Pi yra viena iš populiariausių matematinių sąvokų. Apie jį rašomos nuotraukos, kuriami filmai, vaidinama muzikos instrumentai, jam skiriami eilėraščiai ir šventės, ieškoma ir randama sakraliniuose tekstuose.
Kas atrado pi?
Kas ir kada pirmą kartą atrado skaičių π, vis dar lieka paslaptis. Yra žinoma, kad senovės Babilono statybininkai jau visapusiškai pasinaudojo savo projektavimu. Tūkstančius metų senumo dantiraščio lentelės net išsaugo problemas, kurias buvo siūloma išspręsti naudojant π. Tiesa, tada buvo manoma, kad π yra lygus trims. Tai liudija dvi šimtai kilometrų nuo Babilono esančiame Susos mieste rasta lentelė, kurioje skaičius π buvo nurodytas kaip 3 1/8.
Skaičiuodami π, babiloniečiai atrado, kad apskritimo spindulys kaip styga į jį patenka šešis kartus, ir padalijo apskritimą į 360 laipsnių. Ir tuo pat metu jie padarė tą patį su saulės orbita. Taigi jie nusprendė manyti, kad metuose yra 360 dienų.
IN Senovės Egiptasπ buvo lygus 3,16.
Senovės Indijoje – 3 088.
Erų sandūroje Italijoje buvo manoma, kad π yra lygus 3,125.
Antikoje ankstyviausias π paminėjimas reiškia garsiąją apskritimo kvadratūros problemą, ty negalėjimą naudoti kompasą ir liniuotę kuriant kvadratą, kurio plotas lygus tam tikro apskritimo plotui. Archimedas prilygino π trupmenai 22/7.
Arčiausiai tikslios π vertės žmonės buvo Kinijoje. Jis buvo apskaičiuotas V amžiuje prieš Kristų. e. garsus kinų astronomas Zu Chun Zhi. π buvo apskaičiuotas gana paprastai. Nelyginius skaičius reikėjo rašyti du kartus: 11 33 55, o tada, padalijus juos per pusę, pirmąjį dėti į trupmenos vardiklį, o antrąjį – į skaitiklį: 355/113. Rezultatas atitinka šiuolaikinius π skaičiavimus iki septintojo skaitmens.
Kodėl π – π?
Dabar net moksleiviai žino, kad skaičius π yra matematinė konstanta, lygi apskritimo perimetro ir jo skersmens ilgio santykiui ir yra lygus π 3,1415926535 ... o tada po kablelio - iki begalybės.
Skaičius gavo pavadinimą π sunkus kelias: pirmiausia šis Graikiškas laiškas 1647 m. matematikas Outrade pavadino apskritimą. Jis paėmė pirmą laišką Graikiškas žodisπεριφέρεια - „periferija“. 1706 metais anglų kalbos mokytoja Williamas Jonesas savo darbe „Matematikos pažangos apžvalga“ raidę π jau vadino apskritimo perimetro ir skersmens santykiu. O vardą sutvirtino XVIII amžiaus matematikas Leonardas Euleris, prieš kurio valdžią likusieji nulenkė galvas. Taigi π tapo π.
Skaičiaus unikalumas
Pi yra tikrai unikalus skaičius.
1. Mokslininkai mano, kad skaičiaus π skaitmenų skaičius yra begalinis. Jų seka nesikartoja. Be to, niekas niekada negalės rasti pakartojimų. Kadangi skaičius yra begalinis, jame gali būti absoliučiai viskas, net Rachmaninovo simfonija, Senasis Testamentas, jūsų telefono numeris ir metai, kuriais įvyks Apokalipsė.
2. π siejamas su chaoso teorija. Tokią išvadą mokslininkai padarė sukūrę Bailey kompiuterinę programą, kuri parodė, kad skaičių seka π yra visiškai atsitiktinė, o tai atitinka teoriją.
3. Visiškai apskaičiuoti skaičių beveik neįmanoma – tai užtruktų per daug laiko.
4. π yra neracionalusis skaičius, tai yra, jo reikšmė negali būti išreikšta trupmena.
5. π – transcendentinis skaičius. Jo negalima gauti atliekant bet kokias algebrines operacijas su sveikaisiais skaičiais.
6. Skaičiaus π pakanka trisdešimt devynių skaičių po kablelio, kad būtų galima apskaičiuoti žinomus kosminius objektus Visatoje supančio apskritimo ilgį su vandenilio atomo spindulio paklaida.
7. Skaičius π siejamas su „auksinio pjūvio“ sąvoka. Matavimo proceso metu Didžioji piramidė Gizoje archeologai atrado, kad jo aukštis yra susijęs su pagrindo ilgiu, kaip ir apskritimo spindulys yra susijęs su jo ilgiu.
Įrašai, susiję su π
2010 m. Yahoo matematikas Nicholas Zhe sugebėjo apskaičiuoti du kvadrilijonus po kablelio (2x10) skaičiuje π. Tai užtruko 23 dienas, o matematikui prireikė daugybės padėjėjų, dirbusių su tūkstančiais kompiuterių, sujungtų naudojant paskirstytojo skaičiavimo technologiją. Metodas leido atlikti skaičiavimus tokiu fenomenaliu greičiu. Tam pačiam vienam kompiuteriui apskaičiuoti prireiktų daugiau nei 500 metų.
