Operațiile algebrice asupra evenimentelor definesc regulile pentru acțiunile cu evenimente și permit cuiva să exprime un eveniment în termenii altuia. Operațiile asupra evenimentelor sunt aplicabile numai evenimentelor care reprezintă submulțimi ale aceluiași spațiu de evenimente elementare.
Acțiunile evenimentului pot fi vizualizate folosind diagramele Venn. În diagrame, evenimentele corespund diferitelor zone ale planului, care desemnează condiționat subseturi de evenimente elementare care alcătuiesc evenimentele. Deci, în diagramele din Fig. 1.1, spațiul evenimentelor elementare corespunde punctelor interne ale pătratului, evenimentului A _ punctelor interne ale cercului, evenimentului B _ punctelor interne ale triunghiului. Faptul că evenimentele A și B sunt submulțimi ale spațiului evenimentelor elementare (A, B) este prezentat în diagramele din Fig. 1.1a, b.
Suma (uniunea) evenimentelor A și B este evenimentul C=A+B (sau C=AB), care constă în faptul că se va produce cel puțin unul dintre evenimentele A sau B. Evenimentul C este format din toate elementele elementare evenimente aparținând cel puțin unuia dintre evenimentele A sau B, sau ambele evenimente. În diagramă (Fig. 1.2.), evenimentul C corespunde zonei umbrite C, reprezentând uniunea ariilor A și B. În mod similar, suma mai multor evenimente A 1, A 2, ..., A n este evenimentul C, care constă în faptul că cel puțin unul dintre evenimente va avea loc Și i , i=:
Suma evenimentelor unește toate evenimentele elementare care alcătuiesc А i , i=. Dacă evenimentele E 1 , E 2 ,…, E n formează un grup complet, atunci suma lor este egală cu un eveniment de încredere:
Suma evenimentelor elementare este egală cu un eveniment de încredere
Produsul (intersecția) evenimentelor A și B este evenimentul C=AB (sau C=AB), care constă în apariția în comun a evenimentelor A și B. Evenimentul C este format din acele evenimente elementare care aparțin atât lui A cât și lui B. Figura 1.3.a evenimentul C este reprezentat de intersecția zonelor A și B. Dacă A și B sunt evenimente incompatibile, atunci produsul lor este un eveniment imposibil, adică AB = (Fig. 1.3.b).
Produsul evenimentelor A 1 , A 2 , ..., A n este un eveniment C, constând în executarea simultană a tuturor evenimentelor A i , i=:
Produse ale evenimentelor incompatibile în perechi А 1 , А 2 ,…, А n - evenimente imposibile: А i А j =, pentru orice ij. Produsele evenimentelor care alcătuiesc un grup complet sunt evenimente imposibile: Е i Е j =, ij, produse ale evenimentelor elementare sunt de asemenea evenimente imposibile: ij =, ij.
Diferența dintre evenimentele A și B este evenimentul C=A_B (C=AB), care constă în faptul că are loc evenimentul A și nu are loc evenimentul B. Evenimentul C este format din acele evenimente elementare care aparțin lui A și nu aparțin. la B. Diagrama diferenței de evenimente prezentată în fig. 1.4. Diagrama arată că C=A_B=
Evenimentul opus pentru evenimentul A (sau complementul acestuia) este un eveniment care constă în faptul că evenimentul A nu a avut loc. Evenimentul opus completează evenimentul A la un grup complet și constă din acele evenimente elementare care aparțin spațiului și nu aparțin evenimentului A (Fig. 1.5). Astfel, este diferența dintre un anumit eveniment și evenimentul A: =_A.
Proprietăți ale operațiunilor pe evenimente.
Proprietăți de deplasare: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Proprietăți asociative: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Proprietatea de distribuție: A(B+C)=AB+AC.
Din definițiile operațiilor asupra evenimentelor urmează proprietățile
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A·=A; A =
Din definirea evenimentului opus rezultă că
A+=; A=; =A; =; =; ;
Din diagrama din Fig. 1.4, proprietățile diferenței evenimentelor comune sunt evidente:
Dacă A și B sunt evenimente reciproce, atunci
Proprietățile evenimentelor comune sunt, de asemenea, evidente.
