2면체 각도. 선형 2면체 각도. 2면각은 동일한 평면에 속하지 않고 공통 경계인 직선 a를 갖는 두 개의 반면으로 형성된 도형입니다. 2면각을 이루는 반면을 면이라 하고, 이들 반면의 공통 경계를 2면각의 모서리라고 합니다. 2면각의 선형 각도는 2면각의 모서리에 수직인 평면과 2면각의 면이 교차하는 광선인 측면을 갖는 각도입니다. 각 2면체 각도에는 다음과 같은 개수가 있습니다. 선형 각도: 모서리의 각 점을 통해 이 모서리에 수직인 평면을 그릴 수 있습니다. 이 평면이 2면각의 면과 교차하는 광선은 선형 각도를 형성합니다.
2면각의 모든 선형 각도는 서로 동일합니다. 피라미드 KABC의 밑면 평면과 측면 평면으로 형성된 2면각이 동일하면 꼭지점 K에서 그린 수직선의 밑면은 삼각형 ABC의 내접원의 중심임을 증명해 보겠습니다.
증거. 우선, 2면각이 동일한 선형 각도를 구성해 봅시다. 정의에 따르면 선형 각도의 평면은 2면각의 가장자리에 수직이어야 합니다. 따라서 2면각의 모서리는 선형 각도의 측면에 수직이어야 합니다. KO가 기본 평면에 수직이라면 OR 수직 AC, OR 수직 SV, OQ 수직 AB를 그린 다음 점 P, Q, R을 점 K와 연결할 수 있습니다. 따라서 경사 RK, QK의 투영을 구성합니다. , RK 모서리 AC, NE, AB가 이러한 투영에 수직이 되도록 합니다. 결과적으로 이러한 모서리는 경사진 모서리 자체에 수직입니다. 따라서 삼각형 ROK, QOK, ROK의 평면은 2면각의 해당 모서리에 수직이며 조건에서 언급된 동일한 선형 각도를 형성합니다. 직각 삼각형 ROK, QOK, ROK는 합동입니다(공통 다리가 있고 이 다리의 반대쪽 각도가 동일하므로). 따라서 OR = OR = OQ입니다. 중심이 O이고 반경이 OP인 원을 그리면 삼각형 ABC의 변은 반경 OP, OR 및 OQ에 수직이므로 이 원에 접합니다.
평면의 직각성. 교차점에서 형성된 2면각 중 하나의 선형 각도가 90인 경우 알파 및 베타 평면을 수직이라고 합니다." 두 평면의 직각 기호 두 평면 중 하나가 다른 평면에 수직인 선을 통과하면, 그러면 이 평면들은 수직입니다.
그림은 직육면체를 보여줍니다. 그 밑면은 직사각형 ABCD와 A1B1C1D1입니다. 그리고 측면 리브 AA1 BB1, CC1, DD1은 베이스에 수직입니다. AA1은 AB에 수직입니다. 즉, 옆면은 직사각형입니다. 따라서 우리는 직육면체의 특성을 정당화할 수 있습니다. 직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다. 직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다. 직육면체의 모든 2면각은 직각입니다. 직육면체의 모든 2면각은 직각입니다.
정리 직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다. 다시 그림으로 돌아가서 AC12 = AB2 + AD2 + AA12를 증명해 보겠습니다. 모서리 CC1은 밑면 ABCD에 수직이므로 각도 ACC1은 맞습니다. 에서 직각삼각형 ACC1은 피타고라스 정리를 사용하여 AC12=AC2+CC12를 얻습니다. 그러나 AC는 직사각형 ABCD의 대각선이므로 AC2 = AB2 + AD2입니다. 또한 CC1 = AA1입니다. 따라서 AC12= AB2+AD2+AA12 정리가 증명되었습니다.
수업 내용:
면적 측정에서 주요 개체는 선, 세그먼트, 광선 및 점입니다. 한 지점에서 나오는 광선은 기하학적 모양 중 하나인 각도를 형성합니다.
우리는 선형 각도가 각도와 라디안으로 측정된다는 것을 알고 있습니다.
