이 기사에서는 적분 계산을 사용하여 선으로 둘러싸인 도형의 면적을 찾는 방법을 배웁니다. 우리는 고등학교 때 정적분에 대한 연구를 막 마친 후 실제로 습득한 지식의 기하학적 해석을 시작할 때 이러한 문제의 정식화를 처음 접하게 됩니다.

따라서 적분을 사용하여 그림의 영역을 찾는 문제를 성공적으로 해결하려면 무엇이 필요합니까?

유능한 도면을 만드는 능력;
잘 알려진 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 정적분을 풀 수 있는 능력
보다 수익성이 높은 솔루션 옵션을 "볼" 수 있는 능력 - 즉 어떤 경우든 통합을 수행하는 것이 어떻게 더 편리할지 이해하십니까? x축(OX)을 따라 또는 y축(OY)을 따라?
음, 올바른 계산이 없다면 우리는 어떻게 될까요?) 여기에는 다른 유형의 적분을 풀고 수치 계산을 수정하는 방법을 이해하는 것이 포함됩니다.

선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산하는 문제를 해결하기 위한 알고리즘:

1. 우리는 그림을 만들고 있습니다. 이 작업은 체크 무늬 종이에 대규모로 수행하는 것이 좋습니다. 각 그래프 위에 연필로 이 함수의 이름을 서명합니다. 그래프 서명은 추가 계산의 편의를 위해서만 수행됩니다. 원하는 수치의 그래프를 받으면 대부분의 경우 어떤 통합 한계가 사용될지 즉시 알 수 있습니다. 따라서 우리는 문제를 그래픽으로 해결합니다. 그러나 한계 값이 분수이거나 비합리적인 경우가 있습니다. 따라서 추가 계산을 할 수 있습니다. 2단계로 이동하세요.

2. 적분 한계가 명시적으로 지정되지 않은 경우 그래프가 서로 교차하는 지점을 찾고 그래픽 솔루션분석적으로.

3. 다음으로 도면을 분석해야 합니다. 함수 그래프를 어떻게 배열하느냐에 따라 도형의 넓이를 구하는 접근 방식이 달라집니다. 고려해 봅시다 다른 예적분을 이용하여 도형의 넓이를 구하는 방법.

3.1. 문제의 가장 고전적이고 간단한 버전은 곡선 사다리꼴의 면적을 찾아야 할 때입니다. 곡선 사다리꼴이란 무엇입니까? 이것은 x축으로 제한된 평면 그림입니다. (y = 0), 똑바로 x = a, x = b그리고 다음 구간에서 연속적인 모든 곡선은 에이에게 비. 게다가 이 수치는 음수가 아니며 x축 아래에 위치하지 않습니다. 이 경우 곡선 사다리꼴의 면적은 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산된 특정 적분과 수치적으로 동일합니다.

실시예 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

도형은 어떤 선으로 둘러싸여 있나요? 우리에겐 포물선이 있어요 y = x2 – 3x + 3, 축 위에 위치 오, 이는 음수가 아니기 때문에 이 포물선의 모든 점은 양수 값. 다음으로 주어진 직선 엑스 = 1그리고 엑스 = 3, 축과 평행하게 실행 연산 증폭기, 은 그림의 왼쪽과 오른쪽 경계선입니다. 잘 와이 = 0, 이는 아래에서 그림을 제한하는 x축이기도 합니다. 결과 그림은 왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이 음영처리되어 있습니다. 안에 이 경우, 즉시 문제 해결을 시작할 수 있습니다. 우리 앞에는 곡선 사다리꼴의 간단한 예가 있으며, 이를 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 더 풀어보겠습니다.

3.2. 이전 문단 3.1에서는 휘어진 사다리꼴이 x축 위에 위치하는 경우를 살펴보았다. 이제 함수가 x축 아래에 있다는 점을 제외하고 문제의 조건이 동일한 경우를 고려해 보겠습니다. 표준 뉴턴-라이프니츠 공식에 마이너스가 추가됩니다. 아래에서 이러한 문제를 해결하는 방법을 고려해 보겠습니다.

실시예 2 . 선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산합니다. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

안에 이 예에서는우리에겐 포물선이 있어요 y = x2 + 6x + 2, 이는 축에서 시작됩니다. 오, 똑바로 x = -4, x = -1, y = 0. 여기 와이 = 0위에서 원하는 수치를 제한합니다. 직접 x = -4그리고 x = -1이는 정적분이 계산되는 경계입니다. 그림의 넓이를 구하는 문제를 해결하는 원리는 예제 번호 1과 거의 완전히 일치합니다. 유일한 차이점은 주어진 함수가 양수가 아니며 간격에서도 연속적이라는 것입니다. [-4; -1] . 긍정적이지 않다니 무슨 뜻인가요? 그림에서 볼 수 있듯이, 주어진 x 내에 있는 그림은 문제를 해결할 때 보고 기억해야 하는 "음수" 좌표만을 갖습니다. 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 그림의 면적을 찾습니다. 처음에는 빼기 기호만 사용합니다.

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문제 1(곡선 사다리꼴의 면적 계산에 대해).

직교 직교 좌표계 xOy에서는 x 축, 직선 x = a, x = b (곡선 사다리꼴로 a)로 경계가 지정된 그림이 제공됩니다 (그림 참조). 곡선의 면적을 계산하는 데 필요합니다. 사다리꼴.
해결책.기하학은 다각형의 면적과 원의 일부(섹터, 세그먼트)를 계산하는 방법을 제공합니다. 기하학적 고려 사항을 사용하면 필요한 면적의 대략적인 값만 찾을 수 있으며 다음과 같이 추론됩니다.

세그먼트 [a; b] (곡선 사다리꼴의 밑면) on n 동등한 부분; 이 분할은 x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 점을 사용하여 수행됩니다. 이 점들을 지나 y축에 평행한 직선을 그려 보겠습니다. 그런 다음 주어진 곡선 사다리꼴은 n개의 부분, 즉 n개의 좁은 열로 분할됩니다. 전체 사다리꼴의 면적은 기둥 면적의 합과 같습니다.

k번째 열을 별도로 고려해 보겠습니다. 밑면이 선분인 곡선 사다리꼴. 밑변과 높이가 f(x k)와 같은 직사각형으로 바꿔보겠습니다(그림 참조). 직사각형의 면적은 $f(x_k) \cdot \Delta x_k $와 같습니다. 여기서 $\Delta x_k $는 세그먼트의 길이입니다. 결과값을 k번째 열의 면적에 대한 대략적인 값으로 간주하는 것은 당연하다.

이제 다른 모든 열에 대해 동일한 작업을 수행하면 다음 결과에 도달하게 됩니다. 주어진 곡선 사다리꼴의 면적 S는 n 개의 직사각형으로 구성된 계단형 그림의 면적 S n과 거의 같습니다(그림 참조).
$S_n = f(x_0)\델타 x_0 + \dots + f(x_k)\델타 x_k + \dots + f(x_(n-1))\델타 x_(n-1) $
여기서는 표기의 통일성을 위해 a = x 0, b = x n이라고 가정합니다. $\Delta x_0 $ - 세그먼트의 길이, $\Delta x_1 $ - 세그먼트의 길이 등. 이 경우 위에서 합의한 대로 $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

따라서 $S \about S_n $이며 이 대략적인 동일성은 n이 클수록 더 정확합니다.
정의에 따르면 곡선 사다리꼴의 필요한 영역은 시퀀스의 한계(Sn)와 동일하다고 믿어집니다.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

문제 2(포인트 이동에 대해)
재료점은 직선으로 움직입니다. 시간에 대한 속도의 의존성은 공식 v = v(t)로 표현됩니다. 일정 기간 동안의 점 이동을 구합니다 [a; 비].
해결책.움직임이 균일하다면 문제는 매우 간단하게 해결될 것입니다: s = vt, 즉 s = v(b-a). 고르지 못한 움직임의 경우 이전 문제에 대한 해결책의 기반이 된 것과 동일한 아이디어를 사용해야 합니다.
1) 시간 간격 [a; b]를 n개의 동일한 부분으로 나눕니다.
2) 일정 기간을 고려하고 이 기간 동안 속도는 시간 t k와 마찬가지로 일정하다고 가정합니다. 따라서 우리는 v = v(t k)라고 가정합니다.
3) 일정 기간 동안의 지점 이동의 대략적인 값을 찾아보겠습니다. 이 대략적인 값을 s k로 표시하겠습니다.
$s_k = v(t_k) \델타 t_k $
4) 변위 s의 대략적인 값을 찾으십시오.
$s \대략 S_n $ 여기서
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\델타 t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \델타 t_(n-1) $
5) 필요한 변위는 시퀀스의 한계(Sn)와 같습니다.
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

요약해보자. 다양한 문제에 대한 솔루션이 동일한 수학적 모델로 축소되었습니다. 다양한 과학기술 분야의 많은 문제가 해결 과정에서 동일한 모델로 이어집니다. 이는 이 수학적 모델을 특별히 연구해야 함을 의미합니다.

정적분의 개념

구간 [a; 비]:
1) 세그먼트를 분할합니다 [a; b] n개의 동일한 부분으로;
2) 합계 $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$를 구성합니다.
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$를 계산합니다.

수학적 분석 과정에서 연속(또는 조각별 연속) 함수의 경우 이 한계가 존재한다는 것이 입증되었습니다. 그들은 그를 부른다 세그먼트 [a; 비]다음과 같이 표시됩니다.
$\int\limits_a^b f(x) dx $
숫자 a와 b를 적분 한계(각각 하한과 상한)라고 합니다.

위에서 논의한 작업으로 돌아가 보겠습니다. 문제 1에 주어진 면적의 정의는 이제 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
여기서 S는 위 그림에 표시된 곡선 사다리꼴의 면적입니다. 이것은 명확한 적분의 기하학적 의미.

문제 2에 주어진 t = a에서 t = b까지의 시간 동안 속도 v = v(t)로 직선으로 이동하는 점의 변위 s 정의는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

뉴턴-라이프니츠 공식

먼저 질문에 답해 봅시다: 정적분과 역도함수 사이의 연관성은 무엇입니까?

답은 문제 2에서 찾을 수 있습니다. 한편, t = a에서 t = b까지의 시간 동안 속도 v = v(t)로 직선으로 이동하는 점의 변위 s는 다음과 같이 계산됩니다. 공식
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

반면에 이동점의 좌표는 속도에 대한 역도함수입니다. 이를 s(t)로 표시하겠습니다. 이는 변위 s가 공식 s = s(b) - s(a)로 표현된다는 것을 의미합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
여기서 s(t)는 v(t)의 역도함수입니다.

다음 정리는 수학적 분석 과정에서 입증되었습니다.
정리. 함수 y = f(x)가 구간 [a; b]이면 공식이 유효합니다.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
여기서 F(x)는 f(x)의 역도함수입니다.

주어진 공식은 일반적으로 뉴턴-라이프니츠 공식영국의 물리학자 아이작 뉴턴(1643-1727)을 기리기 위해 독일 철학자고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz, 1646-1716)는 그것을 서로 독립적으로 거의 동시에 받아들였습니다.

실제로는 F(b) - F(a)를 쓰는 대신 $\left.F(x)\right|_a^b $ 표기법을 사용합니다. 이중 치환) 이에 따라 Newton-Leibniz 공식을 다음 형식으로 다시 작성합니다.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left.F(x)\right|_a^b $

정적분을 계산할 때는 먼저 역도함수를 구한 다음 이중 치환을 수행합니다.

뉴턴-라이프니츠 공식에 기초하여 정적분의 두 가지 속성을 얻을 수 있습니다.

속성 1.함수 합의 적분은 적분의 합과 같습니다.
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

속성 2.상수 요소는 적분 부호에서 제외될 수 있습니다.
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

정적분을 사용하여 평면 도형의 면적 계산

적분을 사용하면 곡선 사다리꼴의 면적뿐만 아니라 더 많은 평면 수치도 계산할 수 있습니다. 복합형, 예를 들어 그림에 표시된 것과 같습니다. 그림 P는 직선 x = a, x = b와 연속 함수 y = f(x), y = g(x) 및 세그먼트 [a; b] 부등식 $g(x) \leq f(x) $이 유지됩니다. 이러한 그림의 면적 S를 계산하려면 다음과 같이 진행합니다.
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

따라서 직선 x = a, x = b와 함수 y = f(x), y = g(x)의 그래프로 둘러싸인 그림의 영역 S는 세그먼트에서 연속적이고 세그먼트의 모든 x에 대해 다음과 같습니다. [에이; b] 부등식 $g(x) \leq f(x) $이 충족되며 다음 공식으로 계산됩니다.
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

일부 함수의 부정 적분(역도함수) 표

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

사실, 도형의 넓이를 구하기 위해서는 부정적분과 정적분에 대한 지식이 그다지 필요하지 않습니다. "정적분을 사용하여 면적을 계산하는" 작업에는 항상 도면 작성이 포함됩니다., 훨씬 더 시사적인 문제그림에 대한 지식과 기술이 될 것입니다. 이와 관련하여 주요 그래프의 기억을 새로 고치는 것이 유용합니다. 기본 기능, 그리고 최소한 직선과 쌍곡선을 구성할 수 있어야 합니다.

곡선 사다리꼴은 축, 직선, 이 구간에서 부호가 변하지 않는 선분에서 연속되는 함수 그래프로 둘러싸인 평면 도형입니다. 이 그림을 위치시키자 더 낮지 않아 x축:

그 다음에 곡선 사다리꼴의 면적은 수치 적으로 명확한 적분과 같습니다. 존재하는 모든 정적분은 매우 좋은 기하학적 의미를 갖습니다.

기하학의 관점에서 정적분은 AREA입니다..

즉,특정 적분(존재하는 경우)은 기하학적으로 특정 그림의 영역에 해당합니다. 예를 들어 정적분을 생각해 보세요. 피적분자는 축 위에 위치한 평면에 곡선을 정의하며(원하는 사람은 그림을 그릴 수 있음) 정적분 자체가 수치적으로 면적과 동일해당 곡선 사다리꼴.

실시예 1

이것은 일반적인 할당문입니다. 먼저 그리고 가장 중요한 순간솔루션 - 도면 도면. 또한 도면을 구성해야 합니다. 오른쪽.

도면을 구성할 때 다음 순서를 권장합니다. 처음에는(존재하는 경우) 모든 직선을 구성하는 것이 더 낫습니다. 그 다음에- 포물선, 쌍곡선, 기타 함수 그래프. 함수 그래프를 작성하는 것이 더 수익성이 높습니다. 한 점씩.

이 문제에서 해결책은 다음과 같습니다.
그림을 그려보겠습니다(방정식은 축을 정의합니다).

세그먼트에는 함수 그래프가 있습니다. 축 위, 그 이유는 다음과 같습니다.

답변:

작업이 완료된 후에는 그림을 보고 답이 진짜인지 알아내는 것이 항상 유용합니다. 이 경우 "눈으로" 그림의 셀 수를 계산합니다. 음, 약 9개가 될 것입니다. 사실인 것 같습니다. 예를 들어 우리가 대답을 얻었다면 다음과 같습니다. 20 평방 단위, 그러면 어딘가에서 실수가 발생한 것이 분명합니다. 20개의 셀이 문제의 그림에 분명히 맞지 않습니다(최대 12개). 대답이 부정적이면 작업도 잘못 해결된 것입니다.

실시예 3

선과 좌표축으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

해결책: 그림을 그려보자:

곡선형 사다리꼴이 있는 경우 차축 아래(또는 적어도 더 높지 않아주어진 축), 그 면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다:

이 경우:

주목! 두 가지 유형의 작업을 혼동해서는 안 됩니다.:

1) 기하학적 의미 없이 단순히 정적분을 풀도록 요청받는 경우, 이는 음수가 될 수 있습니다.

2) 정적분을 사용하여 도형의 넓이를 구하라는 요청을 받으면 그 넓이는 항상 양수입니다! 이것이 방금 논의한 공식에 마이너스가 나타나는 이유입니다.

실제로 그림은 위쪽 및 아래쪽 절반 평면에 위치하는 경우가 가장 많으므로 가장 간단한 학교 문제부터 보다 의미 있는 예로 넘어갑니다.

실시예 4

선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 구합니다.

해결책: 먼저 그림을 완성해야 합니다. 일반적으로 영역 문제에서 도면을 작성할 때 우리는 선의 교차점에 가장 관심이 있습니다. 포물선과 직선의 교차점을 찾아봅시다. 이는 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 분석적입니다. 우리는 방정식을 푼다:

이는 적분의 하한이 이고, 적분의 상한이 임을 의미합니다.

가능하다면 이 방법은 사용하지 않는 것이 좋습니다..

라인을 하나씩 구성하는 것이 훨씬 더 수익성이 높고 빠르며 통합의 한계는 "스스로" 분명해집니다. 그럼에도 불구하고, 예를 들어 그래프가 충분히 크거나 상세한 구성이 적분의 한계를 드러내지 않은 경우(분수 또는 비합리적일 수 있음) 한계를 찾는 분석적 방법을 여전히 사용해야 하는 경우가 있습니다. 그리고 우리는 그러한 예도 고려할 것입니다.

우리의 작업으로 돌아가 보겠습니다. 먼저 직선을 만든 다음 포물선을 만드는 것이 더 합리적입니다. 그림을 그려보자:

이제 작동 공식은: 세그먼트에 연속적인 기능이 있는 경우 보다 크거나 같음어떤 연속적인 기능, 그리고 그림의 영역, 일정에 따라 제한됨주어진 함수와 직선 , 은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

여기서는 더 이상 그림의 위치(축 위 또는 축 아래)에 대해 생각할 필요가 없으며 대략적으로 말하면 어느 그래프가 더 높은지가 중요합니다(다른 그래프와 비교), 그리고 어느 것이 아래에 있나요?.

고려 중인 예에서 세그먼트에서 포물선이 직선 위에 위치하므로 다음에서 빼야 한다는 것이 분명합니다.

완성된 솔루션은 다음과 같습니다.

원하는 그림은 위의 포물선과 아래의 직선으로 제한됩니다.
세그먼트에서 해당 공식에 따라:

답변:

실시예 4

, , , 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

해결책: 먼저 그림을 그려보겠습니다.

우리가 찾아야 할 영역이 파란색으로 표시된 그림(상태를 주의 깊게 살펴보십시오 - 수치가 어떻게 제한되어 있는지!). 그러나 실제로는 부주의로 인해 녹색으로 음영 처리된 도형의 영역을 찾아야 하는 "글리치"가 자주 발생합니다!

이 예는 두 개의 정적분을 사용하여 도형의 면적을 계산한다는 점에서도 유용합니다.

정말:

1) 축 위의 세그먼트에는 직선 그래프가 있습니다.

2) 축 위의 선분에는 쌍곡선 그래프가 있습니다.

영역이 추가될 수 있고 추가되어야 한다는 것은 매우 분명합니다. 따라서:

작업 번호 3. 그림을 만들고 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

적용된 문제의 해결에 적분 적용

면적 계산

음이 아닌 연속 함수 f(x)의 정적분은 수치적으로 다음과 같습니다.곡선 y = f(x), O x 축 및 직선 x = a 및 x = b로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 영역. 이에 따라 면적 공식은 다음과 같이 작성됩니다.

평면도형의 면적을 계산하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

작업 번호 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 선으로 둘러싸인 면적을 계산합니다.

해결책.우리가 계산해야 할 면적의 그림을 만들어 봅시다.

y = x 2 + 1 은 가지가 위쪽을 향하는 포물선이고, 포물선은 O y 축을 기준으로 한 단위 위쪽으로 이동합니다(그림 1).

그림 1. 함수 y = x 2 + 1의 그래프

작업 번호 2. 0에서 1까지의 범위에서 y = x 2 – 1, y = 0 선으로 둘러싸인 영역을 계산합니다.

해결책.이 함수의 그래프는 위쪽을 향하는 가지의 포물선이며, 포물선은 O y 축을 기준으로 한 단위 아래로 이동합니다(그림 2).

그림 2. 함수 y = x 2 – 1의 그래프

작업 번호 3. 그림을 만들고 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

y = 8 + 2x – x 2 및 y = 2x – 4.

해결책.이 두 선 중 첫 번째 선은 x 2의 계수가 음수이므로 가지가 아래쪽을 향하는 포물선이고 두 번째 선은 두 좌표축을 교차하는 직선입니다.

포물선을 구성하기 위해 정점의 좌표를 찾습니다: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – 정점의 가로좌표; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9는 세로 좌표이고 N(1;9)은 정점입니다.

이제 방정식 시스템을 풀어 포물선과 직선의 교차점을 찾아보겠습니다.

좌변이 동일한 방정식의 우변을 동일시합니다.

우리는 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 또는 x 2 – 12 = 0을 얻습니다. .

따라서 점은 포물선과 직선의 교차점입니다(그림 1).

그림 3 함수 y = 8 + 2x – x 2 및 y = 2x – 4의 그래프

직선 y = 2x – 4를 구성해 보겠습니다. 이는 좌표축의 점 (0;-4), (2;0)을 통과합니다.

포물선을 구성하려면 0x 축과의 교차점, 즉 방정식 8 + 2x – x 2 = 0 또는 x 2 – 2x – 8 = 0의 근을 사용할 수도 있습니다. Vieta의 정리를 사용하면 쉽습니다. 그 근을 찾으려면: x 1 = 2, x 2 = 4.

그림 3은 이러한 선으로 둘러싸인 그림(포물선 세그먼트 M 1 N M 2)을 보여줍니다.

문제의 두 번째 부분은 이 그림의 넓이를 구하는 것입니다. 그 면적은 다음 공식에 따라 정적분을 사용하여 구할 수 있습니다. .

이 조건과 관련하여 우리는 적분을 얻습니다.

2 회전체의 부피 계산

O x 축을 중심으로 곡선 y = f(x)를 회전하여 얻은 몸체의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.

O y 축을 중심으로 회전하면 공식은 다음과 같습니다.

작업 번호 4. O x 축을 중심으로 직선 x = 0 x = 3과 곡선 y =로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 회전에서 얻은 몸체의 부피를 결정합니다.

해결책.그림을 그려보자(그림 4).

그림 4. 함수 y =의 그래프

필요한 볼륨은

작업 번호 5. O y축을 중심으로 곡선 y = x 2와 직선 y = 0 및 y = 4로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 회전에서 얻은 몸체의 부피를 계산합니다.

해결책.우리는:

질문 검토

우리는 계산 과정 자체를 고려하기 시작합니다 이중 적분기하학적 의미를 알아보세요.

이중 적분은 평면 도형의 면적(적분 영역)과 수치적으로 동일합니다. 이것 가장 단순한 형태이중 적분, 두 변수의 함수가 1일 때: .

먼저 문제를 생각해 봅시다. 일반적인 견해. 이제 모든 것이 정말 단순하다는 사실에 놀라실 것입니다! 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산해 봅시다. 명확성을 위해 세그먼트에서 다음과 같이 가정합니다. 이 그림의 면적은 수치적으로 다음과 같습니다.

그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

해당 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 선택해 보겠습니다.

따라서:

그리고 즉시 중요한 기술 기술: 반복 적분은 별도로 계산할 수 있습니다. 먼저 내부 적분, 그 다음 외부 적분. 이 방법해당 분야의 초보자에게 적극 추천합니다.

1) 내부 적분을 계산하고 변수 "y"에 대해 적분을 수행합니다.

부정 적분여기에 가장 간단한 것이 있고, 그런 다음 진부한 뉴턴-라이프니츠 공식이 사용됩니다. 유일한 차이점은 적분의 한계는 숫자가 아니라 함수이다. 먼저 상한을 "y"(역도함수)로 대체한 다음 하한을

2) 첫 번째 단락에서 얻은 결과는 외부 적분으로 대체되어야 합니다.

전체 솔루션을 보다 간결하게 표현하면 다음과 같습니다.

결과 수식 "보통"을 사용하여 평평한 그림의 면적을 계산하는 작업 공식입니다. 정적분! 강의 보기 정적분을 사용하여 면적 계산, 그녀는 모든 단계에 있습니다!

즉, 이중 적분을 이용한 면적 계산 문제 별로 다르지 않아정적분을 이용하여 넓이를 구하는 문제에서!사실, 그것은 같은 것입니다!

따라서 어려움이 발생해서는 안됩니다! 실제로 이 작업을 여러 번 경험해 봤기 때문에 많은 예를 살펴보지는 않겠습니다.

실시예 9

해결책:그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

다음과 같은 영역 순회 순서를 선택하겠습니다.

첫 번째 단락에서 매우 자세한 설명이 제공되었으므로 여기에서는 해당 지역을 통과하는 방법에 대해 언급하지 않겠습니다.

따라서:

이미 언급했듯이 초보자는 반복 적분을 별도로 계산하는 것이 더 좋으며 동일한 방법을 고수하겠습니다.

1) 먼저 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 내부 적분을 다룹니다.

2) 첫 번째 단계에서 얻은 결과는 외부 적분으로 대체됩니다.

포인트 2는 실제로 정적분을 이용하여 평면도형의 넓이를 구하는 것입니다.

답변:

이건 정말 멍청하고 순진한 작업이다.

독립적인 솔루션에 대한 흥미로운 예:

실시예 10

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

대략적인 샘플수업이 끝나면 솔루션을 마무리합니다.

예제 9-10에서는 영역을 횡단하는 첫 번째 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 수익성이 높습니다. 그런데 호기심 많은 독자는 탐색 순서를 변경하고 두 번째 방법을 사용하여 영역을 계산할 수 있습니다. 실수하지 않으면 당연히 동일한 면적 값을 얻게 됩니다.

그러나 어떤 경우에는 해당 지역을 횡단하는 두 번째 방법이 더 효과적이며, 젊은 괴짜 과정이 끝나면 이 주제에 대한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 11

이중 적분법을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산하고,

해결책:우리는 측면에 독특한 특징이 있는 두 개의 포물선을 기대하고 있습니다. 웃을 필요는 없습니다. 비슷한 일이 여러 적분에서 자주 발생합니다.

그림을 그리는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까?

두 가지 함수 형태의 포물선을 상상해 봅시다.
– 위쪽 가지 – 아래쪽 가지.

마찬가지로 위쪽과 아래쪽 형태의 포물선을 상상해 보세요. 가지.

다음으로 그래프 규칙을 점별로 플로팅하면 다음과 같은 기이한 그림이 생성됩니다.

다음 공식에 따라 이중 적분을 사용하여 그림의 면적을 계산합니다.

해당 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 선택하면 어떻게 되나요? 첫째, 이 영역을 두 부분으로 나누어야 합니다. 둘째, 우리는 이 슬픈 그림을 관찰할 것입니다. . 물론 적분은 매우 복잡한 수준은 아니지만... 오래된 수학적 속담이 있습니다: 뿌리에 가까운 사람들은 테스트가 필요하지 않습니다.

따라서 조건에 주어진 오해로부터 우리는 역함수를 표현합니다.

역함수이 예에서는 잎, 도토리, 가지 및 뿌리 없이 전체 포물선을 한 번에 지정한다는 장점이 있습니다.

두 번째 방법에 따르면 영역 순회는 다음과 같습니다.

따라서:

그들이 말했듯이 차이를 느껴보십시오.

1) 우리는 내부 적분을 다룹니다.

결과를 외부 적분으로 대체합니다.

변수 "y"에 대한 적분은 혼란스럽지 않아야 합니다. 문자 "zy"가 있으면 그 위에 적분하는 것이 좋습니다. 수업의 두 번째 단락을 읽은 사람은 누구입니까? 회전체의 부피를 계산하는 방법, 그는 더 이상 "Y" 방법에 따른 통합에 대해 조금도 어색함을 느끼지 않습니다.

또한 첫 번째 단계에 주의하세요. 피적분 함수는 짝수이고 적분 간격은 0에 대해 대칭입니다. 따라서 세그먼트를 절반으로 줄이고 결과를 두 배로 늘릴 수 있습니다. 이 기술은 수업에서 자세히 설명됩니다. 효과적인 방법정적분의 계산.

무엇을 추가해야 할까요? 모두!

답변:

통합 기술을 테스트하려면 다음을 계산해 보세요. . 대답은 정확히 동일해야합니다.

실시예 12

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 지역을 횡단하는 첫 번째 방법을 사용하려고 하면 그림이 더 이상 두 부분으로 나누어질 필요가 없고 세 부분으로 나누어진다는 점은 흥미롭습니다! 따라서 우리는 세 쌍의 반복 적분을 얻습니다. 이런 일도 발생합니다.

마스터 클래스가 끝났고 이제 그랜드마스터 레벨로 넘어갈 시간입니다. 이중 적분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 솔루션의 예. 두 번째 글에서는 너무 열광하지 않도록 노력하겠습니다 =)

나는 당신의 성공을 기원합니다!

솔루션 및 답변:

예 2:해결책: 지역을 그려보자 그림에:

다음과 같은 영역 순회 순서를 선택하겠습니다.

따라서:
역함수로 넘어가겠습니다.

따라서:
답변:

예시 4:해결책: 직접 기능으로 넘어 갑시다.

그림을 그려보자:

영역을 횡단하는 순서를 변경해 보겠습니다.

답변: