O volume de um paralelepípedo construído sobre três vetores. Produto vetorial de vetores. Produto misto de vetores. Produto vetorial de vetores colineares

Considere o produto de vetores , e , composto da seguinte forma:
. Aqui os dois primeiros vetores são multiplicados vetorialmente, e seu resultado é multiplicado escalarmente pelo terceiro vetor. Tal produto é chamado de produto escalar vetorial, ou produto misto de três vetores. O produto misto é algum número.

Vamos descobrir o significado geométrico da expressão
.

Teorema . O produto misto de três vetores é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores, tomado com sinal de mais se esses vetores formarem uma tripla à direita e com sinal de menos se formarem uma tripla à esquerda.

Prova.. Construímos um paralelepípedo cujas arestas são os vetores , , e vetor
.

Nós temos:
,
, Onde - área do paralelogramo construído em vetores e ,
para o triplo direito de vetores e
para a esquerda, onde
é a altura do paralelepípedo. Nós temos:
, ou seja
, Onde - o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e .

Propriedades de produtos mistos

1. O produto misturado não muda quando cíclico permutação de seus fatores, ou seja, .

De fato, neste caso, nem o volume do paralelepípedo nem a orientação de suas bordas mudam.

2. O produto misto não muda quando os sinais de multiplicação vetorial e escalar são invertidos, ou seja,
.

Sério,
e
. Tomamos o mesmo sinal do lado direito dessas igualdades, pois os triplos de vetores , , e , , - uma orientação.

Consequentemente,
. Isso nos permite escrever o produto misto de vetores
Como
sem sinais de vetor, multiplicação escalar.

3. O produto misto muda de sinal quando quaisquer dois vetores de fatores mudam de lugar, ou seja,
,
,
.

De fato, tal permutação é equivalente a uma permutação dos fatores no produto vetorial, que muda o sinal do produto.

4. Produto Misto de Vetores Diferentes de Zero , e é zero se e somente se eles são coplanares.

2.12. Calculando o produto misto em forma coordenada em uma base ortonormal

Deixe os vetores
,
,
. Vamos encontrar seu produto misto usando expressões em coordenadas para produtos vetoriais e escalares:

. (10)

A fórmula resultante pode ser escrita mais curta:

já que o lado direito da igualdade (10) é a expansão do determinante de terceira ordem em termos dos elementos da terceira linha.

Assim, o produto misto de vetores é igual ao determinante de terceira ordem, composto pelas coordenadas dos vetores multiplicados.

2.13 Algumas aplicações do produto misto

Determinando a orientação relativa de vetores no espaço

Determinando a orientação relativa de vetores , e com base nas seguintes considerações. Se um
, então , , - direito três E se
, então , , - deixou três.

Condição de complanaridade para vetores

Vetores , e são coplanares se e somente se seu produto misto é zero (
,
,
):

vetores , , coplanar.

Determinando os volumes de um paralelepípedo e de uma pirâmide triangular

É fácil mostrar que o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores , e é calculado como
, e o volume da pirâmide triangular construída sobre os mesmos vetores é igual a
.

Exemplo 1 Prove que os vetores
,
,
coplanar.

Solução. Vamos encontrar o produto misto desses vetores usando a fórmula:

Isso significa que os vetores
coplanar.

Exemplo 2 Dados os vértices de um tetraedro: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Encontre o comprimento de sua altura largada do vértice .

Solução. Vamos primeiro encontrar o volume do tetraedro
. Pela fórmula temos:

Como o determinante é um número negativo, nesse caso, você precisa pegar um sinal de menos antes da fórmula. Consequentemente,
.

O valor desejado h determine pela formula
, Onde S - área básica. Vamos determinar a área S:

Onde

Porque o

Substituindo na fórmula
valores
e
, Nós temos h= 3.

Exemplo 3 Os vetores se formam
base no espaço? Decompor vetor
com base em vetores.

Solução. Se os vetores formam uma base no espaço, então eles não estão no mesmo plano, ou seja, são não coplanares. Encontre o produto misto de vetores
:
,

Portanto, os vetores não são coplanares e formam uma base no espaço. Se os vetores formam uma base no espaço, então qualquer vetor pode ser representado como uma combinação linear de vetores de base, a saber
,Onde
coordenadas vetoriais em base vetorial
. Vamos encontrar essas coordenadas compilando e resolvendo o sistema de equações

Resolvendo pelo método de Gauss, temos

Daqui
. Então .

Nesse caminho,
.

Exemplo 4 Os vértices da pirâmide estão nos pontos:
,
,
,
. Calcular:

a) área do rosto
;

b) o volume da pirâmide
;

c) projeção vetorial
na direção do vetor
;

d) ângulo
;

e) verifique se os vetores
,
,
coplanar.

Solução

a) Da definição de produto vetorial, sabe-se que:

Encontrando vetores
e
, usando a fórmula

,
.

Para vetores definidos por suas projeções, o produto vetorial é encontrado pela fórmula

, Onde
.

Para o nosso caso

Encontramos o comprimento do vetor resultante usando a fórmula

,
.

e depois
(unidades quadradas).

b) O produto misto de três vetores é igual em valor absoluto ao volume do paralelepípedo construído sobre os vetores , , como nas costelas.

O produto misto é calculado pela fórmula:

Vamos encontrar os vetores
,
,
, coincidindo com as bordas da pirâmide, convergindo para o topo :

O produto misto desses vetores

Como o volume da pirâmide é igual à parte do volume do paralelepípedo construído sobre os vetores
,
,
, então
(unidades cúbicas).

c) Usando a fórmula
, que define o produto escalar de vetores , , pode ser escrito assim:

Onde
ou
;

ou
.

Para encontrar a projeção do vetor
na direção do vetor
encontre as coordenadas dos vetores
,
, e depois aplicando a fórmula

Nós temos

d) Para encontrar o ângulo
definir vetores
,
, tendo uma origem comum no ponto :

Então, de acordo com a fórmula do produto escalar

e) Para que os três vetores

,
,

são coplanares, é necessário e suficiente que seu produto misto seja igual a zero.

No nosso caso temos
.

Portanto, os vetores são coplanares.

Para os vetores , e , dados por suas coordenadas , , o produto misto é calculado pela fórmula: .

O produto misto é usado: 1) calcular os volumes de um tetraedro e de um paralelepípedo construídos sobre os vetores , e , como nas arestas, segundo a fórmula: ; 2) como condição para a complanaridade dos vetores , e : e são coplanares.

Tópico 5. Linhas retas e planos.

Vetor de linha normal , qualquer vetor diferente de zero perpendicular à linha dada é chamado. Vetor de direção reto , qualquer vetor diferente de zero paralelo à linha dada é chamado.

Em linha reta na superfície

1) - equação geral reta, onde é o vetor normal da reta;

2) - a equação de uma reta que passa por um ponto perpendicular a um dado vetor;

3) equação canônica );

5) - equações de linha com inclinação , onde é o ponto pelo qual a linha passa; () - o ângulo que a linha faz com o eixo; - o comprimento do segmento (com o sinal ) cortado por uma linha reta no eixo (sinal “ ” se o segmento for cortado na parte positiva do eixo e “ ” se na parte negativa).

6) - equação de linha reta em cortes, onde e são os comprimentos dos segmentos (com o sinal ) cortados por uma linha reta nos eixos coordenados e (o sinal “ ” se o segmento for cortado na parte positiva do eixo e “ ” se na negativa ).

Distância do ponto à linha , dado pela equação geral no plano, é encontrado pela fórmula:

Canto , ( )entre linhas retas e , dado por equações gerais ou equações com inclinação, é encontrado por uma das seguintes fórmulas:

Se ou .

Se ou

Coordenadas do ponto de intersecção das linhas e são encontrados como uma solução para um sistema de equações lineares: ou .

O vetor normal do plano , qualquer vetor diferente de zero perpendicular ao plano dado é chamado.

Avião no sistema de coordenadas pode ser dada por uma equação de um dos seguintes tipos:

1) - equação geral plane, onde é o vetor normal do plano;

2) - a equação do plano que passa pelo ponto perpendicular ao vetor dado;

3) - equação do plano que passa por três pontos , e ;

4) - equação do plano em cortes, onde , e são os comprimentos dos segmentos (com o sinal ) cortados pelo plano nos eixos coordenados , e (sinal “ ” se o segmento for cortado na parte positiva do eixo e “ ” se na parte negativa ).