입체 측정에서는 평면이 개체에 추가됩니다. 기하학에서 동일한 평면에 속하지 않는 공통 경계 a를 갖는 직선 a와 두 개의 반면으로 구성된 도형을 2면각이라고 합니다. 반평면은 2면각의 면입니다. 직선 a는 2면각의 모서리입니다.
선형 각도와 마찬가지로 2면체 각도도 명명되고, 측정되고, 구성될 수 있습니다. 이것이 이번 강의에서 우리가 알아내야 할 것입니다.
정사면체 ABCD 모델에서 2면체 각도를 찾아봅시다.
모서리 AB가 있는 2면각을 CABD라고 합니다. 여기서 점 C와 D는 각도의 서로 다른 면에 속하고 모서리 AB는 가운데에 있습니다.
우리 주변에는 2면체 형태의 요소를 가진 물체가 많이 있습니다.
많은 도시에는 화해를 위한 특별한 벤치가 공원에 설치되어 있습니다. 벤치는 중앙을 향해 수렴하는 두 개의 경사면 형태로 만들어졌습니다.
집을 지을 때 소위 박공 지붕이 자주 사용됩니다. 이 집의 지붕은 90도 각도의 2면체 형태로 만들어졌습니다.
2면각도 각도 또는 라디안으로 측정되지만 측정 방법은 다음과 같습니다.
집의 지붕이 서까래 위에 놓여 있다는 점이 흥미롭습니다. 그리고 서까래 외장은 주어진 각도에서 두 개의 지붕 경사를 형성합니다.
이미지를 도면으로 옮겨보겠습니다. 그림에서 2면체 각도를 찾기 위해 점 B가 모서리에 표시됩니다. 이 점에서 두 개의 광선 BA와 BC가 각도의 모서리에 수직으로 그려집니다. 이들 광선에 의해 형성된 각도 ABC를 선형 2면각이라고 합니다.
2면각의 각도 측정은 선형 각도의 각도 측정과 같습니다.
각도 AOB를 측정해 봅시다.
주어진 2면각의 각도 측정은 60도입니다.
2면체 각도에 대해 무한한 수의 선형 각도를 그릴 수 있습니다. 이 각도가 모두 동일하다는 것을 아는 것이 중요합니다.
두 개의 선형 각도 AOB와 A1O1B1을 고려해 봅시다. 광선 OA와 O1A1은 같은 면에 있고 직선 OO1에 수직이므로 방향이 동일합니다. 빔 OB와 O1B1도 공동 연출됩니다. 따라서 각도 AOB는 방향이 같은 측면을 갖는 각도로서 각도 A1O1B1과 같습니다.
따라서 2면각은 선형 각도를 특징으로 하며 선형 각도는 예각, 둔각 및 직각입니다. 2면체 각도 모델을 고려해 봅시다.
둔각은 선형 각도가 90도에서 180도 사이인 경우입니다.
선형 각도가 90도인 경우 직각입니다.
선형 각도가 0도에서 90도 사이인 경우 예각입니다.
선형 각도의 중요한 속성 중 하나를 증명해 보겠습니다.
선형 각도의 평면은 2면각의 가장자리에 수직입니다.
각도 AOB를 주어진 2면각의 선형 각도로 설정합니다. 구조적으로 광선 AO와 OB는 직선 a에 수직입니다.
평면 AOB는 정리에 따라 두 개의 교차 선 AO와 OB를 통과합니다. 평면은 두 개의 교차 선을 통과하고 단 하나만 통과합니다.
선 a는 이 평면에 있는 두 개의 교차 선에 수직입니다. 즉, 선과 평면의 수직성을 기준으로 직선 a는 평면 AOB에 수직입니다.
문제를 해결하려면 주어진 2면각의 선형 각도를 구성할 수 있는 것이 중요합니다. 사면체 ABCD에 대해 모서리 AB를 갖는 2면체 각도의 선형 각도를 구성합니다.
우리는 먼저 모서리 AB, 한 면 ABD, 두 번째 면 ABC에 의해 형성되는 2면각에 대해 이야기하고 있습니다.
이를 구축하는 한 가지 방법이 있습니다.
점 D에서 수직선을 그리자 ABC 비행기, 수직의 밑변인 점 M을 표시합니다. 사면체에서 수직선의 밑면은 사면체 밑면에 있는 내접원의 중심과 일치한다는 것을 기억하십시오.
모서리 AB에 수직인 점 D에서 경사선을 그리고 점 N을 경사선의 밑변으로 표시합니다.
삼각형 DMN에서 세그먼트 NM은 기울어진 DN을 평면 ABC에 투영한 것입니다. 세 수직의 정리에 따르면 모서리 AB는 투영 NM에 수직입니다.
이는 각도 DNM의 측면이 모서리 AB에 수직이라는 것을 의미하며, 이는 구성된 각도 DNM이 원하는 선형 각도임을 의미합니다.
2면각 계산 문제를 해결하는 예를 고려해 보겠습니다.
이등변삼각형 ABC와 정삼각형 ADB는 같은 평면에 있지 않습니다. 세그먼트 CD는 평면 ADB에 수직입니다. AC=CB=2 cm, AB= 4 cm일 때 2면각 DABC를 구합니다.
DABC의 이면각은 선형 각도와 같습니다. 이 각도를 만들어 보겠습니다.
삼각형 ACB가 이등변이므로 모서리 AB에 수직인 경사 CM을 그리면 점 M은 모서리 AB의 중앙과 일치합니다.
직선 CD는 평면 ADB에 수직입니다. 이는 이 평면에 있는 직선 DM에 수직임을 의미합니다. 그리고 세그먼트 MD는 경사진 CM을 평면 ADV에 투영한 것입니다.
직선 AB는 구조적으로 경사 CM에 수직입니다. 이는 세 수직의 정리에 따라 투영 MD에 수직임을 의미합니다.
따라서 두 개의 수직선 CM과 DM이 모서리 AB에 대해 발견됩니다. 이는 2면각 DABC의 선형 각도 CMD를 형성한다는 것을 의미합니다. 그리고 우리가 해야 할 일은 직각 삼각형 CDM에서 그것을 찾는 것뿐입니다.
따라서 세그먼트 SM은 이등변삼각형 ACB의 중앙값과 고도이며, 피타고라스 정리에 따르면 다리 SM은 4cm와 같습니다.
피타고라스 정리에 따르면 직각 삼각형 DMB에서 다리 DM은 3의 2근과 같습니다.
직각 삼각형 각도의 코사인은 빗변 CM에 대한 인접한 다리 MD의 비율과 같으며 3 곱하기 2의 3근과 같습니다. 이는 각도 CMD가 30도임을 의미합니다.
이 강의의 대상은 다음과 같습니다. 자율 학습주제 "이면체 각도". 이 수업에서 학생들은 가장 중요한 기하학적 도형 중 하나인 2면각에 익숙해질 것입니다. 또한 수업에서는 고려된 선형 각도를 결정하는 방법을 배웁니다. 기하학적 도형그리고 그림 밑면의 이면각은 얼마입니까?
평면의 각도가 무엇인지, 그리고 각도가 어떻게 측정되는지 반복해 보겠습니다.
쌀. 1. 비행기
평면 α(그림 1)를 고려해 봅시다. 출발지점 에 대한두 개의 광선이 발산됩니다 - 산부인과그리고 OA.
정의. 한 점에서 나오는 두 개의 광선으로 구성된 도형을 각도라고 합니다.
각도는 각도와 라디안으로 측정됩니다.
라디안이 무엇인지 기억해 봅시다.
쌀. 2. 라디안
호 길이가 반지름과 같은 중심각이 있는 경우 이러한 중심각을 1라디안 각도라고 합니다. ,∠ AOB= 1 rad(그림 2).
라디안과 각도의 관계.
기쁜.
알겠습니다. 기쁘네요. (). 그 다음에, 
정의. 2면체 각도직선으로 이루어진 도형을 도형이라고 한다 에이공통 경계를 갖는 두 개의 반평면 에이, 같은 평면에 속하지 않습니다.
쌀. 3. 반평면
두 개의 반평면 α와 β를 고려해 보겠습니다(그림 3). 그들의 공통 국경은 에이. 이 그림을 2면각이라고 합니다.
술어
반평면 α와 β는 2면각의 면입니다.
똑바로 에이 2면체 각도의 모서리입니다.
공통 가장자리에 에이 2면체 각도, 임의의 점 선택 에 대한(그림 4). 점으로부터 반평면 α에서 에 대한수직을 복원하다 OA직선으로 에이. 같은 지점에서 에 대한두 번째 반평면 β에서 우리는 수직을 구성합니다 산부인과가장자리까지 에이. 각도가 잡혔어요 AOB, 이를 2면각의 선형 각도라고 합니다.
쌀. 4. 이면각 측정
주어진 2면각에 대한 모든 선형 각도의 동일성을 증명해 보겠습니다.
2면각을 생각해 봅시다(그림 5). 포인트를 선택해보자 에 대한및 기간 오 1직선으로 에이. 점에 해당하는 선형 각도를 구성해 봅시다 에 대한, 즉 두 개의 수직선을 그립니다. OA그리고 산부인과평면 α 및 β에서 가장자리까지 각각 에이. 우리는 각도를 얻습니다 AOB- 이면각의 선형 각도.
쌀. 5. 증명사진
출발지점 오 1두 개의 수직선을 그리자 OA 1그리고 OB 1가장자리까지 에이평면 α와 β에서 각각 두 번째 선형 각도를 얻습니다. 가 1 오 1 비 1.
광선 오 1 에이 1그리고 OA동일 방향성, 동일한 반면에 있고 동일한 선에 수직인 두 개의 수직선처럼 서로 평행하기 때문입니다. 에이.
마찬가지로 광선도 1에 1 소개그리고 산부인과공동 감독한다는 뜻이다. ∠ AOB =∠ 가 1 오 1 비 1이는 증명이 필요한 것입니다.
선형 각도의 평면은 2면각의 가장자리에 수직입니다.
입증하다: 에이 ⊥ AOB.
쌀. 6. 증명사진
증거:
OA ⊥ 에이건축으로, 산부인과 ⊥ 에이건설 별 (그림 6).
우리는 그 라인을 발견 에이두 개의 교차선에 수직 OA그리고 산부인과비행기 밖으로 AOB, 즉 직선이라는 뜻입니다 에이평면에 수직 OAV, 이는 입증이 필요한 것이었습니다.
2면각은 선형 각도로 측정됩니다. 이는 선형 각도에 많은 라디안 각도가 포함되어 있는 것처럼 2면각에도 동일한 라디안 각도가 포함되어 있음을 의미합니다. 이에 따라 다음 유형의 2면체 각도가 구별됩니다.
급성(그림 6)
선형 각도가 예각인 경우 2면각은 예각입니다. .
직선(그림 7)
2면각은 선형 각도가 90°일 때 오른쪽입니다 - 둔각(그림 8)
2면각은 선형 각도가 둔각일 때 둔각입니다. 
.
쌀. 7. 직각
쌀. 8. 둔각
실제 수치에서 선형 각도를 구성하는 예
알파벳디- 사면체.
1. 모서리가 있는 2면각의 선형 각도를 구성합니다. AB.
쌀. 9. 문제에 대한 그림
건설:
우리는 모서리에 의해 형성되는 2면체 각도에 대해 이야기하고 있습니다. AB그리고 가장자리 AB디그리고 알파벳(그림 9).
직접 만들어보자 디N평면에 수직 알파벳, N- 수직의 밑면. 경사를 그려보자 디중직선에 수직 AB,중- 경사진 베이스. 세 수직의 정리에 의해 우리는 경사의 투영이 다음과 같이 결론을 내립니다. 뉴멕시코또한 선에 수직으로 AB.
즉, 그 점에서 중가장자리에 수직인 두 개가 복원되었습니다. AB양면에 AB디그리고 알파벳. 우리는 선형 각도를 얻었습니다 디미네소타.
참고하세요 AB, 선형 각도의 평면에 수직인 2면체 각도의 모서리, 즉 평면 디미네소타. 문제가 해결되었습니다.
논평. 2면각은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 디알파벳, 어디
AB- 가장자리 및 점 디그리고 와 함께누워있다 다른 얼굴모서리.
2. 모서리가 있는 2면각의 선형 각도를 구성합니다. 교류.
수직선을 그리자 디N비행기로 알파벳그리고 경사 디N직선에 수직 교류.세 수직의 정리에 의해 우리는 다음을 발견합니다: НN- 경사 투영 디N비행기로 알파벳,또한 선에 수직으로 교류.디NH- 모서리가 있는 2면각의 선형 각도 교류.
사면체에서 디알파벳모든 모서리가 동일합니다. 점 중- 갈비뼈 중간 교류. 각도임을 증명하라 디MV- 선형 2면각 너디, 즉 모서리가 있는 2면체 각도 교류. 그 얼굴 중 하나는 교류디, 두번째 - 다이아(그림 10).
쌀. 10. 문제에 대한 그림
해결책:
삼각형 ADC- 등변, DM- 중앙값이므로 높이입니다. 수단, 디중 ⊥ 교류.마찬가지로 삼각형 에이안에기음- 등변, 안에중- 중앙값이므로 높이입니다. 수단, VM ⊥ 교류.
따라서 그 점에서 중갈비 살 교류 2면각은 두 개의 수직을 복원했습니다. DM그리고 VM 2면체 각도의 면에서 이 가장자리에.
그래서 ∠ DM안에는 2면각의 선형 각도이며, 이는 증명되어야 하는 것입니다.
그래서 우리는 2면각, 즉 2면각의 선형 각도를 정의했습니다.
~에 다음 수업직선과 평면의 수직성을 살펴본 다음, 도형의 밑면에서 2면각이 무엇인지 알아봅니다.
"2면체 각도", "기하학적 도형 기반의 2면체 각도" 주제에 대한 참고 문헌 목록
- 기하학. 10-11학년: 일반 교육용 교과서 교육 기관/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: 아픈.
- 기하학. 10학년: 수학에 대한 심층적이고 전문적인 학습을 제공하는 일반 교육 기관용 교과서 / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6판, 스테레오타입. -M .: Bustard, 2008. - 233 p .: 아픈.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
숙제"2면체 각도"라는 주제로 그림의 밑면에서 2면체 각도 결정
기하학. 10-11학년: 일반 교육 기관(기본 및 전문 수준) 학생을 위한 교과서 / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5판, 수정 및 확장 - M.: Mnemosyne, 2008. - 288페이지:ill.
작업 2, 3p.
선형 2면각이란 무엇입니까? 그것을 구축하는 방법?
알파벳디- 사면체. 모서리가 있는 2면각의 선형 각도를 구성합니다.
에이) 안에디비) 디와 함께.
알파벳D.A. 1 비 1 기음 1 디 1 - 입방체 2면각의 선형 각도 구성 1 ABC갈비뼈가 있는 AB. 정도 측정을 결정합니다.
제1장 직선과 평면
V. 2면체 각도, 평면과 직각,
두 개의 오른쪽 직선을 교차하는 각도, 다면체 각도
2면체 각도
38. 정의.이 평면에 있는 직선의 한쪽에 있는 평면의 부분을 이 평면에 있는 부분이라고 합니다. 반 평면. 하나의 직선(AB)에서 나오는 두 개의 반면(P와 Q, 그림 26)으로 구성된 도형을 다음과 같이 부릅니다. 2면각. 다이렉트 AB가 호출됩니다. 가장자리, 그리고 반평면 P와 Q - 파티또는 가장자리이면각.
이러한 각도는 일반적으로 가장자리에 배치된 두 글자(2면체 각도 AB)로 지정됩니다. 그러나 한 가장자리에 여러 개의 2면각이 있는 경우 각각은 4개의 문자로 지정되며, 그 중 가운데 두 개는 가장자리에 있고 바깥쪽 두 개는 면에 있습니다(예: 2면각 SCDR)(그림 1). 27).
임의의 점 D에서 모서리 AB(그림 28)가 모서리에 수직인 각 면에 그려지면 이들에 의해 형성된 각도 CDE가 호출됩니다. 선형 각도이면각.
선형 각도의 크기는 모서리의 정점 위치에 의존하지 않습니다. 따라서 선형 각도 CDE와 C 1 D 1 E 1 은 그 변이 각각 평행하고 동일한 방향을 향하고 있기 때문에 동일합니다.
선형 각도의 평면은 모서리에 수직인 두 개의 선을 포함하므로 모서리에 수직입니다. 따라서 선형 각도를 얻으려면 주어진 2면각의 면을 모서리에 수직인 평면과 교차하고 이 평면에서 결과 각도를 고려하는 것으로 충분합니다.
39. 2면체 각도의 평등과 불평등.두 개의 2면각은 삽입 시 결합될 수 있으면 동일한 것으로 간주됩니다. 그렇지 않으면 더 작은 것으로 간주되는 2면각이 다른 각도의 일부를 형성하게 됩니다.
면적측정의 각도와 마찬가지로 2면각도 다음과 같을 수 있습니다. 인접, 수직등.
두 개의 인접한 2면각이 서로 같으면 각각을 다음이라고 합니다. 오른쪽 2면각.
정리. 1) 동일한 이면각은 동일한 선형 각도에 해당합니다.
2) 더 큰 이면각은 더 큰 선형 각도에 해당합니다.
PABQ와 P 1 A 1 B 1 Q 1 (그림 29)을 두 개의 2면체 각도라고 가정합니다. 모서리 A 1 B 1이 모서리 AB와 일치하고 면 P 1이 면 P와 일치하도록 각도 A 1 B 1을 각도 AB에 삽입합니다.
그런 다음 이러한 이면각이 동일하면 면 Q 1이 면 Q와 일치합니다. 각도 A 1 B 1이 각도 AB보다 작으면 면 Q 1은 2면각 내부의 어떤 위치를 차지하게 됩니다(예: Q 2).
이것을 알아차린 후, 공통 모서리의 일부 점 B를 선택하고 이를 통해 모서리에 수직인 평면 R을 그립니다. 이 평면과 2면체 각도의 교차점에서 선형 각도가 얻어집니다. 2면체 각도가 일치하면 동일한 선형 각도 CBD를 갖게 될 것이 분명합니다. 2면각이 일치하지 않는 경우, 예를 들어 면 Q 1이 위치 Q 2를 취하면 더 큰 2면각이 더 큰 선형 각도를 갖게 됩니다(즉: / CBD > / C2BD).
40. 역정리. 1) 동일한 선형 각도는 동일한 2면체 각도에 해당합니다.
2) 더 큰 선형 각도는 더 큰 2면각에 해당합니다. .
이러한 정리는 모순을 통해 쉽게 증명될 수 있습니다.
41. 결과. 1) 오른쪽 2면각은 직각 선형 각도에 해당하며 그 반대도 마찬가지입니다.
2면각(PABQ)이 직선이라고 가정합니다(그림 30). 이는 인접각 QABP 1과 동일함을 의미합니다. 그러나 이 경우 선형 각도 CDE와 CDE 1도 동일합니다. 그리고 그것들은 인접해 있기 때문에 각각은 직선이어야 합니다. 반대로, 인접한 선형 각도 CDE와 CDE 1이 동일하면 인접한 2면체 각도는 동일합니다. 즉, 각 각도는 직선이어야 합니다.
2) 모든 직각 2면각은 동일하며,선형 각도가 동일하기 때문에 .
마찬가지로 다음을 증명하는 것도 쉽습니다.
3) 수직 2면각은 동일하다.
4) 이면체 각각 평행하고 동일한(또는 반대) 방향의 모서리가 있는 각도는 동일합니다.
5) 선형 각도의 단위에 해당하는 2면각을 2면각의 단위로 취하면 2면각은 선형 각도로 측정된다고 말할 수 있습니다.