Desenvolvimentos
Evento. evento elementar.
Espaço de eventos elementares.
Evento confiável. Evento impossível.
eventos idênticos.
Soma, produto, diferença de eventos.
eventos opostos. eventos incompatíveis.
Eventos equivalentes.
Debaixo evento na teoria da probabilidade entende-se qualquer fato que pode ou não ocorrer como resultado da experiência comresultado aleatório. O resultado mais simples de tal experimento (por exemplo, a aparência de "cara" ou "coroa" ao jogar uma moeda, acertar um alvo ao atirar, a aparência de um ás ao remover uma carta do baralho, soltar aleatoriamente um número ao lançar um dadoetc) é chamadoevento elementar .
O conjunto de todos os elementos elementares eventos E chamado espaço do elemento eventos de tara . Sim, em jogando um dado, este espaço consiste em seiseventos elementares e quando uma carta é removida do baralho - de 52. Um evento pode consistir em um ou mais eventos elementares, por exemplo, o aparecimento de dois ases seguidos ao remover uma carta do baralho ou a perda de o mesmo número ao lançar um dado três vezes. Então pode-se definir evento como um subconjunto arbitrário do espaço de eventos elementares.
um determinado evento todo o espaço de eventos elementares é chamado. Assim, um determinado evento é um evento que deve necessariamente ocorrer como resultado de uma determinada experiência. Quando um dado é lançado, tal evento é sua queda em uma das faces.
Evento impossível () é chamado de subconjunto vazio do espaço de eventos elementares. Ou seja, um evento impossível não pode ocorrer como resultado dessa experiência. Assim, ao lançar um dado, um evento impossível é sua queda no limite.
Desenvolvimentos MAS e NO chamadoidêntico (MAS= NO) se o evento MASocorre quando e somente quando um evento ocorreNO .
Dizem que o evento MAS aciona um evento NO ( MAS NO), se da condição"evento A aconteceu" deve "Evento B aconteceu".
Evento A PARTIR DE chamado soma de eventos MAS e NO (A PARTIR DE = MAS NO) se o evento A PARTIR DE ocorre se e somente se MAS, ou NO.
Evento A PARTIR DE chamado produto de eventos MAS e NO (A PARTIR DE = MAS NO) se o evento A PARTIR DE acontece quando e somente quando acontece eMAS, e NO.
Evento A PARTIR DE chamado diferença de eventos MAS e NO (A PARTIR DE = MAS – NO) se o evento A PARTIR DE acontece então e Apenas então, quando isso acontece evento MAS, e o evento não ocorre NO.
Evento MAS"chamado oposto eventoMASse o evento não aconteceu MAS. Assim, um erro e um acerto ao atirar são eventos opostos.
Desenvolvimentos MAS e NO chamadoincompatível (MAS NO = ) , se sua ocorrência simultânea for impossível. Por exemplo, soltando e "caudas", e"águia" ao jogar uma moeda.
Se durante o experimento vários eventos podem ocorrer e cada um deles, de acordo com as condições objetivas, não é mais possível que o outro, então tais eventos são chamadosigualmente possível . Exemplos de eventos igualmente prováveis: o aparecimento de um dois, um ás e um valete quando uma carta é removida do baralho, perda de qualquer um dos números de 1 a 6 ao lançar um dado, etc.
A soma de todas as probabilidades de eventos no espaço amostral é 1. Por exemplo, se o experimento for um lançamento de moeda com Evento A = "cara" e Evento B = "coroa", então A e B representam todo o espaço amostral. Significa, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Exemplo. No exemplo proposto anteriormente de cálculo da probabilidade de tirar uma caneta vermelha do bolso de um roupão (este é o evento A), em que há duas canetas azuis e uma vermelha, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, a probabilidade do evento oposto - extrair uma caneta azul - será
Antes de passar para os principais teoremas, apresentamos dois conceitos mais complexos - a soma e o produto dos eventos. Esses conceitos são diferentes dos conceitos usuais de soma e produto em aritmética. Adição e multiplicação na teoria das probabilidades são operações simbólicas sujeitas a certas regras e que facilitam a construção lógica de conclusões científicas.
soma de vários eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um deles. Ou seja, a soma de dois eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no aparecimento do evento A, ou do evento B, ou dos eventos A e B juntos.
