PRODUTO MISTO DE TRÊS VETORES E SUAS PROPRIEDADES

produto misto três vetores é chamado um número igual a . Denotado . Aqui os dois primeiros vetores são multiplicados vetorialmente e então o vetor resultante é multiplicado escalarmente pelo terceiro vetor. Obviamente, tal produto é algum número.

Considere as propriedades do produto misturado.

1. sentido geométrico produto misto. O produto misto de 3 vetores, até um sinal, é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores, como nas arestas, ou seja. .

   Assim, e .

   

   Prova. Vamos adiar os vetores da origem comum e construir um paralelepípedo sobre eles. Vamos denotar e notar que . Por definição do produto escalar

   Supondo que e denotando por h a altura do paralelepípedo, encontramos .

   Assim, ao

   Se , então e . Consequentemente, .

   Combinando esses dois casos, obtemos ou .

   Da prova desta propriedade, em particular, segue-se que se o triplo de vetores for à direita, então o produto misto , e se for à esquerda, então .

2. Para quaisquer vetores , , a igualdade

   A prova desta propriedade segue da propriedade 1. De fato, é fácil mostrar que e . Além disso, os sinais "+" e "-" são tomados simultaneamente, porque os ângulos entre os vetores e e e são ambos agudos ou obtusos.

3. Quando quaisquer dois fatores são trocados, o produto misto muda de sinal.

   De fato, se considerarmos o produto misto , então, por exemplo, ou

4. Um produto misto se e somente se um dos fatores for igual a zero ou os vetores forem coplanares.

   Prova.

   Assim, uma condição necessária e suficiente para a complanaridade de 3 vetores é a igualdade a zero de seu produto misto. Além disso, segue disso que três vetores formam uma base no espaço se .

   Se os vetores são dados na forma de coordenadas, pode-se mostrar que seu produto misto é encontrado pela fórmula:

   .

   Assim, o produto misto é igual a um determinante de terceira ordem cuja primeira linha contém as coordenadas do primeiro vetor, a segunda linha contém as coordenadas do segundo vetor e a terceira linha contém as coordenadas do terceiro vetor.

   Exemplos.

GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO

A equação F(x, y, z)= 0 define no espaço Oxyz alguma superfície, ou seja, lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas x, y, z satisfaça essa equação. Essa equação é chamada de equação de superfície, e x, y, z– coordenadas atuais.

No entanto, muitas vezes a superfície não é definida por uma equação, mas como um conjunto de pontos no espaço que possuem uma propriedade ou outra. Neste caso, é necessário encontrar a equação da superfície, com base em suas propriedades geométricas.

AVIÃO.

VETOR PLANO NORMAL.

EQUAÇÃO DE UM PLANO PASSANDO POR UM DADO PONTO

Considere um plano arbitrário σ no espaço. Sua posição é determinada definindo um vetor perpendicular a este plano, e algum ponto fixo M0(x0, 0, z0) no plano σ.

O vetor perpendicular ao plano σ é chamado normal vetor deste plano. Deixe o vetor ter coordenadas .

Derivamos a equação para o plano σ que passa pelo ponto dado M0 e tendo um vetor normal . Para fazer isso, tome um ponto arbitrário no plano σ M(x, y, z) e considere o vetor .

Para qualquer ponto MÎ σ vetor Portanto, seu produto escalar é igual a zero. Essa igualdade é a condição de que o ponto MО σ. É válido para todos os pontos deste plano e é violado assim que o ponto M estará fora do plano σ.

Se denotarmos pelo vetor raio os pontos M, é o vetor raio do ponto M0, então a equação pode ser escrita como

Essa equação é chamada vetor equação do plano. Vamos escrevê-lo na forma coordenada. Desde então

Assim, obtivemos a equação do plano que passa pelo ponto dado. Assim, para compor a equação do plano, você precisa conhecer as coordenadas do vetor normal e as coordenadas de algum ponto do plano.

Observe que a equação do plano é uma equação do 1º grau em relação às coordenadas atuais x, y e z.