Norint visa tai tiesiog surašyti ant popieriaus, jums prireiktų daugiau nei dviejų milijardų kilometrų ilgio popierinės juostos. Jei tokį rekordą išplėsite, jo pabaiga peržengs Saulės sistemos ribas.
Kinas Liu Chao pasiekė skaičiaus π skaitmenų sekos įsiminimo rekordą. Per 24 valandas ir 4 minutes Liu Chao pasakė 67 890 skaitmenų po kablelio, nepadaręs nė vienos klaidos.
π turi daug gerbėjų. Grojama muzikos instrumentais ir pasirodo, kad „skamba“ puikiai. Jis prisimenamas ir tam tikslui sugalvotas įvairios technikos. Kad būtų smagu, jie atsisiunčia jį į savo kompiuterį ir giriasi vieni kitiems, kas atsisiuntė daugiausiai. Jam pastatyti paminklai. Pavyzdžiui, Sietle yra toks paminklas. Jis yra ant laiptų priešais Meno muziejų.
π naudojamas dekoravimui ir interjero dizainui. Jam skirti eilėraščiai, ieškoma šventose knygose, kasinėjimuose. Yra net „Club π“.
Pagal geriausias π tradicijas skaičiui skiriama ne viena, o ištisos dvi dienos per metus! Pirmą kartą π diena švenčiama kovo 14 d. Jūs turite pasveikinti vienas kitą lygiai 1 valandą, 59 minutes, 26 sekundes. Taigi data ir laikas atitinka pirmuosius numerio skaitmenis – 3.1415926.
Antrą kartą π šventė minima liepos 22 d. Ši diena siejama su vadinamuoju „apytiksliu π“, kurį Archimedas užrašė kaip trupmeną.
Paprastai šią dieną studentai, moksleiviai ir mokslininkai organizuoja linksmus „flash mobus“ ir renginius. Matematikai, linksmindamiesi, naudoja π krentančio sumuštinio dėsnius ir apdovanoja vieni kitus komiškus apdovanojimus.
Ir, beje, π iš tikrųjų galima rasti šventose knygose. Pavyzdžiui, Biblijoje. O ten skaičius π lygus... trims.
Kam lygus Pi?žinome ir prisimename iš mokyklos laikų. Jis lygus 3,1415926 ir pan... Paprastam žmogui pakanka žinoti, kad šis skaičius gaunamas padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens. Tačiau daugelis žino, kad skaičius Pi atsiranda netikėtose ne tik matematikos ir geometrijos, bet ir fizikos srityse. Na, o jei pasigilinsite į šio skaičiaus prigimties detales, tarp nesibaigiančių skaičių serijų pastebėsite daug stebinančių dalykų. Ar gali būti, kad Pi slepia giliausias visatos paslaptis?
Begalinis skaičius
Pats skaičius Pi mūsų pasaulyje pasirodo kaip apskritimo, kurio skersmuo, perimetras lygus vienam. Tačiau, nepaisant to, kad atkarpa, lygi Pi yra gana baigtinė, skaičius Pi prasideda kaip 3,1415926 ir eina iki begalybės skaičių eilučių, kurios niekada nesikartoja. Pirma nuostabus faktas yra tai, kad šis skaičius, naudojamas geometrijoje, negali būti išreikštas sveikųjų skaičių trupmena. Kitaip tariant, jūs negalite jo parašyti kaip dviejų skaičių a/b santykio. Be to, skaičius Pi yra transcendentinis. Tai reiškia, kad nėra lygties (polinomo) su sveikųjų skaičių koeficientais, kurių sprendimas būtų skaičius Pi.
Tai, kad skaičius Pi yra transcendentinis, 1882 metais įrodė vokiečių matematikas von Lindemannas. Būtent šis įrodymas tapo atsakymu į klausimą, ar galima naudojant kompasą ir liniuotę nubrėžti kvadratą, kurio plotas lygus tam tikro apskritimo plotui. Ši problema žinoma kaip apskritimo kvadratūros paieška, kuri žmonijai rūpi nuo seno. Atrodė, kad ši problema turi paprastą sprendimą ir netrukus bus išspręsta. Bet kaip tik nesuprantama skaičiaus Pi savybė parodė, kad apskritimo kvadratūros problemos sprendimo nėra.
Mažiausiai keturis su puse tūkstantmečio žmonija bandė gauti vis tikslesnę Pi vertę. Pavyzdžiui, Biblijoje Trečiojoje Karalių knygoje (7:23) skaičius Pi laikomas 3.
Nepaprasto tikslumo Pi reikšmę galima rasti Gizos piramidėse: piramidžių perimetro ir aukščio santykis yra 22/7. Ši trupmena duoda apytikslę Pi reikšmę, lygią 3,142... Nebent, žinoma, egiptiečiai šį santykį nustatė atsitiktinai. Ta pati reikšmė jau buvo gauta apskaičiavus Pi skaičių III amžiuje prieš Kristų, kurį atliko didysis Archimedas.
Ahmeso papiruse, senovės Egipto matematikos vadovėlyje, kuris datuojamas 1650 m. pr. Kr., Pi yra skaičiuojamas kaip 3,160493827.
Senovės indų tekstuose maždaug 9 amžiuje prieš Kristų tiksliausią reikšmę išreiškė skaičius 339/108, kuris buvo lygus 3,1388...
