Matematica este un simbol al înțelepciunii științei,
un exemplu de rigoare științifică și simplitate,
standardul perfecțiunii și frumuseții în știință.
Filosof rus, profesorul A.V. Voloşinov
Inegalități de modul
Cele mai dificile probleme de rezolvat la matematica școlară sunt inegalitățile, conţinând variabile sub semnul modulului. Pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, este necesar să cunoașteți bine proprietățile modulului și să aveți abilitățile de a le folosi.
Concepte și proprietăți de bază
Modulul (valoarea absolută) al unui număr real notat și se definește după cum urmează:
Proprietățile simple ale modulului includ următoarele relații:
ȘI .
Notă, că ultimele două proprietăți sunt valabile pentru orice grad par.
De asemenea, dacă , unde , atunci și
Mai mult proprietăți complexe modul, care poate fi folosit eficient în rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor cu module, sunt formulate cu ajutorul următoarelor teoreme:
Teorema 1.Pentru orice funcții analiticeși inegalitatea.
Teorema 2. Egalitatea este echivalent cu inegalitatea.
Teorema 3. Egalitatea este echivalent cu inegalitatea.
Cele mai frecvente inegalități în matematica școlară, conţinând variabile necunoscute sub semnul modulo, sunt inegalități de formă si unde o constantă pozitivă.
Teorema 4. Inegalitate este echivalent cu o dublă inegalitate, și soluția inegalitățiise reduce la rezolvarea mulţimii inegalităţilorși .
Această teoremă este un caz particular al teoremelor 6 și 7.
Inegalități mai complexe, care conțin modulul sunt inegalități de formă, și .
Metodele de rezolvare a unor astfel de inegalități pot fi formulate folosind următoarele trei teoreme.
Teorema 5. Inegalitate este echivalentă cu combinarea a două sisteme de inegalități
ȘI (1)
Dovada. De atunci
Aceasta implică valabilitatea (1).
Teorema 6. Inegalitate este echivalent cu sistemul de inegalități
Dovada. Pentru că , apoi din inegalitate urmează că . În această condiție, inegalitateaiar în acest caz al doilea sistem de inegalități (1) se dovedește a fi inconsecvent.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 7. Inegalitate este echivalent cu combinația dintre o inegalitate și două sisteme de inegalități
ȘI (3)
Dovada. De la , atunci inegalitatea întotdeauna executat, dacă .
Lăsa , apoi inegalitateava echivala cu inegalitatea, din care rezultă mulţimea celor două inegalităţiși .
Teorema a fost demonstrată.
Luați în considerare exemple tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Inegalități, conţinând variabile sub semnul modulului.
Rezolvarea inegalităților cu modul
Cea mai simplă metodă de rezolvare a inegalităților cu modul este metoda, bazat pe extinderea modulelor. Această metodă este generică, totusi, in cazul general, aplicarea lui poate duce la calcule foarte greoaie. Prin urmare, elevii ar trebui să cunoască și alte metode și tehnici (mai eficiente) de rezolvare a unor astfel de inegalități. În special, trebuie să aibă abilități de a aplica teoreme, dat în acest articol.
Exemplul 1Rezolvați inegalitatea
. (4)
Soluţie.Inegalitatea (4) va fi rezolvată prin metoda „clasică” - metoda extinderii modulelor. În acest scop, spargem axa numerică puncte și intervale și luați în considerare trei cazuri.
1. Dacă , atunci , , , iar inegalitatea (4) ia forma sau .
Deoarece cazul este considerat aici, , este o soluție a inegalității (4).
2. Dacă , apoi din inegalitatea (4) obţinem sau . De la intersectia intervalelorși este gol, atunci nu există soluții la inegalitatea (4) pe intervalul considerat.
3. Dacă , atunci inegalitatea (4) ia forma sau . Este evident că este, de asemenea, o soluție la inegalitate (4).
Răspuns: , .
Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea.
Soluţie. Să presupunem că. Pentru că , atunci inegalitatea dată ia forma sau . Pentru că atunci și de aici urmează sau .
Cu toate acestea , prin urmare sau .
Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea
. (5)
Soluţie. Pentru că , atunci inegalitatea (5) este echivalentă cu inegalitățile sau . De aici, conform teoremei 4, avem un set de inegalitățiși .
Răspuns: , .
Exemplul 4Rezolvați inegalitatea
. (6)
Soluţie. Să notăm. Apoi din inegalitatea (6) obținem inegalitățile , , sau .
De aici, folosind metoda intervalului, primim . Pentru că , atunci aici avem un sistem de inegalități
Soluția primei inegalități a sistemului (7) este unirea a două intervaleși , iar soluția celei de-a doua inegalități este inegalitatea dublă. Asta implică , că soluția sistemului de inegalități (7) este unirea a două intervaleși .
Răspuns: ,
Exemplul 5Rezolvați inegalitatea
. (8)
Soluţie. Transformăm inegalitatea (8) după cum urmează:
Sau .
Aplicarea metodei intervalului, obținem o soluție a inegalității (8).
Răspuns: .
Notă. Dacă punem și în condiția teoremei 5, atunci obținem .
Exemplul 6 Rezolvați inegalitatea
. (9)
Soluţie. Din inegalitate (9) rezultă. Transformăm inegalitatea (9) după cum urmează:
Sau
De când , atunci sau .
Răspuns: .
Exemplul 7Rezolvați inegalitatea
. (10)
Soluţie. Din moment ce și , apoi sau .
În această conexiune iar inegalitatea (10) ia forma
Sau
. (11)
Din aceasta rezultă că sau . Deoarece , atunci inegalitatea (11) implică și sau .
Răspuns: .
Notă. Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a inegalității (10), apoi primim . De aici și din inegalitate (10) rezultă, că sau . Pentru că , atunci inegalitatea (10) ia forma sau .
Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea
. (12)
Soluţie. De atunci iar inegalitatea (12) implică sau . Cu toate acestea , prin urmare sau . De aici obținem sau .
Răspuns: .
Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea
. (13)
Soluţie. Conform teoremei 7, soluțiile inegalității (13) sunt sau .
Lasă acum. În acest caz iar inegalitatea (13) ia forma sau .
Dacă combinăm intervaleleși , atunci obținem o soluție la inegalitatea (13) de forma.
Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea
. (14)
Soluţie. Să rescriem inegalitatea (14) într-o formă echivalentă: . Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a acestei inegalități, atunci obținem inegalitatea .
De aici și din Teorema 1 rezultă, că inegalitatea (14) este satisfăcută pentru orice valoare.
Răspuns: orice număr.
Exemplul 11. Rezolvați inegalitatea
. (15)
Soluţie. Aplicarea teoremei 1 în partea stângă a inegalității (15), primim . De aici și din inegalitate (15) urmează ecuația, care arata ca.
Conform teoremei 3, ecuația este echivalent cu inegalitatea. De aici ajungem.
Exemplul 12.Rezolvați inegalitatea
. (16)
Soluţie. Din inegalitatea (16), conform teoremei 4, obținem sistemul de inegalități
La rezolvarea inegalitățiifolosim teorema 6 și obținem sistemul de inegalitățidin care decurge.
Luați în considerare inegalitatea. Conform teoremei 7, obţinem un set de inegalităţiși . A doua inegalitate a populației este valabilă pentru orice real.
Prin urmare , soluția inegalității (16) sunt.
Exemplul 13Rezolvați inegalitatea
. (17)
Soluţie. Conform teoremei 1, putem scrie
(18)
Luând în considerare inegalitatea (17), concluzionăm că ambele inegalități (18) se transformă în egalități, i.e. există un sistem de ecuații
Prin teorema 3, acest sistem de ecuații este echivalent cu sistemul de inegalități
sau
Exemplul 14Rezolvați inegalitatea
. (19)
Soluţie. De atunci . Să înmulțim ambele părți ale inegalității (19) cu expresia , care pentru orice valoare ia doar valori pozitive. Apoi obținem o inegalitate care este echivalentă cu inegalitatea (19), de forma
De aici ajungem sau , unde . Din moment ce şi atunci soluțiile inegalității (19) suntși .
Răspuns: , .
Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a inegalităților cu un modul, este recomandabil să consultați tutoriale, enumerate în lista de citiri recomandate.
1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode de rezolvare și demonstrare a inegalităților. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 p.
3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.
Aveti vreo intrebare?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Cum mai multi oameniînțelege, cu atât dorința de a înțelege este mai puternică
Toma d'Aquino
Metoda intervalului vă permite să rezolvați orice ecuație care conține modulul. Esența acestei metode este împărțirea axei numerice în mai multe secțiuni (intervale) și este necesară împărțirea axei cu zerourile expresiilor din module. Apoi, pe fiecare dintre secțiunile rezultate, orice expresie de submodul este fie pozitivă, fie negativă. Prin urmare, fiecare dintre module poate fi extins fie cu semnul minus, fie cu semnul plus. După aceste acțiuni, rămâne doar să rezolvi fiecare dintre cele obținute ecuații simple pe intervalul considerat și combinați răspunsurile primite.
Să luăm în considerare această metodă pe un exemplu specific.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.
1) Aflați zerourile expresiilor din module. Pentru a face acest lucru, le echivalăm cu zero și rezolvăm ecuațiile rezultate.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Aranjați punctele rezultate în ordinea dorită pe linia de coordonate. Ele vor sparge întreaga axă în patru secțiuni.
3) Să determinăm pe fiecare dintre secțiunile rezultate semnele expresiilor din module. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ele orice numere din intervalele care ne interesează. Dacă rezultatul calculului este un număr pozitiv, atunci punem „+” în tabel, iar dacă numărul este negativ, atunci punem „-”. Aceasta poate fi ilustrată astfel: 
4) Acum vom rezolva ecuația pe fiecare dintre cele patru intervale, deschizând modulele cu semnele care sunt în tabel. Deci, luați în considerare primul interval:
Intervalul I (-∞; -3). Pe el, toate modulele sunt deschise cu semnul „-”. Obținem următoarea ecuație:
-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Prezentăm termeni similari, după ce am deschis anterior parantezele din ecuația rezultată:
X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6
Răspunsul primit nu este inclus în intervalul considerat, deci nu este necesar să îl scrieți în răspunsul final.
II interval [-3; -unu). La acest interval în tabel există semnele „-”, „-”, „+”. Iată cum dezvăluim modulele ecuației originale:
-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Simplificați prin extinderea parantezelor:
X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Prezentăm în ecuația rezultată următoarele:
x = 6/5. Numărul rezultat nu aparține intervalului luat în considerare, deci nu este rădăcina ecuației inițiale.
III interval [-1; 2). Deschidem modulele ecuației originale cu semnele care sunt în figura din a treia coloană. Primim:
(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Scăpați de paranteze, mutați termenii care conțin variabila x în partea stângă a ecuației și care nu conțin x la dreapta . Vom avea:
x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6
Numărul 2 nu este inclus în intervalul considerat.
intervalul IV) - automat vor considera acest răspuns incorect. De asemenea, la testare, dacă se specifică o inegalitate non-strictă cu module, atunci printre soluții, căutați zone cu paranteze pătrate.
Pe intervalul (-3; 0), extinzând modulul, schimbăm semnul funcției la opus 
Ținând cont de amploarea dezvăluirii inegalității, soluția va avea forma
Împreună cu zona anterioară, aceasta va da două jumătăți de intervale
Exemplul 5. Găsiți o soluție a inegalității
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Soluţie:
Este dată o inegalitate nestrictă, a cărei funcție de submodul este egală cu zero în punctul x=3. La valori mai mici este negativ, la valori mai mari este pozitiv. Extindem modulul pe intervalul x<3.