Exemplos.

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Pode-se mostrar que qualquer equação do primeiro grau em relação às coordenadas cartesianas x, y, zé uma equação de algum plano. Esta equação é escrita como:

Ax+B+Cz+D=0

e chamou equação geral plano e as coordenadas A, B, C aqui estão as coordenadas do vetor normal do plano.

Consideremos casos particulares da equação geral. Vamos descobrir como o plano está localizado em relação ao sistema de coordenadas se um ou mais coeficientes da equação desaparecerem.

A é o comprimento do segmento cortado pelo plano no eixo Boi. Da mesma forma, pode-se mostrar que b e c são os comprimentos dos segmentos cortados pelo plano considerado nos eixos Oi e Oz.

É conveniente usar a equação de um plano em segmentos para construir planos.

Nesta lição, veremos mais duas operações com vetores: produto cruzado de vetores e produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para a felicidade completa, além de produto escalar de vetores, mais e mais é necessário. Assim é o vício em vetores. Pode-se ter a impressão de que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isso não é verdade. Nesta seção de matemática superior, geralmente há pouca lenha, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - pouco mais difícil que o mesmo produto escalar, mesmo haverá menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos verão ou já viram, é NÃO ERRAR DE CÁLCULO. Repita como um feitiço, e você será feliz =)

Se os vetores brilharem em algum lugar distante, como relâmpagos no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para bonecos restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem se familiarizar com as informações de forma seletiva, tentei coletar a coleção mais completa de exemplos que são frequentemente encontrados em trabalhos práticos

O que vai te fazer feliz? Quando eu era pequeno, eu sabia fazer malabarismos com duas e até três bolas. Funcionou bem. Agora não há necessidade de fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por quê? Foi assim que essas ações nasceram - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já mais fácil!

Nesta operação, da mesma forma que no produto escalar, dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A ação em si denotado Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a designar o produto vetorial de vetores dessa forma, entre colchetes com uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? Uma clara diferença, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é um NÚMERO:

O resultado do produto vetorial dos vetores é um VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, daí o nome da operação. Em várias literaturas educacionais, as designações também podem variar, usarei a letra .

Definição de produto cruzado

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: produto cruzado não colinear vetores, tomadas nesta ordem, é chamado VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal aos vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Analisamos a definição por ossos, há muitas coisas interessantes!

Assim, podemos destacar os seguintes pontos significativos:

1) Vetores de origem, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso de vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores tomados em uma ordem estrita: – "a" é multiplicado por "ser", não "ser" para "um". O resultado da multiplicação vetorialé VECTOR , que é indicado em azul. Se os vetores são multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor igual em comprimento e oposto em direção (cor carmesim). Ou seja, a igualdade .

3) Agora vamos nos familiarizar com o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim ) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores . Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, claro, o comprimento nominal do produto vetorial não é igual à área do paralelogramo.

Recordamos uma das fórmulas geométricas: a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Ressalto que na fórmula estamos falando do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é tal que, em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo é frequentemente encontrada através do conceito de produto vetorial:

Obtemos a segunda fórmula importante. A diagonal do paralelogramo (linha pontilhada vermelha) divide-o em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído em vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Um fato igualmente importante é que o vetor é ortogonal aos vetores , ou seja, . É claro que o vetor de direção oposta (seta carmesim) também é ortogonal aos vetores originais .

5) O vetor é direcionado de modo que base Tem certo orientação. Em uma aula sobre transição para uma nova base Eu falei em detalhes sobre orientação do plano, e agora vamos descobrir qual é a orientação do espaço. Eu vou explicar em seus dedos mão direita. Combine mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mindinho pressione em sua palma. Como resultado dedão- o produto vetorial aparecerá. Esta é a base orientada para a direita (está na figura). Agora troque os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar girará e o produto vetorial já estará olhando para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Talvez você tenha uma pergunta: que base tem uma orientação à esquerda? "Atribuir" os mesmos dedos mão esquerda vetores , e obter a base esquerda e orientação do espaço esquerdo (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Figurativamente falando, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo forçado ou abstrato - por exemplo, o espelho mais comum muda a orientação do espaço e, se você "puxar o objeto refletido para fora do espelho", em geral não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, leve três dedos ao espelho e analise o reflexo ;-)

... como é bom que agora você saiba orientado para a direita e para a esquerda bases, pois as declarações de alguns palestrantes sobre a mudança de orientação são terríveis =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi elaborada em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores são colineares, então eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é zero. O mesmo segue da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então e . Observe que o próprio produto vetorial é igual ao vetor zero, mas na prática isso é muitas vezes negligenciado e escrito que também é igual a zero.

Um caso especial é o produto vetorial de um vetor e ele mesmo:

Usando o produto vetorial, você pode verificar a colinearidade de vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos, pode ser necessário tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos a partir dele.

Bem, vamos começar um incêndio:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, intencionalmente fiz os mesmos dados iniciais nos itens de condição. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, é necessário encontrar comprimento vetor (produto vetorial). De acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Como foi perguntado sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, é necessário encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responda:

Observe que na resposta sobre o produto vetorial não há conversa, fomos questionados sobre área da figura, respectivamente, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos o QUE deve ser encontrado pela condição e, com base nisso, formulamos Claro responda. Pode parecer literalismo, mas há literalistas suficientes entre os professores, e a tarefa com boas chances será devolvida para revisão. Embora este não seja um detalhe particularmente tenso - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e / ou não entendeu a essência da tarefa. Este momento deve ser sempre mantido sob controle, resolvendo qualquer problema em matemática superior, e em outras disciplinas também.

Para onde foi a letra grande "en"? Em princípio, poderia ser adicionalmente preso à solução, mas para encurtar o registro, não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja a designação da mesma coisa.

Um exemplo popular para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído em vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é fornecida nos comentários à definição. Solução e resposta no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum, os triângulos geralmente podem ser torturados.

Para resolver outros problemas, precisamos:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, no entanto, vou incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação, este item geralmente não se destaca nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) - a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores importa.

3) - combinação ou associativo leis do produto vetorial. As constantes são facilmente retiradas dos limites do produto vetorial. Realmente, o que eles estão fazendo lá?

4) - distribuição ou distribuição leis do produto vetorial. Também não há problemas com a abertura de colchetes.

Como demonstração, considere um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Encontre se

Solução: Por condição, é novamente necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, retiramos as constantes além dos limites do produto vetorial.

(2) Retiramos a constante do módulo, enquanto o módulo “come” o sinal de menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O que se segue é claro.

Responda:

É hora de jogar lenha no fogo:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área de um triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores "ce" e "te" são representados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição. Produto escalar de vetores. Vamos dividi-lo em três etapas para maior clareza:

1) Na primeira etapa, expressamos o produto vetorial pelo produto vetorial, de fato, expressar o vetor em termos do vetor. Nenhuma palavra sobre o comprimento ainda!

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Usando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando as leis associativas, retiramos todas as constantes além dos produtos vetoriais. Com pouca experiência, as ações 2 e 3 podem ser executadas simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade agradável . No segundo termo, usamos a propriedade de anticomutatividade do produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que precisava ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo necessário:

As etapas 2-3 da solução podem ser organizadas em uma linha.

Responda:

O problema considerado é bastante comum em testes, aqui está um exemplo para uma solução independente:

Exemplo 5

Encontre se

Solução curta e resposta no final da lição. Vamos ver como você estava atento ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto cruzado de vetores em coordenadas

, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: escrevemos os vetores coordenados na linha superior do determinante, “empacotamos” as coordenadas dos vetores na segunda e terceira linhas e colocamos em estrita ordem- primeiro, as coordenadas do vetor "ve", depois as coordenadas do vetor "double-ve". Se os vetores precisarem ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas também devem ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
a)
b)

Solução: O teste é baseado em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Portanto, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responda: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, estejam todas as informações básicas sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois há poucos problemas onde o produto misto de vetores é usado. Na verdade, tudo vai se basear na definição, significado geométrico e algumas fórmulas de trabalho.

O produto misto de vetores é o produto de três vetores:

É assim que eles se alinham como um trem e esperam, não podem esperar até que sejam calculados.

Primeiro novamente a definição e a imagem:

Definição: Produto misto não coplanar vetores, tomadas nesta ordem, é chamado volume do paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal "+" se a base for à direita e um sinal "-" se a base for à esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas por uma linha pontilhada:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores tomados em uma certa ordem, ou seja, a permutação de vetores no produto, como você pode imaginar, não fica sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, noto o fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o desenho pode ser um pouco diferente, eu costumava designar um produto misto através, e o resultado dos cálculos com a letra “pe”.

Por definição o produto misturado é o volume do paralelepípedo, construído em vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume do paralelepípedo dado.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em termos simples, o produto misto pode ser negativo: .

A fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores segue diretamente da definição.

Ângulo entre vetores

Para introduzirmos o conceito de produto vetorial de dois vetores, devemos primeiro lidar com um conceito como o ângulo entre esses vetores.

Sejam dados dois vetores $\overline(α)$ e $\overline(β)$. Vamos pegar um ponto $O$ no espaço e separar os vetores $\overline(α)=\overline(OA)$ e $\overline(β)=\overline(OB)$ dele, então o ângulo $AOB $ será chamado de ângulo entre esses vetores (Fig. 1).

Notação: $∠(\overline(α),\overline(β))$

O conceito de produto vetorial de vetores e a fórmula para encontrar

Definição 1

O produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular a ambos os vetores dados, e seu comprimento será igual ao produto dos comprimentos desses vetores pelo seno do ângulo entre esses vetores, e esse vetor com dois iniciais tem o mesmo orientação como o sistema de coordenadas cartesianas.

Notação: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicamente fica assim:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ e $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ são a mesma orientada (Fig. 2)

Obviamente, o produto externo dos vetores será igual ao vetor zero em dois casos:

1. Se o comprimento de um ou ambos os vetores for zero.
2. Se o ângulo entre esses vetores for igual a $180^\circ$ ou $0^\circ$ (porque neste caso o seno é igual a zero).

Para ver claramente como o produto vetorial de vetores é encontrado, considere os seguintes exemplos de solução.

Exemplo 1

Encontre o comprimento do vetor $\overline(δ)$, que será o resultado do produto vetorial dos vetores, com as coordenadas $\overline(α)=(0,4,0)$ e $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Solução.

Vamos representar esses vetores no espaço de coordenadas cartesianas (Fig. 3):

Figura 3. Vetores no espaço de coordenadas cartesianas. Author24 - intercâmbio online de trabalhos de estudantes

Vemos que esses vetores estão nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente. Portanto, o ângulo entre eles será igual a $90^\circ$. Vamos encontrar os comprimentos desses vetores:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Então, pela Definição 1, obtemos o módulo $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Resposta: $ 12 $.

Cálculo do produto vetorial pelas coordenadas dos vetores

A definição 1 implica imediatamente uma maneira de encontrar o produto vetorial para dois vetores. Como um vetor, além de um valor, também possui uma direção, é impossível encontrá-lo usando apenas um valor escalar. Mas além disso, existe outra maneira de encontrar os vetores que nos são dados usando as coordenadas.

Sejam dados os vetores $\overline(α)$ e $\overline(β)$, que terão as coordenadas $(α_1,α_2,α_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$, respectivamente. Então o vetor do produto vetorial (ou seja, suas coordenadas) pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Caso contrário, expandindo o determinante, obtemos as seguintes coordenadas

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Exemplo 2

Encontre o vetor do produto vetorial dos vetores colineares $\overline(α)$ e $\overline(β)$ com as coordenadas $(0,3,3)$ e $(-1,2,6)$.

Solução.

Vamos usar a fórmula acima. Pegue

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Resposta: $(12,-3,3)$.

Propriedades do produto vetorial de vetores

Para três vetores mistos arbitrários $\overline(α)$, $\overline(β)$ e $\overline(γ)$, bem como $r∈R$, as seguintes propriedades são válidas:

Exemplo 3

Encontre a área de um paralelogramo cujos vértices possuem as coordenadas $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ e $(3,8,0) $.

Solução.

Primeiro, desenhe este paralelogramo no espaço de coordenadas (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogramo no espaço de coordenadas. Author24 - intercâmbio online de trabalhos de estudantes

Vemos que os dois lados desse paralelogramo são construídos usando vetores colineares com coordenadas $\overline(α)=(3,0,0)$ e $\overline(β)=(0,8,0)$. Usando a quarta propriedade, temos:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Encontre o vetor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Consequentemente

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Definição. O produto vetorial de um vetor a (multiplicador) por um vetor (multiplicador) que não é colinear a ele é o terceiro vetor c (produto), que é construído da seguinte forma:

1) seu módulo é numericamente igual à área do paralelogramo na fig. 155), construída sobre vetores, ou seja, é igual à direção perpendicular ao plano do referido paralelogramo;

3) neste caso, a direção do vetor c é escolhida (entre duas possíveis) para que os vetores c formem um sistema destro (§ 110).

Designação: ou

Adenda à definição. Se os vetores são colineares, então considerando a figura como um paralelogramo (condicionalmente), é natural atribuir área zero. Portanto, o produto vetorial de vetores colineares é considerado igual ao vetor nulo.

Como o vetor nulo pode ser atribuído a qualquer direção, essa convenção não contradiz os itens 2 e 3 da definição.

Observação 1. No termo "produto vetorial", a primeira palavra indica que o resultado de uma ação é um vetor (em oposição a um produto escalar; cf. § 104, observação 1).

Exemplo 1. Encontre o produto vetorial onde os principais vetores do sistema de coordenadas à direita (Fig. 156).

1. Como os comprimentos dos vetores principais são iguais à unidade de escala, a área do paralelogramo (quadrado) é numericamente igual a um. Portanto, o módulo do produto vetorial é igual a um.

2. Como a perpendicular ao plano é o eixo, o produto vetorial desejado é um vetor colinear ao vetor k; e como ambos têm módulo 1, o produto vetorial requerido é k ou -k.

3. Destes dois vetores possíveis, o primeiro deve ser escolhido, pois os vetores k formam um sistema direito (e os vetores formam um sistema esquerdo).

Exemplo 2. Encontre o produto vetorial

Solução. Como no exemplo 1, concluímos que o vetor é k ou -k. Mas agora precisamos escolher -k, já que os vetores formam o sistema direito (e os vetores formam o esquerdo). Então,

Exemplo 3 Os vetores têm comprimentos de 80 e 50 cm, respectivamente, e formam um ângulo de 30°. Tomando um metro como unidade de comprimento, encontre o comprimento do produto vetorial a

Solução. A área de um paralelogramo construído em vetores é igual a O comprimento do produto vetorial desejado é igual a

Exemplo 4. Encontre o comprimento do produto vetorial dos mesmos vetores, tomando um centímetro como unidade de comprimento.

Solução. Como a área do paralelogramo construído em vetores é igual ao comprimento do produto vetorial é 2000 cm, ou seja,

A comparação dos exemplos 3 e 4 mostra que o comprimento do vetor depende não apenas dos comprimentos dos fatores, mas também da escolha da unidade de comprimento.

O significado físico do produto vetorial. Das muitas grandezas físicas representadas pelo produto vetorial, consideraremos apenas o momento da força.

Seja A o ponto de aplicação da força. O momento da força em relação ao ponto O é chamado de produto vetorial. Como o módulo desse produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo (Fig. 157), o módulo do momento é igual ao produto da base pela altura, ou seja, a força multiplicada pela distância do ponto O até a reta ao longo da qual a força atua.

