கை என்றால் என்ன?” என்ற தலைப்பைப் படித்தவர். , சிக்கனமாக புன்னகைத்து, உறுதியான கையால் முற்றிலும் சரியான பதிலை எழுதுங்கள்:

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் "பி" பணிகளில் அத்தகைய பதில் இருக்க முடியாது. அங்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண் தேவைப்படுகிறது. ஆனால் "சி" பணிகளில் இது எளிதானது.

இந்தப் பாடம் மிகவும் பொதுவான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. முக்கிய புள்ளிகளை முன்னிலைப்படுத்துவோம்.

நடைமுறை ஆலோசனை:

1. முதலில், நாம் பார்க்கிறோம் மைதானங்கள்பட்டங்கள். அவற்றை உருவாக்க முடியுமா என்று யோசித்து வருகிறோம் ஒரே மாதிரியான.சுறுசுறுப்பாகப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்ய முயற்சிப்போம் டிகிரி கொண்ட செயல்கள். x இல்லாத எண்களையும் பவர்களாக மாற்றலாம் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்!

2. இடது மற்றும் வலதுபுறம் இருக்கும் போது, அதிவேக சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முயற்சிக்கிறோம் ஒரே மாதிரியானஎந்த சக்திகளிலும் எண்கள். பயன்படுத்துகிறோம் டிகிரி கொண்ட செயல்கள்மற்றும் காரணியாக்கம்.எண்களில் எதை எண்ணலாம், நாங்கள் எண்ணுகிறோம்.

3. இரண்டாவது உதவிக்குறிப்பு வேலை செய்யவில்லை என்றால், மாறி மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும். இதன் விளைவாக எளிதில் தீர்க்கக்கூடிய ஒரு சமன்பாடு இருக்கலாம். பெரும்பாலும் - சதுரம். அல்லது பின்னம், இது சதுரமாகவும் குறைகிறது.

4. அதிவேக சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் பார்வை மூலம் சில எண்களின் சக்திகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

வழக்கம் போல், பாடத்தின் முடிவில் நீங்கள் ஒரு சிறிய முடிவை எடுக்க அழைக்கப்படுகிறீர்கள்.) சொந்தமாக. எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை.

அதிவேக சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

மிகவும் கடினமானது:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

வேர்களின் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

2 3கள் + 2 x = 9

அது வேலை செய்ததா?

அப்போ சரி மிகவும் சிக்கலான உதாரணம்(எவ்வாறாயினும், மனதில் முடிவு...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

இன்னும் சுவாரஸ்யமானது என்ன? அப்படியானால் உங்களுக்கு ஒரு மோசமான உதாரணம். அதிகரித்த சிரமத்திற்கு மிகவும் கவர்ச்சியானது. இந்த எடுத்துக்காட்டில், உங்களைக் காப்பாற்றுவது புத்தி கூர்மை மற்றும் அனைத்து கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் உலகளாவிய விதி என்பதை நான் சுட்டிக்காட்டுகிறேன்.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ஒரு எளிய உதாரணம், தளர்வுக்கு):

9 2 x - 4 3 x = 0

மற்றும் இனிப்புக்காக. சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ஆம், ஆம்! இது ஒரு கலப்பு வகை சமன்பாடு! இந்த பாடத்தில் நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை. அவற்றை ஏன் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அவை தீர்க்கப்பட வேண்டும்!) இந்த பாடம் சமன்பாட்டை தீர்க்க போதுமானது. சரி, உங்களுக்கு புத்திசாலித்தனம் தேவை... மேலும் ஏழாம் வகுப்பு உங்களுக்கு உதவட்டும் (இது ஒரு குறிப்பு!).

பதில்கள் (சீரற்ற நிலையில், அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டவை):

1; 2; 3; 4; தீர்வுகள் இல்லை; 2; -2; -5; 4; 0.

எல்லாம் வெற்றி பெற்றதா? பெரிய.

ஏதாவது பிரச்சனையா? கேள்வி இல்லை! சிறப்புப் பிரிவு 555 இந்த அனைத்து அதிவேக சமன்பாடுகளையும் விரிவான விளக்கங்களுடன் தீர்க்கிறது. என்ன, ஏன், ஏன். மற்றும், நிச்சயமாக, அனைத்து வகையான அதிவேக சமன்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் கூடுதல் மதிப்புமிக்க தகவல் உள்ளது. இவை மட்டுமல்ல.)

கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய கடைசி வேடிக்கையான கேள்வி. இந்த பாடத்தில் நாங்கள் அதிவேக சமன்பாடுகளுடன் வேலை செய்தோம். நான் ஏன் இங்கு ODZ பற்றி ஒரு வார்த்தை கூட சொல்லவில்லை?சமன்பாடுகளில், இது ஒரு மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

வழிமுறைகள்

மாற்று முறை ஒரு மாறியை எக்ஸ்பிரஸ் செய்து மற்றொரு சமன்பாட்டில் மாற்றவும். உங்கள் விருப்பப்படி எந்த மாறியையும் வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து y ஐ வெளிப்படுத்தவும்:
x-y=2 => y=x-2 பின்னர் எல்லாவற்றையும் முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:
2x+(x-2)=10 "x" இல்லாமல் அனைத்தையும் நகர்த்தவும் வலது பக்கம்மற்றும் கணக்கிட:
2x+x=10+2
3x=12 அடுத்து, x ஐப் பெற, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்:
x=4, நீங்கள் “x. கண்டுபிடி "y. இதைச் செய்ய, நீங்கள் "y" ஐ வெளிப்படுத்திய சமன்பாட்டில் "x" ஐ மாற்றவும்:
y=x-2=4-2=2
y=2.