Găsirea discriminantului ecuației
și rădăcini 
Înlocuind punctul zero, aflăm că pe intervalul [-1/9; 1] funcția pătratică este negativă, deci intervalul este o soluție. Apoi, deschideți modulul pentru x>3 
MOU „Hvastovichskaya școală gimnazială»
„Metoda intervalelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților cu mai multe module”
Lucrări de cercetare în matematică
Efectuat:
elev din clasa 10 „b”.
Golysheva Evgenia
supraveghetor:
profesor de matematică
Shapenskaya E.N.
Introducere……………………………………………………………………………… … … ….3 Capitolul 1. Metode de rezolvare a problemelor cu mai multe module…………… …… …............4 1.1 Definirea modulului. Rezolvarea prin definiție………………………………………………………………………………4 1.2 Rezolvarea ecuațiilor cu mai multe module folosind metoda intervalelor…… …………5 1.3 . Sarcini cu mai multe module. Metode de rezolvare………………………………..7 1.4. Metoda intervalelor în probleme cu module……………………………………………………..9 Capitolul 2. Ecuații și inegalități care conțin module……………………………………… .…. 11 2.1 Rezolvarea ecuațiilor cu module multiple utilizând metoda intervalului..….11 2.2 Rezolvarea inegalităților cu module multiple utilizând metoda intervalului……13 Concluzie…………………………………………… ………… ……………...15 Literatură………………………………………………………………….……….…. 16
Introducere
Conceptul de valoare absolută este una dintre cele mai importante caracteristici ale unui număr, atât în domeniul realului, cât și în domeniul numere complexe. Acest concept este utilizat pe scară largă nu numai în diferitele secțiuni ale cursului de matematică școlară, ci și în cursurile de matematică superioară, fizică și științe tehnice studiate la universități. Probleme legate de valorile absolute se întâlnesc adesea la olimpiadele matematice, examen de admitereîn universităţi şi la examen.
Subiect:„Metoda intervalului pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu module multiple prin metoda intervalului”.
Domeniul obiectiv: matematica.
Obiectul de studiu: rezolvarea ecuatiilor si inegalitatilor cu modulul.
Subiect de studiu: metoda intervalului pentru soluția cu mai multe module.
Scopul studiului: dezvăluie eficiența rezolvării ecuațiilor și inegalităților cu mai multe module prin metoda intervalului.
Ipoteză: dacă utilizați metoda intervalului pentru a rezolva inegalități și ecuații cu mai multe module, vă puteți facilita foarte mult munca.
Metode de lucru: colectarea de informații și analiza acestora.
Sarcini:
Studiați literatura pe această temă.
Luați în considerare soluții de inegalități și ecuații cu mai multe module.
Dezvăluie cel mai mult metoda eficienta solutii.
Orientarea practică a proiectului:
Acest lucru poate fi folosit ca ghid de studiu pentru elevi și manual metodologic pentru profesor.
Capitolul 1.
1.1 Definirea modulului. Soluție prin definiție.
Prin definiție, modulul sau valoarea absolută a unui număr nenegativ a este același cu numărul însuși, iar modulul unui număr negativ este număr opus, adică - a:
Modulul unui număr este întotdeauna nenegativ. Luați în considerare exemple.
Exemplul 1 Rezolvați ecuația |–x| = -3.
Aici, nu este nevoie să analizăm cazuri, deoarece valoarea absolută a numărului este întotdeauna nenegativă, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluții.
Să scriem soluția acestor cele mai simple ecuații în vedere generala:
Exemplul 2 Rezolvați ecuația |x| = 2 – x.
Soluţie. Pentru x 0 avem ecuația x = 2 – x, adică. x = 1. Deoarece 1 0, x = 1 este rădăcina ecuației inițiale. În al doilea caz (x
Răspuns: x = 1.
Exemplul 3 Rezolvați ecuația 3|x – 3| + x = -1.
Soluţie. Aici împărțirea în cazuri este determinată de semnul expresiei x – 3. Pentru x – 3 ³ 0 avem 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Dar 2 – 3 0.
Răspuns: Ecuația nu are rădăcini.
Exemplul 4 Rezolvați ecuația |x – 1| = 1 – x.
Soluţie. Deoarece 1 - x \u003d - (x - 1), rezultă direct din definiția modulului că acele și numai acele x pentru care x - 1 0 satisfac ecuația. Această ecuație a fost redusă la o inegalitate, iar răspunsul este un întreg interval (rază).
Raspuns: x 1.
1.2. Rezolvarea ecuațiilor cu un modul folosind sisteme.
Exemplele analizate mai devreme ne permit să formulăm regulile de exceptare de la semnul modulului în ecuații. Pentru ecuațiile de forma |f(x)| = g(x) există două astfel de reguli:
Prima regulă: |f(x)| = g(x) w (1)
Regula a 2-a: |f(x)| = g(x) Û (2)
Să explicăm notația folosită aici. Parantezele denotă sisteme, iar parantezele pătrate denotă colecții.
Soluțiile unui sistem de ecuații sunt valorile unei variabile care satisfac simultan toate ecuațiile sistemului.
Soluțiile setului de ecuații sunt toate valorile variabilei, fiecare dintre acestea fiind rădăcina a cel puțin uneia dintre ecuațiile mulțimii.
Două ecuații sunt echivalente dacă orice soluție a fiecăreia dintre ele este și o soluție a celeilalte, cu alte cuvinte, dacă mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași.
Dacă ecuația conține mai multe module, atunci puteți scăpa de ele pe rând, folosind regulile de mai sus. Dar, de obicei, există comenzi rapide. Ne vom familiariza cu ele mai târziu, dar acum vom lua în considerare soluția celei mai simple dintre aceste ecuații:
|f(x)| = |g(x)| Û
Această echivalență rezultă din fapt fapt evident că dacă modulele a două numere sunt egale, atunci numerele în sine sunt fie egale, fie opuse.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Soluţie. Să scăpăm de modul în două moduri descrise mai sus:
1 cale: 2 sensuri:
După cum puteți vedea, în ambele cazuri este necesar să se rezolve aceleași două ecuații pătratice, dar în primul caz sunt însoțite de inegalități pătratice, iar în al doilea - liniare. Prin urmare, a doua metodă pentru această ecuație este mai simplă. Rezolvând ecuații patratice, găsim rădăcinile primei , ambele rădăcini satisfac inegalitatea . Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ, prin urmare, ecuația nu are rădăcini.
Răspuns: .
Exemplul 2. Rezolvați ecuația |x 2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.
Soluţie. Știm deja că nu este necesar să luăm în considerare (până la 4) variante ale distribuției semnelor expresiilor sub module: această ecuație este echivalentă cu combinarea a două ecuații pătratice fără inegalități suplimentare: Ceea ce este echivalent cu: Prima ecuație nu are un set de soluții (discriminantul său este negativ), a doua ecuație are două rădăcini.
1.3. Sarcini cu mai multe module. Metode de rezolvare.
Extinderea secvenţială a modulelor.
Există două abordări principale pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin mai multe module. Le puteți numi „serial” și „paralel”. Acum să facem cunoștință cu primul dintre ei.
Ideea lui este că primul dintre module este izolat într-o parte a ecuației (sau inegalității) și dezvăluit printr-una dintre metodele descrise mai devreme. Apoi se repetă același lucru cu fiecare dintre ecuațiile rezultate cu module și așa mai departe până când scăpăm de toate modulele.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația: +
Soluţie. Izolăm al doilea modul și îl deschidem folosind prima metodă, adică pur și simplu determinând valoarea absolută:
Aplicam a doua metoda de eliberare din modul celor doua ecuatii obtinute:
În cele din urmă, rezolvăm cele patru rezultate ecuatii lineareși selectați acele rădăcini care satisfac inegalitățile corespunzătoare. Ca urmare, rămân doar două valori: x = –1 și .
Raspunsul 1; .
Extinderea paralelă a modulelor.