Evenimentele opuse au proprietăți care sunt uneori numite regula lui de Morgan sau principiul dualității: operațiile de unire și intersecție sunt inversate atunci când trec la evenimente opuse.
Dovada principiului dualității poate fi obținută grafic folosind diagramele Venn sau analitic prin aplicarea proprietăților 1-6
De remarcat că acțiunile similare acțiunilor „reducerea termenilor similari” și exponențiarea în algebra numerelor nu sunt permise în timpul operațiunilor cu evenimente.
De exemplu, pentru operațiunile cu evenimente, acțiunile corecte sunt:
Aplicarea eronată a acțiunilor prin analogie cu cele algebrice: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A duce la un rezultat incorect (verificați cu diagramele Venn!).
Exemplul 1.11. Demonstrați identitățile
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
b) AC_B=AC_BC
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Exemplul 1.12. Premiul este extras între cei doi finaliști ai programului spectacolului. Tragerea la sorți se face pe rând până la prima încercare reușită, numărul de încercări pentru fiecare participant fiind limitat la trei. Primul finalist începe primul. Sunt luate în considerare următoarele evenimente: A=(premiul a fost câștigat de primul finalist); B = (premiul a fost câștigat de al doilea finalist). 1) Suplimentați aceste evenimente la un grup complet și compuneți un eveniment de încredere pentru acesta. 2) Compune un grup complet de evenimente elementare. 3) Exprimați evenimentele primei grupe complete în termeni de cele elementare. 4) Compuneți alte grupuri complete de evenimente și înregistrați evenimente de încredere prin intermediul acestora.
1) Evenimentele A și B sunt non-comunite, până la grupa completă sunt completate de un eveniment non-comun C=(nimeni nu a câștigat premiul). Un anumit eveniment = (fie primul finalist, fie al doilea, fie nimeni nu câștigă premiul) este egal cu: = A + B + C.
2) Să introducem evenimente care descriu rezultatul fiecărei încercări pentru fiecare jucător și nu depind de condițiile competiției: А i =(primul finalist a finalizat cu succes a i-a încercare), В i =(al doilea finalist a finalizat cu succes a-a încercare), . Aceste evenimente nu țin cont de condițiile concursului, prin urmare nu sunt elementare în raport cu faptul câștigării unui premiu. Dar prin aceste evenimente, folosind operațiuni pe evenimente, puteți compune un grup complet de evenimente elementare care țin cont de condițiile de câștig la prima încercare reușită: 1 = (primul finalist a câștigat premiul la prima încercare), 2 = (al doilea finalist a câștigat premiul la prima încercare), 3 =(primul finalist a câștigat premiul la a doua încercare), 4 =(al doilea finalist a câștigat premiul la a doua încercare), 5 =(primul finalist a câștigat premiul la a treia încercare), 6 =(al doilea finalist a câștigat premiul la a treia încercare), 7 =( ambii finaliști nu au reușit să câștige premiul în trei încercări). Conform condițiilor concursului
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Grup complet de evenimente elementare: =( 1 ,…, 7 )
3) Evenimentele A și B sunt exprimate prin evenimente elementare folosind operații de însumare, C coincide cu un eveniment elementar:
4) Grupurile complete de evenimente constituie, de asemenea, evenimente
Evenimentele relevante sunt:
=(primul finalist fie va câștiga premiul, fie nu)=;
=(Al doilea finalist va câștiga sau nu premiul)=;
=(premiu sau nu câștig, sau câștig)=.
Tipuri de evenimente aleatorii
Evenimentele sunt numite incompatibil dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.
Exemplul 1.10. O parte este luată la întâmplare dintr-o cutie de piese. Aspectul unei piese standard exclude aspectul unei piese nestandard. Evenimente (a apărut o parte standard) și (a apărut o parte non-standard)- incompatibil .
Exemplul 1.11. Se aruncă o monedă. Apariția unei „steme” exclude apariția unui număr. Evenimente (a apărut o stemă) și (a apărut un număr) - incompatibil .
Se formează mai multe evenimente grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele apare în urma testului. Cu alte cuvinte, apariția a cel puțin unuia dintre evenimentele grupului complet este de încredere eveniment. În special, dacă evenimentele care formează un grup complet sunt incompatibile perechi, atunci unul și numai unul dintre aceste evenimente va apărea ca rezultat al testului. Acest caz particular este de cel mai mare interes pentru noi, deoarece va fi folosit mai jos.
Exemplul 1.12. A cumpărat două bilete la loteria de bani și îmbrăcăminte. Unul și doar unul dintre următoarele evenimente va avea loc în mod necesar: (caștigurile au căzut pe primul bilet și nu au căzut pe al doilea), (câștigurile nu au căzut pe primul bilet și au scăzut pe al doilea), (câștigurile au scăzut pe primul bilet). pe ambele bilete), (câștigurile nu au câștigat la ambele bilete). a căzut). Aceste evenimente se formează grup complet evenimente incompatibile pe perechi.
Exemplul 1.13. Trăgătorul a tras în țintă. Unul dintre următoarele două evenimente va avea loc cu siguranță: o lovitură sau o ratare. Aceste două evenimente incompatibile se formează grup complet .
Evenimentele sunt numite la fel de posibil dacă există motive să credem că niciunul dintre ei nu este mai posibil decât celălalt.
3. Operatii pe evenimente: suma (unirea), produsul (intersectia) si diferenta de evenimente; diagrame viene.
Operațiuni pe evenimente
Evenimentele sunt notate cu litere mari de la începutul alfabetului latin A, B, C, D, ..., furnizându-le indici dacă este necesar. Faptul că rezultatul elementar X cuprinse în evenimentul A, notează .
Pentru înțelegere, este convenabil să folosiți o interpretare geometrică cu ajutorul diagramelor Viena: să reprezentăm spațiul evenimentelor elementare Ω ca un pătrat, fiecărui punct din care corespunde un eveniment elementar. Evenimente aleatoare A și B, constând dintr-un set de evenimente elementare x iși la j, respectiv, sunt reprezentate geometric ca niște figuri aflate în pătratul Ω (Fig. 1-a, 1-b).
Fie experimentul să constea în faptul că în interiorul pătratului prezentat în figura 1-a, un punct este ales la întâmplare. Să notăm cu A evenimentul constând în faptul că (punctul selectat se află în interiorul cercului din stânga) (Fig. 1-a), prin B - evenimentul constând în faptul că (punctul selectat se află în interiorul cercului din dreapta) (Fig. 1-b).
Un eveniment de încredere este favorizat de orice , prin urmare un eveniment de încredere va fi notat cu același simbol Ω.
Două evenimentele sunt identice unul față de celălalt (A=B) dacă și numai dacă aceste evenimente constau din aceleași evenimente elementare (puncte).
Suma (sau unirea) a două evenimente A și B se numesc un eveniment A + B (sau ), care are loc dacă și numai dacă are loc A sau B. Suma evenimentelor A și B corespunde uniunii mulțimilor A și B (Fig. 1-e).
Exemplul 1.15. Evenimentul constând în pierderea unui număr par este suma evenimentelor: 2 au căzut, 4 au căzut, 6 au căzut. Adică (x \u003d chiar }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
Produsul (sau intersecția) a două evenimente A și B se numesc un eveniment AB (sau ), care are loc dacă și numai dacă apar atât A cât și B. Produsul evenimentelor A și B corespunde intersecției mulțimilor A și B (Fig. 1-e).
Exemplul 1.16. Evenimentul constând din rularea 5 este intersecția evenimentelor: număr impar aruncat și mai mult de 3 aruncat, adică A(x=5)=B(x-impar)∙C(x>3).