Por exemplo, se um passageiro estiver esperando em uma parada de bonde para qualquer uma das duas rotas, o evento que ele precisa é a aparência de um bonde da primeira rota (evento A) ou um bonde da segunda rota (evento B) , ou uma aparição conjunta de bondes da primeira e segunda vias (evento FROM). Na linguagem da teoria da probabilidade, isso significa que o evento D necessário para o passageiro consiste no aparecimento do evento A, ou do evento B, ou do evento C, que é simbolicamente escrito como:
D=A+B+C
O produto de dois eventosMAS e NOé um evento que consiste na ocorrência conjunta de eventos MAS e NO. O produto de vários eventos a ocorrência conjunta de todos esses eventos é chamada.
No exemplo do passageiro acima, o evento A PARTIR DE(aparição conjunta de bondes de duas vias) é produto de dois eventos MAS e NO, que é simbolicamente escrito da seguinte forma:
Suponha que dois médicos estejam examinando separadamente um paciente para identificar uma doença específica. Durante as inspeções, podem ocorrer os seguintes eventos:
Detecção de doenças pelo primeiro médico ( MAS);
Não detecção da doença pelo primeiro médico ();
Detecção da doença pelo segundo médico ( NO);
Não detecção da doença pelo segundo médico ().
Considere o caso de a doença ser detectada exatamente uma vez durante os exames. Este evento pode ser implementado de duas maneiras:
A doença é detectada pelo primeiro médico ( MAS) e não encontrará o segundo ();
As doenças não serão detectadas pelo primeiro médico () e serão detectadas pelo segundo ( B).
Vamos denotar o evento em consideração e escrevê-lo simbolicamente:
Considere o caso de a doença ser descoberta no processo de exames duas vezes (pelo primeiro e pelo segundo médico). Vamos denotar este evento por e escrever: .
O evento, que consiste no fato de que nem o primeiro nem o segundo médico detectam a doença, será denotado por e escreveremos: .
Teoremas básicos da teoria da probabilidade
A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.
Vamos escrever o teorema da adição simbolicamente:
P(A + B) = P(A) + P(B),
Onde R- a probabilidade do evento correspondente (o evento é indicado entre parênteses).
Exemplo . O paciente tem sangramento no estômago. Este sintoma é registrado na erosão do vaso ulcerativo (evento A), ruptura de varizes esofágicas (evento B), câncer de estômago (evento C), pólipo gástrico (evento D), diátese hemorrágica (evento F), icterícia obstrutiva (evento E) e gastrite final (eventoG).
O médico, com base na análise de dados estatísticos, atribui um valor de probabilidade a cada evento:
No total, o médico atendeu 80 pacientes com sangramento gástrico (n= 80), dos quais 12 apresentavam erosão do vaso ulcerativo (), no6 - ruptura de varizes do esôfago (), 36 tinham câncer de estômago () etc
Para prescrever um exame, o médico deseja determinar a probabilidade de o sangramento estomacal estar associado a uma doença estomacal (evento I):
A probabilidade de que o sangramento gástrico esteja associado à doença estomacal é bastante alta, e o médico pode determinar as táticas de exame com base na suposição de doença estomacal, justificada em nível quantitativo usando a teoria da probabilidade.
Se forem considerados eventos conjuntos, a probabilidade da soma de dois eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos sem a probabilidade de sua ocorrência conjunta.
Simbolicamente, isso é escrito da seguinte forma:
Se imaginarmos que o evento MAS consiste em acertar um alvo sombreado com listras horizontais durante o disparo, e o evento NO- ao acertar um alvo sombreado com listras verticais, então no caso de eventos incompatíveis, de acordo com o teorema da adição, a probabilidade da soma é igual à soma das probabilidades de eventos individuais. Se esses eventos são conjuntos, então existe alguma probabilidade correspondente à ocorrência conjunta de eventos MAS e NO. Se você não introduzir uma correção para a franquia P(AB), ou seja sobre a probabilidade de ocorrência conjunta de eventos, então essa probabilidade será levada em consideração duas vezes, pois a área sombreada pelas linhas horizontais e verticais é parte integrante de ambos os alvos e será levada em consideração tanto no primeiro quanto no segunda convocação.
Na fig. 1 é dada uma interpretação geométrica que ilustra claramente esta circunstância. Na parte superior da figura há alvos não sobrepostos, que são análogos de eventos incompatíveis, na parte inferior - alvos que se cruzam, que são análogos de eventos conjuntos (um tiro pode atingir tanto o alvo A quanto o alvo B ao mesmo tempo ).
Antes de passar para o teorema da multiplicação, é necessário considerar os conceitos de eventos independentes e dependentes e probabilidades condicionais e incondicionais.
Independente um evento B é um evento A cuja probabilidade de ocorrência não depende da ocorrência ou não do evento B.
viciado Um evento B é um evento A cuja probabilidade de ocorrência depende da ocorrência ou não do evento B.
Exemplo . Uma urna contém 3 bolas, 2 brancas e 1 preta. Ao escolher uma bola ao acaso, a probabilidade de escolher uma bola branca (evento A) é: P(A) = 2/3, e preta (evento B) P(B) = 1/3. Estamos lidando com um esquema de casos, e as probabilidades de eventos são calculadas estritamente de acordo com a fórmula. Quando o experimento é repetido, as probabilidades de ocorrência dos eventos A e B permanecem inalteradas se após cada escolha a bola for devolvida à urna. Neste caso, os eventos A e B são independentes. Se a bola escolhida no primeiro experimento não for devolvida à urna, então a probabilidade do evento (A) no segundo experimento depende da ocorrência ou não do evento (B) no primeiro experimento. Então, se o evento B apareceu no primeiro experimento (uma bola preta é escolhida), então o segundo experimento é realizado se houver 2 bolas brancas na urna e a probabilidade de ocorrência do evento A no segundo experimento for: P (A) = 2/2 = 1.
Se no primeiro experimento o evento B não apareceu (uma bola branca é escolhida), então o segundo experimento é realizado se houver uma bola branca e uma preta na urna e a probabilidade de ocorrência do evento A na segunda experimento é: P(A) = 1/2. Obviamente, neste caso, os eventos A e B estão intimamente relacionados e as probabilidades de sua ocorrência são dependentes.
Probabilidade Condicional evento A é a probabilidade de sua ocorrência, desde que o evento B tenha aparecido. A probabilidade condicional é simbolicamente denotada P(A/B).
Se a probabilidade de um evento ocorrer MAS não depende da ocorrência do evento NO, então a probabilidade condicional do evento MASé igual à probabilidade incondicional:
Se a probabilidade de ocorrência do evento A depende da ocorrência do evento B, então a probabilidade condicional nunca pode ser igual à probabilidade incondicional:
Revelar a dependência de vários eventos entre si é de grande importância na resolução de problemas práticos. Assim, por exemplo, uma suposição errônea sobre a independência do aparecimento de certos sintomas no diagnóstico de defeitos cardíacos usando um método probabilístico desenvolvido no Instituto de Cirurgia Cardiovascular. A. N. Bakuleva, causou cerca de 50% dos diagnósticos errôneos.
Definição 1. Diz-se que em alguma experiência um evento MAS implica seguido pela ocorrência de um evento NO se quando o evento ocorrer MAS o evento vem NO. Notação desta definição MAS Ì NO. Em termos de eventos elementares, isso significa que cada evento elementar incluído no MAS, também está incluído NO.
Definição 2. Eventos MAS e NO são chamados iguais ou equivalentes (indicados MAS= NO), E se MAS Ì NO e NOÌ A, ou seja MAS e NO consistem nos mesmos eventos elementares.
Evento credívelé representado por um conjunto envolvente Ω, e um evento impossível é um subconjunto vazio de Æ nele. Inconsistência de eventos MAS e NO significa que os subconjuntos correspondentes MAS e NO não se cruzam: MAS∩NO = Æ.
Definição 3. A soma de dois eventos A e NO(indicado A PARTIR DE= MAS + NO) é chamado de evento A PARTIR DE, consiste em o início de pelo menos um dos eventos MAS ou NO(a conjunção "ou" para o valor é uma palavra-chave), ou seja, vem ou MAS, ou NO, ou MAS e NO juntos.
Exemplo. Deixe dois atiradores atirarem no alvo ao mesmo tempo, e o evento MAS consiste no fato de o 1º atirador acertar o alvo, e o evento B- que o 2º atirador acerta o alvo. Evento UMA+ B significa que o alvo foi atingido, ou seja, que pelo menos um dos atiradores (1º atirador ou 2º atirador, ou ambos os atiradores) atingiu o alvo.
Da mesma forma, a soma de um número finito de eventos MAS 1 , MAS 2 , …, MAS n (indicado MAS= MAS 1 + MAS 2 + … + MAS n) o evento é chamado MAS, consiste em a ocorrência de pelo menos um de eventos MAS eu ( eu = 1, … , n), ou um conjunto arbitrário MAS eu ( eu = 1, 2, … , n).
Exemplo. A soma dos eventos A, B, Cé um evento que consiste na ocorrência de um dos seguintes eventos: MAS, B, C, MAS e NO, MAS e A PARTIR DE, NO e A PARTIR DE, MAS e NO e A PARTIR DE, MAS ou NO, MAS ou A PARTIR DE, NO ou A PARTIR DE,MAS ou NO ou A PARTIR DE.
Definição 4. O produto de dois eventos MAS e NO chamado de evento A PARTIR DE(indicado A PARTIR DE = A ∙ B), consistindo no fato de que, como resultado do teste, ocorreu também um evento MAS, e evento NO simultaneamente. (A conjunção "e" para produzir eventos é a palavra-chave.)
Semelhante ao produto de um número finito de eventos MAS 1 , MAS 2 , …, MAS n (indicado MAS = MAS 1 ∙MAS 2 ∙…∙ MAS n) o evento é chamado MAS, consistindo no fato de que, como resultado do teste, todos os eventos especificados ocorreram.
Exemplo. Se os eventos MAS, NO, A PARTIR DEé o aparecimento de um "brasão" na primeira, segunda e terceira tentativas, respectivamente, depois o evento MAS× NO× A PARTIR DE há uma queda de "brasão" em todas as três tentativas.
Observação 1. Para eventos incompatíveis MAS e NO igualdade justa A ∙ B= Æ, onde Æ é um evento impossível.
Observação 2. Eventos MAS 1 , MAS 2, … , MAS n formam um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares se .
Definição 5. eventos opostos dois eventos incompatíveis exclusivamente possíveis que formam um grupo completo são chamados. Evento oposto ao evento MAS,é indicado. Evento oposto ao evento MAS, é uma adição ao evento MAS para o conjunto Ω.
Para eventos opostos, duas condições são satisfeitas simultaneamente A ∙= Æ e A+= Ω.
Definição 6. diferença eventos MAS e NO(indicado MAS– NO) é chamado de evento que consiste no fato de que o evento MAS virá, e o evento NO - não e é igual MAS– NO= MAS× .
Observe que os eventos A + B, A ∙ B, , A - Bé conveniente interpretar graficamente usando os diagramas de Euler-Venn (Fig. 1.1).