Beveik du tūkstančius metų po Archimedo žmonės bandė rasti būdų, kaip apskaičiuoti Pi. Tarp jų buvo ir garsių, ir nežinomi matematikai. Pavyzdžiui, romėnų architektas Markas Vitruvijus Pollio, egiptiečių astronomas Klaudijus Ptolemėjus, kinų matematikas Liu Hui, indų išminčius Aryabhata, viduramžių matematikas Leonardo iš Pizos, žinomas kaip Fibonačis, arabų mokslininkas Al-Khwarizmi, iš kurio vardo kilęs žodis. pasirodė „algoritmas“. Visi jie ir daugelis kitų žmonių ieškojo tiksliausių Pi apskaičiavimo metodų, tačiau iki XV amžiaus dėl skaičiavimų sudėtingumo niekada negaudavo daugiau nei 10 skaitmenų po kablelio.
Galiausiai, 1400 m., indų matematikas Madhava iš Sangamagramos apskaičiavo Pi 13 skaitmenų tikslumu (nors paskutiniuose dviejuose jis vis tiek klydo).
Simbolių skaičius
XVII amžiuje Leibnicas ir Niutonas atrado be galo mažų dydžių analizę, kuri leido apskaičiuoti Pi progresyviau – per laipsnių eilutes ir integralus. Pats Niutonas skaičiavo 16 skaitmenų po kablelio, tačiau savo knygose to nepaminėjo – tai tapo žinoma po jo mirties. Niutonas tvirtino, kad Pi apskaičiavo grynai iš nuobodulio.
Maždaug tuo pačiu metu pasirodė ir kiti mažiau žinomi matematikai ir pasiūlė naujas formules Pi apskaičiavimui naudojant trigonometrines funkcijas.
Pavyzdžiui, astronomijos mokytojas Johnas Machinas 1706 m. naudojo tokią formulę Pi apskaičiavimui: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Naudodamas analitinius metodus, Machinas iš šios formulės išvedė skaičių Pi šimto skaitmenų po kablelio tikslumu.
Beje, tais pačiais 1706 m. skaičius Pi gavo oficialų pavadinimą graikiškos raidės pavidalu: Williamas Jonesas naudojo jį savo matematikos darbe, paimdamas pirmąją graikiško žodžio „periferija“, reiškiančio „apskritimą“, raidę. . Didysis Leonhardas Euleris, gimęs 1707 m., išpopuliarino šį pavadinimą, dabar žinomą bet kuriam moksleiviui.
Prieš kompiuterių erą matematikai stengėsi apskaičiuoti kuo daugiau ženklų. Šiuo atžvilgiu kartais iškildavo juokingų dalykų. Matematikas mėgėjas W. Shanksas 1875 metais apskaičiavo 707 Pi skaitmenis. Šie septyni šimtai ženklų buvo įamžinti Paryžiaus Atradimų rūmų sienoje 1937 m. Tačiau po devynerių metų pastabūs matematikai išsiaiškino, kad teisingai apskaičiuoti tik pirmieji 527 simboliai. Kad ištaisytų klaidą, muziejus turėjo patirti nemažų išlaidų – dabar visi skaičiai teisingi.
Kai pasirodė kompiuteriai, Pi skaitmenų skaičius buvo pradėtas skaičiuoti visiškai neįsivaizduojama tvarka.
Vienas pirmųjų elektroninių kompiuterių ENIAC, sukurtas 1946 m., buvo milžiniško dydžio ir generavo tiek šilumos, kad kambarys sušilo iki 50 laipsnių Celsijaus, suskaičiavo pirmuosius 2037 Pi skaitmenis. Šis skaičiavimas užtruko 70 valandų.
Tobulėjant kompiuteriams, mūsų žinios apie Pi vis labiau judėjo į begalybę. 1958 metais buvo suskaičiuota 10 tūkstančių skaičiaus skaitmenų. 1987 metais japonai suskaičiavo 10 013 395 simbolius. 2011 metais japonų tyrinėtojas Shigeru Hondo viršijo 10 trilijonų simbolių ribą.
Kur dar galima sutikti Pi?
Taigi, dažnai mūsų žinios apie skaičių Pi lieka mokyklinio lygio, ir mes tikrai žinome, kad šis skaičius yra nepakeičiamas pirmiausia geometrijoje.
Be apskritimo ilgio ir ploto formulių, skaičius Pi naudojamas elipsių, rutulių, kūgių, cilindrų, elipsoidų ir tt formulėse: kai kuriose vietose formulės yra paprastos ir lengvai įsimenamos, o kitose juose yra labai sudėtingų integralų.
Tada skaičių Pi galime sutikti matematinėse formulėse, kur iš pirmo žvilgsnio geometrijos nesimato. Pavyzdžiui, neapibrėžtas integralas nuo 1/(1-x^2) yra lygus Pi.
Pi dažnai naudojamas serijų analizėje. Pavyzdžiui, čia yra paprasta serija, kuri susilieja su Pi:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Tarp serijų Pi pasirodo labiausiai netikėtai garsiojoje Riemann zeta funkcijoje. Trumpai apie tai kalbėti neįmanoma, tarkime, kad kada nors skaičius Pi padės rasti pirminių skaičių skaičiavimo formulę.
