எந்த வகையான செயல்பாடு அதிவேகமாக அழைக்கப்படுகிறது. அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

அதிவேக செயல்பாடு

y = a வடிவத்தின் செயல்பாடு x , பூஜ்ஜியத்தை விட a அதிகமாகவும், a ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாததும் அதிவேக செயல்பாடு எனப்படும். அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகள்:

1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கும்.

2. அதிவேக செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கும். சில நேரங்களில் இந்த தொகுப்பு சுருக்கத்திற்காக R+ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

3. ஒரு அதிவேகச் செயல்பாட்டில் அடிப்படை a ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், வரையறையின் முழு டொமைனிலும் செயல்பாடு அதிகரிக்கும். அடித்தளத்திற்கான அதிவேகச் செயல்பாட்டில் பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் 0

4. டிகிரிகளின் அனைத்து அடிப்படை பண்புகள் செல்லுபடியாகும். டிகிரிகளின் முக்கிய பண்புகள் பின்வரும் சமத்துவங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

அ x *அ ஒய் = அ (x+y) ;

(அ x )/(அ ஒய் ) = அ (x-y) ;

(a*b) x = (அ x )*(அ ஒய் );

(a/b) x = அ x /பி x ;

(அ x ) ஒய் = அ (x * y) .

இந்த சமத்துவங்கள் x மற்றும் y இன் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

5. ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்போதும் ஆய (0;1) புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது.

6. அதிவேக செயல்பாடு அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதைப் பொறுத்து, அதன் வரைபடம் இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும்.

பின்வரும் படம் அதிகரித்துவரும் அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது: a>0.

பின்வரும் படம் ஒரு குறையும் அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது: 0

ஐந்தாவது பத்தியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள பண்புகளின்படி, அதிகரித்து வரும் அதிவேகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் குறையும் அதிவேகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டும் புள்ளியைக் கடந்து செல்கின்றன (0;1).

7. ஒரு அதிவேக சார்புக்கு தீவிர புள்ளிகள் இல்லை, அதாவது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், அது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. எந்தவொரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டால், இந்த இடைவெளியின் முடிவில் செயல்பாடு குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளைப் பெறும்.

8. செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஒரு செயல்பாடு பொதுவான பார்வை. ஓய் அச்சைப் பொறுத்தமட்டில் அல்லது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் சம்பந்தமாக அவை எதுவும் சமச்சீராக இல்லை.

மடக்கை

பள்ளிக் கணிதப் பாடங்களில் மடக்கைகள் எப்போதும் கடினமான தலைப்பாகக் கருதப்படுகின்றன. மடக்கைக்கு பல்வேறு வரையறைகள் உள்ளன, ஆனால் சில காரணங்களால் பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்கள் மிகவும் சிக்கலான மற்றும் தோல்வியுற்றவைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன.

மடக்கையை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் வரையறுப்போம். இதைச் செய்ய, ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

எனவே, எங்களிடம் இரண்டு அதிகாரங்கள் உள்ளன. கீழே உள்ள எண்ணை நீங்கள் எடுத்தால், இந்த எண்ணைப் பெற நீங்கள் இரண்டை உயர்த்த வேண்டிய சக்தியை எளிதாகக் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 16 ஐப் பெற, நீங்கள் இரண்டை நான்காவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும். 64 ஐப் பெற, நீங்கள் இரண்டை ஆறாவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும். இதை அட்டவணையில் இருந்து பார்க்கலாம்.

இப்போது - உண்மையில், மடக்கையின் வரையறை:

வரையறை

மடக்கைவாதம் x இன் அடிப்படைக்கு எண்ணிக்கையை உயர்த்த வேண்டிய சக்திஅ எண் பெற x

பதவி

பதிவு a x = b
இதில் a என்பது அடிப்படை, x என்பது வாதம், b - உண்மையில், மடக்கை எதற்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 3 = 8 ⇒ பதிவு 2 8 = 3 (8 இன் அடிப்படை 2 மடக்கை மூன்று என்பதால் 2 3 = 8). அதே வெற்றியுடன், பதிவு 2 64 = 6, முதல் 2 6 = 64.

கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படைக்கு ஒரு எண்ணின் மடக்கைக் கண்டறியும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறதுமடக்கை . எனவே, எங்கள் அட்டவணையில் ஒரு புதிய வரியைச் சேர்ப்போம்:

துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லா மடக்கைகளும் அவ்வளவு எளிதாகக் கணக்கிடப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 5 ஐக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும். எண் 5 அட்டவணையில் இல்லை, ஆனால் லாஜிக் இடைவேளையில் மடக்கை எங்காவது இருக்கும் என்று ஆணையிடுகிறது. ஏனெனில் 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

அத்தகைய எண்கள் பகுத்தறிவற்றது என்று அழைக்கப்படுகின்றன: தசம புள்ளிக்குப் பின் வரும் எண்களை முடிவிலியாக எழுதலாம், மேலும் அவை மீண்டும் மீண்டும் வராது. மடக்கை பகுத்தறிவற்றதாக மாறினால், அதை அப்படியே விட்டுவிடுவது நல்லது: பதிவு 2 5, பதிவு 3 8, பதிவு 5 100.

மடக்கை என்பது இரண்டு மாறிகள் (அடிப்படை மற்றும் வாதம்) கொண்ட வெளிப்பாடு என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியம். முதலில், அடிப்படை எங்கே, வாதம் எங்கே என்று பலர் குழப்புகிறார்கள். எரிச்சலூட்டும் தவறான புரிதல்களைத் தவிர்க்க, படத்தைப் பாருங்கள்:

எங்களுக்கு முன் ஒரு மடக்கையின் வரையறையைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: மடக்கை ஒரு சக்தி , ஒரு வாதத்தைப் பெறுவதற்கு அடித்தளம் கட்டப்பட வேண்டும்.இது ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்பட்ட அடித்தளம் - இது படத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அடிப்படை எப்போதும் கீழே உள்ளது என்று மாறிவிடும்! இந்த அற்புதமான விதியை எனது மாணவர்களுக்கு முதல் பாடத்திலேயே சொல்கிறேன் - குழப்பம் எதுவும் எழாது.

நாங்கள் வரையறையைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் - மடக்கைகளை எவ்வாறு எண்ணுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மட்டுமே மீதமுள்ளது, அதாவது. "பதிவு" அடையாளத்தை அகற்றவும். தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் அதை கவனிக்கிறோம் வரையறையிலிருந்து இரண்டு விஷயங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன முக்கியமான உண்மைகள்:

வாதமும் அடிப்படையும் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இது ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்கு மூலம் ஒரு பட்டத்தின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு, ஒரு மடக்கையின் வரையறை குறைக்கப்படுகிறது.

அடித்தளம் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் ஒன்று எந்த அளவிற்கு இருந்தாலும் ஒன்றாகவே இருக்கும்.இதன் காரணமாக, "இரண்டைப் பெறுவதற்கு ஒருவர் எந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்" என்ற கேள்வி அர்த்தமற்றது. அப்படி ஒரு பட்டமும் இல்லை!

அத்தகைய கட்டுப்பாடுகள்அழைக்கப்படுகின்றன பிராந்தியம் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகள் (ODZ). மடக்கையின் ODZ இது போல் தெரிகிறது: பதிவு a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும் எண்ணிக்கையில் கட்டுப்பாடுகள் இல்லைபி ( மடக்கை மதிப்பு) ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கை எதிர்மறையாக இருக்கலாம்: பதிவு 2 0.5 = −1, ஏனெனில் 0.5 = 2 -1.

இருப்பினும், இப்போது நாம் மடக்கையின் VA ஐ அறிய வேண்டிய அவசியமில்லாத எண் வெளிப்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கிறோம். அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் ஏற்கனவே சிக்கல்களின் ஆசிரியர்களால் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன. ஆனால் மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் செயல்பாட்டுக்கு வரும்போது, ​​DL தேவைகள் கட்டாயமாகிவிடும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிப்படை மற்றும் வாதத்தில் மிகவும் வலுவான கட்டுமானங்கள் இருக்கலாம், அவை மேலே உள்ள கட்டுப்பாடுகளுக்கு அவசியமில்லை.

இப்போது பொது கருதுகின்றனர் மடக்கைகளை கணக்கிடுவதற்கான திட்டம். இது மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

காரணம் கூறுங்கள் a மற்றும் வாதம் x ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறைந்தபட்ச சாத்தியமான அடிப்படை கொண்ட சக்தியின் வடிவத்தில். வழியில், தசமங்களை அகற்றுவது நல்லது;

ஒரு மாறியைப் பொறுத்து தீர்க்கவும் b சமன்பாடு: x = a b ;

இதன் விளைவாக வரும் எண் b பதில் இருக்கும்.

அவ்வளவுதான்! மடக்கை பகுத்தறிவற்றதாக மாறினால், இது ஏற்கனவே முதல் படியில் தெரியும். அடிப்படை ஒன்றை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பது மிகவும் முக்கியமானது: இது பிழையின் வாய்ப்பைக் குறைக்கிறது மற்றும் கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. அதே போல தசமங்கள்: நீங்கள் உடனடியாக அவற்றை வழக்கமானதாக மாற்றினால், குறைவான பிழைகள் இருக்கும்.

இந்த திட்டம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம் குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள்:

மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 5 25

அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை ஐந்தின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
பதிவு 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது: 2.

மடக்கை கணக்கிடவும்:

அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மூன்றின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4 ;

சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

நாங்கள் பதிலைப் பெற்றோம்: −4.

−4

மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 4 64

அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை இரண்டின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
பதிவு 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது: 3.

மடக்கை கணக்கிடுக: பதிவு 16 1

அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை இரண்டின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;

சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
பதிவு 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

நாங்கள் பதில் பெற்றோம்: 0.

மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 7 14

அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை ஏழு சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 7 = 7 1 ; 7 1ல் இருந்து 14 ஐ ஏழின் சக்தியாகக் குறிப்பிட முடியாது< 14 < 7 2 ;

முந்தைய பத்தியில் இருந்து மடக்கை கணக்கிடப்படாது;

பதில் எந்த மாற்றமும் இல்லை: பதிவு 7 14.

பதிவு 7 14

கடைசி உதாரணத்தில் ஒரு சிறிய குறிப்பு. ஒரு எண் மற்றொரு எண்ணின் சரியான சக்தி அல்ல என்பதை நீங்கள் எப்படி உறுதியாகக் கூறலாம்? இது மிகவும் எளிமையானது - அதை உடைக்கவும் முக்கிய காரணிகள். விரிவாக்கம் குறைந்தது இரண்டு வெவ்வேறு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தால், எண் சரியான சக்தியாக இருக்காது.

எண்கள் சரியான சக்திகளா என்பதைக் கண்டறியவும்: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - சரியான பட்டம், ஏனெனில் ஒரே ஒரு பெருக்கி உள்ளது;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ஒரு சரியான சக்தி அல்ல, ஏனெனில் இரண்டு காரணிகள் உள்ளன: 3 மற்றும் 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - சரியான பட்டம்;
35 = 7 · 5 - மீண்டும் ஒரு சரியான சக்தி இல்லை;
14 = 7 · 2 - மீண்டும் ஒரு சரியான பட்டம் இல்லை;

8, 81 - சரியான பட்டம்; 48, 35, 14 - எண்.

நாமே என்பதையும் கவனிக்கிறோம் முதன்மை எண்கள்எப்போதும் தங்களைப் பற்றிய சரியான அளவுகள்.

தசம மடக்கை

சில மடக்கைகள் மிகவும் பொதுவானவை, அவை ஒரு சிறப்பு பெயரையும் சின்னத்தையும் கொண்டுள்ளன.

வரையறை

தசம மடக்கைவாதத்திலிருந்து x அடிப்படை 10க்கான மடக்கை ஆகும், அதாவது. எண்ணைப் பெற 10 என்ற எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி x

பதவி

lg x

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - போன்றவை.

இனிமேல், "Find lg 0.01" போன்ற சொற்றொடர் ஒரு பாடப்புத்தகத்தில் தோன்றும் போது, ​​தெரிந்து கொள்ளுங்கள்: இது எழுத்துப்பிழை அல்ல. இது ஒரு தசம மடக்கை. இருப்பினும், இந்த குறியீட்டை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் எப்போதும் அதை மீண்டும் எழுதலாம்:
பதிவு x = பதிவு 10 x

சாதாரண மடக்கைகளுக்கு உண்மையாக இருக்கும் அனைத்தும் தசம மடக்கைகளுக்கும் உண்மை.

இயற்கை மடக்கை

அதன் சொந்த பதவியைக் கொண்ட மற்றொரு மடக்கை உள்ளது. சில வழிகளில், இது தசமத்தை விட முக்கியமானது. இது பற்றிஇயற்கை மடக்கை பற்றி.

வரையறை

இயற்கை மடக்கைவாதத்திலிருந்து x தளத்திற்கு மடக்கை ஆகும்இ , அதாவது ஒரு எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்திஇ எண் பெற x

பதவி

ln x

பலர் கேட்பார்கள்: இ எண் என்ன? இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண்; அதன் சரியான மதிப்பைக் கண்டுபிடித்து எழுத முடியாது. நான் முதல் புள்ளிவிவரங்களை மட்டுமே தருகிறேன்:
இ = 2.718281828459...

இந்த எண் என்ன, அது ஏன் தேவை என்பதைப் பற்றி நாங்கள் விரிவாகப் பேச மாட்டோம். இ என்பதை மட்டும் நினைவில் கொள்ளுங்கள் - இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை:
ln x = பதிவு e x

இவ்வாறு ln e = 1; ln e 2 = 2; இ 16 = 16 - முதலியன. மறுபுறம், ln 2 ஒரு விகிதாசார எண். பொதுவாக, எந்தப் பகுத்தறிவு எண்ணின் இயற்கை மடக்கையும் பகுத்தறிவற்றது. நிச்சயமாக, ஒற்றுமைக்கு தவிர: ln 1 = 0.

இயற்கை மடக்கைகளுக்கு, சாதாரண மடக்கைகளுக்கு உண்மையாக இருக்கும் அனைத்து விதிகளும் செல்லுபடியாகும்.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சரியாக சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், அவற்றுக்கு அவற்றின் சொந்த விதிகள் உள்ளன, அவை அடிப்படை பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல் ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: பதிவு a x மற்றும் log a y . பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

பதிவுஒரு x +பதிவுஒரு ஒய் =பதிவுஅ ( x · ஒய் );

பதிவுஒரு x - பதிவுஒரு ஒய் =பதிவுஅ ( x : ஒய் ).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம்.தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முக்கிய புள்ளிஇங்கே அதே காரணங்கள் உள்ளன. காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பாகங்களைக் கருத்தில் கொள்ளாதபோதும் கணக்கிட உதவும் (பாடம் பார்க்கவும் " "). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9.

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9 = பதிவு 6 (4 9) = பதிவு 6 36 = 2.

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3 = பதிவு 2 (48: 3) = பதிவு 2 16 = 4.

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5 = பதிவு 3 (135: 5) = பதிவு 3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பலர் இந்த உண்மையின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளனர் சோதனைகள். ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? பிறகு இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் அதை எப்படியும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள், அதாவது. மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 7 49 6 .

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு 7 49 6 = 6 பதிவு 7 49 = 6 2 = 12

வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: பதிவு 2 7. பதிவு 2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

தேற்றம்

மடக்கைப் பதிவு கொடுக்கப்படட்டும்ஒரு x . பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் c> 0 மற்றும் c ≠ 1, சமத்துவம் உண்மை:

குறிப்பாக, நாம் வைத்தால் c = x, நாம் பெறுகிறோம்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை தீர்மானிப்பதன் மூலம் மட்டுமே மதிப்பிட முடியும் மடக்கை சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 5 16 பதிவு 2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: பதிவு 5 16 = பதிவு 5 2 4 = 4log 5 2; பதிவு 2 25 = பதிவு 2 5 2 = 2log 2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் துல்லியமான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n வாதத்தில் நிற்கும் பட்டத்தின் குறிகாட்டியாகிறது. எண் n முற்றிலும் எதுவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு மட்டுமே.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. இது அழைக்கப்படுகிறது:அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்.

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி

வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

தீர்வு

பதிவு 25 64 = பதிவு 5 என்பதை நினைவில் கொள்க 8 - தளத்திலிருந்து சதுரத்தையும் மடக்கையின் வாதத்தையும் எளிமையாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

200

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

log a a = 1 ஆகும் மடக்கை அலகு. ஒருமுறை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: எந்த தளத்திற்கும் மடக்கைஅ இந்த அடித்தளத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு சமம்.

log a 1 = 0 ஆகும் மடக்கை பூஜ்யம். அடிப்படை ஏ எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில்ஒரு 0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்!

x=2 என்ற மாறியின் பல்வேறு பகுத்தறிவு மதிப்புகளுக்கான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்; 0; -3; -

x என்ற மாறிக்கு எந்த எண்ணை மாற்றினாலும், இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை நாம் எப்போதும் காணலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதன் பொருள், தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை (y என்பது x இன் சக்திக்கு மூன்றுக்கு சமம்) பரிசீலிக்கிறோம் பகுத்தறிவு எண்கள்: .

அதன் மதிப்புகளின் அட்டவணையை தொகுத்து இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

இந்த புள்ளிகள் வழியாக ஒரு மென்மையான கோட்டை வரைவோம் (படம் 1)

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் பண்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

3. வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் அதிகரிக்கிறது.

1. பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரையிலான மதிப்புகளின் வரம்பு.

8. செயல்பாடு குவிந்த கீழ்நோக்கி உள்ளது.

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கினால்; y=(y என்பது x-ன் சக்திக்கு இரண்டுக்கு சமம், y என்பது x-ன் சக்திக்கு ஐந்து, y என்பது x-ன் சக்திக்கு ஏழு சமம்), அப்போது அவை y= போன்ற பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம். (y என்பது x இன் சக்திக்கு மூன்று சமம்) (படம் .2), அதாவது, y = வடிவத்தின் அனைத்து செயல்பாடுகளும் (y என்பது x சக்திக்கு சமம், ஒன்றுக்கு மேல்) பண்புகள்.

செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்:

1. அதன் மதிப்புகளின் அட்டவணையைத் தொகுத்தல்.

பெறப்பட்ட புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் குறிப்போம்.

இந்த புள்ளிகள் வழியாக ஒரு மென்மையான கோட்டை வரைவோம் (படம் 3).

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் பண்புகளைக் குறிப்பிடுகிறோம்:

1. வரையறையின் களம் என்பது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும்.

2. இரட்டையோ அல்லது இரட்டையோ அல்ல.

3. வரையறையின் முழு களத்திலும் குறைகிறது.

4. பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்புகள் இல்லை.

5.கீழே வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் மேலே வரையறுக்கப்படவில்லை.

6. வரையறையின் முழு களத்திலும் தொடர்கிறது.

7. பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரையிலான மதிப்புகளின் வரம்பு.

8. செயல்பாடு குவிந்த கீழ்நோக்கி உள்ளது.

இதேபோல், நாம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டு வரைபடங்களை வரைந்தால்; y = (y என்பது x இன் சக்திக்கு ஒரு பாதிக்கு சமம், y என்பது x இன் சக்திக்கு ஐந்தில் ஒரு பங்கு, y என்பது x இன் சக்திக்கு ஏழில் ஒரு பங்குக்கு சமம்), பின்னர் அவர்கள் இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம் அதே பண்புகள் y = (y என்பது சக்தி x க்கு மூன்றில் ஒரு பங்குக்கு சமம் (படம் 4), அதாவது, y = வடிவத்தின் அனைத்து செயல்பாடுகளும் (y என்பது x சக்திக்கு a ஆல் வகுக்கப்படும், உடன் பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது ஆனால் ஒன்றுக்கு குறைவானது) அத்தகைய பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

இதன் பொருள், y=y= சார்புகளின் வரைபடங்களும் சமச்சீராக இருக்கும் (y என்பது x சக்திக்கு சமம் மற்றும் y என்பது a க்கு x சக்திக்கு சமம்) a இன் அதே மதிப்புக்கு சமச்சீராக இருக்கும்.

அதிவேக செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் முக்கிய பண்புகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் சொல்லப்பட்டதை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

வரையறை: y= படிவத்தின் ஒரு சார்பு, அங்கு (a என்பது சக்தி x க்கு சமம், இதில் a நேர்மறை மற்றும் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது), ஒரு அதிவேக சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதிவேக சார்பு y= மற்றும் சக்தி சார்பு y=, a=2,3,4,.... ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடுகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம். கேட்கக்கூடிய மற்றும் பார்வை. அதிவேக செயல்பாடு எக்ஸ்ஒரு சக்தி, மற்றும் ஒரு சக்தி செயல்பாடு எக்ஸ்அடிப்படையாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு1: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் (மூன்று சக்தி x ஒன்பதுக்கு சமம்)

(Y என்பது X இன் சக்திக்கு மூன்று மற்றும் Y என்பது ஒன்பதுக்கு சமம்) படம் 7

அவற்றுக்கு ஒரு பொதுவான புள்ளி M (2;9) (இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளுடன்; ஒன்பது) இருப்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது புள்ளியின் abscissa இந்த சமன்பாட்டின் வேராக இருக்கும். அதாவது, சமன்பாட்டில் x = 2 என்ற ஒற்றை வேர் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y= செயல்பாட்டின் இரண்டு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் (y என்பது x இன் சக்திக்கு ஐந்து மற்றும் y என்பது இருபத்தி ஐந்தில் ஒன்றுக்கு சமம்) படம் 8. வரைபடங்கள் T (-2; (-2; (ஆயங்கள் மைனஸ் இரண்டு; ஒன்று இருபத்தி-ஐந்தாவது) உடன் te) வெட்டுகின்றன. இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் வேர் x = -2 (எண் கழித்தல் இரண்டு) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3: சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y= செயல்பாட்டின் இரண்டு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

(Y என்பது X இன் சக்திக்கு மூன்று மற்றும் Y என்பது இருபத்தி ஏழுக்கு சமம்).

படம்.9 செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=at செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ளது

x எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி (கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து மூன்று வரை)

எடுத்துக்காட்டு 4: சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், y= செயல்பாட்டின் இரண்டு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் (y என்பது x இன் சக்திக்கு நான்கில் ஒரு பங்கு மற்றும் y என்பது பதினாறுக்கு சமம்). (படம் 10). வரைபடங்கள் K (-2;16) ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. இதன் பொருள் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி (-2; (மைனஸ் இரண்டிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி வரை), y= செயல்பாட்டின் வரைபடம் x இல் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கீழே அமைந்துள்ளது.

எங்கள் பகுத்தறிவு பின்வரும் கோட்பாடுகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க அனுமதிக்கிறது:

தீம் 1: உண்மை என்றால் m=n என்றால் மட்டும்.

தேற்றம் 2: என்றால் உண்மை என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே, சமத்துவமின்மை என்றால் மட்டும் உண்மை (படம். *)

தேற்றம் 4: உண்மை என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே (படம்.**), தேற்றம் 3: உண்மை என்றால் மற்றும் m=n என்றால் மட்டுமே.

எடுத்துக்காட்டு 5: y= செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குங்கள்

y= என்ற பட்டத்தின் பண்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செயல்பாட்டை மாற்றியமைப்போம்

கூடுதல் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்குவோம் புதிய அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள், y = செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (y என்பது x சக்திக்கு இரண்டுக்கு சமம்) படம் 11.

எடுத்துக்காட்டு 6: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y= செயல்பாட்டின் இரண்டு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

(Y என்பது X இன் சக்திக்கு ஏழு மற்றும் Y என்பது எட்டு கழித்தல் Xக்கு சமம்) படம் 12.

வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் E (1; (e உடன் ஆய ஒன்று; ஏழு) வெட்டும் சமன்பாட்டின் வேர் x = 1 (x ஒன்றுக்கு சமம்).