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Arroz. 1.1. Operações sobre eventos: negação, soma, produto e diferença |
Vamos formular um exemplo da seguinte forma: deixe a experiência G consiste em disparar aleatoriamente sobre a região Ω, cujos pontos são eventos elementares ω. Seja atingindo a região Ω um certo evento Ω, e atingindo a região MAS e NO- de acordo com os eventos MAS e NO. Então os eventos A+B(ou MASÈ NO- leve área na figura), A ∙ B(ou MASÇ NO -área no centro) A - B(ou MAS\NO - subdomínios de luz) corresponderá às quatro imagens da Fig. 1.1. Nas condições do exemplo anterior com dois atiradores atirando em um alvo, o produto dos eventos MAS e NO haverá um evento C = AÇ NO, que consiste em acertar o alvo com as duas flechas.
Observação 3. Se as operações em eventos são representadas como operações em conjuntos, e os eventos são representados como subconjuntos de algum conjunto Ω, então a soma dos eventos A+B união de jogo MASÈ NO esses subconjuntos, mas o produto de eventos A ∙ B- cruzamento MAS∩NO esses subconjuntos.
Assim, as operações em eventos podem ser mapeadas para operações em conjuntos. Esta correspondência é dada na tabela. 1.1
Tabela 1.1
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Notação |
A Linguagem da Teoria da Probabilidade |
A linguagem da teoria dos conjuntos |
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Elemento espacial. eventos |
Conjunto universal |
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evento elementar |
Um elemento do conjunto universal |
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evento aleatorio |
Um subconjunto de elementos ω de Ω |
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Evento credível |
O conjunto de todos ω |
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Evento impossível |
Conjunto vazio |
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MAS4 |
MAS implica NO |
MAS- subconjunto NO |
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A+B(MASÈ NO) |
Soma de eventos MAS e NO |
União de conjuntos MAS e NO |
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MAS× V(MASÇ NO) |
Produção de eventos MAS e NO |
Cruzamento de muitos MAS e NO |
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A - B(MAS\NO) |
Diferença de evento |
Definir diferença |
As ações em eventos têm as seguintes propriedades:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(deslocamento);
(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (distributiva);
(A+B) + A PARTIR DE = MAS + (B + C), (A ∙ B) ∙ A PARTIR DE= MAS ∙ (B ∙ C) (associativo);
A + A = A, A ∙ A = A;
MAS + Ω = Ω, MAS∙ Ω = MAS;
As operações algébricas sobre eventos definem as regras para ações com eventos e permitem expressar um evento em termos de outro. As operações sobre eventos são aplicáveis apenas a eventos que representam subconjuntos do mesmo espaço de eventos elementares.
As ações de eventos podem ser visualizadas usando diagramas de Venn. Nos diagramas, os eventos correspondem a diferentes áreas do plano, que designam condicionalmente subconjuntos de eventos elementares que compõem os eventos. Assim, nos diagramas da Fig. 1.1, o espaço de eventos elementares corresponde aos pontos internos do quadrado, o evento A _ os pontos internos do círculo, o evento B _ os pontos internos do triângulo. O fato de os eventos A e B serem subconjuntos do espaço de eventos elementares (A, B) é mostrado nos diagramas da Fig. 1.1a,b.
A soma (união) dos eventos A e B é o evento C=A+B (ou C=AB), que consiste no fato de que pelo menos um dos eventos A ou B irá ocorrer. eventos pertencentes a pelo menos um dos eventos A ou B, ou ambos os eventos. No diagrama (Fig. 1.2.), o evento C corresponde à área sombreada C, representando a união das áreas A e B. Da mesma forma, a soma de vários eventos A 1, A 2, ..., A n é a evento C, que consiste no fato de que pelo menos um dos eventos ocorrerá E i , i=:
A soma dos eventos une todos os eventos elementares que compõem А i , i=. Se os eventos E 1 , E 2 ,…, E n formam um grupo completo, então sua soma é igual a um evento confiável:
A soma dos eventos elementares é igual a um evento confiável
O produto (intersecção) dos eventos A e B é o evento C=AB (ou C=AB), que consiste na aparição conjunta dos eventos A e B. O evento C consiste naqueles eventos elementares que pertencem tanto a A quanto a B. Figura 1.3.a evento C é representado pela interseção das áreas A e B. Se A e B são eventos incompatíveis, então seu produto é um evento impossível, ou seja, AB = (Fig. 1.3.b).
O produto dos eventos A 1 , A 2 , ..., A n é um evento C, que consiste na execução simultânea de todos os eventos A i , i=:
Produtos de eventos incompatíveis aos pares À 1 , À 2 ,…, À n - eventos impossíveis: À i À j =, para qualquer ij. Produtos de eventos que formam um grupo completo são eventos impossíveis: Å i Å j =, ij, produtos de eventos elementares também são eventos impossíveis: ij =, ij.
A diferença entre os eventos A e B é o evento C=A_B (C=AB), que consiste no fato de que o evento A ocorre e o evento B não ocorre. a B. Diagrama da diferença de eventos mostrados na fig. 1.4. O diagrama mostra que C=A_B=
O evento oposto ao evento A (ou seu complemento) é um evento que consiste no fato de que o evento A não ocorreu. O evento oposto completa o evento A em um grupo completo e consiste naqueles eventos elementares que pertencem ao espaço e não pertencem ao evento A (Fig. 1.5). Assim, é a diferença entre um determinado evento e o evento A: =_A.
Propriedades de operações em eventos.
Propriedades de deslocamento: A + B \u003d B + A, A B \u003d B A.
Propriedades associativas: (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC).
Propriedade de distribuição: A(B+C)=AB+AC.
Das definições de operações sobre eventos seguem as propriedades
A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A·=A; A =
Da definição do evento oposto, segue-se que
A+=; A=; =A; =; =; ;
A partir do diagrama da Fig. 1.4, as propriedades da diferença de eventos conjuntos são óbvias:
Se A e B são eventos mútuos, então
As propriedades dos eventos conjuntos também são óbvias.
Eventos opostos têm propriedades que às vezes são chamadas de regra de de Morgan ou princípio da dualidade: as operações de união e interseção são invertidas ao passar para eventos opostos
A prova do princípio da dualidade pode ser obtida graficamente usando diagramas de Venn ou analiticamente aplicando propriedades 1-6
Deve-se notar que ações semelhantes às ações "redução de termos semelhantes" e exponenciação na álgebra de números não são permitidas durante operações com eventos.
Por exemplo, para operações com eventos, as ações corretas são:
A aplicação errônea de ações por analogia com as algébricas: (A + B) B \u003d A + BB \u003d A leva a um resultado incorreto (verifique com diagramas de Venn!).
Exemplo 1.11. Provar identidades
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + C;
b) AC_B=AC_BC
a) (A + C) (B + C) \u003d AB + CB + AC + CC \u003d AB + C (A + B) + C = \u003d AB + C (A + B) + C \u003d AB + C (A + B+) = AB+C = AB+C;
b) AC_B = AC = CA = C (A_B) = CA_CB = AC_BC
Exemplo 1.12. O prêmio é sorteado entre os dois finalistas do programa da mostra. O sorteio é feito sucessivamente até a primeira tentativa bem sucedida, o número de tentativas para cada participante é limitado a três. O primeiro finalista começa primeiro. São considerados os seguintes eventos: A=(o prêmio foi ganho pelo primeiro finalista); B = (o prêmio foi ganho pelo segundo finalista). 1) Complemente esses eventos para um grupo completo e componha um evento confiável para ele. 2) Componha um grupo completo de eventos elementares. 3) Expresse os eventos do primeiro grupo completo em termos de elementares. 4) Componha outros grupos completos de eventos e registre eventos confiáveis através deles.
1) Os eventos A e B não são conjuntos, até o grupo completo são complementados por um evento não conjunto C=(ninguém ganhou o prêmio). Um determinado evento = (ou o primeiro finalista, ou o segundo, ou ninguém ganha o prêmio) é igual a: = A + B + C.
2) Vamos introduzir eventos que descrevem o resultado de cada tentativa para cada jogador e não dependem das condições da competição: А i =(o primeiro finalista completou com sucesso a i-ésima tentativa), В i =(o segundo finalista completou com sucesso a i-ésima tentativa), . Esses eventos não levam em consideração as condições da competição, portanto, não são elementares em relação ao fato de ganhar um prêmio. Mas por meio desses eventos, usando operações em eventos, você pode compor um grupo completo de eventos elementares que levam em consideração as condições para vencer na primeira tentativa bem-sucedida: 1 = (o primeiro finalista ganhou o prêmio na primeira tentativa), 2 = (o segundo finalista ganhou o prêmio na primeira tentativa), 3 =(o primeiro finalista ganhou o prêmio na segunda tentativa), 4 =(o segundo finalista ganhou o prêmio na segunda tentativa), 5 =(o primeiro finalista ganhou o prêmio na terceira tentativa), 6 =(segundo finalista ganhou prêmio na terceira tentativa), 7 =( ambos os finalistas não conseguiram ganhar o prêmio em três tentativas). De acordo com os termos do concurso
1 \u003d A 1, 2 \u003d, 3 \u003d, 4 \u003d,
5 =, 6 = , 7 = .
Grupo completo de eventos elementares: =( 1 ,…, 7 )
3) Os eventos A e B são expressos através de eventos elementares usando operações de soma, C coincide com um evento elementar:
4) Grupos de eventos completos também constituem eventos
Os eventos relevantes são:
=(o primeiro finalista ganhará o prêmio ou não)=;
=(Segundo finalista ganhará o prêmio ou não)=;
=(prêmio ou não ganhar, ou ganhar)=.
Assumiremos que o resultado da experiência real (experiência) pode ser um ou mais resultados mutuamente exclusivos; esses resultados são indecomponíveis e mutuamente exclusivos. Nesse caso, diz-se que o experimento termina com um e apenas um resultado elementar.
O conjunto de todos os eventos elementares que ocorrem como resultado aleatória experimento, chamaremos espaço de eventos elementar C (um evento elementar corresponde a um resultado elementar).
eventos aleatórios(eventos), chamaremos de subconjuntos do espaço de eventos elementares W .
Exemplo 1 Vamos jogar uma moeda uma vez. Uma moeda pode cair com um número para cima - um evento elementar w c (ou w 1), ou um brasão - um evento elementar w Г (ou w 2). O espaço correspondente de eventos elementares W consiste em dois eventos elementares:
W \u003d (w c, w G) ou W \u003d (w 1, w 2).
Exemplo 2. Jogue um dado uma vez. Neste experimento, o espaço de eventos elementares W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), onde w eu- desistindo eu pontos. Evento UMA- perder um número par de pontos, UMA= (w 2 , w 4 , w 6 ), UMA C.
Exemplo 3. Um ponto é colocado aleatoriamente (aleatoriamente) em um segmento. A distância de um ponto da extremidade esquerda do segmento é medida. Neste experimento, o espaço de eventos elementares W = é o conjunto dos números reais em um intervalo unitário.
Em termos formais mais precisos, os eventos elementares e o espaço dos eventos elementares são descritos a seguir.
O espaço de eventos elementares é um conjunto arbitrário W , W =(w ). Os elementos w deste conjunto W são chamados eventos elementares .
Conceitos evento elementar, evento, espaço de eventos elementares, são os conceitos originais da teoria das probabilidades. É impossível dar uma descrição mais específica do espaço dos eventos elementares. Para descrever cada modelo real, o espaço correspondente W é escolhido.
O evento W é chamado confiável evento.
Um determinado evento não pode deixar de ocorrer como resultado de um experimento, ele sempre acontece.
Exemplo 4. Jogue um dado uma vez. Um certo evento é que um número de pontos caiu, não menos de um e não mais de seis, ou seja, W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), onde w eu- desistindo eu pontos, - um evento confiável.
O conjunto vazio é chamado de evento impossível.
Um evento impossível não pode ocorrer como resultado de um experimento, ele nunca acontece.
Um evento aleatório pode ou não ocorrer como resultado de um experimento. acontece às vezes.
Exemplo 5. Jogue um dado uma vez. Rolar mais de seis pontos é um evento impossível.
O oposto do evento UMAé chamado de evento, consistindo no fato de que o evento UMA Não aconteceu. Denotado, .
Exemplo 6. Jogue um dado uma vez. Evento UMA então o evento é um número ímpar de pontos. Aqui W = (w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ), onde w eu- desistindo eu pontos, UMA= (w 2 , w 4 , w 6 ), = .
Eventos incompatíveis são chamados de eventos
UMA e B, para qual A B = .Exemplo 7. Jogue um dado uma vez. Evento UMA- perda de um número par de pontos, evento B- perda de um número de pontos inferior a dois. Evento UMA B consiste em obter um número par de pontos menor que dois. É impossível, UMA= (w 2 , w 4 , w 6 ), B=(w1), UMA B = , Essa. desenvolvimentos UMA e B- incompatível.
soma eventos UMA e Bé chamado um evento consistindo de todos os eventos elementares pertencentes a um dos eventos UMA ou b. Denotado A+ b.
Exemplo 8. Jogue um dado uma vez. Neste experimento, o espaço de eventos elementares W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ), onde o evento elementar w eu- desistindo eu pontos. Evento UMA- perder um número par de pontos, UMA B B=(w 5 , w 6 ).
Evento A+ B = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) é que um número par de pontos caiu ou o número de pontos é maior que quatro, ou seja, ou um evento aconteceu UMA, ou um evento b.É óbvio que A+ B C.
trabalhar eventos UMA e Bé chamado um evento que consiste em todos os eventos elementares pertencentes simultaneamente aos eventos UMA e b. Denotado AB.
Exemplo 9. Jogue um dado uma vez. Neste experimento, o espaço de eventos elementares W = ( w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 ), onde o evento elementar w eu- desistindo eu pontos. Evento UMA- perder um número par de pontos, UMA= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), evento B- perda de um número de pontos superior a quatro, B=(w 5 , w 6 ).
Evento UMA B consiste no fato de que um número par de pontos, mais de quatro, caiu, ou seja, ambos os eventos ocorreram, e o evento UMA e evento BA B = (w6) UMA B C.
diferença eventos UMA e Bé chamado um evento que consiste em todos os eventos elementares pertencentes a UMA mas não pertence b. Denotado A/B.
Exemplo 10. Jogue um dado uma vez. Evento UMA- perder um número par de pontos, UMA= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), evento B- perda de um número de pontos superior a quatro, B=(w 5 , w 6 ). Evento UMA\ B = (w 2 ,w 4 ) é que um número par de pontos caiu, não excedendo quatro, ou seja, aconteceu um evento UMA e o evento não aconteceu B, A\B C.
É óbvio que
A+A=A, AA=A, 
.
É fácil provar as igualdades:
, (A+B)C=AC+BC.
As definições de soma e produto de eventos transitam para infinitas sequências de eventos:
, um evento que consiste em eventos elementares, cada um dos quais pertence a pelo menos um deles;
, um evento que consiste em eventos elementares, cada um dos quais pertence simultaneamente a todos .
Seja W um espaço arbitrário de eventos elementares, e - tal conjunto de eventos aleatórios para os quais o seguinte é verdadeiro: W , AB, A+B e A\B se A e B.
A função numérica P definida no conjunto de eventos é chamada probabilidade, E se : (UMA) 0 para qualquer UMA a partir de ; (W) = 1;
Troika é chamada espaço de probabilidade.