Ir visiškai stebėtina: Pi yra dviejose gražiausiose „karališkose“ matematikos formulėse - Stirlingo formulėje (kuri padeda rasti apytikslę faktorialo ir gama funkcijos reikšmę) ir Eulerio formulėje (kuri jungia net penkias matematines konstantas).
Tačiau tikimybių teorijos matematikų laukė netikėčiausias atradimas. Skaičius Pi taip pat yra.
Pavyzdžiui, tikimybė, kad du skaičiai bus santykinai pirminiai, yra 6/PI^2.
Pi atsiranda XVIII amžiuje suformuluotoje Buffono adatos metimo problemoje: kokia tikimybė, kad adata, užmesta ant brūkšniuoto popieriaus lapo, kirs vieną iš linijų. Jei adatos ilgis L, o atstumas tarp eilučių yra L, o r > L, tai Pi reikšmę galime apytiksliai apskaičiuoti naudodami tikimybės formulę 2L/rPI. Įsivaizduokite – mes galime gauti Pi iš atsitiktiniai įvykiai. Ir, beje, Pi yra normaliame tikimybių skirstinyje, pasirodo garsiosios Gauso kreivės lygtyje. Ar tai reiškia, kad Pi yra dar svarbesnis nei tiesiog apskritimo ir skersmens santykis?
Pi galime sutikti ir fizikoje. Pi atsiranda Kulono dėsnyje, apibūdinančiame dviejų krūvių sąveikos jėgą, trečiajame Keplerio dėsnyje, kuris parodo planetos apsisukimo aplink Saulę periodą ir netgi pasirodo vandenilio atomo elektronų orbitalių išdėstyme. Ir vėl neįtikėtiniausia yra tai, kad skaičius Pi yra paslėptas Heisenbergo neapibrėžtumo principo – pagrindinio kvantinės fizikos dėsnio – formulėje.
Pi paslaptys
Carlo Sagano romane „Kontaktas“, kurio pagrindu sukurtas to paties pavadinimo filmas, ateiviai pasakoja herojei, kad tarp Pi ženklų yra slapta Dievo žinia. Iš tam tikros padėties skaičiai nustoja būti atsitiktiniai ir reiškia kodą, kuriame surašytos visos Visatos paslaptys.
Šis romanas iš tikrųjų atspindėjo paslaptį, užvaldžiusią viso pasaulio matematikų mintis: ar Pi yra normalus skaičius, kuriame skaitmenys išsibarstę vienodu dažniu, ar su šiuo skaičiumi kažkas negerai? Ir nors mokslininkai yra linkę į pirmąjį variantą (bet negali to įrodyti), skaičius Pi atrodo labai paslaptingai. Vienas japonas kartą apskaičiavo, kiek kartų pirmajame trilijone Pi skaitmenų yra skaičiai nuo 0 iki 9. Ir pamačiau, kad skaičiai 2, 4 ir 8 buvo labiau paplitę nei kiti. Tai gali būti viena iš užuominų, kad Pi nėra visiškai normalus, o skaičiai jame iš tiesų nėra atsitiktiniai.
Prisiminkime viską, ką skaitėme aukščiau, ir paklauskime savęs, koks kitas neracionalus ir transcendentinis skaičius taip dažnai randamas realiame pasaulyje?
Ir dar daugiau keistenybių. Pavyzdžiui, pirmųjų dvidešimties Pi skaitmenų suma yra 20, o pirmųjų 144 skaitmenų suma yra lygi „žvėries skaičiui“ 666.
Pagrindinis amerikiečių serialo „Įtariamasis“ veikėjas profesorius Finchas studentams pasakojo, kad dėl skaičiaus Pi begalybės jame galima rasti bet kokią skaičių kombinaciją, pradedant nuo jūsų gimimo datos skaičių iki sudėtingesnių skaičių. . Pavyzdžiui, 762 pozicijoje yra šešių devynerių seka. Ši pozicija vadinama Feynmano tašku garsaus fiziko, pastebėjusio šį įdomų derinį, vardu.
Taip pat žinome, kad skaičiuje Pi yra seka 0123456789, tačiau jis yra ties 17 387 594 880 skaitmeniu.
Visa tai reiškia, kad skaičiaus Pi begalybėje galima rasti ne tik įdomių skaičių kombinacijų, bet ir užkoduotą „Karo ir taikos“ tekstą, Bibliją ir net Pagrindinė paslaptis Visata, jei toks dalykas egzistuoja.
Beje, apie Bibliją. Garsusis matematikos populiarintojas Martinas Gardneris 1966 metais pareiškė, kad milijoninis Pi skaitmuo (tuo metu dar nežinomas) bus skaičius 5. Savo skaičiavimus jis paaiškino tuo, kad angliškoje Biblijos versijoje, 3 a. knyga, 14 skyrius, 16 eilučių (3-14-16) septintame žodyje yra penkios raidės. Milijonas skaičius buvo pasiektas po aštuonerių metų. Tai buvo numeris penktas.
Ar verta po to teigti, kad skaičius Pi yra atsitiktinis?
Šiandien yra Pi gimtadienis, kuris Amerikos matematikų iniciatyva minimas kovo 14 dieną 1 valandą ir 59 minutes po pietų. Tai siejama su tikslesne Pi reikšme: mes visi esame įpratę šią konstantą laikyti 3,14, tačiau skaičių galima tęsti taip: 3,14159... Išvertus tai į kalendorinė data, gauname 03.14, 1:59.
Nuotrauka: AiF/ Nadežda Uvarova
Pietų Uralo valstybinio universiteto Matematinės ir funkcinės analizės katedros profesorius Vladimiras Zalyapinas sako, kad liepos 22-ąją vis tiek reikėtų laikyti „Pi diena“, nes Europos datos formate ši diena rašoma kaip 22/7, o šios trupmenos reikšmė. yra maždaug lygus Pi reikšmei.
„Skaičiaus, nurodančio apskritimo perimetro ir apskritimo skersmens santykį, istorija siekia tolimos senovės, sako Zalyapinas. – Jau šumerai ir babiloniečiai žinojo, kad šis santykis nepriklauso nuo apskritimo skersmens ir yra pastovus. Vieną pirmųjų skaičiaus Pi paminėjimų galima rasti tekstuose Egipto raštininkas Ahmesas(apie 1650 m. pr. Kr.). Senovės graikai, kurie daug skolinosi iš egiptiečių, prisidėjo prie šio paslaptingo kiekio vystymosi. Pasak legendos, Archimedas buvo taip nuviliotas skaičiavimų, kad nepastebėjo, kaip jį paėmė romėnų kareiviai gimtajame mieste Sirakūzai. Kai prie jo priėjo romėnų kareivis, Archimedas graikiškai sušuko: „Neliesk mano ratų! Atsakydamas į jį kareivis dūrė kardu.
Platonas už savo laiką gavo gana tikslią Pi reikšmę – 3,146. Ludolfas van Zeilenas išleista dauguma visą savo gyvenimą dirbo su pirmųjų 36 Pi skaitmenų po kablelio skaičiavimais, ir jie buvo išgraviruoti ant jo antkapio po jo mirties.Neracionalu ir nenormalu
Profesoriaus teigimu, visais laikais siekį skaičiuoti naujus skaitmenis po kablelio lėmė noras gauti tikslią šio skaičiaus reikšmę. Buvo daroma prielaida, kad Pi yra racionalus ir todėl gali būti išreikštas kaip paprasta trupmena. Ir tai iš esmės neteisinga!
Skaičius Pi taip pat populiarus, nes yra mistiškas. Nuo seniausių laikų egzistavo konstantos garbintojų religija. Be tradicinės Pi reikšmės – matematinės konstantos (3,1415...), išreiškiančios apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį, yra daug kitų skaičiaus reikšmių. Tokie faktai yra įdomūs. Matuojant Didžiosios Gizos piramidės matmenis, paaiškėjo, kad jos aukščio ir pagrindo perimetro santykis yra toks pat kaip ir apskritimo spindulys iki ilgio, tai yra, ½ Pi.
Jei Žemės pusiaujo ilgį apskaičiuosite naudodami Pi iki devintos dešimtosios dalies, skaičiavimų paklaida bus tik apie 6 mm. Trisdešimt devynių skaičių po kablelio Pi pakanka apskaičiuoti apskritimo, supančio žinomus kosminius objektus Visatoje, perimetrą, o paklaida ne didesnė už vandenilio atomo spindulį!
Pi tyrimas taip pat apima matematinę analizę. Nuotrauka: AiF/ Nadežda Uvarova
Chaosas skaičiuose
Matematikos profesoriaus teigimu, 1767 m Lambertas nustatė skaičiaus Pi neracionalumą, tai yra, kad neįmanoma jo pavaizduoti kaip dviejų sveikųjų skaičių santykio. Tai reiškia, kad Pi dešimtainių skaičių seka yra chaosas, įkūnytas skaičiais. Kitaip tariant, dešimtainių skaičių „uodegoje“ yra bet koks skaičius, bet kokia skaičių seka, bet kokie tekstai, kurie buvo, yra ir bus, tačiau šios informacijos tiesiog neįmanoma išgauti!„Neįmanoma žinoti tikslios Pi vertės“, - tęsia Vladimiras Iljičius. – Tačiau šių bandymų neatsisakoma. 1991 metais Chudnovskis pasiekė naują 2260000000 konstantos skaitmenų po kablelio, o 1994 m. – 4044000000. Po to teisingų Pi skaitmenų skaičius didėjo kaip lavina.
Kinui priklauso pasaulio rekordas, kaip įsiminti Pi Liu Chao, kuris sugebėjo be klaidų atsiminti 67 890 skaitmenų po kablelio ir atkurti juos per 24 valandas ir 4 minutes.
Apie „auksinį santykį“
Beje, ryšys tarp „pi“ ir kito nuostabaus dydžio – auksinio pjūvio – niekada nebuvo įrodytas. Žmonės jau seniai pastebėjo, kad „auksinė“ proporcija, taip pat žinoma kaip skaičius Phi, ir skaičius Pi, padalytas iš dviejų, skiriasi mažiau nei 3% (1,61803398... ir 1,57079632...). Tačiau matematikai šie trys procentai yra per didelis skirtumas, kad šios reikšmės būtų laikomos tapačiomis. Lygiai taip pat galime pasakyti, kad Pi skaičius ir Phi skaičius yra kitos gerai žinomos konstantos - Eilerio skaičiaus - giminės, nes jo šaknis yra arti pusės Pi skaičiaus. Viena Pi pusė yra 1,5708, Phi yra 1,6180, E šaknis yra 1,6487.
Tai tik dalis Pi vertės. Nuotrauka: ekrano kopija
Pi gimtadienis
Pietų Urale valstybinis universitetas Konstanto gimtadienį švenčia visi matematikos mokytojai ir mokiniai. Taip buvo visada – negalima sakyti, kad susidomėjimas atsirado tik tuo pastaraisiais metais. Skaičius 3.14 pasitinkamas net specialiu šventiniu koncertu!
Apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams. Šis santykis paprastai žymimas graikiška raide („pi“ - graikiško žodžio pradinė raidė 
, o tai reiškė „ratas“).
Archimedas savo darbe „Apskritimo matavimas“ apskaičiavo apskritimo ir skersmens (skaičiaus) santykį ir nustatė, kad jis yra nuo 3 10/71 iki 3 1/7.
Ilgą laiką kaip apytikslis dydis buvo naudojamas skaičius 22/7, nors jau V amžiuje Kinijoje buvo rastas apytikslis 355/113 = 3,1415929..., kuris Europoje buvo iš naujo atrastas tik XVI amžiuje.
IN Senovės Indija laikoma lygia = 3,1622….
Prancūzų matematikas F. Viète'as 9 skaitmenimis apskaičiavo 1579 m.
Olandų matematikas Ludolfas Van Zeijlenas 1596 metais paskelbė savo dešimties metų darbo rezultatą – skaičių, apskaičiuotą 32 skaitmenimis.
Bet visi šie skaičiaus vertės paaiškinimai buvo atlikti naudojant Archimedo nurodytus metodus: apskritimas buvo pakeistas daugiakampiu su visais didelis skaičius pusės Įbrėžto daugiakampio perimetras buvo mažesnis už apskritimo perimetrą, o apibrėžtojo daugiakampio perimetras buvo didesnis. Tačiau tuo pat metu liko neaišku, ar skaičius buvo racionalus, tai yra dviejų sveikųjų skaičių santykis, ar neracionalus.
Tik 1767 metais vokiečių matematikas I.G. Lambertas įrodė, kad skaičius yra neracionalus.
Ir po daugiau nei šimto metų, 1882 m., kitas vokiečių matematikas F. Lindemannas įrodė savo transcendenciją, o tai reiškė, kad naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma sukonstruoti kvadrato, kurio dydis būtų lygus duotam apskritimui.
Paprasčiausias matavimas
Ant storo kartono nubrėžkite skersmens apskritimą d(=15 cm), iškirpkite gautą apskritimą ir apvyniokite jį plonu siūlu. Ilgio matavimas l(=46,5 cm) vienas pilnas sriegio apsisukimas, padalinti l per skersmens ilgį d apskritimai. Gautas koeficientas bus apytikslė skaičiaus reikšmė, t.y. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Šis gana neapdorotas metodas įprastomis sąlygomis suteikia apytikslę skaičiaus reikšmę, tikslią 1.
Matavimas sveriant
Ant kartono lapo nupieškite kvadratą. Parašykime jame apskritimą. Iškirpkime kvadratą. Kartoninio kvadrato masę nustatykime mokyklinėmis svarstyklėmis. Iš kvadrato išpjaukime apskritimą. Pasverkime ir jį. Žinant aikštės mases m kv. (=10 g) ir jame įrašytą apskritimą m kr (=7,8 g) panaudokime formules
kur p ir h– atitinkamai kartono tankis ir storis, S– figūros plotas. Panagrinėkime lygybes:
Natūralu, kad šiuo atveju apytikslė vertė priklauso nuo svėrimo tikslumo. Jei sveriamos kartoninės figūros yra gana didelės, net ir ant įprastų svarstyklių galima gauti tokias masės vertes, kurios užtikrins apytikslį skaičių 0,1 tikslumu.
Sumuojant puslankiu įbrėžtų stačiakampių plotus
1 pav
Tegu A (a; 0), B (b; 0). Apibūdinkime puslankį ant AB kaip skersmenį. Atkarpą AB padalinkite į n lygių dalių taškais x 1, x 2, ..., x n-1 ir iš jų atkurkite statmenis į sankirtą su puslankiu. Kiekvieno tokio statmens ilgis yra funkcijos f(x)= reikšmė. Iš 1 paveikslo aišku, kad puslankio plotą S galima apskaičiuoti naudojant formulę
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
Mūsų atveju b = 1, a = -1. Tada = 2 S.
Kuo daugiau skirstymo taškų yra segmente AB, tuo tikslesnės bus reikšmės. Monotoniškam skaičiavimo darbui palengvinti padės kompiuteris, kuriam žemiau pateikta 1 programa, sudaryta BASIC.
1 programaREM "Pi skaičiavimas"
REM „stačiakampio metodas“
INPUT "Įveskite stačiakampių skaičių", n
dx = 1/n
KAI i = 0 IKI n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
KITAS i
p = 4 * dx * a
SPAUSDINTI "Pi reikšmė yra", p
PABAIGA
Programa buvo įvesta ir paleista su skirtingomis parametrų reikšmėmis n. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:
Monte Karlo metodas
Tai iš tikrųjų yra statistinio tikrinimo metodas. Egzotišką pavadinimą jis gavo nuo Monte Karlo miesto Monako Kunigaikštystėje, garsėjančio lošimo namais. Faktas yra tas, kad metodas reikalauja naudoti atsitiktinius skaičius, o vienas iš paprasčiausių įrenginių, generuojančių atsitiktinius skaičius, yra ruletė. Tačiau atsitiktinius skaičius galite gauti naudodami... lietų.
Eksperimentui paruošime kartono gabalėlį, nupieškime ant jo kvadratą ir į kvadratą įbrėžkime ketvirtadalį apskritimo. Jei toks piešinys kurį laiką bus laikomas lietuje, tada ant jo paviršiaus liks lašų pėdsakai. Suskaičiuokime takelių skaičių kvadrato viduje ir ketvirčio apskritimo viduje. Akivaizdu, kad jų santykis bus maždaug lygus šių figūrų plotų santykiui, nes lašai vienoda tikimybe pateks į skirtingas brėžinio vietas. Leiskite N kr- lašų skaičius apskritime, N kv. yra lašų skaičius kvadratu, tada
4 N kr / N kv.
2 pav
Lietus gali būti pakeistas atsitiktinių skaičių lentele, kuri yra sudaryta kompiuteriu naudojant specialią programą. Kiekvienam lašo pėdsakui priskirkime du atsitiktinius skaičius, apibūdinančius jo padėtį išilgai ašių Oi Ir Oi. Atsitiktinius skaičius iš lentelės galima pasirinkti bet kokia tvarka, pavyzdžiui, iš eilės. Tegul pirmasis keturių skaitmenų skaičius lentelėje 3265 . Iš jo galite paruošti skaičių porą, kurių kiekvienas yra didesnis už nulį ir mažesnis nei vienas: x = 0,32, y = 0,65. Šiuos skaičius laikysime kritimo koordinatėmis, t.y., atrodo, kad kritimas pataikė į tašką (0,32; 0,65). Tą patį darome su visais atrinktais atsitiktiniai skaičiai. Jei paaiškės, kad dėl reikalo (x;y) Jei nelygybė galioja, ji yra už apskritimo ribų. Jeigu x + y = 1, tada taškas yra apskritimo viduje.
Norėdami apskaičiuoti vertę, vėl naudojame formulę (1). Skaičiavimo paklaida naudojant šį metodą paprastai yra proporcinga , kur D yra konstanta, o N yra bandymų skaičius. Mūsų atveju N = N kv. Iš šios formulės aišku: norint sumažinti paklaidą 10 kartų (kitaip tariant, gauti dar vieną teisingą atsakyme po kablelio), reikia 100 kartų padidinti N, t.y. darbo kiekį. Akivaizdu, kad Monte Karlo metodo panaudojimas tapo įmanomas tik kompiuterių dėka. 2 programa įdiegia aprašytą metodą kompiuteryje.
2 programaREM "Pi skaičiavimas"
REM "Monte Karlo metodas"
ĮVESTIS „Įveskite lašų skaičių“, n
m = 0
i = 1 IKI n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
JEI x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
KITAS i
p=4*m/n
PABAIGA
Programa buvo įvesta ir paleista su skirtingomis parametro n reikšmėmis. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:
| n | ||||||
| n | ||||||
Adatos nuleidimo metodas
Paimkime įprastą siuvimo adatą ir popieriaus lapą. Ant lapo nubrėžsime kelias lygiagrečias linijas, kad atstumai tarp jų būtų vienodi ir viršytų adatos ilgį. Piešinys turi būti pakankamai didelis, kad netyčia išmesta adata nepatektų už jos ribų. Įveskime tokį užrašą: A- atstumas tarp eilučių, l– adatos ilgis.
3 pav
Atsitiktinai į brėžinį užmestos adatos padėtis (žr. 3 pav.) nustatoma pagal atstumą X nuo jos vidurio iki artimiausios tiesės ir kampo j, kurį adata daro, kai statmena nuleista nuo adatos vidurio iki artimiausia tiesi linija (žr. 4 pav.). Tai aišku
4 pav
Fig. 5 pavaizduokime funkciją grafiškai y = 0,5 cos. Visos galimos adatų vietos apibūdinamos taškais su koordinatėmis (; y ), esantis ABCD skyriuje. Tamsinta AED sritis yra taškai, atitinkantys atvejį, kai adata kerta tiesią liniją. Įvykio tikimybė a– „adata kirto tiesią liniją“ – apskaičiuojama pagal formulę:
5 pav
Tikimybė p(a) galima apytiksliai nustatyti pakartotinai metant adatą. Leiskite adatą užmesti ant piešinio c vieną kartą ir p kadangi nukrito kertant vieną iš tiesių, tada su pakankamai dideliu c mes turime p(a) = p/c. Iš čia = 2 l s / a k.
komentuoti. Pateiktas metodas yra statistinio tyrimo metodo variantas. Tai įdomu didaktikos požiūriu, nes padeda sujungti paprastą patirtį su gana sudėtingo matematinio modelio sukūrimu.
Skaičiavimas naudojant Taylor seriją
Pereikime prie savavališkos funkcijos svarstymo f(x). Tarkime, kad jai x 0 yra išvestinių visų kategorijų iki n imtinai. Tada dėl funkcijos f(x) galime parašyti Taylor seriją:
Skaičiavimai naudojant šią seriją bus tikslesni, kuo daugiau serijos narių bus įtraukta. Žinoma, geriausia šį metodą įdiegti kompiuteryje, kuriam galite naudoti 3 programą.
3 programaREM "Pi skaičiavimas"
REM "Taylor serijos plėtra"
ĮVESTIS n
a = 1
i = 1 IKI n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
KITAS i
p = 4 * a
PRINT "Pi reikšmė lygi"; p
PABAIGA
Programa buvo įvesta ir paleista įvairioms parametro n reikšmėms. Gautos skaičių reikšmės parašytos lentelėje:
Yra labai paprastos mnemoninės taisyklės, kaip įsiminti skaičiaus reikšmę: |
Daugelį amžių ir net, kaip bebūtų keista, tūkstantmečius žmonės suprato matematinės konstantos, lygios apskritimo perimetro ir jo skersmens santykiui, svarbą ir vertę mokslui. skaičius Pi vis dar nežinomas, bet su juo buvo susiję geriausi matematikai per visą mūsų istoriją. Dauguma jų norėjo tai išreikšti kaip racionalų skaičių.
1. Tyrėjai ir tikri skaičiaus Pi gerbėjai subūrė klubą, prie kurio prisijungti reikia pakankamai žinoti mintinai didelis skaičius jo ženklai.
2. Nuo 1988 metų švenčiama „Pi diena“, kuri patenka į kovo 14 d. Su jo atvaizdu ruošia salotas, pyragus, sausainius, pyragus.
3. Skaičius Pi jau buvo įjungtas į muziką ir skamba visai neblogai. Jie netgi pastatė jam paminklą Amerikos Sietle priešais miesto meno muziejų.
Tuo tolimu metu jie bandė apskaičiuoti skaičių Pi naudodami geometriją. Tai, kad šis skaičius yra pastovus įvairiems apskritimams, žinojo Senovės Egipto, Babilono, Indijos ir geometrai. Senovės Graikija, kurie savo darbuose tvirtino, kad tai tik kiek daugiau nei trys.
Viename iš šventos knygos Džainizmas (senovės Indijos religija, atsiradusi VI amžiuje prieš Kristų) mini, kad tada skaičius Pi buvo laikomas lygiu dešimties kvadratinei šaknims, o tai galiausiai duoda 3,162... .
Senovės Graikijos matematikai matavo apskritimą statydami atkarpą, tačiau norėdami išmatuoti apskritimą, turėjo sukonstruoti lygų kvadratą, tai yra, jam ploto figūrą.
Kai jie dar nežinojo po kablelio, didysis Archimedas nustatė Pi reikšmę 99,9% tikslumu. Jis atrado metodą, kuris tapo daugelio vėlesnių skaičiavimų pagrindu, nubrėždamas taisyklingus daugiakampius apskritime ir apibūdindamas jį aplink jį. Dėl to Archimedas apskaičiavo Pi reikšmę kaip santykį 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Kinijoje matematikas ir teismo astronomas Zu Chongzhi V amžiuje prieš Kristų. e. nustatė tikslesnę Pi reikšmę, apskaičiuodamas ją septynių skaičių po kablelio tikslumu ir nustatė jos reikšmę tarp skaičių 3, 1415926 ir 3,1415927. Mokslininkams prireikė daugiau nei 900 metų, kad tęstų šią skaitmeninę seriją.
Viduramžiai
Žymus indų mokslininkas Madhava, gyvenęs XIV – XV amžių sandūroje ir tapęs Keralos astronomijos ir matematikos mokyklos įkūrėju, pirmą kartą istorijoje pradėjo dirbti su skaidymu. trigonometrinės funkcijosį gretas. Tiesa, išlikę tik du jo darbai, o kitiems žinomos tik nuorodos ir citatos iš jo mokinių. Moksliniame traktate „Mahajyanayana“, kuris priskiriamas Madhavai, teigiama, kad skaičius Pi yra 3,14159265359. O traktate „Sadratnamala“ skaičius pateikiamas dar tikslesniais skaičiais po kablelio: 3.14159265358979324. Nurodytų skaičių paskutiniai skaitmenys neatitinka teisingos reikšmės.
XV amžiuje Samarkando matematikas ir astronomas Al-Kashi apskaičiavo skaičių Pi su šešiolikos skaitmenų po kablelio. Jo rezultatas buvo laikomas tiksliausiu per ateinančius 250 metų.
W. Johnsonas, matematikas iš Anglijos, vienas pirmųjų apskritimo perimetro ir skersmens santykį pažymėjo raide π. Pi yra pirmoji graikiško žodžio „περιφέρεια“ raidė – apskritimas. Tačiau šis pavadinimas tapo visuotinai priimtas tik po to, kai 1736 m. jį panaudojo žymesnis mokslininkas L. Euleris.
Išvada
Šiuolaikiniai mokslininkai toliau dirba toliau skaičiuodami Pi vertes. Tam jau naudojami superkompiuteriai. 2011 m. mokslininkas iš Shigeru Kondo, bendradarbiaudamas su amerikiečių studentu Alexanderiu Yee, teisingai apskaičiavo 10 trilijonų skaitmenų seką. Tačiau vis dar neaišku, kas atrado skaičių Pi, kas pirmasis pagalvojo apie šią problemą ir atliko pirmuosius šio tikrai mistiško skaičiaus skaičiavimus.