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள். இதைச் செய்ய, பெறப்பட்ட மதிப்புகளை சமன்பாடுகளில் மாற்றவும்:
2*4+2=10
4-2=2
தெரியாதவை சரியாகக் கிடைத்தன!

சமன்பாடுகளைச் சேர்க்க அல்லது கழிப்பதற்கான ஒரு வழி எந்த மாறியையும் உடனே அகற்றவும். எங்கள் விஷயத்தில், "y" உடன் இதைச் செய்வது எளிது.
"y" இல் "+" அடையாளம் இருப்பதால், இரண்டாவது "-" இல், நீங்கள் கூட்டல் செயல்பாட்டைச் செய்யலாம், அதாவது. இடது பக்கத்தை இடதுபுறமாகவும், வலதுபுறத்தை வலதுபுறமாகவும் மடியுங்கள்:
2x+y+(x-y)=10+2மாற்று:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4எந்த சமன்பாட்டிலும் “x” ஐ மாற்றி “y” ஐக் கண்டறியவும்:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21வது முறையின் மூலம் அவை சரியாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதைக் காணலாம்.

தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட மாறிகள் இல்லை என்றால், சமன்பாடுகளை சிறிது மாற்றுவது அவசியம்.
முதல் சமன்பாட்டில் "2x" உள்ளது, இரண்டாவதாக "x" உள்ளது. கூட்டலின் போது x குறைக்கப்பட, இரண்டாவது சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கவும்:
x-y=2
2x-2y=4பின்னர் முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்:
2x+y-(2x-2y)=10-4 அடைப்புக்குறிக்கு முன் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், திறந்த பிறகு, அதை எதிர்மாறாக மாற்றவும்:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் y=2x ஐக் கண்டறியவும், அதாவது.
x=4

தலைப்பில் வீடியோ

உதவிக்குறிப்பு 2: இரண்டு மாறிகளில் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

சமன்பாடு, ax+bу+c=0 என்ற பொது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டால், இரண்டுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடு எனப்படும் மாறிகள். அத்தகைய சமன்பாடு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே சிக்கல்களில் அது எப்போதும் ஏதோவொன்றுடன் கூடுதலாக இருக்கும் - மற்றொரு சமன்பாடு அல்லது கட்டுப்படுத்தும் நிலைமைகள். சிக்கலால் வழங்கப்பட்ட நிபந்தனைகளைப் பொறுத்து, ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை இரண்டுடன் தீர்க்கவும் மாறிகள்வேண்டும் வெவ்வேறு வழிகளில்.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

- இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடு;
- இரண்டாவது சமன்பாடு அல்லது கூடுதல் நிபந்தனைகள்.

வழிமுறைகள்

இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டால், அதை பின்வருமாறு தீர்க்கவும். குணகங்கள் இருக்கும் சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் மாறிகள்சிறிய மற்றும் மாறிகளில் ஒன்றை வெளிப்படுத்தவும், எடுத்துக்காட்டாக, x. பின்னர் y கொண்ட இந்த மதிப்பை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு மாறி y இருக்கும், அனைத்து பகுதிகளையும் y உடன் இடது பக்கமாகவும், இலவசவற்றை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்தவும். y ஐக் கண்டுபிடித்து, x ஐக் கண்டுபிடிக்க அசல் சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை மாற்றவும்.

இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க மற்றொரு வழி உள்ளது. சமன்பாடுகளில் ஒன்றை எண்ணால் பெருக்கவும், இதனால் x போன்ற மாறிகளில் ஒன்றின் குணகம் இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். பின்னர் சமன்பாடுகளில் ஒன்றை மற்றொன்றிலிருந்து கழிக்கவும் (வலது பக்கம் 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், வலது பக்கங்களை அதே வழியில் கழிக்க நினைவில் கொள்ளுங்கள்). x மாறி மறைந்து ஒரு y மாறி மட்டுமே எஞ்சியிருப்பதைக் காண்பீர்கள். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும், மேலும் y இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை அசல் சமத்துவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை மாற்றவும். x ஐக் கண்டுபிடி.

இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான மூன்றாவது வழி வரைகலை ஆகும். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை வரைந்து, உங்கள் கணினியில் சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு நேர் கோடுகளை வரையவும். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டில் ஏதேனும் இரண்டு x மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் தொடர்புடைய y ஐக் கண்டறியவும் - இவை வரிக்கு சொந்தமான புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகளாக இருக்கும். ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் குறுக்குவெட்டைக் கண்டறிய மிகவும் வசதியான வழி x=0 மற்றும் y=0 மதிப்புகளை மாற்றுவதாகும். இந்த இரண்டு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் பணிகளாக இருக்கும்.

சிக்கல் நிலைகளில் ஒரே ஒரு நேரியல் சமன்பாடு இருந்தால், உங்களுக்கு கூடுதல் நிபந்தனைகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன, இதன் மூலம் நீங்கள் தீர்வு காணலாம். இந்த நிலைமைகளைக் கண்டறிய சிக்கலை கவனமாகப் படியுங்கள். என்றால் மாறிகள் x மற்றும் y ஆகியவை தூரம், வேகம், எடை ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன - x≥0 மற்றும் y≥0 வரம்பை அமைக்க தயங்க வேண்டாம். ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கையை x அல்லது y மறைப்பது மிகவும் சாத்தியம். - பின்னர் மதிப்புகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். x என்பது மகனின் வயது என்றால், அவர் தனது தந்தையை விட வயதானவராக இருக்க முடியாது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இதைக் குறிப்பிடவும்.

ஆதாரங்கள்:

ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

தானே சமன்பாடுமூன்று உடன் தெரியவில்லைபல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே பெரும்பாலும் இது மேலும் இரண்டு சமன்பாடுகள் அல்லது நிபந்தனைகளால் கூடுதலாக வழங்கப்படுகிறது. ஆரம்ப தரவு என்ன என்பதைப் பொறுத்து, முடிவின் போக்கு பெரும்பாலும் சார்ந்திருக்கும்.

உங்களுக்கு தேவைப்படும்

- மூன்று அறியப்படாத மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பு.

வழிமுறைகள்

மூன்று அமைப்புகளில் இரண்டில் மூன்று தெரியாதவற்றில் இரண்டு மட்டுமே இருந்தால், மற்றவற்றின் அடிப்படையில் சில மாறிகளை வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும் மற்றும் அவற்றை மாற்றவும் சமன்பாடுமூன்று உடன் தெரியவில்லை. இந்த விஷயத்தில் உங்கள் குறிக்கோள் அதை சாதாரணமாக மாற்றுவதாகும் சமன்பாடுதெரியாத நபருடன். இது இருந்தால், மேலும் தீர்வு மிகவும் எளிமையானது - கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை மற்ற சமன்பாடுகளில் மாற்றவும் மற்றும் மற்ற அனைத்து தெரியாதவற்றைக் கண்டறியவும்.

சில சமன்பாடு அமைப்புகளை ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்றொரு சமன்பாட்டால் கழிக்க முடியும். இரண்டு தெரியாதவை ஒரே நேரத்தில் ரத்து செய்யப்படும் வகையில் ஒன்றை அல்லது மாறியை பெருக்க முடியுமா என்று பார்க்கவும். அத்தகைய வாய்ப்பு இருந்தால், அதைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள், அடுத்தடுத்த தீர்வு கடினமாக இருக்காது. ஒரு எண்ணால் பெருக்கும்போது, இடது பக்கத்தையும் வலது பக்கத்தையும் பெருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். அதேபோல், சமன்பாடுகளைக் கழிக்கும்போது, வலது பக்கமும் கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

முந்தைய முறைகள் உதவவில்லை என்றால், பயன்படுத்தவும் ஒரு பொதுவான வழியில்மூன்று கொண்ட எந்த சமன்பாடுகளுக்கும் தீர்வுகள் தெரியவில்லை. இதைச் செய்ய, a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை மீண்டும் எழுதவும். இப்போது x (A), தெரியாதவற்றின் அணி (X) மற்றும் இலவசங்களின் அணி (B) ஆகியவற்றிற்கான குணகங்களின் அணியை உருவாக்கவும். குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸை தெரியாதவர்களின் அணியால் பெருக்கினால், இலவச சொற்களின் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுவீர்கள், அதாவது A*X=B.

முதலில் கண்டறிவதன் மூலம் அதிகாரத்திற்கு (-1) மேட்ரிக்ஸ் A ஐக் கண்டறியவும், அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதற்குப் பிறகு, விளைந்த மேட்ரிக்ஸை மேட்ரிக்ஸ் B ஆல் பெருக்கவும், இதன் விளைவாக நீங்கள் விரும்பிய அணி X ஐப் பெறுவீர்கள், இது அனைத்து மதிப்புகளையும் குறிக்கிறது.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, கணினி மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான் ∆ ஐக் கண்டறியவும். பின்னர், ∆1, ∆2 மற்றும் ∆3 ஆகிய மூன்று தீர்மானிப்பான்களைக் கண்டறிந்து, தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளின் மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக இலவச விதிமுறைகளின் மதிப்புகளை மாற்றவும். இப்போது x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

ஆதாரங்கள்:

மூன்று அறியப்படாத சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது சவாலானது மற்றும் உற்சாகமானது. அமைப்பு மிகவும் சிக்கலானது, அதைத் தீர்ப்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது. பெரும்பாலும் கணிதத்தில் உயர்நிலைப் பள்ளிஇரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் உயர் கணிதத்தில் அதிக மாறிகள் இருக்கலாம். அமைப்புகள் பல முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம்.

வழிமுறைகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான முறை மாற்று ஆகும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த வேண்டும் மற்றும் அதை இரண்டாவதாக மாற்ற வேண்டும் சமன்பாடுஅமைப்புகள், இதனால் முன்னணி சமன்பாடுஒரு மாறிக்கு. எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறிகளில் ஒன்றை வெளிப்படுத்துவது வசதியானது, மற்ற அனைத்தையும் வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கமாக நகர்த்துவது, குணகத்தின் அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல்: x = 3-y.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை x=3-y;x=3-1;x=2. .

முதல் வெளிப்பாட்டில், அனைத்து சொற்களும் 2 ஆகும், நீங்கள் 2 ஐ அடைப்புக்குறியிலிருந்து பெருக்கத்தின் பகிர்மான பண்புக்கு எடுக்கலாம்: 2*(2x-y-3)=0. இப்போது வெளிப்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் இந்த எண்ணால் குறைக்கலாம், பின்னர் y என வெளிப்படுத்தலாம், ஏனெனில் அதற்கான மாடுலஸ் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம்: -y = 3-2x அல்லது y = 2x-3.

முதல் வழக்கைப் போலவே, இந்த வெளிப்பாட்டையும் இரண்டாவதாக மாற்றுகிறோம் சமன்பாடுமற்றும் நாம் பெறுவது: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. y=2x -3;y=4-3=1.

y க்கான குணகம் மதிப்பில் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் அடையாளத்தில் வேறுபட்டது, எனவே, இந்த சமன்பாடுகளைச் சேர்த்தால், y ஐ முற்றிலும் அகற்றுவோம்: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x இன் மதிப்பை கணினியின் இரண்டு சமன்பாடுகளில் மாற்றவும் மற்றும் y=1 ஐப் பெறவும்.

தலைப்பில் வீடியோ

இருவகை சமன்பாடுபிரதிபலிக்கிறது சமன்பாடுநான்காவது பட்டம், பொதுவான பார்வைஇது ax^4 + bx^2 + c = 0 என்ற வெளிப்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது. அதன் தீர்வு தெரியாதவர்களின் மாற்று முறையின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. IN இந்த வழக்கில் x^2 மற்றொரு மாறியால் மாற்றப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு சாதாரண சதுரம் சமன்பாடு, இது தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

வழிமுறைகள்

நாற்கரத்தை தீர்க்கவும் சமன்பாடு, மாற்றத்தின் விளைவாக. இதைச் செய்ய, முதலில் சூத்திரத்தின்படி மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்: D = b^2? 4ac. இந்த வழக்கில், a, b, c மாறிகள் நமது சமன்பாட்டின் குணகங்களாகும்.

இருகோடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, பெறப்பட்ட தீர்வுகளின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒரு தீர்வு இருந்தால், இரண்டு இருக்கும் - வர்க்க மூலத்தின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்பு. இரண்டு தீர்வுகள் இருந்தால், இருகோடி சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

தலைப்பில் வீடியோ

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான கிளாசிக்கல் முறைகளில் ஒன்று காஸ் முறை. இது மாறிகளின் தொடர்ச்சியான நீக்குதலில் உள்ளது, எளிய மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு படிநிலை அமைப்பாக மாற்றப்படும்போது, அதிலிருந்து அனைத்து மாறிகளும் வரிசையாகக் காணப்படுகின்றன, கடைசியாகத் தொடங்கி.

வழிமுறைகள்

முதலில், அனைத்து அறியப்படாதவைகளும் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில் இருக்கும் ஒரு வடிவத்தில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொண்டு வாருங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து அறியப்படாத X களும் ஒவ்வொரு வரியிலும் முதலில் தோன்றும், அனைத்து Y களும் X க்குப் பிறகு வரும், அனைத்து Z களும் Y க்குப் பிறகு வரும், மற்றும் பல. ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலும் தெரியாதவை இருக்கக்கூடாது. ஒவ்வொரு அறியப்படாதவற்றுக்கு முன்னால் உள்ள குணகங்களையும், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள குணகங்களையும் மனரீதியாக தீர்மானிக்கவும்.

இந்த வீடியோவில், ஒரே வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் முழு தொகுப்பையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம் - அதனால்தான் அவை எளிமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

முதலில், வரையறுப்போம்: நேரியல் சமன்பாடு என்றால் என்ன, எது எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்பது ஒரே ஒரு மாறி, முதல் நிலை வரை மட்டுமே இருக்கும்.