Puteți elimina toate modulele simultan dintr-o ecuație sau inegalitate și puteți scrie toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulului. Dacă există n module în ecuație, atunci vor exista 2 n opțiuni, deoarece fiecare dintre cele n expresii de sub modul, la eliminarea modulului, poate primi unul dintre cele două semne - plus sau minus. Practic, trebuie să rezolvăm toate cele 2 n ecuații (sau inegalități) eliberate de module. Dar soluțiile lor vor fi și soluții ale problemei inițiale numai dacă se află în zone în care ecuația corespunzătoare (inegalitatea) coincide cu cea inițială. Aceste zone sunt definite prin semne de expresie sub module. Am rezolvat deja următoarea inegalitate, astfel încât să puteți compara diferite abordări ale soluției.
Exemplul 2.+
Soluţie.
Să luăm în considerare 4 posibile seturi de caractere de expresii sub module.
Doar prima și a treia dintre aceste rădăcini satisfac inegalitățile corespunzătoare și, prin urmare, ecuația originală.
Raspunsul 1; .
În mod similar, puteți rezolva orice problemă cu mai multe module. Dar, ca orice metodă universală, această metodă de soluție este departe de a fi întotdeauna optimă. Mai jos vom vedea cum poate fi îmbunătățit.
1.4. Metoda intervalelor în probleme cu module
Privind mai atent condițiile diferite variante distribuția semnelor expresiilor submodulelor în soluția anterioară, vom vedea că una dintre ele, 1 - 3x
Imaginează-ți că rezolvăm o ecuație care are trei module de expresii liniare; de exemplu |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.
Primul modul este x - a pentru x ³ a și a - x pentru x b și x
Ele formează patru goluri. Pe fiecare dintre ele, fiecare dintre expresiile de sub module își păstrează semnul, prin urmare, ecuația în ansamblu, după extinderea modulelor, are aceeași formă pe fiecare interval. Deci, din 8 variante teoretic posibile pentru deschiderea modulelor, doar 4 s-au dovedit a fi suficiente pentru noi!
De asemenea, puteți rezolva orice problemă cu mai multe module. Și anume, axa numerică este împărțită în intervale de semn constant ale tuturor expresiilor de sub module, iar apoi pe fiecare dintre ele se rezolvă ecuația sau inegalitatea, în care problema dată se transformă pe acest interval. În special, dacă toate expresiile din module sunt raționale, atunci este suficient să le marchezi rădăcinile pe axă, precum și punctele în care nu sunt definite, adică rădăcinile numitorilor lor. Marcați puncte și setați intervalele necesare de constanță a semnului. În același mod, acționăm atunci când rezolvăm inegalitățile raționale prin metoda intervalelor. Și metoda pe care am descris-o pentru rezolvarea problemelor cu module are același nume.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Soluţie. Aflați zerourile funcției , de unde . Rezolvăm problema pe fiecare interval:
Deci această ecuație nu are soluții.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația.
Soluţie. Aflați zerourile funcției. Rezolvăm problema pe fiecare interval:
1) (fără soluții);
Exemplul 3. Rezolvați ecuația.
Soluţie. Expresiile de sub semnul valorii absolute dispar la . Prin urmare, trebuie să luăm în considerare trei cazuri:
2) - rădăcina ecuației;
3) este rădăcina acestei ecuații.
Capitolul 2. Ecuații și inegalități care conțin module.
2.1 Rezolvari de ecuatii cu mai multe module folosind metoda intervalelor.
Exemplul 1
Rezolvați ecuația:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) + x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 - nu satisface
starea x
fara solutii
2. Dacă -2≤x
x+2 = -(x-1)+x-3
satisface
starea -2
3. Dacă x≥1, atunci
Răspuns: x=6
Exemplul 2
Rezolvați ecuația:
1) Găsiți zerourile expresiilor submodulelor
Zerourile expresiilor submodulelor despart axa numerică în mai multe intervale. Aranjați semnele expresiilor submodulelor pe aceste intervale.
La fiecare interval, deschidem modulele și rezolvăm ecuația rezultată. După ce găsim rădăcina, verificăm dacă aparține intervalului în care ne aflăm acest moment noi lucram.
1. :
- se potrivește.
2. :
- nu se potriveste.
3. :
– se potrivește.
4. :
- nu se potriveste. Răspuns:
2.2 Rezolvarea inegalităților cu module multiple folosind metoda intervalului.
Exemplul 1
Rezolvați inegalitatea:
|x-1| + |x-3| patru
-(x-1) - (x-3) 4
2. Dacă 1≤x
x-1– (x-3) 4
24 este greșit
fara solutii
3. Dacă x≥3, atunci
Răspuns: xЄ (-∞; 0) U (4; + ∞)
Exemplul 2
Să rezolvăm inegalitatea
Soluţie. Punctele și (rădăcinile expresiilor de sub modul) împart întreaga axă numerică în trei intervale, pe fiecare dintre acestea modulele ar trebui extinse.
1) Când este satisfăcut, iar inegalitatea are forma , adică . În acest caz, răspunsul este.
2) Când , inegalitatea are forma , adică . Această inegalitate este adevărată pentru orice valoare a variabilei și, având în vedere că o rezolvăm pe mulțime, obținem răspunsul în al doilea caz.
3) Când , inegalitatea este transformată în , iar soluția în acest caz este . Soluția generală a inegalității --- o asociere trei răspunsuri primite.
Astfel, pentru a rezolva ecuații și inegalități care conțin mai multe module, este convenabil să folosiți metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți zerourile jaloanelor funcțiilor submodulului, notați-le prin ecuații odzși inegalități.
Concluzie
LA timpuri recenteîn matematică, metodele sunt utilizate pe scară largă pentru a simplifica rezolvarea problemelor, în special metoda intervalului, care face posibilă accelerarea semnificativă a calculelor. Prin urmare, studiul metodei intervalului pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu mai multe module este relevant.
În procesul de lucru a temei „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin necunoscutul sub semnul modulului prin metoda intervalului”, am: am studiat literatura pe această temă, m-am familiarizat cu abordarea algebrică și grafică a rezolvării ecuațiilor și inegalităților care conțin necunoscut sub semnul modulului și a ajuns la concluzia:
În unele cazuri, atunci când se rezolvă ecuații cu un modul, este posibil să se rezolve ecuații conform regulilor și, uneori, este mai convenabil să se folosească metoda intervalului.
La rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin un modul, metoda intervalului este mai vizuală și relativ mai simplă.
În cursul scrierii muncă de cercetare Am dezvăluit multe probleme care pot fi rezolvate folosind metoda intervalului. Cea mai importantă sarcină este de a rezolva ecuații și inegalități cu mai multe module.
În timpul lucrării mele de rezolvare a inegalităților și ecuațiilor cu mai multe module folosind metoda intervalului, am constatat că viteza de rezolvare a problemelor s-a dublat. Acest lucru vă permite să accelerați semnificativ fluxul de lucru și să reduceți costurile de timp. Astfel, ipoteza mea „dacă folosiți metoda intervalului pentru a rezolva inegalități și ecuații cu mai multe module, vă puteți facilita foarte mult munca” a fost confirmată. În procesul de lucru la studiu, am câștigat experiență în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu mai multe module. Cred că cunoştinţele pe care le-am dobândit îmi vor permite să evit greşelile atunci când rezolv.
Literatură
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu I.I. M.: Editura Factorial, 2009.- 112 p.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandardizate. M.: Editura Factorial, 1997. - 219p.
Sevriukov P.F., Smolyakov A.N. Ecuații și inegalități cu module și metode pentru rezolvarea acestora. M.: Editura Iluminismului 2005. - 112 p.
Sadovnichiy Yu.V. UTILIZARE. Practicul de matematică. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. Transformarea expresiilor algebrice. Moscova: Editura Legiune 2015 - 128 p.
Shevkin A.V. Inegalități cuadratice. metoda intervalului. M.: SRL " cuvânt rusesc– carte educațională”, 2003. – 32 p.
http://padabum.com