எடுத்துக்காட்டு 7: சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y= செயல்பாட்டின் இரண்டு வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

(Y என்பது X இன் சக்திக்கு நான்கில் ஒரு பங்கிற்கு சமம் மற்றும் Y என்பது X கூட்டல் ஐந்து ஆகும்). y=செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=x+5 செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கீழே அமைந்துள்ளது, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி x (மைனஸ் ஒன்றிலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரை).

பாடம் எண்.2

தலைப்பு: அதிவேக செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடம்.

இலக்கு:"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற கருத்தை மாஸ்டரிங் செய்வதன் தரத்தை சரிபார்க்கவும்; அதிவேக செயல்பாட்டை அங்கீகரிப்பதில் திறன்களை வளர்ப்பதற்கு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி, அதிவேக செயல்பாட்டைப் பதிவுசெய்வதற்கான பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை வடிவங்களைப் பயன்படுத்த மாணவர்களுக்கு கற்பித்தல்; வகுப்பறையில் வேலை செய்யும் சூழலை வழங்குதல்.

உபகரணங்கள்:பலகை, சுவரொட்டிகள்

பாடம் வடிவம்: வகுப்பு பாடம்

பாடம் வகை: நடைமுறை பாடம்

பாடம் வகை: கற்பித்தல் திறன்கள் மற்றும் திறன்களில் பாடம்

பாடத் திட்டம்

1. நிறுவன தருணம்

2. சுதந்திரமான வேலைமற்றும் சரிபார்க்கவும் வீட்டுப்பாடம்

3. சிக்கலைத் தீர்ப்பது

4. சுருக்கமாக

5. வீட்டுப்பாடம்

பாடம் முன்னேற்றம்.

1. நிறுவன தருணம் :

வணக்கம். உங்கள் குறிப்பேடுகளைத் திறந்து, இன்றைய தேதி மற்றும் "அதிவேக செயல்பாடு" பாடத்தின் தலைப்பை எழுதவும். இன்று நாம் அதிவேக செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடத்தை தொடர்ந்து படிப்போம்.

2. சுதந்திரமான வேலை மற்றும் வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்த்தல் .

இலக்கு:"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற கருத்தின் தேர்ச்சியின் தரத்தை சரிபார்த்து, வீட்டுப்பாடத்தின் கோட்பாட்டு பகுதியின் நிறைவை சரிபார்க்கவும்

முறை:சோதனை பணி, முன் ஆய்வு

வீட்டுப்பாடமாக, சிக்கல் புத்தகத்திலிருந்து எண்களும் பாடப்புத்தகத்திலிருந்து ஒரு பத்தியும் உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளன. பாடப்புத்தகத்திலிருந்து உங்கள் எண்களை செயல்படுத்துவதை நாங்கள் இப்போது சரிபார்க்க மாட்டோம், ஆனால் பாடத்தின் முடிவில் உங்கள் குறிப்பேடுகளை வழங்குவீர்கள். இப்போது கோட்பாடு ஒரு சிறிய சோதனை வடிவத்தில் சோதிக்கப்படும். பணி அனைவருக்கும் ஒரே மாதிரியானது: உங்களுக்கு செயல்பாடுகளின் பட்டியல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அவற்றில் எது சுட்டிக்காட்டுகிறது என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (அவற்றை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டவும்). மேலும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு அடுத்ததாக அது அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதை எழுத வேண்டும்.

விருப்பம் 1 பதில் B) D) - அதிவேக, குறைதல்	விருப்பம் 2 பதில் D) - அதிவேக, குறைதல் D) - அதிவேக, அதிகரிக்கும்
விருப்பம் 3 பதில் A) - அதிவேக, அதிகரிக்கும் B) - அதிவேக, குறைதல்	விருப்பம் 4 பதில் A) - அதிவேக, குறைதல் IN) - அதிவேக, அதிகரிக்கும்

இப்போது ஒன்றாக நினைவில் கொள்வோம், எந்த செயல்பாடு அதிவேகமாக அழைக்கப்படுகிறது?

படிவத்தின் செயல்பாடு , எங்கே மற்றும் , அதிவேக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த செயல்பாட்டின் நோக்கம் என்ன?

அனைத்து உண்மையான எண்கள்.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ன?

அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்கள்.

சக்தியின் அடிப்பகுதி பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தாலும் ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால் குறையும்.

எந்த நிலையில் ஒரு அதிவேக செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் குறைகிறது?

சக்தியின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால் அதிகரிக்கும்.

3. சிக்கலைத் தீர்ப்பது

இலக்கு: ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை அங்கீகரிப்பதில் திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ள, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டை எழுதுவதற்கான பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை வடிவங்களைப் பயன்படுத்த மாணவர்களுக்கு கற்பிக்கவும்.

முறை: வழக்கமான பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் ஆசிரியரின் ஆர்ப்பாட்டம், வாய்வழி வேலை, கரும்பலகையில் வேலை, ஒரு குறிப்பேட்டில் வேலை, ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களிடையே உரையாடல்.

2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை ஒப்பிடும் போது அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக: எண். 000. மதிப்புகளை ஒப்பிடுக மற்றும் இருந்தால் a) ..gif" width="37" height="20 src=">, பின்னர் இது மிகவும் நன்றாக உள்ளது கடினமான வேலை: நாம் 3 இன் கன மூலத்தையும் 9 இன் கன மூலத்தையும் எடுத்து அவற்றை ஒப்பிட வேண்டும். ஆனால் அது அதிகரிக்கிறது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், இதன் பொருள் வாதம் அதிகரிக்கும் போது, ​​​​செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது, அதாவது, வாதத்தின் மதிப்புகளை நாம் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க வேண்டும், அது வெளிப்படையானது (அதிகரிக்கும் அதிவேக செயல்பாட்டைக் காட்டும் ஒரு சுவரொட்டியில் நிரூபிக்கப்படலாம்). எப்பொழுதும், அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் முதலில் அதிவேக செயல்பாட்டின் அடிப்படையை தீர்மானிக்கிறீர்கள், அதை 1 உடன் ஒப்பிட்டு, மோனோடோனிசிட்டியை தீர்மானித்து, வாதங்களை ஒப்பிடுவதற்கு தொடரவும். குறையும் செயல்பாட்டில்: வாதம் அதிகரிக்கும் போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்பு குறைகிறது, எனவே, வாதங்களின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து செயல்பாடுகளின் சமத்துவமின்மைக்கு நகரும் போது சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்றுகிறோம். அடுத்து, நாங்கள் வாய்வழியாக தீர்க்கிறோம்: b)

-

IN)

-

ஜி)

-

- எண் 000. எண்களை ஒப்பிடுக: a) மற்றும்

எனவே, செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, பின்னர்

ஏன் ?

செயல்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும்

எனவே, செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது

இரண்டு செயல்பாடுகளும் அவற்றின் வரையறையின் முழு களத்திலும் அதிகரிக்கின்றன, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சக்தியின் அடிப்படையுடன் அதிவேகமாக உள்ளன.

அதன் பின்னால் உள்ள பொருள் என்ன?

நாங்கள் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக அதிகரிக்கிறது

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக குறைகிறது

செயல்பாடுகளில் எந்த இடைவெளியில் உள்ளது அதிக மதிப்புஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில்?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. முதலில், இந்த செயல்பாடுகளின் வரையறையின் நோக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். அவை ஒத்துப்போகின்றனவா?

ஆம், இந்த செயல்பாடுகளின் டொமைன் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்.

இந்த செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் நோக்கத்தையும் பெயரிடவும்.

இந்த செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் ஒத்துப்போகின்றன: அனைத்து நேர்மறை உண்மையான எண்களும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

மூன்று செயல்பாடுகளும் அவற்றின் வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் குறைகின்றன, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கும் குறைவான மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான சக்திகளின் அடிப்படையுடன் அதிவேகமாக உள்ளன.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் என்ன சிறப்பு புள்ளி உள்ளது?

அதன் பின்னால் உள்ள பொருள் என்ன?

அதிவேகச் செயல்பாட்டின் அளவின் அடிப்படை எதுவாக இருந்தாலும், அடுக்கு 0 ஐக் கொண்டிருந்தால், இந்தச் சார்பின் மதிப்பு 1 ஆகும்.

நாங்கள் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

வரைபடங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எத்தனை குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">ஐ முயற்சிக்கும்போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக குறைகிறது

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> முயற்சி செய்யும் போது எந்த செயல்பாடு வேகமாக அதிகரிக்கிறது

இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் எந்த செயல்பாடுகளுக்கு அதிக மதிப்பு உள்ளது?

இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் எந்த செயல்பாடுகளுக்கு அதிக மதிப்பு உள்ளது?

அதிவேக செயல்பாடுகள் ஏன் உள்ளன வெவ்வேறு காரணங்களுக்காகஒரே ஒரு வெட்டுப்புள்ளி உள்ளதா?

அதிவேக செயல்பாடுகள் அவற்றின் வரையறையின் முழுப் பகுதியிலும் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் ஆகும், எனவே அவை ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமே வெட்ட முடியும்.

அடுத்த பணி இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்தும். எண். 000. கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் a) . ஒரு கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட பிரிவின் முனைகளில் அதன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மற்றும் செயல்பாடு அதிகரித்து இருந்தால், அதன் மிக உயர்ந்த மதிப்புபிரிவின் வலது முனையிலும், சிறிய பகுதியின் இடது முனையிலும் இருக்கும் (சுவரொட்டியில் உள்ள ஆர்ப்பாட்டம், அதிவேக செயல்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி). செயல்பாடு குறைந்துவிட்டால், அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பு பிரிவின் இடது முனையிலும், சிறியது பிரிவின் வலது முனையிலும் இருக்கும் (சுவரொட்டியில் உள்ள ஆர்ப்பாட்டம், அதிவேக செயல்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி). செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, ஏனெனில், செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" என்ற புள்ளியில் இருக்கும். > புள்ளிகள் b) , வி) ஈ) குறிப்பேடுகளை நீங்களே தீர்க்கவும், நாங்கள் அவற்றை வாய்வழியாக சரிபார்ப்போம்.

மாணவர்கள் தங்கள் குறிப்பேடுகளில் பணியைத் தீர்க்கிறார்கள்

செயல்பாடு குறைகிறது

செயல்பாடு குறைகிறது பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு

செயல்பாடு அதிகரிக்கும் ஒரு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு

- எண். 000. கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் a) . இந்த பணி முந்தையதைப் போலவே உள்ளது. ஆனால் இங்கே கொடுக்கப்பட்டிருப்பது ஒரு பிரிவு அல்ல, ஆனால் ஒரு கதிர். செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், மேலும் இது முழு எண் வரிசையில் மிகப்பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = 20 . புள்ளிகள் b) , வி) , ஜி) குறிப்பேடுகளை நீங்களே தீர்க்கவும், நாங்கள் அவற்றை வாய்வழியாக சரிபார்ப்போம்.

கவனம்:

வரையறை. செயல்பாடு இனங்கள் அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடு .

கருத்து. அடிப்படை மதிப்புகளிலிருந்து விலக்கு அஎண்கள் 0; 1 மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள் அபின்வரும் சூழ்நிலைகளால் விளக்கப்படுகிறது:

பகுப்பாய்வு வெளிப்பாடு தானே ஒரு xஇந்த சந்தர்ப்பங்களில், இது அதன் பொருளைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படலாம். உதாரணமாக, வெளிப்பாட்டிற்கு x ஒய்புள்ளி x = 1; ஒய் = 1 ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பிற்குள் உள்ளது.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும்: மற்றும்.

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்
y =அ x, a > 1	y =அ x , 0< a < 1

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்

அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்	y =அ x, a > 1	y =அ x , 0< a < 1
செயல்பாட்டு டொமைன்
2. செயல்பாட்டு வரம்பு
3. அலகுடன் ஒப்பிடுவதற்கான இடைவெளிகள்	மணிக்கு x> 0, ஏ x > 1	மணிக்கு x > 0, 0< a x < 1
	மணிக்கு x < 0, 0< a x < 1	மணிக்கு x < 0, a x > 1
4. கூட, ஒற்றைப்படை.	செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல (பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு).
5.ஏகத்துவம்.	மூலம் ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது ஆர்	மூலம் ஏகபோகமாக குறைகிறது ஆர்
6. தீவிரங்கள்.	அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை.
7.அறிகுறி	O-அச்சு xஒரு கிடைமட்ட அறிகுறியாகும்.
8. எந்த உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் xமற்றும் ஒய்;

அட்டவணை நிரப்பப்பட்டவுடன், நிரப்புதலுடன் இணையாக பணிகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

பணி எண். 1. (ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிய).

செயல்பாடுகளுக்கு என்ன வாத மதிப்புகள் செல்லுபடியாகும்:

பணி எண். 2. (ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறிய).

படம் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் மதிப்புகளின் வரம்பின் டொமைனைக் குறிப்பிடவும்:

பணி எண் 3. (ஒருவருடன் ஒப்பிடுவதற்கான இடைவெளிகளைக் குறிக்க).

பின்வரும் ஒவ்வொரு சக்தியையும் ஒன்றுடன் ஒப்பிடுக:

பணி எண் 4. (மோனோடோனிசிட்டிக்கான செயல்பாட்டைப் படிக்க).

உண்மையான எண்களை அளவின் அடிப்படையில் ஒப்பிடுக மீமற்றும் nஎன்றால்:

பணி எண் 5. (மோனோடோனிசிட்டிக்கான செயல்பாட்டைப் படிக்க).

அடிப்படையில் ஒரு முடிவை வரையவும் அ, என்றால்:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

x > 0, x = 0, x க்கு ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய அதிவேக சார்புகளின் வரைபடங்கள் எப்படி இருக்கும்< 0?

பின்வரும் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளன:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x க்கு ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய அதிவேக சார்புகளின் வரைபடங்கள் எப்படி இருக்கும்< 0?

எண் கணிதத்தில் மிக முக்கியமான மாறிலிகளில் ஒன்று. வரையறையின்படி, அது வரிசையின் வரம்புக்கு சமம் வரம்பற்றது அதிகரிக்கும் n . பதவிஇ நுழைந்தது லியோனார்ட் ஆய்லர் 1736 இல். அவர் இந்த எண்ணின் முதல் 23 இலக்கங்களை தசமக் குறியீடாகக் கணக்கிட்டார், மேலும் அந்த எண்ணே நேப்பியரின் நினைவாக "பியர் அல்லாத எண்" என்று பெயரிடப்பட்டது. பதவிஎண் கணிதப் பகுப்பாய்வில் சிறப்புப் பங்கு வகிக்கிறது. அதிவேக செயல்பாடு பதவி, அடித்தளத்துடன் அடுக்கு எனப்படும் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது. y = e x முதல் அறிகுறிகள் பதவிஎண்கள் நினைவில் கொள்வது எளிது:

இரண்டு, கமா, ஏழு, லியோ டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டு - இரண்டு முறை, நாற்பத்தைந்து, தொண்ணூறு, நாற்பத்தைந்து.

வீட்டுப்பாடம்:

கோல்மோகோரோவ் பத்தி 35; எண் 445-447; 451; 453.

மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் மாறியைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறையை மீண்டும் செய்யவும். பெரும்பாலான கணித சிக்கல்களை ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் தீர்ப்பது எண், இயற்கணிதம் அல்லது செயல்பாட்டு வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது. மேற்கூறியவை குறிப்பாக தீர்மானத்திற்கு பொருந்தும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பதிப்புகளில், இந்த வகை சிக்கலில், குறிப்பாக, பணி C3 அடங்கும். C3 பணிகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது நோக்கத்திற்காக மட்டுமல்லவெற்றிகரமாக முடித்தல்

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு, ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதப் பாடத்தைப் படிக்கும்போது இந்த திறன் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதற்காகவும். பணிகளை C3 முடிக்கும்போது, ​​நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும்பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். அவற்றில் பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல், தொகுதிகள் (முழுமையான மதிப்புகள்) மற்றும் ஒருங்கிணைந்தவை. இந்த கட்டுரை அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய வகைகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. பிற வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி "" பிரிவில் உள்ள C3 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரைகளில் படிக்கவும்.ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு விருப்பங்கள்

கணிதத்தில். நாம் குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு தொடங்கும் முன், ஒரு கணித ஆசிரியராக, எங்களுக்குத் தேவைப்படும் சில தத்துவார்த்த விஷயங்களைப் பற்றித் துலக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறேன்.

அதிவேக செயல்பாடு

அதிவேக செயல்பாடு என்றால் என்ன?

படிவத்தின் செயல்பாடு ஒய் = ஒரு x, எங்கே அ> 0 மற்றும் அ≠ 1 அழைக்கப்படுகிறது அதிவேக செயல்பாடு.

அடிப்படை அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள் ஒய் = ஒரு x:

ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம் அடுக்கு:

அதிவேக செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் (அடுக்குகள்)

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே காணப்படும் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

தீர்க்க அதிவேக சமன்பாடுகள்நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பின்வரும் எளிய தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும்:

தேற்றம் 1.அதிவேக சமன்பாடு அ f(x) = அ g(x) (எங்கே அ > 0, அ≠ 1) சமன்பாட்டிற்குச் சமம் f(x) = g(x).

கூடுதலாக, அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளை டிகிரிகளுடன் நினைவில் கொள்வது பயனுள்ளது:

தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் மற்றும் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பின்னர் சமன்பாடு மாறும்:

பெற்றவற்றின் பாகுபாடு இருபடி சமன்பாடுநேர்மறை:

தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது">!}

இதன் பொருள் இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:

தேற்றம் 1 இல் கூறப்பட்டதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் சமமான சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்: x= 3. இது பணிக்கான விடையாக இருக்கும்.

பதில்: x = 3.

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் தீவிர வெளிப்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருப்பதால், சமன்பாட்டிற்கு அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை. x(அதிவேக செயல்பாடு ஒய் = 9 4 -xநேர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை).

பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

கடைசி மாற்றம் தேற்றம் 1 இன் படி மேற்கொள்ளப்பட்டது.

பதில்:x= 6.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.2 ஆல் வகுக்க முடியும் x. எந்த மதிப்பிற்கும் இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால், இந்த மாற்றம் சமமானதாக இருக்கும் x(அதிவேக செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக உள்ளது). பின்னர் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும்:

பதில்: x = 0.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் மற்றும் பெருக்குதல் ஆகியவற்றின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை ஒரு தொடக்க நிலைக்கு எளிதாக்குகிறோம்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4 ஆல் வகுத்தல் x, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே, இந்த வெளிப்பாடு எந்த மதிப்புகளுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாததால், ஒரு சமமான மாற்றமாகும். x.

பதில்: x = 0.

உதாரணம் 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:செயல்பாடு ஒய் = 3x, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நின்று, அதிகரித்து வருகிறது. செயல்பாடு ஒய் = —xசமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் -2/3 குறைந்து வருகிறது. இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் வெட்டினால், அதிகபட்சம் ஒரு கட்டத்தில். IN இந்த வழக்கில்வரைபடங்கள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல x= -1. வேறு வேர்கள் இருக்காது.

பதில்: x = -1.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

தீர்வு:எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் அதிவேக செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும் என்பதை எல்லா இடங்களிலும் மனதில் வைத்து, சமமான மாற்றங்களின் மூலம் சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம். xகட்டுரையின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தயாரிப்பு மற்றும் அதிகாரங்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்துதல்:

பதில்: x = 2.

அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

குறிக்கும்அறியப்படாத மாறி சில சக்திகளின் அடுக்குகளில் மட்டுமே இருக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

தீர்க்க அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்பின்வரும் கோட்பாட்டின் அறிவு தேவை:

தேற்றம் 2.என்றால் அ> 1, பின்னர் சமத்துவமின்மை அ f(x) > அ g(x) அதே பொருளின் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(x) > g(x) 0 என்றால்< அ < 1, то показательное неравенство அ f(x) > அ g(x) எதிர் பொருள் கொண்ட சமத்துவமின்மைக்கு சமம்: f(x) < g(x).

எடுத்துக்காட்டு 7.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:அசல் சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் முன்வைப்போம்:

இந்த சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் 3 2 ஆல் வகுப்போம் x, இந்த விஷயத்தில் (செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக ஒய்= 3 2x) சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது:

மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்:

பின்னர் சமத்துவமின்மை வடிவம் எடுக்கும்:

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளி:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக, இடது சமத்துவமின்மை தானாகவே திருப்தி அடைகிறது. மடக்கையின் நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமமான சமத்துவமின்மைக்கு நாம் செல்கிறோம்:

பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்ணாக இருப்பதால், சமமான (தேற்றம் 2 மூலம்) பின்வரும் சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றமாகும்:

எனவே, நாங்கள் இறுதியாக பெறுகிறோம் பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 8.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

இந்த மாற்றீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறது:

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 7 ஆல் பெருக்கினால், பின்வரும் சமமான சமத்துவமின்மையை நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, மாறியின் பின்வரும் மதிப்புகள் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன டி:

பின்னர், தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​​​நாம் பெறுகிறோம்:

இங்கு பட்டத்தின் அடிப்பகுதி ஒன்று விட அதிகமாக இருப்பதால், சமத்துவமின்மைக்கான மாற்றம் சமமாக இருக்கும் (தேற்றம் 2 மூலம்):

இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம் பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 9.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:

சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் வெளிப்பாட்டின் மூலம் பிரிக்கிறோம்:

இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் (அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக), எனவே சமத்துவமின்மை குறியை மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

t இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது:

தலைகீழ் மாற்றீட்டிற்குச் செல்லும்போது, ​​அசல் சமத்துவமின்மை இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிவதைக் காண்கிறோம்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் நேர்மறை காரணமாக முதல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை. இரண்டாவது ஒன்றைத் தீர்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 10.சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு:

பரவளைய கிளைகள் ஒய் = 2x+2-x 2 கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, எனவே அது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பால் மேலே இருந்து வரம்பிடப்படுகிறது:

பரவளைய கிளைகள் ஒய் = x 2 -2xகுறிகாட்டியில் உள்ள +2 மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் உச்சியில் அடையும் மதிப்பின் கீழ் அது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

அதே நேரத்தில், செயல்பாடு கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டதாக மாறிவிடும் ஒய் = 3 x 2 -2x+2, இது சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ளது. இது அதிவேகத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் அதே புள்ளியில் அதன் மிகச்சிறிய மதிப்பை அடைகிறது, மேலும் இந்த மதிப்பு 3 1 = 3. எனவே, இடதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாடு மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் மட்டுமே அசல் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும். , 3 க்கு சமம் (இந்த செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்புகளின் குறுக்குவெட்டு இந்த எண் மட்டுமே). இந்த நிபந்தனை திருப்தி அளிக்கிறது ஒரே புள்ளி x = 1.

பதில்: x= 1.

முடிவு செய்ய கற்றுக் கொள்வதற்காக அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்,அவற்றைத் தீர்ப்பதில் தொடர்ந்து பயிற்சி பெறுவது அவசியம். இந்த கடினமான பணிக்கு பல்வேறு விஷயங்கள் உங்களுக்கு உதவும். வழிமுறை கையேடுகள், ஆரம்ப கணிதத்தில் சிக்கல் புத்தகங்கள், போட்டி சிக்கல்களின் தொகுப்புகள், பள்ளியில் கணித வகுப்புகள், அத்துடன் தனிப்பட்ட பாடங்கள்ஒரு தொழில்முறை ஆசிரியருடன். உங்கள் தயாரிப்பில் நீங்கள் வெற்றிபெறவும், தேர்வில் சிறந்த முடிவுகளைப் பெறவும் நான் மனதார வாழ்த்துகிறேன்.

செர்ஜி வலேரிவிச்

பி.எஸ் அன்பான விருந்தினர்களே! கருத்துகளில் உங்கள் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கோரிக்கைகளை எழுத வேண்டாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, இதற்கு எனக்கு நேரமில்லை. அத்தகைய செய்திகள் நீக்கப்படும். தயவுசெய்து கட்டுரையைப் படியுங்கள். உங்கள் பணியை நீங்களே தீர்க்க அனுமதிக்காத கேள்விகளுக்கான பதில்களை அதில் காணலாம்.