எளிமையான சமன்பாடு என்பது கட்டுமானத்தைக் குறிக்கிறது:

மற்ற அனைத்து நேரியல் சமன்பாடுகளும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையானதாகக் குறைக்கப்படுகின்றன:

அடைப்புக்குறிகள் ஏதேனும் இருந்தால் விரிவாக்கவும்;
மாறி உள்ள சொற்களை சம அடையாளத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும், மாறி இல்லாத விதிமுறைகளை மற்றொன்றுக்கும் நகர்த்தவும்;
சம அடையாளத்தின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒத்த சொற்களைக் கொடுங்கள்;
இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை $x$ மாறியின் குணகத்தால் வகுக்கவும்.

நிச்சயமாக, இந்த அல்காரிதம் எப்போதும் உதவாது. உண்மை என்னவென்றால், சில நேரங்களில் இந்த அனைத்து சூழ்ச்சிகளுக்கும் பிறகு $x$ மாறியின் குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறும். இந்த வழக்கில், இரண்டு விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, $0\cdot x=8$ என ஏதாவது மாறும்போது, அதாவது. இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியம் உள்ளது, வலதுபுறம் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண் உள்ளது. கீழே உள்ள வீடியோவில் இந்த நிலைமை ஏன் சாத்தியமாகிறது என்பதற்கான பல காரணங்களைப் பார்ப்போம்.
தீர்வு அனைத்து எண்கள். சமன்பாடு $0\cdot x=0$ என குறைக்கப்பட்டால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். நாம் எந்த $x$ ஐ மாற்றினாலும், அது "பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" என்று மாறிவிடும் என்பது மிகவும் தர்க்கரீதியானது, அதாவது. சரியான எண் சமத்துவம்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி இவை அனைத்தும் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இன்று நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளைக் கையாளுகிறோம், எளிமையானவை மட்டுமே. பொதுவாக, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்பது சரியாக ஒரு மாறியைக் கொண்டிருக்கும் எந்த சமத்துவத்தையும் குறிக்கிறது, மேலும் அது முதல் நிலைக்கு மட்டுமே செல்கிறது.

இத்தகைய கட்டுமானங்கள் தோராயமாக அதே வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன:

முதலில், நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்த வேண்டும், ஏதேனும் இருந்தால் (எங்கள் கடைசி உதாரணத்தைப் போல);
பின்னர் இதேபோல் இணைக்கவும்
இறுதியாக, மாறியை தனிமைப்படுத்தவும், அதாவது. மாறியுடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்தையும்-அது அடங்கியுள்ள விதிமுறைகளை-ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தவும், அது இல்லாமல் மீதமுள்ள அனைத்தையும் மறுபக்கத்திற்கு நகர்த்தவும்.

பின்னர், ஒரு விதியாக, விளைவான சமத்துவத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒத்தவற்றை நீங்கள் கொண்டு வர வேண்டும், அதன் பிறகு "x" இன் குணகத்தால் வகுக்க வேண்டும், மேலும் இறுதி பதிலைப் பெறுவோம்.

கோட்பாட்டில், இது அழகாகவும் எளிமையாகவும் தெரிகிறது, ஆனால் நடைமுறையில், அனுபவம் வாய்ந்த உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் கூட மிகவும் எளிமையான முறையில் புண்படுத்தும் தவறுகளைச் செய்யலாம். நேரியல் சமன்பாடுகள். பொதுவாக, அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது அல்லது "பிளஸ்கள்" மற்றும் "மைனஸ்கள்" கணக்கிடும்போது பிழைகள் செய்யப்படுகின்றன.

கூடுதலாக, ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை அல்லது தீர்வு முழு எண் கோடு, அதாவது. எந்த எண். இந்த நுணுக்கங்களை இன்றைய பாடத்தில் பார்ப்போம். ஆனால் நீங்கள் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டபடி, எளிமையான பணிகளுடன் தொடங்குவோம்.

எளிய நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்

முதலில், எளிமையான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழுத் திட்டத்தையும் மீண்டும் ஒருமுறை எழுதுகிறேன்:

அடைப்புக்குறிகள் ஏதேனும் இருந்தால் விரிவாக்கவும்.
நாம் மாறிகளை தனிமைப்படுத்துகிறோம், அதாவது. "எக்ஸ்" உள்ள அனைத்தையும் ஒரு பக்கத்திற்கும், "எக்ஸ்" இல்லாத அனைத்தையும் மறுபக்கத்திற்கும் நகர்த்துகிறோம்.
இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.
எல்லாவற்றையும் "x" குணகத்தால் வகுக்கிறோம்.

நிச்சயமாக, இந்த திட்டம் எப்போதும் வேலை செய்யாது, அதில் சில நுணுக்கங்கள் மற்றும் தந்திரங்கள் உள்ளன, இப்போது நாம் அவற்றை அறிந்து கொள்வோம்.

எளிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் உண்மையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

பணி எண் 1

முதல் படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். ஆனால் அவை இந்த எடுத்துக்காட்டில் இல்லை, எனவே அவற்றைத் தவிர்க்கிறோம் இந்த நிலை. இரண்டாவது கட்டத்தில் நாம் மாறிகளை தனிமைப்படுத்த வேண்டும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பற்றி பேசுகிறோம்தனிப்பட்ட விதிமுறைகள் பற்றி மட்டுமே. அதை எழுதுவோம்:

இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் இதே போன்ற சொற்களை நாங்கள் வழங்குகிறோம், ஆனால் இது ஏற்கனவே இங்கே செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே, நாம் நான்காவது படிக்குச் செல்கிறோம்: குணகத்தால் வகுக்கவும்:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

எனவே விடை கிடைத்தது.

பணி எண் 2

இந்தச் சிக்கலில் அடைப்புக்குறிகளைக் காணலாம், எனவே அவற்றை விரிவாக்குவோம்:

இடது மற்றும் வலது இரண்டும் தோராயமாக ஒரே வடிவமைப்பைக் காண்கிறோம், ஆனால் வழிமுறையின்படி செயல்படுவோம், அதாவது. மாறிகளை பிரித்தல்:

இதோ சில ஒத்தவை:

இது எந்த வேர்களில் வேலை செய்கிறது? பதில்: எதற்கும். எனவே, $x$ எந்த எண் என்று எழுதலாம்.

பணி எண். 3

மூன்றாவது நேரியல் சமன்பாடு மிகவும் சுவாரஸ்யமானது:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

பல அடைப்புக்குறிகள் உள்ளன, ஆனால் அவை எதனாலும் பெருக்கப்படுவதில்லை, அவை வெறுமனே முந்தியவை பல்வேறு அறிகுறிகள். அவற்றை உடைப்போம்:

எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்த இரண்டாவது படியை நாங்கள் செய்கிறோம்:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

கணிதத்தைச் செய்வோம்:

நாங்கள் கடைசி படியைச் செய்கிறோம் - எல்லாவற்றையும் “x” குணகத்தால் வகுக்கிறோம்:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை

மிகவும் எளிமையான பணிகளை நாம் புறக்கணித்தால், பின்வருவனவற்றைச் சொல்ல விரும்புகிறேன்:

நான் மேலே கூறியது போல், ஒவ்வொரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வு இல்லை - சில நேரங்களில் வெறுமனே வேர்கள் இல்லை;
வேர்கள் இருந்தாலும், அவற்றில் பூஜ்ஜியம் இருக்கலாம் - அதில் தவறில்லை.

பூஜ்ஜியம் என்பது மற்ற எண்களைப் போன்றே இருக்கும்;

மற்றொரு அம்சம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது தொடர்பானது. தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அவர்களுக்கு முன்னால் "மைனஸ்" இருந்தால், அதை அகற்றுவோம், ஆனால் அடைப்புக்குறிக்குள் அடையாளங்களை மாற்றுகிறோம் எதிர். நிலையான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைத் திறக்கலாம்: மேலே உள்ள கணக்கீடுகளில் நாம் பார்த்ததைப் பெறுவோம்.

இதைப் புரிந்துகொள்வது எளிய உண்மைஉயர்நிலைப் பள்ளியில் முட்டாள்தனமான மற்றும் புண்படுத்தும் தவறுகளைச் செய்வதைத் தவிர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும், இதுபோன்ற செயல்களைச் செய்வது ஒரு பொருட்டல்ல.

சிக்கலான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இன்னும் சிக்கலான சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம். இப்போது கட்டுமானங்கள் மிகவும் சிக்கலானதாக மாறும் மற்றும் பல்வேறு மாற்றங்களைச் செய்யும்போது ஒரு இருபடி செயல்பாடு தோன்றும். இருப்பினும், இதைப் பற்றி நாம் பயப்படக்கூடாது, ஏனென்றால், ஆசிரியரின் திட்டத்தின் படி, நாம் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம் என்றால், உருமாற்றத்தின் போது ஒரு இருபடி செயல்பாட்டைக் கொண்ட அனைத்து மோனோமியல்களும் நிச்சயமாக ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

வெளிப்படையாக, முதல் படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். இதை மிகவும் கவனமாக செய்வோம்:

இப்போது தனியுரிமையைப் பார்ப்போம்:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

இதோ சில ஒத்தவை:

வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, எனவே இதை பதிலில் எழுதுவோம்:

\[\வர்ணமில்லை\]

அல்லது வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

நாங்கள் அதே செயல்களைச் செய்கிறோம். முதல் படி:

எல்லாவற்றையும் ஒரு மாறியுடன் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், அது இல்லாமல் - வலதுபுறம்:

இதோ சில ஒத்தவை:

வெளிப்படையாக, இந்த நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை, எனவே இதை இவ்வாறு எழுதுவோம்:

\[\varnothing\],

அல்லது வேர்கள் இல்லை.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

இரண்டு சமன்பாடுகளும் முழுமையாக தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் உதாரணமாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எளிமையான நேரியல் சமன்பாடுகளில் கூட, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல என்று நாங்கள் மீண்டும் நம்பினோம்: ஒன்று, அல்லது எதுவுமில்லை, அல்லது எண்ணற்ற பல வேர்கள் இருக்கலாம். எங்கள் விஷயத்தில், இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டோம், இரண்டிற்கும் வேர்கள் இல்லை.

ஆனால் நான் உங்கள் கவனத்தை மற்றொரு உண்மைக்கு ஈர்க்க விரும்புகிறேன்: அடைப்புக்குறிக்குள் எவ்வாறு வேலை செய்வது மற்றும் அவர்களுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் இருந்தால் அவற்றை எவ்வாறு திறப்பது. இந்த வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

திறப்பதற்கு முன், நீங்கள் எல்லாவற்றையும் "X" ஆல் பெருக்க வேண்டும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பெருக்குகிறது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட கால. உள்ளே இரண்டு சொற்கள் உள்ளன - முறையே, இரண்டு சொற்கள் மற்றும் பெருக்கல்.

இந்த வெளித்தோற்றத்தில் அடிப்படை, ஆனால் மிக முக்கியமான மற்றும் ஆபத்தான மாற்றங்கள் முடிந்த பின்னரே, அதற்குப் பிறகு ஒரு கழித்தல் அடையாளம் உள்ளது என்ற உண்மையின் பார்வையில் அடைப்புக்குறியைத் திறக்க முடியும். ஆம், ஆம்: இப்போதுதான், மாற்றங்கள் முடிந்ததும், அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் இருப்பதை நினைவில் கொள்கிறோம், அதாவது கீழே உள்ள அனைத்தும் வெறுமனே அறிகுறிகளை மாற்றுகிறது. அதே நேரத்தில், அடைப்புக்குறிகள் மறைந்துவிடும், மிக முக்கியமாக, முன் "கழித்தல்" கூட மறைந்துவிடும்.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலும் இதைச் செய்கிறோம்:

இந்த சிறிய, முக்கியமற்ற உண்மைகளுக்கு நான் கவனம் செலுத்துவது தற்செயலாக அல்ல. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்போதுமே அடிப்படை மாற்றங்களின் வரிசையாக இருப்பதால், தெளிவாகவும் திறமையாகவும் செயல்பட இயலாமை. எளிய படிகள்உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் என்னிடம் வந்து மீண்டும் இதுபோன்ற எளிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்கிறார்கள்.

நிச்சயமாக, நீங்கள் இந்த திறன்களை தன்னியக்க நிலைக்கு மேம்படுத்தும் நாள் வரும். ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் பல மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டியதில்லை, எல்லாவற்றையும் ஒரே வரியில் எழுதுவீர்கள். ஆனால் நீங்கள் கற்றுக் கொண்டிருக்கும் போது, ஒவ்வொரு செயலையும் தனித்தனியாக எழுத வேண்டும்.

இன்னும் சிக்கலான நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

நாம் இப்போது தீர்க்கப் போவதை எளிமையான பணி என்று அழைக்க முடியாது, ஆனால் பொருள் அப்படியே உள்ளது.

பணி எண் 1

\[\இடது(7x+1 \வலது)\இடது(3x-1 \வலது)-21((x)^(2))=3\]

முதல் பகுதியில் உள்ள அனைத்து கூறுகளையும் பெருக்குவோம்:

சில தனியுரிமை செய்வோம்:

இதோ சில ஒத்தவை:

கடைசி படியை முடிப்போம்:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

இங்கே எங்கள் இறுதி பதில். மேலும், தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் இருபடி சார்புடன் குணகங்கள் இருந்தபோதிலும், அவை ஒருவருக்கொருவர் ரத்துசெய்தன, இது சமன்பாட்டை நேரியல் மற்றும் இருபடி அல்ல.

பணி எண் 2

\[\இடது(1-4x \வலது)\இடது(1-3x \வலது)=6x\இடது(2x-1 \வலது)\]

முதல் படியை கவனமாகச் செய்வோம்: முதல் அடைப்புக்குறியிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பையும் இரண்டிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கவும். மாற்றங்களுக்குப் பிறகு மொத்தம் நான்கு புதிய சொற்கள் இருக்க வேண்டும்:

இப்போது ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்கத்தை கவனமாக செய்வோம்:

"X" உடன் உள்ள விதிமுறைகளை இடதுபுறமாகவும், இல்லாதவை - வலதுபுறமாகவும் நகர்த்துவோம்:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

இதே போன்ற சொற்கள் இங்கே:

மீண்டும் ஒருமுறை இறுதி விடை கிடைத்துள்ளது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பற்றிய மிக முக்கியமான குறிப்பு பின்வருமாறு: ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சொற்களைக் கொண்ட அடைப்புக்குறிகளைப் பெருக்கத் தொடங்கியவுடன், இது பின்வரும் விதியின்படி செய்யப்படுகிறது: முதல் சொல்லிலிருந்து முதல் வார்த்தையை எடுத்து ஒவ்வொரு உறுப்புடன் பெருக்குகிறோம். இரண்டாவது; பின்னர் நாம் முதல் உறுப்பிலிருந்து இரண்டாவது உறுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக, நாங்கள் நான்கு பதவிகளைப் பெறுவோம்.

இயற்கணிதத் தொகை பற்றி

இந்த கடைசி உதாரணத்துடன், இயற்கணிதத் தொகை என்றால் என்ன என்பதை மாணவர்களுக்கு நினைவூட்ட விரும்புகிறேன். கிளாசிக்கல் கணிதத்தில், $1-7$ என்பது ஒரு எளிய கட்டுமானத்தைக் குறிக்கும்: ஒன்றிலிருந்து ஏழரைக் கழிக்கவும். இயற்கணிதத்தில், நாம் பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறோம்: "ஒன்று" என்ற எண்ணுடன் மற்றொரு எண்ணைச் சேர்க்கிறோம், அதாவது "மைனஸ் ஏழு". ஒரு சாதாரண எண்கணிதத் தொகையிலிருந்து இயற்கணிதத் தொகை இப்படித்தான் வேறுபடுகிறது.

அனைத்து மாற்றங்களையும், ஒவ்வொரு கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் போது, மேலே விவரிக்கப்பட்டதைப் போன்ற கட்டுமானங்களைப் பார்க்கத் தொடங்கினால், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் சமன்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது இயற்கணிதத்தில் உங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.

இறுதியாக, நாம் இப்போது பார்த்ததை விட சிக்கலானதாக இருக்கும் இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், அவற்றைத் தீர்க்க, எங்கள் நிலையான வழிமுறையை சற்று விரிவுபடுத்த வேண்டும்.

பின்னங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

அத்தகைய பணிகளைத் தீர்க்க, எங்கள் வழிமுறையில் இன்னும் ஒரு படி சேர்க்க வேண்டும். ஆனால் முதலில், எங்கள் அல்காரிதத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்.
தனி மாறிகள்.
ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.
விகிதத்தால் வகுக்கவும்.

ஐயோ, இந்த அற்புதமான அல்காரிதம், அதன் அனைத்து செயல்திறனுக்காகவும், நமக்கு முன்னால் பின்னங்கள் இருக்கும்போது முற்றிலும் பொருத்தமானதாக இருக்காது. நாம் கீழே காண்பதில், இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் இடது மற்றும் வலது இரண்டிலும் ஒரு பின்னம் உள்ளது.

இந்த வழக்கில் எப்படி வேலை செய்வது? ஆம், இது மிகவும் எளிமையானது! இதைச் செய்ய, நீங்கள் அல்காரிதத்தில் இன்னும் ஒரு படியைச் சேர்க்க வேண்டும், இது முதல் செயலுக்கு முன்னும் பின்னும் செய்யப்படலாம், அதாவது பின்னங்களை அகற்றுவது. எனவே அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

பின்னங்களை அகற்றவும்.
அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்.
தனி மாறிகள்.
ஒத்தவற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.
விகிதத்தால் வகுக்கவும்.

"பின்னங்களை அகற்றுவது" என்றால் என்ன? முதல் நிலையான படிக்குப் பிறகும் அதற்கு முன்பும் இதை ஏன் செய்ய முடியும்? உண்மையில், எங்கள் விஷயத்தில், அனைத்து பின்னங்களும் அவற்றின் வகுப்பில் எண்களாக உள்ளன, அதாவது. எல்லா இடங்களிலும் வகுத்தல் என்பது ஒரு எண் மட்டுமே. எனவே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் இந்த எண்ணால் பெருக்கினால், பின்னங்களிலிருந்து விடுபடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எல்லாம் ஒரு முறை "நான்கு" ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது. உங்களிடம் இரண்டு அடைப்புக்குறிகள் இருப்பதால், ஒவ்வொன்றையும் "நான்கால்" பெருக்க வேண்டும் என்று அர்த்தமல்ல. எழுதுவோம்:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

இப்போது விரிவாக்குவோம்:

மாறியை நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்:

இதே போன்ற சொற்களின் குறைப்பை நாங்கள் செய்கிறோம்:

\[-4x=-1\இடது| :\இடது(-4 \வலது) \வலது.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

இறுதி தீர்வை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

இங்கே நாம் ஒரே மாதிரியான செயல்களைச் செய்கிறோம்:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

உண்மையில், இன்று நான் உங்களிடம் சொல்ல விரும்பியது அவ்வளவுதான்.

முக்கிய புள்ளிகள்

முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள்:

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதத்தை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.
அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும் திறன்.
நீங்கள் எங்காவது இருபடி செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருந்தால் கவலைப்பட வேண்டாம், மேலும் மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் அவை குறைக்கப்படும்.
நேரியல் சமன்பாடுகளில் மூன்று வகையான வேர்கள் உள்ளன, எளிமையானவை கூட: ஒரு ஒற்றை ரூட், முழு எண் கோடு ஒரு ரூட் மற்றும் வேர்கள் இல்லை.

இந்த பாடம் அனைத்து கணிதத்தையும் மேலும் புரிந்துகொள்ள எளிய, ஆனால் மிக முக்கியமான தலைப்பில் தேர்ச்சி பெற உதவும் என்று நம்புகிறேன். ஏதாவது தெளிவாக தெரியவில்லை என்றால், தளத்திற்குச் சென்று அங்கு வழங்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கவும். காத்திருங்கள், இன்னும் பல சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் உங்களுக்காகக் காத்திருக்கின்றன!