Em mecânica, prova-se que para o equilíbrio de um corpo rígido é necessário que não apenas a soma dos vetores que representam as forças aplicadas ao corpo, mas também a soma dos momentos das forças seja igual a zero. No caso em que todas as forças são paralelas ao mesmo plano, a adição dos vetores que representam os momentos pode ser substituída pela adição e subtração de seus módulos. Mas para direções arbitrárias de forças, tal substituição é impossível. De acordo com isso, o produto vetorial é definido precisamente como um vetor, e não como um número.

Propriedades do produto escalar

Produto escalar de vetores, definição, propriedades

Operações lineares sobre vetores.

Vetores, conceitos básicos, definições, operações lineares sobre eles

Um vetor em um plano é um par ordenado de seus pontos, enquanto o primeiro ponto é chamado de início e o segundo o fim - do vetor

Dois vetores são chamados iguais se forem iguais e codirecionais.

Vetores que estão na mesma linha são chamados codirecionais se eles são codirecionais com algum do mesmo vetor que não está nessa linha.

Vetores que estão na mesma linha ou em linhas paralelas são chamados de colineares, e colineares, mas não codirecionais, são chamados de direções opostas.

Os vetores que se encontram em linhas perpendiculares são chamados de ortogonais.

Definição 5.4. soma a+b vetores uma e b é chamado de vetor que vem do início do vetor uma até o final do vetor b , se o início do vetor b coincide com o final do vetor uma .

Definição 5.5. diferença a - b vetores uma e b tal vetor é chamado Com , que junto com o vetor b dá um vetor uma .

Definição 5.6. trabalhark uma vetor uma por número k chamado vetor b , vetor colinear uma , que tem módulo igual a | k||uma |, e uma direção que é a mesma que a direção uma no k>0 e oposto uma no k<0.

Propriedades da multiplicação de um vetor por um número:

Propriedade 1. k(a+b ) = k uma+ k b.

Propriedade 2. (k+m)uma = k uma+m uma.

Propriedade 3. k(m uma) = (km)uma .

Consequência. Se vetores diferentes de zero uma e b são colineares, então existe um número k, o que b= k uma.

O produto escalar de dois vetores diferentes de zero uma e b chamado de número (escalar) igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo φ entre eles. O produto escalar pode ser expresso de várias maneiras, por exemplo, como ab, uma · b, (uma , b), (uma · b). Então o produto escalar é:

uma · b = |uma| · | b| cos φ

Se pelo menos um dos vetores é igual a zero, então o produto escalar é igual a zero.

Propriedade de permutação: uma · b = b · uma(o produto escalar não muda de permutação de fatores);

propriedade de distribuição: uma · ( b · c) = (uma · b) · c(o resultado não depende da ordem de multiplicação);

Propriedade de combinação (em relação ao fator escalar): (λ uma) · b = λ ( uma · b).

Propriedade da ortogonalidade (perpendicularidade): se o vetor uma e b diferente de zero, então seu produto escalar é zero somente quando esses vetores são ortogonais (perpendiculares entre si) uma ┴ b;

Propriedade quadrada: uma · uma = uma 2 = |uma| 2 (o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado de seu módulo);

Se as coordenadas dos vetores uma=(x 1 , y 1 , z 1 ) e b=(x 2 , y 2 , z 2 ), então o produto escalar é uma · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vetor segurando vetores. Definição: O produto vetorial de dois vetores e é entendido como um vetor para o qual:

O módulo é igual à área do paralelogramo construído sobre esses vetores, ou seja, , onde é o ângulo entre os vetores e

Este vetor é perpendicular aos vetores multiplicados, ou seja,

Se os vetores são não colineares, então eles formam um triplo direito de vetores.

Propriedades de produtos cruzados:

1. Quando a ordem dos fatores é alterada, o produto vetorial muda seu sinal para o contrário, preservando o módulo, ou seja

2 .O quadrado do vetor é igual ao vetor zero, ou seja.

3 .O fator escalar pode ser retirado do sinal do produto vetorial, ou seja.

4 . Para quaisquer três vetores, a igualdade

5 .Condição necessária e suficiente para a colinearidade de dois vetores e: