§ 1 실제 상황에서 방정식 근 선택

이 실제 상황을 고려해 봅시다:

마스터와 견습생이 함께 400개의 맞춤형 부품을 만들었습니다. 게다가 주인은 3일, 학생은 2일 일했다. 한 사람이 몇 개의 부품을 만들었나요?

이 상황에 대한 대수적 모델을 만들어 보겠습니다. 마스터가 하루 만에 부품을 생산하게 하세요. 그리고 학생은 세부 사항에 있습니다. 그러면 석사는 3일에 3부분을 만들고, 학생은 2일에 2부분을 만듭니다. 함께 3 + 2 부품을 생산합니다. 조건에 따라 총 400개의 부품이 제조되었으므로 다음 방정식을 얻습니다.

결과 방정식을 두 변수의 선형 방정식이라고 합니다. 여기서 우리는 방정식이 진정한 수치적 평등의 형태를 취하는 한 쌍의 숫자 x와 y를 찾아야 합니다. x = 90, y = 65이면 동등성을 얻습니다.

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

올바른 수치 동등성을 얻었으므로 숫자 90과 65의 쌍이 이 방정식의 해가 될 것입니다. 그러나 발견된 해결책은 유일한 해결책이 아닙니다. x = 96이고 y = 56이면 등식을 얻습니다.

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

이것은 또한 진정한 수치적 동등성입니다. 즉, 숫자 96과 56의 쌍도 이 방정식의 해가 된다는 것을 의미합니다. 그러나 한 쌍의 숫자 x = 73과 y = 23은 이 방정식의 해가 될 수 없습니다. 실제로 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400은 잘못된 수치 동등 265 = 400을 제공합니다. 이 실제 상황과 관련하여 방정식을 고려하면 다음과 같은 숫자 쌍이 있다는 점에 유의해야 합니다. 이 방정식의 해는 문제의 해가 될 수 없습니다. 예를 들어, 몇 가지 숫자는 다음과 같습니다.

x = 200 및 y = -100

는 방정식에 대한 해법이지만 학생은 -100개의 부분을 만들 수 없으므로 이러한 숫자 쌍은 문제의 질문에 대한 답이 될 수 없습니다. 따라서 각각의 특정 실제 상황에서 방정식의 근을 선택하는 데 합리적인 접근 방식을 취하는 것이 필요합니다.

첫 번째 결과를 요약해 보겠습니다.

ax + bу + c = 0 형식의 방정식(a, b, c는 임의의 숫자임)을 변수가 두 개인 선형 방정식이라고 합니다.

두 변수의 선형 방정식에 대한 해는 x와 y에 해당하는 숫자 쌍이며, 이에 대한 방정식은 진정한 수치 동등성이 됩니다.

§ 2 선형 방정식의 그래프

쌍 (x;y)의 기록 자체가 이를 평면에서 xy y 좌표를 갖는 점으로 묘사할 가능성에 대해 생각하게 합니다. 이는 특정 상황에 대한 기하학적 모델을 얻을 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 다음 방정식을 고려해보세요.

2x + y - 4 = 0

이 방정식의 해가 될 여러 쌍의 숫자를 선택하고 발견된 좌표로 점을 구성해 보겠습니다. 다음을 포인트로 삼으십시오.

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(-1; 6).

모든 점이 같은 선 위에 있다는 점에 유의하세요. 이 선을 두 변수의 선형 방정식 그래프라고 합니다. 주어진 방정식의 그래픽(또는 기하학적) 모델입니다.

숫자 쌍(x;y)이 방정식의 해인 경우

ax + vy + c = 0이면 점 M(x;y)는 방정식의 그래프에 속합니다. 반대로 말할 수 있습니다. 점 M(x;y)가 방정식 ax + y + c = 0의 그래프에 속하면 숫자 쌍(x;y)는 이 방정식의 해입니다.

기하학 과정에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

직선을 그리려면 2개의 점이 필요하므로, 2개의 변수가 있는 선형 방정식의 그래프를 그리려면 2개의 해 쌍만 알면 충분합니다. 그러나 뿌리를 추측하는 것이 항상 편리하거나 합리적인 절차는 아닙니다. 다른 규칙에 따라 행동할 수 있습니다. 점(변수 x)의 가로좌표는 독립 변수이므로 편리한 값을 지정할 수 있습니다. 이 숫자를 방정식에 대입하면 변수 y의 값을 찾습니다.

예를 들어, 방정식이 주어집니다:

x = 0이라고 하면 0 - y + 1 = 0 또는 y = 1이 됩니다. 이는 x = 0이면 y = 1임을 의미합니다. 숫자 쌍(0;1)이 이 방정식의 해입니다. 변수 x에 다른 값을 설정해 보겠습니다: x = 2. 그런 다음 2 - y + 1 = 0 또는 y = 3을 얻습니다. 숫자 쌍(2;3)도 이 방정식의 해입니다. 발견된 두 점을 사용하여 방정식 x - y + 1 = 0의 그래프를 구성하는 것이 이미 가능합니다.

이렇게 할 수 있습니다. 먼저 약간의 정보를 제공하세요. 구체적인 의미변수 y를 입력한 다음 x 값을 계산합니다.

§ 3 방정식 시스템

두 개를 찾아보세요 자연수, 합은 11이고 차이는 1입니다.

이 문제를 해결하기 위해 먼저 수학적 모델(즉, 대수적 모델)을 만듭니다. 첫 번째 숫자를 x, 두 번째 숫자를 y로 둡니다. 그런 다음 숫자 x + y = 11의 합과 숫자 x - y = 1의 차이입니다. 두 방정식 모두 동일한 숫자를 다루기 때문에 이러한 조건이 동시에 충족되어야 합니다. 일반적으로 이러한 경우에는 특수 레코드가 사용됩니다. 방정식은 다른 방정식 아래에 작성되고 중괄호와 결합됩니다.

이러한 기록을 방정식 시스템이라고 합니다.

이제 각 방정식에 대한 솔루션 세트를 구성해 보겠습니다. 각 방정식의 그래프. 첫 번째 방정식을 살펴보겠습니다.

x = 4이면 y = 7입니다. x = 9이면 y = 2입니다.

점 (4;7)과 (9;2)를 지나는 직선을 그려 봅시다.

두 번째 방정식 x - y = 1을 생각해 보겠습니다. x = 5이면 y = 4입니다. x = 7이면 y = 6입니다. 또한 점 (5;4)와 (7;6)을 통과하는 직선을 그립니다. ). 우리는 문제의 기하학적 모델을 얻었습니다. 우리가 관심을 갖고 있는 숫자 쌍(x;y)은 두 방정식의 해가 되어야 합니다. 우리가 보는 그림에서 유일한 포인트두 직선에 있는 는 직선의 교차점입니다.

좌표는 (6;5)입니다. 따라서 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다. 첫 번째 필수 숫자는 6이고 두 번째 필수 숫자는 5입니다.

사용된 문헌 목록:

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그녀의. Tulchinskaya, 대수학 7학년. 전격 조사: 일반 교육 기관 학생을 위한 매뉴얼, 4판, 개정 및 확장, 모스크바, "Mnemosyne", 2008
Alexandrova L.A., 대수학 7학년. 어간 형성 모음 테스트 작업다섯 새로운 형태 A.G.가 편집한 일반 교육 기관 학생용 모르드코비치, 모스크바, “므네모시네”, 2011
알렉산드로바 L.A. 대수학 7학년. 독립적인 작업 A.G.가 편집한 일반 교육 기관 학생용 모르드코비치(Mordkovich) - 6판, 고정관념, 모스크바, “Mnemosyne”, 2010

평등 f(x;y) = 0두 개의 변수가 있는 방정식을 나타냅니다. 이러한 방정식에 대한 해결책은 두 변수가 있는 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 변수 값 쌍입니다.

두 개의 변수가 있는 방정식이 있는 경우 전통적으로 x를 첫 번째 위치에 두고 y를 두 번째 위치에 배치해야 합니다.

방정식 x – 3y = 10을 생각해 보십시오. 쌍 (10; 0), (16; 2), (-2; -4)는 고려 중인 방정식의 해이지만 쌍 (1; 5)은 해가 아닙니다.

이 방정식에 대한 다른 해법 쌍을 찾으려면 하나의 변수를 다른 변수로 표현해야 합니다(예: x를 y로 표현). 결과적으로 우리는 방정식을 얻습니다.
x = 10 + 3y. 임의의 y값을 선택하여 x값을 계산해보자.

y = 7이면 x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31입니다.

y = -2이면 x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4입니다.

따라서 쌍 (31; 7), (4; -2)도 주어진 방정식의 해입니다.

두 개의 변수가 있는 방정식의 근이 동일한 경우 이러한 방정식을 등가라고 합니다.

두 개의 변수가 있는 방정식의 경우 방정식의 등가 변환에 대한 정리가 유효합니다.

두 개의 변수가 있는 방정식의 그래프를 생각해 보십시오.

두 개의 변수 f(x; y) = 0을 갖는 방정식이 주어지면 모든 해는 좌표 평면의 점으로 표현되어 평면의 특정 점 집합을 얻을 수 있습니다. 평면 위의 이 점 집합을 방정식 f(x; y) = 0의 그래프라고 합니다.

따라서 방정식 y – x 2 = 0의 그래프는 포물선 y = x 2입니다. 방정식 y – x = 0의 그래프는 직선입니다. 방정식 y – 3 = 0의 그래프는 x 축에 평행한 직선입니다.

x와 y가 변수이고 a, b, c가 숫자인 ax + by = c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. 숫자 a, b는 변수의 계수라고 하며, c는 자유항입니다.

선형 방정식 ax + by = c의 그래프는 다음과 같습니다.

방정식 2x – 3y = -6을 그려보겠습니다.

1. 왜냐면 변수의 계수 중 어느 것도 0과 같지 않으면 이 방정식의 그래프는 직선이 됩니다.

2. 직선을 구성하려면 최소한 두 개의 점을 알아야 합니다. x 값을 방정식에 대입하고 y 값을 얻거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

x = 0이면 y = 2입니다. (0 ∙ x – 3y = -6);

y = 0이면 x = -3입니다. (2x – 3 ∙ 0 = -6).

그래서 우리는 그래프에 (0; 2)와 (-3; 0)이라는 두 개의 점을 얻었습니다.

3. 얻은 점들을 직선으로 긋고 방정식의 그래프를 그려보자
2x – 3년 = -6.

선형 방정식 ax + by = c가 0 ∙ x + 0 ∙ y = c 형식인 경우 두 가지 경우를 고려해야 합니다.

1. c = 0. 이 경우 임의의 쌍 (x; y)은 방정식을 만족하므로 방정식의 그래프는 전체 좌표 평면입니다.

2. c ≠ 0. 이 경우 방정식에는 해가 없습니다. 이는 그래프에 단일 점이 포함되어 있지 않음을 의미합니다.

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지침

대체 방법하나의 변수를 표현하고 이를 다른 방정식으로 대체합니다. 당신의 재량에 따라 어떤 변수라도 표현할 수 있습니다. 예를 들어 두 번째 방정식에서 y를 표현합니다.
x-y=2 => y=x-2그런 다음 모든 것을 첫 번째 방정식으로 대체합니다.
2x+(x-2)=10 “x”가 없는 모든 것을 다음으로 이동합니다. 오른쪽그리고 다음을 계산합니다:
2x+x=10+2
3x=12 다음으로 x를 얻으려면 방정식의 양변을 3으로 나눕니다.
x=4입니다. 따라서 “x. "y를 찾으세요. 이렇게 하려면 "y"를 표현한 방정식에 "x"를 대입하세요.
y=x-2=4-2=2
y=2.

확인해보세요. 이렇게하려면 결과 값을 방정식으로 대체하십시오.
2*4+2=10
4-2=2
미지수가 올바르게 발견되었습니다!

방정식을 더하거나 빼는 방법 변수를 즉시 제거하세요. 우리의 경우에는 “y.
"y"에는 "+" 기호가 있고 두 번째 기호에는 "-"가 있으므로 추가 작업을 수행할 수 있습니다. 왼쪽을 왼쪽으로, 오른쪽을 오른쪽으로 접습니다.
2x+y+(x-y)=10+2변환:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4"x"를 방정식에 대입하고 "y"를 찾습니다.
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2첫 번째 방법으로 올바르게 검색된 것을 확인할 수 있습니다.

명확하게 정의된 변수가 없으면 방정식을 약간 변형해야 합니다.
첫 번째 방정식에는 "2x"가 있고 두 번째 방정식에는 단순히 "x"가 있습니다. 덧셈 중에 x를 줄이려면 두 번째 방정식에 2를 곱합니다.
x-y=2
2x-2y=4그런 다음 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺍니다.
2x+y-(2x-2y)=10-4 괄호 앞에 마이너스가 있으면 연 후 반대쪽으로 변경하십시오.
2x+y-2x+2y=6
3у=6
임의의 방정식을 표현하여 y=2x를 구합니다. 즉,
x=4

주제에 관한 비디오

팁 2: 두 변수의 선형 방정식을 푸는 방법

방정식 ax+bу+c=0의 일반 형식으로 작성된 는 두 개의 선형 방정식이라고 합니다. 변수. 이러한 방정식 자체에는 무한한 수의 해가 포함되어 있으므로 문제가 발생하면 항상 다른 방정식이나 제한 조건으로 보완됩니다. 문제가 제공하는 조건에 따라 두 개의 선형 방정식을 풀어보세요. 변수~해야 한다 다른 방법으로.

당신은 필요합니다

- 두 개의 변수가 있는 선형 방정식;
- 두 번째 방정식 또는 추가 조건.

지침

2인 시스템이 주어진다면 선형 방정식, 다음과 같이 해결하세요. 계수가 다음과 같은 방정식 중 하나를 선택하십시오. 변수더 작게 만들고 변수 중 하나(예: x)를 표현합니다. 그런 다음 y를 포함하는 이 값을 두 번째 방정식으로 대체합니다. 결과 방정식에는 변수 y가 하나만 있고 y가 있는 모든 부분은 왼쪽으로 이동하고 나머지 부분은 오른쪽으로 이동합니다. y를 찾고 원래 방정식 중 하나에 대입하여 x를 찾습니다.

두 방정식의 시스템을 푸는 또 다른 방법이 있습니다. x와 같은 변수 중 하나의 계수가 두 방정식에서 동일하도록 방정식 중 하나에 숫자를 곱합니다. 그런 다음 방정식 중 하나를 다른 방정식에서 뺍니다(우변이 0이 아닌 경우 동일한 방법으로 우변을 빼는 것을 기억하십시오). x 변수가 사라지고 y 변수가 하나만 남아 있는 것을 볼 수 있습니다. 결과 방정식을 풀고 발견된 y 값을 원래 등식 중 하나로 대체합니다. x를 찾아보세요.

두 개의 선형 방정식 시스템을 푸는 세 번째 방법은 그래픽입니다. 좌표계를 그리고 방정식이 시스템에 주어진 두 개의 직선을 그리십시오. 이렇게 하려면 두 개의 x 값을 방정식에 대입하고 해당 y를 찾으세요. 이는 선에 속하는 점의 좌표가 됩니다. 좌표축과의 교점을 찾는 가장 편리한 방법은 단순히 x=0과 y=0 값을 대입하는 것입니다. 이 두 선의 교차점 좌표가 작업이 됩니다.

문제 조건에 선형 방정식이 하나만 있는 경우 솔루션을 찾을 수 있는 추가 조건이 제공됩니다. 이러한 조건을 찾으려면 문제를 주의 깊게 읽으십시오. 만약에 변수 x와 y는 거리, 속도, 무게를 나타냅니다. 제한 x≥0 및 y≥0을 자유롭게 설정하세요. x 또는 y가 사과 수 등을 숨길 가능성이 높습니다. – 그러면 값은 . x가 아들의 나이라면, 그가 아버지보다 나이가 많을 수 없다는 것이 분명하므로 문제 조건에 이를 표시하십시오.

출처:

변수가 하나인 방정식을 푸는 방법

그 자체로 방정식세 개로 알려지지 않은에는 많은 해가 있으므로 대부분 두 개의 방정식이나 조건으로 보완됩니다. 초기 데이터가 무엇인지에 따라 결정 과정이 크게 달라집니다.

당신은 필요합니다

- 3개의 미지수를 갖는 3개의 방정식으로 구성된 시스템.

지침

3개 시스템 중 2개에 미지수 3개 중 2개만 있는 경우 일부 변수를 다른 시스템의 관점에서 표현하고 이를 다음으로 대체해 보십시오. 방정식세 개로 알려지지 않은. 이 경우의 목표는 이를 정상으로 바꾸는 것입니다. 방정식모르는 사람과. 이것이 그렇다면 추가 솔루션은 매우 간단합니다. 발견된 값을 다른 방정식으로 대체하고 다른 모든 미지수를 찾는 것입니다.

일부 방정식 시스템은 한 방정식에서 다른 방정식을 뺄 수 있습니다. 두 개의 미지수가 한 번에 취소되도록 변수 중 하나를 곱하는 것이 가능한지 확인하세요. 그러한 기회가 있다면 이를 활용하십시오. 후속 솔루션은 어렵지 않을 것입니다. 숫자를 곱할 때는 좌변과 우변을 모두 곱해야 한다는 점을 기억하세요. 마찬가지로, 방정식을 뺄 때 우변도 빼야 한다는 점을 기억해야 합니다.

이전 방법이 도움이 되지 않으면 다음을 사용하세요. 일반적으로세 개의 방정식에 대한 해법 알려지지 않은. 이렇게 하려면 방정식을 a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 형식으로 다시 작성합니다. 이제 x에 대한 계수 행렬(A), 미지수 행렬(X) 및 자유 행렬(B)을 만듭니다. 계수 행렬에 미지수 행렬을 곱하면 자유 항 행렬, 즉 A*X=B를 얻게 됩니다.

먼저 를 찾아 행렬 A를 (-1) 거듭제곱으로 구합니다. 0과 같아서는 안 됩니다. 그런 다음 결과 행렬에 행렬 B를 곱하면 모든 값을 나타내는 원하는 행렬 X를 얻게 됩니다.

Cramer의 방법을 사용하여 세 가지 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 수도 있습니다. 이를 수행하려면 시스템 행렬에 해당하는 3차 행렬식 Δ를 찾으세요. 그런 다음 해당 열의 값 대신 자유 항의 값을 대체하여 세 가지 행렬식 Δ1, Δ2 및 Δ3을 더 찾습니다. 이제 x를 구하세요: x1=Δ1/Δ, x2=Δ2/Δ, x3=Δ3/Δ.

출처:

세 가지 미지수가 있는 방정식의 해

연립방정식을 푸는 것은 어렵고 흥미진진한 일입니다. 시스템이 복잡할수록 해결하는 것이 더 흥미로워집니다. 수학에서 가장 자주 고등학교두 개의 미지수를 갖는 방정식 시스템이 있지만, 고등 수학에서는 더 많은 변수가 있을 수 있습니다. 시스템은 여러 가지 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다.

지침

방정식 시스템을 푸는 가장 일반적인 방법은 치환입니다. 이렇게 하려면 하나의 변수를 다른 변수로 표현하고 이를 두 번째 변수에 대체해야 합니다. 방정식시스템을 통해 선도적 방정식하나의 변수에. 예를 들어, 다음 방정식이 주어집니다: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

두 번째 표현식에서는 계수의 부호를 변경하는 것을 잊지 않고 변수 중 하나를 표현하는 것이 편리합니다. x = 3-y.

괄호를 엽니다: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 결과 값 y를 다음 표현식으로 대체합니다: x=3-y;x=3-1;x=2 .

첫 번째 표현식에서 모든 항은 2입니다. 곱셈의 분배 속성에 대해 대괄호에서 2를 꺼낼 수 있습니다: 2*(2x-y-3)=0. 이제 표현식의 두 부분을 모두 이 숫자로 줄이고 y로 표현할 수 있습니다. 왜냐하면 모듈러스 계수가 1과 같기 때문입니다: -y = 3-2x 또는 y = 2x-3.

첫 번째 경우와 마찬가지로 이 표현을 두 번째 경우에도 대체합니다. 방정식결과는 다음과 같습니다: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 결과 값을 표현식으로 대체합니다. y=2x -3;y=4-3=1.

y에 대한 계수는 값은 동일하지만 부호가 다릅니다. 따라서 이러한 방정식을 추가하면 y가 완전히 제거됩니다. 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. x 값을 시스템의 두 방정식 중 하나로 대체하면 y=1이 됩니다.

주제에 관한 비디오

네차 방정식 방정식나타냅니다 방정식 4급, 일반적인 견해이는 ax^4 + bx^2 + c = 0이라는 표현으로 표시됩니다. 해당 솔루션은 미지수 대체 방법의 사용을 기반으로 합니다. 안에 이 경우 x^2는 다른 변수로 대체됩니다. 따라서 결과는 일반 사각형입니다. 방정식, 해결해야 할 문제입니다.

지침

이차 방정식 풀기 방정식, 교체로 인해 발생합니다. 이렇게 하려면 먼저 다음 공식에 따라 값을 계산합니다. D = b^2? 4ac. 이 경우 변수 a, b, c는 방정식의 계수입니다.

이차방정식의 근을 찾아보세요. 이렇게 하려면 얻은 솔루션의 제곱근을 취합니다. 하나의 솔루션이 있으면 제곱근의 양수 값과 음수 값이라는 두 가지 솔루션이 있습니다. 두 개의 해가 있는 경우 이차방정식은 4개의 근을 갖게 됩니다.

주제에 관한 비디오

선형 방정식 시스템을 푸는 고전적인 방법 중 하나는 가우스 방법입니다. 이는 간단한 변환을 사용하는 방정식 시스템이 마지막 변수부터 시작하여 모든 변수가 순차적으로 발견되는 단계적 시스템으로 변환되는 변수의 순차적 제거로 구성됩니다.

지침

먼저, 방정식 시스템을 모든 미지수가 엄격하게 정의된 순서로 되어 있는 형태로 만듭니다. 예를 들어, 알 수 없는 모든 X는 각 줄의 첫 번째에 나타나고, 모든 Y는 X 뒤에 오고, 모든 Z는 Y 뒤에 오는 식입니다. 각 방정식의 오른쪽에는 미지수가 없어야 합니다. 각 미지수 앞에 있는 계수와 각 방정식 오른쪽에 있는 계수를 정신적으로 결정합니다.

정수로 방정식을 푸는 것은 가장 오래된 수학 문제 중 하나입니다. 이미 기원전 2천년 초입니다. 이자형. 바빌로니아인들은 두 변수를 사용하여 그러한 방정식 시스템을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 이 수학 분야는 다음과 같이 가장 큰 번영을 누렸습니다. 고대 그리스. 우리의 주요 소스는 다양한 유형의 방정식이 포함된 Diophantus' Arithmetic입니다. 여기에서 Diophantus(그의 이름을 따서 방정식 이름은 Diophantine 방정식임)는 19세기에만 개발된 2도 및 3도 방정식을 연구하는 여러 가지 방법을 예상합니다.

가장 간단한 디오판토스 방정식은 ax + y = 1(두 개의 변수가 있는 방정식, 1차) x2 + y2 = z2(3개의 변수가 있는 방정식, 2차)입니다.

가장 완벽하게 공부함 대수 방정식, 그들의 해법은 16세기와 17세기 대수학에서 가장 중요한 문제 중 하나였습니다.

19세기 초에 P. Fermat, L. Euler, K. Gauss의 작업은 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 형식의 디오판토스 방정식을 조사했습니다. 여기서 a, b, c , d, e, f는 숫자입니다. x, y 알 수 없는 변수.

이것은 두 개의 미지수가 있는 2차 방정식입니다.

K. Gauss는 두 개의 변수가 있는 특정 유형의 방정식(디오판토스 방정식)을 풀기 위한 기초가 되는 이차 형식의 일반 이론을 개발했습니다. 존재한다 큰 수기본 방법으로 해결된 특정 디오판토스 방정식. /p>

이론적인 자료.

이 부분에서는 기본 수학적 개념을 설명하고, 용어를 정의하며, 두 변수가 있는 방정식을 풀 때 연구하고 고려한 무한 계수 방법을 사용하여 확장 정리를 공식화합니다.

정의 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 형식의 방정식. 여기서 a, b, c, d, e, f는 숫자입니다. x, y 미지수를 변수가 2개인 2차 방정식이라고 합니다.

학교 수학 과정에서 2차 방정식 ax2+inx+c=0이 연구됩니다. a, b, c 숫자 x 변수, 하나의 변수. 이 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

1. 판별식을 사용하여 근을 찾는다.

2. (D1=에 따라)에서 짝수 계수의 근을 찾는 것;

3. 비에타의 정리를 사용하여 근 찾기

4. 이항식의 완전제곱근을 분리하여 근을 찾습니다.

방정식을 푼다는 것은 방정식의 모든 근을 찾거나 방정식이 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것을 의미합니다.

정의 2: 방정식의 근은 방정식으로 대체될 때 진정한 동등성을 형성하는 숫자입니다.

정의 3: 두 개의 변수가 있는 방정식의 해를 숫자 쌍(x, y)이라고 하며 방정식에 대입하면 진정한 평등이 됩니다.

방정식에 대한 해를 찾는 과정은 일반적으로 방정식을 등가 방정식으로 대체하는 것으로 구성되지만 해결하기가 더 간단합니다. 이러한 방정식을 등가라고 합니다.

정의 4: 한 방정식의 각 해가 다른 방정식의 해이고 그 반대인 경우 두 방정식은 동일하다고 하며 두 방정식이 동일한 영역에서 고려됩니다.

두 개의 변수가 있는 방정식을 풀려면 방정식을 완전 제곱합으로 분해하는 정리(무한 계수 방법 사용)를 사용합니다.

2차 방정식 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1)의 경우 확장 a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)가 발생합니다.

두 변수의 방정식 (1)에 대해 확장 (2)가 발생하는 조건을 공식화해 보겠습니다.

정리: 계수가 a,b,c 방정식(1) 조건 a0 및 4ab – c20을 충족하면 확장 (2)가 고유한 방식으로 결정됩니다.

즉, 두 개의 변수를 갖는 식 (1)은 정리의 조건이 만족되면 부정계수법을 이용하여 형태 (2)로 환원될 수 있다.

부정 계수 방법이 어떻게 구현되는지에 대한 예를 살펴보겠습니다.

방법 1번. 미정 계수 방법을 사용하여 방정식 풀기

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. 정리 조건 a=2, b=1, c=2가 충족되는지 확인해 보겠습니다. 이는 a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40을 의미합니다.

2. 정리의 조건은 식 (2)에 따라 확장될 수 있습니다.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, 정리의 조건에 따라 항등식의 두 부분은 동일합니다. 항등식의 우변을 단순화해 보겠습니다.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. 동일한 변수에 대한 계수를 해당 정도와 동일시합니다.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. 방정식 시스템을 구하고 이를 풀어 계수 값을 구해 봅시다.

7. 계수를 (2)에 대입하면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

따라서 원래 방정식은 다음 방정식과 동일합니다.

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), 이 방정식은 두 선형 방정식의 시스템과 동일합니다.

답: (-1; 1).

확장 유형(3)에 주의를 기울이면 ax2 + inx + c = a(x +)2 +라는 하나의 변수가 있는 이차 방정식에서 완전한 정사각형을 분리하는 것과 형태가 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

두 개의 변수가 있는 방정식을 풀 때 이 기술을 적용해 보겠습니다. 정리를 사용하여 이미 해결된 두 개의 변수가 있는 2차 방정식을 완전한 사각형의 선택을 사용하여 해결해 보겠습니다.

방법 2: 방정식 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0을 풉니다.

해결책: 1. 2x2를 두 항 x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0의 합으로 상상해 봅시다.

2. 완전한 정사각형의 공식을 사용하여 용어를 접을 수 있는 방식으로 그룹화해 보겠습니다.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. 괄호 안의 표현식에서 완전한 정사각형을 선택하세요.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. 이 방정식은 선형 방정식 시스템과 동일합니다.

답: (-1;1).

결과를 비교해 보면, 정리와 미정계수법을 이용한 1번 방법으로 풀은 방정식과 완전제곱 추출을 이용한 2번 방법으로 풀은 방정식은 근이 같은 것을 알 수 있다.

결론: 두 개의 변수가 있는 이차 방정식은 두 가지 방법으로 제곱합으로 확장될 수 있습니다.

➢ 첫 번째 방법은 정리와 전개(2)를 바탕으로 한 부정계수법이다.

➢ 두 번째 방법은 항등 변환을 사용하는 것인데, 이를 통해 순차적으로 완전한 사각형을 선택할 수 있습니다.

물론, 문제를 풀 때 확장(2)과 조건을 외울 필요가 없기 때문에 두 번째 방법이 더 바람직하다.

이 방법은 변수가 세 개인 이차 방정식에도 사용할 수 있습니다. 그러한 방정식에서 완전제곱식을 분리하는 것은 더 노동 집약적입니다. 내년에는 이런 변화를 하게 될 것 같아요.

f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f 형식의 함수를 두 변수의 2차 함수라고 한다는 점이 흥미롭습니다. 이차 함수는 수학의 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다.

수학적 프로그래밍(이차 프로그래밍)

선형 대수학 및 기하학(이차 형태)

이론적으로는 미분 방정식(2차 선형 방정식을 표준 형식으로 축소)

이러한 다양한 문제를 해결하려면 기본적으로 2차 방정식(1개, 2개 또는 그 이상의 변수)에서 완전한 정사각형을 분리하는 절차를 적용해야 합니다.

방정식이 설명된 선 이차 방정식두 변수를 2차 곡선이라고 합니다.

이것은 원, 타원, 쌍곡선입니다.

이들 곡선의 그래프를 구성할 때에는 완전한 정사각형을 순차적으로 분리하는 방법도 사용된다.

완전한 정사각형을 순차적으로 선택하는 방법이 어떻게 작동하는지 구체적인 예를 통해 살펴보겠습니다.

실용적인 부분.

완전한 정사각형을 순차적으로 분리하는 방법을 사용하여 방정식을 푼다.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

답변:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

답변:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

답변:(-1;1).

방정식 풀기:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(형식으로 축소: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

답: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(형식으로 축소: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

답: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(형식으로 축소: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

답: (7; -7)

결론.

이에 과학적 연구두 개의 2차 변수를 갖는 방정식을 연구하고 이를 해결하는 방법을 고려했습니다. 작업이 완료되었으며 완전한 제곱을 분리하고 방정식을 동등한 방정식 시스템으로 대체하는 것을 기반으로 더 짧은 솔루션 방법이 공식화되고 설명되었습니다. 결과적으로 두 변수가 있는 방정식의 근을 찾는 절차는 다음과 같습니다. 단순화되었습니다.

이 작업의 중요한 점은 문제의 기법이 이차 함수와 관련된 다양한 수학적 문제를 풀 때, 2차 곡선을 구성할 때, 표현식의 최대(최소) 값을 찾을 때 사용된다는 점입니다.

따라서 두 개의 변수가 있는 2차 방정식을 제곱합으로 분해하는 기술은 수학에서 가장 많이 적용됩니다.

두 변수의 선형 방정식은 다음 형식을 갖는 방정식입니다. a*x + b*y =с.여기서 x와 y는 두 개의 변수이고 a,b,c는 숫자입니다.

아래는 몇 가지입니다. 선형 방정식의 예.

1. 10*x + 25*y = 150;

하나의 미지수가 있는 방정식과 마찬가지로 두 개의 변수(미지수)가 있는 선형 방정식에도 해가 있습니다. 예를 들어, x=8이고 y=3인 선형 방정식 x-y=5는 올바른 항등식 8-3=5로 변합니다. 이 경우 x=8과 y=3의 쌍은 선형 방정식 x-y=5의 해라고 합니다. 또한 한 쌍의 숫자 x=8과 y=3이 선형 방정식 x-y=5를 만족한다고 말할 수도 있습니다.

선형 방정식 풀기

따라서 선형 방정식 a*x + b*y = c에 대한 해는 이 방정식을 만족하는 임의의 숫자 쌍(x,y)입니다. 즉, 변수 x와 y가 있는 방정식을 올바른 수치 동등성으로 바꿉니다. 여기에 숫자 x와 y 쌍이 어떻게 쓰여 있는지 확인하세요. 이 항목은 더 짧고 더 편리합니다. 그러한 레코드의 첫 번째 위치는 변수 x의 값이고 두 번째 위치는 변수 y의 값이라는 점만 기억하면 됩니다.

숫자 x=11 및 y=8, x=205 및 y=200 x= 4.5 및 y= -0.5도 선형 방정식 x-y=5를 충족하므로 이 선형 방정식의 해입니다.

두 개의 미지수가 있는 선형 방정식 풀기 유일한 것이 아닙니다.두 미지수의 모든 선형 방정식에는 무한히 많은 해가 있습니다. 즉, 엄청나게 다양하다선형 방정식을 진정한 항등식으로 바꾸는 두 숫자 x와 y.

두 개의 변수가 있는 여러 방정식의 해가 동일한 경우 이러한 방정식을 등가 방정식이라고 합니다. 두 개의 미지수가 있는 방정식에 해가 없는 경우에도 동일한 것으로 간주된다는 점에 유의해야 합니다.

두 개의 미지수가 있는 선형 방정식의 기본 속성

1. 방정식의 모든 항은 한 부분에서 다른 부분으로 옮겨질 수 있지만 부호를 반대로 변경해야 합니다. 결과 방정식은 원래 방정식과 동일합니다.

2. 방정식의 양변은 0이 아닌 임의의 숫자로 나눌 수 있습니다. 결과적으로 우리는 원래 방정식과 동등한 방정식을 얻습니다.