Să notăm relațiile evidente:
Evenimentul este numit opus la A dacă apare dacă și numai dacă A nu apare. Din punct de vedere geometric, acesta este un set de puncte ale unui pătrat care nu este inclus în submulțimea A (Fig. 1-c). Un eveniment este definit în mod similar (Fig. 1-d).
Exemplul 1.14.. Evenimentele constând în pierderea unui număr par și a unui număr impar sunt evenimente opuse.
Să notăm relațiile evidente:
Cele două evenimente sunt numite incompatibil dacă apariţia lor simultană în experiment este imposibilă. Prin urmare, dacă A și B sunt incompatibile, atunci produsul lor este un eveniment imposibil:
Evenimentele elementare introduse mai devreme sunt în mod evident incompatibile perechi, adică
Exemplul 1.17. Evenimentele constând în pierderea unui număr par și a unui număr impar sunt evenimente incompatibile.
Evenimente Anumite și Imposibile
credibil Un eveniment se numește eveniment care va avea loc cu siguranță dacă este îndeplinit un anumit set de condiții.
Imposibil Un eveniment se numește un eveniment care cu siguranță nu va avea loc dacă este îndeplinit un anumit set de condiții.
Un eveniment care coincide cu setul gol este numit imposibil eveniment și se numește un eveniment care coincide cu întregul set autentic eveniment.
Evenimentele sunt numite la fel de posibil dacă nu există niciun motiv să credem că un eveniment este mai probabil decât altele.
Teoria probabilității este o știință care studiază tiparele evenimentelor aleatorii. Una dintre principalele probleme în teoria probabilității este problema determinării unei măsuri cantitative a posibilității ca un eveniment să se producă.
ALGEBRA EVENIMENTELOR
Operațiuni pe evenimente (sumă, diferență, produs)
Fiecare proces este asociat cu o serie de evenimente de interes pentru noi, care, în general, pot apărea simultan. De exemplu, atunci când aruncați un zar (adică un zar cu punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6 pe fețele sale), evenimentul este un deuce, iar evenimentul este un număr par de puncte. Evident, aceste evenimente nu se exclud reciproc.
Să fie efectuate toate rezultatele posibile ale testului într-un număr dintre singurele cazuri speciale posibile, excluzându-se reciproc. Apoi:
- fiecare rezultat al testului este reprezentat de un singur eveniment elementar;
- · orice eveniment asociat cu acest test este un set de evenimente elementare finite sau infinite;
- · un eveniment are loc dacă și numai dacă se realizează unul dintre evenimentele elementare incluse în acest set.
Cu alte cuvinte, este dat un spațiu arbitrar, dar fix, de evenimente elementare, care poate fi reprezentat ca o anumită zonă pe plan. În acest caz, evenimentele elementare sunt puncte ale avionului aflat în interior. Deoarece un eveniment este identificat cu un set, toate operațiunile care pot fi efectuate pe seturi pot fi efectuate pe evenimente. Adică, prin analogie cu teoria mulțimilor, se construiește algebra evenimentelor. În special, sunt definite următoarele operații și relații între evenimente:
 (relația de includere a mulțimilor: o mulțime este o submulțime a unei mulțimi) - evenimentul A implică evenimentul B. Cu alte cuvinte, evenimentul B are loc ori de câte ori are loc evenimentul A. (relație de echivalență set) - un eveniment este identic sau echivalent cu un eveniment. Acest lucru este posibil dacă și numai dacă și simultan, i.e. fiecare apare ori de câte ori apare celălalt.  () - suma evenimentelor. Acesta este un eveniment constând în faptul că a avut loc cel puțin unul dintre cele două evenimente sau (fără a exclude „sau”) logic. În cazul general, suma mai multor evenimente este înțeleasă ca un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente. |
 () - produs al evenimentelor. Acesta este un eveniment constând în implementarea în comun a evenimentelor și („și” logic). În cazul general, produsul mai multor evenimente este înțeles ca un eveniment constând în implementarea simultană a tuturor acestor evenimente. Astfel, evenimentele și sunt incompatibile dacă produsul lor este un eveniment imposibil, adică. . |
|
(set de elemente aparținând dar nu aparținând) - diferență de evenimente. Acesta este un eveniment care constă din selecții incluse, dar neincluse în. Constă în faptul că un eveniment are loc, dar un eveniment nu are loc. |
 Opusul (suplimentar) pentru un eveniment (notat) este un eveniment care constă din toate rezultatele care nu sunt incluse în.  Se spune că două evenimente sunt opuse dacă apariția unuia dintre ele este echivalentă cu neapariția celuilalt. Un eveniment opus unui eveniment are loc dacă și numai dacă evenimentul nu are loc. Cu alte cuvinte, apariția unui eveniment înseamnă pur și simplu că evenimentul nu a avut loc. |
|
Diferența simetrică a două evenimente și (notat) se numește un eveniment constând din rezultate incluse în sau, dar neincluse în și în același timp. Sensul evenimentului este că unul și numai unul dintre evenimente sau are loc. Diferența simetrică se notează: sau. |
Suma tuturor probabilităților de evenimente din spațiul eșantion este 1. De exemplu, dacă experimentul este o aruncare de monede cu evenimentul A = „capete” și evenimentul B = „cozi”, atunci A și B reprezintă întreg spațiul eșantion. Mijloace, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Exemplu.În exemplul propus anterior de calculare a probabilității de a extrage un stilou roșu din buzunarul unui halat de baie (acesta este evenimentul A), în care există două stilouri albastre și unul roșu, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, probabilitatea evenimentului opus - extragerea unui stilou albastru - va fi
Înainte de a trece la principalele teoreme, introducem două concepte mai complexe - suma și produsul evenimentelor. Aceste concepte sunt diferite de conceptele obișnuite de sumă și produs în aritmetică. Adunarea și înmulțirea în teoria probabilităților sunt operații simbolice supuse unor reguli și care facilitează construcția logică a concluziilor științifice.
sumă a mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puţin unuia dintre ele. Adică, suma a două evenimente A și B se numește eveniment C, care constă în apariția fie a evenimentului A, fie a evenimentului B, fie a evenimentelor A și B împreună.
De exemplu, dacă un pasager așteaptă la o stație de tramvai pentru oricare dintre cele două rute, atunci evenimentul de care are nevoie este apariția unui tramvai de pe prima rută (evenimentul A), sau a unui tramvai de pe a doua rută (evenimentul B). , sau o apariție comună a tramvaielor de pe primul și al doilea traseu (eveniment DE LA). În limbajul teoriei probabilităților, aceasta înseamnă că evenimentul D necesar pasagerului constă în apariția fie a evenimentului A, fie a evenimentului B, fie a evenimentului C, care este scris simbolic ca:
D=A+B+C
Produsul a două evenimenteDARși LA este un eveniment constând în producerea în comun a unor evenimente DARși LA. Produsul mai multor evenimente apariţia comună a tuturor acestor evenimente se numeşte.
În exemplul de pasager de mai sus, evenimentul DIN(apariția comună a tramvaielor pe două rute) este produsul a două evenimente DARși LA, care este scris simbolic după cum urmează:
Să presupunem că doi medici examinează separat un pacient pentru a identifica o anumită boală. În timpul controalelor, pot apărea următoarele evenimente:
Detectarea bolilor de către primul medic ( DAR);
Nedepistarea bolii de către primul medic ();
Detectarea bolii de către al doilea medic ( LA);
Nedepistarea bolii de către al doilea medic ().
Luați în considerare cazul în care boala este detectată exact o dată în timpul examinărilor. Acest eveniment poate fi implementat în două moduri:
Boala este depistată de primul medic ( DAR) și nu va găsi al doilea ();
Bolile nu vor fi depistate de primul medic () și vor fi depistate de al doilea ( B).
Să notăm evenimentul luat în considerare și să-l scriem simbolic:
Luați în considerare cazul în care boala este descoperită în procesul de examinări de două ori (atât de primul, cât și de al doilea medic). Să notăm acest eveniment prin și să scriem: .
Evenimentul, care constă în faptul că nici primul, nici al doilea medic nu detectează boala, va fi notat cu și vom scrie: .
Regula de adunare- dacă elementul A poate fi ales în n moduri, iar elementul B poate fi ales în m moduri, atunci A sau B poate fi ales în n + m moduri.
^ regula înmulțirii - dacă elementul A poate fi ales în n moduri, iar pentru orice alegere a lui A, elementul B poate fi ales în m moduri, atunci perechea (A, B) poate fi aleasă în n m moduri.
Permutare. O permutare a unui set de elemente este aranjarea elementelor într-o anumită ordine. Astfel, toate permutările diferite ale unui set de trei elemente sunt
Numărul tuturor permutărilor elementelor este notat cu . Prin urmare, numărul tuturor permutărilor diferite este calculat prin formulă
Cazare. Numărul de plasări ale unui set de elemente pe elemente este egal cu
^ Plasare cu repetare. Dacă există un set de n tipuri de elemente și trebuie să plasați un element de un anumit tip în fiecare dintre m locuri (tipurile de elemente se pot potrivi în locuri diferite), atunci numărul de opțiuni pentru aceasta va fi n m .
^ Combinaţie. Definiție. Combinatii din diverse elemente conformelementele se numesc combinații care sunt alcătuite din date elemente prin elemente și diferă cu cel puțin un element (cu alte cuvinte,-submultimi de elemente ale multimii date din elemente). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
Spațiul evenimentelor elementare. Eveniment aleatoriu. Eveniment de încredere. Eveniment imposibil.
eveniment aleatoriu - orice subset al spațiului evenimentelor elementare.
^ eveniment credibil - se va întâmpla ca rezultat al experimentului.
eveniment imposibil - nu va avea loc ca rezultat al experimentului.
Acțiuni asupra evenimentelor: suma, produsul și diferența de evenimente. eveniment opus. Evenimente comune și non-comunite. Grup complet de evenimente.
^ Evenimente incompatibile - dacă nu pot apărea simultan ca urmare a experimentului. Se spune că se formează mai multe evenimente disjunctive grup complet de evenimente, dacă unul dintre ele apare ca urmare a experimentului.
Dacă primul eveniment constă din toate rezultatele elementare, cu excepția celor incluse în al doilea eveniment, atunci astfel de evenimente sunt numite opus.
Suma a două evenimente A și B este un eveniment constând din evenimente elementare aparținând cel puțin unuia dintre evenimentele A sau B. ^ Produsul a două evenimente A și B un eveniment format din evenimente elementare care aparțin simultan lui A și B. Diferența dintre A și B este un eveniment format din elemente A care nu aparțin evenimentului B.
Definiții clasice, statistice și geometrice ale probabilității. Proprietățile de bază ale probabilității evenimentelor.
, g – parte din figura G. ^ Proprietățile de bază ale probabilității: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Probabilitatea unui anumit eveniment este 1, 3) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0.
Teorema adunării probabilităților evenimentelor incompatibile și consecințele acesteia.
Probabilitate condițională. evenimente independente. Înmulțirea probabilităților de evenimente dependente și independente.
^ Înmulțirea probabilităților: Pentru dependenți. Teorema. P (A ∙ B) \u003d P (A) ∙ P A (B). Cometariu. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Consecinţă. P (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P (A 1) ∙ P A1 (A 2) ∙ ... ∙ P A1-Ak-1 (A k). Pentru independenți. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Tteorema de adunare a probabilitatilor evenimentelor comune. Teorema . Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune.
Formula probabilității totale. Formule Bayes.
H 1, H 2 ... H n - formează un grup complet - ipoteze.
Evenimentul A poate apărea numai dacă apare H 1, H 2 ... H n,
Atunci P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
^ Formula Bayes
Fie H 1, H 2 ... H n ipoteze, evenimentul A poate avea loc sub una dintre ipoteze
P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
Să presupunem că evenimentul A a avut loc.
Cum s-a schimbat probabilitatea H 1 datorită faptului că a apărut A? Acestea. RA (H 1)
R (A * H 1) \u003d R (A) * R A (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => R A (H 1) \u003d (P (H 1) * R n1 (A))/ P(A)
H2, H3... Hn sunt definiţi în mod similar
Forma generala:
Р А (Н i)= (Р (Н i)* Р n i (А))/ Р (А) , unde i=1,2,3...n.
Formulele vă permit să supraestimați probabilitățile ipotezelor ca urmare a modului în care rezultatul testului devine cunoscut, în urma căruia a apărut evenimentul A.
„Înainte” testului - probabilități a priori - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)
„După” test - probabilități a posteriori - R A (H 1), R A (H 2) ... R A (H n)
Probabilitățile posterioare, ca și probabilitățile anterioare, se adună la 1.
9. Formulele lui Bernoulli și Poisson.
formula Bernoulli
Să fie n încercări, în fiecare dintre ele un eveniment A poate să apară sau nu. Dacă probabilitatea evenimentului A în fiecare dintre aceste încercări este constantă, atunci aceste încercări sunt independente față de A.
Se consideră n încercări independente, în fiecare dintre ele A poate apărea cu probabilitatea p. O astfel de succesiune de teste se numește schema Bernoulli.
Teoremă: probabilitatea ca în n încercări evenimentul A să se producă exact de m ori este egală cu: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Numărul m 0 - apariția unui eveniment A se numește cel mai probabil dacă probabilitatea corespunzătoare P n (m 0) nu este mai mică decât alte P n (m)
P n (m 0) ≥ P n (m), m 0 ≠ m
Pentru a găsi m 0 utilizați:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Formula Poisson
Luați în considerare testul Bernoulli:
n este numărul de încercări, p este probabilitatea de succes
Fie p mic (p→0) și n mare (n→∞)
numărul mediu de apariții de succes în n încercări
λ=n*p → p= λam pus în formula Bernoulli:
Pn(m)=Cnm *pm *(1-q)n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Dacă p≤0,1 și λ=n*p≤10, atunci formula dă rezultate bune.
10. Teoreme locale și integrale ale lui Moivre-Laplace.
Fie n numărul de încercări, p probabilitatea de succes, n mare și tinde spre infinit. (n->∞)
^ Teorema locală
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , unde f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Dacă npq≥ 20 - dă rezultate bune, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Teorema integrală
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
unde ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt este funcția Laplace
x 1 \u003d (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2
Proprietățile funcției Laplace
ȹ(x) – funcție impară: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – crescător monoton
valori ȹ(x) (-0,5;0,5), iar lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), unde z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Valoare aleatoare. Tipuri de variabile aleatoare. Metode de setare a unei variabile aleatoare.
SW este o funcție definită pe un set de evenimente elementare.
X,Y,Z este NE, iar valoarea sa este x,y,z
Aleatoriu ei numesc o valoare care, în urma unor teste, va lua una și o singură valoare posibilă, necunoscută dinainte și în funcție de cauze aleatorii care nu pot fi luate în considerare în prealabil.
SW discret, dacă mulțimea valorilor sale este finită sau numărată (pot fi numerotate). Acesta preia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unui CV discret poate fi finit sau infinit.
SW continuu, dacă ia toate valorile posibile dintr-un interval (pe toată axa). Valorile sale pot diferi foarte puțin.
^ Legea distribuției SW discrete m.b. dat:
1.masa
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | p 1 | p 2 | … | p n |
(gamă de distribuție)
X \u003d x 1) sunt incompatibile
p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p i
2.grafic
Poligonul distribuției probabilităților
3.analitice
P=P(X)
12. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare. Proprietățile de bază ale funcției de distribuție.
Funcția de distribuție a CV X este o funcție F(X) care determină probabilitatea ca CV X să ia o valoare mai mică decât x, adică.
x x = functie de distributie cumulativa
Un SW continuu are o funcție diferențiabilă continuă, pe bucăți.