Distância do ponto ao plano , dado pela equação geral , é encontrado pela fórmula:

Canto ,( )entre aviões e , dado por equações gerais, é encontrado pela fórmula:

Em linha reta no espaço no sistema de coordenadas pode ser dada por uma equação de um dos seguintes tipos:

1) - equação geral uma linha reta, como as linhas de intersecção de dois planos, onde e são os vetores normais dos planos e;

2) - equação de uma reta que passa por um ponto paralelo a um vetor dado ( equação canônica );

3) - equação de uma reta que passa por dois pontos dados , ;

4) - equação de uma linha reta que passa por um ponto paralelo a um dado vetor, ( equação paramétrica );

Canto , ( ) entre linhas retas e no espaço , dado por equações canônicas, é encontrado pela fórmula:

As coordenadas do ponto de interseção da linha , dado pela equação paramétrica e avião , dados pela equação geral, são encontrados como solução do sistema de equações lineares: .

Canto , ( ) entre a linha , dado pela equação canônica e avião , dado pela equação geral é encontrado pela fórmula: .

Tópico 6. Curvas de segunda ordem.

Curva algébrica de segunda ordem no sistema de coordenadas é chamado de curva, equação geral que se parece com:

onde os números - não são iguais a zero ao mesmo tempo. Existe a seguinte classificação de curvas de segunda ordem: 1) se , então a equação geral define a curva tipo elíptico (círculo (para ), elipse (para ), conjunto vazio, ponto); 2) se , então - curva tipo hiperbólico (hipérbole, um par de linhas que se cruzam); 3) se , então - curva tipo parabólico(parábola, conjunto vazio, linha, par de linhas paralelas). Círculo, elipse, hipérbole e parábola são chamados curvas não degeneradas de segunda ordem.

A equação geral , onde , que define uma curva não degenerada (círculo, elipse, hipérbole, parábola), pode sempre (usando o método de seleção de quadrados completos) ser reduzida a uma equação de um dos seguintes tipos:

1a) - equação do círculo centrada em um ponto e raio (Fig. 5).

1b)- a equação de uma elipse centrada num ponto e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. Os números e - são chamados semi-eixos de uma elipse o retângulo principal da elipse; os vértices da elipse .

Para construir uma elipse no sistema de coordenadas: 1) marque o centro da elipse; 2) desenhamos pelo centro com uma linha pontilhada o eixo de simetria da elipse; 3) construímos o retângulo principal de uma elipse com uma linha pontilhada com centro e lados paralelos aos eixos de simetria; 4) desenhamos uma elipse com uma linha sólida, inscrevendo-a no retângulo principal de forma que a elipse toque seus lados apenas nos vértices da elipse (Fig. 6).

Da mesma forma, um círculo é construído, cujo retângulo principal tem lados (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - equações de hipérboles (chamadas conjugado) centrado num ponto e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. Os números e - são chamados semieixos de hipérboles ; um retângulo com lados paralelos aos eixos de simetria e centrado em um ponto - o retângulo principal de hipérboles; pontos de interseção do retângulo principal com os eixos de simetria - vértices de hipérboles; linhas retas que passam por vértices opostos do retângulo principal - assíntotas de hipérboles .

Para construir uma hipérbole no sistema de coordenadas: 1) marque o centro da hipérbole; 2) desenhamos pelo centro com uma linha pontilhada o eixo de simetria da hipérbole; 3) construímos o retângulo principal de uma hipérbole com uma linha pontilhada com centro e lados e paralela aos eixos de simetria; 4) traçamos linhas retas através dos vértices opostos do retângulo principal com uma linha pontilhada, que são assíntotas da hipérbole, às quais os ramos da hipérbole se aproximam indefinidamente, a uma distância infinita da origem das coordenadas, sem cruzá-las; 5) descrevemos os ramos de uma hipérbole (Fig. 7) ou hipérbole (Fig. 8) com uma linha contínua.

Fig.7 Fig.8

3a)- a equação de uma parábola com um vértice num ponto e um eixo de simetria paralelo ao eixo coordenado (Fig. 9).

3b)- a equação de uma parábola com um vértice num ponto e um eixo de simetria paralelo ao eixo coordenado (Fig. 10).

Para construir uma parábola no sistema de coordenadas: 1) marque o topo da parábola; 2) desenhamos pelo vértice com uma linha pontilhada o eixo de simetria da parábola; 3) representamos uma parábola com uma linha contínua, direcionando seu ramo, levando em consideração o sinal do parâmetro da parábola: em - no sentido positivo do eixo coordenado paralelo ao eixo de simetria da parábola (Fig. 9a e 10a); at - no lado negativo do eixo de coordenadas (Fig. 9b e 10b) .

Arroz. 9a Fig. 9b

Arroz. 10a Fig. 10b

Tópico 7. Conjuntos. Conjuntos numéricos. Função.

Debaixo muitos compreender um certo conjunto de objetos de qualquer natureza, distinguíveis uns dos outros e concebíveis como um todo único. Os objetos que compõem um conjunto o chamam elementos . Um conjunto pode ser infinito (consiste em um número infinito de elementos), finito (consiste em um número finito de elementos), vazio (não contém um único elemento). Conjuntos são indicados por , e seus elementos por . O conjunto vazio é denotado por .

Definir chamada subconjunto set se todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto e escreva . Conjuntos e chamados igual , se eles consistem nos mesmos elementos e escrevem . Dois conjuntos e será igual se e somente se e .

Definir chamada universal (dentro da estrutura desta teoria matemática) , se seus elementos são todos objetos considerados nesta teoria.

Muitos podem ser definidos: 1) enumeração de todos os seus elementos, por exemplo: (somente para conjuntos finitos); 2) estabelecendo uma regra para determinar se um elemento de um conjunto universal pertence a um determinado conjunto: .

Associação

cruzando conjuntos e é chamado de conjunto

diferença conjuntos e é chamado de conjunto

Suplemento conjuntos (até um conjunto universal) é chamado de conjunto.

Os dois conjuntos e são chamados equivalente e escreva ~ se uma correspondência biunívoca pode ser estabelecida entre os elementos desses conjuntos. O conjunto é chamado contável , se for equivalente ao conjunto dos números naturais : ~ . O conjunto vazio é, por definição, contável.

O conceito de cardinalidade de um conjunto surge quando os conjuntos são comparados pelo número de elementos que contêm. A cardinalidade do conjunto é denotada por . A cardinalidade de um conjunto finito é o número de seus elementos.

Conjuntos equivalentes têm a mesma cardinalidade. O conjunto é chamado incontável se sua cardinalidade for maior que a cardinalidade do conjunto.

Válido (real) número é chamada de fração decimal infinita, tomada com o sinal "+" ou "". Os números reais são identificados com pontos na reta numérica. módulo (valor absoluto) de um número real é um número não negativo:

O conjunto é chamado numérico se seus elementos são números reais. nos intervalos conjuntos de números são chamados: , , , , , , , , .

O conjunto de todos os pontos na reta numérica que satisfazem a condição , onde é um número arbitrariamente pequeno, é chamado -vizinhança (ou apenas uma vizinhança) de um ponto e é denotado por . O conjunto de todos os pontos pela condição , onde é um número arbitrariamente grande, é chamado - vizinhança (ou apenas uma vizinhança) de infinito e é denotado por .

Uma quantidade que mantém o mesmo valor numérico é chamada constante. Uma quantidade que assume valores numéricos diferentes é chamada variável. Função a regra é chamada, segundo a qual cada número é atribuído a um número bem definido, e eles escrevem. O conjunto é chamado domínio de definição funções, - muitos ( ou região ) valores funções, - argumento , - valor da função . A maneira mais comum de especificar uma função é o método analítico, no qual a função é dada por uma fórmula. domínio natural função é o conjunto de valores do argumento para o qual esta fórmula faz sentido. Gráfico de funções , em um sistema de coordenadas retangulares , é o conjunto de todos os pontos do plano com coordenadas , .

A função é chamada até no conjunto , simétrico em relação ao ponto , se a seguinte condição for satisfeita para todos: e ímpar se a condição for atendida. Caso contrário, uma função genérica ou nem par nem ímpar .

A função é chamada periódico no aparelho se existir um número ( período de função ) tal que a seguinte condição seja satisfeita para todos: . O menor número é chamado de período principal.

A função é chamada aumentando monotonicamente (minguante ) no conjunto se o maior valor do argumento corresponder ao maior (menor) valor da função .

A função é chamada limitado no conjunto , se existir um número tal que a seguinte condição seja satisfeita para todos : . Caso contrário, a função é ilimitado .

Marcha ré funcionar , , tal função é chamada , que é definida no conjunto e para cada

Corresponde a tal que . Para encontrar a função inversa da função , você precisa resolver a equação relativamente. Se a função , é estritamente monotônico em , então sempre tem uma inversa, e se a função aumenta (diminui), então a função inversa também aumenta (diminui).

Uma função representada como , onde , são algumas funções tais que o domínio da definição da função contém todo o conjunto de valores da função, é chamada função complexa argumento independente. A variável é chamada de argumento intermediário. Uma função complexa também é chamada de composição de funções e , e é escrita: .

Elementar básico funções são: potência função, demonstração função ( , ), logarítmico função ( , ), trigonométrico funções , , , , trigonométrico inverso funções , , , . Elementar é chamada de função obtida de funções elementares básicas por um número finito de suas operações aritméticas e composições.

Se o gráfico da função for fornecido, a construção do gráfico da função é reduzida a uma série de transformações (deslocamento, compressão ou alongamento, exibição) do gráfico:

1) 2) a transformação exibe o gráfico simetricamente em torno do eixo; 3) a transformação desloca o gráfico ao longo do eixo por unidades (- para a direita, - para a esquerda); 4) a transformação desloca o gráfico ao longo do eixo por unidades ( - para cima, - para baixo); 5) gráfico de transformação ao longo do eixo se estica em tempos, se ou comprime em tempos, se ; 6) transformar o gráfico ao longo do eixo comprime por um fator se ou estica por um fator se .

A sequência de transformações ao traçar um gráfico de função pode ser representada simbolicamente como:

Observação. Ao realizar uma transformação, tenha em mente que a quantidade de deslocamento ao longo do eixo é determinada pela constante que é adicionada diretamente ao argumento, e não ao argumento.

O gráfico da função é uma parábola com vértice em , cujos ramos são direcionados para cima se ou para baixo se . O gráfico de uma função linear-fracionária é uma hipérbole centrada no ponto , cujas assíntotas passam pelo centro, paralelas aos eixos coordenados. , satisfazendo a condição. chamado.

Para os vetores , e , dados pelas coordenadas , , o produto misto é calculado pela fórmula: .

Tópico 5. Linhas no avião.

Em linha reta na superfície no sistema de coordenadas pode ser dada por uma equação de um dos seguintes tipos:

1) - equação geral reta, onde é o vetor normal da reta;

2) - a equação de uma reta que passa por um ponto perpendicular a um dado vetor;

3) - equação de uma reta que passa por um ponto paralelo a um vetor dado ( equação canônica );

4) - equação de uma reta que passa por dois pontos dados , ;

Distância do ponto à linha , dado pela equação geral no plano, é encontrado pela fórmula:

Canto , ( )entre linhas retas e , dado por equações gerais ou equações com inclinação, é encontrado por uma das seguintes fórmulas:

Se ou .

Se ou

Coordenadas do ponto de intersecção das linhas e são encontrados como uma solução para um sistema de equações lineares: ou .

Tópico 10. Conjuntos. Conjuntos numéricos. Funções.

Definir chamada subconjunto set se todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto e escreva .

Conjuntos e chamados igual , se eles consistem nos mesmos elementos e escrevem . Dois conjuntos e será igual se e somente se e .

Definir chamada universal (dentro da estrutura desta teoria matemática) , se seus elementos são todos objetos considerados nesta teoria.

Associação

cruzando conjuntos e é chamado de conjunto

diferença conjuntos e é chamado de conjunto

Suplemento conjuntos (até um conjunto universal) é chamado de conjunto.

Válido (real) número é chamada de fração decimal infinita, tomada com o sinal "+" ou "". Os números reais são identificados com pontos na reta numérica.

módulo (valor absoluto) de um número real é um número não negativo:

O conjunto é chamado numérico se seus elementos são números reais. Numérico nos intervalos são chamados de conjuntos

números: , , , , , , , , .

A função é chamada aumentando monotonicamente (minguante ) no conjunto se o maior valor do argumento corresponder ao maior (menor) valor da função .

A função é chamada limitado no conjunto , se existir um número tal que a seguinte condição seja satisfeita para todos : . Caso contrário, a função é ilimitado .

Marcha ré funcionar , , é uma função que é definida em um conjunto e atribui a cada um tal que . Para encontrar a função inversa da função , você precisa resolver a equação relativamente. Se a função , é estritamente monotônico em , então sempre tem uma inversa, e se a função aumenta (diminui), então a função inversa também aumenta (diminui).

O gráfico da função é uma parábola com vértice em , cujos ramos são direcionados para cima se ou para baixo se .

Em alguns casos, ao construir um gráfico de uma função, é aconselhável dividir seu domínio de definição em vários intervalos não-intersecionais e construir sequencialmente um gráfico em cada um deles.

Qualquer conjunto ordenado de números reais é chamado aritmética ponto-dimensional (coordenada) espaço e denotado ou , enquanto os números são chamados de coordenadas .

Let E Ser alguns conjuntos de pontos e . Se a cada ponto é atribuído, de acordo com alguma regra, um número real bem definido , então eles dizem que uma função numérica de variáveis é dada no conjunto e escrevem ou brevemente e , enquanto chamado domínio de definição , - conjunto de valores , - argumentos (variáveis independentes) funções.

Uma função de duas variáveis é frequentemente denotada, uma função de três variáveis -. O domínio de definição de uma função é um certo conjunto de pontos no plano, as funções são um certo conjunto de pontos no espaço.

Tópico 7. Sequências e séries numéricas. Limite de sequência. Limite de uma função e continuidade.

Se, de acordo com uma certa regra, cada número natural está associado a um número real bem definido, então eles dizem que sequência numérica . Denote resumidamente. O número é chamado membro comum da sequência . Uma sequência também é chamada de função de um argumento natural. Uma sequência sempre contém um número infinito de elementos, alguns dos quais podem ser iguais.

O número é chamado limite de sequência , e escreva se para qualquer número existe um número tal que a desigualdade seja satisfeita para todos .

Uma sequência que tem um limite finito é chamada convergente , por outro lado - divergente .

: 1) minguante , E se ; 2) aumentando , E se ; 3) não decrescente , E se ; 4) não crescente , E se . Todas as sequências acima são chamadas monótono .

A sequência é chamada limitado , se houver um número tal que a seguinte condição seja satisfeita para todos: . Caso contrário, a sequência é ilimitado .

Toda sequência limitada monótona tem um limite ( teorema de Weierstrass).

A sequência é chamada infinitesimal , E se . A sequência é chamada infinitamente grande (convergendo para infinito) se .

número é chamado de limite da sequência, onde

A constante é chamada de número não-par. O logaritmo de base de um número é chamado de logaritmo natural de um número e é denotado .

Uma expressão da forma , onde é uma sequência de números, é chamada série numérica e estão marcados. A soma dos primeiros termos da série é chamada ª soma parcial fileira.

A linha é chamada convergente se existe um limite finito e divergente se o limite não existir. O número é chamado a soma de uma série convergente , enquanto escreve.

Se a série converge, então (um critério necessário para a convergência da série ) . O inverso não é verdadeiro.

Se , então a série diverge ( um critério suficiente para a divergência da série ).

Série harmônica generalizadaé chamada de série que converge em e diverge em .

Séries geométricas chamar uma série que converge em , enquanto sua soma é igual a e diverge em . encontrar um número ou símbolo. (semi-bairro esquerdo, semi-bairro direito) e